8/17/2019 Breve Introducción a Los Atractores Caóticos

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Breve introducción a los atractores caóticos

Era un dia como otro cualquiera de 1963, Edward N. Lorenz se encotraba en su

despacho del MI estudiando un modelo atmos!"rico mediante el cual

pretend#a comprender por qu" los patrones climatol$%icos, que si%uen pautasrazonablemente peri$dicas, nunca se repiten e&actamente. El modelo en

cuesti$n se trataba de un c'lculo num"rico de un sistema din'mico de tres

ecuaciones no lineales que simulan el !en$meno de la con(ecci$n en la

atm$s!era) por aquel entonces la (elocidad de los ordenadores era mu* ba+a,

por lo que, tras introducir unas condiciones iniciales que *a hab#a usado con

anterioridad, Lorenz sali$ de su despacho en busca de una taza de ca!". l

re%resar se sorprendi$ de que los resultados !ueran totalmente di!erentes de

los obtenidos en la ocasi$n anterior) al principio pens$ que se trataba de un

!allo del ordenador, pero despu"s se di$ cuenta de que los (alores iniciales que

hab#a introducido en el ordenador no eran e&actamente i%uales que los usadoscon anterioridad, mientras que los primeros constaban de seis d#%itos, los de

ahora estaban redondeados a tres d#%itos.

-nos meses despu"s de este suceso, aparec#a un art#culo rmado por Lorenz

en el que se introducian los conceptos de atractor caótico * efecto mariposa.

-n atractor es el con+unto de puntos hacia los cuales tiende un sistema

din'mico tras un n/mero ele(ado 0innito ser#a el ideal0 de iteraciones,

el apellido ca$tico le (iene por su %ran sensibilidad a (ariaciones en las

condiciones iniciales * a que los (alores obtenidos nunca se repiten

e&actamente. El e!ecto mariposa es una met'!ora de la dependencia de las

condiciones iniciales, de manera que una perturbaci$n tan pequea como el

batir de unas alas de mariposa en 2razil puede producir un tornado en e&as.

Atractor de Lorenz.

omo primer e+emplo de atractor ca$tico usaremos el *a mencionado atractor

de Lorenz. 4ara este tenemos que %enerar un sistema din'mico a partir de las

ecuaciones di!erenciales * dar unos (alores para los par'metros * las

condiciones iniciales.

El sistema de ecuaciones es5

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Las condiciones iniciales * los par'metros son5

N/mero de iteraciones000

Incremento temporal000

hora planteamos el sistema din'mico a partir de las ecuaciones di!erenciales5

omo (emos, obtenemos una cur(a param"trica en tres dimensiones. hora

representaremos el corte con el plano 78 * la ampliaci$n de una zona de la

%r'ca.

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En la %r'ca de la izquierda se obser(a con claridad los dos atractores hacia los

que tiende el sistema. i cambiamos las condiciones iniciales, los (alores

num"ricos ser'n totalmente di!erentes, pero tras un n/mero lo sucientemente

%rande de iteraciones el aspecto de las %r'cas ser' el mismo. Es esta unaimportante propiedad de los atractores, otra es la que pone de maniesto la

%r'ca de la derecha, en ella podemos (er como, por mucho que nos

acerquemos a cualquier zona de la cur(a, las tra*ectorias no se cruzan, o lo

que es lo mismo, el sistema no tiene nin%/n tipo de periodicidad, de ah# que los

patrones meteorol$%icos no se repitan nunca con e&actitud.

Atractor de Hénon.

los cinco aos de la publicaci$n del traba+o de Lorenz, Michel :"non

descubr#a en el Instituto de stro!#sica de 4aris un sistema din'mico de %ran

sencillez mediante el cual se pod#an e&plicar las pequeas oscilaciones quehacen que ciertos cuerpos celestes se des(ien le(emente de su $rbita el#ptica.

El sistema consta de dos ecuaciones, una de ellas cuadr'tica, * dos constantes5

;amos a representar los resultados5

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i (i"semos como se (a %enerando la %r'ca punto a punto, al principio no

distin%uir#amos mas que una nube ca$tica de puntos en apariencia incone&os,

sin embar%o, a medida que el n/mero de iteraciones aumenta, la cur(a

comienza a compactarse para con%urar el atractor, del cual es imposible

saber si dos puntos consecuti(os estar'n cerca o le+os.

l i%ual que el atractor de Lorenz, los (alores num"ricos obtenidos dependen

de las condiciones iniciales, no as# la cur(a nal, la cual adquiere siempre el

mismo aspecto despu"s de las sucientes iteraciones. -na propiedad particular

del atractor de :"non es que al acercarnos a cualquier parte de la %r'ca, loque en principio parecian lineas indi(iduales, se subdi(iden en pares de lineas,

* as# sucesi(amente.

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Otros atractores.

Los atractores aparecen en numerosas ramas de la ciencia, sin embar%o, al

i%ual que ocurre con los !ractales, ha* un %ran n/mero de sistemas que se han

desarrollado con caracter meramente est"tico. -no de ellos es el creado por

li. ?atson de I2M.

El planteamiento del sistema es como si%ue5

La representaci$n del atractor de 4ic=o(er suele hacerse en color, actuando de

esta manera se comprende que este sistema se conozca con el

sobrenombre palomitas fractales. Nosotros, sin embar%o, nos limitaremos a

una representaci$n monocroma5

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4or /ltimo, (amos a representar un sistema de caracter ca$tico solamente en

al%unas re%iones del plano. No entraremos a analizar este sistema con m's

detalle, tan s$lo mencionar que las zonas estables se encuentran en los

he&'%onos.

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3. ALGO MAS DE ATRATORES

Los atractores e&traos son cur(as del espacio de las !ases que describen latra*ectoria de un sistema en mo(imiento ca$tico. -n sistema de estas

caracter#sticas es plenamente impredecible, saber la con%uraci$n del sistema

en un momento dado no permite predecir con (eracidad su con%uraci$n en

un momento posterior. @e todos modos, el mo(imiento no es completamente

aleatorio.

En la ma*or#a de sistemas din'micos se encuentran elementos que permiten

un tipo de mo(imiento repetiti(o *, a (eces, %eom"tricamente establecido. Los

atractores son los encar%ados de que las (ariables que inician en un punto de

partida manten%an una tra*ectoria establecida, * lo que no se puede

establecer de una manera precisa son las oscilaciones que las (ariables

puedan tener al recorrer las $rbitas que puedan lle%ar a establecer los

atractores. 4or e+emplo, es posible (er * de cierta manera pre(er la tra*ectoria

de un sat"lite alrededor de la ierra) lo que aparece en este caso como al%o

indeterminado, son los mo(imientos e incon(enientes (arios que se le pueden

presentar al ob+eto para e!ectuar este recorrido.

La !orma de una elipse se caracteriza por un par'metro

denominado e&centricidad, e. -na circun!erencia ser' una elipse con eAB.

uanto ma*or sea el (alor de e m's acusada ser' la !orma de la elipse, es

decir, el e+e horizontal, a, ser' tanto ma*or que el (ertical, b, a medida quee crece.

s# mismo, se inclu*e en la escena el (alor de la distancia !ocal, C1, o

distancia del ol al borde de la elipse Dcolor (erde claro * la distancia del

ol al centro de la elipse o de la tra*ectoria descrita, c, .

cti(idades5 hacer pruebas (ariando los (alores de los semie+es, lo que

permitir' comprobar5

a En caso de una $rbita circular el sol est' en el centro * a medida que la

e&centricidad aumenta se desplaza sobre el !oco de la elipse que describe,

apro&im'ndose a su borde Dhe dibu+ado una l#nea %ris del%ada paraidenticarlo con m's !acilidad.

b e obtienen resultados an'lo%os desplazando a o b. 4or este moti(o *

para las escenas si%uientes, s$lo (amos a considerar la (ariaci$n de la

!orma de la elipse a lo lar%o del e+e F7.

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 c Lo !'cil que resultan considerar circulares las $rbitas de los planetas,

cuando en realidad son el#pticas5 compru"bese utilizando la e&centricidad,

el zoom * los desplazamientos sobre los e+es.