DIAGRAMA DE BODE

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSE DE CALDAS

SISTEMAS DINAMICOS

Andres Orlando Gil Torres - Codigo:20121005099

Juan Carlos Diaz Mosquera - Codigo:20121005211

Cristhian Daniel Lozano Junco - Codigo:20121005006

QUE ES UN DIAGRAMA DE BODE?

Un diagrama de Bode es una representacion grafica que sirve paracaracterizar la respuesta en frecuencia de un sistema. Normalmenteconsta de dos graficas separadas, una que corresponde con lamagnitud de dicha funcion y otra que corresponde con la fase.

Figure: Diagrama de Bode de un filtro pasabajo de primer orden

FUNCION DE TRANSFERENCIA

La funcion de transferencia F(ω) es una herramienta analıtica utilpara determinar la respuesta en frecuencia de un circuito. Larespuesta en frecuencia de un circuito se puede representar como lagrafica de la funcion de transferencia de este mismo F(ω), enfuncion de ω = 0 , y que varıa desde 0 hasta ω =∞. Una funcionde transferencia es la relacion entre una funcion forzada y unafuncion de excitacion (o entre una salida y una entrada)dependiente de la frecuencia.

La funcion de transferencia F(ω) de un circuito es la relacion deuna salida fasorial entre Y(ω) (una tension o corriente deelemento) y una entrada fasorial X(ω) (tension o corriente de lafuente) en funcion de la frecuencia.

Figure: Ecuacion de la funcion de transferencia F (ω) respecto a laentrada X (ω) y la salida Y (ω).

ESCALA DE DECIBELES

El diagrama de Bode es una herramienta que facilita el analisis dela respuesta de un en frecuencia de un sistema. Este diagramautiliza una escala logaritmica, por lo cual es importante recordarciertas propiedades de esta operacion:

Log(P1 ∗ P2) = LogP1 + LogP2 (1)

Log(P2

P1) = LogP1− LogP2 (2)

Log Pn = n ∗ logP (3)

Log(1) = 0 (4)

ASPECTOS HISTORICOS RELACIONADOS CON ELDIAGRAMA DE BODE

En los sistemas de comunicacion, la ganancia se mide en bels.Historicamente, el bel se usa para medir las relacion entre dosniveles de potencia o la ganancia de potencia G; esto es:

G = Log10P2

P1(5)

El decibel (dB) proporciona una unidad menor en magnitud.Corresponde a 1/10 de un bel y esta dado por:

Gdb = 10Log10P2

P1(6)

Tomando esto en cuenta, se aplican ahora los conceptos delogaritmos y decibeles para construir los diagramas de Bode.

DIAGRAMAS DE BODE

El valor de una funcion de transferencia F(s), para un s especifico,es un numero complejo cuya amplitud es F(s) y cuyo angulo es argF(s). Para sistemas continuos, el diagrama de Bode, muestra la lavariacion en la amplitud y el angulo en F(s), cuando s toma losposibles valores del eje imaginario positivo (s = jω).

COMPONENTES DEL DIAGRAMA

Diagrama de magnitud

eL eje horizontal muestra el valor de ω en escala logaritmica,mientras que el eje vertical muestra la magnitud de F (jω) medidaen decibeles (dB):

|F (jω)|db = 20log10|F (jω)| (7)

Diagramas de fase

el eje horizontal muestra el valor de ω en escala logaritmica,mientras que el eje vertical muestra el angulo de F (jω) medida engrados o radianes.

Para un sistema que tiene una funcion de transferencia queinvolucra varios terminos, la magnitud resultante es el producto delas magnitudes de los elementos que los constituyen, es decir,

|G (jω)| = |G1(jω)||G2(jω)||G3(jω)|... (8)

Para adecuar la ecuacion al diagrama de Bode se calcula ellogaritmo en base 10 de la siguiente manera:

log |G (jω)| = log |G1(jω)|+ log |G2(jω)|+ log |G3(jω)|.. (9)

La grafica resultante de |G (jω)| respecto a la frecuencia muestralas contribuciones de los terminos de magnitud indivisuales.

¿PORQUE UTILIZAR UNA BASE LOGARITMICA?

La base logaritmica nos permite trazar las curvas de respuesta enfrecuencia con gran facilidad independiente de las caracteristicasfrecuenciales de la funcion, algunas caracteristicas que suelepresentar las funciones de transferencia son:

• GANANCIA CONSTANTE

Esto es donde G (s) = K y de esta manera G (jω) = Kdonde la fase es cero y su magnitud expresada en decibeles estadada por:

|G (jω)| = 20log(k) (10)

CARACTERISTICAS EN F(jω)

• UN POLO EN EL ORIGEN

Esto es donde G (s) = 1s y de esta manera G (jω) = 1

jω = −jω

Para dicho sistema la magnitud en decibeles es

|G (jω)| = 20log(1

ω) = −20log(ω) (11)

cuando ω = 1rads , entonces |G (jω)| = 0 y cuando ω = 10 rad

sentonces |G (jω)| = −20dB. Para cada decada de incremento enfrecuencia la magnitud cae en -20 dB. La fase de dicho sistemaesta dada por

tanφ =(−1

ω )

0= −∞ (12)

Por lo tanto φ es constante para todas las frecuencias en -90grados.

CARACTERISTICAS EN F(jω)

• UN CERO EN EL ORIGEN

Esto es donde G (s) = s y de esta manera G (jω) = jω. Para dichosistema la magnitud en decibeles es 20 log ω.Ası, cuandoω = 1rad

s , entonces |G (jω)| = 0dB, y cuando ω = 10rads ,entonces

|G (jω)| = 20dB. La traza de Bode en magnitud es una linea rectade pendiente 20 dB por decada de frecuencia, la cual pasa por 0dB en ω = 1rad

s .La fase del sistema esta dada por

tan φ =ω

0= +∞ (13)

Por lo tanto la fase es constante para todas las frecuencias en 90grados.

CONSTRUCCION DE LOS DIAGRAMAS DE BODE

Debido a las escalas empleadas en los diagramas de Bode, estospueden ser construidos en forma aproximada mediante trazosrectos. La figura 1 muestra los diagramas de Bode aproximadospara funciones sencillas de orden 1. La figura 2 muestra losdiagramas de bode para funciones de orden 2; en estos casos, lasaproximaciones pueden ser bastante lejanas de los diagramasexactos, dependiendo del factor de amortiguamiento. Por estarazon se han trazado los diagramas exactos para una funcion desegundo orden (para el primer caso de la figura 2), en las figuras 3y 4 Para funciones de transferencia mas sosticadas que las de lasguras 1 y 2 se descompone la funcion de trasferencia comoproductos de terminos mas sencillas, se trazan los diagramas debode estas de funciones y luego se suman punto a punto paraobtener los diagramas de la funcion original

Figure: Diagramas de Bode aproximados para sistemas de primer orden

Figure: Diagramas de Bode aproximados para sistemas de primer orden

Figure: Diagramas de Bode aproximados para sistemas de segundo orden

Figure: Diagrama de Bode de magnitud para un sistema continuo desegundo orden

Figure: Diagrama de Bode de fase para un sistema continuo de segundoorden

EJEMPLO 1

Elabore los Diagramas de Bode (Magnitud y Fase) para lasiguiente funcion de transferencia:

F (ω) =200jω

(jω + 2)(jω + 10)(14)

SOLUCION:

F (ω) =

200jω(2)(10)

( jω2 + 1)( jω10 + 1)(15)

F (ω) =10jω

( jω2 + 1)( jω10 + 1)(16)

F (ω) =10|jω|

| jω2 + 1|| jω10 + 1|90◦ − arctan(ω2 )− arctan( ω

10) (17)

|F (ω)| = 20 log10 10+20 log10 |jω|−20 log10 |1+jω

2|−20 log10 |1+

jω

10|

(18)

φ = 90◦ − arctan(ω

2)− arctan(

ω

10) (19)

Figure: Diagrama de magnitud (superior), diagrama de fase (inferior)

EJEMPLO 2

Dibuje los Diagramas de Bode para la siguiente funcion detransferencia

F (ω) =5(jω + 2)

(jω)(jω + 10)(20)

SOLUCION:

F (ω) =( 510)( jω2 + 1)

(12)(jω)( jω10 + 1)(21)

F (ω) =( jω2 + 1)

(jω)( jω10 + 1)(22)

F (ω) =| jω2 + 1||jω|| jω10 + 1|

arctan(ω2 )− arctan( ω10)− 90◦ (23)

|F (ω)| = 20 log10 |1 +jω

2| − 20 log10 |jω| − 20 log10 |1 +

jω

10| (24)

φ = arctan(ω

2)− arctan(

ω

10)− 90◦ (25)

Figure: Diagrama de magnitud (superior), diagrama de fase (inferior)

EJEMPLO 3

Dado el diagrama de Bode de la figura, obtenga la funcion detransferencia H(w).

Figure: Diagrama para el ejemplo 3

Para obtener H(ω) a partir de diagrama de Bode, hay que recordarque un cero siempre provoca un giro hacia arriba en una frecuenciade quiebre, en tanto que un polo produce un giro hacia abajo. Elhecho de que esta recta este desplazada 40dB, indica que hay unaganancia de 40dB; esto es,

40 = 20Log10(k) (26)

Log10(k) = 2 (27)

o seak = 102 = 100 (28)

Ahora identificamos las frecuencias de quiebre en ω = 1, 5 y 20rad/s. Por lo tanto, se tiene: 1. Un polo en p = 1 con pendientede -20dB/decada, para provocar un giro hacia abajo y contrarrestarel cero en el origen. El polo en p = 1 corresponde a 1/(1+j ω /1).

Figure: Diagrama para el ejemplo 2

2. Otro polo en p = 5 con una pendiente de -20 dB/decada queproduce un giro hacia abajo. El polo es 1/(1+j ω/5).

Figure: Diagrama para el ejemplo 2

3.Y un tercer polo en p = 20 con pendiente de 20dB/decada queocasiona un giro hacia abajo adicional. El polo es 1/(1+j ω /20).

Figure: Diagrama para el ejemplo 2

Si se juntan todas las tres ecuaciones anteriores obtenemos,

H(ω) =100jω

(1 + jω/1)(1 + jω/5)(1 + jω/20)(29)

H(ω) =104jω

(1 + jω)(5 + jω)(20 + jω)(30)

o sea

H(s) =104s

(1 + s)(5 + s)(20 + s), s = jω (31)