boole

Práctica de manipulación algebraica de funciones booleanas

Mg. Patricia Janet Benites Yglesias

PRÁCTICA DE MANIPULACIÓN

ALGEBRAICA

DE

FUNCIONES BOOLEANAS




Se pretende que todos los problemas sean resueltos mediante una manipulación

algebraica, haciendo uso de las leyes y teoremas del álgebra de Boole.

PROBLEMA NRO. 1:

Simplificar las siguientes funciones booleanas:

a) f1=A’+B’+ABC’

b) f2=A+A’B+A’B’C+A’B’C’D

c) f3=(A’+ABC)+(A’+ABC’)+(A+A’BC)

d) f4=ABC+A(B.C)’+A’BC

e) f5= A+B’+ABC’

f) f6=A’BC+AB+BC+A’B’C

g) f7=A’D’+A’B’+C’D’+BC

h) f8=AB+B’C+AC’D

PROBLEMA NRO. 2:

Obtener el complemento (o negación) de cada una de las siguientes funciones lógicas y

después simplificarlas:

a) f1=A’(B’+C’) (A+B+C’)

b) f2=A’+(C’+B+B’D’) + (C+B’D)

c) f3=(A+B’C’) (B+A’C’)(C+A’B’)

d) f4=A+(C’+B+B’D’). (C+B’D)

e) f5=(A+(B’+CD).(C+AB’)).(B+C’)

f) f6= (B(A+C’)+A’).(B’+A)

PROBLEMA NRO. 3:

Determinar las condiciones que deben cumplir las variables booleanas A y B para que se

verifiquen las siguientes ecuaciones:

a) A’+AB=0

b) AB=AC

c) ABD+BCD+A’CD=ABD+A’CD

PROBLEMA NRO. 4:

Determinar ambas formas canónicas, expresadas tanto algebraica como numéricamente,

de las siguientes funciones lógicas:

a) f1=A(B’+C’)+C

b) f2=AB+AB’C+A’B’

c) f3= ABCD’+ABC’+A’BD

d) f4=AB+(A+C)B’+A’B’C

PROBLEMA NRO. 5:


3

Demostrar que las siguientes funciones lógicas son

EQUIVALENTES:

f1= ABC+AB’+AC’+A’BC

f2= A+BC

Soluciones a los Problemas:

Veamos un sumario de las leyes y teoremas del álgebra de Boole que usaremos en la

resolución de los problemas:

Nro.

Orden

Nombre a) Forma OR b)Forma AND

1 Ley de

IDEMPOTENCIA

A+A=A A.A=A

2 Existencia de

ELEMENTOS

NEUTROS

(Ley de Identidad)

A+0=A A.1=A

3 Ley de ANULACION

(Propiedad de los

elementos neutros)

A+1=1 A.0=0

4 Ley CONMUTATIVA A+B=B+A A.B=B.A

5 Ley ASOCIATIVA (A+B)+C=A+(B+C

)

(A.B).C=A.(B.C)

6 Ley del INVERSO A+A’ =1 A.A’=0

7 Ley DISTRIBUTIVA A.(B+C)=A.B+AC A+B.C=(A+B).(A+C)

8 Ley de ABSORCION A+A.B=A A.(A+B)=A

9 A+(A’.B)=A+B A.(A’+B)=A.B

10 Ley de CONSENSO AB+BC+A’C=A’B

+A’C

(A+B).(B+C).(A’+C)=(A+

B).(A’+C)

11 Ley de MORGAN (A+B)’=A’.B’ (A.B)’=A’+B’

12 DOBLE NEGACION

(Ley de Involución)

(A’)’=A

En las columnas a) y b) se indican las formas DUALES de representación de cada ley,

ya que el PRINCIPIO DE DUALIDAD establece que si en una identidad se

intercambian entre sí las operaciones suma y producto lógicos, y los elementos 0 y 1, la

identidad permanece válida.

De ahora en adelante, para hacer referencia a una determinada identidad la

identificaremos por la fila y la columna del cuadro. De esta manera, el indicador(6.a)

hará referencia a la identidad A+A’=1. Esto nos permitirá explicar en forma concisa las

respectivas leyes usadas en la manipulación algebraica.

Solución Problema nro. 1:


4

a) f1=A’+B’+ABC’ 4.b

f1=A’+B’+B.AC’ 9.a

f1=A’+B’+AC’ 4.a

f1= A’+AC’ 9.a + B

f1=A’+C’+B’ 4.a

f1=A’+B+C’

Aplicando (11.b) podría expresarse: f1=(ABC)’

b) f2=A+A’B+A’B’C+A’B’C’D 7.a

f2= A+A’(B+B’C+B’C’D) 9.a

f2=A+(B+B’C+B’C’D7.a)

f2=A+(B+B’(C+C’D) 9.a

f2=A+(B+B’(C+D) 9.a)

f2=A+(B+(C+D) 5.a)

f2=A+(B+C+D) 5.a

f2=A+B+C+D

c) f3=(A’+ABC)+(A’+ABC’)+(A+A’BC)

(5.a) f3=A’+ABC+A’ 4.a+ABC’+A 4.a+A’BC

f3’=A+A’ 1.a+ABC+A 4.a+ABC’+A’BC

f3=A’+A 6.a+ABC+ABC’+A’BC

f3=1+(ABC+ABC’+A’BC)(3.a)

f3=1

d) f4=ABC+A(B.C)’ 11.b+A’BC


5

f4=ABC+A(B’+C’) 7.a +A’BC

f4=ABC+AB’ 2.b+AC’ 2.b+A’BC

f4=ABC+AB’.1 6.a+AC’.1 6.a+A’BC

f4=ABC+AB’(C+C’) 7.a+AC’(B+B’) 7.a+A’BC

f4= ABC+AB’C+AB’C’+AC’B 4.b+AC’B’ 4.b+A’BC

f4=ABC 4.b+AB’C 4.b+AB’C’+ABC’+AB’C’ 4.a+A’BC

f4=ACB+ACB’ 7.a+AB’C’+AB’C’ 1.a+ABC’+A’BC

f4=AC(B+B’) 6.a+AB’C’4.a+ABC’4.a+A’BC

f4=AC.1 2.b+AC’B’+AC’B 7.a+A’BC

f4=AC+AC’(B’+B) 6.a+A’BC

f4=AC+AC’.1 2.b+A’BC

f4=AC+AC’ 7.a+A’BC

f4=A(C+C’) 6.a+A’BC

f4=A.1 2.b+A’BC 5.b

f4=A+A’(BC) 9.a

f4=A+BC

Otra forma de resolverlo:

f4=A(BC+(BC)’)+A’BC

f4=A+A’BC=A+BC

Otra opción: f4=BC+(A+A’)+A(BC)’

f4=BC+(BC)’A=BC+A

e) f5= A+B’+ABC’ 4.a

f5=A+ABC’ 8.a+B’


6

f5=A+B’

f) f6=A’BC+AB+BC+A’B’C

4.af6=A’BC+A’B’C 7.a+AB+BC

f6=A’C+(B+B’) 6.a+AB+BC

f6=A’C.1 2.b+AB+BC

f6=A’C+AB+BC

4.af6=AB+BC+A’C 10.a

f6=AB+A’C

g) f7=A’D’ 2.b+A’B’+C’D’+BC

f7=A’D’.1 6.a +A’B’+C’D’ 4.a+BC

f7=A’D’(C+C’) 7.a+C’D’+A’B’+BC

f7=A’D’C 4.a+A’D’C’ 4.a+C’D’+A’B’+BC

f7=A’CD’ 2.b+A’C’D’+C’D’ 7.a+A’B’+BC

f7=A’CD’.1 6.a+C’D’(A’+1) 3.aA’B’+BC

f7=A’CD’(B+B’) 7.a+C’D’.1 2.b+A’B’+BC

f7=A’BCD’+A’B’CD’+C’D’+A’B’+BC

4.af7=A’BCD’4.b+BC+A’B’CD’+A’B’ 8.a+C’D’

f7=BCA’D’+BC 8.a+A’B’+C’D’

f7=BC+A’B’+C’D’

h) f8=AB2.b+B’C 2.b+AC’D

f8=AB.1 6.a+B’C.1 6.a+AC’D

f8=AB.(C’+C (C+D´)) (7.a) + B’C.(D+D’.(A+A’) (7.a) +AC’D


7

f8=ABC’+ABCD+ABCD’+B’CD’+B’CDA+B’CDA’+AC’D

(7.a)

f8=ABC’+ACD+(B+B’) (6.a)+ABCD’+B’CD’+A’B’CD+AC’D

-------------------(2b)

f8=ABC’+ACD+ABCD’ (7.a) +B’CD’+A’B’CD+AC’D

f8=ABC’+AC(D+D’B) (9.a) +B’CD’+A’B’CD(4.a) +AC’D

f8=ABC’+AC(D+B) (7.a) +A’B’CD+B’CD’+AC’D

f8=ABC’+ACD+ACB+A’B’CD’+B’CD+B’CD’+AC’D

(7.a)

f8=ABC’+CD(A+A’B’C) (9.a) +ABC+B’CD’+AC’D

(7.a)

f8=AB(C’+C) (6.a) +CD(A+B’C) (7.a) +B’CD’+AC’D

------------(2.b)

f8=AB+ACD+B’CD+B’CD’(7.a) (6.a) (2.b) +AC’D

f8=AB+ACD+B’C+AC’D (7.a)

f8=AB+B’C+AD(C+C’) (6.a)

-----------(2.b)

f8=AB+B’C+AD

Solución problema Nº 2

Este problema nos permitirá ejercitarnos en el uso de las leyes de De Morgan

a) f1= A’(B’+C’)(A+B+C’)

f ‘1 = (A’(B’+C’)(A+B+C’))’ = (A’)’ + (B’+C’)’ +(A+B+C’)’

f ‘1 = A+BC+A’B’C (7.a)

f ‘1 = A+C(B+B’A’) (9.a) = A+C.(B+A’(7.a)) = A+BC+A’C


8

f ‘1 = A+A’C’(9.a) +BC = A+C+BC(8.a) = A+C

b) f2= A+(C’+B+B’D’)+(C+B’D).

f ‘2= (A+(C’+B+B’D’)+(C+B’D))’

f ‘2 = A’.(C’+B+B’D’)’ (9.a). (C+B’D)’

f ‘2= A’.(C’+B+D’)’ (11.a)..(C’.(B’D)’ (11.b)

f ‘2= A’.(CB’D).(C’(B+D’)) = C.C’(6.b). (A’B’D(B+D’))

f ‘2 = 0.( ) (3.a). = 0

c) f 3= (A+B’C’).(B+A’C’).(C+A’B’)

f ‘3 = ( (A+B’C’).(B+A’C’).(C+A’B’) )’

f ‘ 3= (A+B’C’)’+(B+A’C’)’+(C+A’B’)’

f ‘ 3= A’.(B’C’)’+B’.(A’C’)’+C’.(A’B’)’

f ‘ 3= A’.(B+C)+B’.(A+C)+C’.(A+B)

f ‘3= A’B+A’C+AB’+B’C+AC’+BC’

f ‘3= A’B(C+C’)+ A’C (B+B’)+AB’+B’C(A+A’)+AC’+BC’(A+A’)

f ‘3=A’BC + A’BC’ + A’BC +A’B’C + AB’+AB’C(8.a) + A’B’C(1.a) +AC’+ABC’(8.a) +

A’BC’(1.a)

f ’3=A’BC+A’BC’(7.a) +A’B’C+AB’(7.a) +AC’

f ‘3=A’B(C+C’) (6.a) +B’(A’C+A) (9.a) +AC’

f ‘3=A’B.1 (2.b) +B’(C+A) (7.a) +AC’

f ‘3=A’B +B’C+AB’+AC’

d) f4=A+(C’+B+B’D’).(C+B’D)

f ‘ 4= (A+(C’+B+B’D’).(C+B’D))’ .Por (11.a) resulta:

f ‘4=A’.((C’+B+B’D’) (9a) .(C+B’D))’


9

f ‘ 4= A’.((C’+B+D’).(C+B’D))’ (11.b)

f ‘4= A’.((C’+B+D’)’+(C+B’D)’)

f ‘4= A’.(CB’D+C’.(B’D)’) (7a)

f ‘4= A’B’CD+ A’C’(B’D)’ (11.b) = A’B’CD+A’C’(B+D’) (7.a)

f ‘4= A’B’CD+ A’BC’+A’C’D’


a) Para que sean A’+AB (9 a) = A’+B= 0 deben ser A’=0 o sea A=1 y además B=0

Por lo tanto, las condiciones que deben cumplir son:

A=1 B=0

b) Para que se verifique AB=AC debe ocurrir que sea A=0 ( ByC cualesquiera) o

bien que sea B=C ( A cualquiera)

c) ABD+BCD+A’CD= ABD+A’CD D(AB+BC+A’C) = D(AB+A’C)

AB+BC+A’C=AB+A’C

Por ley de CONSENSO (10a) la identidad es válida siempre


a) f1= A(B’+C’)+C

dada una expresión algebraica, aplicando la propiedad DISTRIBUTIVA (( 7 a) y (7 b))

primeramente se le lleva a suma de productos o a producto de sumas según cual sea la

forma canónica buscada.

En el caso de suma de productos, se multiplica cada producto por la suma de las

variables que faltan en él y sus inversas ((2b)(6a)), y se distribuye (7a) y se suprimen los

términos repetidos (1a) . Es decir :

f1= A(B’+C’)+C=AB’+AC’+C

f1 = AB’.(C+C’)+AC’.(B+B’)+C.(A+A’).(B+B’)

f1 = AB’C+AB’C’+ABC’+AB’C’+.(AC+A’C).(B+B’)


10

f1 =

AB’C+AB’C’+ABC’+AB’C’+ABC+AB’C+A’BC+A’B’C

f1 = AB’C+AB’C’+ABC’+ABC+A’BC+A’B’C

Expresión algebraica de la primer forma canónica tambien llamada SUMA DE

PRODUCTOS CANÓNICOS o EXPRESIÓN NORMAL DISJUNTA .

La expresión numérica de la primer forma canónica se obtiene reemplazando

directamente cada minterm. de la expresión algebraica por su equivalente decimal:

f1= 3 (5,4,6,7,3,1) = 3 (1,3,4,5,6,7)

En el caso de Producto de sumas, se le suma a cada una de las sumas el producto de

cada variable que falta en ella por su inversa ((2a) y (6b)), y se distribulle (7 b) y se

suprimen los términos repetidos (1 b). Es decir:

f1= A.(B’+C’)+C = (A+C).((B’+C’)+C) = A+C = (A+C)+BB’

7 b =1

f1 = (A+C+B).(A+B+C’) = (A+B+C).(A+B’+C)

Expresión algebraica de la segunda forma canónica también llamada PRODUCTO DE

SUMAS CANÓNICAS o Expresión normal Conjunta. La expresión numérica de la

segunda forma canónica se obtiene reemplazando directamente cada maxterm. de la

expresión algebraica por su equivalente decimal, teniendo presente en éste caso, para

determinarlo, a cada variable negada le corresponde un “1” y a la variable sin negar le

corresponde un “0”. Es decir:

f1= 3 (0,2)

Además, podría haberse obtenido la expresión NUMÉRICA

DE LA PRIMER FORMA CANÓNICA a partir de la

expresión NUMÉRICA DE LA SEGUNDA FORMA

CANÓNICA (y viceversa), reemplazando los símbolos de

y (o viceversa), y completando con los números

correspondientes a los eventos de entrada no considerados

en la expresión de origen para los cuales la función esté

ESPECIFICADA. Los eventos de la entrada para los cuales

la función no esté especificada (REDUNDANCIAS),

mantienen sus números. Veamos un ejemplo:

f= 3 (1,2,5,7)+ 3 (0,4)

f= 3 (3,6). 3 (0,4)

Nº ABC f

0 000 --

1 001 1

2 010 1

3 011 0

4 100 -

5 101 1

6 110 0

7 111 1


11

Si se necesita determinar la expresión numérica de una función partiendo de la

expresión NUMERICA de su COMPLEMENTO, bastarí intercambiar los símbolos de

y manteniendo los números. Es decir:

Si: f = 3 (1,2,5,7) + 3 (0,4) f’ = 3 (1,2,5,7) . 3 (0,4)

Si: f = 3 (3,6) . 3 (0,4) f’ = 3 (3,6) + 3 (0,4)

b) f2 = AB+AB’C+A’B’

F2 = ABC+ABC’+AB’C+A’B’(C+C’)

f2 = ABC+ABC’+AB’C+A’B’C+A’B’C’

f2 = 3 (7,6,5,1,0) f2 = 3 (0,1,5,6,7)

f2 = 3 (2,3,4) f2 = (A+B’C).(A+B’+C’).(A’´B´C)

c) f3 = ABCD’+ABC’+A’BD

f3 = ABCD’+ABC’.(D+D’)+A’BD.(C+C’)

f3 = ABCD’+ABC’D+ABC’D’+A’BCD+A’BC’D

f3 = 4 (14,13,12,7,5) f3 = 4 (5,7,12,13,14)

f3 = 3 (0,1,2,3,4,6,8,9,10,11,15)


12

f3=(A+B+C+D).(A+B+C+D’).(A+B+C’+D).(A+B+C’+D’).(A

+B’+C+D). (A+B’+C’+D).(A’+B+C+D).(A’+B+C+D’).(A’+B+C’+D).(A’+B+C’+D’).

(A’+B’+C’+D’)

d) f4 = AB+(A+C)B’+A’B’C

f4 = AB+AB’+B’C+A’B’C 8.a = AB+AB’+B’C

f4 = (AB+AB’).(C+C’)+B’C.(A+A’)

F4 = ABC+ABC’+AB’C+AB’C’+AB’C+A’B’C

f4 = ABC+ABC’+AB’C+AB’C’+A’B’C

f4 = 3 (7,6,5,4,1) f4 = 3 (0,2,3)

f4 = (A+B+C).(A+B’+C).(A+B’+C’)

Ésta última expresión podría haber sido obtenida expandiendo la expresión algebraica

original, de esta manera:

f4 = AB+AB’ 7.a y 6.a +B’C = A+B’C 7.b

= (A+B’).(A+C)

f4 = ((A+B’)+CC’).((A+C)+BB’) distribuyendo:

f4 = (A+B’+C).(A+B’+C’).(A+B+C).(A+B’+C)

f4 = (A+B’+C).(A+B’+C’).(A+B+C)

e) f5 = 3 (0,1,3,4,5,7) f5 = 3 (2,6)

f5 = A’B’C’+A’B’C+A’BC+AB’C’+AB’C+ABC

f5 = (A+B’+C).(A’+B’+C)


13

f) f6 = 4 (0,1,2,3,12,15)

f6 = A’B’C’D’+A’B’C’D+A’B’CD’+A’B’CD+ABC’D’+ABCD

f6 = 4 (4,5,6,7,8,9,10,11,13,14)

f6=(A+B’+C+D).(A+B’+C+D’).(A+B’+C’+D).(A+B’+C’+D’).(A’+B+C+D).(A’+B+C

+D’).(A’+B+C’+D).(A’+B+C’+D’).(A’+B’+C+D’).(A’+B’+C’+D)

g) f7 = (A+B)’+A’BC+(A.(B+C))’

f7 = A’B’+A’BC+(A’+(B+C)’)

f7 = A’.(B’+BC+1)+B’C’ = A’+B’C’

f7 = A’.(B+B’).(C+C’)+B’C’.(A+A’)

f7 = (A’B+A’B’).(C+C’)+AB’C’+A’B’C’

f7 = A’BC+A’BC’+A’B’C+A’B’C’+AB’C’+A’B’C

f7 = A’BC+A’BC’+A’B’C+A’B’C’+AB’C’

f7 = 3 (3,2,1,0,4) = 3 (0,1,2,3,4) F7 = 3 (5,6,7)

f7 = (A’+B+C’).(A’+B’+C).(A’+B’+C’)

Solución problema Nº 5:

f1 = ABC+AB’+AC’+A’BC

f2 = A+BC

Dos funciones lógicas son equivalentes si tienen la misma TABLA DE VERDAD.

Dado que la forma canónica extraida de una determinada tabla de verdad es única, si dos

funciones tienen la misma expresión CANÓNICA, es que son EQUIVALENTES. Por lo

tanto, sacaremos las respectivas formas canónicas de f1 y f2 para ver si son iguales.


14

f1 = ABC+AB’(C+C’)+AC’.(B+B’)+A’BC

f1 = ABC+AB’C+AB’C’+ABC’+AB’C’+A’BC

f1 = ABC+AB’C+AB’C’+ABC’+A’BC

f1 = 3 (7,5,4,6,3) f1 = 3 (3,,4,5,6,7)

f2 = A.(B+B’).(C+C’)+BC.(A+A’) = (AB+AB’).(C+C’)+ABC+A’BC

f2 = ABC+ABC’+AB’C+AB’C’+ABC+A’BC

f2 = ABC+ABC’+AB’C+AB’C’+A’BC

f2 = 3 (7,6,5,4,3) f2 = 3 (3,4,5,6,7)

Por lo tanto, f1 y f2 son EQUIVALENTES.

Éste ejemplo permite observar que aunque una forma canónica requiera más símbolos,

es más fácil de identificar visualmente por la regularidad de su estructura.

boole

Documents