bloques de contenidos · 2020. 4. 8. · 17 una pastelería vendió 27 tartas. el número de las de...
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SUMA piezaS
BACHILLERATO1MATEMÁTICAS
APLICADAS A LAS
CIENCIAS SOCIALES I
J. C olera J iménez , M .ª J . Ol ive ira González ,
R . C olera Cañas , R . GARC ÍA PÉREZ
tu libroASÍ ES
Aprendizaje cooperativo
Implícate en tu apren-dizaje y participa en el de todo el grupo; com-probarás que cooperar mejora el rendimien- to y la convivencia en clase.
Compromiso ODS
Descubre los Objetivos de Desarrollo Sosteni-ble y forma parte ac-tiva de nuestro com-promiso para lograr un mundo más igualitario y habitable.
Desarrollo del pensamiento
Trabaja estrategias de pensamiento: reflexio-na sobre los contenidos que estás aprendiendo, genera ideas, organí-zalas, priorízalas, ar-guméntalas, exponlas…
Plan LingüísticoPon en práctica tus destrezas comunicati-vas en los diferentes ti-pos de texto que te pro-ponemos. El lenguaje siempre está presente, ¡comunícate!La
s cl
aves
de
l pr
oyec
to
ODS
111110 anayaeducacion.es Resoluciones de estos ejercicios.
1 Explica si es verdadera o falsa cada una de las siguientes frases:
a) Todo número decimal se puede expresar como fracción.b) La suma de dos números irracionales es siempre irracio-
nal.c) El producto de dos números irracionales puede ser un
número racional.d) El cociente de dos números decimales exactos es siempre
un decimal exacto.
2 Expresa las soluciones de estas inecuaciones en forma de intervalo y represéntalas:
a) |x – 2| < 1 b) |3 + 2x | ≥ 4c) x1 3– + ≥ 2 d) ( )x x 1– ≥ 3
3 Efectúa las siguientes operaciones y simplifica:
a) a a a a a a2 3– –3 2 3 124 6 8+
b) 96
98 18 30 3– ·
c) ( )( )2 3 6 1–+
d) 66
53 2
23
4 2–++
e) 50 8 18 3 2– –+
4 Expresa el resultado de la siguiente operación con tres ci-fras significativas y da una cota del error absoluto y otra del error relativo cometido:
(5 · 10–18)(3,52 · 1015) : (–2,18 · 10–7)2
5 Si log k = –1,3 calcula el valor de estas expresiones:
a) log k 3 b) log k1 c) log k
100
6 Calcula x aplicando la definición de logaritmo.
a) log2 x = –1 b) ln x3 = 2
7 El precio de la leche subió un 15 % en enero y un 18 % en febrero, y bajó un 20 % en marzo. ¿Cuál ha sido la subida total en esos tres meses?
8 Depositamos un capital de 5 000 € al 6 % anual durante 3 años y 3 meses. Calcula en cuánto se transforma si el pe-riodo de capitalización es:
a) Trimestral b) MensualDi, en cada caso, cuál es la T.A.E.
9 Un trabajador inicia un plan de pensiones a los 40 años, in-gresando cada año 4 000 € al 2 % anual. ¿De qué cantidad dispondrá a los 65 años?
10 Recibimos un préstamo de 10 000 € al 13 % anual, que debíamos devolver en un solo pago. ¿Cuánto tiempo ha transcurrido si al liquidarlo pagamos 16 304,7 €?
11 Un banco nos presta 30 000 € al 10 % anual, que hemos de devolver en 3 años mediante pagos mensuales. ¿Cuánto tendremos que pagar cada mes?
12 Factoriza los siguientes polinomios.a) x 3 – 9xb) 3x 5 – 4x 4 – 5x 3 + 2x 2
13 Opera y simplifica:
a) ( )
( )( ) ( )x
x x x x x x1
3 4 1 2 1 2–2 2
2 2 3 2
++ + + +
b) :xx
x xx x
14 2–
–2
32
++e o – (x 2 – 3x)
14 Resuelve las siguientes ecuaciones:a) (x + 4)2 – 7 = (2x + 3)2 + 2xb) 2x 4 – 3x 2 – 2 = 0c) 3x 5 – 4x 4 – 5x 3 + 2x 2 = 0
d) x x
xx
x 14 4
72
–2 + +
+ + =
e) x2 3+ – 2x = x – 6 f ) x + x4 9+ = 7
g) 3x 2 – 2 = 13 h) 42x – 2 · 4 x + 1 + 16 = 0
i) 2 log x + log (x + 1) = log (x 2 + 4x)j) ln (x 2 – 1) = 1
15 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:
a) x yxy x
30
+ =+ =
* b) ·
x y4 52 2 16
–x y6–
==
)
c) xxx
yyy
zzz
2 22
034 2
34
–– –
––
–+
+
===
* d) xxx
yyy
zzz
23
2
3
15
10–
–– –
++
+
+
===
*
16 Resuelve. a) x 2 – x – 6 > 0 b) 2x + 3y ≤ 6
c) xx
1 32 1 9– ≤
>+) d) x y
x y2 3 6
1– ≤>+
*
17 Una pastelería vendió 27 tartas. El número de las de cho-colate duplicó al de tartas de nata y entre ambas excedieron en 3 a las ventas de tartas de queso. ¿Cuántas se vendieron de cada tipo?
18 La diagonal de un rectángulo de 12 cm2 de área mide 5 cm. ¿Cuáles son sus dimensiones?
autoevaluación Bloque I: Aritmética y álgebra
análisisBLOQUE II
4 Funciones I
5 Funciones II
6 Límites de funciones. Continuidad y ramas
infinitas
7 derivadas
13
12 12
Resolución de problemas
13
Problemas: retos a tu alcance
Empecemos recordando qué es un problema:
Si estás ante una dificultad para cuya resolución ya conoces un camino,
te encuentras ante un ejercicio. Pero si no conoces ningún camino, y ni
tan siquiera sabes la magnitud de la dificultad ante la que te encuentras,
entonces, seguramente, estés ante un auténtico problema.
Resolver problemas requiere un gran esfuerzo. Como correr, nadar, montar
en bicicleta o hacer gimnasia. Pero, al igual que estas actividades, propor-
ciona grandes satisfacciones.
Por otro lado, resolver un problema también supone un reto: esta es su
componente deportiva. Y, además, tiene una fuerte componente lúdica,
pues es necesario poner en juego creatividad, curiosidad, espíritu aventure-
ro: indagar, recorrer caminos nuevos, descubrir…
Para resolver un problema, a veces, no hace falta saber mucho. Basta con
pensar bien y tener una actitud mental positiva, abierta y creativa.
Todo el mundo, de entrada, sabe «resolver problemas» (algo, aunque sea
poco). Pero, por mucho que se sepa, todo el mundo puede mejorar.
Actitudes positivas para mejorar
la resolución de problemas
Sé metódico
El método no te asegura el éxito pero te ayuda en su búsqueda.
Ten confianza en tus capacidades
Con frecuencia no es necesario saber mucho para resolver un problema,
basta con pensar correctamente. Actúa convencido de que está a tu alcance.
Sé paciente y constante
No abandones a la menor dificultad. Cada problema requiere su tiempo y
es imprescindible dedicárselo.
Concéntrate en lo que haces
Resolver problemas es una actividad intelectual compleja. Requiere poner
en tensión todos nuestros resortes mentales.
Da por bueno el tiempo empleado
Ten la seguridad de que todo el tiempo que dediques a esta tarea ha sido su-
mamente provechoso. ¡Aunque no hayas sido capaz de resolver el problema!
Sácales partido a los buenos problemas
Un buen problema es una magnífica fuente de aprendizaje. Aunque ya lo hayas resuelto
(con o sin ayuda), vuelve a él al cabo del tiempo e intenta resolverlo de nuevo.
Etapas en la resolución de problemas
Para actuar con método, cuando vayas a resolver un problema es recomendable que des
una serie de pasos, siempre los mismos y siempre en el mismo orden. Nosotros te propo-
nemos los siguientes:
1. Comprender el problema
• Léelo con toda atención y reflexiona sobre él. Si tienes alguna duda después de leer el
enunciado, vuelve a leerlo las veces que consideres necesarias.
• Has de tener muy claro en qué consiste, qué conoces, qué se te pide, cuáles son las
condiciones…
2. Elaborar un plan de actuación
Existe una gran variedad de estrategias que conviene que conozcas y que practiques para
mejorar tu capacidad de resolver problemas. Más adelante veremos algunas de ellas.
Es posible que encuentres y sigas un plan de actuación que no se encuadre en ninguna de
las estrategias aprendidas. ¡Mejor! El camino ideal es el que más claro te resulte a ti.
3. Llevar a cabo el plan previsto
Una vez que hayas elegido tu estrategia, llévala a cabo. Pero si ves que te atascas o que
entras en un camino sin salida, vuelve al paso anterior. Tal vez te convenga probar una
estrategia nueva.
4. Reflexionar sobre la solución obtenida
Muy a menudo nos olvidamos de este paso y es tan importante como todos los anteriores.
• Tienes que verificar si la solución que has dado es buena: si es completa, si responde a
lo que el problema planteaba, si es razonable…
• Reflexiona sobre el proceso que has seguido y sobre las dificultades que has tenido (in-
cluso si no has llegado a la solución, no importa; seguro que has aprendido algo).
• También puedes plantearte nuevos problemas o intentar buscar otras soluciones o, tal
vez, la solución obtenida te pueda servir para resolver aquel otro problema que no te salía.
5. Contar la resolucion a otra persona. Redactarla
• Es muy útil que le cuentes la resolución a otra persona, por ejemplo, a un compañero o
compañera. Además puedes redactar el proceso de resolución. Intenta hacerlo de forma
clara, ordenada, que pueda ser comprendida por otra persona.
• Da la solución de manera coherente con los términos del enunciado. Fíjate sobre todo
en la pregunta que se te hace y trata de responderla en los mismos términos.
• Aunque no hubieras sido capaz de llegar a resolverlo, hacer una buena redacción descri-
biendo el proceso que has seguido, los sucesivos intentos, el por qué crees que no te ha
salido, etcétera, te ayudará a mejorar. Además, puede resultar muy útil para que quien
te lo propuso pueda darte las orientaciones que sean más adecuadas para ti.
para empezar
bloques de contenidos
Lo primero que encon-trarás al empezar el libro es una unidad dedicada a la resolución de pro-blemas y un repaso de las épocas más impor-tantes de la historia de las matemáticas.
Cada bloque se inicia con un eje cronológico en el que se desta-can los principales avances en el campo de las matemáticas.
Al final de cada bloque
encontrarás una larga
autoevaluación para re-
pasar los contenidos de
todas las unidades del
bloque.
Los iconos incluidos en algunas actividades sugieren la clave del proyecto que puede aplicarse en cada caso.
El libro está dividido en tres bloques:
Te mostramos distintas estrategias y te planteamos problemas para que las apliques.
Te damos pautas y pasos para
enfrentarte a un problema.
Análisis
Estadística y probabilidad
Aritmética y álgebra
Educación emocional
Aprende a conocerte; identifica las situacio-nes que te generan emociones bloquean-tes y gestiónalas con experiencias de autoa-firmación constructiva.
Cultura emprendedora
Confía en tus aptitudes y conocimientos, de-sarrolla la creatividad, adáptate a las situacio-nes cambiantes y ten una actitud proactiva y responsable.
TICAprende a obtener información, selec-cionarla y aplicarla; a planificar, gestionar y elaborar trabajos; a colaborar en Red de forma ética y segura.
EvaluaciónDescubre diversas es-trategias para anali-zar qué has aprendido y cómo lo has apren-dido; entrénate para asumir compromisos o superar dificultades.
Orientación académica y profesional
Valora tus capacidades personales, descubre y despierta tu vocación, entrénate en la toma de decisiones y apren-de a orientarte entre distintas opciones.
Unidad 9
Ejercicios y problemas propuestosEjercicios y problemas propuestos
Ejercicios y problemas guiados
269268
En una urna hay 12 bolas blancas, 8 ro-jas, 3 verdes y 1 amarilla. Se toman tres bolas al azar y se anota el número de ellas que son blancas.a) Hacer una tabla con la distribución de
probabilidad. b) ¿La distribución de probabilidad an-
terior nos permite calcular la proba-bilidad de que las tres bolas extraídas sean verdes? ¿Por qué?
c) Calcular la probabilidad de que al menos dos bolas sean blancas.
a) Tienes que hallar estas probabilidades: P [0 blancas] = P [no blanca en 1.ª] · P [no blanca en 2.ª/no blanca en 1.ª] ·
· P [no blanca en 3.ª/no blanca en 1.ª ni en 2.ª] P [1 blanca] = P [blanca en la 1.ª y no blanca en la 2.ª y 3.ª] +
+ P [no blanca en la 1.ª y blanca en la 2.ª y no blanca en la 3.ª] + + P [no blanca en la 1.ª y la 2.ª y blanca en la 3.ª] = = 3 · P [1 blanca y 2 no blancas]
P [2 blancas] = … P [3 blancas] = …b) Observa que a partir de la tabla solo puedes hallar las probabilidades del número
de blancas.c) Hay que calcular P [2 blancas] + P [3 blancas].
Solución:
a) xi 0 1 2 3
pi 5/46 9/23 9/23 5/46
b) Con la tabla no se puede hallar el número de bolas verdes extraídas porque solo da información sobre la extracción de bolas blancas.
c) P [al menos 2 blancas] = 21
1. Cálculo de probabilidades y distribución de probabilidad
Un examen tipo test consta de 10 pregun-tas, cada una con cuatro respuestas, de las cuales solo una es correcta. Si un alumno contesta al azar:a) ¿Cuál es la probabilidad de que con-
teste correctamente 4 preguntas?b) ¿Y la de que conteste bien más de 2
preguntas?c) Calcular la probabilidad de que con-
teste mal alguna pregunta.
¿Se trata de una distribución binomial? ¿Cuál es el valor de n ? ¿Y el de p ?
a) Aplica la fórmula P [x = k] = nkc m pkq n – k.
b) P [x > 2] = 1 – P [x ≤ 2] = 1 – (P [x = 0] + P [x = 1] + P [x = 2])c) P [x ≤ 9] = 1 – P [x = 10]
Solución:
a) 0,146b) 0,474c) 0,999999046
2. Binomial
En una familia con 6 hijos e hijas, ¿cuál de estas dos opciones es más probable?• Que haya tantas chicas como chicos.• Que haya más chicas que chicos.
La distribución del «número de chicas» es binomial B (6, 1/2).• Tantas chicas como chicos → P [x = 3]• Más chicas que chicos → P [x > 3] = P [x = 4] + P [x = 5] + P [x = 6]Puesto que es igualmente probable que haya «más chicas que chicos» que «más chicos que chicas», la segunda probabilidad también se podría resolver así:
P [x > 3] = [ ][ ≠ ] P xP x2
1 32
3 –= =
Solución:
P [x = 3] = 5/16; P [x > 3] = 11/32. Por tanto, es más probable que haya más chicas que chicos.
3. Binomial
Para practicar
Cálculo de probabilidades
1 Lanzamos tres monedas. Calcula la probabilidad de que:a) Las tres sean cara.b) Se obtengan dos caras y una cruz.c) Haya al menos una cara.
2 a) En un juego de dominó, tenemos sobre la mesa la ficha 3-5. ¿Qué probabilidad hay de que otra extraída al azar engrane con ella?
b) ¿Y si tuviésemos la 5-5?
3 Extraemos tres bolas con reemplazamiento de esta urna. Calcula la probabilidad de que:a) Cada una sea de un color.b) No haya ninguna blanca.c) Se obtengan dos azules.Repite la actividad si la extracción fuera sin reemplazamiento.
4 Extraemos dos bolas de la siguiente urna:a) ¿Qué es más probable, sacar dos bolas
rojas con o sin reemplazamiento?b) ¿Qué es más probable, sacar una bola roja y otra azul con
o sin reemplazamiento?
Distribuciones de probabilidad
5 Completa la siguiente tabla de probabilidades y calcula sus parámetros µ y σ:
xi 0 1 2 3
pi 0,1 0,3 … 0,1
6 En una urna hay diez bolas con los números 1, 1, 2, 3, 3, 3, 4, 5, 5, 6. Sacamos una bola y anotamos el resultado. Elabora la distribución de probabilidad y calcula µ y σ.
7 Tenemos dos monedas, una correcta y otra defectuosa en la que la probabilidad de obtener cruz es 0,2. Las lanzamos y anotamos el número de cruces.Haz una tabla con la distribución de probabilidad y halla la probabilidad de obtener al menos una cruz.
8 Extraemos con reemplazamiento dos cartas de una baraja y anotamos el número de ases.a) ¿Cuáles son los posibles resultados?b) ¿Cuál es la distribución de probabilidad?c) Calcula la media y la desviación típica.
Distribución binomial
9 Reconoce en cada uno de los siguientes casos una distribu-ción binomial y di los valores de n, p, q, µ y σ.a) Un examen tipo test consta de 50 preguntas, cada una
con tres respuestas, de las que solo una es correcta. Se responde al azar. ¿Cuál es el número de preguntas acerta-das?
b) En el examen descrito en el apartado anterior, un alum-no o alumna conoce las respuestas de 20 preguntas y responde las restantes al azar. ¿Cuál es el número de pre-guntas acertadas?
c) Una moneda se lanza 400 veces. Número de caras.d) El 11 % de los billetes de lotería reciben algún tipo de
premio, aunque sea el reintegro. En un familia juegan a 46 números. ¿En cuántos se obtendrá premio?
e) El 1 % de ciertas soldaduras son defectuosas y revi-samos mil de ellas. Número de soldaduras defectuosas que hay.
10 En una distribución binomial B (7; 0,4), determina:a) P [x = 2] b) P [x = 5] c) P [x = 0]
d) P [x > 0] e) P [x > 3] f ) P [x < 5]
11 En una distribución binomial B (9; 0,2), calcula:a) P [x < 3] b) P [x ≥ 7] c) P [x = 0]d) P [x ≠ 0] e) P [x ≤ 9] f ) P [x ≥ 9]
12 Un examen tipo test consta de 10 preguntas, cada una con 4 respuestas de las cuales solo una es correcta. Si se contesta al azar:a) ¿Cuál es la probabilidad de no contestar ninguna bien?b) ¿Cuál es la probabilidad de contestar una sola pregunta
bien?c) ¿Cuál es la probabilidad de acertar al menos dos?
13 En un almacén hay 5 aparatos de televisión antiguos. Sa-bemos que la probabilidad de que cualquiera de ellos tenga una deficiencia es 0,2. Calcula estas probabilidades:a) P [ninguno defectuoso]b) P [al menos dos defectuosos]c) P [alguno defectuoso]
14 En un proceso de fabricación de tornillos se sabe que el 2 % son defectuosos. Los empaquetamos en cajas de 50 torni-llos. Halla la probabilidad de que en una caja haya este número de tornillos defectuosos:a) Ninguno. b) Uno. c)Más de dos.¿Cuántos tornillos defectuosos habrá por término medio?
Desarrollo de cada unidad
Ejercicios y autoevaluaciones
4544
Unidad 14LOGARITMOS
Nota histórica
La preocupación por encontrar recursos que facilitaran las operaciones aritméticas enormes hizo que a principios del siglo xvii los logaritmos fueran inventados casi simultáneamente por dos matemáticos:Napier (Neper), escocés, en 1614 y Bür-gui, suizo, en 1620.
■ Logaritmos decimales
Los logaritmos en base 10 se llaman logaritmos decimales y, en lugar de designarse mediante log10, se designan simplemente así: log
log K = log10 KAntes de la irrupción de las calculadoras, los logaritmos decimales se utilizaban para aliviar los cálculos aritméticos. Veámoslo en un ejemplo: Deseamos efectuar la división 8 378,85 : 1 798,51 con varias cifras decimales. La tarea no es difícil, pero sí laboriosísima. Veamos cómo puede hacerse más llevadera utilizan-do logaritmos. Aplicaremos la siguiente propiedad: log (A/B) = log A – log B, por lo que, en lugar de una división, haremos una resta, tarea claramente más cómoda:
5°¢£
log A = log 8 378,85 =(1)
3,923184log B = log 1 798,51 =
(2) 3,254913
log (A/B) = log A – log B =(3)
0,668271
Y ahora averiguamos a qué número corresponde este logaritmo: 100,668271 =
(4)4,65877. Este es, pues, el cociente buscado.
Hemos señalado algunas igualdades. ¿Cómo se obtenían sin calculadora? Los resulta-dos (1) y (2) se buscaban en las tablas de logaritmos, unos libros en los que apare-cían, ordenados, los logaritmos de muchos miles de números. La igualdad (3) es una simple resta. Y (4) también se obtiene a partir de la tabla de logaritmos.
■ Logaritmos neperianos
Se llama así a los logaritmos cuya base es el número e, y se designan mediante ln:ln K = loge K se lee logaritmo neperiano de K
Su nombre proviene de su inventor, Neper o Napier.El número e = 2,71828182846… es irracional. Su importancia es enorme en mate-máticas superiores. Nos lo encontraremos, de nuevo, en la próxima unidad.Estos logaritmos, además de su interés histórico, son también muy importantes en matemáticas superiores. En la calculadora hay una tecla con la que se obtienen directamente.
Mirifici logarithmorum canonis descriptio (1614), obra en la que Napier presentó los logaritmos.
1 Averiguar la relación que hay entre x e y, sabiendo que se verifica:
ln y = x + ln 7
Como x = ln e x, entonces ln y = ln e x + ln 7.Aplicamos la propiedad 4 .
ln y = ln (e x · 7) → y = e x · 7La relación entre x e y es y = 7e x.
Ejercicio resuelto
4 Averigua la relación que hay entre x e y, sabiendo que se verifica:
ln y = 2x – ln 5
5 Determina si es cierta la siguiente igualdad e indica qué propiedad o propiedades has utilizado:
log e · ln 10 = 1
Piensa y practica
Logaritmo de una operación
Efectuamos la operación y recurrimos al re-sultado mediante la tecla q. Por ejemplo:
log , · ,8
3 5 1 7
3,5 . 5 * 1,7 / 8 = q ={–≠…‘“°∞|«}
Cálculo en cualquier base
La propiedad 8 (cambio de base) permite calcular logaritmos en una base cualquiera utilizando solamente la tecla usando la igualdad:
loga x = llnn
ax
Por ejemplo, log2 500:
500 / 2 = {°…£\∞|°¢}
1 Aplica la propiedad 8 para obtener los siguientes logarit-mos con ayuda de la tecla de la calculadora:
a) log2 1 500 b) log5 200
c) log100 200 d) log100 40
2 ¿Verdadero o falso? Utiliza tu calculadora.
a) log2 2 = log2 (2 · 1) = log2 2 · log2 1 = 1 · 0 = 0
b) 21 log 5 = log 25
c) La parte entera de log 500 es 2.
d) La parte entera de log 0,05 es –1.
e) log2 (log 10 000) = 2
f ) log 3 = log 1013
g) ln 0,25 = –2 ln 2
h) Si log2 A2 + log2 A3 + log2 A4 = 36, entonces A = 4.
i) Si logA 3 + logA 27 + logA 9 = 12, entonces A = 3 .
3 Si log A = 1,45; log B = 2,3 y log C = 0,52; calcula cada una de las siguientes expresiones:
a) log ABC
23 b) log
B CA
10100
2 43
c) log ,A
CB
10 0 0012
5f p d) log ( )
,B
A C1000
0 12
43$
e) log ,BA10 10
0 1 2$ 3e o f ) 2
1 log ( )A
C100 2
43 2
f p
4 Halla en cada caso el valor de A:
a) ln A + ln A2 + ln A3 = 6
b) log A 2 + log A 3 + log A7 = 6
c) ln A 7 + ln A 9 + ln A14 = 330
d) logA 273 + logA 272 + logA 274 + logA 277 = 48
e) logA 62 + logA 63 + logA 65 = 30
f ) logA 22 + logA 0,53 + logA 44 + logA 0,25 = 10
Piensa y practica
■ Logaritmos con calculadora
• Logaritmo decimal
Por ejemplo: log 50
50 ={‘…\£°£|≠}¿A qué número corresponde un cierto logaritmo decimal?
Por ejemplo, sabemos que log x = 2,301029996 y que, por tanto, x = 102,301029996.
2,301029996 = {“≠≠…≠≠≠≠≠≠}
• Logaritmo neperiano
Por ejemplo: ln 40
40 = {«…\°°°|£}¿A qué número corresponde un cierto logaritmo neperiano?
Por ejemplo, sabemos que ln x = 3,951243719 y, por tanto, x = e3,951243719.
3,951243719 = {∞“…≠≠≠≠≠≠}
• Logaritmos en otra base Por ejemplo: log 2 500 2 500 = {°…£\∞|°¢}
Las dos primeras páginas de
cada unidad están dedicadas
a introducir sus contenidos más importantes a través de
una introducción histórica.
Las unidades se dividen en epígrafes y subepígrafes, en los que te mostra-mos los conceptos y herramientas que debes aprender.
En cada epígrafe encon-trarás ejercicios resueltos y otros que te propone-mos para que los resuel-vas.
Se completa la presentación teórica con varias páginas de ejercicios resueltos y unos ejer-cicios guiados para que los re-suelvas siguiendo unos pasos que te indicamos brevemente.
Al final de la unidad te proponemos una gran cantidad de ejercicios y te plantemos una autoe-valuación que te ayudará a comprobar tus avances.
el banco de recursoswww.anayaeducacion.es
ASÍ ES
Compromiso ODS, con microvídeos que te ayudarán a conocer cuáles son las metas para alcanzar los Objetivos de Desarrollo Sostenible trabajadas en el proyecto.
Plan Lingüístico, con infografías que te darán las pautas para abordar el trabajo por medio de distintos tipos de textos (descriptivo, narrativo, expositivo, etc.).
Desarrollo del pensamiento, donde se incorporan explicaciones sobre cómo aplicar las distintas estrategias de pensamiento planteadas en el proyecto.
Aprendizaje cooperativo, que incluye la descripción de las técnicas de apren-dizaje cooperativo propuestas en el proyecto.
Educación emocional, con orientaciones para superar la inquietud generada en diferentes situaciones de tu proceso de aprendizaje (inicio del curso, enfren-tarte a un examen, etc.).
TIC, mediante fichas que reforzarán tu uso saludable, correcto y seguro de las tecnologías de la información y la comunicación.
Orientación académica y profesional, con información sobre diferentes profe-siones vinculadas a los contenidos tratados en la asignatura.
Evaluación, se presentan orientaciones para hacer tu portfolio, así como rúbri-cas y dianas que facilitan tu autoevaluación.
Recursos relacionados con
LAS CLAVES del proyecto
Un espacio con recursos, técnicas y actividades, diseñado para afianzar tus conocimientos.
Accede al banco de recursos regis-trándote en www.anayaeducacion.es. Solo necesitas tener un correo elec-trónico, el código que se indica en la primera página de este libro y el permiso de tu padre, madre, tutor o tutora legales.
ODS
Más sobre las claves
Recursos DESTACADOS de la materia
Recursos clasificados
por unidades
Tutoriales Actividades con GeoGebra Glosario Aprende jugando Autoevaluaciones
Todos los recursos clasificados para que pue-das localizar fácilmente los relacionados con cada apartado de tu unidad.
contenidosdel curso
I ARI
TMÉT
ICA
Y ÁL
GEBR
A
II AN
ÁLIS
IS
• Problemas: retos a tu alcance ......................................... 12• Actitudes positivas para mejorar la resolución
de problemas ....................................................................... 12• Etapas en la resolución de problemas ........................ 13• Análisis de algunas estrategias ..................................... 14• La demostración matemática ........................................ 20• Problemas para practicar ................................................ 24
breve historia de las matemáticasResolución de problemas
Pág. 8
Pág. 12
1. Lenguaje matemático. Conjuntos y símbolos . 342. Números reales. La recta real ................................ 363. Raíces y radicales....................................................... 384. Logaritmos ................................................................... 425. Expresión decimal de los reales.
Números aproximados ............................................. 46Ejercicios y problemas ................................................. 49Autoevaluación ................................................................ 57
Los números reales1 Pág. 32
1. Aumentos y disminuciones porcentuales ......... 602. Tasas y números índices .......................................... 623. Intereses bancarios ................................................... 634. ¿Qué es la «Tasa anual equivalente» (T.A.E.)? 655. Amortización de préstamos .................................. 666. Progresiones geométricas ...................................... 687. Cálculo de anualidades o mensualidades
para amortizar deudas ............................................. 708. Productos financieros .............................................. 73Ejercicios y problemas .................................................. 74Autoevaluación ............................................................... 79
ARITMÉTICA MERCANTIL2 Pág. 58
1. Transformaciones elementales de funciones .. 1422. Composición de funciones ..................................... 1443. Función inversa o recíproca de otra ................... 1464. Funciones exponenciales ........................................ 1485. Funciones logarítmicas ............................................ 1506. Funciones trigonométricas .................................... 151Ejercicios y problemas ................................................. 155Autoevaluación ............................................................... 163
FUNCIONES II5 Pág. 140
1. Las igualdades en álgebra ...................................... 822. Polinomios. Factorización....................................... 833. Fracciones algebraicas ............................................ 854. Resolución de ecuaciones ...................................... 875. Resolución de sistemas de ecuaciones ............. 926. Método de Gauss para sistemas lineales .......... 947. Inecuaciones y sistemas de inecuaciones
con una incógnita ...................................................... 978. Inecuaciones lineales con dos incógnitas ......... 99Ejercicios y problemas ................................................. 101Autoevaluación ............................................................... 109Autoevaluación del bloque I ...................................... 110
Álgebra3 Pág. 80
FUNCIONES I4 Pág. 114
Pág. 1101. Las funciones y su estudio ..................................... 1162. Dominio de definición .............................................. 1183. Funciones lineales. Interpolación ......................... 1204. Funciones cuadráticas. Interpolación ................ 1225. Funciones de proporcionalidad inversa ............ 1256. Funciones raíz ............................................................. 1267. Funciones definidas a «trozos» ............................ 1288. Valor absoluto de una función .............................. 130Ejercicios y problemas ................................................. 131Autoevaluación ............................................................... 139
II AN
ÁLIS
IS
1. Medida del crecimiento de una función ............ 1962. Obtención de la derivada a partir
de la expresión analítica .......................................... 1983. Función derivada de otra ........................................ 2004. Reglas para obtener las derivadas de algunas
funciones ....................................................................... 2015. Tabla de derivadas ..................................................... 2056. Utilidades de la función derivada ........................ 2067. Optimización de funciones .................................... 2088. Representación de funciones ................................ 210Ejercicios y problemas ................................................. 214Autoevaluación .............................................................. 223Autoevaluación del bloque II ................................... 224
DERIVADAS7 Pág. 194
1. Comportamiento de una función en el infinito .................................................................. 166
2. Cálculo de límites de funciones cuando x 8 +∞ ........................................................... 168
3. Límite de una función cuando x 8 –∞ .............. 1704. Cálculo de límites de funciones
cuando x 8 –∞ ........................................................... 1715. Comportamiento de una función
en un punto. Límites y continuidad .................... 1726. Cálculo de límites en un punto ............................. 1767. Ramas infinitas. Asíntotas ...................................... 1808. Ramas infinitas en las funciones racionales ..... 1829. Ramas infinitas en las funciones
trigonométricas, exponenciales y logarítmicas 184Ejercicios y problemas ................................................. 185Autoevaluación ............................................................... 193
Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas6 Pág. 164
1. Distribuciones bidimensionales. Nubes de puntos ...................................................................... 230
2. Correlación lineal ....................................................... 2323. Parámetros asociados a una distribución
bidimensional .............................................................. 2344. Recta de regresión .................................................... 2365. Hay dos rectas de regresión .................................. 2386. Tablas de contingencia ............................................ 239Ejercicios y problemas ................................................ 243Autoevaluación .............................................................. 249
DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES8 Pág. 228
1. Cálculo de probabilidades ...................................... 2522. Distribución estadística y distribución de
probabilidad ................................................................. 2563. Distribuciones de probabilidad de variable
discreta .......................................................................... 2584. La distribución binomial .......................................... 2605. Cálculo de probabilidades en una distribución
binomial ......................................................................... 2626. Ajuste de datos a una distribución binomial ... 264Ejercicios y problemas ................................................ 266Autoevaluación ............................................................... 271
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE VARIABLE DISCRETA9 Pág. 250
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE VARIABLE CONTINUA10
1. Distribuciones de probabilidad de variable continua ......................................................................... 274
2. La distribución normal ............................................. 2763. Cálculo de probabilidades en distribuciones
normales ........................................................................ 2784. La distribución binomial se aproxima
a la normal .................................................................... 2825. Ajuste de un conjunto de datos a una
distribución normal ................................................... 284Ejercicios y problemas ................................................ 286Autoevaluación ............................................................... 291Autoevaluación del bloque III.................................. 292
Pág. 272
III E
stad
ísti
ca y
pro
babi
lida
d
32
1
32
los números reaLesOrigen y evolución de los númerosDesde la prehistoria, el ser humano se ha visto en la necesidad de contar y, por ello, todas las civilizaciones han desarrollado algún sistema de nume-ración. Como los dedos de la mano siempre han sido instrumentos muy útiles para llevar las cuentas, muchos de estos sistemas fueron decimales (con diez dígitos). Por cierto, la palabra dígito viene de dedo. La concepción de un método para designar números, en el cual el valor de cada cifra dependiera del lugar que ocupa (sistema posicional), fue deter-minante para que un sistema de numeración resultara más útil y operativo que otros. En este proceso, hubo que inventar el 0 para ocupar las posicio-nes vacías. En la India, en el siglo vi, completaron así su práctico sistema decimal posicional, que empezó a llegar a Occidente a partir de los siglos ix y x proveniente de la ciencia árabe, que a su vez lo había tomado de aquel país.
Los números fraccionariosLos números fraccionarios fueron apareciendo en diferentes civiliza-ciones de la Antigüedad para expresar el reparto de cosas en partes que no eran exactas. En Babilonia usaban las fracciones sexagesimales, en China las fracciones ordinarias, y en Egipto las fracciones unitarias. En Europa, en el siglo xiii, se impusieron las fracciones sexagesima-les, pero el uso extendido del sistema de numeración decimal para los números enteros, hizo que, desde finales del siglo xvi, se estableciera el uso de la notación decimal también para las fracciones. En este proceso fueron fundamentales el francés Francisco Vieta y el flamen-co Simon Stevin.
Los números irracionalesLa escuela pitagórica (siglo v a. C.) creía que el universo se regía por los números naturales y las relaciones entre ellos (fracciones) pero sus miembros descubrieron con gran sorpresa, a través de un caso particular del teorema de Pitágoras, que algunas medidas no podían expresarse como cociente entre dos números naturales. Tan contrario a toda lógica les pareció la existencia de una relación así, que al número correspon-diente lo llamaron irracional (contrario a la razón).
Estatua de Simon Stevin en Brujas.
3333
Resuelve
anayaeducacion.es Biografía de Fibonacci.
La fachada de Comares, en la Alhambra, combina el cuadrado y el rectángulo áureo.
El conjunto de los números realesLos irracionales, más que como números, fueron tratados como magnitudes geométricas. Esta forma de tratarlos se extendió durante casi dos milenios. Es muy reciente, pues, la idea de que todos estos números, junto con los racionales, forman un único conjunto con estructura y características muy interesantes. El concepto de número real, como ahora lo conocemos, es el resultado de la evolución en el estudio de las funciones. El uso de este concepto fue acuñado por el alemán George Cantor en el año 1871.
Número áureo: un irracional históricoLa estrella de cinco puntas o pentágono estrellado era el símbolo de la escuela pitagórica. Como ya sabes, hasta que descubrieron los irracionales no concebían números que no fueran los naturales y sus relaciones. El azar, sin embargo, hizo que en su propio símbolo se encontrara un número irracional: f. La relación que existe entre el lado del pentágono estrellado y el lado del correspondiente pentágono convexo no se puede expresar como cociente de dos números na-turales. En Grecia, el mundo del arte consideró que esa re-lación resultaba especialmente armoniosa por lo que la llamaron proporción áurea y a f, número áureo. Este número aparece reiteradamente en el estudio del crecimiento de las plantas, las piñas, la distribución de las hojas en un tallo, la formación de caracolas, las alas de los insectos… y en cualquier estudio armóni-co del arte.El nombre, f (fi, letra F en griego), es la inicial de Fidias, escultor griego del siglo v a. C. que utilizó reiteradamente esta proporción.
El pentágono estrelladoObserva el pentágono estrellado que se muestra a continuación:1 Demuestra que los triángulos ABF y EBD son semejantes (es
decir, demuestra que sus ángulos son respectivamente iguales).2 Si llamamos l al lado del pentágono y d a su diagonal, basándote
en la semejanza de los triángulos que acabas de demostrar, halla la relación d/l y comprueba que es el número áureo:
ld =
25 1+ = ϕ E
F
D
l
d
B
A C
34
1LENGUAJE MATEMÁTICO. CONJUNTOS Y SÍMBOLOS
Ejemplo
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}B = {2, 4, 6, 8, 10}UniónA ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10}IntersecciónA ∩ B = {2, 4, 6}DiferenciaA – B = {1, 3, 5}B – A = {8, 10}Conjunto universalU = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}ComplementariosA' = {7, 8, 9, 10}B' = {1, 3, 5, 7, 9}
Recuerda
Se llama conjunto vacío al que no tiene nin-gún elemento y se denota con el símbolo ∅.
■ Terminología usada en los conjuntos
Las matemáticas resultan más claras, precisas y rigurosas si se apoyan en el lenguaje de los conjuntos. Hasta ahora lo hemos usado ocasionalmente, pero cada vez recu-rrimos a él con más frecuencia. Vamos a recordar cosas ya conocidas y a profundizar algo en ellas.
• Los conjuntos suelen designarse mediante letras mayúsculas: C, X, Y, A, B, … aunque algunos conjuntos numéricos muy utilizados tienen una simbología espe-cial que ya conoces: N, naturales; Z, enteros; Q, racionales; Á, reales.
• Para expresar que x es un elemento del conjunto C se utiliza el símbolo ∈ (pertenece): x ∈ C se lee «x pertenece a C »; y ∉ C se lee «y no pertenece a C ». Por ejemplo:
5 es un número natural → 5 ∈ N; 2 no es natural → 2 ∉ N • Para describir conjuntos se utilizan, habitualmente, los siguientes símbolos:
{ } (llaves), encierran los elementos del conjunto o la propiedad que los caracteriza.
/ («tales que»), precede a la propiedad que caracteriza a los elementos del conjun-to. Por ejemplo:
Números enteros comprendidos entre –3 y 4: {x ∈ Z/ –3 < x < 4}.
Se lee «el conjunto de los x pertenecientes a Z tales que –3 < x < 4».
• Si todos los elementos de A son también elementos de C, decimos que A es un subconjunto de C y lo expresamos así: A ⊂ C (A está contenido en C ), o así: C ⊃ A (C contiene a A). Por ejemplo:
N ⊂ Z, Z ⊂ Q, Q ⊂ Á, o bien Z ⊃ N, Q ⊃ Z, Á ⊃ Q.
■ Operaciones con conjuntos
• El conjunto formado por todos los elementos de otros dos conjuntos A y B se designa A ∪ B. Se lee «A unión B ».
Si A ⊂ B, entonces A ∪ B = B. Por ejemplo, N ∪ Z = Z.A ∪ B
A B
• El conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y a B (a ambos) se designa A ∩ B. Se lee «A intersección B ».
Si A ⊂ B, entonces A ∩ B = A. Por ejemplo, N ∩ Z = N.
Si A y B no tienen ningún elemento en común, entonces A ∩ B = ∅.
A ∩ B
A B
• El conjunto formado por todos los elementos de A que no están en B se designa A – B. Se lee «A menos B ».
A – B se llama conjunto diferencia. Por ejemplo, los núme-ros naturales que no son múltiplos de 3: N – {x / x = •3} A – B
A B
• Si en un cierto contexto hay un conjunto U en el cual están contenidos todos los demás conjuntos que se manejen, a U se le llama conjunto universal. En la mayoría de las aplicacio-nes numéricas de este curso, Á es el conjunto universal.
• Si U es el conjunto universal, U – A se llama complemen-tario de A y se designa A' o Ac.
U
AA'
x ∈ C
Cx
A ⊂ C
C
A
35
Unidad 1
■ Frases matemáticas
La expresión «x ∈ A» es una frase en la que se afirma que x pertenece (es un ele-mento) del conjunto A. En esta frase, el verbo es «∈».Los símbolos ∈, ∉, ⊂, ⊃, =, <, >, ≤, ≥ son verbos.Con ellos se forman frases que afirman algo. Por ejemplo:A ∩ B ⊂ A El conjunto A ∩ B está contenido en el conjunto A.(x – 1)2 ≥ 0 El resultado de (x – 1)2 es mayor o igual que 0.l ∉ V La letra l no pertenece al conjunto de las vocales V.
■ Dos símbolos lógicos, ⇒ y ⇔
La afirmación siguiente:«Si x es un número entero, entonces x es un número racional»
relaciona dos afirmaciones:P : «x es un número entero»Q : «x es un número racional»
Las partículas si… entonces… (si P entonces Q) sirven para expresar una consecuen-cia: siempre que ocurra P ocurrirá Q.Esto se puede expresar con el símbolo ⇒ (que se lee implica):
x es un número entero ⇒ x es un número racionalx ∈ Z ⇒ x ∈ Q
Cuando además de P ⇒ Q ocurre que Q ⇒ P, entonces pondremos P ⇔ Q. Este símbolo ⇔ (que se lee si y solo si) nos indica que las afirmaciones P y Q son equi-valentes, es decir, siempre que sea cierta una, tiene que ser cierta la otra. Por ejemplo:
el triángulo ABC es equilátero ⇔ el triángulo ABC es equiángulo
1 ¿Verdadero o falso?a) El conjunto coloreado de la iz-
quierda se puede designar A – B.b) El conjunto coloreado de la iz-
quierda se puede designar A ∩ B'.
c) El conjunto coloreado de la de-recha se puede designar:
(A – B) ∪ (B – A)d) El conjunto coloreado de la de-
recha se puede designar:(A ∪ B) – (A ∩ B)
e) El conjunto coloreado de la derecha se puede designar (A ∩ B' ) ∪ (A' ∩ B).
f ) x ∈ Z ⇒ x ∈ Qg) [x ∈ ( •3) y x ∈ ( •2)] ⇔ x ∈ ( •6)
( •n) es el conjunto de los múltiplos de n.
h) ( •3) ∩ ( •2) = ( •6)i) x ∈ A – B ⇒ x ∈ A ∩ B'
j) (x ∈ A ⇒ x ∈ B ) es lo mismo que decir A ⊂ B.k) (x ∈ A ⇒ x ∈ B ) ⇔ A ⊂ Bl) (x ∈ A ⇒ x ∈ B ) ⇒ B ⊂ Am) x ∈ (0, 1) ⇔ x ∈ Á y 0 < x < 1n) 2 ∉ (Á – Q) ∩ (0, 1) pero 2/2 ∈ (Á – Q) ∩ (0, 1)ñ) 0,5 ∈ (Á – Q) ∩ (0, 1)o) ( Á – Q) ∩ (0, 1) es el conjunto de los números irra-
cionales positivos menores que 1.p) {x ∈ Z / –2 < x ≤ 5} = {–1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}q) El conjunto de los números enteros mayores que –5 y
menores que 7 es Z ∩ (–5, 7).r) (x es un número real pero no es racional) ⇔ x ∈ Á – Q
Piensa y practica
A B
A B
36
2números reales. la recta real
■ Números racionales
Los números racionales son los que se pueden poner como cociente de dos núme-ros enteros. Entre ellos están los propios números enteros, Z (positivos —natura-les, N— y negativos).Los números racionales se pueden expresar mediante decimales exactos o periódicos.El conjunto de todos los números racionales se designa por Q. Al situarlos sobre la recta numérica la ocupan densamente. Esto quiere decir que:— Entre dos números racionales hay otros infinitos números racionales.— Si tomamos un punto cualquiera de la recta numérica hay infinitos números ra-
cionales tan cerca de él como queramos.
■ Números irracionales
Aunque los números racionales están densamente situados, en la recta numérica hay infinitos puntos no ocupados por números racionales. A cada uno de esos puntos le corresponde un número irracional.
Son números irracionales 2 , 3 , 53 , π, ϕ (número áureo), etc.Los números irracionales no se pueden poner como cociente de dos enteros.Su expresión decimal tiene infinitas cifras no periódicas.El conjunto de los números irracionales se designa por .
■ Números reales
Los números racionales y los irracionales forman el conjunto de los números reales. El conjunto de los números reales se designa por Á. Es decir:
Á = Q ∪ Q ∩ = ∅Los números reales llenan la recta numérica. Es decir, si se señala en la recta un ori-gen, 0, y se sitúa el punto correspondiente al número 1 (es decir, se concreta cuál es la longitud unidad), a cada número real le corresponde un punto de la recta y a cada punto de la recta le corresponde un número real. Por eso a la recta numérica se la llama recta real.
■ Valor absoluto de un número real
El valor absoluto de un número real nos da «el tamaño» de dicho número. Así, –8 y 8 tienen el mismo valor absoluto: 8
El valor absoluto de un número real, a, es el propio número a, si es positivo, o su opuesto, – a, si es negativo:
|a |= ,,
≥a
aa
a00
si–si
<)
Por ejemplo, |1 – 3 | = 3 – 1, pues 3 > 1.
■ Propiedades del valor absoluto
Si a y b son dos números reales cualesquiera, se cumple lo siguiente:• |a| ≥ 0 (de hecho |a| = 0 si y solo si a = 0)• |a · b| = |a| · |b| (propiedad multiplicativa)• |a + b| ≤ |a| + |b| (desigualdad triangular)
Interpretación gráfica
Gráficamente, el valor absoluto de un nú-mero es su distancia al 0.
–6 60
|–6| = 6 | 6 | = 6
La distancia entre dos puntos de la recta real, a y b, se puede expresar mediante el valor absoluto así:
dist(a, b) = |b – a|Por ejemplo:
dist(–7, 5) = |5 – (–7)| = 12dist(–2, –9) = |–9 – (–2)| = |–7| = 7
Números trascendentes
Se llaman números trascendentes aque-llos que no pueden ser solución de un polinomio de coeficientes racionales. Los números que no son trascendentes se lla-man algebraicos. Hay infinitos números trascendentes, sin embargo, es difícil demostrar que un nú-mero sea trascendente. Los más conocidos son π y e. Busca información en Internet y encuen-tra otros ejemplos.
Atención
Hay operaciones cuyo resultado no es un número real. Por ejemplo:
4– , 5– , 8–4
7,3
4,5
–2
5
√—64
√—–8
–3√—63√
—–27
√—3
37
Unidad 1
■ Intervalos y semirrectas
Recordemos la nomenclatura para designar algunos tramos de la recta real.
nombre símbolo descripción significado representación
intervalo abierto
(a, b) {x / a < x < b} Números comprendidos entre a y b, estos no incluidos. a b
intervalo cerrado
[a, b] {x / a ≤ x ≤ b} Números comprendidos entre a y b, estos incluidos. a b
intervalo semiabierto
(a, b] {x / a < x ≤ b}Números comprendidos
entre a y b; a no incluido, b incluido. a b
[a, b) {x / a ≤ x < b}Números comprendidos
entre a y b; a incluido, b no incluido. a b
semirrecta
(– ∞, a) {x / x < a} Números menores que a. a
(– ∞, a] {x / x ≤ a} Números menores que a y el propio a. a
(a, +∞) {x / a < x} Números mayores que a. a
[a, +∞) {x / a ≤ x} Números mayores que a y el propio a. a
1 Representar los siguientes conjuntos numéricos:a) Números mayores que 3.b) {x / 2 ≤ x < 5}c) {x / 3 ≤ x ≤ 7}d) Números menores que 1 excluyen-
do el 0.e) {x / x 2 ≥ 4} =
= {x / x ≤ –2} ∪ {x / x ≥ 2}
a) (3, +∞)
b) [2, 5)
c) [3, 7]
d) (– ∞, 0) ∪ (0, 1)
e) (– ∞, –2] ∪ [2, +∞)
2 Describir y representar.a) | x | ≥ 3b) | x – 2| < 3
a) | x | ≥ 3 ⇔ x ≤ –3 o x ≥ 3 0 3–3
b) | x – 2| < 3 ⇔ –3 < x – 2 < 3 ⇔ –3 + 2 < x < 3 + 2 ⇔ –1 < x < 5
5–1 0
Ejercicios resueltos
0 73
10
20 5
0 3
–2 20
1 Representa sobre la recta real estos conjuntos:a) (–3, –1)c) (3, 9]e) {x / –2 ≤ x < 5}g) (– ∞, 0) ∪ (3, +∞)
b) [4, +∞)d) (– ∞, 0)f ) [–2, 5) ∪ (5, 7]h) (– ∞, 1) ∪ (1, +∞)
2 Averigua para qué valores de x se cumplen las siguientes relaciones y representa cada conjunto.a) | x | = 5c) | x | ≤ 5e) | x – 4| = 2
b) | x – 4| ≤ 2d) | x – 4| > 2f ) | x + 4| > 5
Piensa y practica
38
Recordemos que an = b ⇔ a = b n, donde n es un número natural mayor que 1, y a y b son números reales.
an se llama radical, a radicando, b es la raíz y n el índice de la raíz.
• Si a ≥ 0, an existe cualquiera que sea n. • Si a < 0, an solo existe para valores impares de n. • Si a es positivo, tiene dos raíces cuadradas, una positiva, a , y otra negativa,
– a . Por tanto, la expresión a designa solo a la positiva.
■ Forma exponencial de los radicales
• n n n,a a a a apuesn
nn1 1
= = =a k
• n n nm · n, ( )a a a a a apuesmm
m mmn n 1 1
= = = =
Por ejemplo:
7 7 /3 1 3= x x /5 1 5= 4 4 /73 37= 5125 5 /55 53 3= =
■ Simplificación de radicales
1 a ap n=np , pues nnpa a a app
n1
= = =np
Por ejemplo:
9 3 3 34 24 22 2= = =: 6256 16 1 44 22 2= = =:
4 2 2212 212 26 2 6= = =: ( )x x x912 3 34 343= =:
1 Simplificar estos radicales:a) 1256
b) 25a4 6
c) 136444
d) 2169
e) x3210
8
a) 125 5 5 5 53 / /6 6 3 6 1 2= = = =
b) 25 5 ( ) [( ) ] ( )a a a a a a5 5 5 56 2 6 / / /4 4 2 6 1 4 3 2 1 4 3 1 2 3= = = = =
c) 36144
612
612
612 2 22
2 / //4 4 2 4 1 2
1 2= = = = =c cm m
d) 216 ( ) ( )2 3 2 3 2 3 6 6· · · / /9 3 39 39 3 9 1 3 3= = = = =
e) 32 2x x x x x
2 2 28 8 8 4 4
10 1010
105 5
2 5
55 2
52= = = =$
$
` j
Ejercicio resuelto
1 Simplifica.a) x129 b) x812 c) y15 0
d) 86 e) 649 f ) 818
2 Simplifica y expresa el resultado en forma de raíz.a) x512 39 b) x121 104
c) x
2254
8 d) x125 36
Piensa y practica
radicando
radical
a = bníndiceraíz
3raíces y radicales
39
Unidad 1
■ Reducción de radicales a índice común
La propiedad 1 de la página anterior, a apnp n= , nos permite reducir varios ra-dicales al mismo índice. Veámoslo con un ejemplo:Para comparar las expresiones 3453 y 48 las reducimos a índice común. En este caso, como mín.c.m. (2, 3) = 6, las reducimos a índice 6:
345 345 1190253 23 2 6·= = 48 48 11059232 3 6·= =Por tanto, 3453 > 48.
■ Producto de radicales
2 · ·aa b bn n n= , pues n n n( · ) · ·· a b a aa b b bn n n1 1 1
= = =
Por ejemplo: x y x y x x x3 3 32 32 2· · ·2 2 5 5 5 5= = =
■ Extracción de factores fuera del radical
En ocasiones es necesario extraer factores fuera de los radicales. Veamos con dos ejemplos cómo hacerlo:
· ·32 2 2 2 2 2 2 2 2 43 3 3 3 23 23 35 3 2 3= = = = =
·18 9 2 3 2= =
De la misma forma, se puede realizar la operación contraria, es decir, meter factores dentro de un radical. Por ejemplo:
2 3 2 3 2 3 288· · ·5 510 10 5 210 102= = =
3 5 3 5 3 5 27 5 135· · · ·3 33 3 33 3 3= = = =
1 Comparar 7406 y 834 reduciéndo-los a índice común.
Hallamos el mínimo común múltiplo de los índices: mín.c.m. (6, 4) = 12Expresamos ambas expresiones como radicales de índice 12:
740 740 54760083 83 571787
6 26 2 12
4 3 124 3
·
·= =
= =4 Vemos que 740 83<6 4 .
Ejercicio resuelto
3 Compara reduciendo a índice común en cada caso.a) 2512 y 21 78 b) 513 y 1326509
c) 314 y 133 d) 2455 y 21857
4 Extrae fuera del radical cuando sea posible.a) 3212 b) 27 c) 20 d) 543
e) a74 f ) x5 g) · ·a b c2 3 h) ·x x3 4 2
5 Expresa bajo un único radical en cada caso.a) 2 3 b) 3 2 c) 2 53 d) ·3 22 5
e) ·2 33 f ) ·2 53 g) ·10 3 53 h) ·3 2 45
6 Reduce.
a) 2 2·3 5 b) 9 3·3 6 c) 2 2 2· ·4 8
d) 8 4·4 3 e) 5125 ·4 f ) · 3813
Piensa y practica
Observa
Por la propiedad 2 :·a a a=
Por ejemplo, ·2 2 2= .
Observa
Por la propiedad 2 :· ·a b c d ac bd=
Por ejemplo:·3 2 5 7 3 5 2 7 15 14· ·= =
40
3raíces y radicales
Observa
A raíz de la propiedad 4 se dan las si-guientes particularidades:
( )( )
a aa an n
2 ==
Por ejemplo, ( )3 32 =
Otro ejemplo
27 2 3 12 3 3 2 3 2 33 3 2 3 2 3 3 3
– · – ·–
2 2+ = + == + =
■ Cociente de radicales
3 ba
ba
n
n=n , pues n
ba
ba
ba
ba
//nn
n
n1
11
= = =n b l
Por ejemplo: ;x x
x xx38 2
383 3
5 5
3
3 35== =3
Esta propiedad, junto con las propiedades 1 y 2 , sirve para poner productos y cocientes de radicales bajo un solo radical. Por ejemplo:
243 4
2 33 4
2 33 2 2 3 18·
··
·· ·
3
3 2
33 4 2
6
3
6
6 66 6= = = =6
■ Potencias y raíces de radicales
4 ( )a apn n p= , pues · pn nn ( ) ( )a a a a ap
p p pn n1 11= = = =a ck m
Esta propiedad solo es válida cuando existen los radicales an y a pn .
Por ejemplo, no podemos poner que ( ) ( )5 5 25– –4 4= = , pues el primer radical no tiene significado numérico.
5 a anm mn= , pues ·
n mnm n ma a a amn1 1 1 1 1
= = =a c ck m m
■ Suma y resta de radicales
Dos radicales distintos no pueden sumarse si no es obteniendo sus expresiones deci-males aproximadas. Solo pueden sumarse radicales idénticos.
Por ejemplo, 3 2+ o 77 3+ solo pueden realizarse de forma aproximada o dejándolas indicadas.
Sí puede simplificarse 7 5 11 5 5 17 5– =+ .
Hay casos en los que la posibilidad de simplificar una suma de radicales no es eviden-te. En tales casos, hemos de ingeniárnoslas para descubrir esa posibilidad.
Por ejemplo:
· ·8 18 2500 2 3 2 2 5 2 2 3 2 5 2 10 24 43 2 2 4+ + = + + = + + =
1 Simplificar.a) ( )a2 63 b) a3 c) a34
Aplicamos las propiedades 4 y 5 .
a) ( ) ( )a a a2 63 2 2 4= = b) a aa·3 62 3= = c) a a a34 244 2 3· ·= =
Ejercicio resuelto
7 Simplifica.
a) xx
3
5 b)
··
a ba b
3 c) aa
2
36
3 d) · ·· ·
a b ca b c
3 54
3 3
8 Simplifica.
a) k8a k b) x35 10 c) ( )x 63
9 Suma y simplifica.
a) x x x5 3 2+ + b) · ·9 2 25 2 2–+
c) 18 50 2 8– –+ d) 27 50 12 8– + +
e) a a50 18– f ) 16 54 250–3 3 3+
Piensa y practica
41
Unidad 1
Ten en cuenta
Las expresiones a b– y a b+ se suelen llamar conjugadas.Se multiplican por una de ellas numera-dor y denominador para que en este desa-parezcan los radicales, pues:
( ( ))a b a b a b– –=+
Racionalización con calculadora
La calculadora permite racionalizar mu-chas expresiones. Para hacerlo, configú-rala con E Mat/S Mat (entrada y salida matemática):
8 1:Entrada/Salida 88 1:E Mat/S Mat
Después, introduce la expresión y pulsa =.Comprueba con tu calculadora estas igualdades:
1 21 1 2 3 4
1 2 3– –+ = + + =
Observa
También se pueden suprimir denomina-dores como el de este ejemplo multipli-cando numerador y denominador por 2 3 3 5– :
= =· ·2 3 3 5
2 3 3 514 3 9 5
––+
==33
2 3 3 533
3 5 2 3–
– –
■ Racionalización de denominadores
A veces conviene suprimir los radicales que hay en un denominador. Para ello, hay que multiplicarlo por la expresión adecuada. Naturalmente, el numerador también se multiplicará por esa expresión.
Veamos algunos procedimientos para suprimir raíces del denominador:
• Para suprimir una raíz cuadrada, basta multiplicar por la misma raíz.Por ejemplo:
··2
727 2
27 2
2= =
• Para suprimir una raíz n-ésima, se multiplica por otra raíz n-ésima tal que se com-plete en el radicando una potencia n-ésima.Por ejemplo:
·251
5 55
55
551
5 23 3 3 3
3
3
3 3
32= = = =
• En las sumas con raíces cuadradas, a b+ y a + b , se suprimen los radicales multiplicando por la diferencia de ellas, respectivamente, a b– y ba – , y recíprocamente.
Por ejemplo:
( )(
( ) ( )( ) ( )
( ))
57
5 3 5 37 5
57 5 3 7 5 3
33
3 2– –– 2 2= = + = ++
+
( ) ( )( )
( )( ) ( )
3 3 7 3 73 3 7
23 7 3 7
72 2 7
3 72 2
––
–– – –2 2+
= = = =+
¿Por qué deseamos «racionalizar» el denominador?Antiguamente, cuando no existían instrumentos de cálculo como los actuales, había que esmerarse en la búsqueda de métodos que aliviaran las operaciones. Y es claro que resulta mucho más sencillo multiplicar por un radical que dividir por él. Por eso convenía «echar fuera» del denominador los radicales.Actualmente, con las calculadoras, eso es innecesario. Sin embargo, en la mayoría de los casos es más sencillo multiplicar u operar cuando no hay radicales en el denominador.
10 Racionaliza denominadores y simplifica cuanto puedas.
a) 75 b)
43
3
c) 37 d)
a1
3
e) 503 f )
184
g) 252
3 h)
401
3
i) 363
3 j) 2
1003
11 Racionaliza denominadores y simplifica estas expresiones cuanto puedas.
a) 2 11+
b) x yx y
++
c) aa
11
–– d) x
x yy
–+
e) 2 3 5
1–
f ) 3 2 2 33 2 2 3
–+
g) 21
21
21
1 1–+ +
+ h)
x y x y1 1– +
+
Piensa y practica
42
4logaritmos
Etímología
Logaritmo, del griego logos (relación) y aritmos (número): números de relación o de comparación. Pues, cuando se inven-taron los logaritmos (y durante mucho tiempo), sirvieron para relacionar, com-parar y operar con números de muchas cifras.Naturalmente, todo esto era antes de que hubiera calculadoras.
Atención
Aunque la base de los logaritmos puede ser un número menor que 1 (0 < a < 1), en este curso utilizaremos casi exclusiva-mente logaritmos con base mayor que 1 (a > 1).
Si a > 0 y a ≠ 1, se llama logaritmo en base a de P, y se designa loga P, al exponente al que hay que elevar la base a para obtener P.
loga P = x ⇔ a x = P
Por ejemplo:log2 8 = 3 porque 8 = 23
log2 81 = –3 porque
81 = 1
23 = 2–3
log5 25 = 2 porque 25 = 52
log5 125
= –2 porque 125
= 152 = 5–2
log10 10 000 = 4 porque 10 000 = 104
log10 0,0001 = – 4 porque 0,0001 = 10– 4
Los números que son potencias exactas de la base tienen logaritmos enteros. Los demás, tienen logaritmos con parte decimal. Por ejemplo:
log2 8 = 3; … ; log2 11 = 3,… ; log2 16 = 4; …El log2 11 es un número decimal cuya parte entera es 3.
1 Halla.a) log2 16 b) log2 0,25c) log9 1 d) log10 0,1e) log4 64 f ) log7 49
g) log7 7 h) logπ π1c m
i) log5 0,04 j) log6 2161c m
2 Halla la parte entera de…a) log2 60 b) log5 700
c) log10 43 000 d) log10 0,084
e) log9 60 f ) log7 14
g) log20 450 000 h) log5,4 900
i) log2 3 j) log5 0,1
Piensa y practica
1 Hallar los siguientes logaritmos reco-nociendo la potencia correspondiente:a) log3 81 b) log10 0,01c) log5 0,2 d) log2 0,125
Expresamos cada número como potencia de la base:a) 81 = 34. Por tanto, log3 81 = 4.b) 0,01 = 10–2. Por tanto, log10 0,01 = –2.c) 0,2 =
51 = 5–1. Por tanto, log5 0,2 = –1.
d) 0,125 = 18
= 123 = 2–3. Por tanto, log2 0,125 = –3.
2 Hallar la parte entera de los siguientes logaritmos.a) log2 100b) log10 650
a) ¿Entre qué dos potencias de 2 está el 100? 26 = 64, 27 = 128; 26 < 100 < 27. Por tanto, 6 < log2 100 < 7. Es decir, log2 100 = 6,…b) ¿Entre qué dos potencias de 10 está el 650?
100 = 102 < 650 < 103 = 1 000. Por tanto, 2 < log10 650 < 3.Es decir, log10 650 = 2,…
Ejercicios resueltos
43
Unidad 1
Observa
Por la propiedad 8 :
loga b = loglog
ab
b
b = log a
1b
■ Propiedades de los logaritmos
1 Dos números distintos tienen logaritmos distintos.Si P ≠ Q, entonces loga P ≠ loga Q.Si a > 1 y P < Q, entonces loga P < loga Q.
2 El logaritmo de la base es 1: loga a = 1, porque a1 = a
3 El logaritmo de 1 es 0, cualquiera que sea la base:loga 1 = 0, porque a 0 = 1
4 El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores: loga (P · Q ) = loga P + loga Q
5 El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el del denominador:
loga QPe o = loga P – loga Q
6 El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base de la potencia:
loga P n = n loga P
7 El logaritmo de un radical es igual al logaritmo del radicando dividido por el índice:
loga pn = log Pna
8 Cambio de base. El logaritmo en base a de un número se puede obtener a partir de logaritmos en otra base:
loga P = loglog
aP
b
b
3 Si log5 A = 1,8 y log5 B = 2,4, calcula.
a) log5 125AB2 b) log5 A25 c) log5
AB
25 d) log5 BA
252
3 e) log5 B
A52
3 f ) log5
( )BA
5 2
433
Piensa y practica
1 Sabiendo que log2 A = 3,5 y que log2 B = –1,4, calcular:a) log2 ·A B
4
b) log2 B
A23
a) Aplicamos las propiedades 4 y 5 de los logaritmos.
log2 ·A B4c m = log2 A + log2 B – log2 4 = 3,5 – 1,4 – 2 = 0,1
b) Aplicamos primero las propiedades 4 y 5 ; y después, las 6 y 7 .
log2 B
A23e o = log2 2 + log2 A – log2 B 3 = 1 + log2 A1/2 – log2 B 3 =
= 1 + 21 log2 A – 3 log2 B = 1 +
21 · 3,5 – 3 · (–1,4) = 6,95
Ejercicio resuelto
44
4LOGARITMOS
Nota histórica
La preocupación por encontrar recursos que facilitaran las operaciones aritméticas enormes hizo que a principios del siglo xvii los logaritmos fueran inventados casi simultáneamente por dos matemáticos:Napier (Neper), escocés, en 1614 y Bür-gui, suizo, en 1620.
■ Logaritmos decimales
Los logaritmos en base 10 se llaman logaritmos decimales y, en lugar de designarse mediante log10, se designan simplemente así: log
log K = log10 KAntes de la irrupción de las calculadoras, los logaritmos decimales se utilizaban para aliviar los cálculos aritméticos. Veámoslo en un ejemplo: Deseamos efectuar la división 8 378,85 : 1 798,51 con varias cifras decimales. La tarea no es difícil, pero sí laboriosísima. Veamos cómo puede hacerse más llevadera utilizan-do logaritmos. Aplicaremos la siguiente propiedad: log (A/B) = log A – log B, por lo que, en lugar de una división, haremos una resta, tarea claramente más cómoda:
5°¢£
log A = log 8 378,85 =(1)
3,923184log B = log 1 798,51 =
(2) 3,254913
log (A/B) = log A – log B =(3)
0,668271
Y ahora averiguamos a qué número corresponde este logaritmo: 100,668271 =
(4)4,65877. Este es, pues, el cociente buscado.
Hemos señalado algunas igualdades. ¿Cómo se obtenían sin calculadora? Los resulta-dos (1) y (2) se buscaban en las tablas de logaritmos, unos libros en los que apare-cían, ordenados, los logaritmos de muchos miles de números. La igualdad (3) es una simple resta. Y (4) también se obtiene a partir de la tabla de logaritmos.
■ Logaritmos neperianos
Se llama así a los logaritmos cuya base es el número e, y se designan mediante ln:ln K = loge K se lee logaritmo neperiano de K
Su nombre proviene de su inventor, Neper o Napier.El número e = 2,71828182846… es irracional. Su importancia es enorme en mate-máticas superiores. Nos lo encontraremos, de nuevo, en la próxima unidad.Estos logaritmos, además de su interés histórico, son también muy importantes en matemáticas superiores. En la calculadora hay una tecla con la que se obtienen directamente.
Mirifici logarithmorum canonis descriptio (1614), obra en la que Napier presentó los logaritmos.
1 Averiguar la relación que hay entre x e y, sabiendo que se verifica:
ln y = x + ln 7
Como x = ln e x, entonces ln y = ln e x + ln 7.Aplicamos la propiedad 4 .
ln y = ln (e x · 7) → y = e x · 7La relación entre x e y es y = 7e x.
Ejercicio resuelto
4 Averigua la relación que hay entre x e y, sabiendo que se verifica:
ln y = 2x – ln 5
5 Determina si es cierta la siguiente igualdad e indica qué propiedad o propiedades has utilizado:
log e · ln 10 = 1
Piensa y practica
45
Unidad 1
Logaritmo de una operación
Efectuamos la operación y recurrimos al re-sultado mediante la tecla q. Por ejemplo:
log , · ,8
3 5 1 7
3,5 . 5 * 1,7 / 8 = q ={–≠…‘“°∞|«}
Cálculo en cualquier base
La propiedad 8 (cambio de base) permite calcular logaritmos en una base cualquiera utilizando solamente la tecla usando la igualdad:
loga x = llnn
ax
Por ejemplo, log2 500:
500 / 2 = {°…£\∞|°¢}
1 Aplica la propiedad 8 para obtener los siguientes logarit-mos con ayuda de la tecla de la calculadora:
a) log2 1 500 b) log5 200
c) log100 200 d) log100 40
2 ¿Verdadero o falso? Utiliza tu calculadora.
a) log2 2 = log2 (2 · 1) = log2 2 · log2 1 = 1 · 0 = 0
b) 21 log 5 = log 25
c) La parte entera de log 500 es 2.
d) La parte entera de log 0,05 es –1.
e) log2 (log 10 000) = 2
f ) log 3 = log 1013
g) ln 0,25 = –2 ln 2
h) Si log2 A2 + log2 A3 + log2 A4 = 36, entonces A = 4.
i) Si logA 3 + logA 27 + logA 9 = 12, entonces A = 3 .
3 Si log A = 1,45; log B = 2,3 y log C = 0,52; calcula cada una de las siguientes expresiones:
a) log ABC
23 b) log
B CA
10100
2 43
c) log ,A
CB
10 0 0012
5f p d) log ( )
,B
A C1000
0 12
43$
e) log ,BA10 10
0 1 2$ 3e o f ) 2
1 log ( )A
C100 2
43 2
f p
4 Halla en cada caso el valor de A:
a) ln A + ln A2 + ln A3 = 6
b) log A 2 + log A 3 + log A7 = 6
c) ln A 7 + ln A 9 + ln A14 = 330
d) logA 273 + logA 272 + logA 274 + logA 277 = 48
e) logA 62 + logA 63 + logA 65 = 30
f ) logA 22 + logA 0,53 + logA 44 + logA 0,25 = 10
Piensa y practica
■ Logaritmos con calculadora
• Logaritmo decimal
Por ejemplo: log 50
50 ={‘…\£°£|≠}¿A qué número corresponde un cierto logaritmo decimal?
Por ejemplo, sabemos que log x = 2,301029996 y que, por tanto, x = 102,301029996.
2,301029996 = {“≠≠…≠≠≠≠≠≠}
• Logaritmo neperiano
Por ejemplo: ln 40
40 = {«…\°°°|£}¿A qué número corresponde un cierto logaritmo neperiano?
Por ejemplo, sabemos que ln x = 3,951243719 y, por tanto, x = e3,951243719.
3,951243719 = {∞“…≠≠≠≠≠≠}
• Logaritmos en otra base Por ejemplo: log 2 500 2 500 = {°…£\∞|°¢}
46
5EXPRESIÓN DECIMAL DE LOS REALES. NÚMEROS APROXIMADOS
El conjunto
En la práctica, para realizar cálculos nu-méricos se utilizan números decimales con un número finito de cifras. Al con-junto de todos ellos lo denominamos .Es evidente que ⊂ ⊂ .Observa que
31 ∉ .
En su lugar 0,3333 ∈ .
Los números reales reflejan con absoluta precisión resultados teóricos. Por ejemplo, π
133 5 es un número real cuyo significado es clarísimo. Su expresión decimal tiene infinitas cifras (1,62111109…). Sin embargo, en la práctica (ciencia aplicada, eco-nomía, o, simplemente, en la vida cotidiana), estos números se expresan en forma decimal y con pocas cifras. Así, el número anterior se quedaría en 1,6; 1,62 o bien 1,621, según la precisión que requiera la operación que estemos realizando.Por otra parte, en los problemas reales, los datos que manejamos (medidas, cantida-des…) son aproximados y desconocemos su valor real. Cuando utilizamos un valor aproximado en lugar del valor real cometemos un error. Recordemos las definiciones:
Error absoluto = E.A. = |Valor real – Valor aproximado|
Error relativo = E.R. = Valor realE absolutorror
Pero calcular estos errores es, en la práctica, imposible pues, como ya hemos comen-tado, el valor real es habitualmente desconocido. Por tanto, el error cometido al usar un número aproximado también es desconocido. Sin embargo, es imprescindible controlarlo. Y esto lo haremos diciendo: «Este valor es aproximado. No sé qué error estoy cometiendo pero puedo asegurar que es menor que…». A esto se le llama poner cota al error o acotar el error.
■ Cotas de error
Al dar un número aproximado hemos de poder asegurar que:Error absoluto < k (k es la cota del error absoluto)
Por ejemplo: «El peso de estos paquetes es 450 g con un error menor que 4 g».A partir de la cota del error absoluto se puede acotar el error relativo:
Error relativo < kValor aproximado
En el ejemplo anterior, 4/450 = 0,00888… < 0,009. Podemos decir que 0,00888… es una cota del error relativo. Y se puede simplificar tomando como cota 0,009; o dado en porcentaje, 0,9 %.
Ten en cuenta
El error absoluto se expresa en la misma magnitud que la medición que se efectúa.El error relativo es un número abstracto (sin unidades). Se puede expresar en tan-tos por ciento.
1 a) Calcular el volumen, en m3, de la esfera circunscrita a un cubo de 4 m de lado.
b) Aproximar el volumen hasta los hectolitros.
c) Dar una cota del error absoluto y otra del error relativo.
a) El diámetro de la esfera es la diagonal, AC , del cubo.
; ( )AB AC4 4 4 2 4 2 4 4 3 m2 2 2 2= + = = + =
El radio, R, de la esfera es AC2
→ R = 2 3 m
Vesfera = 34 πR 3 =
34 π(2 3)3 = 32 3π m3 ≈ 174,12474 m3
4
44
A
BC
b) Como 1 hL = 0,1 m3, para aproximar a hL hemos de dar el volumen en m3 con una cifra decimal: Vesfera = 174,1 m3
c) E.A. < 0,02474 < 0,03 m3 E.R. < ,
,174 10 03 = 0,00017… < 0,0002
Observamos que el error absoluto (y su cota) se da en la misma magnitud que la medida (m3 → volumen) mientras que el relativo es un número abstracto. Se puede dar en tantos por ciento. En este caso diríamos que el error relativo es menor que el 0,02 %.
Ejercicio resuelto
47
Unidad 1
1 Dar una cota del error absoluto y otra del error relativo en las siguientes me-didas:a) 3 millones de personas.b) 0,57 millones de euros.c) 0,570 millones de euros.
a) Si se trata de una estimación fiable, es admisible que el error absoluto sea menor que medio millón de personas.Error absoluto < 0,5 millones de personas
Error relativo < ,3
0 5 = 0,1666… < 0,17 → E.R. < 17 %
b) Si se trata de un número aproximado, entonces:Error absoluto < 0,005 millones de euros → E.A. < 5 000 €
Error relativo < ,,
0 0050 57
= 0,0087… < 0,009 → E.R. < 0,9 %
c) Al ser un número aproximado, el cero final significa que esa cifra (la de las milési-mas) está controlada. Por tanto:Error absoluto < 0,0005 millones de euros → E.A. < 500 €
Error relativo < ,,
0 00050 570
< 0,0009 → E.R. < 0,09 %
Ejercicio resuelto
■ Cifras significativas
En la página anterior dábamos varias expresiones aproximadas del número:
π13
3 5 = 1,62111109…
expresiones aproximadas: 1,6 1,62 1,621Los números aproximados se expresan con varias cifras que sabemos exentas de error. Se llaman cifras significativas. En las expresiones aproximadas anteriores hemos utilizado, respectivamente, 2, 3 o 4 cifras significativas.El error absoluto suele ser menor que 5 unidades del lugar siguiente al de la última cifra significativa utilizada. En el ejemplo anterior, los errores absolutos estarían aco-tados, respectivamente, así:
cotas de error absoluto: 0,05 0,005 0,0005El error relativo es tanto menor cuantas más cifras significativas se utilicen.En ocasiones utilizamos ceros para poder expresar una medición. Por ejemplo, si decimos que el número de habitantes de una ciudad es 3 800 000, probablemente solo controlemos las dos primeras cifras, con lo cual los últimos ceros no serían cifras significativas. En tal caso sería más razonable decir que el número de habitantes es 3,8 millones o bien 38 cientos de miles.
1 ¿Verdadero o falso?I. El precio de esta vivienda es, aproximadamente, de
390 000 €, con un error menor que 10 000 €.II. El precio del menú del día es, aproximadamente, de
12 €, con un error menor que 1 €.En I el error absoluto es mucho mayor que en II, pero el error relativo es menor.
2 Di una cota del error absoluto y otra del error relativo en las siguientes mediciones:a) Daniel le dice a su hermana María que la superficie de
su casa es de 96,4 m2.b) Por la gripe se han perdido 37 millones de horas de
trabajo.c) Juana gana unos 25 000 € al año.
Piensa y practica
48
5EXPRESIÓN DECIMAL DE LOS REALES. NÚMEROS APROXIMADOS
Practica
Di el error absoluto y el error relativo de las siguientes cantidades aproximadas:a) 3,800 × 1016 mb) 2,5 × 10 – 6 horasc) 6,3 × 109 personasd) 2,40 × 10 –12 g
■ Notación científica
• El volumen de la Tierra es 1,08 × 1021 m3. Obviamente se trata de un número aproximado y está dado en notación científica.
Como número aproximado, podemos decir que:
E.A. < 0,005 × 1021 m3 = 5 × 1018 m3 → E.A. < 5 × 1018 m3
E.R. < ,,
0 01 08
05 = 0,0046… < 0,005 → E.R. < 0,5 %
• Un cierto virus tiene un diámetro de 3,0 × 10–9 m. También se trata de un núme-ro aproximado puesto en notación científica.
E.A. < 0,05 × 10–9 m = 5 × 10–11 m → E.A. < 5 × 10–11 m
E.R. < ,,
0 03 0
5 = 0,01666… < 0,02 → E.R. < 2 %
■ Calculadora para la notación científica
La tecla @ de la calculadora ayuda a expresar números en notación científica pero además, la calculadora posee un modo de actuación (Notación científica) específico para esta notación al que puedes llegar mediante este camino:
→ 3:Formato número → 2:Not científica
Cuando llegues al texto Científ:Selec 0~9 debes presionar un número entre el 0 y el 9 (el 0 significa 10), que indica el número de cifras significativas con el que quieres trabajar.
Por ejemplo, si queremos trabajar con la notación científica utilizando cuatro cifras significativas, seguiremos este camino:
→ 3:Formato número → 2:Not científica →→ 4 (n.º de cifras significativas)
Multiplicamos (3 475 980 000) · (1,27 · 10–5).
3475980000 * 1,27 � 5 = {¢…¢‘¢P‘≠Î}Observaciones
• Cuando la calculadora está en modo Notación científica, admite expresiones no científicas, pero al darle a una tecla de operación o al =, pone el número en nota-ción científica, con las cifras significativas deseadas, redondeando.
• La calculadora conserva en su memoria los dígitos que no exhibe en la pantalla. Si en el ejemplo anterior ponemos la calculadora en el modo Normal, aparecerá en la pantalla el resultado con todas las cifras:
{∫¢¢‘¢¢Ÿ£¢\}
3 Calcula en notación científica sin usar la calculadora.a) (800 000 : 0,0002) · 0,5 · 1012
b) 0,486 · 10–5 + 93 · 10–9 – 6 · 10–7
4 Opera con la calculadora.a) (3,87 · 1015 · 5,96 · 10–9) : (3,941 · 10– 6)b) 8,93 · 10–10 + 7,64 · 10–10 – 1,42 · 10–9
Piensa y practica
49
Unid
ad 2Unidad 1
Ejercicios y problemas resueltos
1. Intervalos y valor absolutoEscribir en forma de intervalos, los va-lores que puede tomar x para que sean válidas las siguientes expresiones: a) x 31+ =b) ≤x 4c) x1 3– >d) ( )x x3 –
Hazlo túIndica, en cada caso, qué números cumplen estas condiciones:a) ≥x 2 5+ b) x4 3– <
a) Si |x + 1| = 3 → xx
1 31 3–
+ =+ =
* →→
xx
24–
==
b) Cualquier número comprendido entre – 4 y 4, ambos incluidos, es decir x ∈ [–4, 4].
0 4–4
c) Si queremos que |1 – x | > 3, puede ser xx
1 31 3
–– –
><
* →→
xx
24
–– –
><
→→
xx
24–<
>
(*)
(*) Al cambiar el signo de los dos miembros de la desigualdad cambia su sentido.Los valores de x pueden ser menores que –2 o mayores que 4, es decir:
x ∈(– ∞, –2) ∪ (4, +∞) –2 0 4
d) La raíz cuadrada se puede calcular si el radicando es mayor o igual que 0. ( )x x3 – existe → x (3 – x) ≥ 0 y además x (3 – x) = 0 → x = 0, x = 3
Para que un producto sea positivo, los dos factores deben tener el mismo signo.Estudiamos el signo de cada factor en los intervalos (–∞, 0); (0, 3) y (3, +∞).
x (–∞, 0) 0 (0, 3) 3 (3, +∞)
x – 0 + + +
3 – x + + + 0 –
x (3 – x) – 0 + 0 –
Los dos factores son positivos si 0 < x < 3.No hay ningún valor para el cual los dos factores sean negativos.
Los valores para los que la expresión es válida son [0, 3]. 0 3
2. Operaciones con intervalos Expresar como un único intervalo.a) (–2, 7) ∩ (1, 9]b) (–1, 4] ∪ [–3, 2)c) (–∞, 5) ∪ (–3, 0]
Hazlo túExpresa como un único intervalo:a) (–5, 4) ∪ [0, 6]b) (–5, 4) ∩ [0, 6]
a) La intersección de conjuntos contiene a todos los elementos que están en ambos con-juntos. Por tanto contendrá a los números tales que –2 < x < 7 y 1 < x ≤ 9; el 7 no pertenece al primero y el 9 no pertenece al segundo. La solución es el intervalo (1, 7).
10 7
b) La unión de dos conjuntos contiene a todos los elementos de ambos. En este caso todos los números que cumplen –1 < x ≤ 4 y –3 ≤ x < 2. Es el intervalo [–3, 4].
–3 0 4
c) Todos los números del segundo intervalo están contenidos en el primero. La solución es el intervalo (–∞, 5).
0 5
3. ProporcionalidadAñadimos 125 mL de agua a 250 mL de alcohol de 90°.a) ¿Cuál será la concentración de la
mezcla?b) ¿Qué cantidad, V, de agua debemos
añadir de nuevo para obtener un al-cohol de 40°?
Un alcohol de 90° significa que tiene un 90 % de alcohol puro.a) Para calcular la concentración necesitamos saber la cantidad de alcohol puro que tiene
la mezcla y el volumen de la misma.
· ,250 0 9 225
250 125 375mL de alcohol puromL de mezcla
=+ =
3 375225 = x
100 → x = 60 % es la nueva concen-tración
b) V375225
+ = 10040 → 40 (375 + V ) = 22 500 → V = 187,5 mL
50
Ejercicios y problemas resueltos
4. Forma exponencial de los radicales1. Expresar en forma de potencia y sim-
plifica cuando sea posible:
a) a
13 b) 3210
2. Escribir en forma de radical:
a) x /1 2 b) x
1/3 4
3. Expresar como una sola potencia:
a) a a·23 b) :a
1 a4
23 –
Hazlo túExpresa como potencia:
a) x
x2 b) ·9 813 3
Recordamos la forma exponencial de los radicales a a /n m m n= y las potencias de expo-nente negativo a
a1mm
– = .
1. a) a a
a1 1/
/3 1 3
1 3–= = b) 32 2 2 2/ /10 510 5 10 1 2= = =
2. a) x x/1 2 = b) x
x x1/
/ 34 3
4 3 4– –= =
3. El producto de potencias de la misma base es otra potencia de la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes de los factores. En el caso del cociente los exponentes se restan.
a) a a a a a a· ·/ / / / /23 2 3 1 2 2 3 1 2 7 6= = =+
b) : :a
a a a a a1 / / / / /4
23 1 4 2 3 1 4 2 3 5 12– – – –= = =+
6. Racionalización de denominadoresRacionalizar y simplificar.
a) 3
64
b) 3 2 2
8–
c) 25 4 3
5 2 4 3–+
Hazlo túRacionaliza:
a) 2534
b) 112 5 3+
a) Multiplicamos numerador y denominador por 334 .
3 3
6 33
6 33
6 227 273
3 3
4 4
4
4
4 44
4= = =
b) Multiplicamos numerador y denominador por 3 2 + 2.
( ) ( ) ( )
( ) ·3 2 2 3 2 2
83 2
2 2 23 2 22
3 16 2 814
12 2 27
6– –2 2+
= = =+ + + +
c) Multiplicamos numerador y denominador por 5 2 – 4 3.
( )( )( ( )
( ( ))
)· · · ·
5 2 4 3 5 2 4 35 2 4 3 5 2 4 3
5 2 4 340 6 49 20 625 2 16 3 2 5 4 6
50 4898
–– –
–––
––
22= = =+
+
5. Simplificación de radicalesSimplificar.a) 818 b) ·a b12 4 8
c) · 8193 3 d) ·x x4 610 9
e) x x:3 6
43` aj k
Hazlo túSimplifica.
a) x7 21 b) :27 813 6 c) x234
Para simplificar un radical, dividimos el índice y el exponente del radicando por un mis-mo número si ambos tienen un divisor común.
a) 81 3 3 3::4 4 48 8 8 4= = = b) a b a b ab· ·: ::4 8 4 4 8 4 212 12 4 3= =Para multiplicar o dividir radicales estos deben tener el mismo índice.
c) 9 81 3 3 3 3 3· · ::2 4 6 6 3 23 3 3 3 3 3= = = =d) Hallamos mín.c.m. (4, 6) = 12. Este será el nuevo índice. Dividimos 12 : 4 = 3 y 12 : 6 = 2 y elevamos cada radicando al cociente obtenido.
· ·( ) · ( ) x xx x x x x x::4 6 12 12 12 12 1230 18 48 12 410 9 10 3 9 2= = = =e) Simplificaremos el denominador después de expresarlo como una sola raíz. De esta
forma el numerador y el denominador tendrán el mismo índice.
: : : : :x x x x x x x x x x x x::3 63 6 3 6 6 3 3 243 12 12 6= = = = = =` aj k
Unid
ad 2
51
Unidad 1
7. Operaciones con radicalesOperar y simplificar:
a) 2125 254 2 45 3 24– –+
b) a a a5 64 5 27 6–2 36 3 9+
c) 11 3
3 11 3
3––+
+f fp p
Hazlo túOpera y simplifica:
3221 50
65 2–+
a) Descomponemos los radicandos en factores y extraemos los que se pueda:
125 5 5 53= = ; 54 2 3 3 6· 3= = ; 45 3 5 3 5·2= = ; · 324 2 2 63= =
2
2 45 2 63
6125 543
24 5 523 6 5 4 5
61 6– – – – –+ = + = +
b) Extraemos factores de los radicales:
a a a aa a a a
a a
5 64 5 2 5 2 105 27 5 3 5 3 156 6
··
2 6 2 2
3
3
6 6 6 3
3 3 3 3
9 3
= = == = =
=
_
`
a
bb
bb Por tanto: a a a a10 15 6–3 3 3 3+ =
c) Operamos en cada paréntesis y después, multiplicamos:
(
·)1 3
31 3
1 3 31 3
11 3
1 11 31 3
12
––
–– –
–2 2+++ =
+= =f fp p
9. Definición de logaritmoCalcular x, en cada caso, utilizando la definición de logaritmo.
a) log x 0,04 = –1 b) log x 27 = 23
c) ln x1 = 2
1 d) log x 3 = –3
Hazlo túCalcula x :a) logx 5 = 1/2 b) log x 2 = – 4
Sabemos que log a P = x ⇔ a x = P. Por tanto:
a) log x 0,04 = –1 → x –1 = 0,04 → x1 = 100
4 → 100 = 4x → x = 25
b) log x 27 = 23 → x3/2 = 27 → x3 = 27 → x 3 = 27 → x = 3
c) ln x1 = 1
2 → e 1/2 = x1 → e = x
1 → x = e
1
d) log x 3 = –3 → 10–3 = x 3 → x = 10 33 – → x = 10–1
La superficie de un tetraedro es 9 3 cm2. Calcular su arista y su volumen. Dar el resultado con radicales.
aH
Hazlo túEl volumen de un tetraedro regular es 18 2 cm3. Halla la longitud de su arista.
Un tetraedro tiene cuatro caras que son triángulos equiláteros.
• La superficie de cada cara es 4
9 3 cm2.
Hallamos la altura del triángulo equilátero:
h2 = a 2 – a2
2b l → h = a a4
32
32
=
Expresamos el área de una cara en función de la arista a.
Acara = · ·a a a21
23
43
2= → a
43
49 32
= → a2 = 9 → a = ±3
La arista del tetraedro mide 3 cm.
• Volumen del tetraedro = 31 Abase · H
Calculamos H.El triángulo AOB es rectángulo. El cateto AO mide
32
de la altura de una cara.
AO = · ·32
32
23 3 3h = = → H 3 3 6–2 2 2= =` j →
→ H 6=
Vtetraedro = 31
49 3 6
49 2· · cm3=
h
a /2
a a
8. Problemas con radicales
H
B
O
a
A
52
Ejercicios y problemas resueltos
10. Logaritmos sin calculadoraHallar el valor de los logaritmos siguien-tes sin utilizar la calculadora:a) log3 0, 1
b) log4 18
c) log100 100 000
Hazlo tú
Halla el valor de log3 0,3 y de log2 81
sin utilizar la calculadora.
Expresamos cada número como potencia de la base.
a) 0,1 = 19 = 3–2. Por tanto: log3 0,1 = log3 3–2 = –2
b) 18 = 4x → 2–3 = (22)x → –3 = 2x → x = – 2
3 . Por tanto:
log4 18 = log4 4–3/2 = – 2
3
c) 100 000 = 100x → 105 = (102)x → 5 = 2x → x = 25 . Por tanto:
log100 100 000 = log100 1005/2 = 25
11. Propiedades de los logaritmosCalcular el valor de x en cada una de estas igualdades:a) 4 x = 0,02b) ln x + ln 4 – 2 ln 5 = ln 3
Hazlo túCalcula x en estos casos:a) ln 3x – 1 = 5b) 2 log x – log 4 = 2 log 3
a) Tomamos logaritmos en los dos miembros y aplicamos la propiedad del logaritmo de una potencia: loga x n = n loga x
ln 4x = ln 0,02 → x ln 4 = ln 0,02 → x = ,l
ln
n4
0 02 → x = –2,82
b) Debemos transformar la expresión en una del tipo ln A = ln B, de la que se deduce A = B. Para ello aplicamos las propiedades del logaritmo de un producto, de una po-tencia y de un cociente.
ln x · 4 – ln 52 = ln 3 → ln x54
2 = ln 3 → x425
= 3 → x = 475 = 18,75
12. Errores y notación científicaUna galaxia, que está a un millón de años-luz de la nuestra, se acerca a una velocidad de 17 km/s.a) ¿Cuántos kilómetros recorre en un año?b) ¿Cuántos años tardará en llegar a nues-
tra galaxia?Expresar los resultados en notación cien-tífica y dar, en cada caso, cotas del error absoluto y del error relativo cometidos.
Hazlo túExpresa el resultado de estas opera-ciones en notación científica y acota el error absoluto y el error relativo cometidos:a) (15 000 000 : 0,0003)2 · (0,008)3
b) 1,5 · 10–8 + 2,4 · 10–7 – (1,2 · 10– 4)2
a) Sabemos que e = v · t. Como v viene dada en km/s, debemos expresar t en segundos. Escogemos trabajar con dos cifras significativas con la calculadora.
1 año = 365 · 24 · 60 · 60 = 31 536 000 s = 3,2 · 107 s e = 17 · 3,2 · 107 = 5,4 · 108 km recorre, aproximadamente, en un año
Una cota del error absoluto es media unidad de la primera cifra no utilizada. Y una del error relativo se obtiene dividiendo la cota del error absoluto entre el valor aproximado:
E.A. < 0,05 · 108 = 5 · 106 km E.R. < , 105 10
5 4 ··
86
< 0,009 = 0,9 %
La distancia recorrida es, aproximadamente, igual a 5,4 · 108 km, con un error abso-luto menor que 5 · 106 km y un error relativo menor del 0,9 %.
b) Pasamos los años-luz a kilómetros. Velocidad de la luz = 300 000 km/s = 3 · 105 km/s Un millón de años-luz = 106 · (3 · 105) · (3,2 · 107) = 9,6 · 1018 km
t = ,ve
179 106 · 18
= = 5,6 · 1017 s → t = ,, ·3
5 6 102 10· 17
7 = 1,8 · 1010 años tardará
E.A. < 0,05 · 1010 = 5 · 108 años E.R. < , 10
101 8
5··
108
< 0,028 = 2,8 %
Los años que tardará en llegar a nuestra galaxia son, aproximadamente, 1,8 · 1010, con un error absoluto menor que 5 · 108 y un error relativo menor del 2,8 %.
53
Ejercicios y problemas propuestosEjercicios y problemas guiados Unidad 1
Simplificar las siguientes expresiones:
a) 3 10812 3–
b) a cd abcd b cd4 8 42 2+ +
a) • Extrae factores fuera del radical en 12 y 108.• Efectúa la operación del numerador y, después, simplifica la fracción.• Introduce el 3 en la segunda raíz cuadrada.
• Aplica la propiedad a anm mn= .b) • Para extraer factores de un radical aplicamos la propiedad ab a b= . Por tanto,
tenemos que expresar el radicando como un producto.• Para ello, extrae factor común en el radicando. Obtendrás el cuadrado de una
suma.
Solución:a) /3 24 b) 2(a + b) cd
1. Simplificación de radicales
Calcular, en cada caso, el valor de x para que se cumplan las siguientes igualdades:
a) 3x – 1= 173
b) 3 1 5lnx
– =
c) 2 5 3 10 5 2ln ln lnlnx41 – += = ` j
d) log 5x = 12
a) • Toma logaritmos en los dos miembros y aplica la propiedad del logaritmo de una potencia para «bajar» la x del exponente.
• Opera y despeja x.b) • Despeja ln x y aplica la definición de logaritmo.c) El objetivo es conseguir una expresión del tipo ln M = ln P de la que se deduce
M = P. Para ello, aplica paso a paso las propiedades.
( ) ( )lnm A ln A m= ( ) ( )ln lnA B ln BA– = c m ( ) ( ) ( )ln lnA ln B A B·+ =
d) Aplicamos la propiedad del logaritmo de una potencia y despejamos x.
Solución:a) x = 5,69 b) x = e2 c) 5
44 d) 17,17
2. Aplicaciones de los logaritmos
En una carrera de montaña hay que re-partir 2 000 € entre los tres ganadores, de forma inversamente proporcional a los tiempos empleados que son 40, 50 y 60 minutos.
¿Cuánto corresponde a cada uno?
• El corredor que empleó menos tiempo es el que debe tener un premio mayor. Por ello tenemos que repartir los 2 000 € en partes inversamente proporcionales a 40, 50
y 60. Esto equivale a repartir de forma directamente proporcional a 401 ,
015
y 016
.
• Sumamos 401
501
601+ + → Primer premio: x
2 000 = /…
1 40
Solución:
a) Primer premio: 810,81 €b) Segundo premio: 648,65 €c) Tercer premio: 540,54 €
3. Repartos proporcionales
Ejercicios y problemas propuestos
54
En el «Portfolio» del banco de recursos de anayaeducacion.es,
encontrarás orientaciones sobre cómo elaborar tu «portfolio».
Para practicar
Números racionales e irracionales1 Clasifica los siguientes números indicando a cuáles de los
conjuntos N, Z, Q o Á, pertenecen:
5; –7; 45 ;
218 ; – 3; 5–3 ; ,4 7
!; π
22 ¿Cuáles de estos números son irracionales? Expresa como
fracción los que sea posible:a) 3,181818… b) ,1 7
!c) 8 d) 1,020020002…e) – 4,0333… f ) 813
g) 1,3999… h) 2π
3 ¿Qué números irracionales representan los puntos A, B, C y D ?Justifica la respuesta.
1 2 A B DC40 7
4 Indica cuál, de cada par de números, es mayor:
a) 99140 y 2 b) ,0 526
! y ,5260
&
c) ,4 89#
y 2 6 d) –2,098 y –2,1Escribe, en cada caso, un número comprendido entre los dos dados.
Intervalos, semirrectas y valor absoluto5 Representa y expresa como intervalo o como semirrecta los
números que cumplen la condición dada en cada caso.a) x es menor que –5.b) 3 es menor o igual que x.c) x está comprendido entre –5 y 1.d) x está entre –2 y 0, ambos incluidos.e) x es mayor o igual que –3 y menor que 2.
6 Escribe la desigualdad que verifica todo número x que per-tenece a estos intervalos o semirrectas:a) [–2, 7] b) [13, +∞) c) (– ∞, 0)d) (–3, 0] e) [3/2, 6) f ) (0, +∞)
7 Escribe y representa el tramo de recta que corresponde a cada desigualdad.a) 2≤ x ≤ 7 b) –5 ≤ x c) x < –1 d) 5 > x > –3
8 Expresa como un único intervalo.a) (1, 6] ∪ [2, 5) b) [–1, 3) ∪ (0, 3]c) (1, 6] ∩ [2, 7) d) [–1, 3) ∩ (0, 4)e) [–3, 2] ∩ [0, 5] f ) [2, +∞) ∩ (0, 10)
9 Expresa en forma de intervalo los números que cumplen cada una de estas expresiones:a) | x | < 7 b) | x | ≥ 5 c) |2x | < 8d) | x – 1| ≤ 6 e) | x + 2| > 9 f ) | x – 5| ≥ 1
10 Escribe mediante intervalos los posibles valores de x para que se pueda calcular la raí z en cada caso.a) x 4– b) x2 1+ c) x–
d) x3 2– e) x 1– – f ) 1+ x2
11 Se denomina entorno de centro a y radio r al intervalo abierto (a – r, a + r).a) Describe como entorno el intervalo I = (–3, 5). Ten en
cuenta que el centro es el punto medio entre –3 y 5 y el radio la distancia del centro a uno de sus extremos.
b) Expresa como intervalo el entorno de centro –5,2 y ra-dio 0,8.
Radicales y potencias
12 Expresa los siguientes radicales mediante potencias de expo-nente fraccionario y simplifica:
a) ·a a25 b) xx23
c) a1
34
13 Resuelve, sin utilizar calculadora:
a) 325 b) 3433 c) 6254
d) ,0 25 e) 83 4 f ) ,0 0013
14 Expresa como una potencia de base 2:
a) 21 b) (–32)1/5 c) ( 28 )4
15 Calcula utilizando potencias de base 2, 3 y 5:
a) · ·4 23
31 –
3c m b) · ·2
1192
8–4 1–
c cm m
c) ( ) · ( ) · ( )15 20
5 8 9·
– – –2 4
3 3 2 d) ( ) ·
115
030– 2
3
1–
16 Expresa en forma de potencia, efectúa las operaciones y simplifica:
a) ·a a
a a34 1– b) · ·16
41
41/1 4
63
17 Simplifica, utilizando las propiedades de las potencias:
a) · ·· ·
9 4 53 2 5
3 36 5 2
b) ·
· ·5 3
3 16 91 5
4 1–
–
c) ··
6 1015 8
3 22 1–
d) a b ca b c
· ·· ·
5 2 13 4 7
– –– –
Unidad 1
55
18 Reduce a índice común y ordena de menor a mayor.
a) 54 , 33 , 2 b) 6 , 43
c) 64 , 105 d) 204 , 93 , 1006
19 Introduce los factores dentro de cada raíz.
a) 2 33 b) 4413 c)
xx2
83
d) 53
9253 e) 2 44 f ) 15
51 3
20 Saca de la raíz el factor que puedas.
a) 163 b) 4 8 c) 1000
d) a83 5 e) ba
16125 2
f ) + 141
9
g) a16
3 h) a4 42 + i) +a a9 16
21 Simplifica los siguientes radicales:
a) 496 b) a15 12 c) 256
d) 484 e) a7 10 f ) 1284
22 Simplifica los siguientes radicales:
a) 243 b) 276 c) 108–3
d) y6412 3 e) 64814 f ) :625 258 4
g) ,0 0276 h) ,0 00168 i) 1+1694
23 Reduce a índice común y simplifica.
a) 416
3
6 b) ·4 83 5 c) 81 3·7
24 Realiza la operación y simplifica, si es posible.
a) 4 27 65· b) ·234
827 c) ·2 1
8
d) ( 123 )2 e) ( 326 )2 f ) :24 33 3
25 Efectúa y simplifica, si es posible.
a) ·2 33 b) aa
a1· ·23 3
c) 8326 3
f p d) :2 3 433
26 Expresa con una única raíz.
a) 434 b) 2 843 c) · :a a a34 45a k27 Racionaliza los denominadores y simplifica.
a) 18
2 3 b) 2
23
c) 2
2 13
–
d) 3 3
3+
e) 72 86– f )
3 25–
28 Calcula y simplifica.
a) 5 125 6 45 7 2023 80–+ +
b) 16 2 54521 2507 – –3 3 3 3+
c) 354 24 150 294– –+ +
29 Simplifica las siguientes expresiones:
a) 18 12 27 72–+ +
b) 52 4
12518
458
27– +
c) a a a7 81 2 353
5– –43 3
3
30 Efectúa y simplifica.
a) ( ) ( )2 3 6 1–+ b) ( ) ( )5 6 5 6– +
c) ( )2 3 25 – 2 d) ( ) ( )1 2 1 32 – +
31 Racionaliza y simplifica.
a) 18
2 3 2– b) 12
2 3 2+
c) ( )2 3 5
1–
d) 5 2
3–
e) 5 3 213 10
– f ) 2 2
3 3 23 6
++
32 Efectúa y simplifica.
a) 3 2
33 2
2–
–+
b) 7 57 5
7 57 5– –
–++
Logaritmos
33 Expresa como potencia de la base y calcula aplicando la de-finición de logaritmo.
a) log2 1 024 b) log 0,001 c) log2 641
d) log 3 3 e) log3 3 f ) log2 8
g) log4 2 h) log π 1 i) ln e
13
34 Calcula la base de estos logaritmos:
a) log x 125 = 3 b) log x 19
= –2
c) log x 41 = 2 d) log x 2 = 1/2
e) log x 0,04 = –2 f ) log x 4 = – 1/2
35 Calcula el valor de x en estas igualdades:a) log 3x = 2 b) log x 2 = –2c) 7x = 115 d) 5–x = 3e) log7 3x = 0,5 f ) 32 + x = 172
Ejercicios y problemas propuestos
56
36 Halla con la calculadora y comprueba el resultado mediante potenciación.a) log 148 b) ln (2,3 · 1011) c) ln (7,2 · 10–5)d) log3 42,9 e) log5 1,95 f ) log2 0,034
37 Desarrolla las siguientes expresiones:
a) log c
a b100 4
2 35 b) ln ·
yx e34 5
38 Sabiendo que log x = 0,28 calcula el valor de:
a) log x1003 2
b) log 1 000x 3
c) log x1 d) log 10x + log
x12
39 Calcula x utilizando los logaritnos y sus propiedades.a) 35 = 21 ∙ 1,04x b) 1,5 ∙ 1012 = 2–10x
c) logx 0,3 = 2 – logx 2 d) ln 5x + ln x2 = 1
40 Halla el valor de x en estas expresiones:a) ln x = ln 17 + ln 13b) log x = log 36 – log 9c) ln x = 3 ln 5 – 2 ln 10
d) log x = 3 log 2 – 21 log 25
41 Si log k = x, escribe en función de x.
a) log 100k b) log k1000
c) log k 3
d) log k103 e) log k1 f ) (log k)1/2
42 ¿Cuál es la relación, sin logaritmos, que hay entre x, y, z?a) log z = 2 log x – log y
b) log z = 2 – log x – 12
log y
c) log z = 1 – 12
(log x – log y)
d) ln z = 1 – 2 ln x + 2 ln y
Errores y notación científica
43 Efectúa y da el resultado en notación científica con tres ci-fras significativas. Determina también, en cada caso, una cota del error absoluto y otra del error relativo cometidos.
a) ,
( , , ) ,4 32 10
3 12 10 7 03 10 8 3 10·
· · ·3
5 4 8– –+
b) ,
( , ) ( , )9 2 10
12 5 10 8 10 3 5 10 185·
· – · ·6
7 9 5– +
c) ,
, ,8 2 10 2 10
5 431 10 6 51 10 385 10· – ·
· – · ·3 4
3 4 2
– –+
44 Ordena de mayor a menor los números de cada apartado. Para ello, pasa a notación científica los que no lo estén.
a) 3,27 · 1013; 85,7 · 1012; 453 · 1011
b) 1,19 · 10–9; 0,05 · 10–7; 2 000 · 10–12
Para resolver
45 El precio de una caja de 40 pastillas para lavavajillas es 4,75 €. Para aumentar las ventas, el fabricante se plantea hacer tres tipos de oferta:a) La caja con 50 pastillas al mismo precio 4,75 €.b) Lleve 3 cajas de 40 pastillas y solo pague 2.c) La segunda unidad al 50 %.Compara estas ofertas. ¿Qué porcentaje de descuento nos hacen en cada caso?
46 Varios amigos se reúnen en un bar, toman 15 refrescos y pagan 18,75 € en total. Uno de ellos tomó solo un refres-co, otro tomó dos y el resto tomaron 3 refrescos cada uno. ¿Cuántos amigos fueron y cuánto tuvo que pagar cada uno?
47 En una granja hay 75 gallinas que consumen 450 kg de maíz en 30 días. Para aumentar la producción de huevos, se aumenta el número de gallinas a 200 y se compran 800 kg de maíz. ¿Cuántos días se podrá dar de comer a las gallinas?
48 La construcción de un centro hospitalario tuvo un sobre-coste del 35 % con respecto al presupuesto inicial y su cos-te final fue 918 millones de €. La diferencia entre ambos precios deben pagarla tres municipios A, B y C, de forma inversamente proporcional a su distancia al hospital que son 40 km, 50 km y 60 km. Calcula lo que debe pagar cada uno.
49 Un depósito de agua tiene dos grifos. Si los abrimos a la vez, el depósito se llena en dos horas. Si abrimos solo el primero, se llena en seis horas. ¿Cuánto tardará en llenarse el depósi-to si abrimos solamente el segundo grifo?
50 Dos poblaciones A y B distan 350 km. A la misma hora sale un autobús de A hacia B a una velocidad de 80 km/h y un turismo de B hacia A a 120 km/h. ¿Cuándo se cruzarán?
51 Un automóvil tarda 3 horas en ir de A a B y otro tarda 5 horas en ir de B a A. Calcula el tiempo que tardarán en encontrarse si salen simultáneamente cada uno de su ciudad.
52 La estrella R136a1, descubierta recientemente, está a 165 000 años-luz y tiene una masa actual equivalente a 265 veces la masa del Sol. Expresa la distancia en kilóme-tros y la masa en kilogramos. Da, en cada caso, cotas del error absoluto y del error relativo.
Unidad 1
57
53 Meta 3.8. La cantidad de un fármaco que hay en la sangre de un paciente en mg/L al cabo de t horas, después de haberle inyectado puede estimarse mediante la función f (t) = 5e–t ⁄ 10. ¿Cuántas horas tardará en reducirse a la mitad?
54 El volumen de un cubo es 6 6 cm3. Halla:a) Su arista.b) La diagonal de una cara.c) La diagonal de un cubo.Da, en cada caso, el valor exacto con radicales.
55 Halla el área y el volumen de un tetraedro regular cuya aris-ta mide 6 cm. Expresa el resultado con radicales.
56 El área total de una pirámide cuadrangular regular es 25 1 3+` j cm2. Calcula su arista.
57 En un trapecio rectángulo, la base menor mide 54 – cm, la base mayor, 7 2 5+ cm y la altura 1 54 +` j cm. Halla el perímetro del trapecio, utilizando radicales.
58 Si el lado del cuadrado inscrito en la circunferencia mide 1 m, ¿cuál es el área de la parte coloreada?
Cuestiones teóricas
59 Explica si estas frases son verdaderas o falsas:a) Hay números irracionales que son enteros.b) Todo número irracional es real.c) Todos los números decimales son racionales.d) Entre dos números racionales hay infinitos números
irracionales.
60 Escribe el menor intervalo abierto, cuyos extremos sean nú-meros enteros, que contenga a π/2.
61 Si x ≠ 0, explica si estas afirmaciones son verdaderas o falsas:a) x –2 es negativo si lo es x.
b) x3 tiene el mismo signo que x.
c) Si x > 0 entonces x < x.
62 ¿Cuáles de estas igualdades son verdaderas? Explica por qué:
a) log m + log n = log (m + n) b) log m – log n = loglog
nm
c) log m – log n = log nm d) log x 2 = log x + log x
e) log (a 2 – b 2) = log (a + b) + log (a – b)
autoevaluación
1 Clasifica los siguientes números indicando a cuáles de los conjuntos N, Z, Q o Á pertenecen:
; ; ; ; ; ; ,4558
1751
33 8 2 1 07– π – – 34 3 5 !
2 Expresa en forma de intervalo y haz la representación
a) | x | ≥ 8 b) |x – 4| < 5
3 Escribe como potencia y simplifica.( · ) : ( )a a a a34 1–
4 Calcula y simplifica: 27125
53–
5 Racionaliza.
a) 2 3
4 6+ b) 3 3
2–
6 Simplifica: 63 2 28 175– +
7 Sabiendo que A = 3,24 · 106; B = 5,1 · 10–5; C = 3,8 · 1011
y D = 6,2 · 10– 6, calcula BA C+c m · D. Expresa el resul-
tado con tres cifras significativas y da una cota del error absoluto y otra del error relativo cometidos.
8 Aplica la definición de logaritmo y obtén x.a) log3 x = –1 b) log x = 2,5 c) ln x = 2
9 Calcula x en cada caso.a) 2,5x = 0,0087 b) 1,0053x = 143
10 Expresa como un solo logaritmo y di el valor de A:log 5 + 2 log 3 – log 4 = log A
11 Si log k = 0,8, ¿cuál es el valor de log 10k 3 + log k100 ?
12 El área total de un cubo es 12 cm2. ¿Cuál es el área total del cilindro inscrito en el cubo? Da el valor exacto.
Resoluciones de estos ejercicios.
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