ISSN 1988-5318

EDITORES

Juan Cuadra Díazjcdiaz@ual.es

Juan José Moreno Balcázarbalcazar@ual.es

Fernando Reche Loritefreche@ual.es

Resumen

Actividad Matemática p. 2

Enseñanza Secundaria p. 6

Divulgación Matemática p. 10

Territorio Estudiante p. 18

Editorial

En estos tiempos convulsos, de crisis financieras y, en la vida universitaria,de reformas de los planes de estudio de las titulaciones para su adaptación alEspacio Europeo de Educación Superior (EEES), las Matemáticas se afianzancomo un valor seguro. En el curso académico 2009–2010 todas las titulacionesdeberán estar adaptadas al nuevo marco y la actual Licenciatura en Mate-máticas se convertirá en Grado en Matemáticas. ¿Cómo será ese grado? Suscontenidos exactos aún no están del todo perfilados, pero lo que sí sabemos esque Será .

A pesar de algunas actitudes mercantilistas presentes en la aplicación delEEES, de las dificultades de una carrera con pocos alumnos (pero con exce-lentes perspectivas de trabajo) y de algunas visiones anticuadas o retrógradasde la Matemática, al final Será . Y Será porque la Matemática es la base detodo saber y está presente, la mayoría de las veces de forma invisible, en todolo que facilita nuestra vida cotidiana.

Citando al explorador noruego Fridtjof Nansen «Todo hombre desea sa-ber, y cuando deja de hacerlo, deja de ser un hombre», luego para seguirsiendo mujeres y hombres con conocimiento y capacidad de crítica debemos se-guir teniendo en nuestra universidad titulaciones que nos aporten esos valores.Por eso, el Grado en Matemáticas Será .

PROBLEMAS DE INTERÉS

Concurso de resolución de problemas

97

124

853

6

39

7

61

5

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8

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9

Este Boletín tiene el placer deconvocar un concurso de resoluciónde problemas matemáticos para losalumnos de ESO y Bachillerato de losinstitutos de la provincia de Almería,cuyo ganador será premiado con unregalo relacionado con las matemáti-cas valorado en unos 50e. El proble-ma propuesto en este número lo pue-des encontrar en la página 14 y las ba-ses de concurso en la página web delBoletín. ¡Anímate y participa!

En este interesante artículo Antonio Fernández Álvarez nos explica breve-mente el algoritmo PageRank que utiliza Google para ordenar los resultadosde las búsquedas en Internet así como la fórmula matemática para calcularel PageRank de una página web. También nos cuenta la curiosa e ingeniosacampaña de captación de personal que lanzó la empresa Google hace unosaños, cuya primera fase consistía en la resolución de varios problemas mate-máticos. ¡Un ejemplo más del uso de las matemáticas en la vida actual!

(Artículo completo en la página 17)

Matemáticas y Google

BOLETÍN DE LA TITULACIÓN DE MATEMÁTICAS DE LA UAL

Bo√TitMatUal

Volumen II. Número 1 17 de octubre de 2008 ‖

Bo√TitMatUal Actividad Matemática Volumen II. Número 1 2 / 22

MATEMÁTICAS EN LA UAL

La investigación matemática en la UALJuan Cuadra DíazJuan José Moreno BalcázarUniversidad de Almería

Este es el primero de una serie de artículos en los quedaremos a conocer la investigación que realizan los sietegrupos de investigación en matemáticas de nuestra univer-sidad. En este primer artículo presentaremos dichos gru-pos y en los números siguientes de este Boletín conocere-mos más detalles de la labor que llevan a cabo.

Con la intención de dar una ligera idea del marco ge-neral sobre investigación científica en el que se sitúa nues-tra universidad y estos grupos, comenzaremos señalandoel papel que las universidades juegan en la investigacióncientífica española, y en particular en la investigación ma-temática, y dando algunos datos sobre la espectacular evo-lución de la investigación matemática española en los úl-timos veinte años.

En nuestro país, a diferencia de otros, una gran par-te de la investigación científica se efectúa en las univer-sidades. La misión investigadora de la universidad quedaestablecida en la Ley Orgánica de Universidades (LOU),actualmente en vigor, que dice lo siguiente sobre las fun-ciones de la Universidad en el artículo 1 del título preli-minar:

1. La Universidad realiza el servicio público de laeducación superior mediante la investigación, la do-cencia y el estudio.

Sobre la función investigadora de la Universidad pro-fundiza la citada ley en su título VII, De la investigaciónen la Universidad, que comienza así:

Artículo 39. La investigación, función de la Uni-versidad.

1. La investigación, fundamento de la docencia, me-dio para el progreso de la comunidad y soporte dela transferencia social del conocimiento, consti-tuye una función esencial de la universidad.

2. Se reconoce y garantiza la libertad de investiga-ción en el ámbito universitario.

3. La Universidad asume, como uno de sus objeti-vos esenciales, el desarrollo de la investigacióncientífica, técnica y artística, así como la forma-ción de investigadores, y atenderá tanto a la in-vestigación básica como a la aplicada.

El Consejo Superior de Investigaciones Científicas(CSIC) es el único organismo público en España que ofre-ce plazas permanentes de investigador, que permiten unadedicación exclusiva a la investigación científica. Actual-mente acoge a unos 2500 investigadores, de los que sólounos cuantos son matemáticos. Hasta hace poco, entresus muchos institutos no figuraba ninguno de investiga-ción matemática. Recientemente se ha creado el InstitutoEspañol de Matemáticas, con sedes en Madrid, Barcelona,Granada y Santiago de Compostela. Por tanto, en el pro-fesorado universitario recae parte de la responsabilidad dela creación de la ciencia española, como establece la LOU,parte que es casi la totalidad en el caso de la investigaciónmatemática.

Artículo 40. La investigación, derecho y deber delprofesorado universitario.

1. La investigación es un derecho y un deber delpersonal docente e investigador de las Universi-dades, de acuerdo con los fines generales de laUniversidad, y dentro de los límites establecidospor el ordenamiento jurídico.

2. La investigación, sin perjuicio de la libre crea-ción y organización por las Universidades de lasestructuras que, para su desarrollo, las mismasdeterminen y de la libre investigación individualse llevará a cabo, principalmente, en grupos deinvestigación, Departamentos e Institutos Uni-versitarios de Investigación.

Una vez conocido el marco legal en el que nos encon-tramos, hay que resaltar que la investigación matemáticaen España se ha desarrollado asombrosamente en los últi-mos veinte años, llegando a situarse hoy día a un altísimonivel. Según el Institute for Scientific Information (ISI), elporcentaje de artículos de investigación escritos por ma-temáticos españoles pasó del 0,3 en 1980 a cerca del 5actualmente. Hoy es común encontrar matemáticos espa-ñoles en congresos internacionales o hallar un artículo deun autor español al abrir una de las muchas revistas in-ternacionales de matemáticas. Quince científicos españolesfiguran entre los científicos más citados del mundo, cuatrode ellos son matemáticos.

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Respecto a la investigación matemática en la UAL des-tacar que existen 7 grupos de investigación en matemáti-cas, que detallamos a continuación, cuyo trabajo es reco-nocido a nivel nacional e internacional y que cuentan conproyectos de excelencia de la Junta de Andalucía, proyec-tos del Ministerio de Educación y Ciencia y de diversasentidades internacionales. Dichos grupos son, por ordenalfabético:

P Análisis de datos. Líneas de investigación: Análi-sis difuso de datos, análisis y diseño óptimo de expe-rimentos, distribuciones sesgadas, sistemas expertosprobabilísticos y teoría y técnica de muestreo.

P Análisis matemático. Líneas de investigación: Ál-gebras de Banach y álgebras no asociativas, análisisfuncional no lineal, ecuaciones diferenciales, geome-tría de espacios de Banach e integración finitamenteaditiva.

P Categorías, computación y teoría de anillos.Líneas de investigación: Teoría de anillos, anillos gra-duados, coálgebras, álgebras de Hopf, criptografía,teoría de códigos y aplicaciones de las categorías ala computación.

P Grafos, topología general y sus aplicacio-nes. Líneas de investigación: Teoría de grafos, geo-metría computacional, fractales generalizados, casi-uniformidades, teoría de carteras, modelos financie-ros, teoría de la medición en filosofía de la ciencia, ehistoria de la ciencia y la tecnología.

P Modelos aleatorios y diseño de experimentos.Líneas de investigación: Cuasi-probabilidad, proba-bilidad sobre anillos y sigma-anillos, estimación deparámetros en medidas de desigualdad, generaciónde distribuciones discretas, muestreo sucesivo y pro-babilidad en espacios de Banach.

P Teoría de aproximación y polinomios ortogo-nales. Líneas de investigación: Teoría de aproxima-ción, polinomios ortogonales, funciones especiales,análisis numérico y análisis complejo.

P Teoría de cópulas y aplicaciones. Líneas de in-vestigación: Asociación estadística, espacios norma-dos probabilísticos, estadística no paramétrica, mo-delos matemáticos y análisis de datos para la horto-fruticultura y teoría de cópulas.

La incorporación de licenciados a estos grupos de in-vestigación para realizar su tesis doctoral se efectúa me-diante becas de investigación financiadas por el Ministeriode Ciencia e Innovación, la Junta de Andalucía (Conse-jería de Innovación, Ciencia y Empresa) o la Universidadde Almería (Vicerrectorado de Investigación, Desarrollo eInnovación). También existen ayudas y becas de investiga-ción para realizar el doctorado en otros países, como porejemplo, las becas Fulbright, para efectuar los estudios detercer ciclo en EEUU, becas posdoctorales, etc...

En el siguiente artículo conoceremos los entresijos deuno de estos grupos y entraremos en el apasionante mundode la investigación matemática.

Actividades matemáticas

Premio Nobel de Física

John Mather

Mención especial merece la visitadel Premio Nobel de Física de 2006

Dr. John Mather, que el 20 de ju-nio de 2008 impartió una amena ydivulgativa conferencia titulada «LaFísica del Universo, del principioal final (de COBE a JWST y másallá)», atendiendo posteriormente alas numerosas e interesantes cuestio-nes que le fueron planteadas.

XV Concurso de problemasde ingenio, patrimonio his-tórico y Matemáticas

El sábado 31 de mayo de 2008 lasociedad Thales celebró el «XV Con-curso de Problemas de Ingenio, Pa-

trimonio Histórico y Matemáticas»en la Universidad de Almería. Casi200 estudiantes de 4o de ESO de 27Centros Educativos de la provincia deAlmería, acompañados de 40 profeso-res y profesoras de Secundaria y Uni-versidad pasaron una jornada mate-mática inolvidable.

Las jornadas estuvieron presididaspor el Rector de la UAL, D. PedroMolina y el Delegado de Educación,D. Francisco Maldonado. Las prue-bas por equipos e individuales se cele-braron por la mañana y después delalmuerzo en los comedores universi-

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tarios de la UAL, se disfrutó de laamena conferencia «Disfruta la Cien-cia» impartida por D. Cayetano Gu-tiérrez, profesor del IES «Politécnicode Cartagena».

Conferencia en el auditorio

Paralelamente, 80 estudiantes dela provincia de Almería participaronen las pruebas del programa de Es-tímulo del Talento Matemático (ES-TALMAT). Puedes encontrar másdetalles de estas actividades con losejercicios, ganadores, fotos, vídeo,etcétera, en la dirección web de lasociedad: thales.cica.es/almeria

Primer encuentro de gruposdocentes de Matemáticas dela UAL

Desde hace unos años el colecti-vo de docentes de los departamentos

de las distintas áreas de Matemáticasparticipan en grupos docentes con elobjeto de mejorar la calidad de la en-señanza en un proceso de formacióncontinua y perfeccionamiento.

El 26 de junio de 2008 tuvo lu-gar, en la sala de Juntas de la Fa-cultad de Ciencias Experimentales, elPrimer Encuentro de Grupos Docen-tes de Matemáticas de la UAL pararealizar un intercambio de experien-cias y una puesta en común de las con-clusiones, logros y acciones llevadas acabo en el seno de estos grupos de tra-bajo.

Los grupos participantes fueron:«Desarrollo, estudio y seguimientode las guías docentes de asignatu-ras de Álgebra en la Universidadde Almería», «Desarrollo de cues-tionarios telemáticos para Cálcu-lo Superior», «Seminario integradointerdisciplinar para la profundiza-ción en el desarrollo, implementa-ción y evaluación de aplicacionesdidácticas interactivas en docenciavirtual», «Estrategias prácticas pa-ra el desarrollo de competencias ge-nerales en asignaturas de matemá-

ticas», «Curso Virtual de Matemá-ticas y Estadística básicas», «Inno-vación docente y nuevas tecnologíasen la Titulación de Matemáticas» y«COMPING (Competencias en In-geniería)».

Se presentaron 8 comunicaciones yse concluyó con una mesa redonda enla que se debatieron temas como elaprendizaje de contenidos matemáti-cos mediante competencias, el uso delas TIC en las nuevas metodologías delEspacio Europeo de Educación Supe-rior o la enseñanza virtual en asigna-turas de contenido matemático.

La valoración final del profesora-do asistente fue muy positiva ya quepermitió, además, conocer los esfuer-zos que se están realizando en el ám-bito didáctico en los grupos docentesde matemáticas de la UAL y aunar es-fuerzos para realizar actuaciones coor-dinadas que mejoren la docencia de lasasignaturas con contenido matemáti-co.

Se emplazó a repetir la experien-cia al menos una vez en cada cursoacadémico.

Noticias matemáticas

Dos nuevos números primos de Mersennedescubiertos

El proyecto de búsqueda de números primos deMersenne GIMPS (The Great Internet Mersenne PrimeSearch) anunció este verano el descubrimiento de dos nue-vos números primos de Mersenne, que son números primosde la forma 2n− 1. El primero de ellos, 243112609− 1, queposee 12978189 dígitos, fue descubierto el 23 de agostoen el Departamento de Matemáticas de la Universidad deCalifornia en Los Ángeles. El segundo, 23715667 − 1, con11185272 dígitos, fue hallado por un ingeniero en electró-nica alemán, Hans-Michael Elvenich, el 6 de septiembre.Con estos dos, son ya cuarenta y seis los números de estetipo encontrados.

Este gigantesco proyecto, que cuenta con la colabora-ción a través de Internet de miles de voluntarios de todo elmundo que ponen sus ordenadores a la búsqueda de talesnúmeros, ha recibido el premio de 100000$ de la Electro-nic Frontier Foundation por encontrar el primer númeroprimo de más de 10 millones de dígitos. Esta fundación yaha anunciado un nuevo premio de 150000$ por hallar elprimer número primo de más de 100 millones de dígitos.Así que si tienes un ordenador que no utilizas, conéctate a

la página web de GIMPS www.mersenne.org , descárgateel software de búsqueda y ponlo a funcionar. Tienes unaposibilidad entre dos millones de encontrar uno de estosnúmeros e inscribir sin mucho esfuerzo tu nombre en lahistoria de la matemática.

Abierto el Concurso de Narraciones Esco-lares y Relatos Cortos RSME–Anaya 2008

La Real Sociedad Matemática Española , en colabo-ración con el grupo Anaya y las editoriales Nívola yProyecto Sur , convoca la cuarta edición del ConcursoLiterario de Narraciones Escolares y Relatos CortosRSME–Anaya .

Se pueden consultar las bases de estos concursos en losenlaces:divulgamat.ehu.es/weborriak/ConcursosIV/concursoescolar4.aspdivulgamat.ehu.es/weborriak/ConcursosIV/concursorelatos4.asp

El Concurso de Narraciones Escolares va dirigido aalumnos de entre 12 y 18 años que participarán con unrelato de ficción corto, de menos de cinco páginas, sobreun tema matemático. Hay dos Primeros Premios de 500e,dos Segundos Premios de 150e y cinco Accésit de lotes de10 libros.

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En el Concurso de Relatos Cortos podrá participarcualquier persona presentando un relato corto sobre untema relacionado con las matemáticas. Hay un PrimerPremio de 1000e y dos Accésit de lotes de 15 libros. Lafecha límite para la entrega de los trabajos es el 31 dediciembre de 2008. ¡Anímate y participa!

Olimpiada Internacional de MatemáticasLa 49a Olimpiada Internacional de Matemáticas se ce-

lebró, por primera vez en España, del 10 al 22 de julioen Madrid. Participaron 549 concursantes de 99 países di-ferentes, que junto con los jefes de delegación, tutores,observadores y miembros de la organización sumaron másde 1100 personas en esta cita matemática anual.

La República Popular de China logró la primera posi-

ción por equipos. El equipo español quedo en un meritoriocuadragésimo tercer lugar. En esta edición estuvo forma-do por: David Alfaya Sánchez (Madrid), Moisés HerradónCueto (Madrid) y Juan José Madrigal Martínez (Léri-da), que se hicieron con una mención honorífica; GabrielFürstenheim Milerud (Madrid), Diego Bruno IzquierdoArseguet (Madrid) y Arnau Messegué Busian (Lérida),que consiguieron una medalla de bronce. En la clasifica-ción individual la primera posición fue compartida porXiaosheng Mu (China), Dongyi Wei (China) y Alex LiZhai (EEUU). Nuestros ganadores de la medalla de bron-ce ocuparon la 238a posición. ¡Enhorabuena a todos losmiembros del equipo español! Más información en las di-recciones www.imo-official.com y www.imo-2008.es

Nos visitaron...

En el transcurso de estos meses nos han visitado nu-merosos investigadores de diferentes universidades con lasque los grupos de investigación de la UAL colaboran acti-vamente en el desarrollo de su actividades.

Tuvimos el honor de tener entre nosotros a: Alejan-dro Zarzo Altarejos, de la Universidad Politécnica de Ma-drid; Lidia Fernández Rodríguez, Antonio Cañada Villary María Burgos Navarro, de la Universidad de Granada;Roberto S. Costas Santos, de la University of California(EEUU); Victor Sousa, de la Universidade de Aveiro (Por-tugal); Eliana X.L. de Andrade, Cleonice Bracciali y A.Sri Ranga, de la Universidade Estadual Paulista (Brasil);Fabrizio Durante, de la Johannes Kepler University, Linz(Austria); István Heckenberger, del Instituto de Matemá-

ticas de la Universidad de Leipzig (Alemania); RuymanCruz Barroso, de la Universidad de La Laguna; AntonioTineo, de la Universidad de los Andes, Mérida (Venezue-la); Eva Touris y Jorge Arvesú, de la Universidad CarlosIII de Madrid; Dolores Ortiz y David Piñero, del InstitutoOftalmológico de Alicante; Daniel Bulacu, de la Universi-dad de Bucarest (Rumanía); Sana Hizem, de la Universi-dad de Monastir (Túnez); Salma Elaoud, de la Universidadde Sfax (Túnez); Salvador Romaguera Bonilla y Jesús Ro-dríguez López, de la Universidad Politécnica de Valencia;Manuel Alfaro, Ana Peña y María Luisa Rezola, de la Uni-versidad de Zaragoza y Frank Neumann, de la Universidadde Leicester (Reino Unido).

Preguntas frecuentesJosé Carmona Tapia y José Escoriza López

Universidad de Almería

¿Cómo te afecta que en el curso 2009–2010ó 2010–2011 comience a impartirse el Títu-lo de Grado en Matemáticas?

En principio no tienes que verte afectado por esta si-tuación. Comenzarás tu licenciatura con un plan de estu-dios y tendrás la oportunidad de finalizar tus estudios condicho plan.

Esto es debido a que el nuevo sistema se irá implan-tando curso a curso. Pero incluso instaurado ya un cursodel nuevo título de grado, siempre hay posibilidad (casode tener asignaturas pendientes) de acudir a examen co-rrespondiente al sistema antiguo.

¿Qué tipo de información se recibirá sobrecada asignatura en los nuevos planes de es-tudios de Matemáticas?

La información sobre cada asignatura aparece recogi-da en su guía docente. En ella se informa del nombre y

del tipo de asignatura, curso en que se imparte, caráctercuatrimestral o anual de la misma, número de créditosasignados, nombre del profesor, objetivos y competen-cias que se persiguen, prerrequisitos aconsejables paracursarla, contenidos (este apartado se corresponde con elprograma de la asignatura), bibliografía básica y biblio-grafía complementaria, métodos docentes usados, tipos deexámenes y evaluaciones, una planificación temporal queincluye el número de horas que el alumno debe dedicar acada una de las actividades previstas. Puede aparecer unbreve resumen en inglés de la guía que facilite su com-prensión a otros estudiantes europeos.

En los nuevos planes de estudio, los estu-diantes han de realizar un trabajo o pro-yecto fin de carrera, ¿reciben alguna ayudapara dicha tarea?

En este trabajo el alumno debe demostrar que ha ad-

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quirido los conocimientos y destrezas propias de la titu-lación. Lo usual es presentarlo oralmente, ayudado porlas nuevas tecnologías: ordenadores, cañones, proyectores,etc...

Es un trabajo personal y autónomo pero a cada es-tudiante se le asigna un tutor que supervisa, orienta ypuede organizar actividades sobre técnicas específicas queayuden a la realización del trabajo.

¿Ha habido algún matemático español fa-moso?

La lista de matemáticos españoles que han destacadoen la historia no es breve y uno puede encontrar los deta-lles a través de buscadores en la red. No obstante podemosdestacar algunos.

Ramón Llull (1235–1316) que publicó trabajos sobreLógica y sobre Combinatoria. Al Qalasadi (1412–1482) es-cribió varios libros sobre Aritmética y Álgebra. Julio ReyPastor (1888–1962) fundó el Instituto de Matemáticas enBuenos Aires y es reconocido mundialmente por su laborde investigación y difusión de las Matemáticas.

Finalmente, recordemos a los lectores de este boletín,

que tal y como se recogía en el número anterior el premioNobel de Literatura José Echegaray tenía como profesiónla de profesor de Matemáticas y fue el matemático españolmás importante del siglo XIX.

Hoy en día se puede decir que los artículos de inves-tigación firmados por matemáticos españoles han pasadodel 0,3% al 5% en los últimos 20 años, según los datosdel ISI (Instituto de Información Científica). Otro datoesperanzador que aporta esta institución es que de entrelos 250 investigadores más citados en 21 áreas científicas,15 investigan o han investigado en España y entre éstos,el área más representada es Matemáticas con 4.

¿En qué parte de España se investiga másen Matemáticas?

Según los estudios de empresas especializadas, la inves-tigación matemática en España se concentra en las univer-sidades y si tenemos en cuenta sólo el número de trabajospublicados, los principales centros de investigación estánen Madrid (24%), Barcelona (21%) y Andalucía (19%).

UNA EXPERIENCIA DOCENTE

Concurso de fotografía matemáticaEva Acosta GavilánIES Santo Domingo (El Ejido)

Como viene siendo tradición en el IES «Santo Do-mingo» de El Ejido, Almería, el Departamento de Mate-máticas ha realizado un concurso de fotografía matemá-tica, en el que han podido participar todos los alumnosmatriculados en el centro.

El principal objetivo ha sido fomentar entre ellos lacuriosidad e interés por las Matemáticas, por lo que laconvocatoria dejaba claro que las fotografías presentadasa concurso debían tener un contenido matemático específi-co, aunque también sería valorada la originalidad y calidadde la imagen.

Gracias a esta iniciativa, los chicos han podido com-probar la frecuencia con la que aparecen las matemáticasen nuestro entorno, además de mejorar sus conocimientossobre esta materia, ya que no sólo han tenido que buscarun título para las imágenes que presentaban sino tambiénuna explicación de los contenidos matemáticos que en ellaaparecían.

La gran presencia de las Matemáticas tanto en el Arte,la Técnica o la Naturaleza ha permitido que los alumnospudieran encontrar magníficas fotografías.

De entre todas las imágenes que se entregaron debemosdestacar varias series de mariposas que esconden simetrías,estrellas de mar de cinco puntas, edificios con formas geo-métricas, girasoles en los que se prueba la aparición de lasucesión de Fibonacci,...

Le ha resultado muy difícil al Departamento de Mate-máticas decidir cuáles de las imágenes presentadas mere-cían ser las ganadoras, pero después de un arduo trabajo,nos decidimos por tres de ellas:

El primer premio fue concedido a la fotografía titulada:«Aquí estoy yo, multiplicado por el infinito», realizadapor el alumno Miguel Camero, de 1o de ESO.

Primer premio: Miguel Camero

En ella, el alumno explica cómo al realizar una foto auna persona u objeto que se encuentre entre los espejos deun armario, hace que la imagen presente varios tipos demovimientos geométricos. En este caso reconocemos unasimetría axial, en la que el eje de simetría es el espejode la puerta del armario, seguida de una traslación.

El segundo premio, adjudicado a Ismael Arrachidi,alumno de 1o de Bachillerato por su fotografía titulada

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«Ropa tendida», nos muestra cómo unas líneas inicial-mente paralelas pueden modificarse en función del pesoque cuelgue de ellas, simulando la curva de la catenaria.El alumno nos recuerda, en la explicación matemática dela fotografía, que la catenaria, además de aparecer de ma-nera fortuita en la Naturaleza, como en grandes caparazo-nes y esqueletos de animales, también es muy apreciadapor arquitectos e ingenieros, ya que su ecuación, expresadamediante funciones hiperbólicas, ahorra esfuerzos tangen-ciales, bien por tracción o por compresión. Cabe destacarla presencia de esta curva en la arquitectura de Gaudí.

Segundo premio: Ismael Arrachidi

El tercer premio lo consiguió la fotografía «El Aljibe»,de Juan Carlos Tortosa, alumno de 1o de Bachillerato,que muestra la simetría que aparece en un aljibe graciasal juego de luces que en él se presentan.

Tercer premio: Juan Carlos Tortosa

Desde el instituto estamos muy satisfechos con los lo-gros conseguidos en esta actividad. Los alumnos han des-cubierto que «hay matemáticas fuera del aula». Espera-mos que esta iniciativa prosiga con los años y que consti-tuya un modo de despertar la curiosidad e interés de losalumnos por la asignatura de Matemáticas.

Actividades matemáticas en Secundaria

Resultados del Concurso deFotografía

Tres séptimos de sabor

Como anunciábamos en el Bo-letín vol. I (2) la SAEM Thalesde Almería organizó un concurso defotografía destinado al alumnado deSecundaria y Bachillerato de la pro-vincia de Almería. La participaciónfue un éxito total y el 18 de abril seentregaron los premios en el Ayunta-miento de Huércal-Overa. Puedes verlas fotografías ganadoras en el sitio

web thales.cica.es/almeria. Incluimosaquí una de las fotos ganadoras en lamodalidad de Bachillerato. La autoraes María José Sánchez Díaz del Cole-gio Agave, Huércal de Almería, y sutítulo es «Tres séptimos de sabor».

EXPOMAT Almería 2008La SAEM Thales de Almería

organiza una exposición con diver-sos materiales matemáticos. Seránexpuestos omnipoliedros «gigantes»,carteles de «Cine y Matemáticas» dela Escuela de Cine de Tabernas, trián-gulos de Sierpinski, poliedros regu-lares con pajitas, láminas acerca de«Dalí y Matemáticas», caleidociclos,poliedros de bambú, teodolitos y fi-guras imposibles confeccionadas poralumnos, camisetas con teselaciones,fractales, fotografías y dibujos, etc...

Cartel de la exposición

Semana cultural del IES LosÁngeles

Durante los días 1, 2 y 3 de abrilde 2008 tuvo lugar en nuestro institu-to la celebración de una Semana Cul-tural cuya temática principal era «In-ventos e inventores». No fue una Se-mana Cultural al uso, con conferen-cias y actividades varias para todo elcentro, sino que la Jefatura de Estu-dios la concibió como un conjunto detalleres diseñados sólo para los alum-nos de la ESO. Para ello se tuvo quereestructurar el horario del centro pa-ra esta etapa, mientras que los Bachi-lleratos y Ciclos Formativos siguieronsu desarrollo normal.

Como teníamos 15 grupos de ESO,y cada taller podía acoger, como mu-cho, a la mitad de cada clase, resul-ta que en cada momento tenía quehaber 30 talleres funcionando simul-táneamente, por lo que era necesariala colaboración de los distintos depar-tamentos del Centro. A nosotros nosencargaron tres, así que nos pusimosmanos a la obra para pensar en temá-ticas que pudieran ser atractivas pa-ra los alumnos. Tras diversas ideas de

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contenidos, los que finalmente propu-simos fueron: «Del ábaco a la cal-culadora», «Del plano al espacio»y «Quien pierde... ¡gana!». Además,para decorar un poco las aulas, Mari-fé Herranz encargó a sus alumnos unascartulinas con las biografías de algu-nos ilustres matemáticos de distintasépocas: Gauss, Newton, Arquímedes,Ada Byron, etc...

«Del ábaco a la calculadora»

Este taller, pensado y preparadopor Ana Lorenzo y Javier Alcalá, es-tuvo dirigido a los alumnos de 3o.Durante la primera hora los alumnosestaban viendo, mediante cartulinasmurales, algunos de los diferentes sis-temas de numeración que se han veni-do usando en distintos tiempos y cul-turas, y luego veían la exposición quese había preparado con todo tipo deutensilios y materiales diseñados paracontar y hacer operaciones aritméti-cas, desde los primitivos ábacos hastalos últimos modelos de calculadoras,pasando por las antiguas máquinas re-gistradoras mecánicas y las primerascalculadoras eléctricas de oficina.

La segunda hora, pensada parauna participación más directa delalumnado, estaba dedicada a activida-des y juegos relacionados con los sis-temas de numeración, distintos modos«heterodoxos» de realizar las opera-ciones aritméticas, diversos juegos conel calendario, etc...

Fue un taller muy instructivo, yaque los alumnos pudieron conocer al-gunos de los distintos modos que elser humano ha ingeniado para resol-ver el problema de contar coleccionesde objetos, de inventar símbolos pa-ra representar los distintos cardinales(números) y de cómo hacer operacio-nes básicas con ellos.«Del plano al espacio»

En este caso los destinatarios deltaller eran los alumnos de 2o. Fueideado y diseñado por Ma José Garcíay Carmen Megía, y el contenido prin-cipal era la construcción de distintasfiguras de marquetería a partir de unpanel con las piezas troqueladas. Eraun taller plenamente manipulativo, yrequería de habilidad manual y no po-ca visión espacial.

Tuvo una gran aceptación entre elalumnado, ya que después de cons-truir las figuras tenían que pintarlas, ylas mejores fueron seleccionadas parauna pequeña exposición en el aula.

«Quien pierde... ¡gana!»Este taller estuvo preparado por

Marifé Herranz y José Ramón Sán-chez, y tenía un carácter de competi-ción entre dos equipos en la que cadauno partía de 100 puntos y, duranteel concurso, los iban perdiendo con-forme resolvían problemas o ganabanpruebas. Al final, el ganador era el quemenos puntos tenía, y de ahí el nom-bre del taller.

También tenía dos partes. La pri-mera consistía en darle a cada equipoun conjunto de problemas para que losresolvieran en un tiempo determina-do; estos problemas eran de todo tipo:aritméticos, geométricos, de ingenio,etc... pero con el denominador comúnde que no requirieran grandes conoci-mientos de las matemáticas «tradicio-nales» que ven habitualmente en cla-se, sino más bien constancia e inven-tiva. Por cada problema que resolvíanse les iba quitando puntos, más otrosadicionales si lo hacían antes que elequipo contrario.

La segunda parte era de enfrenta-miento directo entre los dos equipos.Primero con algunos juegos matemá-ticos dentro del mismo aula (toma-dos de diversas publicaciones y otrosde invención propia), y después en elpatio, también con juegos y pruebasmatemáticas, pero en las que teníanque mezclar carreras, habilidad men-tal, rapidez de reflejos, etc... Tambiéniban perdiendo puntos conforme ibanganando pruebas y juegos, pero al fi-nal de la competición nadie se queda-ba sin su reconocimiento: un diplomaa cada uno de los integrantes del equi-po que menos puntos tenía, y una me-dalla a los del otro.

La verdad es que estos talleres fue-ron una experiencia muy positiva. Escierto que cualquiera de ellos requiriómucho tiempo de preparación por par-te de los profesores, pero también esverdad que la participación del alum-nado fue muy buena, incluso sorpren-dente en algunos casos, ya que no fue-ron pocos los alumnos que, sin ser con-siderados en su clase como especial-mente brillantes, en este tipo de prue-bas destacaron por su rapidez y su in-genio.

Para conocer más detalles de cual-quiera de los talleres, o de las pruebasy juegos, sólo tenéis que solicitarlos ajramon_sg@hotmail.com.

F. Javier Alcalá VelascoMa José García VílchezMarifé Herranz LudeñaAna D. Lorenzo Núñez

Carmen Megía BaumelaJosé Ramón Sánchez García

IES Los Ángeles (Almería)

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Bo√TitMatUal Enseñanza Secundaria Volumen II. Número 1 9 / 22

DEPARTAMENTOS DE MATEMÁTICAS

IES Sol de PortocarreroLa Cañada de San Urbano (Almería)

Miembros del Departamento

En La Cañada, junto al aeropuer-to almeriense y a unos 10 km de lacapital, se encuentra el IES «Sol dePortocarrero».

El Departamento de Matemáticas,durante el curso 2008–09, está com-puesto por el siguiente profesorado:Inocencio Aparicio Esteban, AlbertoBenavides Requena, Inés Ferrer Con-treras, Elisa Flores Losilla, Juan Jo-sé García Muñoz, Miguel J. Gea Lina-res, Manuel López Romero, José LuisTorrecillas Gutiérrez y José VillegasRuiz.

La actual denominación del centrodata del año 2000 aunque el edificio,a base de cubos blancos con patios in-teriores e iluminación cenital, nació aprincipios de los 70.

En 1971 el Ministerio de Traba-jo encargó al arquitecto Julio Canola construcción de la Universidad La-boral de Almería y ésta se inaugu-ró en septiembre de 1974. Antes desu actual nombre, fue llamado tam-bién «Centro de Enseñanzas Inte-gradas» (donde había una conviven-cia plena), «Complejo Educativo In-tegrado» e IES «Número 1».

Imagen del centro

Su zona de influencia se extien-de por La Cañada, Los Llanos de La

Cañada y Costacabana. El IES «Solde Portocarrero» goza de amplias yluminosas aulas e instalaciones comogimnasio, pistas deportivas, campo defútbol, talleres, laboratorios, aulas deinformática y multimedia, de audio-visuales, de dibujo, salón de actos ybiblioteca con más de 12000 volúme-nes. Y en el mismo recinto se ubicatambién la residencia escolar «Car-men de Burgos».

En la entrada del centro se en-cuentra una impresionante esculturade Gustavo Torner que representa unCristo. Posee evidentes rasgos mate-máticos ya que está formada por he-xaedros regulares metálicos de dife-rentes volúmenes.

Nuestro instituto es un clásico co-laborador de la Sociedad Andaluza deEducación Matemática Thales. Ya enseptiembre de 1985, denominándose«Centro de Enseñanzas Integradas»,fue el lugar de celebración de las «Se-gundas Jornadas Andaluzas de Didác-tica de las Matemáticas».

Página web del centro

En el pasado curso, Miguel EgeaPadilla y Antonio Luis Pérez Men-doza, alumnos del profesor Juan Jo-sé García Muñoz, se clasificaron entrelos 20 primeros de la fase provincial dela XXIV Olimpiada Matemática Tha-les de Almería, para alumnado de 2o

de ESO, celebrada el día 5 de abrilde 2008 en el IES «Albujaira» deHuércal Overa. Además, Miguel Egeafue uno de los cinco representantes deAlmería en la Fase Regional Andalu-za. Otro evento destacable en el IES«Sol de Portocarrero» fue, duranteel 25 de febrero de 2008, el desarro-llo de una jornada astronómica orga-

nizada por la asociación astronómica«Orión» y «Radio Kosmos».

Además de ser Centro BilingüeEspañol-Inglés, desde 2005 somosCentro TIC de Práctica Docente ydesde 2003 Centro TIC de Gestión.Así pues, se tiene en marcha un pro-yecto de incorporación de las tecnolo-gías con software libre de la informa-ción y la comunicación a la educación.El ordenador en el aula para el profe-sor de Matemáticas es un recurso, na-da más y nada menos. Puede resultarmuy útil en la enseñanza de esta ma-teria debiéndose emplear de diferentesmodos según la situación de aprendi-zaje. Puede ser usado puntualmentepara realizar cálculos de una maneramuy rápida, para hacer comprobacio-nes, para dibujar veloz y eficazmen-te la gráfica de una función, para unaconsulta semántica, biográfica,... Enalgunas ocasiones, resulta muy «ren-table» su empleo durante los últimos15 minutos de clase para que el alum-nado afiance e incorpore adecuada-mente los contenidos. Y también pue-de ser utilizado como «herramienta»principal, aunque el ordenador nuncadebe ser el protagonista (quien debeprotagonizar siempre la situación deaprendizaje es el alumno); se realizanactividades planificadas íntegramentecon el ordenador y con una duraciónde una o varias sesiones lectivas.

En el departamento entendemosque con las Matemáticas en la edu-cación ha de pretenderse formar la in-teligencia para que funcione correcta-mente, templar la voluntad para queactúe rectamente y desenvolver la me-moria estructural, para que se usecomprensivamente. Nuestro alumna-do debe aprender Matemáticas pueséstas favorecerán su formación inte-gral y les ayudarán a ser personas li-bres y críticas. Además, están al al-cance de todos aquellos individuos coninquietudes que quieran conocerlas,sin ningún tipo de exclusión social,

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racial ni religiosa. Un párrafo del li-bro «El Universo de las Matemáticas»de William Dunham dice lo siguien-te: «La historia del cero ejemplifi-ca gran parte de la historia de las

matemáticas. Nace una idea que serefina y transmite a través de la dis-tancia y de los siglos, y se convier-te en parte de la cultura matemá-tica multinacional. Las matemáti-

cas son una creación en la que todoel mundo puede con orgullo partici-par».

Problemas de las Pruebas de Acceso a la Universidad

Presentamos la solución al problema propuesto en elnúmero anterior. Os planteamos otro para que nos enviéisvuestras soluciones a bmatema@ual.es.

Los juegos de exámenes propuestos desde el año 2001

hasta la fecha de las dos asignaturas de Matemáticas queparticipan en las pruebas están disponibles en la pági-na web distritounicoandaluz.cica.es en el apartado de lasPruebas de Acceso.

Calcula β > 0 para que el área del recinto limitado por las gráficas de las funcionesf : R → R y g : R → R definidas por f(x) = x2 y g(x) = −x2 + 2β2 sea 72 (unidades de área).

Solución:Candelas González DengraIES La Mojonera

En primer lugar, hacemos un esbozo de las gráficas deambas funciones y dado que son dos parábolas, determi-namos sus vértices y los cortes con los ejes, llegando auna representación como la que se muestra en la siguientefigura.

Representación gráfica de las funciones f y g

Por otra parte, necesitamos determinar los puntos decorte A y B entre las dos funciones, para lo cual, igualamossus expresiones, con lo que se tiene:

x2 = −x2 + 2β2 ⇒ x2 − β2 = 0 ⇒ x =√β2 = ±β

de donde deducimos que A = (−β,β2) y B = (β,β2).

De la simetría de las dos funciones con respecto al ejeOY, se puede afirmar que el área del recinto limitado porla gráfica de las dos funciones es:

Área = 2

∫β0

(−x2 + 2β2 − x2)dx

= 2

(−2x3

3+ 2β2x

)∣∣∣∣β0

=8β3

3.

Para finalizar, como el objetivo es que dicha área sea iguala 72 unidades cuadradas, tenemos que igualando este va-lor al anterior resultado obtenido se llega fácilmente a queβ = 3.

Ejercicio Propuesto. Un nutricionista informa a un in-dividuo que, en cualquier tratamiento que siga, no debeingerir diariamente más de 240 mg de hierro ni más de 200mg de vitamina B. Para ello están disponibles píldoras dedos marcas, P y Q. Cada píldora de la marca P contie-ne 40 mg de hierro y 10 mg de vitamina B, y cuesta 6céntimos de euro; cada píldora de la marca Q contiene 10mg de hierro y 20 mg de vitamina B, y cuesta 8 céntimosde euro. Entre los distintos tratamientos, ¿cuál sería el demáximo coste diario?

MATEMÁTICA Y CULTURA

¿Sabías que...?Francisco Manuel Morales SorrocheEstudiante de Matemáticas de la UAL

Según la RAE, algebrista es una«persona que estudia, profesa o sa-be el álgebra». Pero, ¿qué es el álge-bra? El álgebra es la «parte de las

matemáticas en la cual las opera-ciones aritméticas son generaliza-das empleando números, letras ysignos», una definición que refleja elorigen de esta disciplina matemáticapero que no describe lo que es ac-

tualmente, pues hoy en día, sería difí-cil explicar con pocas palabras lo quees exactamente el álgebra. De formaaproximada, se puede decir que es larama de la matemática que estudialas estructuras y las propiedades de

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Bo√TitMatUal Divulgación Matemática Volumen II. Número 1 11 / 22

los «objetos matemáticos» tales como:grupos, anillos, cuerpos, espacios vec-toriales, módulos..., sirviéndose de unlenguaje simbólico y precisando gran-des niveles de abstracción.

El término «álgebra» proviene dela palabra árabe «al–jabr» (restau-ración), que en el libro «al–Kitabal–mukhtasar fi hisab al–jabr wa’l–muqabala» (el libro compendioso so-bre cálculo por restitución y balanceo)del matemático árabe Mohammed ibnMusa al–Khwarizmi, hacía alusión a laacción de pasar términos de un lado aotro de la igualdad en una ecuación yagrupar los del mismo tipo.

Página del tratado deAl-Khwarizmi

Este libro data del año 830 d.C. loque nos indica que el álgebra es unadisciplina bastante antigua. De hecho,en los tiempos de nuestro más ilus-tre escritor, Miguel de Cervantes, yaexistían los algebristas, como así que-da plasmado al final del capítulo XVdel Quijote:

«...hasta que llegaron aun pueblo donde fue ven-tura hallar un algebrista,con quien se curó el San-són desgraciado.»

Sansón, que estaba magullado de-bido a la paliza propinada por nuestroquerido amigo don Quijote... ¡Un mo-mento! ¿Cómo demonios iba a curarseel «Sansón desgraciado» con un al-gebrista? Esto no parece tener muchosentido ¿verdad? Entonces ¿qué pa-sa? ¿Será posible que una celebridad

como Miguel de Cervantes no tuvieseni idea de lo qué era un algebrista, opor el contrario, yo os estoy engañan-do desde el principio...?

Al-Khwarizmi, cuyo nombre dioorigen a la palabra algoritmo

¡No os preocupéis! Ni Miguel deCervantes era un inculto ni yo soy unmentiroso. Lo que en realidad suce-de es que el término algebrista tienevarios significados. La RAE tambiénnos indica que un algebrista es «uncirujano dedicado especialmente ala curación de dislocaciones de hue-sos», que es a lo que en realidad ha-ce referencia Cervantes; sin embargoen la actualidad esta acepción está endesuso. ¡Y más aún!: la RAE ademáscontempla que algebrista también sig-nifica alcahuete, en su primera acep-ción «persona que concierta, encu-bre o facilita una relación amorosa,generalmente ilícita».

Para los que aún no den créditoa lo que estoy contando, diré que nofue Cervantes el único escritor de re-nombre que recurrió a este curioso sig-nificado de la palabra algebrista. Sinir más lejos, Emilia Pardo Bazán ha-ce alusión a un cirujano barbero. Es-ta notable escritora utiliza la palabraalgebrista en diversas ocasiones en suobra «La madre naturaleza» (segun-da parte de «Los Pazos de Ulloa»).Un claro ejemplo puede encontrarseen el segundo capítulo del primer to-mo, en el que dos de los protagonistas(Perucho y Manolita), paseando porel campo se encuentran con el señorAntón, que se dirigía a curar una va-ca a casa de una vecina (la «Sabia»)

y tras una breve conversación entreellos, puede leerse lo siguiente:

«Riose Perucho, pues lehacía gracia la facha delalgebrista y su manía deaplicar a todo los cua-tro términos de anato-mía mal aprendidos ensu libro ratonado.»

Un cirujano barbero era un barbe-ro con formación médica fundamen-talmente práctica y sin titulación uni-versitaria dedicado a ejercer la curasobre vecinos y/o animales domésti-cos realizando, entre otras activida-des: amputaciones, cirugía menor, ex-tirpación de quistes de grasa, recolo-cación de huesos, etc. Para los intere-sados en saber más acerca del oficio decirujano barbero, hay una magnificanovela titulada «El Médico», de NoahGordon, que narra la intrépida histo-ria de un aprendiz de cirujano barberoque desea ser médico y estudiar medi-cina con el mejor médico de su tiem-po, Avicena.

Barbero sacando una muela(Gerrit Dou, S. XVII)

Como veis, no todo siempre es loque parece ser. ¿Quién nos iba a de-cir que algebrista puede significar al-go más aparte de un matemático es-pecializado en álgebra? Os acabo demostrar que en matemáticas, inclusola terminología empleada alberga cu-riosidades; así que si eres una personacon inquietudes y con ganas aprendery descubrir cosas francamente intere-santes, ¿a qué esperas? ¡Introdúceteen el fascinante mundo de las mate-máticas!

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LA HISTORIA Y SUS PERSONAJES

Nicolás de Oresme y la serie armónicaRafael Granero BelinchónEstudiante de Máster(Universidad Autónoma de Madrid)

Nicolás de Oresme

Las series ocupan un lugar muyimportante en la Matemática, ya seantemporales, numéricas, de potencias ode Fourier. Integran cursos desde elcálculo más elemental hasta ecuacio-nes diferenciales. Por ejemplo, las se-ries geométricas aparecen con muchafrecuencia en Economía y las series deFourier en fenómenos físicos que in-volucran bien a la ecuación del calorbien a la ecuación de ondas . Una delas series más conocida es la que defi-ne al número e = 2,718281... (base delos logaritmos neperianos). Concreta-mente,

∞∑n=0

1

n!= 1+ 1+

1

2!+1

3!+ · · · = e.

Matemáticos como Euclides (circa325 a.C.–265 a. C.), Arquímedes (287a. C.–212 a. C.) o Euler (1707–1783),por citar una ínfima parte, han contri-buído a lo largo de la Historia a avan-zar en este campo. Otra serie bastanteconocida es la serie armónica que tie-ne la siguiente forma:

∞∑n=1

1

n= 1+

1

2+1

3+ · · ·+ 1

n+ . . .

Se puede comprobar que cada tér-mino 1

n es la media armónica de losinmediatos a él, es decir, 1

n−1 y 1n+1 .

Recordemos que la media armónica den números se define como el inversode la media aritmética de los inversosde dichos números. Recibe este nom-bre desde tiempo de los griegos, sinembargo, no fue su nombre original.En la escuela Pitagórica, al estudiarla música, consideraron las medias,conociendo tres tipos, que llamabanaritmética , geométrica y subcontra-ria y Arquitas e Hipaso cambiaron elnombre de subcontraria por armóni-ca . Nicómaco afirma también que elnombre de media armónica se debea la armonía geométrica , nombredado al cubo, pues tiene 12 aristas,8 ángulos y 6 caras, y 8 es la mediaarmónica entre 12 y 6.

Desde el primer curso de la Licen-ciatura en Matemáticas, los estudian-tes sabemos que esta serie es diver-gente , es decir, no es sumable. La de-mostración de este hecho es bastante

antigua, data del siglo XIV, y es debi-da a Nicolás de Oresme (1323–1382),uno de los mejores matemáticos eu-ropeos de la Edad Media. Nicolás deOresme fue también economista, físi-co, astrónomo, filósofo... Además eraobispo de Lisieux, una ciudad en labaja Normandía. Argumentaba que laTierra giraba alrededor del Sol, y nolos demás astros en torno a la Tierra.Otro descubrimiento suyo, atribuído aHooke (1635-1703), es la curvatura dela luz.

La demostración de Oresme de ladivergencia, publicada en «Questio-nes super geometricam Euclidis», sebasa en la posibilidad de encontrar in-finitos sumandos con suma mayor que12 . En el lenguaje moderno que hoyusamos diríamos que podemos encon-trar una serie menor que la serie armó-nica que diverge, y por lo tanto éstadiverge. Para ello basta sustituir cadadenominador por la potencia de ba-se dos inmediatamente mayor o igual,por ejemplo, podemos observar que13 >

14 = 1

22 y 15 >

16 >

17 >

18 = 1

23 .Si repetimos este razonamiento

obtenemos la siguiente desigualdad:

1+1

2+1

22+1

22︸ ︷︷ ︸12

+1

23+1

23+1

23+1

23︸ ︷︷ ︸12

+ . . .

. . . < 1+1

2+1

3+1

4+1

5+ . . .

Ahora está claro que la serie de laizquierda no es sumable y por lo tan-to la serie mayorante, en este caso laarmónica, tampoco.

MATEMÁTICAS Y CIENCIA

Sistemas de ecuaciones lineales ycorriente eléctricaJosé Antonio Gázquez ParraUniversidad de Almería

La Física y las Matemáticas están fuertemente relacio-nadas. Un buen ejemplo es que los físicos mas famosostambién han destacado en el campo de las Matemáticas,como Albert Einstein. La razón es muy simple, la Físicaes la ciencia que trata de comprender, explicar y predecir

una serie de fenómenos observados en la naturaleza y paraello las Matemáticas son la herramienta necesaria para talfin.

En todos los campos de la Física se usan las Matemá-ticas, si bien según lo que se pretenda estudiar, serán unosu otros los métodos matemáticos que se apliquen: ecuacio-nes algebraicas, ecuaciones diferenciales, transformaciones

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Bo√TitMatUal Divulgación Matemática Volumen II. Número 1 13 / 22

integrales, etc...El proceso general para estudiar un fenómeno físico

consta de una serie de pasos:

1. Observación del fenómeno. En esta etapa se obtie-nen datos de las variables físicas y se establece unaprimera relación entre ellas, por ejemplo se observacomo aumenta la presión de un recipiente herméti-co al aumentar la temperatura y se anota una seriede distintas temperaturas y las presiones correspon-dientes.

2. Creación de una ley física o modelo matemáticodel fenómeno. Para ello hay que establecer una rela-ción formal entre las variables físicas implicadas y apartir de aquí, la creación de un modelo matemáticodel fenómeno.

3. Extender la ley y el modelo a la predicción de fe-nómenos . En esta fase se pueden simular medianteel modelo matemático el fenómeno y predecir que su-cedería en determinados casos sin fase experimental.La posterior verificación experimental de los predi-cho por el modelo supone la validación de la ley oteoría física en estudio.

Estudiemos un ejemplo de la aplicación de la resolu-ción de sistemas lineales al análisis de circuitos eléctricos.

Los sistemas de ecuaciones lineales y los circuitos eléc-tricos están estrechamente ligados por la ley de Ohm:V = RI , que establece la relación entre las magnitudesde fuerza electromotriz o tensión, resistencia eléctrica ycorriente eléctrica respectivamente.

Figura 1

La ley de Kirchhoff establece que la suma algebraicade los potenciales en los distintos elementos a lo largo deuna malla cerrada es cero.

Figura 2

El ejemplo de la Figura 2 presenta un circuito con dosmallas, y aplicando las leyes de Ohm y Kirchhoff se obtie-nen las siguientes ecuaciones de malla:

I1(R1 + R2) − I2R2 = V1,

I1 · (−R2) + I2(R2 + R3) = 0.

Estan dan lugar al siguiente sistema de ecuaciones, ex-presado en forma matricial:(

R1 + R2 −R2−R2 R2 + R3

)(I1I2

)=

(V10

)que, si resolvemos, se obtienen las soluciones:

I1 = 0,27A,

I2 = 0,11A.

Hemos podido determinar así el valor de las corrien-tes I1 e I2 sin tener que montar el circuito y efectuar lasmedidas sobre el mismo gracias a la aplicación de modelosmatemáticos que permiten conocer su comportamiento. Lafísica moderna modela y estudia fenómenos cada vez máscomplejos como el comportamiento de un avión en vue-lo, que corresponde al campo de la dinámica de fluidos, ofenómenos meteorológicos y un sinfín más de aplicaciones.

Complejísimas ecuaciones son necesarias para ello, pe-ro cada vez nos acercamos al conocimiento más profundode lo que nos rodea. La tecnología informática supone unaayuda incuestionable a la hora de afrontar las actuales in-vestigaciones en estos campos.

Problemas de interésPropuesto por Juan Guirado IES Río Aguas (Sorbas)

El problema propuesto en el número anterior fue elsiguiente:

Un tronco redondo pesa 30 kilogramos, ¿cuántopesaría si fuera el doble de grueso y la mitad delargo?

Solución:Cuando el diámetro se duplica, el volumen del tronco

redondo se cuadruplica, mientras que cuando su longitudse hace la mitad, su volumen sólo disminuye hasta la mi-tad.

Esto que hemos explicado en palabras es muy fácil for-mularlo matemáticamente: el volumen V del tronco redon-do es el de un cilindro, o sea, V = πr2h donde r es el radioy h es la longitud del tronco.

Así pues, si es el doble de grueso r → 2r y si es lamitad de largo h → h/2, entonces el nuevo volumen esπ(2r)2 h2 = 2πr2h, o sea, el doble del tronco inicial.

Por todo lo razonado, el tronco grueso y corto deberáser el doble de pesado que el largo y delgado, por lo quela solución al problema es 60 kilogramos.

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Bo√TitMatUal Divulgación Matemática Volumen II. Número 1 14 / 22

Problema PropuestoUn tren parte de la estación puntualmente a las12h. Si me dirijo a la estación despacico, a 4Km/h, llego 5 minutos tarde; pero si acelero elritmo y voy a 8 Km/h, llegaré 10 minutos antesde que salga el tren, ¿a qué distancia estoy dela estación?

Como novedad en este curso, tu solución a este proble-ma puede ser premiada con un regalo relacionado conlas matemáticas valorado en unos 50e.

Para participar, solo tienes que mandar tu solución ala dirección de correo electrónico bmatema@ual.es.

Las bases de este concurso pueden consultarse en lapágina web del boletín: boletinmatematico.ual.es.

MUJERES Y MATEMÁTICAS

La mujer, innovadora en la CienciaExposición y jornadas de reflexión en la Universidad de Almería

Asunción Boch SaldañaJosé Carmona TapiaJuan José Moreno BalcázarMaribel Ramírez ÁlvarezFernando Reche LoriteIsabel María Romero AlbaladejoComité organizador

Cartel de la exposición

La Universidad de Almería acoge-rá durante la semana comprendida en-tre el lunes 10 y el sábado 15 de no-viembre la exposición divulgativa «Lamujer, innovadora en la Ciencia».Dicha exposición consta de veinte pa-neles que resumen la vida y obra decientíficas de todos los tiempos cer-canas a la disciplina matemática. Ca-da uno de los paneles incorpora, ade-más, la explicación de una actividaddocente relacionada de alguna formacon la investigación realizada por es-tas mujeres. Este material, elaboradopor Carmen Jalón y Ma Teresa Valde-cantos, va acompañado de veinte mar-cadores de libro que recogen una pe-queña reseña de cada una de ellas yun problema matemático.

Se trata de una iniciativa que, conmotivo del Año de la Ciencia 2007, im-pulsó la Comisión Mujeres y Matemá-ticas de la Real Sociedad MatemáticaEspañola (RSME), con el apoyo de laFundación Española para la Cienciay la Tecnología (FECyT). La mues-tra ha visitado diferentes puntos de lageografía española, desde Madrid has-

ta las islas Canarias, pasando por va-rias capitales andaluzas, y seguirá re-corriendo universidades y centros deSecundaria durante todo el año 2008.

Con nombre de Mujer

Las veinte científicas cuyas contri-buciones se destacan en esta exposi-ción son: Hedu’Anna (matemática yastrónoma que vivió en Babilonia en-tre los años 2280 y 2200 a. C., pri-mera mujer registrada en la Historiade la Ciencia), Teano, Aglaonice, Ca-roline Herschel, Elena Lucrezia Cor-naro Piscopia (matemática y filóso-fa del siglo XVII que fue la primeramujer doctorada de la historia), Ma-dame du Châtelet, Gaetana Agnesi,Sophie Germain, Mary Fairfax Somer-ville, Ada Byron, Sofía Kovalevska-ya, Emmy Noether, Grace ChisholmYoung, Sofía Aleksadrovna Janovska-ya, Mileva Maric, Maria Goeppert-Mayer, Julia Bowman Robinson, Ol-ga Taussky, Mary Lucy Cartwright yCharlotte Angas Scott.

Como dicen las autoras de la ex-posición: «Son todas las que están,pero no están todas las que son.Presentamos un caleidoscopio fe-menino matemático con veinte deellas: veinte matemáticas de dife-rentes épocas y creencias. Asomaosa ellas y girad con sus investigacio-nes que, como cristales multicoloresformarán infinitas figuras cada unamás bella que la otra. ¡Ojo! Puedepasaros como a nosotras y engan-charos en sus vidas y en sus obras.Bucear en sus risas, tragedias, estu-dios, teoremas... es altamente adic-tivo».

Además, durante los días 14 y 15de noviembre de 2008 se celebrarán enla Universidad de Almería las jorna-das «La mujer, como elemento in-novador de la Ciencia». Este evento,financiado por distintas entidades, notendrá gastos de inscripción y en éltendremos distintas actividades: con-ferencias, taller y mesa redonda, diri-gidas a poner de manifiesto el trabajoinnovador de las mujeres en el ámbitode la Ciencia y, en particular, de lasMatemáticas, así como a fomentar lasvocaciones investigadoras.

Se analizará la evolución y el es-tado actual de la incorporación de lamujer al personal docente e investiga-dor de las universidades, los condicio-nantes que influyen en la elección ydesarrollo de carreras científicas porparte de las mujeres y los cambiosacaecidos en este contexto en las úl-timas décadas.

Por otra parte, las autoras de la ex-posición incidirán en su carácter comorecurso didáctico desde un punto devista coeducativo. Mostrarán la uti-lidad de este material para incitar ala reflexión sobre el papel de la mu-jer en la ciencia con objeto de intro-ducir una perspectiva de género en elaula de matemáticas, en especial, enSecundaria.

En estas jornadas contaremos conla presencia de Teresa Claramunt(IES Al-Andalus, Almería), CarmenJalón (CEP de Córdoba), Marta Ma-cho (Universidad del País Vasco),Isabel Marrero (Universidad de LaLaguna), Xaro Nomdedeu (escrito-ra) y Ma Teresa Valdecantos (SIP-FA Algeciras). ¡Inscríbete en la webwww.ual.es/eventos/mujeryciencia!

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Bo√TitMatUal Divulgación Matemática Volumen II. Número 1 15 / 22

Lecturas recomendadas sobre divulgación matemática

Sobre números y letras.

Ficha TécnicaEditorial RSME–Anaya.Colección «Relatos matemá-ticos».167 páginas.ISBN: 978-84-667-7642-4Año 2007

Siguiendo en la línea de la reseña realizada en el an-terior boletín sobre el libro «Entre lo real y lo imagina-rio», hablamos en este boletín del libro «Sobre númerosy letras».

Ambos forman parte de una iniciativa llevada a ca-bo por la Real Sociedad Matemática Española (RSME) através de su portal Divulgamat. Esta iniciativa persigue,entre otros objetivos, dar a conocer al público en generalalgunos hechos y personajes relacionados con el mundo delas Matemáticas, pero sirviéndose de la ficción literaria.

En este libro se recogen once de los mejores relatospresentados en las dos primeras ediciones del Concursode Relatos Cortos Divulgamat organizada por la RSME(años 2005 y 2006) que, a diferencia de otras iniciativas,no va encaminada sólo a los alumnos preuniversitarios.Todos ellos son relatos de ficción basados en algún perso-naje, concepto o situación estrechamente relacionado conlas Matemáticas y que, lamentablemente, en muchos casosson desconocidos incluso por los propios matemáticos.

A continuación, paso a comentar algunos de los relatosque más me han llamado la atención, aunque cada relatotiene interés por sí mismo. Por ejemplo, cabría destacar eldedicado al gran matemático Félix Hausdorff, uno de losfundadores de la moderna Topología, el cual vio truncadasu vida familiar y profesional en la Alemania nazi por sucondición de judío. Otro relato interesante es el titulado«Las cartas de Angélica» en el que un amor adolescentesirve de pretexto para narrar los inicios de la Teoría deProbabilidades en el siglo XVII. Para finalizar, me gusta-ría comentar el relato «El año de la cigarra» en el cualse pone de manifiesto la utilidad de algunos conceptos ma-temáticos a la hora de entender ciertos hechos biológicos,por ejemplo, cómo los números primos ayudan a explicarel ciclo vital de ciertos insectos.

Reseña de Antonio Morales CampoyUniversidad de Almería

Una mirada diferente: fotografía matemática.Eva Gutiérrez Adrián, Marta Gutiérrez Adrián y Miguel ÁngelQueiruga Dios.

Ficha TécnicaEditorial Q.164 páginas.ISBN: 978-84-612-2529-3Año 2008

Comentar un libro de fotografía matemática no es unatarea sencilla. Por una parte, se debe valorar la calidad delas fotografías en él incluidas, pero a su vez se debe teneren cuenta los comentarios de los autores acerca del interésde las fotografías seleccionadas desde el punto de vista ma-temático. Equilibrar ambas cosas es una tarea ardua y noexenta de subjetividad, al fin y al cabo la fotografía es unarte y, en cierto sentido, la Matemática también. Además,este libro tiene otra peculiaridad: dos de sus autores sonalumnas de Educación Secundaria Obligatoria y el otroautor es su profesor de matemáticas.

El libro consta de tres partes. En la primera de ellasse muestran 51 fotografías comentadas. Aquí podemos en-contrar fotografías de toda índole, desde unos apeteciblesbombones, a la belleza de los canales de Ámsterdam olos Jardines de Luxemburgo en París pasando por una es-calera, una rueda de bicicleta o una gota de rocío. Cadafotografía viene acompañada de un título y de un comen-tario de lo que inspira matemáticamente a los autores. Lasegunda parte consta de 9 fotografías y se anima al lec-tor o lectora a ponerles nombres y a reflexionar sobre sucontenido matemático. La última parte está dedicada aexplicar brevemente, de forma básica y comprensible parael alumnado de Secundaria, temas como los fractales, elnúmero áureo o el arte matemático.

Dicen los autores en la introducción: «A través dellibro queremos utilizar la fotografía como un lenguajeeficaz para comunicar que todo lo que vemos a nuestroalrededor lo podemos relacionar con el mundo de lasmatemáticas».

Conseguir que la sociedad interiorice la importanciareal de las matemáticas en todos los aspectos de la vi-da cotidiana debe ser una tarea fundamental de cualquiermatemático. En este libro lo han conseguido dos alumnasde Secundaria a través de la fotografía, pero mucho es aúnel camino que queda por recorrer en la divulgación de laciencia y de las matemáticas en particular.

En conclusión, es un libro para ver, reflexionar y des-pués opinar sobre las fotografías y sus comentarios. Comose dice en el circo: «pasen y vean» y después, si lo desean,comenten lo visto.

Reseña de Juan José Moreno BalcázarUniversidad de Almería

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Citas Matemáticas

«Se advierte, entre los matemáticos, una imagina-ción asombrosa. Repetimos: existía más imaginaciónen la cabeza de Arquímedes que en la de Homero»

Voltaire (1694–1770),escritor y filósofo francés.

«No hay rama de la matemática, por abstracta quesea, que no pueda aplicarse algún día a los fenómenosdel mundo real»

N.I. Lobachevsky (1792–1856),matemático ruso.

Páginas web de interés

http://www.experiencingmaths.org/

www.experiencingmaths.org

Esta exposición virtual (en cuatro idiomas: castellano,francés, inglés y portugués) está dirigida a docentes dematemáticas, a sus estudiantes –sobre todo a las/os de

secundaria– y a todas las personas que sienten curiosidadpor las matemáticas y las ciencias en general.

Con más de 200 situaciones, se propone a las/os es-tudiantes experimentar, ensayar, plantear hipótesis, tes-tarlas, intentar validarlas, buscar, demostrar y debatir entorno las propiedades matemáticas.

Ha sido concebida y realizada por iniciativa y con lacolaboración de la UNESCO, por el Centre·Sciences y elAdecum.

Para cada tema, encontrarás: una introducción interac-tiva, experimentos para hacer realizar a las/os estudiantes,explicaciones y referencias históricas, aplicaciones dondeestas matemáticas se utilizan, un envío a través de pala-bras clave hacia la web y un dossier con algunas indica-ciones en formato pdf para imprimir.

Reseña de Marta Macho StadlerUniversidad del País Vasco

PASATIEMPOS Y CURIOSIDADES

Matemáticas y GoogleUn procedimiento ingenioso para la selección de personal

Antonio Fernández ÁlvarezUniversidad de Almería

La empresa Google fue fundada en 1998 por Larry Pa-ge y Sergey Brin, dos estudiantes de doctorado de la Uni-versidad de Standford. Sergey se licenció con honores enMatemáticas y en Informática por la Universidad de Mary-land, mientras que Larry lo hizo en Ingeniería Informática,por la Universidad de Michigan.

El gran éxito de la empresa Google se debe en par-te a su innovador algoritmo PageRank para ordenar losresultados de las búsquedas. Dicho algoritmo actúa sobreun grafo web de gran tamaño y basándose en ello, a cadapágina le asigna un valor en función del número de enlaces

de otras páginas que le apuntan, el valor de esas páginas yotros criterios no públicos. El siguiente gráfico nos da unaidea del problema:

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Claramente las páginas B y C son las que más Page-Rank tienen, seguidas de E. Para B es importante quemuchas páginas apuntan a ella, mientras que C tiene lasuerte de estar doblemente enlazada con B, cuyo Page-Rank es muy alto.

La formula matemática que determina el PageRankde una página web es la siguiente:

PR(A) = (1− d) + d ∗(PR(T1)

C(T1)+ . . .+

PR(Tn)

C(Tn)

)donde:

PR(A) es el PageRank de la página A,

PR(Ti) es el PageRank de las páginas Ti que enlazana A,

C(Ti) es el número de enlaces salientes de la páginaTi,

d es un factor de amortiguación que tiene un valorentre 0 y 1.

El algoritmo para el cálculo de las cantidades anterio-res es complejo. Sin entrar en mucho detalle podríamosdecir que dicho algoritmo usa matrices de adyacencia en-tre páginas web, operaciones de diagonalización, el métodode las potencias, el teorema de Perron–Frobënius aplica-do a sistemas dinámicos, etc... Todo esto nos da una ideade la base matemática que subyace en torno al buscadorGoogle.

La definición que Bru y colaboradores dan al Page-Rank es bastante curiosa: «Si imaginamos un internau-ta que pasea aleatoriamente por internet, el valor queasigna el vector PageRank a una página web en par-ticular puede entenderse como la probabilidad de que,pasado un tiempo infinito, dicha página sea visitadapor el internauta».

Según a esta definición, sin duda parece que PageRankhace justicia con las páginas web. De hecho si introducimosla palabra google en el buscador obtenemos 2850000000entradas, probablemente la palabra que más se referencia.Esto nos puede hace pensar lo siguiente: ¿acaso Google esuna de las páginas con mayor PageRank? La respuestaes sí, pertenece a un grupo muy selecto de páginas cuyoPageRank es 10.

Seguramente para los fundadores deGoogle era impen-sable hace 10 años la repercusión que iba a tener su algo-ritmo PageRank. Es evidente que las matemáticas fueronel pilar básico de estos dos estudiantes para llegar a con-seguir el estatus social y económico que ahora poseen.

No cabe duda de que la empresa Google es una de lastodopoderosas en el sector informático con miles de em-pleados en todo el mundo, lo que provoca una avalanchaconstante de nuevos candidatos para entrar a trabajar enella. Hartos de los típicos sistemas de selección de perso-nal y de temer que muchos talentos quedaran fuera porcausas incontrolables, Google lanzó hace algunos años unacertijo matemático para captar personal. En la autopis-ta interestatal 101, en la costa oeste de Estados Unidos,colocó el siguiente cartel:

Se trataba de encontrar los primeros 10 dígitos conse-cutivos procedentes del número e de manera que formaranun número primo. El problema a priori no es muy com-plicado teniendo en cuenta las herramientas de las quedisponemos hoy en día, pero ya de primeras estamos anteun filtro importante. Pues bien, la solución al problemaera: 7427466391.

Por tanto, el siguiente paso era introducir en un nave-gador la dirección: http://www.7427466391.com. Al en-trar en esta página se mostraba el siguiente mensaje:

Felicitaciones, ha llegado al nivel 2. Vaya awww.linux.org e identifíquese como bobsyouruncley como contraseña ingrese la respuesta a estaecuación:

f(1) = 7182818284

f(2) = 8182845904

f(3) = 8747135266

f(4) = 7427466391

f(5) = ??????????

La dificultad de este segundo acertijo era considera-ble. La solución al mismo pasaba por encontrar la quintasecuencia de 10 dígitos consecutivos dentro del número eque sumaran 49. Es decir,

7+ 1+ 8+ 2+ 8+ 1+ 8+ 2+ 8+ 4 = 49

8+ 1+ 8+ 2+ 8+ 4+ 5+ 9+ 0+ 4 = 49

8+ 7+ 4+ 7+ 1+ 3+ 5+ 2+ 6+ 6 = 49

7+ 4+ 2+ 7+ 4+ 6+ 6+ 3+ 9+ 1 = 49

5+ 9+ 6+ 6+ 2+ 9+ 0+ 4+ 3+ 5 = 49

Por tanto la solución al problema era 5966290435. Ladificultad es mayor si tenemos en cuenta que no sabíamosque estos dígitos pertenecían al número e. Probablementeel primer acertijo era una pista importante para el segun-do. Tras usar estos dígitos como contraseña, se accedía auna página propia de Google para selección de personal,en la cual se permitía introducir el curriculum vitae . Esosí, el plazo para resolver el acertijo estaba limitado a unosdías para premiar a los más rápidos. ¡Para ser una primeraselección no está mal!

La conclusión que podemos sacar de todo esto, es quelas matemáticas además de ser una materia básica en mul-titud de disciplinas, a veces forma parte de acertijos quese premian con la posibilidad de trabajar en una empresamundialmente reconocida y más aún, como en el caso deLarry y Sergey, poder aplicarlas para resolver problemasde gran repercusión mediática.

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CONVERSACIONES DE ESTUDIANTES

Una experiencia europeaEstudiantes de la UAL en Bélgica

Elisa Berenguel LópezM. Carmen Castro AlférezFrancisco Morales SorrocheEstefanía Ruiz BañosEstudiantes de la UAL

Participantes en el curso junto al profesor BernhardKeller (segundo por la izquierda)

En julio de este verano que tan rápido ha pasado, In-ma, Manolo, Juan Carlos, Darío y Jorge (estudiantes delos últimos cursos de matemáticas) tomaron rumbo a Am-beres (Bélgica) para asistir a la escuela de verano «Geo-metric and Algebraic Methods with Applications in Phy-sics». Estuvieron allí dos semanas, tiempo en el que nosólo tomaron contacto con un álgebra bastante avanzada,sino que también gozaron de la oportunidad de conocernuevos lugares, así como un gran número de personas dedistintas nacionalidades que acudieron a Amberes con elmismo fin.

Hemos decidido entrevistar a estos compañeros con ob-jeto de dar a conocer sus experiencias y sus opiniones res-pecto a este viaje.• Contadnos un poco en que consistía el viaje

Inma: El viaje consistía en 15 días en Amberes para reali-zar un cursillo sobre Geometría Algebraica con apli-caciones en la Física. De lunes a viernes teníamosclase de 9 de la mañana a 6 de la tarde, con un des-canso de 2 horas para comer y los sábados teníamosclase de 9 a 12:30. Con cada profesor tuvimos engeneral 8 horas de clase. Cuando terminábamos, co-gíamos el autobús y nos íbamos a visitar la ciudad.El domingo y el lunes como era fiesta nacional, nosfuimos a visitar Brujas y Bruselas, se puede decir queha sido un viaje muy completo, hemos aprovechadoal máximo todos los días.

Jorge: Había un cursillo internacional, que consistía encharlas que iban dando los distintos profesores quese dieron cita allí. Era económicamente rentable, tepagaban el dinero que te costó el viaje en avión,

además de que te daban dinero para las cenas detodos los días que duraba el cursillo (cena que nofuera cara), además que el almuerzo y el desayunoestaba pagado, contando que el cursillo era gratis.Resumiendo, allí intentaban que estuvieras a gustosin que te suponga un gran gasto económico, lo im-portante es que aprendas álgebra en las charlas. Esosí, tu asistencia depende tanto del organizador delas charlas como del departamento de álgebra de tuuniversidad, ambos deben estar de acuerdo.

Manolo: El objetivo básico de nuestra estancia en la Uni-versidad de Amberes consistía en ampliar nuestrosconocimientos en las áreas de Álgebra y Geometría,tanto en los aspectos teórico como práctico, a travésde una serie intensiva de cursos impartidos por unequipo de profesores europeos.

Además de ampliar nuestros conocimientos matemá-ticos, gracias a una guía de Bélgica que traíamos deAlmería, y a varios planos que pudimos conseguirallí, hemos tenido la oportunidad de visitar los luga-res y monumentos más emblemáticos de esta impor-tante ciudad europea, e introducirnos en su cultura.

• ¿Habéis aprendido mucho de álgebra?

Darío: Sí que hemos aprendido algunas cosas, aunque lamayoría de los cursos eran de bastante nivel, paragente de doctorado. El objetivo es más bien teneruna perspectiva de las líneas de investigación actua-les.

Juan Carlos: Pues, en algunos cursos sí he podidoaprender algo, pero el nivel de las clases era exce-sivamente elevado para nosotros.

Manolo: Personalmente puedo decir que sí. Exceptuan-do el primer día, en el que te tienes que habituar arecibir las clases en inglés, el resto de las conferen-cias me han resultado de gran utilidad. En especial,destacaría las ponencias de Sergei Silvestrov y FavioGavarini, así como la ofrecida por Bernhard Keller,como aquellas que más me han gustado, y en las quemás he aprendido.

• ¿Qué ha sido lo mejor del viaje?

Jorge: El cursillo era intensivo, pero lo bueno es que aca-baba como mucho a las seis de la tarde, lo que tepermitía poder visitar la ciudad. Además, hubo dosdías libres, que aprovechamos para visitar otras ciu-dades.

Otra cosa que estuvo bien fue la residencia, que es-taba al lado del edificio donde se impartieron las

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charlas, y con habitaciones individuales. Es ciertoque los primeros días me sentía incómodo, había co-sas a las que no estaba acostumbrado, pero al finalte terminas acostumbrando y por lo menos, en micaso, terminé estando a gusto allí.

Inma: Yo no puedo quedarme con una sola cosa; la ex-periencia ha sido única. Con mis compañeros he dis-frutado mucho, los he conocido mejor; el viajar a unpaís extranjero y vivir con gente de otros países, po-der disfrutar de clases con muy buenos profesores yvisitar ciudades increíbles, como Brujas y Amberes.

Juan Carlos: Los buenos ratos que hemos pasado jun-tos. Cuando fuimos sólo éramos compañeros de cla-se, ahora creo que somos buenos amigos.

Manolo: Para mí, lo mejor del viaje, sin duda alguna, hasido la oportunidad que he tenido de hacer buenosamigos entre mis compañeros de clase. En estos díashemos tenido la oportunidad de conocernos mejor.

• ¿Y lo peor?

Darío: Hablar en inglés, nos dimos cuenta que sabemosbastante poco. Para entender nos servía, pero parahablar no.

Jorge: Allí muchas tiendas cierran sobre las seis o lassiete, y las charlas suelen acabar sobre las seis. Almenos había dos días que sólo había charlas por lamañana, por lo que eran buenos para ir de tiendas.

Inma: Lo peor para mí ha sido sin dudarlo, la comida y elno tener un baño propio en las habitaciones, aunquecomo en todo, al final te acostumbras.

Manolo: En primer lugar, al estar fuera de tu casa, seecha de menos a tu familia, lo cual es lógico. Apartede ésto, intentar dormir con todos los mosquitos quehabía por la habitación, así como el hecho de que elsol saliera sobre las 5 de la mañana, fueron dos fac-tores muy molestos en nuestra estancia, pero que sevan solventando conforme pasan los días.

• ¿Cómo son los matemáticos del resto de Europa?

Inma: Más o menos igual que aquí, hay de todo, algunosmuy abiertos y simpáticos y otros que no hablabancon nadie.

Juan Carlos: Parece que están bien preparados, pero enlo que he encontrado más diferencia es en el nivel deinglés, tenemos que mejorar mucho.

Manolo: El nivel matemático en Italia, Alemania, Fran-cia y Bélgica es muy elevado. No obstante, tambiénpienso que el nivel matemático que nosotros traía-mos nos permitía seguir casi todas las conferencias,con la posibilidad de extraer una idea genérica delo que se estaba estudiando muy válida. También escierto que los temas que se trataban eran muy con-cretos, basados en las investigaciones de cada ponen-te, y por tanto, no llegábamos a comprender ciertos

detalles, pero en general nos defendíamos bastantebien. En particular, recuerdo una charla que tuvimoscon Fabio Gavarini al respecto de una duda que leplanteamos al final de la clase, y que acabamos man-teniendo en una especie de mezcla de inglés, españole italiano.

• ¿Hay mucha diferencia entre aquella universidady ésta?

Jorge: No conocí mucho de aquella universidad, empe-zando porque sólo estuve en el campus donde se im-partieron las charlas.

No obstante algunas diferencias se ven, la más nota-ble para mí es la forma de borrar las pizarras allí, de-ja la pizarra muy limpia, siempre que se haga bien.El edificio donde se daban las clases era moderno,y tecnológicamente están incluso por encima de lanuestra.

Inma: Hay diferencia, la nuestra es mucho más modernay completa. Aunque la de Amberes, dejando a unlado el hecho de que tenga en frente un cementerio,tiene su encanto.

Darío: Realmente sólo estuvimos en uno de los campusde la universidad, que era pequeño, con 3 ó 4 edifi-cios. Las instalaciones estaban bien, aunque la resi-dencia era un poco antigua.

Manolo: El marco geográfico es muy diferente: la uni-versidad de Amberes está situada dentro de la ciu-dad, en una zona de arboleda bastante agradable.Las infraestructuras son parecidas, pero mientras enAmberes se mezclan antiguos edificios junto a otrosbloques más modernos, en Almería todo es prácti-camente nuevo. El clima es muy distinto, predomi-nando allí la lluvia casi a diario, y muy pocas horasde sol, así como temperaturas muy suaves, lo cualagradecimos bastante, dado el tremendo calor quehacía en Almería en aquellos días.

• ¿Repetiríais?Jorge: No puedo responder con seguridad al 100%, no

obstante ha sido este viaje una gran experiencia pa-ra mí y lo he pasado bien, y por algunas cosas si megustaría repetir.

Darío: Claro, creo que es una experiencia muy buena,aunque antes de repetir habrá que mejorar el inglés.

Juan Carlos: Por supuesto, ¿cuándo nos vamos?

Manolo: ¡Por supuesto!, ya le he dicho a Luis que va-ya reservando nuestras habitaciones para el año queviene.

Inma: Sin dudarlo, sí. Aunque al principio lo pase unpoco mal, porque no me había adaptado, después,fue increíble y si me lo permiten, el año que vienevuelvo.

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PROFESIONALES FORMADOS EN LA UAL

Jesús Rodríguez LópezEntrevista a un antiguo alumno de la UAL

Elisa Berenguel LópezM. Carmen Castro AlférezFrancisco Morales SorrocheEstefanía Ruiz BañosEstudiantes de la UAL

Jesús Rodríguez López

Hemos entrevistado a Jesús Ro-dríguez López, un antiguo alumno dela Universidad de Almería que tra-baja como profesor en la Universi-dad Politécnica de Valencia. Ademásde desempeñar su labor docente en elárea de las matemáticas aplicadas for-ma parte de un grupo de investigaciónde Topología.• ¿Qué hiciste cuando terminastela carrera?

Al terminar la carrera hice el doc-torado en el Departamento de Mate-mática Aplicada de la Universidad Po-litécnica de Valencia. En la actuali-dad, soy profesor de este departamen-to.• ¿Te costó mucho encontrar tra-bajo?

No demasiado. Durante el primeraño, mientras estaba en Valencia, bus-caba algún trabajo que me permitie-ra centrarme en el doctorado así quesólo intenté obtener algunas becas deinvestigación aunque no las conseguí.En el segundo año, como tenía la te-sis bastante avanzada, solicité variasplazas de profesor asociado en la Uni-versidad Politécnica de Valencia. Fi-nalmente obtuve una en el campus deAlcoy de esta universidad donde estu-ve hasta 2005. En ese año me trasladéal campus de Valencia.• ¿En qué consiste exactamentetu trabajo actual?

Actualmente soy profesor contra-tado doctor del Departamento de Ma-temática Aplicada de la UniversidadPolitécnica de Valencia. Mis tareas bá-sicas como profesor universitario sondocencia, investigación y gestión. Enla actualidad, imparto docencia decálculo y cálculo numérico en la Es-cuela Técnica Superior de Ingenierosde Caminos, Canales y Puertos dela mencionada universidad. Investigodentro del grupo de investigación deTopología y sus Aplicaciones que per-tenece al Instituto Universitario deMatemática Pura y Aplicada. Casi to-da mi investigación se centra en el es-tudio de algunas hipertopologías y deciertas estructuras asimétricas. Últi-mamente también trabajo en algunasaplicaciones de esta teoría al estudiode la complejidad de algoritmos y dela topología digital. En cuanto a lagestión, realmente la burocracia se haadueñado de mucha parte del traba-jo del profesorado universitario lo queimplica invertir más tiempo del desea-do.

• ¿Sobre qué trató tu tesis doc-toral?

Mi tesis doctoral se enmarca den-tro de la topología general y trata fun-damentalmente sobre hipertopologías.Las hipertopologías son simplementetopologías definidas sobre una ciertafamilia de subconjuntos de un espa-cio topológico llamado espacio base.Las hipertopologías aparecen princi-palmente al trabajar con espacios defunciones aunque también se utilizanen otras áreas como análisis variacio-nal, análisis convexo, etc. En mi tesisse estudiaron cierto tipo de hipertopo-logías cuando el espacio base presen-ta algún tipo de asimetría, es decir,cuando la topología está generada poruna métrica o una uniformidad que noverifica el axioma de simetría.

• ¿Por qué no te quedaste enla Universidad de Almería? ¿Hastrabajado en otras universida-

des?Cuando decidí hacer el doctorado

después de terminar la carrera, mi pri-mera opción fue hacer la tesis en eldepartamento de Geometría y Topo-logía de la Universidad de Almería.Sin embargo, un profesor de este de-partamento, al que tengo mucho queagradecer, me puso en contacto conun grupo de investigación de la Uni-versidad Politécnica de Valencia quees puntero en topología general. Co-mo las perspectivas de trabajo en estauniversidad eran más halagüeñas queen la de Almería, decidí hacer el doc-torado en la Politécnica de Valencia yla verdad es que no me ha ido mal.• ¿Has trabajado alguna vez en laempresa privada? Si es así, ¿quédiferencias encuentras entre am-bos trabajos? ¿cuál te gusta más?

No, nunca he trabajado en la em-presa privada.•Qué recuerdo tienes de la carre-ra? ¿Te supuso un gran esfuerzoterminarla?

La verdad es que muchas vecestengo nostalgia de esos años. En lopersonal, para mí fue un periodo muyimportante. El primer año fue el másduro pero quizá el que más me marcóya que fue en ese periodo donde decidíque quería trabajar en la universidade investigar en topología. Después deeste periodo de aclimatación, los otrostres años fueron un poco más sencillosaunque el esfuerzo es imprescindible.• ¿Mantienes contacto con tuscompañeros de la universidad?

En estos momentos, mantengocontacto con muy pocos de ellos. Losprimeros años que estuve fuera seguíaviendo a bastantes, pero con el tiem-po el contacto se fue perdiendo. Unode estos compañeros está finalizandoactualmente su tesis doctoral en nues-tro grupo de investigación y es con elque más relación tengo. Con los otrossuelo quedar cuando puedo escaparmeunos días a Almería. A veces también

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coincido con antiguos compañeros yprofesores en congresos.• ¿Nos podrías dar un mensajepara los estudiantes de matemá-ticas?

Lo primero es que disfruten con loque están haciendo para así poder sa-

carle el máximo partido a esos años.También darles ánimo para que ter-minen con éxito el esfuerzo que estánrealizando y puedan obtener un buenpuesto de trabajo. En la actualidad,el número de plazas que ofertan lasuniversidades para ser profesor no es

demasiado alto y la competencia es ca-da vez más dura. No obstante, la en-señanza no universitaria y la empre-sa privada son muy buenas opcionestambién.

Responsables de las secciones

2 Actividad Matemática en la UAL

Actividades organizadas : Juan Carlos Navarro(jcnav@ual.es).

Servicios (empleo, becas,...): Pedro Martínez(pmartine@ual.es) y Juan Carlos Navarro(jcnav@ual.es).

La Doble Titulación Matemáticas-IngenieroTécnico en Informática : Manuel Cantón(mcanton@ual.es) y Juan Carlos Navarro(jcnav@ual.es).

La investigación : Juan Cuadra (jcdiaz@ual.es) yJuan José Moreno (balcazar@ual.es).

Foro abierto: José Carmona (jcarmona@ual.es),José Escoriza (jescoriz@ual.es).

2 De la Enseñanza Media a la EnseñanzaUniversitaria: Manolo Gámez (mgamez@ual.es),Francisco Gil (fgil@ual.es) y Juan Guirado(jfguirado@gmail.com).

2 Divulgación Matemática.

La Historia y sus personajes : Florencio Castaño(fci@ual.es) y Blas Torrecillas (btorreci@ual.es).

Problemas de interés : Juan Guirado(jfguirado@gmail.com), Alicia Juan (ajuan@ual.es)y Miguel Ángel Sánchez (misanche@ual.es).

Las Matemáticas aplicadas en otros campos :Juan Antonio López (jlopez@ual.es), FranciscoLuzón (fluzon@ual.es) y Antonio Salmerón(asalmero@ual.es).

Mujeres y matemáticas : Asunción Bosch(mabosch@ual.es) y Maribel Ramírez(mramirez@ual.es).

Cultura y Matemáticas : José Cáceres(jcaceres@ual.es) y José Luis Rodríguez(jlrodri@ual.es).

Lecturas recomendadas sobre divulgaciónmatemática : Juan Cuadra (jcdiaz@ual.es) yAntonio Morales (amorales@ual.es).

Páginas web de interés : Juan Cuadra(jcdiaz@ual.es).

Citas matemáticas : Juan Cuadra (jcdiaz@ual.es)y Alicia Juan (ajuan@ual.es).

Pasatiempos y Curiosidades : Antonio Andújar(andujar@ual.es) y José Antonio Rodríguez(jarodrig@ual.es).

2 Territorio Estudiante: Elisa Berenguel(elisaberenguel@hotmail.com), María del Carmen Castro(mcarmencastro@hotmail.com), Francisco ManuelMorales (franciscomms 86@hotmail.com) y Estefanía dela Cruz Ruiz (steffz18@hotmail.com).

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