bloque 1 operaciones con decimales

Bloque I 1

Rosa María Jiménez Solar | Matemáticas I

BLOQUE I

I OPERACIONES BÁSICAS CON NÚMEROS ENTEROS Y

DECIMALES.

1.1 SUMA.

Suma es el nombre que recibe la operación que cuenta el aumento proporcional

o desproporcional de personas, animales, cosas o situaciones o valores. El símbolo que

representa a la suma es: + .

Para realizar dicho conteo se debe tomar en cuenta la especie de procedencia y

entender que y como se pretende sumar. En el caso de los números se deberá llevar a

cabo los siguientes pasos:

1.- Reconocer las cantidades a sumar (sumandos).

2.- Acomodar las cantidades respetando la posición del último número, esto es de

derecha a izquierda. Por ejemplo:

Si tenemos: 4560 + 451, entonces se colocaría la operación de la siguiente forma:

4560

+ 451

3.- Para obtener el resultado se debe ir agregando una de las cantidades a la otra, al final

se escribe el último número de la cifra resultante (suma) de dicha unión, sumando el

otro al siguiente número de la izquierda. Por ejemplo:

Si tenemos 486 + 24, esto sería:

486

+ 24

510

4.- Si se trata de una suma donde los sumandos tengan punto decimal, entonces las

cantidades deberán estar escritas una debajo de la otra cuidando que los puntos estén

alineados. Finalmente se resuelve con los mismos pasos y el resultado tendrá el punto

decimal justo en la misma dirección que en los sumandos. Por ejemplo:

457. 12

+ 123. 3

680. 42

Los últimos números se acomodan

alineados en la misma dirección

En este caso 6 + 4 = 10, se escribe el

0 y se suma uno a 8 + 2, y así

sucesivamente.

Bloque I 2


EJERCICIO 1. Resuelve las siguientes sumas, primero deberás ordenar los números en

suma vertical.

1.- 456.3 + 98.93 + 2984.232 2.- 487.465 + 298.45 + 29.29847

3.- 387.39 + 298.3 + 23.495 4.- 29.487 + 0.098 + 1.938

5.- 373 + 12.75 + 132.4 6.- 35.9 + 376.12 + 0.00654

1.2 RESTA.

Resta es la operación que cuenta la disminución o diferencia que existe entre dos

o más cantidades. El símbolo que representa a la resta es: - .

Para realizar la diferencia de cantidades se debe conocer la cantidad a la que se

requiere restar (minuendo) y la cantidad que se desea restar (sustraendo) para obtener el

resultado (diferencia).

Al minuendo se le restará el sustraendo comenzando de derecha a izquierda, si el

sustraendo es mayor que el minuendo entonces se toma al minuendo como la cantidad

próxima superior que tenga en su decena el número que se observa, por ejemplo si la

cantidad es 8 en el minuendo y en el sustraendo es 7 entonces se dice 18 menos 7 o 7

Bloque I 3


para 18, se coloca la diferencia y se lleva uno el cual se le suma al número siguiente del

sustraendo y ahora se procede con el siguiente minuendo, así sucesivamente con todos

los números hasta el final. En caso de ser cantidades con punto decimal se respeta la

misma característica que en la suma.

Por ejemplo:

12983 . 487

- 4875 . 34 .

8108 . 147

EJERCICIO 2. Resuelve las siguientes restas, primero debes ordenar las cantidades en

resta vertical.

1.- 3764.29 – 384.9 2.- 874.4 – 245.37

3.- 9837.47 – 2873.984 4.- 287.37 – 29.39

5.- 412.09 – 345.009 6.- 37.58 – 4.0958

1.3 MULTIPLICACIÓN.

La multiplicación es una operación en la cual se abrevia la suma de un número

determinadas veces, o sea el número que multiplica (múltiplo) indica el número de

veces en que se suma el multiplicando, ambas cantidades reciben el nombre de factor.

Por ejemplo si se quiere saber a cuanto corresponde 3 x 5, entonces se debería sumar 5

veces 3 o 3 veces 5, esto es:

3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15 o 5 + 5 + 5 = 15

Esa es la razón por la cual cuando multiplicamos 3 x 5 o 5 x 3 el resultado que

obtenemos es 15.

Minuendo

Sustraendo

Diferencia o resultado

Bloque I 4


Los símbolos con los que se representa la multiplicación son: x ; * ; ( ) ; [ ]; { };

letra con letra “ab”, número con letra “2a".

La multiplicación cuando tiene factores con más de 1 número se resuelve

empezando con los números de derecha a izquierda, cada producto se va colocando en

líneas horizontales, dejando cada vez en la escritura un espacio, al final se suman las

cantidades que aparecen y ese es el resultado (producto) de dicha operación; finalmente

se cuentan cuantos números en total hay en los factores que sean decimales y ese

indicará la posición en que debe escribirse el punto decimal en el resultado, esto se verá

de derecha a izquierda. Por ejemplo:

3456

x 1.32

6912

10368

3456

456192

La cantidad de decimales que hay en los factores son 2, se presentan sólo en el

1.32, por lo tanto el resultado será: 4561.92

EJERCICIO 3. Resuelve las siguientes multiplicaciones, ordénalas primero en

multiplicación horizontal.

1.- (139.1)(48.3) 2.- (384.21)(29)

3.- (487.13)(53.2) 4.- (48.29)(1.00938)

5.- (243)(0.027) 6.- (398.48)(758.2)

Factores

Producto

Bloque I 5


1.4 DIVISIÓN.

La división es el número de partes en que se puede partir o fraccionar un valor

entre otro, sus partes son:

Cociente

Divisor Dividendo

Residuo

Los símbolos o representaciones de la división son: ÷ ; / ; la forma de fracción.

Existen cuatro casos en que se puede presenta la división, que son: sin punto

decimal, con punto decimal en el divisor, con punto decimal en el dividendo y con

punto decimal en el divisor y en el dividendo. Toda operación tiene su comprobación y

en este caso será la multiplicación del resultado por el divisor más el residuo.

Sin punto decimal: se observa cuanto números componen al divisor, las cifras

que tenga el divisor serán el número de cifras que se tomen en el dividendo para

comenzar a resolver, se tiene que verificar si el número que se toma en el

dividendo es mayor al del divisor sí es así entonces se toma un número que haga

referencia a las veces en que se puede repartir el dividendo entre el divisor, de

tal forma que dicho número sea de 0 a 9. El número de veces en que pueda

repartirse se escribe justo arriba del último que compone a la parte del dividendo

tomado para la división, dicho número multiplica al divisor y ese resultado se le

resta al dividendo, se baja el siguiente número y se procede a dividir el residuo

con el número que se bajó entre el divisor, si este es menor que el divisor

entonces se escribe 0 arriba, junto al número anterior en la parte del cociente, se

baja otro número y se procede a dividir, el número se escribe ahora en el

resultado y este se multiplica por el divisor su producto se le resta al residuo y la

diferencia ahora se acompaña con el siguiente número, todo se vuelve a repetir

hasta que ya no se tengan números para bajar.

Por ejemplo:

Comprobación

1387/92 92 1 3 8 7 15 . 07

4 6 7 x 92

0 7 00 3 0 1 4

56 1 3 5 6 3

1 3 8 6 4 4

+ 5 6

1 3 8 7. 0 0

1 5.07

Bloque I 6


Sólo con punto decimal en el divisor:

- El punto decimal del divisor se corre hacia la derecha hasta llegar a la

estructura de la división, ya que se pretende desaparecerlo.

- En el dividendo, el cual no tiene punto decimal, se le aumentará en ceros las

veces que se haya corrido el punto decimal.

- Se resuelve la división de forma habitual y el punto decimal se colocará en el

resultado ubicándolo en donde corresponda según la solución.

- Finalmente se realiza la comprobación multiplicando el cociente por el divisor,

al resultado se le suma el residuo y deberá dar el dividendo.

Por ejemplo:

3762/12.3 Comprobación

1 2 . 3 3 7 6 2 0

0 0 7 2 0 3 0 5 . 8 5

1 0 5 0 x 1 2 3

0 6 6 0 9 1 7 5 5

0 4 5 6 1 1 7 0

3 0 5 8 5

3 7 6 1 9 5 5

+ 4 5

3 7 6 2 0.0 0

Punto decimal sólo en el dividendo: Se resuelve la operación de forma habitual y

se ubicará el punto decimal en el resultado donde indique la propia solución,

finalmente se debe lleva a cabo la comprobación de la misma forma que en el

punto anterior.

Por ejemplo:

Comprobación

765.4/32 32 7 6 5.4

1 2 5 2 3 . 9 1

2 9 4 x 3 2

0 6 0 4 7 8 2

2 8 7 1 7 3

7 6 5 1 2

+ 2 8

7 6 5.4 0

Punto decimal en el divisor y en el dividendo: el punto decimal del divisor se

mueve hacia la derecha hasta que llegue a la estructura de la división, el número

de veces que se movió en el divisor es el mismo número de veces que se

3 0 5. 85

2 3. 91

Bloque I 7


moverá, hacia la derecha, el punto decimal del dividendo. Ahora las nuevas

cantidades de divisor y dividendo serán con las que se resuelva, de forma

habitual, la división, en el resultado el punto decimal se colocará según indique

la solución.

Por ejemplo:

Comprobación

476.47 / 23.1 23 . 1 4 7 6 . 4 7

0 1 4 4 7 2 0 . 6 2

0 6 1 0 x 2 3 . 1

1 4 8 2 0 6 2

6 1 8 6

4 1 2 4

4 7 6 3 2 2

+ 1 4 8

4 7 6 4 . 7 0

EJERCICIO 4. Resuelve las siguientes divisiones según sea el caso y realiza la

comprobación correspondiente.

1.- 476.38 / 12

2.- 3654.2 / 4.5

3.- 7645 / 2.34

2 0 .6 2

Bloque I 8


4.- 576.34 / 5.1

5.- 657.265 / 32.3

6.- 7645 / 354

II SISTEMAS DE NUMERACIÓN.

Cuando los hombres empezaron a contar usaron los dedos, marcas en bastones,

nudos en un cuerda y algunas otras formas para ir pasando de un número a otro. A

medida que la cantidad crece se hace necesario un sistema de representación más

práctico.

En diferentes partes del mundo y en distintas partes del mundo y en distintas

épocas se llega a la misma solución, cuando se alcanza un determinado número (que

puede ser diferente del anterior).

La base que más se utiliza a lo largo de la historia es de base 10 (decimal), como

la indo arábiga, la nuestra. La babilónica usa base decimal y sexagesimal (de 60), la

numeración maya es vigesimal pues su base es 20, en el caso de la binaria utiliza solo

dos símbolos o números que son el uno y el cero.

A continuación se presentan algunos de los antes mencionados.

Bloque I 9


2.1 SISTEMA DE NUMERACIÓN EGIPCIO.

El sistema egipcio emplea símbolos de diferente denominación, cada símbolo

aparece una vez que nueve veces, máximo, se escribió el anterior, estos son:

uno diez cien mil diez mil cien mil un millón

1 10 100 1000 10000 100000 1000000

Los símbolos no pueden aparecer más de nueve veces ya que después de ello deberá

aparecer el siguiente signo.

99 101 1302

90 + 9 100 + 1 1000 + 300 + 2

EJERCICIO 5. Convierte las siguientes cantidades de numeración egipcia a números

indo arábigos y aquel indo arábigo a egipcio.

1.- 143 4.-

2.- 545

5.-

3.- 1989

2.2 SISTEMA DE NUMERACIÓN MAYA.

Las características del sistema de numeración maya son las siguientes:

Se escribe en celdas verticales.

Los números se encuentran representados por 3 signos, que son:

0 1 5

Su lectura es de abajo hacia arriba y deben seguirse los pasos citados a

continuación:

- Saber el valor que existe en cada celda.

Bloque I 10


- El valor de la primera celda se multiplica por uno.

- El valor de la segunda celda se multiplica por veinte.

- El valor de la tercera celda se multiplica por la potencia de veinte al cuadrado y

así sucesivamente con el resto de las celdas. (Ver imagen)

- Finalmente se suman los resultados obtenidos y ese es el valor del número maya.

Estructura y múltiplos del sistema maya.

Por ejemplo:

EJERCICIO 6. Calcula el valor de los siguientes números mayas.

1.- 2.-

3.- 4.-

Valor en indo arábigo X 1600




7 x 400 = 2800

0 x 20 = 0

10 x 1 = 10

Valor 2810

Bloque I 11


2.3 SISTEMA DE NUMERACIÓN BINARIO.

El sistema de numeración binario recibe su nombre por que utiliza dos símbolos o

valores, estos son: 1 y 0. Para dar lectura a estos números se debe realizar lo siguiente:

- Observar que la cantidad escrita tiene al final un subíndice 2.

- Sin importar el símbolo escrito a la izquierda del subíndice 2, escribir un número

1 debajo de dicho símbolo.

- Multiplicar el subíndice 2 por el número 1 y escribir el resultado en el símbolo

siguiente a la izquierda. Repetir el paso hasta que ya no halla símbolos.

- Eliminar las cantidades escritas debajo de los ceros, sumar solo aquellas que

están debajo de los unos. Por ejemplo:

1 0 1 1 02 En este caso se eliminan 1 y 8 que están debajo de 0 y se suman

16 8 4 2 1 16 + 4 + 2 dando como resultado el valor del número binario, o sea 22

EJERCICIO 7. Convierte las siguientes cifras binarias a número indo arábigo.

1.- 1 1 0 1 0 12 = 2.- 1 1 0 1 1 1 02 =

3.- 1 1 0 1 0 1 02 = 4.- 1 1 0 1 1 0 12 =

5.- 1 0 1 0 1 02 = 6.- 1 0 1 1 12 =

2.4 SISTEMA DE NUMERACIÓN ROMANO.

El sistema de numeración romano es un sistema no posicional, puede ser

reconocido también como sumativo o sustractivo, actualmente se emplea para clasificar

la escritura. Algunas de las características que presenta para su lectoescritura son:

- Consta de 8 símbolos que son: I = 1; V = 5; X = 10; L = 50; C = 100; D = 500;

M = 1000 y finalmente una línea horizontal “–“que multiplica por 1000 todo

aquel valor que está escrito debajo de ella.

- Ningún valor puede repetirse más de 3 veces. Por ejemplo:

III = 3 IV= 4 XXX = 30 XL = 40 MMM = 3000 IV = 4000

- Cuando un símbolo de menor valor está escrito a la izquierda de uno de mayor

valor entonces al mayor se le debe restar el menor. Por ejemplo:

IX = 9 IC = 99 CD = 400

Bloque I 12


- Cuando un número romano se encuentra escrito a la derecha de otro y éste es de

menor valor entonces deberán sumarse. Por ejemplo:

XI = 11 CI = 101 DC = 600

- Para expresiones arriba de 3000 se debe emplear una raya horizontal sobre el

número expreso en romano de la significancia principal. La línea indicará que

debe multiplicarse la cifra escrita debajo de ésta por mil. Por ejemplo:

IV = 4000 VI = 6000 XL = 40000

EJERCICIO 8. Resuelve las siguientes operaciones realizando primero la conversión de

sistema romano al sistema indo arábigo correspondiente y por último expresa en

romano el resultado.

1.- XIII + CXII = =

2.- MCD + VDCXI = =

3.- VI + XV - MMM = =

4.- CCCLX + CDXX = =

5.- DLXXX - CCLIII = =

2.5 OPERACIONES CON COMBINACIÓN DE SISTEMAS DE NUMERACIÓN.

Para resolver operaciones donde los sistemas de numeración o las unidades de

medición son diferentes, primero debemos convertirlas a una unidad o sistema en

común, en el caso para los sistemas de numeración deberán convertirse al sistema indo

arábigo y finalmente cambiar al sistema que se indica o pide.

Por ejemplo:

Operación en diferentes

sistemas de numeración

Operación en indo arábigo

Resultado expresado en el

sistema de numeración

indicado

10112 + - LXIII

8 4 2 1

11 + 110 – 63 = 58

En romano:

LVIII

Bloque I 13


EJERCICIO 9. Resuelve en la siguiente tabla las operaciones combinadas y expresa su

resultado en el sistema de numeración que se pide.

Operación en diferentes

sistemas de numeración

Operación en indo arábigo

Resultado expresado en el

sistema o sistemas de

numeración indicados

+ 17 + IV

En egipcio:

MCDII + 101012 -

En indo arábigo

+ MDXLI

En romano:

+ 110102 - 452

En egipcio y en romano:

III NÚMEROS NATURALES Y NÚMERO FRACCIONARIOS.

3.1 NÚMEROS NATURALES.

Los números naturales son aquellos que pertenecen al sistema decimal de

numeración, emplea 10 símbolos y agrupa los elementos de 10 en 10, sus símbolos son:

0, 1, 2, 3, 4 , 5, 6, 7, 8, 9.

Siguen un orden de ubicación en unidades, decenas, centenas, millares, etc., se

sugiere que cada tres cifras se coloque una coma para indicar que el número, tiene

unidades que rebasan las 3 posiciones de cada bloque de unidades.

3.2 NÚMEROS FRACCIONARIOS.

Los números fraccionarios no son números naturales, pueden ser expresados a

través de un numerador con denominador o también con cifras decimales. Sus partes y

estructura son:

Número entero

Número entero

Numerador

Denominador Línea divisora

Bloque I 14


EJERCICIO 10. Identifica de las siguientes fracciones el numerador y denominador.

Fracción Numerador Denominador

13

5

25

10

17

28

3

4

21

7

El reconocimiento esquemático o comprensión física de las fracciones es

necesaria puesto que de ahí dependerá que puedas realizar fácilmente el razonamiento

para la solución de problemas o situaciones. Por ejemplo:

Un automóvil necesita recorrer 1 Km y ahora solo ha recorrido 3/5 partes de

Km, ¿cuál de las siguientes rectas representa el recorrido del auto?

En este ejemplo como puedes observar se sabe que hay 3/5 partes que ha recorrido el

automóvil, por lo tanto significa que 1Km corresponde a 5/5, sabiendo esto entonces se

descarta la opción A y la opción C quedando como respuesta correcta la opción B. Otra

forma es saber que el denominador nos indica el número de partes en que se divide un

entero y el numerador es el número de partes que se toman de las que forman el entero.

EJERCICIO 11. En tu cuaderno representa e indica las fracciones que corresponden a

las respuestas de los siguientes enunciados por medio de esquemas o dibujos.

1.- Una niña tiene 5 muñecas y solo dos de ellas tienen vestido azul.

2.- Una señora hizo 30 pasteles de los cuales solo quedan 4, ¿cuántos vendió?

3.- Una rana brinca en 8 charcos y sólo en 3 de ellos ha puesto huevos, ¿En cuántos le

faltó poner huevos?

A)

B)

C)

0

5

0

1

0

1

Bloque I 15


4.- Una costurera compra 23 m de tela y sólo ocupa 15, ¿cuántos metros ocupó y

cuantos metros le sobraron?

5.- En un edificio hay 5 ventanales y sólo dos de ellos ocupan cortinas largas, ¿cuántos

no tienen cortinas largas?

Es importante saber que existen números positivos y negativos estos pueden ser

números naturales como los números fraccionarios pueden ser positivos o negativos.

Para ello se debe tomar en cuenta que el número 0 además de ser un número natural es

el único que no tiene signo, o sea no es positivo ni negativo sino neutro.

Para comprender cuales son positivos y cuales negativos se debe tomar en

cuenta su posición en la recta numérica.

3.3 RECTA NUMÉRICA.

La recta numérica está distribuida de tal forma que ubica a las cantidades

negativas a la izquierda antes del 0 y los números positivos a la derecha después del 0.

El signo que corresponde a un número es el escrito inmediatamente a su izquierda, si es

positivo puede o no aparecer el signo de + y si es negativo siempre aparecerá el signo

de - .

La estructura de la recta numérica es la siguiente:

∞- ∞

+

∞ este símbolo hace referencia al infinito, o sea que hay un número desconocido y por

tanto no hay una cantidad definida.

# símbolo que significa número.

3.4 NÚMEROS PRIMOS.

Es un número natural que solo tiene 2 factores que son el número mismo y el

uno, es un número que no puede expresarse como resultado de 2 números distintos de sí

mismo y uno, se sugiere verificar en los resultados de múltiplos o divisores. Por

ejemplo:

15 no es número primo su razón es porque puede dividirse entre 15, 5, 3, 1, o sea puede

ser resultado de los múltiplos de 15 x 1 ; 5 x 3; 1 x 15.

13 si es número primo su razón es porque solo puede dividirse entre 13 y 1, o sea es

resultado únicamente de 13 x 1.

…-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4…

Bloque I 16


EJERCICIO 12. Identifica en los siguientes números cuáles son primos y cuáles no, así

mismo escribe la razón que lo argumenta.

Número Razón

3

12

23

151

1313

Las fracciones para poder expresarse en decimal es necesario realizar una

división, debe dividirse el numerador entre el denominador. Recordar las partes de la

división nos ayuda a reconocer fácilmente el lugar que ocupará el numerador y el

denominador en esta para convertir una fracción a número decimal, por lo tanto se tiene

que:

Partes de la división. Ubicando las partes de la fracción

en una división tenemos

Cociente Cociente

Divisor Dividendo Denominador Numerador

Residuo Residuo

Para convertir una fracción a decimal se debe realizar una división, en cualquiera

de los casos en que se presente.

3.5 REDONDEO DE CANTIDADES.

El redondeo se emplea para acortar cantidades, generalmente se usa cuando hay

muchos decimales en algún valor dado. Para redondear se deben hacer los siguientes

pasos:

- Conocer cuántos decimales se desean tener en la cantidad.

- Para acortar la cantidad se toma en cuenta el número inmediato posterior al

requerido, se observa si es infinito, mayor, igual o menor a 5.

- Si el número inmediato posterior es igual o mayor a 5 entonces al número

requerido deberá aumentar 1, si este llega aparecer infinito entonces se aplicará

el mismo criterio.

- Si el número inmediato posterior es menor a 5 entonces sólo deberán borrarse

los números escritos después del requerido.

Bloque I 17


Por ejemplo:

Redondear a dos decimales 34.2382

Número requerido 3

Número inmediato posterior 8, como es mayor a 5 entonces se le suma 1 al requerido y

por tanto la cantidad quedará redondeada:

34.24

Redondear a dos decimales 148.945298

Número requerido 4

Número inmediato posterior 5, como es igual a 5 entonces se le suma 1 al requerido y

por tanto la cantidad quedará redondeada:

148.95

Redondear a tres decimales 1785.98577777777

Número requerido 5

Número inmediato posterior 7, como es infinito entonces se le suma 1 al requerido y por

tanto la cantidad quedará redondeada:

1785.986

Redondear a 4 decimales 18756.389318759

Número requerido 3

Número inmediato posterior 1, como es menor que 5 entonces sólo se tendrá como

resultado escrito hasta el número requerido, quedando así:

18756.3893

EJERCICIO 13. Redondea las siguientes cantidades al número de decimales requeridos.

Cantidad Redondear 1 decimales

147.683

89.23876


495.28746

387.74555


27.947165

465.19873

Bloque I 18


IV APLICACIÓN EN PROBLEMAS.

Resuelve los siguientes problemas aplicando la solución, operaciones necesarias

y comprobación correspondiente. Debes aplicar notación científica a un decimal,

también encierra en un rectángulo el resultado correcto.

1.- Una ballena que pesaba 4275.33 Kg, se tragó 3 atunes de 120.8 Kg cada uno, fue

capturada por un barco después de su comida. Calcula el peso que arrojó la báscula.

2.- ¿Cuántos trajes se podrán confeccionar con 494.5 m de tela, si cada traje necesita 5.3

m?

3.- Un señor tiene 4 anaqueles en su tienda, cada anaquel tiene 5 entrepaños, compra

mercancía para la tienda y desea saber si los anaqueles son suficientes. En cada

entrepaño solo puede colocar 10 productos, el compró 1430 productos.

4.- Una señora gana $ 3550 quincenalmente y debe pagar $ 1300 de colegiatura, $ 600

de pasajes, $ 450 de abono a la tarjeta de crédito y el resto es para las comidas, ¿Cuánto

dinero le queda para cada día?

5.- Un señor compra un terreno que tiene 4530.24 m2, construye una casa y una bodega

con un área de 930 m2 en total, el resto del terreno decide sembrarlo en hortalizas con

superficies iguales, en total son 5 porciones de zanahoria, 3 porciones de chile jalapeño

y 2 porciones de uva. ¿Qué área tiene cada porción de terreno?

bloque 1 operaciones con decimales

Education