1 de 15

Universidad de Costa Rica

Sede del Atlántico

Recinto Turrialba

Álgebra y Análisis II MA-0304

Introducción de los logaritmos en la enseñanza secundaria

Lourdes Hernández Rodríguez

Bryan Ramírez Vega

II ciclo

2014

2 de 15

Tabla de contenidos. Introducción. .....................................................................................................................................3

Contexto Histórico. ..........................................................................................................................4

Función Logarítmica. ......................................................................................................................5

Definición. .....................................................................................................................................5

Características. ............................................................................................................................6

Criterio.......................................................................................................................................6

Dominio. ....................................................................................................................................6

Codominio. ...............................................................................................................................6

Rango o ámbito. ......................................................................................................................6

Monotonía. ................................................................................................................................6

Biyectividad. .............................................................................................................................6

Inversa. .....................................................................................................................................7

Intersecciones con los ejes. ...................................................................................................7

Asíntota. ....................................................................................................................................7

Propiedades de los logaritmos. .....................................................................................................8

Logaritmo natural o neperiano. ......................................................................................................9

Introducción de logaritmos en la enseñanza secundaria. ..........................................................9

Área temática. ..............................................................................................................................9

Contenido o conocimiento. .........................................................................................................9

Habilidad específica. ...................................................................................................................9

Reto. ..............................................................................................................................................9

Trabajo independiente. .............................................................................................................10

Comunicación de respuestas. .................................................................................................10

Cierre. .........................................................................................................................................10

Forma exponencial. ...............................................................................................................10

Forma logarítmica. .................................................................................................................10

Calcular la inversa de la función exponencial. ..................................................................12

Historia. ...................................................................................................................................13

Conclusión. .....................................................................................................................................14

Bibliografía. ....................................................................................................................................15

3 de 15

Introducción.

En este trabajo se va a llevar a cabo una investigación sobre las funciones

logarítmicas. La cual es muy importante para aplicaciones del día con día de las

personas. Se iniciará con una reseña histórica para conocer de dónde y cómo

surge está función y así tener una mejor comprensión.

De esta misma manera se profundizaremos en sus características desde su

definición como su criterio, dominio, codominio, gráfica y en consecuencia las

intersecciones con los ejes, la concavidad, su monotonía también su ámbito y

esta misma manera sus asíntotas. Así también el logaritmo natural y la relación

entre la función logarítmica y función exponencial. Por otro lado, indagaremos las

propiedades de la función logarítmica.

Se explicara la planificación de una clase en la enseñanza secundaria acerca de

cómo introducir los logaritmos a estudiantes que no tuviesen el conocimiento

previo de la función logarítmica, esta se llevara a cabo con respecto a la función

exponencial. Mediante la indución de la función logarítmica como la inversa de la

función exponencial.

4 de 15

Contexto Histórico.

Hace casi 400 años los logaritmos aparecieron para facilitarnos los cálculos

aritméticos y geométricos, esto permite durante años poder trabajar con más

facilidad en el campo de agrimensura, astronomía y en el campo de la navegación

que fue lo que más intereso a los científicos del siglo XVII influenciados con los

descubrimientos de Galileo y Kepler, con relación de los cuerpos celestes,

también había gran interés económico y militar. Los cuerpos celestes eran de

gran importancia para los navegantes europeos que salían en buscas de materia

prima y nuevas relaciones comerciales. Con relación al ámbito militar, era

necesario aproximar la trayectoria de los proyectiles, alcance, altura y velocidad

de las armas, por lo que el gobierno invertía mucho dinero para financiar la

búsqueda de soluciones provechosas.

En cuanto a la navegación era de suma importancia debido a que los

navegantes se alejaban cada vez más de las costas de donde partían ya que

no conocían la latitud y longitud (coordenadas terrestres) con precisión, lo que

ocasionaba problemas para la ubicación, por lo que se dificultaba la llegada al

destino planteado, estos errores producían grandes pérdidas económicas, por

lo que el gobierno de Europa se insta a los científicos para que construyan tablas

de datos cada vez más aproximadas esto a John Napier de Escocia y a Jobst

Burgi de Suiza, a la elaboración de los logaritmos. El término logaritmo significa

(número razón) y fue Napier quien utilizo el nombre por primera vez en 1619.

El descubrimiento de los algoritmos se produjo mediante dos caminos que son,

los cálculos trigonométricos para las investigaciones astronómicas aplicables a la

navegación y el cálculo de las riquezas acumuladas a lo que se refiere a las

reglas de intereses compuestos, ambos caminos inspiraron a John Napier y a

Jobst Burgi en el descubrimiento de los logaritmos. Las tablas de Napier se

basaban en los llamados logaritmos naturales los cuales eran un poco

complicados usar. Briggs era un profesor de Gresham College de Londres que

se interesó en la tabla que había elaborado Napier y juntos idearon la idea de

5 de 15

elaborar logaritmos comunes y fue Brigg quien transformo de la tabla de Napier en

los logaritmos comunes la cual fue publicada en 1617, estas tablas fueron

utilizadas para los cálculos hasta alrededor de los años 1972 donde aparecieron

las calculadoras manuales.

Los logaritmos nacen con la afinidad de simplificar más aquellas tareas en las

que se utilizan las operaciones básicas para resolver laboriosos problemas en las

que se necesitan exactitud, en 1631 Henry Briggs realiza la primera tabla en base

10, en su libro llamado Logarithmall Arith- Metike Briggs manifiesta la importancia

de la confección de los logaritmos. “Los logaritmos son números inventados para

resolver más fácilmente los problemas de aritm´etica y geometría. Con ellos se

evitan todas las molestias de las multiplicaciones y de las divisiones de manera

que, en lugar de multiplicaciones, se hacen solamente adiciones, y en lugar de

divisiones se hacen sustracciones. La laboriosa operación de extraer raíces, tan

poco grata, se efectúa con suma facilidad. En una palabra, con los logaritmos se

resuelven con la mayor sencillez y comodidad todos los problemas, no solo de

aritmética y geometría, sino también de astronomía.”(Tapia, 2003, p.6).

Napier trabajaba originalmente con seno por lo que se dice que su investigación

está basada en la geometría, mientras que Briggs trabajaba su investigación en

un enfoque algebraico ya que trabajaba por medio de sucesiones de progresiones

aritméticas y geométricas.

Función Logarítmica.

Definición.

La función logarıtmica con base 𝑏, 𝑏 ∈ 𝑅+, 𝑏 ≠ 1 , es la función 𝑓: 𝑅+ → 𝑅,

definida por 𝑓(𝑥) = log𝑏 𝑥, donde: log𝑏 𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑏𝑦 = 𝑥.

Logaritmo de un numero (𝑥) es el exponente (𝑦) al que hay que elevar la

base (𝑏) para que nos de dicho numero (𝑥), el numero (𝑥) debe ser

positivo 𝑥 > 0.

6 de 15

Ejemplos:

Forma logarítmica Forma exponencial

log𝑏 1 = 0 𝑏0 = 1

log𝑏 𝑏 = 1 𝑏1 = 𝑏

log𝑏 𝑏−1 = −1 𝑏−1 = 𝑏−1

Características.

Criterio.

La función logarítmica es una función cuyo criterio es de la forma: 𝑓(𝑥) = log𝑏 𝑥 ,

con 𝑏, 𝑏 ∈ 𝑅+, 𝑏 ≠ 1. Se lee logaritmo base 𝑏 de 𝑥 (log𝑏 𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑏𝑦 = 𝑥).

Dominio.

El dominio de la función logarítmica es 𝑅+.

Codominio.

El codominio de la función logarítmica es 𝑅.

Rango o ámbito.

El rango o ámbito de la función logarítmica es 𝑅.

Monotonía.

La función logarítmica 𝑓: 𝑅+ → 𝑅 tal que 𝑓(𝑥) = log𝑏 𝑥 , con 𝑏, 𝑏 ∈ 𝑅+, 𝑏 ≠ 1,

entonces:

1. Si 𝑏 > 1 𝑓 es creciente.

2. Si 0 < 𝑏 < 1 𝑓 es decreciente.

Biyectividad.

Decimos que una función 𝑓: 𝐴 ⊂ 𝑅 → 𝑅 es monótona si y solo si es creciente en

𝐴 o decreciente en 𝐴. La función logarítmica cumple lo anterior dicho ya que

𝑓: 𝑅+ → 𝑅 y está es creciente o decreciente, entonces es monótona.

7 de 15

Por el teorema que dice "Si 𝑓 definida en 𝐴 ⊂ 𝑅 es una función monótona,

entonces, considerando su ámbito 𝐵 como su codominio, existe la función inversa

𝑓−1: 𝐵 → 𝐴".

Como la función logarítmica es monótona, y su rango es igual al codominio

(𝑓: 𝑅+ → 𝑅), entonces existe la función inversa. Por lo tanto, la función logarítmica

es biyectiva.

Inversa.

Una función y su inversa cumplen las propiedades:

𝑓−1(𝑓(𝑥)) = 𝑥, ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓 y 𝑓(𝑓−1(𝑥)) = 𝑥, ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓−1.

La inversa de la función logarítmica 𝑓(𝑥) = log𝑏 𝑥, es la función exponencial

𝑓−1(𝑥) = 𝑏𝑥 .

Si 𝑓(𝑥) = log𝑏 𝑥 ↔ 𝑓−1(𝑥) = 𝑎𝑥, entonces:

1) (𝑓 ○ 𝑓−1)(𝑥) = 𝑓(𝑓−1(𝑥)) = log𝑏(𝑓−1(𝑥)) = log𝑏 𝑏𝑥 = 𝑥, con 𝑥 ∈ 𝑅.

2) (𝑓−1 ○ 𝑓)(𝑥) = 𝑓−1(𝑓(𝑥)) = 𝑏𝑓(𝑥) = 𝑏log𝑏 𝑥 = 𝑥, con 𝑥 > 0.

∴ log𝑏 𝑏𝑥 = 𝑏log𝑏 𝑥.

Intersecciones con los ejes.

La intersección con el eje "𝑦": no tiene.

La intersección con el eje "𝑥": (1,0).

Asíntota.

La función logarítmica posee asíntota vertical 𝑥 = 0, cuando 𝑥 → 0, 𝑓(𝑥) → ±∞.

A) Si 𝑏 > 0, entonces 𝑥 → 0 se tiene que log𝑏 𝑥 → −∞.

B) Si 0 < 𝑏 < 1, entonces 𝑥 → 0 se tiene que log𝑏 𝑥 → +∞.

8 de 15

Propiedades de los logaritmos.

1. Logaritmo del producto.

log𝑎 𝑥𝑦 = log𝑎 𝑥 + log𝑎 𝑦

2. Logaritmo del cociente.

log𝑎

𝑥

𝑦= log𝑎 𝑥 − log𝑎 𝑦

3. Logaritmo de una potencia.

log𝑎 𝑥𝑛 = 𝑛 ∙ log𝑎 𝑥

4. Cambio de base.

log𝑎 𝑥 =log𝑏 𝑥

log𝑏 𝑎, 𝑏 > 0, 𝑏 ≠ 1

5. En particular:

log𝑎 𝑥 = ln 𝑥

ln 𝑎

6. Otras.

log𝑎 𝑥1𝑛 =

1

𝑛∙ log𝑎 𝑥

log𝑎 √𝑥𝑛

= log𝑎 𝑥

𝑛

log𝑏 1 = 0

log𝑏 𝑏 = 1

log𝑏 𝑏−1 = −1

9 de 15

Logaritmo natural o neperiano.

Recordamos que el número de Euler (𝑒) se puede definir como:

𝑒 = lim𝑛→+∞

(1 +1

𝑛)

𝑛

.

La función log𝑒 𝑥 es llamada logaritmo natural o neperiano, en honor a John

Napier a quien se atribuye la primera descripción de esta función para el continuo

de los números reales. Se denota por ln 𝑥, por lo que log𝑒 𝑥 = ln 𝑥 .

Como la función logarítmica es secuencialmente, tenemos:

log𝑛→+∞ 𝑛 ln (1 +1

𝑛) = lim

𝑛→+∞ln (1 +

1

𝑛)

𝑛

= ln 𝑒 = 1.

Como la función logarítmica es biyectiva, por ende es invertible y su inversa es la

función exponencial, entonces tendríamos: 𝑓(𝑥) = ln 𝑥 ↔ 𝑓−1(𝑥) = 𝑒𝑥.

Introducción de logaritmos en la enseñanza secundaria.

Área temática.

Relaciones y álgebra.

Contenido o conocimiento.

Funciones logarítmicas.

Habilidad específica.

Identificar la función logarítmica como la inversa de la función exponencial.

Reto.

Las diferencias de presiones, que se producen al ascender una montaña, son la

causa que algunas personas se apunen y tengan fuertes dolores de oídos.

Investigaciones científicas determinaron que la presión atmosférica está dada por

la expresión: 𝑓(𝑥) = (9

10)

𝑥, 𝑥: se mide en miles de metros, 𝑦: se mide en

atmósferas. ¿Qué altura se tiene con 0,6561 atmósferas?

10 de 15

Trabajo independiente.

Cada estudiante durante un tiempo determinado analizará la información que se

les brindó y da una solución al ejercicio planteado. En ese tiempo el docente

observa y aclara las consultas que puedan realizar los estudiantes.

Comunicación de respuestas.

Los estudiantes una vez que han analizado la situación problema, realizan una

pequeña exposición al resto del grupo la forma y las estrategias utilizadas para dar

solución a lo planteado.

Cierre.

El docente debe de analizar los métodos de resolución, corrige y retroalimenta los

procesos de resolución que utilizaron los alumnos. Explicación por parte del

docente sobre la forma más acertada para resolver la situación problema.

Forma exponencial.

Dada la fórmula 𝑓(𝑥) = (9

10)

𝑥

, se puede obtener la siguiente tabla:

𝑥 0 1 2 3 4

𝑓(𝑥) 1 0.9 0.81 0.729 0.6561

Observamos que si 𝑥 = 4 → 𝑓(𝑥) = 0.6561, entonces se tendría la solución:

*La solución es 4000 metros de altura.

Forma logarítmica.

𝑓(𝑥) = (9

10)

𝑥

0.6561 = (9

10)

𝑥

log 0.6561 = log (9

10)

𝑥

log 0.6561 = x ∙ log (9

10)

log 0.6561

log (9

10)= 𝑥

11 de 15

4 = 𝑥

*La solución es 4000 metros de altura.

Función exponencial Función logarítmica

Criterio 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 𝑓−1(𝑥) = log𝑎 𝑥

Puntos

de

intersecci

ón

(0,1)

(1,𝑎)

(−1,1

𝑎)

(1,0)

(𝑎,1)

(1

𝑎, −1)

Crecient

e

Decrecie

nte

12 de 15

Se concluye:

𝑏𝑥 = 𝑦 ↔ log𝑏 𝑦 = 𝑥 , 𝑏 ∈ 𝑅+, 𝑏 ≠ 1 .

Calcular la inversa de la función exponencial.

i. Cambiar 𝑓(𝑥) por 𝑦.

ii. Despejar la 𝑥.

iii. Intercambiar los valores 𝑥 y 𝑦.

iv. Cambiar 𝑦 por 𝑓−1(𝑥).

Ejemplo.

Calcular la función inversa de 𝑓(𝑥) = 23𝑥−1 + 4.

𝑦 = 23𝑥−1 + 4 (i)

𝑦 − 4 = 23𝑥−1

log2(𝑦 − 4) = log2 23𝑥−1

log2(𝑦 − 4) = 3𝑥 − 1

log2(𝑦 − 4) + 1 = 3𝑥

log2(𝑦−4)+1

3= 𝑥 (ii)

log2(𝑥−4)+1

3= 𝑦 (iii)

log2(𝑥−4)+1

3= 𝑓−1(𝑥) (iv)

Por lo tanto 𝑓−1(𝑥) =log2(𝑥−4)+1

3 .

13 de 15

Es importante dar a conocer a los estudiantes un resumen o un acercamiento de

la historia de los logaritmos.

Historia.

La historia de los logaritmos revela la dificultad de este concepto. Aquí se relata un

breve resumen de esta historia.

En 1614, John Napier (1550-1617) publicó su primera obra Descripción del

maravilloso canon de logaritmos, después de 20 años de trabajo. En esta obra

Napier describe la naturaleza de los logaritmos y construye una tabla de

logaritmos de senos de ángulos, con arcos dados en minutos. En su segundo

trabajo publicado póstumamente en 1619, Construcción del maravilloso canon de

logaritmos, Napier describió la teoría que utilizó para construir las tablas. En el año

1617, el matemático inglés Henry Briggs (1561-1630) publicó un libro con los

logaritmos de los números 1 a 1000 con una precisión de 14 decimales, y en 1624

publicó otra obra con los logaritmos de los números 1 a 20 000 y de 90 000 a

100 000 con 14 cifras decimales de precisión.

14 de 15

Conclusión.

Este trabajo fue de gran ayuda como estudiante ya que el principal interés era

entender la función logarítmica, los conocimientos que se tenían de esta eran

verdaderamente pocos en el área histórica principalmente y los que sabíamos

eran por el uso de una calculadora típico de la enseñanza que se brindan en los

colegios. Entonces se toma como un reto poder comprender, analizar y trabajar la

función logarítmica que es indispensable poder resolverla. También se observó

claramente el comportamiento desde la gráfica la cual es muy importante.

Uno de nuestros principales objetivos es lograr que los futuros docentes logren

realizar una clase introductoria a los logaritmos de la mejor manera, para plasmar

el conocimiento de esta función de modo que los estudiantes comprendan sus

características y aplicaciones.

Por otro lado se quisiera resaltar un aspecto importante, como futuro profesor si

quisiéramos que los estudiantes logren entender lo que es un logaritmo, debe que

estar en nuestros objetivos desarrollarle en clase de la mejor manera para que a

los futuros alumnos no les suceda lo que pasa actualmente en la enseñanza de

secundaria y obtengan un conocimiento de gran utilidad para así con ello una

mejor preparación el día que logren ingresar a la universidad.

También se nota que los logaritmos no son difíciles de entender con práctica y

sabiendo aplicar sus propiedades se va a facilitar el uso y su gran importante que

tienen estos en la resolución de muchos problemas que nos enfrentamos en

nuestro diario vivir.

15 de 15

Bibliografía.

Araya Fernández, M. (2006). Matemática 10°. Larson, R. Hostetler, R. Edwards, B.

(1995). Cálculo y Geometría Analítica.

Arias Tencio, F. Barrantes Campos, H. (2010). Introducción a la matemática formal

desde las funciones. (Universidad de Costa Rica Ed.).

Ávila H, J. (2011). Algebra y trigonometría: ejemplos y ejercicios. (Instituto

Tecnológico de Costa Rica Ed.).

Duarte, A & Cambronero, S. Construcción de conjuntos númericos. Ed. UCR.

Ramírez, B & Camacho, S & Ramírez, F. (2013). Función logarítmica y su

caracterización.