Maquinas de fluidos incompresiblesRepaso de matemticas:

Sea los vectores y , el producto punto de estos dos vectores es:

En forma matricial el producto punto lo representamos como el producto de un vector rengln por un vector columna como se muestra a continuacin:

Ahora realicemos el producto de un vector columna por un vector rengln y observemos lo que obtenemos:

Como se puede observar este producto no produce una matriz 1 x 1, sino una matriz 3 x 3. Este tipo de producto se conoce como diada o producto didico.

Recordemos ahora el vector gradiente en coordenadas rectangulares:

Ahora realicemos el producto punto entre el vector gradiente y el vector

se obtiene una escalar

Ahora realicemos el producto punto entre el vector gradiente y la diada

Como podemos observar cuando realizamos el producto punto entre un vector y un producto didico obtenemos un vector.

Recordemos ahora el teorema de la divergencia de Gauss S

Sea S una superficie cerrada que limita una regin de volumen V, entonces

Donde es un vector y es un vector unitario perpendicular a la superficie. De igual manera tenemos:

Donde es una diada y es un tensor de nueve componentes como la diada y es un vector unitario perpendicular a la superficie.

Ecuacin de continuidadConsideremos un fluido que est en movimiento, y tomemos un elemento de volumen como se muestra en la figura:

Z y

x Apliquemos un balance de materia a este elemento:

Rapidez de materia que entra rapidez de materia que sale = acumulacin

Dividiendo entre , obtenemos:

Aplicando el lmite cuando , obtenemos:

En forma vectorial podemos escribir:

Ecuacin de continuidad en forma diferencial

Cuando se integra sobre todo el volumen tenemos:

Aplicando el teorema de la divergencia de Gauss tenemos:

Ecuacin de continuidad integradaAplicacin de la ecuacin de continuidad integrada

Consideremos un fluido que fluye por una tubera de dimetro interior D y densidad constante , como se muestra en la figura

n3 n1 2v2 Volumen de control

1v1 n2Al aplicar la ecuacin de continuidad al volumen de control tenemos:

La tercera integral vale cero ya que v3 = 0, adems si no existe acumulacin de materia dentro del elemento tenemos que la integral de volumen del lado derecho del signo igual es cero

Si el flujo es turbulento, esto quiere decir que la velocidad y la densidad no son funciones del rea, tenemos integrando sobre toda el rea

Ecuacin de cantidad de movimientoRecordemos la segunda ley Newton

Donde es la cantidad de movimiento

Ahora consideremos un elemento de volumen en fluido que est fluyendo, como se muestra en la figura. Z

y

x

Cuando el fluido entra en el elemento transmite cantidad de movimiento debido al movimiento del fluido, existen esfuerzos normales y tangenciales sobre las superficies del elemento, y por ltimo existen fuerzas de presin y de gravedad sobre el elemento. Tomando en cuenta lo anterior realicemos un balance de cantidad de movimiento en el elemento de volumenCantidad de movimiento que entra al elemento cantidad de movimiento que sale del elemento + suma de fuerzas = acumulacin de cantidad de movimiento

Componente x

Dividiendo entre , t aplicando el lmite cuando , obtenemos

Componente y

Componente z

En forma vectorial tenemos:

Esta ecuacin la podemos escribir de la siguiente manera

Donde

Integrando sobre todo el volumen, tenemos:

Esta ecuacin es la ecuacin macroscpica de cantidad de movimiento o teorema de la cantidad de movimiento

Ecuacin fundamental de las turbomquinas o ecuacin de Euler: primera formaDos planos de representacin de una turbo mquina:

Plano o corte meridional

b2 Rodete o impulsor s b1 s

Donde: b1 es la arista de entrada a los labes, b2 es la arista de salida de los labes, s y s son las superficies anterior y posterior del rodete

Plano corte transversal

Tringulos de velocidades

Tringulo de velocidades a la entrada

C1 C1m W1 (1 (1

U1Sumando los vectores velocidad tenemos:

Donde:

Es la velocidad absoluta de una partcula de fluido a la entrada de un labe

Es la velocidad tangencial de una partcula de fluido a la entrada del un labe y viene dada por la siguiente frmula:

Donde son las revoluciones/minuto

Es la velocidad relativa a la entrada Tringulo de velocidades a la salida

C2 C2m W2 (2 (2

U2Sumando los vectores velocidad tenemos:

Donde:

Es la velocidad absoluta de una partcula de fluido a la entrada de un labe

Es la velocidad tangencial de una partcula de fluido a la entrada del un labe y viene dada por la siguiente frmula:

Donde son las revoluciones/minuto

Es la velocidad relativa a la entrada

Consideremos ahora un volumen de control entre dos labes contiguos, como de muestra en la figura

Aplicamos la ecuacin de continuidad al volumen de control

Como no hay acumulacin de materia tenemos:

Aplicndola a la superficie de control tenemos

En forma diferencial tenemos

Apliquemos la ecuacin de cantidad de movimiento en forma macroscpica a este volumen de control

Como no existe acumulacin de cantidad de movimiento dentro del volumen de control tenemos:

Ahora multipliquemos cada uno de estos vectores vectorialmente con un vector de posicin y obtengamos el momento

Integrando tenemos:

Teorema del momento cinticoRecordemos ahora que para fluidos incompresibles

Donde:

Adems la potencia es la rapidez con que se realiza trabajo por lo tanto para un movimiento circular uniforme tenemos:

rr

EMBED Equation.DSMT4

Esta expresin es la primera forma de la ecuacin de Euler (expresin de altura)

De estas dos ltimas ecuaciones tenemos que

Sustituyendo el valor de H obtenemos

Esta ecuacin es la primera forma de la ecuacin de Euler (expresin de energa)

Segunda forma de ecuacin de Euler Tringulo de velocidades a la entrada de la bomba

Aplicando la ley de los cosenos tenemos:

Analizando de la misma manera el tringulo de velocidades a la salida del rodete tenemos:

Sustituyendo esta dos ltimas expresiones en la primera forma de la ecuacin de Euler obtenemos:

Esta expresin es la segunda forma de la ecuacin de Euler (expresin en alturas)

De igual manera tenemos:

Esta expresin es la segunda forma de la ecuacin de Euler (expresin energtica)Altura til o efectiva de la bombaLa altura til o efectiva H que da la bomba es la altura que imparte el rodete o la altura terica Hu, menos las prdidas en el interior de la bomba, Hr-int:

Primera expresin de la altura til y de la energa til S

E

Apliquemos la ecuacin de Bernoulli entre las secciones E y S de la bomba centrifuga (ver fig)

Primera expresin de la altura til Recordemos que , podemos escribir la ecuacin anterior como

Primera expresin de la energa tilSegunda expresin de la altura til y de la energa til

2

1

Aplicando la ecuacin de energa mecnica a este sistema tenemos:

En este caso en particular , por lo tanto la ecuacin se reduce a

Donde

Aplicaciones:19-1. Una bomba de agua que proporciona un caudal de 1200 m3/h tiene una tubera de aspiracin de 400 mm y una tubera de impulsin de 375 mm. El vacumetro conectado en la tubera de aspiracin situado 80 mm por debajo del eje de la mquina marca una depresin de de 2 m de columna de agua y el manmetro situado 500 mm por encima del eje de la bomba marca una sobrepresin de 12 m de columna de agua. Calcular la altura til de la bomba S

Z = 0 EDatos del problema:

Aplicando la ecuacin de continuidad tenemos

Aplicando la primera expresin de la altura til tenemos

De la ecuacin de continuidad tenemos

Sustituyendo en la expresin de altura til tenemos

Adems

Sustituyendo en la ecuacin de la altura til tenemos

Sustituyendo los datos del problema tenemos

19-2. Una bomba centrifuga, en que no se consideran las prdidas ni se tiene en cuenta el estrechamiento del flujo producido por el espesor de los labes, se tienen las siguientes dimensiones: D1 = 0.075 m; D2 = 0.300 m; b1 = b2 =0.050 m; (1 = 45; (2 = 60. La entrada en los labes es radial (caso ordinario en las bombas centrifugas). La bomba gira a 500 rpm. El fluido bombeado es agua.

Calcular:

a) El caudalb) La altura que da la bombac) El par transmitido por el rodete al fluidod) La potencia de accionamiento (potencia al freno)Aplicando la ecuacin de continuidad en forma integrada tenemos:

Como el fluido entra en forma radial esto quiere decir que el vector y forma un ngulo de 180, mientras que a la salida el vector y el vector forman un ngulo . Sustituyendo tenemos:

Integrando tenemos

Como la densidad es constante y adems , tenemos:

Si , tenemos

No hay prdidas en la bombaTringulo de velocidades a la entrada

45

Como la alimentacin es radial tenemos que , por lo tanto la altura de Euler es:

Tringulo de velocidades a la salida

De la ecuacin de continuidad tenemos:

Del tringulo de velocidades tenemos

Sustituyendo los datos tenemos:

Sustituyendo en la expresin de la altura tenemos:

Sustituyendo los datos tenemos:

r1

r2

EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4

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