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- 71 - Contenido: BLOQUE Sentido numérico y pensamiento algebraico. Funciones Ecuaciones cuadráticas y la fórmula general Forma, espacio y medida. Teorema de Tales Homotecias Manejo de la información Gráficas de funciones Gráficas de funciones no lineales

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Page 1: BLOQUE...- 73 - 2. Un barco de carga tiene un tanque de almacenamiento para combustible de 2 400 litros. Al navegar, cada día consume 150 litros de combustible. Con base en la información

- 71 -

Contenido:

BLOQUE

Sentido numérico y pensamiento algebraico.

Funciones

Ecuaciones

cuadráticas y la

fórmula general

Forma, espacio y medida.

Teorema de Tales

Homotecias

Manejo de la información

Gráficas de

funciones

Gráficas de

funciones no lineales

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Funciones Al finalizar la sección 3-1 asegúrate que hayas adquirido las siguientes competencias o conocimientos:

Saber identificar situaciones que varían a modo de una función. Saber registrar una variación en una tabla. Saber describir una variación a través de una fórmula Cada vez que estés seguro de que manejas alguna sección, márcala con una palomita para que tú mismo lleves el control de tu avance.

ACTIVIDAD 3.1.1 Trabajando la representación con funciones. Fecha: ___________

Tal como viste en los cursos anteriores, las relaciones funcionales establecen una estructura de

dependencia entre dos situaciones. Cuando sale agua por un tubo de forma constante, se dice que

la cantidad de agua emanada por el tubo está en función del tiempo, así, la cantidad de agua

emanada depende del tiempo que se esté considerando. Muchas situaciones de la vida real pueden

representarse por medio de una relación funcional.

En algunas ocasiones se puede observar un fenómeno físico, social, etc., que presente cierta

regularidad, ante esto, el reto es encontrar la expresión matemática (función) que relacione los

elementos que intervienen en tal fenómeno. Para que comprendas mejor, resuelve la siguiente

situación:

1.Se tiene un recipiente con agua a 24 °C (temperatura ambiente). El agua se calienta, de tal manera que su

temperatura aumenta 4°C por minuto. De acuerdo con esta información completa la siguiente tabla:

Tiempo (min) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Temperatura (0C) 24

a) Si el calentamiento del agua continúa en la misma forma, ¿cuál será su temperatura a los 20

minutos? ______ ¿Después de cuántos minutos empezará a hervir el agua? ________ (Recuerda que

el agua en condiciones normales de temperatura y presión hierve a los 100°C)

b) ¿Si consideras las variables tiempo (t) y temperatura (T), ¿cuál es la expresión algebraica que

modela esta situación? _________________

c) Haz la gráfica poligonal de este planteamiento.

Qué vas a aprender:

Reconocer en

diferentes situaciones

y fenómenos de la

física, la biología, la

economía y otras

disciplinas, la

presencia de

cantidades que

varían una en función

de la otra y

representar la regla

que modela esta

variación mediante

una tabla o una

expresión algebraica.

Por qué es importante:

Un fenómeno

representado a través

de una fórmula

puede analizarse

utilizando recursos

tecnológicos.

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2. Un barco de carga tiene un tanque de almacenamiento para combustible de 2 400 litros. Al navegar, cada

día consume 150 litros de combustible. Con base en la información que hay en la siguiente tabla, anota los

datos que faltan.

DIAS

TRANSCURRIDOS

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

LITROS DE

COMBUSTIBLE EN

EL TANQUE

2400 2100 1200

a) ¿Cuánto combustible quedará después de 5 días?_________________ ¿Y después de 10

días?___________, ¿y después de 15 días?_____________

b) ¿Cuántos días deben transcurrir para que se agote el combustible? _____________.

c) Escribe la expresión algebraica que relaciona la cantidad de combustible en el tanque, en función

de los días transcurridos. __________________________.

d) Realiza la gráfica poligonal de este problema:

3. Una cierta cantidad de agua a una temperatura de 80°C se pone en un congelador que está a 0°C. En el

proceso de enfriamiento se observa que la temperatura se reduce en un 5% de la temperatura original por cada

minuto que transcurre.

a) Representa la relación de los datos en una tabla.

b) ¿En cuánto tiempo llega a tener el agua una temperatura de 5°C) __________

c) ¿En cuánto tiempo el agua llega a una temperatura de 0°C? ______________

d) Escribe una expresión algebraica que modele el fenómeno._______________

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4. Un helicóptero dejó caer un automóvil desde una altura de 490 metros. Algunos datos que se registraron

son los siguientes:

Tiempo transcurrido (seg) 0 1 2 3 4

Distancia acumulada de caída (m) 0 4.9 19.6 44.1 78.4

a) De acuerdo con la información, completa la siguiente tabla:

Tiempo ( t ) Distancia de caída ( d ) Altura a la que se

encuentra el automóvil

0 0 490

1 4.9

2 19.6

3 44.1

4 78.4

5

6

7

8

9

10

b) ¿Cuánto tiempo tardó el auto en llegar al suelo? ___________

c) ¿Cuál de las siguientes expresiones permite calcular la distancia de caída ( d ) en función del

tiempo transcurrido ( t )? ________________. Argumenta tu respuesta.

24.9d t 4.9d t 9.8d t 24.9d t

5. Cuando se proyecta una película, el área de la imagen depende de la distancia entre el proyector y la pantalla,

como se ilustra en la figura de la izquierda.

Distancia entre el proyector y la pantalla (m) 1 2 3

Área de la imagen en m2 4 16 36

a) Escribe la expresión algebraica que muestre la relación entre las distancias y las áreas. ________

b) Anota los datos que hacen falta en la siguiente tabla.

Distancia entre el proyector y la pantalla (m) 1.5 2.5 3.5 4.5

Área de la imagen (m2)

c) Utiliza la expresión anterior para encontrar a qué distancia se debe colocar el proyector de manera

que el área de la imagen sea de 24.01 m2. d = _____________

CORRIGIÓ: ______________________ CALIFICACIÓN = #

1042

aciertos ______

1 m

2 m

3 m

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ECUACIONES CUADRÁTICAS Y

LA FÓRMULA GENERAL

Al finalizar la sección 3-2 asegúrate que hayas adquirido las siguientes competencias o conocimientos: Saber resolver una ecuación cuadrática por el método de completar el trinomio cuadrado perfecto (TCP). Saber obtener la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas Saber resolver ecuaciones cuadráticas utilizando la fórmula general Saber resolver planteamientos que requieren de la ecuación cuadrática para su solucionamiento. Cada vez que estés seguro de que manejas alguna sección, márcala con una palomita para que tú mismo lleves el control de tu avance.

ACTIVIDAD 3.2.1 Estudiando el método de completar el TCP. Fecha: ____________

Método previo para comprender el origen de la fórmula general

Una ecuación cuadrática cuando tiene la forma del trinomio cuadrado perfecto (TCP) ofrece una

gran ventaja de solución dado que se puede factorizar como un binomio al cuadrado y una vez

realizada la factorización se hace un simple despeje. Para aprovechar la utilidad de este método en

la solución de ecuaciones cuadráticas, se cumple con los siguientes pasos:

1) Se pasa el término independiente al segundo miembro de la igualdad (Respetando siempre las

reglas del despeje).

2) Se completa el TCP. (Asegúrate que a = 1, si esto no es así divide toda la ecuación entre tal valor

de “a”. Luego divide el coeficiente “b” entre dos, al resultado elevar al cuadrado.)

3) El término nuevo agregado en el primer miembro de la igualdad también se agrega en el

segundo miembro de la igualdad.

4) Se factoriza el TCP.

5) Se despeja y se hacen los cálculos necesarios.

6) Se obtienen las soluciones

Ejemplo: Resolver la ecuación 2 8 20 0x x por el método de completar el TCP

1 2

1 2

6 4 6 4 Separando las soluciones

10 2

x x

x x

Qué vas a aprender:

Utilizar ecuaciones

cuadráticas para

modelar situaciones

y resolverlas usando

la fórmula general.

Por qué es importante:

Es un método fácil

para resolver

ecuaciones

cuadráticas por

tratarse de una

fórmula.

2

2

2

8 20 0

8 20 Pasando el término independiente al segundo miembro de la igualdad

8 20 Completando el TCP y escribiendo el nuevo término en los dos lad s16 16 o

x x

x x

x x

2

de la igualdad

4 36 Factorizando el TCP y reduciendo

4 36 Despejando el cuadrado como raiz cuadrada

4 6 Operando la raiz cuadrada

6 4

x

x

x

x

Despejando x

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ACTIVIDAD 3.2.2 Resolviendo ecuaciones por el método de completar el TCP. Fecha: ____________

1. Resuelve las ecuaciones cuadráticas completando el TCP.

a) 2 9 10 0x x b) 2 2 3 0x x

c) 2 10 21x x d) 2 6 7 0x x

e) 2 10 5 0x x f) 2 7 18 0x x

g) 2 3 4 0x x h) 22 2 3 0x x

i) 2 2 11 0x x j) 2

2 2 04

kx kx p

CORRIGIÓ: ______________________ CALIFICACIÓN = # aciertos ______

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ACTIVIDAD 3.2.3 Demostrando la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas. Fecha: ________

La fórmula general Se trata de un recurso muy efectivo pues con ella es posible resolver cualquier tipo de ecuaciones

cuadráticas con una incógnita. Como es una fórmula, para usarla con éxito el secreto reside en tener

cuidado al sustituir y operar datos.

Primero observa una manera de obtener la fórmula general tomando como punto de partida la

forma general de la ecuación cuadrática 2 0ax bx c , resuelta por el método de completar el TCP

se tiene:

2

2

0

0 Dividiendo entre "a" para tener coeficiente igual a uno en el término cuadrático

ax bx c

ax bx c

a

2

2

2 22

2 2

2 2

2

0

Pasando el término independiente al segundo miembro de la igualdad

Completando el TCP4 4

4

2 4

b cx x

a a

b cx x

a a

b b b cx x

a aa a

b b acx

a a

2

2

2

Factorizando el TCP y reduciendo la fracción del segundo miembro de la igualdad

4 Despejando

2 4

4 Resolviendo para

2 2

b b acx

a a

b b acx

a a

2

la raíz cuadrada

4 Despejando " "

2 2

b b acx x

a a

2 4

Fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas con una incógnita2

b b acx

a

Al usar esta fórmula hay que cuidar que la ecuación cuadrática esté en la forma 2 0ax bx c , es

decir, debe estar igualada a cero y todos los términos reducidos y ordenados. Si hubiera

denominador en algún término, de preferencia hay que multiplicar a toda la ecuación por ese

denominador para eliminarlo y hacer más fácil la tarea de operar.

Ejemplos:

a) Resuelve la ecuación 2 5 24 0x x usando la fórmula general.

2

1 2

1 2

1, 5, 24

5 5 4 1 24 5 25 96 5 121 5 11

2 1 2 2 2

5 11 6 5 11 16 8

2 2 2 2

3 8

a b c

x

x x

x x

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b) Resuelve la ecuación 2 2 5 0x x usando la fórmula general.

2

1 2

1, 2, 5

2 2 4 1 5 2 4 20 2 24 2 4 6 2 2 6 2 2 61 6

2 1 2 2 2 2 2 2

1 6 1 6

a b c

x

x x

c) Resuelve la ecuación 2 6 10 0x x usando la fórmula general.

2

1 2

1, 6, 10

6 6 4 1 10 6 36 40 6 4 6 2 6 23

2 1 2 2 2 2 2

3 3

a b c

i ix i

x i x i

ACTIVIDAD 3.2.4 Resolviendo ecuaciones cuadráticas usando la fórmula general. Fecha: _____________

a) 2 9 10 0x x

b) 29 12 1 0x x

c) 2 2 24 0x x

d) 2 10 12 0h h

e) 25 4 0y y

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f) 2 8 0x x

g) 2 4 0x

h) 2 8 16 0x x

i) 22 7 3w w

j)2 4

11 2

x x

x x

k) 2

5 102 0

ww

l) 23 2 1m m

m) 23 10 10 0x x

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n) 2 1

4x x

o) 23 4 0x x

p) 2 2 2 0x x

q) 2 3 1 0x x

r) 3 3 8x x x

CORRIGIÓ: ______________________ CALIFICACIÓN = #

1018

aciertos ______

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TEOREMA DE TALES

Al finalizar la sección 3-3 asegúrate que hayas adquirido las siguientes competencias o conocimientos: Saber reconocer la propuesta del teorema de Tales en una figura. Saber explicar el teorema de Tales junto con sus propiedades Saber resolver planteamientos que requieren de la utilización del teorema de Tales. Cada vez que estés seguro de que manejas alguna sección, márcala con una palomita para que tú mismo lleves el control de tu avance.

ACTIVIDAD 3.3.1 Estudiando el teorema de Tales. Fecha: ____________

Reproduce la siguiente construcción utilizando Cabri II o Geogebra

MN PQ AC

La consecuencia fundamental de la semejanza se conoce como teorema de Tales y puede enunciarse

así: dado cualquier triángulo ABC, si se traza una recta paralela a uno de los lados del triángulo,

por ejemplo, la recta PQ paralela al lado AC, ésta interseca los otros dos lados del triángulo AB y

BC en los puntos P y Q, respectivamente; los lados quedan así divididos en segmentos

proporcionales, esto es, P divide al lado AB en los segmentos AP y BP, mientras que el punto Q

divide al lado BC en los segmentos BQ y CQ. Entonces, si dividimos la longitud de AP entre la

longitud de BP, este cociente es el mismo que el obtenido al dividir la longitud de CQ entre la

longitud de BQ. Como la recta PQ es paralela a AC, verifica (midiendo en tu figura con la

herramienta respectiva) que:

Proporción: Con medidas: Entonces, los segmentos

seleccionados son ______

______________ AP CQ

BP BQ

Considera el segmento MN y escribe a continuación los segmentos que son proporcionales en forma

de una proporción:

CASO 1. Ahora, si eliges el punto medio de un lado, por ejemplo del lado AC, y por éste trazas la

paralela al lado AB, ¿en qué punto intersecará al lado BC? Compruébalo con Cabri II o Geogebra.

______________________________

Describe qué ocurre si arrastras con el puntero el vértice C: _________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

Qué vas a aprender:

Determinar el teorema

de Tales mediante

construcciones con

segmentos. Aplicar el

teorema de Tales en

diversos problemas

geométricos.

Por qué es importante:

Permite reconocer

propiedades de las

figuras.

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CASO 2. El teorema recíproco del teorema de Tales también es cierto y puede enunciarse así: si

sobre dos lados de cualquier triángulo elegimos puntos, por ejemplo, L sobre BC y M sobre AC, de

manera que cumplan el enunciado BL AM

CL CM ,entonces, al trazar la recta que pasa por los puntos

L y M, ésta es paralela a AB.

Mide los segmentos BL, CL y AM, CM, para obtener los cocientes correspondientes. ¿Son iguales?

____________. Si tu respuesta fue afirmativa, verifica que la recta que pasa por L y M sea paralela

al lado AB.

Pega la impresión de tus diseños del caso 1 y 2 en el siguiente espacio:

Enuncia el teorema de Tales:

CASO 3. Señala los puntos donde el segmento corta a las rayas de la hoja de un cuaderno.

a) ¿Cuántos puntos obtuviste? ____________________________

b) ¿En cuántas partes quedó dividido el segmento? __________

c) ¿Por qué se puede asegurar que todas esas partes son iguales? (Explica recurriendo al teorema

de Tales) ______________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

CASO 4. Usando solo compás, regla y escuadra (sin efectuar medición métrica) divide el siguiente

segmento en cinco partes iguales.

Describe el procedimiento utilizado.______________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

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CASO 5. Usando compás, regla y escuadra, divide el segmento AB en dos partes, de tal forma que

la razón entre las medidas de las dos partes sea 2:3

B

A

CASO 6. Con regla, compás y escuadra, divide los segmentos en partes cuya razón sea la

indicada.

ACTIVIDAD 3.3.2 Trabajando aplicaciones del teorema de Tales. Fecha: ____________

1. Considera el triángulo ABC que se ha utilizado en el estudio de este capítulo. Al unir con

segmentos los puntos medios de los tres lados del triángulo, surge un nuevo triángulo. Enlista al

menos cuatro características del nuevo triángulo en relación al triángulo original.

a.___________________________________ b. ______________________________

c. ___________________________________ d. ______________________________

2. Conforme a la figura de la derecha, contesta lo que se pide:

a) Si AB = 5, CD = 15 y GH = 24. Hallar EF = ________.

b) Si FG = 6, CD = 21 y GH = 18. Hallar BC = _______.

c) Si EF = 20, DC = 50 y AB = 40. Hallar GH = _______.

d) Si FG = 21, AB = 15 y BC = 30. Hallar EF = ________.

3. La siguiente gráfica muestra tres lotes que colindan uno a uno. Los límites laterales son segmentos

perpendiculares a la calle 8 y el frente total de los tres lotes en la calle 9 mide 120 metros. Determine

la longitud de cada uno de los lotes de la calle 9. Incluye las proporciones para validar tus

respuestas.

CORRIGIÓ: ______________________ CALIFICACIÓN = #

1011

aciertos ______

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m n

a b

HOMOTECIAS

Al finalizar la sección 3-4 asegúrate que hayas adquirido las siguientes competencias o conocimientos: Saber identificar las propiedades de la homotecia directa y la homotecia inversa. Saber realizar los trazos apropiados para obtener la homotecia directa o inversa de una figura dada. Saber calcular e interpretar una razón de homotecia. Cada vez que estés seguro de que manejas alguna sección, márcala con una palomita para que tú mismo lleves el control de tu avance.

ACTIVIDAD 3.4.1 Identificando las propiedades de las homotecias. Fecha: ____________

Organizado en un equipo realiza el siguiente experimento:

1. Utilizando la pared como pantalla o fondo, coloquen un objeto (por ejemplo: un vaso, el borrador,

un lápiz, una vela, un CD o una de tus manos) a 1 m de distancia de ella. Después, iluminen dicho

objeto con una lámpara de mano a 50 cm de distancia de él en línea recta, de tal forma que se

proyecte la sombra del objeto en la pared.

2. Enseguida, acerquen y alejen la lámpara del objeto, y observen qué sucede en ambos casos.

3. Dejen fija la lámpara a 1 m de la pared, acerquen y alejen el objeto de ella. Expliquen lo que sucede

en ambos casos.

4. Midan las distancias entre la lámpara y el objeto y entre éste y la sombra. También midan la

longitud del objeto y la de la sombra. Verifiquen que la razón entre las distancias es igual a la razón

entre las longitudes.

Analiza la siguiente figura y contesta

las preguntas planteadas.

El foco alumbra un pino y éste

proyecta una sombra de mayor

tamaño sobre la pared. Los

segmentos de recta unen todos los

vértices del arbolito con los de su

sombra y la prolongación de éstos

hacia la izquierda coincide en un

punto O (centro de homotecia).

a) ¿Cuál es la razón entre OA’ y

OA?____________

b) Elige otro par de segmentos, sobre

una misma recta, y verifica que

guardan la misma razón que OA’ y

OA.

c) Compara la altura de la sombra con la del pino y anota la relación entre ambas

medidas.________________________________________

Qué vas a aprender:

Determinar los

resultados de una

homotecia cuando la

razón es igual, menor

o mayor que 1 o que

–1.Determinar las

propiedades que

permanecen

invariantes al aplicar

una homotecia a una

figura. Comprobar

que una composición

de homotecias con el

mismo centro es igual

al producto de las

razones.

Por qué es importante:

Permite reconocer

propiedades de las

figuras.

B C D

E A’

A

B’

C’

D’

E’

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CASO 1. Homotecia directa. Toma el punto O como centro de homotecia. A partir de O traza rayos

punteados que pasen respectivamente por cada vértice del polígono ABCD. Con tu compás copia

la distancia OA y reprodúcela sobre el mismo rayo partiendo de A y ubica el nuevo punto A’; repite

este procedimiento copiando las distancias respectivas con los puntos: B, C, y D para encontrar los

puntos B’, C’ y D’, Después, une los cuatro puntos obtenidos para formar el polígono A’B’C’D’ y

contesta las preguntas.

¿Qué relación existe entre la medida de los lados de ambos polígonos? ________________

¿Cómo son los ángulos de las dos figuras?_______________________

¿Qué relación existe entre los perímetros de ambas figuras?_______________________

¿Qué relación existe entre las áreas de ambas figuras?_______________________________

¿Cuál es la razón de homotecia? _____________________________

CASO 2. Homotecia inversa. Toma como centro de homotecia el punto O, traza los segmentos AO,

BO, CO y prolóngalos hacia la izquierda la misma distancia. Ubica los puntos A’, B’, C’ y únelos

para formar un nuevo triángulo.

¿En qué posición está el nuevo triángulo con respecto al original? ____________________

¿Dónde quedó el punto de homotecia con respecto de las dos figuras? ________________

¿Cuál es la distancia OA?__________________________________

¿ Y cuál la de OA’?________________________________________

Si consideran el punto de homotecia O, como origen en una recta numérica, ¿cuál es el sentido que

tiene la distancia OA?________________ ¿Y el sentido de OA’?__________________

¿Cuál es la razón de homotecia? ___________________________

¿Cuál es el perímetro de ambas figuras?_______________ ¿Cuál es su área?_____________

O

A

B

C

8 10

6

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ACTIVIDAD 3.4.2 Trabajando con las propiedades de la homotecia. Fecha: ____________

1. Analiza el siguiente dibujo y contesta las preguntas.

La figura 1 es la original, la figura 2 es la primera figura homotética (sombra 1) y la figura 3 es la

segunda figura homotética (sombra 2). Se sabe que OP = 4 cm, OP’ = 8 cm, P’P’’ = 8 cm y QR = 3cm.

1. ¿Cuál es la razón de

homotecia de la figura 2 con

respecto de la 1?_______

2. ¿Cuál es la razón de

homotecia de la figura 3 con

respecto a la 2?________

3. ¿Cuál es la razón de

homotecia de la figura 3 con

respecto a la 1?________

4. Si el segmento QR mide

2.6cm, ¿Cuánto mide el

segmento Q’’R’’?____________

2. Utilizando Cabri II o Geogebra efectua los trazos respectivos del Caso 1 y Caso 2 de este

capítulo y comprueba tus resultados por medio de este recurso electrónico. Pega tus diseños en el

siguiente espacio.

CORRIGIÓ: ______________________ CALIFICACIÓN = #

1010

aciertos ______

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GRÁFICAS

Al finalizar la sección 3-5 asegúrate que hayas adquirido las siguientes competencias o conocimientos: Comprender que hay fenómenos que se representan a través de gráficas diferentes a la recta. Saber representar y analizar gráficas de fenómenos no lineales. Saber calcular datos a partir de la observación de un comportamiento gráfico. Cada vez que estés seguro de que manejas alguna sección, márcala con una palomita para que tú mismo lleves el control de tu avance.

ACTIVIDAD 3.5.1 Trabajando con gráficas. Fecha: ____________

Traza las gráficas que se indican, posteriormente contesta lo que se pide. Para el primer caso

considera g = 9.81 m/s2. Para el segundo considerar v = 20 m/s. Puedes utilizar tu calculadora.

d = 2

2gt

t (s) d (m) (x ,y)

0 0 (0,0)

1

2

3

4

5

d = vt

¿Qué fenómeno representa cada gráfica?___________________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

¿Qué diferencias y semejanzas tienen las gráficas?___________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

t (s) d (m) (x, y)

0 0 (0,0)

1

2

3

4

5

Qué vas a aprender:

Interpretar, construir y

utilizar gráficas de

relaciones

funcionales no

lineales para modelar

diversas situaciones o

fenómenos.

Por qué es importante:

Permite extender el

concepto de

representación

gráfica a situaciones

no modelables con

una recta.

0 5

10

100

90

4

Tiempo (segundo)

1 2 3

20

Dis

tancia

(m

etr

os)

50

60

70

80

30

40

0 5

10

100

90

4 Tiempo (segundos)

1 2 3

20

Dis

tancia

(m

)

50

60

70

80

30

40

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- 88 -

¿Qué relación encuentras entre las expresiones algebraicas y sus

gráficas?_______________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

Analiza la siguiente gráfica que representa el área de un rectángulo en función de la medida de la

base, cuando el perímetro es constante (10 cm). Posteriormente contesta lo que se pide.

a) ¿Por qué la curva no inicia en el origen del plano? ________________________________

_______________________________________________________________________________

b) ¿Cuántos rectángulos de 10 cm de perímetro pueden formarse? ________________ ¿Por qué?

____________________________________________________________________________________

c) ¿Cuánto puede medir la base cuando el área es igual a 4 cm2? ______________________

d) ¿Entre qué valores enteros de la base se encuentra el rectángulo de área máxima? ____________

___________________________________________

e) ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo de área máxima? ______________________

Rectángulos de perímetro =

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6

6.5

7

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5

base (cm)

Are

a (

cm

2)

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- 89 -

Analiza la siguiente gráfica que representa la relación entre el área de la imagen proyectada sobre

la pantalla y la distancia a la que se coloca el proyector. Posteriormente contesta lo que se pide.

a) ¿Cuál es el área de la imagen en la pantalla si el proyector se encuentra a una distancia

de 5 m? ____________________________

b) ¿A qué distancia deberá colocarse el proyector con respecto a la pantalla para que la

imagen tenga un área de 4 m2? _________________________

c) ¿Cuál es la expresión algebraica que representa el área (A) de la imagen proyectada en

función de la distancia (d) a que se coloca el proyector? ____________________________

d) ¿Cuál es el área de la imagen en la pantalla si el proyector se encuentra a una distancia

de 5.5 m? ____________________________________________

CORRIGIÓ: ______________________ CALIFICACIÓN = #

1030

aciertos ______

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9

2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9

3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9

4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

distancia (m)

áre

a d

e l

a im

ag

en

(m

2)

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GRÁFICAS NO LINEALES

Al finalizar la sección 3-6 asegúrate que hayas adquirido las siguientes competencias o conocimientos: Comprender el efecto de “a” y “b” en las gráficas de las funciones de la forma y = ax2 + b. Comprender el efecto de “a” en las gráficas de las funciones de la forma y = (x + a)2. Dada una gráfica saber la función a la que representa. Cada vez que estés seguro de que manejas alguna sección, márcala con una palomita para que tú mismo lleves el control de tu avance.

ACTIVIDAD 3.6.1 Estudiando las gráficas de funciones no lineales. Fecha: ____________

Gráficas de la forma 2y ax b (PRIMERA PARTE). Para reconocer las gráficas de este tipo de

relación funcional (función), primero haremos un estudio del efecto del coeficiente “a”.

Por simplicidad demos por despreciable el valor de “b” (cero), así, la función se reduce a 2y ax .

Observa las siguientes funciones:

¿Las funciones anteriores tienen el formato 2y ax ? _______

¿Qué valores se asignaron al coeficiente “a” en cada caso? __________________________________

Utiliza Derive o Geogebra para graficar las funciones anteriores en una sola ventana, luego,

identifica cada gráfica escribiendo sobre cada una su función respectiva. Recorta y pega tu gráfica

en el siguiente espacio, obsérvala y llena la tabla:

Qué vas a aprender:

Establecer la relación

que existe entre la

forma y la posición

de la curva de

funciones no lineales

y los valores de las

literales de las

expresiones

algebraicas que

definen a estas

funciones.

Por qué es importante:

Se aprende a

anticipar detalles de

una gráfica no lineal

con solo reconocer

algunos datos de la

función

a) 23y x b) 22y x c) 2y x d) 21

2y x e) 21

3y x f) 21

4y x

g) 2y x h) 22y x

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Tabla de resumen de efectos del coeficiente “a” en parábolas del tipo 2y ax

CONCLUSIONES Cuando “a” es positiva Cuando “a” es

negativa

Cuando “a” se aleja

del valor cero

Efecto observado

en la parábola:

Gráficas de la forma 2y ax b (SEGUNDA PARTE). En esta sección consideremos “a=1”, así, la

función que queda es 2y x b .

Utilizando Derive o Geogebra y en una sola ventana de trabajo desarrolla el estudio siguiendo los

pasos:

1. Haz la gráfica de 2 0y x

2. En la misma ventana realiza las gráficas 2 1y x , 2 3y x ¿qué ocurrió? ____________

_______________________________________________________________________________

3. Realiza las gráficas de 2 1y x y 2 4y x , ¿qué ocurrió? _____________________

_______________________________ ¿a qué crees que se deba el que las parábolas no están en el

mismo lugar del plano? ______________________________________________________

Imprime las gráficas obtenidas, identifica las parábolas escribiendo sobre cada una su función

respectiva. En la función 2y x b ¿cuál es el efecto de “b” en los vértices de las parábolas?

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

Recorta y pega tus gráficas en el siguiente espacio:

El punto donde

la curvatura

cambia de

sentido (punto

de inflexión) se

llama vértice

de la parábola

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Gráficas de la forma 2

y x a

Utilizando Derive o Geogebra y en una sola ventana de trabajo desarrolla el estudio siguiendo los

pasos:

1. Grafica las funciones 2

6y x y 2

2y x . ¿Qué observas en cuanto a la posición de

las gráficas? _________________________________________________________

2. Grafica a continuación 2

1y x y 2

4y x ¿Qué ocurrió en cuanto a la

posición del vértice de cada parábola? _____________________________________________

_______________________________________________________________________________

3. Imprime las gráficas, pégalas en el siguiente espacio y escribe sobre cada una de ellas su función

respectiva. ¿Qué relación encuentras entre el valor de “a” y el vértice de las

parábolas?_____________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

ACTIVIDAD 3.6.2 Trabajando con gráficas no lineales. Fecha: ____________

1. Identifica cada gráfica con su función respectiva.

( ) y = (x + 3)2

( ) y = -2x2

( ) y = (x – 3)2

( ) y = x2 + 2

( ) 2

2

1x

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y y

2. Para cada parábola escribir su función respectiva:

3. Resuelve la ecuación a) 2 9 0x

La misma ecuación, convertida en función es 2 9y x . Elige la gráfica de esta función..( )

a) b)

a)

x

c) b)

a) ______________

b) ______________

c) ______________

d) ______________

x

x

y d)

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- 94 -

III

m(t)

¿Qué relación tiene las soluciones de la ecuación anterior con los puntos donde su función graficada

(su parábola) interseca al eje “x”? _________________________________________

_______________________________________________________________________________

CORRIGIÓ: ______________________ CALIFICACIÓN = #

1012

aciertos ______

INTERPRETACIÓN DE GRÁFICAS

Al finalizar la sección 3-7 asegúrate que hayas adquirido las siguientes competencias o conocimientos: Dada una gráfica saber relacionarla con el fenómeno que representa. A partir de los datos de un fenómeno ser capaz de representarlo con una gráfica. Cada vez que estés seguro de que manejas alguna sección, márcala con una palomita para que tú mismo lleves el control de tu avance.

ACTIVIDAD 3.7.1 Relacionando gráficas y fenómenos. Fecha:

____________

Seleccionen el texto que mejor describe la siguiente gráfica:

a) Ricardo salió a caminar cerca de una pendiente y le tomó menos tiempo bajar por el lado más

bajo que por el más alto.

b) Maribel manejaba su coche a cierta velocidad, un policía le dijo que se detuviera y después de

recibir una infracción y de que el policía se retiró, ella manejó más rápido, llegó a una velocidad

mayor a la que venía circulando y mantuvo esa velocidad durante cierto tiempo para recuperar el

tiempo perdido por la infracción.

c) En un tanque había cierta cantidad de agua que quedó de la noche anterior. Pedro se empezó a

bañar e hizo que la velocidad del flujo de salida de agua se redujera a cero. Tiempo después llegó

el agua al tanque hasta que quedó lleno.

d) Beatriz vive en una casa a desniveles. Se encuentra sentada en la cocina de su casa durante cierto

tiempo. Sube las escaleras hacia la sala de su casa y se queda viendo la televisión durante algún

tiempo, finalmente sube las escaleras hacia su recámara y se queda dormida.

Relaciona cada una de las siguientes gráficas con el texto que mejor describe su información.

Qué vas a aprender:

Interpretar y elaborar

gráficas formadas por

secciones rectas y

curvas que modelan

situaciones de

movimiento, llenado

de recipientes,

etcétera.

Por qué es importante:

Se trata de una

ocasión para

relacionar las

gráficas con

situaciones reales.

I)

m(t)

Tiempo

II

m(t)

Tiempo

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a) La permanencia de una medicina en el cuerpo

de un paciente, la cual es administrada por medio

de una inyección. ( )

b) La permanencia de una medicina en el cuerpo

de un paciente, la cual es administrada por medio

de píldoras cada cierto tiempo. ( )

c) La permanencia de una medicina en el cuerpo

de un paciente, la cual es administrada por medio

de una mezcla del medicamento con suero y vía

intravenosa.( )

La gráfica que aparece a continuación representa el comportamiento de la temperatura de cierta

solución (compuesto químico) en diferentes instantes.

Describe y argumenta:

A. Qué ocurrió del inicio a los 5 minutos

B. De los 5 minutos a los 8 minutos.

C. De los 8 a los 9 minutos.

Las siguientes gráficas representan el llenado de recipientes variando la altura que va alcanzando

el líquido en relación con el tiempo. Asocia cada uno de los 3 recipientes con su respectiva gráfica.

Justifica tus respuestas.

A) B) C)

(Minutos)

(Grados)

1

2

3

4

5

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( ) ( ) ( )

Bosqueja una gráfica que represente cada una de las siguientes situaciones:

a) La altura de los rebotes de una pelota que cae desde la azotea de una casa con respecto al

tiempo.

b) La altura con respecto al tiempo de izar manualmente una bandera en un asta.

c) La altura que alcanza el líquido en el recipiente que se muestra en relación con el tiempo.

CORRIGIÓ: ______________________ CALIFICACIÓN = #

1016

aciertos ______

ACTIVIDAD 3.7.2 Relacionando gráficas y fenómenos. Fecha: ____________

Resuelve las actividades propuestas en:

http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/3eso/funciones/pinte

rpretcionfunciones/interpretaciondegraficas.htm