MATERIA: MATEMÁTICAS

FINANCIERAS I

BLOQUE II. :

ASESOR:

M.T.E. JOSÉ LUIS PÉREZ GARCÍA

Correo electrónico del asesor joseluisperez@sealapiedad.edu.mx

Página web para los materiales joseluisperez.sealapiedad.edu.mx

SIMBOLOGÍA Icono Descripción

Este icono te invita a que prestes especial atención al tema tratado. Sé cuidadoso en estos puntos, debido a que, por su relevancia, debes enfocarte un poco más en ellos.

Cuando este icono aparezca en tus guías de estudio significa que tu maestro de asignatura te está haciendo una invitación a que, por medio de una lectura detallada, logres tus objetivos de aprendizaje.

Mediante este icono te podrás dar cuenta de los espacios en que se implementarán actividades donde se valoren los conocimientos que has construido.

En esta sección de la guía encontrarás diversos elementos que te permitirán practicar lo aprendido, incluidos, por ejemplo, resúmenes, mapas mentales, ejercicios, tareas, reportes de lecturas, etc.

Es fundamental que este icono lo tengas en consideración, debido a que te indicará aspectos de tu guía que debes analizar cuidadosamente, gracias a su importancia en el desarrollo adecuado de los temas estudiados.

Este símbolo hace énfasis en aquellos aspectos de la guía que no debes dejar pasar por alto, debido a la enorme importancia que implican para el avance de tu guía.

Esta sección de tu guía hace referencia a aquellas actividades que has realizado y que deben ser “almacenadas” como evidencia de tu avance académico. Es importante que guardes estos elementos, debido a que podrán ser requeridos durante toda tu estancia en el bachillerato y con cualquiera de tus maestros y sus respectivas asignaturas.

OBLIGACIÓN

Al enviar un mensaje de correo electrónico al asesor debes asegurarte que lo envíes con la siguiente información en el apartado Asunto o subject. Nombre de la actividad, nombre de la asignatura y tu nombre completo.

Aritméticas.

4 Aplicación de problemas comerciales y financieros.

2

Sucesiones y series. 1

CONTENIDO

Geométrica.

3

Evaluación Diagnóstica

Sistema de Evaluación

Contesta con cuidado, conscientemente y de manera reflexiva.

1. ¿Dónde puedo aplicar las series y sucesiones numéricas?

2. En mi contexto, ¿dónde se ve la práctica de las sucesiones?

3. ¿En qué situaciones de tu vida diaria aplicarías la progresión aritméticay geométrica?

Que se te calificará:Ejercicio s 30 %.

Formulario 40

%. Examen 30 %.

Sucesiones y Series Una sucesión es un conjunto de cosas (normalmente números) una detrás de otra, en un cierto orden.

En la actualidad las progresiones geométricas y aritméticas son muy prácticas en su aplicación, por ejemplo: en el pago de un pagaré, de intereses capitalizables, es decir, a todos nos gusta traer los mejores equipos electrónicos que hay en el mercado como: celulares de alta tecnología, computadoras portátiles, iPhone, etc., pero por el costo que tienen a veces es imposible adquirirlos al contado o en una sola exhibición, así que recurrimos a los créditos o compras a plazos, es ahí donde entran las progresiones. Ejemplo: cuando adquieren un celular a crédito en TELCEL, les aplican pagos mensuales iguales que se lleva el control con un talonario (llamado pagaré) el cual van pagando mes por mes consecutivamente la misma cantidad hasta llegar al importe total del celular en cuestión. Imagínense que ustedes sepan determinar las cantidades y así comprobar que no se ha aplicado algún interés escondido entre cantidades y no pagar más de lo que estrictamente les corresponde.

Dentro de las Matemáticas Financieras es utilizada como la introducción y aplicación al interés simple e interés compuesto.

Progresiones: “Es una sucesión de términos formados de acuerdo con una ley” (Baldor, A. 2006, p. 490, Álgebra). Existen dos tipos de clasificación: Progresión aritmética y progresión geométrica.

Progresión Aritmética: “Es toda serie en la cual cada término después del primero se obtiene sumándole al término anterior una cantidad constante llamada razón o diferencia” (Baldor, A. 2006, p. 490, Álgebra).

La fórmula del término general de una progresión aritmética es:

𝑎𝑎𝑛𝑛 = 𝑎𝑎1 + (𝑛𝑛 − 1)𝑑𝑑

Donde:

an = término general

a1 = Valor del primer término

n = número de términos

d = diferencia

En este ejemplo la diferencia es d=4

Si de este mismo ejemplo deseamos conocer el décimo término de la progresión:

a =5 n=10 d=4

an = a1 + (n-1) d

an = 5 + (10-1) 4

an = 5 + (9) 4

an = 5 + 36

an = 41

La diferencia d de una progresión aritmética podrá ser positiva, nula o negativa, y se presentará:

d>0: Progresión creciente. La progresión de términos siempre será mayor al términoanterior, la diferencia es positiva. • Ejemplo: 5, 10, 15, 20 …… (d = 5)

http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Progresiones_

d=0: Progresión constante. Los términos de dicha progresión siempre serán igual, la diferencia es nula.

• Ejemplo: 4, 4, 4, 4, 4... (d = 0)

d<0: Progresión decreciente. La progresión de los términos siempre será menor que el término anterior la diferencia es negativa.

• Ejemplo: 6, 3, 0, -3, -6, -9, -12... (d = − 3)

Se suele reservar el término progresión cuando la secuencia tiene una cantidad finita de términos mientras que se usa sucesión cuando hay una cantidad infinita de términos que puede ser positiva, negativa o cero, si bien, esta distinción no es estricta.

Progresión Geométrica: “Está constituida por una secuencia de elementos en la que cada uno de ellos se obtiene multiplicando el anterior por una constante denominada razón de la progresión”

Ejemplos: 1) 5,10,20,40,.....................................3) 3,9,27,81,.......................................4) 1,5,25,125,625,...............................5) 80,40.20.10.5,.................................

Así que, 5, 25, 125, 625, 3125 es una progresión geométrica con razón igual a 5, porque:

Fórmula de progresión geométrica:

𝑎𝑎𝑛𝑛 = 𝑎𝑎1𝑟𝑟(𝑛𝑛−1)

an: es el término en cuestión (el número dentro de la progresión que estamos buscando)

a1: es el primer término (numero) de la progresión

r: es la razón

Para conocer el valor de la razón basta con dividir un número de la sucesión por el anterior. Por ejemplo: En la sucesión 3, 9, 27, 81, 243

Dividimos 9 (o cualquier número de la sucesión) entre 3 (número anterior)

9/3= 3 o 243 / 81 =3 Por lo tanto, la razón es igual a 3

Así quedaría si queremos saber el 10mo. término de nuestra progresión: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64…

Razón: a= 1 r= 2 n=10

𝑎𝑎𝑛𝑛 = 𝑎𝑎1𝑟𝑟(𝑛𝑛−1)

𝑎𝑎𝑛𝑛 = 1 ∗ 2(10−1)

𝑎𝑎𝑛𝑛 = 1 ∗ 2(9)

𝑎𝑎𝑛𝑛 = 1 ∗ 512

𝑎𝑎𝑛𝑛 = 512

Esto significa que el 10 mo. número de la progresión geométrica con razón 2 es 512

Características de las progresiones: • La sucesión de números 5, 10, 20, 40, es una progresión geométrica cuya

razón vale 2. • La razón no tiene que ser forzosamente un número entero. Así, 12, 3, 0.75,

0.1875 es una progresión geométrica con razón ¼ o 0.25. • La razón tampoco debe ser positiva por obligación. De este modo la progresión

4, -8, 16, -32 tiene razón -2. Esta sucesión es un ejemplo de progresión alternante porque los signos varían entre positivo y negativo (los signos se alternan).

• Cuando la razón es igual a 1 se obtiene una progresión constante: 6, 6, 6,6… • Un caso especial es cuando la razón es igual a cero, por ejemplo: 4, 0, 0, 0.

Existen ciertas referencias que no consideran este caso como progresión y piden explícitamente que en la definición.

Instrucciones: Analiza los siguientes casos ya resueltos mediante progresiones geométricas.

1.- Un restaurante de comida china ha decidido comprar una motocicleta para el reparto de sus pedidos a domicilio, se dio un anticipo de $4,000 y el resto se firmarán pagarés de $500 pagaderos a 24 meses. ¿Cuál fue el costo real de la motoneta?

Anticipo =$4,000 a1=$500 n=24 meses d=$500

𝑎𝑎𝑛𝑛 = 𝑎𝑎1 + (𝑛𝑛 − 1)𝑑𝑑

an = 500 +(24-1) 500

an = 500 +(23) 500

an = 500 + 11,500= 12,000

an = 12,000 + 4,000

an = $16,000

2.- Gustavo tiene una deuda en una financiera por lo que su pago mensual es de $500 pesos y cada mes le aumenta 2 veces su valor a razón de intereses el cual no ha pagado en 6 meses, ¿qué cantidad debe actualmente?

a= $500 n= 6 meses r= 2 veces

𝑎𝑎𝑛𝑛 = 𝑎𝑎1𝑟𝑟(𝑛𝑛−1)

an = 500 * 2 (6−1) an = 500 * 2(5) an = 500 * 32

an = $16,000

Ejemplo comparativo de progresión aritmética y geométrica:

3.- Consideremos la siguiente situación: 2 inversionistas se preparan para realizar una exitosa negociación: Carlos comienza con $1,000 pesos, y todos los días gana $1,000 pesos más. Por otro lado, Alberto comienza su inversión con $200 pesos y

día a día se le duplica lo ganado el día anterior. ¿Cuánto dinero de la inversión ganará cada uno el décimo día? ¿Cuál de los dos obtendrá mayor ganancia?

• Solución: Carlos aumenta la inversión según una progresión aritmética, por tanto:

a=$1,000 n=10 días d=$1,000

an= a1 + (n-1) d an= $2,000 + (10 - 1) $1,000 an= $2,000 + (9) $1,000 an= $2,000+ $9,000 an= $11,000

• En cambio, Alberto aumenta su inversión según una progresión geométrica, por tanto:

a=$200 n=10 días r=2 (duplica) an = a1r(n-1) a10 = $200 * 2(10 – 1) a10 = $200 * 2(9) a10 = $200 * 512 a10 = $102,400

• Representación comparativa por medio de una tabla de progresión aritmética y geométrica:

Día Carlos Alberto

1er. día 2000 200 2do. día 3000 400 3er. día 4000 800 4to. día 5000 1600 5to. día 6000 3200 6to. día 7000 6400 7mo. día 8000 12800 8vo. día 9000 25600 9no. día 10000 51200

10mo. día 11000 102400

Al décimo día ganarán Carlos $10,000 pesos mediante la progresión aritmética Alberto $102,400 pesos, usando la progresión geométrica

Resolución de problemas Transcribe los siguientes ejercicios en tu computadora y resuélvelos aplicando tus conocimientos en cada uno de los temas que se te pide.

Progresiones aritméticas y geométricas. Aplica la fórmula que mejor resuelva el problema.

1.- Se adquirió un equipo de rayos X para el área de radiología e imagen de un hospital, de los cuales se dio un anticipo de $20,000 y el resto se firmó pagaré de $8,000 pagaderos a 12 meses. ¿Cuál fue el costo real del equipo?

2.- La empresa Voltrak que produce lámparas solares tiene una deuda por un préstamo bancario de $200,000 pesos y cada mes le aumenta una 1.5 veces su valor a razón de intereses el cual no ha pagado en 3 meses, ¿qué cantidad debe actualmente?

3.- El Consorcio Financiero AGL Company tiene 2 clientes que quieren invertir: ALFA comienza con $50,000 pesos, y todos los meses gana $50,000 pesos más, en tanto que OMEGA empieza con $38,000 pesos y cada mes duplica lo ganado el día anterior. ¿Cuánto dinero de la inversión ganará cada uno el sexto mes?

Es momento de que crear un “Formulario”, integra las formulas vistas en el bloque 1, las de este bloque y continua, en su momento, agregando las de los bloques 3 y 4. Debes enviarlo al asesor, es parte de tu calificación de este bloque.

Ya terminado tus ejercicios, envía el o los archivos originales, creados en el procesador de textos, al asesor para su revisión y calificación. No olvides enviar o guardar este proyecto en tu Portafolio de Evidencias.

Revisando tus conocimientos

Contesta con atención y honestamente. Si tienes serias dificultades para contestar estas preguntas es mejor que estudies un poco más, tu material de estudio, antes de avanzar.

1. ¿Cuáles operaciones básicas que viste durante el bloque?

2. ¿Qué son las sucesiones?

3. ¿Qué son las series?

4. ¿Qué es una progresión aritmética?

5. ¿Qué es una progresión geométrica?

Qué sabes hacer ahora…

Derechos de Autor

MATEMÁTICAS FINANCIERAS I

Edición, agosto de 2016

Actualizado por: C.P. Margarita Castillo González Lic. Araceli Ahumada Muñoz Lic. Arely Mariet Cordero Gañiño

Edición, agosto de 2019

Actualizado por: Lic. Dora Julita Villaseñor Pimienta Lic. Araceli Ahumada Muñoz Lic. Laura Carolina Amador Guzmán

En la realización del presente material, participaron:

JEFA DEL DEPARTAMENTO DE ACTIVIDADES EDUCATIVAS Lic. Teresa López Pérez

EDICIÓN, AGOSTO DE 2019 Lic. Gerardo Enríquez Niebla Ing. Diana Castillo Ceceña Lic. Alba Ruth González Ruelas I.Q. Gabriela López Arenas

La presente edición es propiedad del Colegio de Bachilleres del Estado de Baja California.