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  • 1. Una recta queda determinada si conocemos-Un punto y un vector director- Dos puntos.- Un punto y su pendiente.A) DADOS UN PUNTO Y UN VECTOR Dado el punto A(xo, yo) y el vector direccional de la recta v=(v1,v2) y un punto desconocido X(x,y) de la recta Nos fijamosOXOA tv ( x, y )( xo , yo ) t ( v1 , v 2 )

2. Operamos y obtenemos( x, y ) ( xo , yo ) t ( v1 , v 2 )x xotv 1( x, y ) ( xo , yo ) ( tv 1 , tv 2 )Es deciry yotv 2( x, y ) ( xo tv 1 , y otv 2 ) Ec. paramtricas de la rectaAhora despejamos la t en las dos ecuaciones xxo tv1xxot v1Igualando obtenemos y yo tv 2yyo txxoyyo v2v1 v2 3. La ec. continua de la rectaMultiplicamos en cruz para eliminar los denominadores v2 x v2 xov1 yv1 y o Pasamos al primer miembro y cambiamos las letrasv2 x v1 yv1 y o v2 xo0 AxByC0 A B CEc general, implcita o cartesiana de la recta Ahora vamos a despejar la y para obtener otra ecuacinBy Ax CA Cyx y mx n B BAv2 mtg m nEc. explcita de la recta B v1Al nmero m = -A/B se le llama pendiente y nos indica la inclinacin de la rectay al nmero n= -C/B ordenada en el origen indica el punto de corte con el eje Y 4. Ejemplos1) Encontrar todas las ecuaciones de la recta que pasa por el punto (1, 2) y tiene devector director (1,-1) 2) Dibujar las rectas: r: 2x y 3 = 0 s: y = 2x + 1 t: 2x - 3y + 6 = 03) La siguiente grfica muestra una recta.a) Escribe la ecuacin continua de la rectab) Pertenece el punto (-6,4) a la recta? 5. 2.- POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTASDadas las rectas r: Ax + By + C = 0 y s: Ax + By + C = 0 para averiguar su posicinresolvemos el sistema formado por ellas y puede suceder:SistemaUna solucinSin solucinInfinitas solucionesRectas secantes Rectas paralelasRectas coincidentesrrs r=ssA B C ABCA BA B CA B CAB 6. x 2y 42x4y8 3x4y 6x 2y 8 x 2y 4 x 2y 8Ejemplo - Halla la posicin relativa de la recta y = 3x - 1 con cada una de lassiguientes. A) y = -3x + 2B) -15x + 5y + 1 = 0 7. 3.- RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARESDos rectas son paralelas si tienen la misma inclinacin, es decir mr = m sEjemplo Halla la ecuacin de la recta que pasa por el punto (5,1) y es paralela ala recta x + 2y 4 = 0Dos rectas son perpendiculares si se cortan formando cuatro ngulos rectos,adems se cumplemr ms = -1Ejemplo Halla la ecuacin de la recta que pasa por el punto (5,1) y esperpendicular a la recta x + 2y 4 = 0 8. QUE ES UNA CIRCUNFERENCIASe llama circunferencia al conjunto de puntoscuya distancia a otro punto llamado centro essiempre la misma. Los puntos de lacircunferencia y los que se encuentran dentrode ella forman una superficie llamada crculo. 9. Existen varios puntos, rectas y segmentos, singulares en la circunferencia:Centro, el punto interior equidistante de todos los puntosde la circunferencia; Radio, el segmento que une el centro con un puntocualquiera de la circunferencia; Dimetro, el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia (necesariamente pasa por el centro);Cuerda, el segmento que une dos puntos de lacircunferencia; (las cuerdas de longitud mxima son los dimetros)Recta secante, la que corta a la circunferencia en dos puntos;Recta tangente, la que toca a la circunferencia en un slopunto; Punto de tangencia, el de contacto de la recta tangente con la circunferencia;Arco, el segmento curvilneo de puntos pertenecientes a la circunferencia;Semicircunferencia, cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un dimetro. 10. Un ngulo, respecto de una circunferencia, pueden ser:ngulo central, si tiene su vrtice en el centro de esta. Sus ladoscontienen a dos radios.La amplitud de un ngulo central es igual a la del arco que abarca. ngulo inscrito, si su vrtice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen dos cuerdas. La amplitud de un ngulo inscrito en una semi circunferenciaequivale a la mayor parte del ngulo exterior que limita dicha base. (Vase: arco capaz.) ngulo semi-inscrito, si su vrtice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen una cuerda y una recta tangente a la circunferencia. El vrtice es el punto de tangencia. La amplitud de un ngulo semi-inscrito es la mitad de la del arcoque abarca. ngulo interior, si su vrtice est en el interior de lacircunferencia.La amplitud de un ngulo interior es la mitad de la suma de dos medidas: la del arco que abarcan sus lados ms la del arco que abarcan sus prolongaciones.ngulo exterior, si tiene su vrtice en el exterior de la circunferencia 11. Longitud de la circunferencia La longitud de una circunferenciaes: donde es la longitud del radio.Pues (nmero pi), por definicin, esel cociente entre la longitud de la circunferencia y el dimetro.. 12. Ecuacin vectorial de la circunferencia La circunferencia con centro en el origen y radio R, tienepor ecuacin vectorial: . Donde es el parmetro de la curva, adems cabe destacar que . Se puede deducir fcilmente desde la ecuacin cartesiana, ya que lacomponente X y la componente Y, al cuadrado y sumadasdeben dar por resultado el radio de la circunferencia alcuadrado. En el espacio esta misma ecuacin da comoresultado un cilindro, dejando el parmetro Z libre. 13. CircunferenciaCircunferencia, en geometra, curva plana cerrada en la que cada uno de suspuntos equidista de un punto fijo, llamado centro.d(P,C)=rdonde P, es un punto cualesquiera perteneciente a la circunferenciaC, es el centro de la circunferenciar, es el radio de la circunferencia. Elementos de la circunferencia 14. ECUACIN DE LA CIRCUNFERENCIA ( C(a , b)) :d (P, C ) rP ( x, y ) 2 2d (P,C )(xa) (y b) rC (a, b)desarrolla ndo la ecuacin ......2 2222x a 2 ax yb2 byr 2 2 2 llamando : A 2a,B 2b, Cab rx2y2 Ax By C 0Ecuacin general de lacircunferencia 15. Desarrollo de la ecuacin 16. Parbola:Una de las cnicas. Se trata de una curva plana, abierta, que se obtiene al cortar unasuperficie cnica de eje e y ngulo mediante un plano P que no pasa por el vrtice y quecorta a e bajo el mismo ngulo .La parbola es el lugar geomtrico de los puntosdel plano que equidistan de un punto fijollamado foco y de una recta fija llamada directriz. d(P,F)=d(P,s) Elementos de la parbola La directriz que es la recta s. El vrtice V. El foco F. Se llama eje de la parbola a la recta perpendicular al eje que pasa por el foco. La distancia entre el foco y la directriz es el parmetro p 17. ECUACIN DE LA PARBOLA (Vrtice (0,0)):d (P, F ) d (P, s)P ( x, y )2 2d (P, F ) PF (xc) yp2 2 pF 0, (x c) y y2p 2d (P, s)y 2 desarrolla ndo la ecuacin ......2x pypy2x 2 pyEcuacin de la parbola 18. Desarrollo de la ecuacin 19. DEFINICIN DE PARBOLA. Se llama parbola a la curva plana, abierta, y de una sola rama, que determina el lugar geomtrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo F llamado foco, y de una recta fija llamada d, llamada directriz. PM=PF Si el plano secante es paralelo a una sola generatriz de la superficie,a esta generatriz no la cortar y la curva ser abierta con un punto en elinfinito; la seccin que se produce es una parbola. 20. ELEMENTOS DE LA PARBOLA.F es el foco de la parbola y s es la directriz.A la distancia entre la directriz y el foco la llamamos p.La reta e que pasa por F y es perpendicular a s es el eje.El vrtice es el punto V, que es la interseccin del eje con la parbola.Si situamos la parbola en unos ejes cartesianos,con vrtice en el origen de coordenadas y cuyo eje es el eje Y, se cumple que: PARMETROS DE LA PARBOLA.La parbola solo tiene un parmetro, P que configura y da forma a la curva.p = FD 21. PROPIEDADES DE LA PARBOLA. Como hemos visto, la parbola es una curva plana, abierta y de una rama. Dichaparbola, tiene un vrtice v y un eje de simetra que pasa por v y por el foco y esperpendicular a la directriz. La tangente en el vrtice de la curva es paralela a ladirectriz. La parbola tiene un eje perpendicular a la directriz, que contiene al foco F y alvrtice V. El eje de la curva es a su vez eje de simetra. El vrtice, como otro punto cualquiera, equidista de la directriz y del foco, por lotanto estar colocado en el punto medio del segmento AF. La directriz es el lugar geomtrico de los puntos simtricos del foco respecto decada una de las tangentes de la parbola. La directriz d de la curva hace decircunferencia focal de la parbola, en este caso de radio infinito. La tangente en el vrtice, que es una recta, hace de circunferencia principal y sedefine como en las curvas anteriores. El foco equidista del punto de tangencia de una tangente y del punto donde sta corta al ejede la curva 22. LA ELIPSE Una elipse es el lugar geomtrico de los puntos P (x,y),cuya suma de distancias a dos puntos fijos F y F(focos)es constante. Para su construccin manual, se toma un segmento delongitud 2a y se sujetan sus extremos en F y F, losdatos, si se mantienen el segmento tirante y se vagirando se obtiene el grfico de la elipse. 23. ECUACIN REDUCIDA DE LAELIPSE. 24. ECUACIN REDUCIDA DE LAELIPSE. 25. Elipse - ejemplos 26. Elipse - excentricidad 27. Elipse - excentricidad Mide el grado de achatamiento de laelipse: