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BLOQUE III
Estadística y probabilidad11. Probabilidad12. Inferencia estadística.
Estimación por intervalos13. Contraste de hipótesis
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322 SOLUCIONARIO
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11 Probabilidad
■ Piensa y calcula
En una baraja española de 40 cartas, ¿cuántas figuras hay?
Solución:
Las figuras son las sotas, los caballos y los reyes, en total 12 cartas.
1. Operaciones con sucesos
1. Sea el experimento de lanzar un dado de quinielas. Halla:a) el espacio muestral o suceso seguro.
b) los sucesos elementales.
Solución:
a) E = {1, X, 2}
b) {1}, {X}, {2}
2. En el experimento de lanzar un dado de seis caras nu-meradas del 1 al 6, halla:
a) el espacio muestral o suceso seguro.
b) el suceso A, formado por los números impares.
c) el suceso B, formado por los números primos.
d) el suceso C, formado por los números pares.
e) ¿A y B son compatibles o incompatibles?
f ) ¿A y C son compatibles o incompatibles?
g) ¿B y C son compatibles o incompatibles?
Solución:
a) E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
b) A = {1, 3, 5}
c) B = {2, 3, 5}
d) C = {2, 4, 6}
e) A � B = {3, 5} ò A y B son compatibles.f) A � C = Ø ò A y B son incompatibles.g) B � C = {2} ò A y B son compatibles.
3. Sean E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 10, 11, 12},A = {1, 3, 5, 7, 9, 11}, B = {2, 3, 5, 7, 11}. Calcula:
a) A � B b) A � B
c) A—
d) B—
Solución:
a) A � B = {1, 2, 3, 5, 7, 9, 11}
b) A � B = {3, 5, 7, 11}
c) A—
= {2, 4, 6, 8, 10, 12}
d) B—
= {1, 4, 6, 8, 9, 10, 12}
4. Sean E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8},A = {1, 3, 5, 7}, B = {2, 3, 5, 7}.Calcula:
a) A – B
b) B – A
c) Comprueba la ley de Morgan:
= A—
� B—
d) Comprueba la ley de Morgan:
= A—
� B—
Solución:
a) A – B = {1}
b) B – A = {2}
c) A � B = {1, 2, 3, 5, 7}
= {4, 6, 8}
A—
= {2, 4, 6, 8}, B—
= {1, 4, 6, 8}
A—
� B—
= {4, 6, 8}
d) A � B = {3, 5, 7}
= {1, 2, 4, 6, 8}
A—
= {2, 4, 6, 8}, B—
= {1, 4, 6, 8}
A—
� B—
= {1, 2, 4, 6, 8}
A » B
A « B
A » B
A « B
● Aplica la teoría
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TEMA 11. PROBABILIDAD 323
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■ Piensa y calcula
Se lanzan dos dados de seis caras. ¿Qué suma de puntos tiene la máxima probabilidad?
Solución:
La máxima probabilidad la tiene la suma 7, porque es el que más veces se presenta.
1 + 6, 2 + 5, 3 + 4, 4 + 3, 5 + 2 y 6 + 1
2. Regla de Laplace
5. Se toman cuatro cartas diferentes de una baraja, doscincos, un seis y un siete. Las cartas se ponen boca aba-jo sobre una mesa y se mezclan al azar. Determina laprobabilidad de que, al darles la vuelta, todas las cartasestén ordenadas en orden creciente si los dos cincosson indistinguibles.
Solución:
Se aplica directamente la regla de Laplace:
P(5567) =
6. Se lanzan dos dados. Calcula la probabilidad de cadauno de los siguientes sucesos:
a) A = Se obtiene cinco en alguno de los dados.
b) B = Se obtiene un doble (los dos dados presentan lamisma puntuación).
c) A � B d) A � B
Solución:
a) Se aplica directamente la regla de Laplace.
P(A) =
b) Se aplica directamente la regla de Laplace.
P(B) =
c) Se aplica directamente la regla de Laplace.
P(A � B) =
d) Se aplican las propiedades de la probabilidad.
P(A � B) = P(A) + P(B) – P(A � B) =
= + – = = 49
1636
136
636
1136
136
636
1136
1
1
(1, 1)
2
(2, 1)
3
(3, 1)
4
(4, 1)
5
(5, 1)
6
(6, 1)
2 (1, 2) (2, 2) (3, 2) (4, 2) (5, 2) (6, 2)
3 (1, 3) (2, 3) (3, 3) (4, 3) (5, 3) (6, 3)
4 (1, 4) (2, 4) (3, 4) (4, 4) (5, 4) (6, 4)
5 (1, 5) (2, 5) (3, 5) (4, 5) (5, 5) (6, 5)
6 (1, 6) (2, 6) (3, 6) (4, 6) (5, 6) (6, 6)
112
5567
5576
5657
5675
5756
5765
6557
6575
6755
7556
7565
7655
7
6
7
5
6
5
7
5
5
6
5
5
6
7
5
7
5
6
5
7
5
5
6
5
5
6
7
5
7
5
5
6
7
6
● Aplica la teoría
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■ Piensa y calcula
a) Halla la probabilidad de sacar una carta de copas al extraer una carta de una baraja española de 40 cartas.
b) La carta de copas extraída se deja fuera, y se extrae otra carta. Halla la probabilidad de que esta segunda carta tambiénsea de copas.
Solución:
a) P(C) = =
b) P((C) = = 313
939
14
1040
3. Probabilidad condicionada
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7. Sean A y B dos sucesos de un experimento aleatoriotales que P(A) = 0,6; P(B) = 0,4 y P(A
—� B
—) = 0,7
a) Calcula P(A � B)
b) Razona si los sucesos A y B son independientes.
c) Calcula P(A � B)
Solución:
a) Propiedades de la probabilidad.
Por una ley de Morgan se tiene:
= A—
� B—
òP( ) = P(A
—� B
—) = 0,7
Luego:
P(A � B) = 1 – P( ) = 1 – 0,7 = 0,3
b) P(A) · P(B) = 0,6 · 0,4 = 0,24 ≠ P(A � B)
Por tanto,A y B son dependientes.
c) Propiedades de la probabilidad.
P(A � B) = P(A) + P(B) – P(A � B) == 0,6 + 0,4 – 0,3 = 0,7
8. Lanzamos dos veces consecutivas un dado de seis carasnumeradas de 1 al 6
a) Calcula la probabilidad de que la suma de los resul-tados sea igual a 4
b) Calcula la probabilidad de que en el primer lanza-miento haya salido un 1, si la suma es 4
Solución:
a) Se aplica directamente la regla de Laplace.
P(Suma 4) = =
b) Se aplica la probabilidad condicionada.
P(Primero 1/Suma 4) = 13
112
336
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
A » B
A » BA » B
● Aplica la teoría
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TEMA 11. PROBABILIDAD 325
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■ Piensa y calcula
Se lanzan al aire dos monedas. Halla la probabilidad de que una sea cara y la otra cruz.
Solución:
P(CX, XC) = P(CX) + P(XC) = · + · = + = = 12
24
14
14
12
12
12
12
4. Regla de la suma y teorema de Bayes
9. Se tienen tres cajas iguales. La primera contiene 3 bo-las blancas y 4 negras; la segunda, 5 bolas negras; y latercera, 4 blancas y 3 negras.
a) Si se elige una caja al azar, y luego se extrae una bo-la, ¿cuál es la probabilidad de que la bola extraídasea negra?
b) Si se extrae una bola negra de una de las cajas,¿cuál es la probabilidad de que proceda de la se-gunda caja?
Solución:
a) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total.
P(N) = · + · 1 + · =
b) Se aplica el teorema de Bayes.
P(B/N) = =
10. Un día determinado, en una tienda de ropa joven, sehan realizado 400 ventas pagadas con tarjeta de crédi-to V, y 350 ventas pagadas con la tarjeta MC. Las ven-tas restantes del día han sido abonadas en metálico.Se comprueba que 150 de las ventas pagadas con latarjeta V superan los 150 €, mientras que 300 de lascompras pagadas con tarjeta de crédito MC superanesa cantidad. Se extrae al azar un comprobante de lasventas del día pagadas con tarjetas de crédito.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que corresponda a unacompra superior a 150 €?
b) Si la compra es inferior a 150 €, ¿cuál es la proba-bilidad de que haya sido pagada con la tarjeta MC?
Solución:
a) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total.
M = {Superan los 150 €}
P(M) = · + · =
b) Se aplican las propiedades de la probabilidad y el teo-rema de Bayes.
P(M—
) = 1 – P(M) = 1 – =
P(MC/M—
) = = = 16
1—152—5
350 50— · —750 350
2—5
25
35
35
300350
350750
150400
400750
150/400
V
MC
400/750
350/750
M150 M
M–250 m
300 M50 m
A = 400 VB = 350 MC
300/350
50/350
M
M–
12
1— · 13
2—3
23
37
13
13
47
13
4/7
1/3
1/3
1/3
N3 B
N–4 N
1 N
N–5 N
3/7 N4 B
N–3 N
A = 3 B y 4 NB = 5 NC = 4 B y 3 N
● Aplica la teoría
CCC
CXX
XCC
C
XXXX
1/2
1/21/2
1/2 1/2
1/2
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326 SOLUCIONARIO
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Ejercicios y problemas
Preguntas tipo test
PAU
Dados dos sucesos A y B, sabemos que p(A » B) = 0,1;p(A « B) = 0,7 y p(A|B) = 0,2
Calcula p(A) y p(B)
P(A) = 0,1; P(B) = 0,1
P(A) = 0,2; P(B) = 0,5
P(A) = 0,3; P(B) = 0,5
P(A) = 0,4; P(B) = 0,7
En el problema 1, ¿son independientes los sucesos Ay B?
Los sucesos A y B son dependientes.
Los sucesos A y B son independientes.
En el problema 1, calcula p(A—
« B), donde A—
repre-senta el suceso complementario o contrario de A.
p(A—
« B) = 0,2
p(A—
« B) = 0,5
p(A—
« B) = 0,9
p(A—
« B) = 0,8
En un grupo de familias, un 10% ha cambiado de co-che y también ha cambiado de piso; un 50% no hacambiado de coche y sí de piso.Entre los que han cam-biado de coche, un 25% ha cambiado de piso.
¿Qué porcentaje de familias ha cambiado de piso?
P(P) = 0,5
P(P) = 0,6
P(P) = 0,7
P(P) = 0,8
En el problema 4, ¿qué probabilidad hay de que unafamilia del grupo haya cambiado de coche?
P(C) = 0,4
P(C) = 0,5
P(C) = 0,6
P(C) = 0,7
En el problema 4, de las familias que no han cambia-do de piso, ¿qué porcentaje ha cambiado de coche?
P(C/P—
) = 0,45
P(C/P—
) = 0,55
P(C/P—
) = 0,65
P(C/P—
) = 0,75
Se consideran dos sucesos A y B de un experimentoaleatorio, tales que:
P(A) = 1/4, P(B) = 1/3, P(A » B) = 1/12
¿Son A y B sucesos independientes?
Los sucesos A y B son dependientes.
Los sucesos A y B son independientes.
En el problema 7, calcula P(A—
/B—
)
P(A—
/B—
) = 3/4
P(A—
/B—
) = 1/4
P(A—
/B—
) = 2/3
P(A—
/B—
) = 4/5
Se sabe que el 30% de los individuos de una pobla-ción tienen estudios superiores; también se sabeque, de ellos, el 95% tiene empleo. Además, de laparte de la población que no tiene estudios superio-res, el 60% tiene empleo.
Calcula la probabilidad de que un individuo, elegidoal azar, tenga empleo.
P(E) = 0,505
P(E) = 0,605
P(E) = 0,705
P(E) = 0,805
En el problema 9, se ha elegido un individuo aleato-riamente y tiene empleo; calcula la probabilidad deque tenga estudios superiores.
P(S/E) = 0,2
P(S/E) = 0,3
P(S/E) = 0,4
P(S/E) = 0,5
✘
10
✘
9
✘
8
✘
7
✘
6
✘
5
✘
4
✘
3
✘
2
✘
1
Contesta en tu cuaderno:
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TEMA 11. PROBABILIDAD 327
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Ejercicios y problemas
1. Operaciones con sucesos
11. Sea el experimento de lanzar una moneda al aire.Halla:
a) el espacio muestral o suceso seguro.
b) los sucesos elementales.
Solución:
a) E = {C, X}
b) {C}, {X}
12. En el experimento de extraer una carta de una barajaespañola de 40 cartas, halla:
a) el espacio muestral o suceso seguro.
b) el suceso A, formado por los oros.
c) el suceso B, formado por las ases.
d) el suceso C, formado por las figuras.
e) ¿A y B son compatibles o incompatibles?
f ) ¿A y C son compatibles o incompatibles?
g) ¿B y C son compatibles o incompatibles?
Solución:
a) E = {1O, 2O, 3O, …, 10B, 11B, 12B}
b) A = {1O, 2O, 3O, …, 10O, 11O, 12O}
c) B = {1O, 1C, 1E, 1B}
d) C = {10O, 11O, 12O, …, 10B, 11B, 12B}
e) A � B = {1O} ò A y B son compatibles.f) A � C = {10O, 11O, 12O} ò A y B son compatibles.g) B � C = Ø ò A y B son incompatibles.
13. Sean E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, A = {1, 3, 5, 7},B = {2, 3, 5, 7}
Calcula:
a) A � B b) A � B
c) A—
d) B—
Solución:
a) A � B = {1, 2, 3, 5, 7}
b) A � B = {3, 5, 7}
c) A—
= {2, 4, 6, 8}
d) B—
= {1, 4, 6, 8}
14. Sea E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {1, 3, 5}, B = {2, 3, 5}.Calcula:
a) A – B
b) B – A
c) Comprueba la ley de Morgan:
= A—
� B—
d) Comprueba la ley de Morgan:
= A—
� B—
Solución:
a) A – B = {1}
b) B – A = {2}
c) A � B = {1, 2, 3, 5}
= {4, 6}
A—
= {2, 4, 6}, = {1, 4, 6}
A—
� B—
= {4, 6}
d) A � B = {3, 5}
= {1, 2, 4, 6}
A—
= {2, 4, 6}, B—
= {1, 4, 6}
A—
� B—
= {1, 2, 4, 6}
2. Regla de Laplace
15. Después de haber escuchado tres discos, éstos se guar-dan al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que al menosuno de los discos haya sido guardado en su funda?
Solución:
Se aplica directamente la regla de Laplace.
A = {123, 132, 213, 321}
P(A) = =
16. Dado un espacio muestral E, se consideran los sucesosA y B, cuyas probabilidades son:
P(A) = 2/3 y P(B) = 1/2
a) ¿Pueden ser los sucesos A y B incompatibles?¿Porqué?
b) Suponiendo que los sucesos A y B son independien-tes, calcula P(A � B)
c) Suponiendo que A � B = E, calcula P(A � B)
Solución:
a) A y B no pueden ser incompatibles porque:
P(A) + P(B) = 7/6 > 1
b) P(A � B) = P(A) + P(B) – P(A � B)
Como A y B son independientes:
P(A � B) = P(A) · P(B) = 2/3 · 1/ 2 = 1/3
P(A � B) = 2/3 + 1/2 – 1/3 = 5/6
23
46
1233
1322
2133
1
22311
31223
3211
2
3
1
3
1
2
A » B
A « B
A » B
A « B
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328 SOLUCIONARIO
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Ejercicios y problemas
c) Si A � B = E ò P(A � B) = 1Aplicando
P(A � B) = P(A) + P(B) – P(A � B)
Se tiene:
P(A) + P(B) – P(A � B) = 1
2/3 + 1/2 – P(A � B) = 1
P(A � B) = 1/6
17. El 35% de los estudiantes de un centro practican fútbol. El 70% de los que practican fútbol estudia Ma-temáticas, así como el 25% de los que no practicanfútbol.
Si se elige al azar a un estudiante de este centro, calculala probabilidad de que éste:
a) estudie Matemáticas.
b) practique fútbol, sabiendo que no es alumno de Ma-temáticas.
Solución:
Se construye la tabla de contingencia:
a) P(Estudie matemáticas) = 0,4075
b) P(Practique fútbol/No Matemáticas) = 0,8228
18. Supongamos que tras una encuesta se ha concluido quesi se elige al azar a una persona, la probabilidad de queesté a favor de la retransmisión de partidos de fútbol esde 0,8; de que esté a favor de la existencia de canales detelevisión de pago, de 0,4; y de que esté a favor de la re-transmisión de partidos de fútbol y también de la exis-tencia de canales de pago, de 0,3
a) Calcula la probabilidad de que una persona esté a fa-vor de la retransmisión de partidos de fútbol o de laexistencia de canales de televisión de pago.
b) Calcula la probabilidad de que una persona no esté afavor de la retransmisión de partidos de fútbol ni dela existencia de canales de televisión de pago.
Solución:
a) Se aplican las propiedades de la probabilidad.
P(F � P) = P(F) + P(P) – P(F � P)
P(F � P) = 0,8 + 0,4 – 0,3 = 0,9
b) Se aplican las propiedades de la probabilidad.
P(F—
� B—
) = ( ) = 1 – P(F � P) = 0,1
3. Probabilidad condicionada
19. La probabilidad de que, en un determinado mes, un clien-te de una gran superficie compre un producto A es 0,6,y la probabilidad de que compre un producto B es 0,5.Se sabe también que la probabilidad de que un clientecompre el producto B no habiendo comprado el pro-ducto A es 0,4
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente haya com-prado únicamente el producto B?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente no hayacomprado ninguno de los productos?
Solución:
a) P(B/A—
) =
= 0,4 ò P(B � A—
) = 0,4 · 0,4 = 0,16
P(B – A) = P(B � A—
) = 0,16
b) Si P(B) = 0,5 y P(B – A) = 0,16 ò P(A � B) = 0,34P(A � B) = P(A) + P(B) – P(A � B) =
= 0,6 + 0,5 – 0,34 = 0,76
20. En una ciudad hay un 60% de habitantes aficionadosal fútbol, un 30% al baloncesto y un 25% a ambos de-portes.
a) ¿Son independientes los sucesos “ser aficionado alfútbol” y “ser aficionado al baloncesto”.
b) Si una persona no es aficionada al baloncesto, ¿cuáles la probabilidad de que sea aficionada al fútbol?
c) Si una persona no es aficionada al fútbol, ¿cuál es laprobabilidad de que no sea aficionada al baloncesto?
Solución:
a) Se aplica la condición de dependencia.
P(F) = 0,6; P(B) = 0,3; P(F � B) = 0,25
P(F) · P(B) = 0,6 · 0,3 = 0,18 ≠ 0,25 ò F y B depen-dientes.
b) Se aplica la probabilidad condicionada y las propiedadesde la probabilidad.
P(F/B—
) = = = 0,5 =
c) Se aplica la probabilidad condicionada y las propiedadesde la probabilidad.
P(B—
/F—
) =
P(F—
) = 1 – 0,6 = 0,4
P(B—
/F—
) = = = 0,875 = 78
0,350,4
P(F—
� B—
)P(F
—)
P(F—
� B—
)P(F
—)
12
0,350,7
P(F � B—
)P(B
—)
P(B � A—
)0,4
P(B � A—
)P(A
—)
F « P
Fútbol
Mate.
24,5% 10,5% 35%
No fútbol 16,25% 48,75% 65%
Total 40,75% 59,25% 100%
No Mate. Total
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TEMA 11. PROBABILIDAD 329
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Ejercicios y problemas21. En el experimento aleatorio de lanzar una moneda tres
veces al aire se consideran los siguientes sucesos:
A: “sacar, al menos, una cara y una cruz”.
B: “sacar, a lo sumo, una cara”.
a) Determina el espacio muestral asociado a ese expe-rimento, y los sucesos A y B
b) ¿Son independientes ambos sucesos?
Solución:
a) E = {CCC,CCX,CXC,CXX,XCC,XCX,XXC,XXX}
A = {CCX, CXC, CXX, XCC, XCX, XXC}
B = {CXX, XCX, XXC, XXX}
b) Se comprueba utilizando la propiedad
P(A � B) = P(A) · P(B) ò A y B independientes.A � B = {CXX, XCX, XXC}
P(A � B) = 3/8
P(A) · P(B) = 6/8 · 4/8 = 3/8
Como las probabilidades son iguales, A y B son inde-pendientes.
22. El temario de una oposición consta de 100 temas. El díadel examen éstos se sortean, de manera que solo pue-den salir dos temas, a los que debe responder obligato-riamente el opositor. Calcula cuántos temas, como míni-mo, debe estudiar el opositor para que la probabilidad deconocer los dos temas que le toquen sea superior a 0,5
Solución:
· > 0,5
Resolviendo la inecuación y tomando solo las solucionespositivas, se obtiene que:
n > 71,21
Por tanto n > 71
4. Regla de la suma y teorema de Bayes
23. En una ciudad, la probabilidad de que uno de sus habi-tantes censados vote al partido A es 0,4; la probabilidadde que vote al partido B es 0,35 y la probabilidad de quevote al partido C es 0,25. Por otro lado, las probabilida-des de que un votante de cada partido lea diariamentealgún periódico son, respectivamente, 0,4; 0,4 y 0,6.
Se elige a una persona de la ciudad al azar:
a) Calcula la probabilidad de que lea algún periódico.
b) La persona elegida lee algún periódico. ¿Cuál es laprobabilidad de que sea votante del partido B?
Solución:
a) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total.
L = {Leer el periódico}
P(L) = 0,4 · 0,4 + 0,35 · 0,4 + 0,25 · 0,6 = 0,45
b) Se aplica el teorema de Bayes.
P(B/L) = = 0,31
24. Tres máquinas A, B y C fabrican tornillos. En una hora, lamáquina A fabrica 600 tornillos, la B 300 y la C 100. Lasprobabilidades de que las máquinas produzcan tornillos defectuosos son, respectivamente, de 0,01 pa-ra A, de 0,02 para B y de 0,03 para C. Al finalizar unahora se juntan todos los tornillos producidos y se eligeuno al azar.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea defectuoso?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que lo haya fabricado lamáquina A, sabiendo que no es defectuoso?
Solución:
D
LD–
D
LD–
D
LD–
A0,01
BA 600B 300C 100
0,02
C0,03
0,99
0,98
0,97
0,6
0,1
0,3
0,35 · 0,40,45
L
L–A
0,4
L
L–B
ABC
0,4
L
L–C
0,6
0,4
0,25
0,35
n – 1100
n100
S(n – 1)/99
n/100S–
S
S–
CCC
CCX
CXC
C1/2
1/21/2
1/21/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
XCXX
1/2
1/2
XCCC
C
XXCX
C
X
C
X
C
X
XXCX
XXX
C
X
-
27. Se lanzan tres veces consecutivas dos dados equilibra-dos de seis caras:
a) Calcula la probabilidad de que en los tres lanzamien-tos salga el seis doble.
b) Calcula la probabilidad de que en los tres lanzamien-tos salga un doble distinto del seis doble.
Solución:
a) Se aplica la regla del producto o de la probabilidad com-puesta.
P(666) = P(6) · P(6) · P(6) = · · =
b) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total.
P(111) + P(222) + P(333) + P(444) + P(555) =
= 5 · = 5
2161
216
1216
16
16
16
330 SOLUCIONARIO
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.L.
Ejercicios y problemas
a) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total.
D = {tornillo defectuoso}
D—
= {tornillo no defectuoso}
P(D—
) = 0,6 · 0,99 + 0,3 · 0,98 + 0,1 · 0,97 = 0,985
b) Se aplica el teorema de Bayes.
P(A/D—
) = = 0,603
25. En un supermercado, las mujeres realizan el 70% de lascompras. De las compras hechas por éstas, el 80% supe-ra los 12 €, mientras que de las compras realizadas porhombres, solo el 30% sobrepasa esa cantidad.
a) Elegido un tique de compra al azar, ¿cuál es la proba-bilidad de que supere los 12 €?
b) Si se sabe que un tique de compra no supera los12 €, ¿cuál es la probabilidad de que la compra hayasido hecha por una mujer?
Solución:
a) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total.
P(S) = 0,7 · 0,8 + 0,3 · 0,3 = 0,65
b) Se aplica el teorema de Bayes.
P(M/N) = = 0,4
26. Resuelve las siguientes cuestiones:a) Tenemos tres urnas, cada una de las cuales contiene
2 bolas rojas y 3 negras. Se extrae al azar una bola yse llama x al número de bolas rojas obtenidas. Calcu-la la probabilidad de que x sea mayor o igual que 1
b) Si cada urna hubiese contenido 5 bolas rojas y 3 bo-las negras y se hubiese extraído una bola de cada ur-
na, ¿cuál hubiese sido la probabilidad de que x hubie-se sido mayor o igual que 1?
c) Justifica la diferencia de los resultados obtenidos.
Solución:
a) Árbol de probabilidades.
P(x mayor o igual que 1) = 1 – P(NNN) =
= 1 – · · = 1 – =
b) Árbol de probabilidades.
P(x mayor o igual que 1) = 1 – P(NNN) =
= 1 – · · = 1 – =
c) La probabilidad del segundo apartado es mayor porque haymás bolas rojas y las mismas negras.
485512
27512
38
38
38
R
N5/8
3/8
5 R3 N
5 R3 N
5 R3 N
RRR
RRN
R
N5/8
3/8
5 R3 N
RNR
RNN
R
N5/8
3/8
5 R3 N
NRR
NRN
R
N5/8
3/8
5 R3 N
NNR
NNN
R
N5/8
R
N
5/8
3/8
3/8
5 R3 N
R
N5/8
3/8
98125
27125
35
35
35
R
N2/5
3/5
2 R3 N
2 R3 N
2 R3 N
RRR
RRN
R
N2/5
3/5
2 R3 N
RNR
RNN
R
N2/5
3/5
2 R3 N
NRR
NRN
R
N2/5
3/5
2 R3 N
NNR
NNN
R
N2/5
R
N
2/5
3/5
3/5
2 R3 N
R
N2/5
3/5
0,7 · 0,20,7 · 0,2 + 0,3 · 0,7
S
N
S
N
M0,8
H
M 70%H 30%
0,3
0,2
0,7
0,7
0,3
0,6 · 0,990,985
Para ampliar
-
TEMA 11. PROBABILIDAD 331
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Ejercicios y problemas28. Si se escoge un número al azar en la guía telefónica de
cierta ciudad española, la probabilidad de que figure anombre de un hombre es 0,7 y de que figure a nombrede una mujer es 0,3. En dicha ciudad, la probabilidad deque un hombre trabaje es 0,8, y de que lo haga una mu-jer es 0,7
Se elige un número de teléfono al azar.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que corresponda a unapersona que trabaja?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que corresponda a unhombre, sabiendo que pertenece a una persona quetrabaja?
Solución:
a) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total.
T = {Persona que trabaja}
P(T) = 0,7 · 0,8 + 0,3 · 0,7 = 0,77
b) Se aplica el teorema de Bayes.
P(H/T) = = = 0,73
29. Disponemos de tres dados, uno de los cuales está tru-cado. La probabilidad de sacar 5 con el dado trucado es0,25, siendo los otros resultados equiprobables. Se eligeun dado al azar y se realiza un lanzamiento con él.
a) Determina la probabilidad de obtener un 2
b) Dado que ha salido 2, ¿cuál es la probabilidad de quehayamos elegido el dado trucado?
Solución:
Si en el dado trucado P(5) = 0,25
P(1, 2, 3, 4, 6) = 1 – 0,25 = 0,75
P(2) = 0,75/5 = 0,15 =
a) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total.
P(2) = · + · =
b) Se aplica el teorema de Bayes.
P(T/2) = =
30. Sean A y B dos sucesos tales que:
P(A) = , P(B) = y P(A � B) =
Calcula:
a) P(A | B)
b) P(B | A)
c) P(AC � B), (AC indica el contrario del suceso A)
Solución:
a) P(A | B) = P(A) – P(A � B) = – =
b) P(B | A) = P(B) – P(A � B) = – =
c) P(AC � B) = P(B | A) =
31. Se dispone de una baraja española de 40 cartas. Se ex-trae una carta al azar y, sin devolverla a la baraja, se sacaotra, también al azar.
a) Calcula la probabilidad de que ninguna de las cartasextraídas sea una figura (es decir, sota, caballo o rey).
b) Sabiendo que la segunda carta extraída no ha sidouna figura, calcula la probabilidad de que tampoco lohaya sido la primera.
Solución:
a) Se aplica la regla del producto o de la probabilidadcompuesta.
P(No F) = · =
b) Se aplica el teorema de Bayes.
P(No F la 1ª/No F la 2ª) =
= = = 913
63—1307—10
28 27— · —40 39
28 27 12 28— · — + — · —40 39 40 39
63130
2739
2840
12 F28 no F
12 F26 no F
12 F27 no F
no F y no Fno F
F 11 F27 no F no F y F
27/39
12/39
11 F27 no F
11 F28 no F
F y no Fno F
F 10 F28 no F F y F
28/39
11/39
no F
F
28/40
12/40
112
112
14
13
14
14
12
14
13
12
929
1 3— · —3 20
29—180
29180
16
23
320
13
2
2–
2
2–
T3/20
B
1 T2 B
1/6
1/3
2/3
320
811
0,7 · 0,80,77
T
T–
T
T–
H0,8
M
HM
0,7
0,7
0,3
-
332 SOLUCIONARIO
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Ejercicios y problemas32. Una experiencia aleatoria consiste en preguntar a tres
personas distintas, elegidas al azar, si son partidarias ono de consumir un determinado producto.
a) Escribe el espacio muestral asociado a dicho experi-mento utilizando la letra S para las respuestas afir-mativas y N para las negativas.
b) ¿Qué elementos del espacio muestral anterior cons-tituyen el suceso “al menos dos de las personas sonpartidarias de consumir el producto”?
c) Describe el suceso contrario de “más de una perso-na es partidaria de consumir el producto”.
Solución:
a) E = {SSS, SSN, SNS, SNN, NSS, NSN, NNS, NNN}
b) A = {SSS, SSN, SNS, NSS}
c) El suceso “más de una persona es partidaria de consu-mir el producto” coincide con el suceso A
A—
= {SNN, NSN, NNS, NNN}
Que se puede describir como:“a lo sumo una personaes partidaria de consumir el producto”.
33. Se tienen tres cajas de bombones, A, B y C. La caja Acontiene 10 bombones, de los cuales 4 están rellenos; lacaja B contiene 8 bombones, de los cuales 3 están relle-nos; y la caja C contiene 6 bombones, de los que 1 estárelleno.
a) Si se toma al azar un bombón de la caja A, ¿cuál es laprobabilidad de que no esté relleno?
b) Si se elige al azar una de las tres cajas y se toma unbombón de la caja elegida, ¿cuál es la probabilidad deque esté relleno?
Solución:
a) P(N) = =
b) Árbol de probabilidades:
b) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total.
P(R) = · + · + · =
34. En un centro de enseñanza secundaria se sabe que el70% de los alumnos practica atletismo, que el 50% juegaal fútbol y que el 40% de los que practican atletismojuega al fútbol.
a) Razona si los sucesos “jugar al fútbol” y “practicaratletismo” son independientes.
b) Si se elige al azar a un alumno de ese centro, ¿cuál esla probabilidad de que no participe en ninguno de es-tos deportes?
Solución:
a) Se aplica la propiedad correspondiente.
P(A � F) = 0,4
P(A) · P(F) = 0,7 · 0,5 = 0,35
Como dan distinto, A y F son dependientes.
b) Se aplican las propiedades de la probabilidad.
P( ) = 1 – P(A � F)
P(A � F) = P(A) + P(F) – P(A � F)
P(A � F) = 0,7 + 0,5 – 0,4 = 0,8
P( ) = 1 – 0,8 = 0,2
35. Se lanza al aire dos veces una moneda.a) Halla la probabilidad de que en ambas tiradas salga
cara.
b) Sabiendo que, al menos, en una de las tiradas sale cara, ¿cuál es la probabilidad de que en ambas sal-ga cara?
Solución:
a) Se aplica la regla del producto o de la probabilidadcompuesta.
P(CC) = · =
b) Se aplica la definición de probabilidad condicionada.
P(CC/al menos una cara) = = 13
1—43— 4
14
12
12
CC
CX
XC
C1/2
1/21/2
1/2 1/2
1/2X
XX
C
X
C
X
A « F
A « F
113360
16
13
38
13
25
13
R
N2/5
3/5
4 R6 N
ABC
R
N
R
N3/8
5/8
3 R5 N
R
N
R
N1/6
5/6
1 R5 N
R
N
A
B
C
1/3
1/3
1/3
35
610
SSS
SSN
SNS
S1/2
1/21/2
1/21/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
NSNN
1/2
1/2
NSSS
S
NNSN
S
N
S
N
S
N
NNSN
NNN
S
N
-
TEMA 11. PROBABILIDAD 333
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Ejercicios y problemas36. Un estudiante hace dos pruebas el mismo día. La proba-
bilidad de que pase la primera prueba es 0,6; la de quepase la segunda es 0,8 y la de que pase ambas es 0,5
a) Calcula la probabilidad de que no pase ninguna de laspruebas.
b) Calcula la probabilidad de que pase la segunda prue-ba si no ha superado la primera.
Solución:
a) Se aplican las propiedades de la probabilidad.
P(A � B) = P(A) + P(B) – P(A � B)
P(A � B) = 0,6 + 0,8 – 0,5 = 0,9
P( ) = 1 – 0,9 = 0,1
b) Se aplica la definición de probabilidad condicionada.
P(B � A—
) = P(B – A) = P(B) – P(A � B) == 0,8 – 0,5 = 0,3
P(A—
) = 1 – P(A) = 1 – 0,6 = 0,4
P(B/A—
) = = =
37. En un colectivo de 200 personas se ha observado que120 son hombres y que, de éstos, 54 son fumadores.44 mujeres de este colectivo no fuman. Con estos da-tos, razona si el suceso “fumar” depende del sexo.
Solución:
Se aplica la regla de Laplace directamente.
P(F/H) = =
P(F/M) = =
Como ambas son iguales, no depende del sexo.
920
3680
920
54120
34
0,30,4
P(B � A—
)P(A
—)
A « B
38. Una persona desea jugar en una atracción de feriadonde regalan un peluche si al tirar un dardo se aciertaen un blanco. Si solo se permite tirar tres dardos y laprobabilidad de acertar en cada tirada es 0,3
a) ¿cuál es la probabilidad de llevarse el peluche?
b) ¿cuál es la probabilidad de llevarse el peluche exacta-mente en el tercer intento? ¿Y de llevárselo exacta-mente en el segundo?
Solución:
a) Se aplica la regla del producto o de la probabilidadcompuesta.
A = {acertar en el blanco en una tirada}
P(A—
A—
A—
) = P(A—
) · P(A—
) · P(A—
) = 0, 7 · 0,7 · 0,7 = 0,343
P(Llevarse el peluche) = 1 – P(A—
A—
A—
) = 1 – 0,343 == 0,657
b) Se aplica directamente la regla de Laplace.
P(3er intento) = P(A—
A—
A) = 0,7 · 0,7 · 0,3 = 0,147
P(2º intento) = P(A—
AA) = 0,7 · 0,3 = 0,21
39. Una urna contiene 7 bolas blancas, 3 bolas rojas y 2 bo-las negras. Se considera el experimento aleatorio con-sistente en extraer tres bolas de la urna, de forma suce-siva y sin reemplazamiento. Sean los sucesos B1: Laprimera bola es blanca, B2: La segunda bola es blanca yB3: La tercera bola es blanca:
a) Expresa con ellos el suceso “las bolas extraídas enprimer y tercer lugar son blancas, y la extraída en se-gundo lugar no”.
b) Calcula la probabilidad del suceso “las tres bolas sondel mismo color”.
Solución:
a) B1 � B—
2 � B3
b) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total.
P(BBB) + P(RRR) + P(NNN) =
= · · + · · + · · =
40. Una fábrica produce tres modelos de coche: A, B y C.Cada uno de los modelos puede tener motor de gaso-lina o diésel. Sabemos que el 60% de los modelos son detipo A y el 30% de tipo B.También sabemos que el 30%de los coches fabricados tienen motor diésel, el 30% delos coches del modelo A son de tipo diésel y el 20% delos coches del modelo B tienen motor diésel. Se elige uncoche al azar. Se piden las probabilidades de los siguien-tes sucesos:
a) El coche es del modelo C
b) El coche es del modelo A, sabiendo que tiene motordiésel.
c) El coche tiene motor diésel, sabiendo que es del mo-delo C
955
010
111
212
110
211
312
510
611
712
Problemas
-
334 SOLUCIONARIO
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Ejercicios y problemas
Solución:
a) Se aplican las propiedades de la probabilidad.
P(C) = 1 – [P(A) + P(B)] = 1 – (0,6 + 0,3) = 0,1
b) Se aplica la definición de probabilidad condicionada.
P(A/D) = = = 0,6
c) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total.
0,6 · 0,3 + 0,3 · 0,2 + 0,1 · P(D/C) = 0,3
P(D/C) = 3/5 = 0,6
41. Un examen consiste en elegir al azar dos temas de en-tre los diez del programa, y desarrollar uno.
a) ¿Qué probabilidad tiene un alumno, que sabe seis te-mas, de aprobar el examen?
b) ¿Qué probabilidad tiene el mismo alumno de saberseuno de los dos temas elegidos y el otro no?
Solución:
a) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total.
P(Aprobar) = 1 – P(MM) =
= 1 – · = 1 – =
b) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total.
P(Uno sí y otro no) = · + · =
42. Una empresa emplea tres bufetes de abogados paratratar sus casos legales. La probabilidad de que un casose deba remitir al bufete A es 0,3; de que se remita albufete B es 0,5 y de que se remita al bufete C es 0,2. La
probabilidad de que un caso remitido al bufete A sea ga-nado en los tribunales es 0,6; para el bufete B esta pro-babilidad es 0,8 y para el bufete C es 0,7
a) Calcula la probabilidad de que la empresa gane uncaso.
b) Sabiendo que un caso se ha ganado, determina laprobabilidad de que lo haya llevado el bufete A
Solución:
a) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total.
G = {Ganar el caso}
P(G) = 0,3 · 0,6 + 0,5 · 0,8 + 0,2 · 0,7 = 0,72
b) Se aplica el teorema de Bayes.
P(A/G) = = 0,25
43. De una urna con cinco bolas, dos blancas y tres negras,extraemos dos bolas sin reemplazamiento. Calcula laprobabilidad de cada uno de los siguientes sucesos:
a) A = “Las dos bolas extraídas son del mismo color”.
b) B = “Extraemos al menos una bola blanca”.
Solución:
a) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total.
P(A) = P(BB) + P(NN) = · + · =
b) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total.
P(NN) = · =
P(B) = 1 – P(NN) = 1 – = 710
310
310
24
35
25
24
35
14
25
2 N
1 B3 N
2 B3 N
1 B2 N
1 B2 N
2 B1 N
B
N1/4
B
N
2/5
3/5
3/4
2 B2 N
B
N2/4
2/4
BB
BN
NB
NN
0,3 · 0,60,72
G
G–A
0,6
G
G–B
ABC
0,8
0,7 G
G–C
0,3
0,2
0,5
815
69
410
49
610
1315
215
39
410
4 B4 M
5 B4 M
6 B4 M
5 B3 M
5 B3 M
6 B2 M
B
M5/9
B
M
6/10
4/10
4/9
6 B3 M
B
M6/9
3/9
BB
BM
MB
MM
0,6 · 0,30,3
P(A � D)P(D)
D
D–A
0,3
D
D–B
ABC
0,2
D
D–C
0,6
0,3
-
TEMA 11. PROBABILIDAD 335
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Ejercicios y problemas44. Se dispone de tres urnas: A, que contiene dos bolas
blancas y cuatro rojas; B, con tres blancas y tres rojas;y C, con una blanca y cinco rojas.
a) Se elige una urna al azar y se extrae una bola. ¿Cuáles la probabilidad de que esta bola sea blanca?
b) Si la bola extraída resulta ser blanca, ¿cuál es la pro-babilidad de que proceda de la urna B?
Solución:
a) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total.
S = {Bola blanca}
P(B) = · + · + · =
b) Se aplica el teorema de Bayes.
P(B/S) = =
45. Los temas objeto de un examen están compuestos portres temas de máxima dificultad, 5 de dificultad media y2 de escasa dificultad, de los cuales se elige uno al azar.La probabilidad de que un alumno apruebe el examen siel tema es de máxima dificultad es de 1/8; si es de difi-cultad media, 2/5, y si es de escasa dificultad, 3/4
a) Halla la probabilidad de que el alumno apruebe elexamen.
b) Halla la probabilidad de que el tema elegido haya sidode máxima dificultad, si el alumno lo aprobó.
Solución:
a) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total.
A = {Aprobar el examen}
P(A) = 0,3 · + 0,5 · + 0,2 · = = 0,3875
b) Se aplica el teorema de Bayes.
P(Máxima/A) = =
46. Una caja contiene 10 tornillos, de los que dos son de-fectuosos.
a) Si se van extrayendo uno a uno los tornillos hasta lo-calizar los dos defectuosos, ¿cuál es la probabilidadde necesitar exactamente tres extracciones para lo-calizarlos?
b) Si extraemos solo dos tornillos, y el segundo ha re-sultado ser defectuoso, ¿cuál es la probabilidad deque el primero también lo haya sido?
Solución:
a) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total.
A = {Extraer dos defectuosos}
P(A) = · · + · · =
b) Se aplica la probabilidad condicionada.
P(1º defectuoso/2º defectuoso) = 19
245
18
29
810
18
89
210
1 D8 B
7 B8 B
7 B
1 D6 B
2 D8 B
2/10
8/10
2 D7 B
D
B
D
B
2/9
7/9
1 D7 B
D
B
B1/8
1
7/8
D
B1/8
7/8
D
B2/8
6/8
DDB
DBD
DBB
7 B
1 D6 B
1 D7 B
BDD
BDB
1 D6 B
2 D5 B
D
B
1/9
8/9
2 D6 B
BBD
BBB
331
10,3 · —8
31—80
3180
34
25
18
1/8
Máxima 3Media 5Escasa 2
A
A–
2/5 A
A–
3/4 A
A–
0,3
0,2
0,5
Máxima
Media
Escasa
12
1 3— · —3 6
1—3
13
16
13
36
13
26
13
B
R2/6
4/6
2 B4 R
ABC
B
R
B
R3/6
3/6
3 B3 R
B
R
B
R1/6
5/6
1 B5 R
B
R
A
B
C
1/3
1/3
1/3
-
336 SOLUCIONARIO
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Ejercicios y problemas47. Tenemos un cofre A con 2 monedas de oro y 3 de pla-
ta, un cofre B con 5 monedas de oro y 4 de plata, y untercer cofre con 2 monedas de oro. Elegimos un cofreal azar y sacamos una moneda.
a) Calcula la probabilidad de que sea de oro.
b) Sabiendo que ha sido de plata, calcula la probabilidadde que haya sido extraída del cofre A
Solución:
a) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total.
P(Oro) = · + · + · 1 =
b) Se aplica el teorema de Bayes.
P(Plata) = 1 – =
P(A/Plata) = =
48. En un cineclub hay 80 películas: 60 son de acción y20 de terror. Susana elige una película al azar y se la lle-va.A continuación, Luis elige otra película al azar.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que tanto Susana comoLuis elijan películas de acción?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la película elegida porLuis sea de acción?
Solución:
a) Se aplica la regla del producto o de la probabilidadcompuesta.
P(AA) = · =
b) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total.
P(Luis acción) = · + · =
49. La probabilidad de que un jugador A marque un gol depenalti es de 5/6, mientras que la de otro jugador B esde 4/5. Si cada uno lanza un penalti:
a) halla la probabilidad de que marque gol uno solo delos dos jugadores.
b) halla la probabilidad de que, al menos, uno marquegol.
Solución:
a) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total.
P(Marcar uno solo) = P(MN) + P(NM) =
= · + · =
b) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total.
P(al menos uno marque) = 1 – P(NN) =
= 1 – · =
50. Dos urnas A y B, que contienen bolas de colores, tienenla siguiente composición:
A: 5 blancas, 3 negras y 2 rojas.
B: 4 blancas y 6 negras.
También tenemos un dado que tiene 4 caras marcadascon la letra A y las otras dos con la letra B.Tiramos eldado y sacamos una bola al azar de la urna que indica el dado.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que esa bola sea blanca?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que esa bola sea roja?
c) La bola extraída ha resultado ser blanca. ¿Cuál es laprobabilidad de que proceda de la urna B?
Solución:
B
R
5/10
2/10
5 B3 N2 R
4 A2 B
A
N
4/6
3/10
2/6
5 B3 N1 R
AR
5 B2 N2 R
AN
4 B3 N2 R
AB
B
N4/10
6/10
4 B6 N
3 B6 N
BB
4 B5 N
BN
B
2930
15
16
310
45
16
15
56
MM
MN
NM
M4/5
1/55/6
1/6 4/5
1/5N
NN
M
BA
N
M
N
34
6079
2080
5979
6080
177316
5979
6080
Acción
Terror
Acción
Terror
60/80
20/80
59/79
60/79
Acción 60
LuisSusana
Terror 20
Acción 59Terror 20
Acción 60Terror 19
2747
1 3— · —3 547—135
47135
88135
88135
13
59
13
25
13
O
P2/5
3/5
2 O3 P
ABC
O
P
O
P5/9
4/9
5 04 P
O
P
2 0 O
A
B
C
1/3
1/3
1/3O1
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TEMA 11. PROBABILIDAD 337
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Ejercicios y problemas
a) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total.
P(B) = · + · =
b) Se aplica la regla del producto o de la probabilidadcompuesta.
P(R) = · =
c) Se aplica el teorema de Bayes.
P(Urna B/Blanca) = =
51. Una determinada población está formada, a partes igua-les, por hombres y mujeres. La probabilidad de que unindividuo de esa población no lea ningún periódico es0,25. Además, el porcentaje de individuos que o bien leen algún periódico o bien son hombres es el 95%.Se elige, al azar, a una persona.
a) Halla la probabilidad de “ser hombre y leer algún pe-riódico”.
b) Halla la probabilidad de que lea algún periódico, sa-biendo que es hombre.
Solución:
a) P(H � L) = P(H) + P(L) – P(H � L)
95% = 50% + 75% – P(H � L)
P(H � L) = 30%
Se construye la tabla de contingencia:
b) P(L/H) = P(L � H)/P(H) = 30%/50% = 60%
52. Se dispone de 3 urnas y de 10 bolas, 5 blancas y 5 ne-gras. Distribuimos las bolas de la siguiente forma:
• En la 1ª urna se introducen una bola blanca y una bo-la negra.
• En la 2ª urna se introducen 3 bolas blancas y 2 bolasnegras.
• En la tercera urna se introducen 1 bola blanca y 2 bo-las negras.
De una de las urnas, elegida al azar, se extrae una bola.Halla la probabilidad de que la bola elegida sea negra.
Solución:
Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total.
P(N) = · + · + · =
53. En un espacio muestral dado se consideran dos sucesosA y B tales que su unión es el suceso seguro, y las proba-bilidades condicionadas entre ellos valen P(A/B) = 1/2y P(B/A) = 1/3. Halla las probabilidades de A y B
Solución:
P(A/B) = ò =
P(B/A) = ò =
P(A � B) = P(A) + P(B) – P(A � B)
1 = P(A) + P(B) – P(A � B)
Resolviendo el sistema formado por las tres ecuacionescon las tres incógnitas, se obtiene:
P(A) = , P(B) = y P(A � B) =
54. Dados los sucesos A y B de un mismo espacio muestral,se sabe que:
P(A) = 0,4; P(A � B) = 0,8 y P(A—
� B—
) = 0,7
a) Comprueba si los sucesos A y B son independientes.
b) Calcula la probabilidad de que solo se verifique unode los dos sucesos.
Solución:
a) Se aplica la propiedad correspondiente.
P(A—
� B—
) = 0,7 ò P( ) = 0,7 ò P(A � B) == 0,3
P(A � B) = P(A) + P(B) – P(A � B)
0,8 = 0,4 + P(B) – 0,3
P(B) = 0,7
P(A) · P(B) = 0,4 · 0,7 = 0,28
Como P(A � B) ≠ P(A) · P(B), A y B son dependientes.
b) P(A � B) – P(A � B) = 0,8 – 0,3 = 0,5
A » B
14
12
34
P(A � B)P(A)
13
P(A � B)P(A)
P(A � B)P(B)
12
P(A � B)P(B)
4790
23
13
25
13
12
13
B
N1/2
1/2
1 B1 N
ABC
B
N
B
N3/5
2/5
3 B2 N
B
N
B
N1/3
2/3
1 B2 N
B
N
A
B
C
1/3
1/3
1/3
Leer periódico (L)
Hombres
30% 45% 75%
No leer periódico 20% 5% 25%
Total H/M 50% 50% 100%
Mujeres Total leer
27
2 4— · —6 10
4 5 2 4— · — + — · —6 10 6 10
215
210
46
715
410
26
510
46
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338 SOLUCIONARIO
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Ejercicios y problemas55. La caja A contiene 40 bolígrafos azules y 30 bolígrafos
rojos, la caja B contiene 30 bolígrafos azules y 30 bolí-grafos rojos, y la caja C contiene 30 bolígrafos azules y20 rojos. Se elige una caja al azar y, de ella, también alazar, se extrae un bolígrafo. ¿Cuál es la probabilidad deque el bolígrafo extraído sea azul?
Solución:
Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total.
P(A) = · + · + · =
56. Se dispone de dos bolsas con bolas numeradas. La1ª bolsa tiene 7 bolas numeradas del 1 al 7, y la segundatres bolas numeradas del 8 al 10. Se realiza el siguienteexperimento compuesto: se saca una bola al azar de laprimera bolsa y se introduce en la segunda (antes de in-troducirla se anota si es par o impar), después se saca alazar una bola de la segunda bolsa –que en este momen-to tiene 4 bolas– y se anota su número.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que las dos bolas extraí-das sean pares?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda bola ex-traída sea impar?
Solución:
a) Se aplica la regla del producto o de la probabilidadcompuesta.
P(PP) = · =
b) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total.
P(I) = · + · =
57. El 20% de los tornillos de un gran lote es defectuoso. Secogen tres tornillos al azar y se pide calcular razonada-mente:
a) la probabilidad de que los tres sean defectuosos.
b) la probabilidad de que ninguno sea defectuoso.
c) la probabilidad de que solamente uno sea defec-tuoso.
Nota: como son muchos tornillos, se supone que laprobabilidad no cambia de sacar un tornillo al sacar elsiguiente.
Solución:
a) Se aplica la regla del producto o de la probabilidadcompuesta.
P(DDD) = 0,2 · 0,2 · 0,2 = 0,008
b) Se aplica la regla del producto o de la probabilidadcompuesta.
P(BBB) = 0,8 · 0,8 · 0,8 = 0,512
c) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total.
P(DBB, BDB, BBD) = 3 · 0,2 · 0,8 · 0,8 = 0,384
Para profundizar
58. En un videoclub quedan 8 copias de la película A, 9 de laB y 5 de la C. Entran tres clientes consecutivamente ycada uno elige una copia al azar. Calcula la probabilidadde que:
a) los tres escojan la misma película.
b) dos escojan la película A, y el otro, la C
Solución:
a) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total.
P(AAA) + P(BBB) + P(CCC) = · · +
+ · · + · · =
b) Se aplica la regla del producto o de la probabilidad total.
3P(AAC) = · · = 133
520
721
822
15154
320
421
522
720
821
922
620
721
822
DDD
DDB
DBD
D0,2
0,80,2
0,80,2
0,8
0,2
0,8
0,2
0,8
0,2
0,8
BDBB
0,2
0,8
BDDD
D
BBDB
D
B
D
B
D
B
BBDB
BBB
D
B
1128
14
37
12
47
928
34
37
2 I2 P
4 I3 P
I
P1/2
I
P
4/7
3/7
1/2
1 I3 P
I
P1/4
3/4
II
IP
PI
PP
3970
35
13
12
13
47
13
A
R4/7
3/7
40 A30 R
ABC
A
R
A
R1/2
1/2
30 A30 R
A
R
A
R3/5
2/5
30 A20 R
A
R
A
B
C
1/3
1/3
1/3
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TEMA 11. PROBABILIDAD 339
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Ejercicios y problemas59. Con el objetivo de recaudar fondos para un viaje,
los alumnos de un centro escolar realizan una rifa con500 números. Un alumno compra dos números.
a) Si solo hay un premio, ¿qué probabilidad tiene elalumno de que le toque a él?
b) Si hay dos premios, ¿qué probabilidad tiene el alum-no de que le toque, al menos, uno de ellos?
Solución:
a) Aplicación directa de la regla de Laplace.
P(Premio) = =
b) Se aplica la regla del producto o de la probabilidad total.
P(No premio) = · = 0,992
P(Al menos un premio) = 1 – 0,992 = 0,008
60. De una urna con 4 bolas blancas y 2 negras se extraendos bolas al azar, sucesivamente y sin reemplaza-miento.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que las bolas extraídassean blancas?
b) Si la segunda bola ha resultado ser negra, ¿cuál esla probabilidad de que la primera también lo haya sido?
Solución:
a) Se aplica la regla del producto o de la probabilidadcompuesta.
P(BB) = P(B) · P(B/B) = · =
b) P(1ª N/2ª N) = =
61. Se considera una célula en el instante t = 0. En el instan-te t = 1 la célula puede reproducirse dividiéndose endos, con probabilidad 3/4; o bien morir, con probabi-lidad 1/4. Si la célula se divide, entonces, en el tiempot = 2, cada uno de sus dos descendientes puede tam-bién subdividirse o morir, independientemente uno deotro y con las mismas probabilidades de antes.
a) ¿Cuántas células puede haber en el tiempo t = 2?
b) ¿Con qué probabilidad?
Solución:
a) En el instante t = 2 puede haber 4, 2, o 0 células.
b) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total.
P(4) = · · =
P(2) = · 2 · · =
P(0) = + · · =
62. Dos cajas,A y B, tienen el siguiente contenido:La A tiene cinco monedas de 1 € y 3 de 2 €
La B tiene cuatro monedas de 1 €, 4 de 2 € y 2 de50 céntimos.
De una de las cajas elegidas al azar, se extrae una mo-neda.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea de 1 €?
b) Si la moneda extraída resulta ser de 2 €, ¿cuál es laprobabilidad de que proceda de la caja B?
Solución:
1/2
5/8
3/8
1/2
AB
15 de 1 €3 de 2 €
2
4/10
2/10
4/10
14 de 1 €4 de 2 €2 de 0,5 €
2
0,5
1964
14
14
34
14
932
14
34
34
2764
34
34
34
R
M
3/4
9/16
1/16
6/16
1/4
1 C
4 C
2 C2 C
t = 2t = 1t = 0
0 C
0 C
15
2 1— · —6 5
4 2 2 1— · — + — · —6 5 6 5
25
35
46
3 B2 N
4 B2 N
3 B1 N
2 B2 N
3 B1 N
4 B
B
N3/5
B
N
4/6
2/6
2/5
4 B1 N
B
N4/5
1/5
BB
BN
NB
NN
497499
498500
P 2No P 498
P 2No P 497no P
P
498/500
P 2No P 496no P
497/499
1250
2500
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340 SOLUCIONARIO
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Ejercicios y problemas
a) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total.
P(1) = · + · =
b) Se aplica el teorema de Bayes.
P(B/2) = =
63. La probabilidad de que un conductor no lleve la ruedade repuesto es 0,13, y la de que no lleve lámparas derepuesto es 0,37. Se sabe que el 60% de los conducto-res lleva ambos repuestos.
a) Calcula la probabilidad de que un conductor no llevealguno de los dos repuestos señalados.
b) ¿Son independientes los sucesos “llevar rueda de re-puesto” y “llevar lámparas de repuesto”?
Solución:
a) P( ) = 1 – P(R � L)
P(R � L) = P(R) + P(L) – P(R � L)
P(R � L) = 0,87 + 0,63 – 0,6 = 0,9
P( ) = 1 – 0,9 = 0,1
b) P(R � L) = 0,6
P(R) · P(L) = 0,87 · 0,63 = 0,5481
Como P(R � L) ≠ P(R) · P(L), los sucesos R y L son de-pendientes.
64. A un congreso asisten oculistas y pediatras. Se sabe que240 médicos son andaluces, 135 son navarros y 225 soncanarios. El número total de pediatras es 315. De losandaluces, 96 son oculistas; de los navarros, son oculis-tas 75
a) Se escoge a un asistente al azar. ¿Cuál es la probabili-dad de que sea un pediatra navarro?
b) Se ha elegido a un médico canario. ¿Cuál es la proba-bilidad de que sea oculista?
c) ¿Son independientes los sucesos “ser andaluz” y “seroculista”?
Solución:
a) Se aplica la regla del producto o de la probabilidad compuesta.
P(N � P) = · =
b) Se aplica la probabilidad condicionada.
P(O/C) = =
c) Se aplica la propiedad correspondiente.
P(A � O) = P(A) · P(O/A) = · =
P(A) = =
P(O) = · + · +
+ · =
P(A) · P(O) = · =
Como P(A � O) ? P(A) · P(O), son dependientes.
65. El 40% de los habitantes de una ciudad va al cine, el 30%va al teatro y el 20% a ambos.
a) Si una persona de esa ciudad no va al cine, ¿cuál es laprobabilidad de que tampoco vaya al teatro?
b) Si una persona no va al teatro, ¿cuál es la probabili-dad de que vaya al cine?
Solución:
a) Se aplica la probabilidad condicionada y las propiedadesde la probabilidad.
P(T—
/C—
) = =
P(C � T) = P(C) + P(T) – P(C � T)
P(C � T) = 0,4 + 0,3 – 0,2 = 0,5
P( ) = 1 – P(C � T) = 1 – 0,5 = 0,5
P(C—
) = 1 – P(C) = 1 – 0,4 = 0,6
P(T—
/C—
) = =
b) Se aplica la probabilidad condicionada y las propiedadesde la probabilidad.
P(C/T—
) = = =
= = = 0,29
66. De los turistas que visitan Málaga, el 60% hace el viajeen avión, el 30% lo hace por carretera y el 10% lohace en tren. El 70% de los que viajan en avión, el 80%de los que viajan por carretera y el 50% de los que via-jan en tren van a las playas de la costa occidental.
27
0,4 – 0,20,7
P(C) – P(C � T—
)P(T
—)
P(C � T—
)P(T
—)
56
0,50,6
C « T
P(T � C)P(C
—)
P(T—
� C—
)P(C
—)
19100
1940
25
1940
114225
225600
75135
135600
96240
240600
25
240600
425
96240
240600
3875
114225
110
60135
135600
P
O144/240
96/240
144 P96 O
A 240N 135C 225
P
O
P
O60/135
75/135
60 P75 O
P
O
P
O111/225
114/225
111 P114 O
P
O
A
N
C
240/600
135/600
225/600
R « L
R « L
1631
1 4— · —2 10
1 3 1 4— · — + — · —2 8 2 10
4180
410
12
58
12
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TEMA 11. PROBABILIDAD 341
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Ejercicios y problemasa) Si se selecciona al azar un turista que ha visitado Má-
laga, ¿cuál es la probabilidad de que haya estado enlas playas de la costa occidental?
b) Si se selecciona al azar un turista que ha visitado Má-laga y que ha estado en las playas de la costa occi-dental, ¿cuál es la probabilidad de que haya viajado entren?
Solución:
a) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total.
P(O) = 0,6 · 0,7 + 0,3 · 0,8 + 0,1 · 0,5 = 0,71
b) Se aplica el teorema de Bayes.
P(T/O) = = = 7 %
67. Se lanzan cinco monedas al aire.Calcula:
a) la probabilidad de no obtener ninguna cara.
b) la probabilidad de obtener una cara.
c) la probabilidad de obtener más de una cara.
Solución:
a) Se aplica la regla del producto o de la probabilidadcompuesta.
P(XXXXX) = · · · · =
b) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total.
5 · P(CXXXX) = 5 · · · · · =
c) P(Más de una cara) = 1 – P(0C, 1C) =
= 1 – ( + ) = 1 – = 1316316532132
532
12
12
12
12
12
132
12
12
12
12
12
571
0,1 · 0,50,6 · 0,7 + 0,3 · 0,8 + 0,1 · 0,5
A
O
O–
C
O
O–
T
O
O–
0,6
0,7
0,3
0,8
0,2
0,5
0,5
0,1
0,3
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342 SOLUCIONARIO
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68. Investiga sobre la Ley de los grandes números: si-mula el lanzamiento de un dado con forma de te-traedro con las caras numeradas del 1 al 4. Hazdistintos lanzamientos, cuenta el número de lanza-mientos y las frecuencias absolutas de obtener unade las caras; por ejemplo, el 3. Calcula las frecuen-cias relativas y represéntalas en un gráfico de líneas.¿Hacia qué valor tienden las frecuencias relativas,que, en definitiva, es la probabilidad?
69. Internet. Abre: www.editorial-bruno.es y eligeMatemáticas, curso y tema.
Solución:Resuelto en el libro del alumnado.
Paso a paso
Windows Excel
70. En la Hoja2 del mismo libro investiga sobre la ley de los grandes números: simula el lanzamiento de un dadode forma cúbica con las caras numeradas del 1 al 6. Realiza distintos lanzamientos y cuenta el número de lanza-mientos y las frecuencias absolutas de obtener una de las caras; por ejemplo, el 5. Calcula las frecuencias relati-vas y represéntalas en un gráfico de líneas. ¿Hacia qué valor tienden las frecuencias relativas, que en definitiva esla probabilidad?
71. En la Hoja3 del mismo libro, haz otro estudio análogo al anterior para un dado de forma octaédrica, con las ca-ras numeradas del 1 al 8 y obtener, por ejemplo, el 6. ¿Hacia qué valor tienden las frecuencias relativas, que endefinitiva es la probabilidad?
Solución:
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Practica
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TEMA 11. PROBABILIDAD 343
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Edi
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72. En la Hoja4 del mismo libro, haz otro estudio análogo al anterior para un dado de forma de dodecaedro, conlas caras numeradas del 1 al 12 y obtener la cara 9. ¿Hacia qué valor tienden las frecuencias relativas, que en de-finitiva es la probabilidad?
73. En la Hoja5 del mismo libro, haz otro estudio análogo al anterior para un dado de forma de icosaedro, con lascaras numeradas del 1 al 20 y obtener por ejemplo, el 15. ¿Hacia qué valor tienden las frecuencias relativas, queen definitiva es la probabilidad?
74. Al final, guarda el libro en tu carpeta personal con el nombre 2C11 completo con todas las hojas de cálculo.
Solución:Haz clic en la barra de herramientas en el icono de Guardar.
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Linux/Windows Calc