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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

Primer Año

Satélite de comunicaciones SYNCOMEl satélite de comunicaciones Syncom 4 fue lanzado desde la lanzadera espacial Discovery. Los satélites de comunicaciones modernos reciben señales de la Tierra, las amplifican y las retransmiten, suministrando datos por redes de televisión, telefax, teléfono, radio y redes digitales por todo el mundo. El Syncom 4 sigue una órbita geoestacionaria (es decir, gira al mismo tiempo que la Tierra, manteniendo una posición aproximadamente constante sobre la superficie). Este tipo de órbita permite la comunicación ininterrumpida entre estaciones terrestres.

COLEGIO PREUNIVERSITARIO Primer AñoPrimer Año

ARITMÉTICA 1


ARITMÉTICA 2

IMPRESIONES Y FOTOCOPIADOV.L.E.B.

TELF 3312667

DPTO. DE PUBLICACIONES

NIVEL DE POPULARIDADPRESIDENCIAL

E F M A M J J

40

30

20

10

DISTRIBUCIÓN DEL PRESUPUESTONACIONAL DEL PRESENTE AÑO

Fuente: MEF

8% 20%

48%10%

14%

Salud

TrabajoEducación

Agricultura

Pesca


TEMA: ESTADÍSTICAINTRODUCCION .-En la televisión o en los periódicos muchas veces debes de haber observando diferente información acerca de hechos mediante el uso de cuadros o gráficos parecidos a los siguientes:

EVOLUCIÓN DE LA POBLACIÓN MUNDIAL EN LOS ÚLTIMOS 500 AÑOS

(En m illones de personas)

1500 1600 1700 1800 1900 2000

100 400700

1000

2500

6000

Estas tablas y gráficos se llaman estadísticas. Cada una de ellas lleva en su parte inferior el nombre de quien ha elaborado de dicha información: la fuente.

ARITMÉTICA 3

PERÚ: estructura de la población por edad (%)

Grupos 1993 2003

0 – 1415 – 64

65 – mas

37,050,312,7

2960,210,0


A continuación explicaremos como deben interpretarse la información que contiene cada tipo de gráfica o tabla.1. DIAGRAMA DE BARRAS

Ejemplo 1:

Nicolás quiere saber como gasta su dinero, para ello durante un mes anota todo lo que gasta y obtiene el siguiente cuadro.

NUEVOS SOLESComida 1500Alquiler 2000Ropa 600Gasolina 1200

Esta tabla datos puede representarse en el siguiente gráfico, el cual es llamado Diagrama de Barras.

Observa que el diagrama de barras son dos ejes cartesianos. En el eje de las X (eje horizontal) representamos los ítems de gastos y el Y (eje vertical) lo numeramos de tal forma que podamos representar fácilmente las cantidades de dinero que corresponde a cada ítem.

En cada ítem la barra alcanza una altura igual a la que indica el eje vertical y que es la cantidad que le corresponde en la tabla.

2. GRÁFICO DE SECTORES

Ejemplo:El presupuesto mensual de una familia esta representado del siguiente modo:

NUEVOS SOLESAlimentación 300Alquiler 450Educación 400Esparcimiento 100Movilidad 100 Total 1350

ARITMÉTICA 4

Comida alquiler ropa gasolina otros

2000

18001600140012001000

800600

400200


Podemos Representar la distribución de estas cantidades del siguiente modo:

Consideramos que un círculo representa la cantidad total del presupuesto:

360° Presupuesto Mensual = 1350 Nuevos Soles.

Dividimos el círculo en sectores circulares de ángulos proporcionales a las cantidades correspondientes a cada ítem del presupuesto. Es decir, sectores circulares de ángulos tales que:

Obteniendo lo siguiente

ARITMÉTICA 5


Luego hacemos el siguiente gráfico llamado Gráfico de Sectores.

Esparcim iento

A lim entación Alquiler

Educación

M ovilidad

3. POLÍGONO DE FRECUENCIAS.

Para averiguar el número de personas que habitan cada vivienda en una determinada provincia del país se realizó una encuesta obteniéndose la siguiente tabla:

NÚMERO DE HABITANTESPOR VIVIENDA

NÚMERO DEVIVIENDAS

123456

100003500055000600002500015000

El número de viviendas que corresponde a cada tipo se llama “Frecuencia Absoluta” de dicho tipo.

Así por ejemplo:

35000 es la frecuencia absoluta de 5.

60000 es la frecuencia absoluta de 4.

Para representar los datos de esta tabla se puede hacer el siguiente gráfico llamado “Polígono de Frecuencia”

ARITMÉTICA 6

1 2 3 4 5 6NÚMERO DE HABITANTES POR VIVIENDA

70

60

50

40

30

20

10


Se observa que el Polígono de Frecuencias obtiene dibujando el diagrama de barras, con las barras punteadas y uniendo los extremos de cada dos barras consecutivas.

4. HISTOGRAMAS DE FRECUENCIAS.Consideremos que la siguiente tabla muestra la cantidad gastada en Nuevos Soles en transporte realizado por un grupo de hombres cierto día:

Nuevos Soles Nuevos Soles Nuevos Soles Nuevos Soles105 323 505 720110 364 521 752148 420 575 789235 480 610 930280 491 654 374

Observamos que los valores obtenidos varían de 105 al 974. Si quisiéramos hacer un polígono de frecuencia sería muy difícil porque la variación de los valores observados es muy grande. Lo que se puede hacer es agrupar estos valores en clases iguales, por ejemplo, de 500 Nuevos Soles cada clase y hacer la siguiente tabla de frecuencia:

Clases Número de HombresNuevos soles o Frecuencia

0 - 199 3200 – 399 4400 – 599 6600 – 799 5800 – 999 2

Observa que la frecuencia de cada clase son el número de hombres cuyo gasto esta dentro de esta clase.Para representar los datos de esta tabla se puede hacer el siguiente gráfico que se llama “Histograma de Frecuencias”

ARITMÉTICA 7NUEVOS SOLES

NU

ME

RO

DE

HO

MB

RE

S

200 400 600 800 1000

7

6

5

4

3

2

1


MODA DE UNA TABLA DE FRECUENCIAS.-

El director del colegio ha realizado una estadística sobre el número de inasistencias a clase durante un mes por parte de sus alumnos y ha obtenido la siguiente tabla de frecuencias:

Número de Inasistencias Número de Alumnos1 202 423 254 11

5 o más de 5 2

Observemos que 2 es el valor al que le corresponde la mayor frecuencia, es decir, no asistir a clases 2 días al mes es el caso que se presenta con más veces.

Entonces decimos que 2 es la moda de esta tabla de frecuencias.

MODA de una tabla de frecuencia es el valor al que corresponde Mayor frecuencia.

MEDIANA.-

Al ordenar los datos de menor a mayor y al escoger el valor central habremos hallado la mediana.

Ejemplo 1:

Hallar la mediana de la siguiente serie:

128 – 110 – 112 – 132 – 120

Ordenemos estos valores de menor a mayor obteniendo:

110 – 112 – 120 – 128 – 132

Escogemos el valor central de esta serie y observamos que la mediana es el número 120.

ARITMÉTICA 8


- ¿Qué ocurre si el número de datos es par?

Ejemplo 2:

Hallar la mediana en la siguiente serie de datos:

3, 3, 5, 5, 5, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9

Lo primero que hacemos es ordenar la serie de datos, en este caso la serie ya estaba ordenada.

Como el número Total de datos (N) es 12 entonces los datos centrales que son los que ocupan el lugar n° -6 y el n° -7.

Entonces calculamos lo siguiente:

Mediana =

MEDIA O VALOR MEDIO DE VARIOS NÚMEROS

Ejemplo 1:

Un joven observa que su gasto durante la semana pasada la realiza de la siguiente forma:

LUNES MARTES MIERCOLES JUEVES VIERNES SABADO DOMINGO

S/. 35 s/.17 s/.20 S/. 31 s/.18 s/.42 s/.23

Observemos que durante la semana este joven tuvo un gasto total de:

35 + 17 + 20 + 31 + 18 + 42 + 23 = s/. 186

Si este gasto mensual lo repartiremos proporcionalmente durante los 7 días de la semana obtenemos:

Entonces decimos que 26.6 nuevos soles es el gasto medio o media de gastos diarios de dicho joven durante la semana pasada.

ARITMÉTICA 9


Si X1, X2, X3,…, Xn son n números se llama media o valor medio de dichos números y se designan por .

Es decir, es la suma de dichos números dividida por el número de ellos

MEDIA DE UNA TABLA DE FRECUENCIAS.

Ejemplo 1:

Se ha observado en un taller los defectos de 100 piezas iguales y se ha obtenido la

siguiente tabla de frecuencias:

Número de Defectos Número de Piezas

0 8 1 20 2 44 3 204 8

Se llama media o valor medio de esta tabla de frecuencias al número que representamos por obtenido de la siguiente forma:

Es decir, es la suma de los productos de los valores por sus frecuencias respectivas divididas por la suma de las frecuencias.

ARITMÉTICA 10


ARITMÉTICA 11


PROBLEMAS PARA LA CLASE

1. Se presenta a continuación la distribución de tiempo entre los programas televisivos de un determinado canal, observados cierto día en Lima.

Programas Tiempos (Horas)-Cómicos-Novelas-Deportivos-Informativos-Musicales

1.02.52.01.02.0

Se pide representar esta tabla mediante un diagrama de barras.

2. Se ha realizado una encuesta para saber el deporte que ocupa el primer lugar de preferencia entre los alumnos de un determinado colegio, obteniendo la siguiente tabla:

Deporte N° Encuestas

-Fútbol-Tenis-Básquet-Natación-Atletismo

5415352224

Se pide representar estos datos mediante un gráfico de sectores.

3. En una metal mecánica se ha inspeccionado 100 piezas

iguales para ver los defectos que se presentan en dada pieza y se ha obtenido la siguiente tabla:

Número de Defectos

Número de Piezas

01234

35282287

Se pide construir un polígono de frecuencias correspon-diente a esta tabla

4. La Tabla representa la distribución de los votos escrutados en cierta elección celebrada en un colegio entre los padres de los alumnos de secundaria para elegir a la mejor aula decorada por los V juegos Florales:

1° Año2° Año3° Año4° Año5° Año

2722453138

Represente esta tabla mediante un diagrama de barras.

5. De los asistentes a un congreso internacional obtenemos:

ARITMÉTICA 12

2420

16

12

8

4

5 10 15 20 25


Asistentes Porcentaje-Alemanes-Ingleses-Americanos-Franceses

3,0% 12,5% 11,0% 3,5%

Represente estos datos mediante un gráfico de sectores.

6. De una encuesta realizada en un distrito de Lima a 100 personas se hallo que el idioma que hablan sus habitantes esta distribuido de la siguiente forma:

Idioma N° de Habitantes

-Castellano-Francés-Alemán-Ingles

648622

Represente estos datos mediante un gráfico de sectores.

7. La distribución de los pesos de 100 niños viene dado por la siguiente tabla:

Pesos (Kg.) Frecuencia30 – 3232 – 3434 – 3636 – 3838 – 4040 - 42

329412151

Represente esta tabla mediante un Histograma de frecuencias.

8. Basándote en el siguiente Histograma de Frecuencias. Completa en tu cuaderno la siguiente tabla de frecuencias:

Clases Frecuencia0 – 5

5 – 1010 – 1515 – 2020 – 25

9. Se ha realizado una estadística sobre la estatura de los alumnos de un colegio y se obtenido la siguiente tabla de frecuencia:

Metros Número de Alumnos1,40 – 1,501,50 – 1,601,60 – 1,701,70 – 1,801,80 – 1,901,90 – 2,00

179225287213989

Hallar la moda de dicha Tabla de frecuencias.

ARITMÉTICA 13

40 80 120 160 200

NOTAS

35--

30--

25--

20--

15--

10--

5--


10. De un examen medico se obtuvo los pesos de un grupo de chicos, los cuales se muestran a continuación:

Nuevos Soles Personas1525354555

101815118

Calcular la media de esta Tabla de frecuencias:

11. En una reunión de amigos se observó que el dinero que llevaba cada uno de ellos era el siguiente que se muestra en la tabla adjunta:

Ángel Belén Carlos Martha64Kg 57 Kg 72 Kg 52 Kg

Calcular el peso medio de dichos jóvenes:

12. Del siguiente gráfico ¿Cuántos alumnos obtuvieron notas desde 46 hasta 180?

13. Calcular la mediana y la moda del cuadro que corresponde a la distribución de 20 empresas según el número de trabajadores:

N° Empresas Frecuencia23456

14753

Dar como respuesta la suma de ambos resultados.

14. El siguiente gráfico muestra el presupuesto de un trabajador distribuido de la siguiente forma:

Educación

Alim entación

Fiestas

Otros144°

72°108°

Si mensualmente gana s/. 700 Calcular lo siguiente:

a) ¿Cuánto gasta mensualmente en Fiestas?

b) ¿Cuánto invierte en Educación?

c) ¿Qué porcentaje de su presupuesto gasta en otras actividades?

ARITMÉTICA 14


15. A continuación se muestra la lista del número de muestras por suicidio correspondiente a 20 distritos de Lima:

3; 0; 2; 1; 6; 4; 3; 3;1; 5; 2; 1; 2; 5; 4; 3;4; 6; 2; 5.

Calcular la media.

16. Lanza un dado 30 veces seguidas y haz tu propia tabla de frecuencias.

Señala la moda. Halla también la moda de las faltas de los amigos de tu clase.

17. Se ha pesado 15 veces la misma cantidad de un compuesto químico y se han obtenido las siguientes pesadas:

13, 20; 13, 25; 13,28;13,32; 13, 40; 13, 29;13,31; 13, 38; 13, 35;13,29; 13, 30; 13, 29;13,36; 13, 32; 13, 30.

Escribe una tabla de frecuencia y señala la moda de dicha tabla de frecuencia.

18. A partir del siguiente gráfico, calcular el tamaño de la moda de la muestra.

19. A continuación se presenta las edades de un grupo de jóvenes de un determinado instituto:

21 – 19 – 23 – 20 – 21 – 19.22 – 21 – 20 – 23 – 18 – 21

Se pide calcular la media y la moda y das como respuesta la suma de sus cifras.

20. Un atleta en una práctica para una competencia ha corrido cinco series de 100 metros y obtuvo los siguientes tiempos (expresados en segundos):

11, 4 – 10,8 – 11,2 – 10,5 – 11,6 Calcular el tiempo medio de las cinco series.

ARITMÉTICA 15

fi

25 --

22 --

16 --

8 --

3 --

0 2 4 6 8 10 Ii


PROBLEMAS PARA LA CASA

1. La tabla mostrada representa el peso (Kg.) de los alumnos de un colegio.

62 – 57 – 53 – 64 – 60 – 49 –63 – 54 – 62 – 60 – 63 – 48 –57 – 54 – 64 – 57 – 60 – 64 –53 – 64 – 57 – 64 – 57 – 54 –66 – 60 – 54 – 62 – 64 – 53 –

Con los datos mostrados construir el histograma de frecuencias e indicar la moda de la muestra.

a) 57 b) 60c) 54 d) 64e) 48

2. Se han medido las alturas de 10 plantas del mismo tipo y se han obtenido los siguientes datos:

23; 10, 18; 16; 20;15; 18; 24; 19; 22.

Las alturas están dadas en cm. Se pide calcular la altura media de dichas plantas y construya la tabla de frecuencias correspondiente a estos datos.

a) 21,5 b) 19,5c) 18,5 d) 18e) 19

3. Las temperaturas máximas registradas en los días de verano fueron las siguientes:

23° - 20° - 21° - 23° - 20° - 22°

Calcule la mediana de todas estas temperaturas, así como su media.

a) 20; 21,5 b) 20,5; 20,5c) 21; 21 d) 21,5; 20e) 21,5; 21,5

4. Con una bolsa con bolas numeradas del 1 al 5 se ha realizado la siguiente experiencia: se saca una bola al azar, se anota su número y se devuelve a la bolsa y se repite esta operación, 100 veces, se ha obtenido así la siguiente tabla de frecuencia:

Bolas Frecuencia12345

213619168

Calcule la media de esta tabla de frecuencias.

a) 2.60 b) 2.10c) 2.54 d) 2.64e) 2.60

ARITMÉTICA 16


5. La siguiente tabla son las puntuaciones obtenidas por 30 chicos a los que se le ha aplicado un cierto test:

7 – 29 – 38 – 48 – 53 – 58 –12 – 31– 39 – 48 – 54 – 59 –15 – 32 – 39 – 49 – 54 – 59 – 18 – 32 – 40 – 49 – 56 – 60 –20 – 34 – 41 – 49 – 58 – 63

Divide las puntuaciones en clases iguales de 10 puntuaciones 0 – 9, 10 – 19, etc. y se representa estos resultados mediante un histograma de frecuencias.

¿Cuál es la clase a la que le corresponde mayor frecuencia?¿Cuál es la frecuencia de la clase 20 – 29?

a) 30 - 39; 7 b) [50 - 59]; 8c) [50 - 59]; 2 d) [50 - 59]; 7e) [20 - 29]; 2

6. Calcula el intervalo de la clase modal de la siguiente tabla de frecuencias:

Intervalos Frecuencia40 - 4242 – 4444 – 4646 – 4848 - 50

67549

Adicionalmente represente esta tabla mediante un histograma de frecuencia.a) [40 - 42 b) [42 – 44>c) [44 – 46> d) [46 – 48>e) [48 – 50>

7. Halle el intervalo de clase modal de la siguiente tabla de frecuencias:

Kilogramos N° de Paquetes1 - 1200

1200 – 13001300 – 14001400 – 15001500 – 16001600 - 1700

210280294310324235

Señale la moda correspondiente a dicho intervalo.

a) 324 b) 294c) 280 d) 310e) 235

8. Las notas obtenidas de una sección de Quinto Grado después de un examen son los siguientes:

15 - 12 -17 – 08 – 07 – 13 – 15 11– 09 – 15 – 14 –12 –10 – 1113 – 16 – 10 – 09 – 11 – 15

Se pide calcular la media de los alumnos de dicho grado.

a) 11,15 b) 11,50c) 12,15 d) 12,50

ARITMÉTICA 17


e) 13,15

9. Calcule la moda de la siguiente tabla de frecuencias:

N° de Cigarrillos N° de Personas012345

151713212422

Además calcule la media de la tabla de frecuencias:De cómo respuesta la suma de las cifras de la suma de la moda y la media.

a) 24,4 b) 25,8c) 26,5 d) 26,8e) 27,4

10. En un hospital se detecto el número de infectados de distintas enfermedades las que se muestran a continuación:

Enfermedades N° de InfectadosHepatitisTifoidea

NeumoníaSarampión

Reumatismo

0811130810

Representar esta tabla mediante un gráfico de sectores.Indicar que ángulo le corresponde a la Neumonía.

a) 64,8° b) 93,6°c) 79,2° d) 57,6°e) 86,4°

11. El siguiente pictograma muestra las preferencias de los 5000 alumnos de un instituto por 4 universidades.

UNIUNM SM

PUCP UNFV

1 44°

7 2° 5 4°

¿En cuánto excede el total de alumnos que prefieren a la UNI y PUCP, al número total de alumnos que prefieren a la UNMSM y UNFV?

a) 2000 b) 1000c) 500 d) 5000e) 100

12. El gráfico siguiente muestra el ingreso (en soles) de cierto número de empleados.

Hallar la suma de la Me + Mo

ARITMÉTICA 18

10 20 35 40 60 70

NU

ME

RO

DE

EM

PLE

AD

OS

INGRESOS

2532

807060


a) 37,6 b) 74,5c) 75 d) 36,4e) 74

13. Dado la siguiente distribución de empresa según el número de empleados

N° de Empleados Frecuencia

[0 -10>[10-20>[20–30>[30-40>[40-60>[60-80>[80-100>

[100-140>[140-180>[180-260>

TOTAL

5203540503020201515

250

Determinar el porcentaje de empresas que tienen número de empleados entre 50 y 90.

a) 23% b) 24%c) 25% d) 26%d) 27%

14. Del problema anterior determinar el porcentaje de empresas con número de empleados inferior a 35.

a) 32% b) 31%c) 30% d) 29%e) 28%

15. El siguiente diagrama muestra las notas de un grupo de alumnos.

¿Calcular cuántos alumnos aprobaron?

a) 8 b) 12c) 14 d) 16e) 10

ARITMÉTICA 19

NOTAS4 8 12 16 20

15

13

25


ARITMÉTICA 20


TEMA: NÚMERO FRACCIONARIO Y SU CLASIFICACIÓN

Observa:

I) II)

a) ¿En cuantas, partes se dividió la figura I? …………………………. ¿Cuántas de esas partes se han sombreado? ………………………….b) ¿En cuantas partes se dividió la figura II? ………………………….

¿Cuantas de esas partes se han sombreando? ………………………….

Observemos el siguiente ejemplo:

I. ¿Cuántas partes se dividió el círculo?II. Entonces podemos decir que el circulo

se dividió en……… partes.III. Cada porción se representa así:

IV. Luego podemos afirmar lo siguiente:

Número Racional.- Es aquel número que puede ser…………..como una……….indicada de dos números donde el divisor es distinto de ………..

Fracción.- Una………..expresa una ……..de……..donde el ……..indica la …………..de partes que se toma de la …………y el denominador indica la …………..de ……..en que se ha dividido la ……………

Observemos al siguiente ejemplo:

1/4 1/4 1/4 1/4

1/4

ARITMÉTICA 21


Lectura de Fracciones:

Fracción se Lee: Fracción se Lee:

Dos Cuarto

Sétimos Tres

Tres Tercios

Sexto Siete

- CLASES DE FRACCIONES.-

* Fracción Propia

Cuando el numerador es menor que el denominador. Toda fracción propia es menor que la unidad.

Ejm: ;

* Fracción Impropia

Cuando el numerador es mayor que el denominador. Toda fracción impropia es mayor que la unidad.

Ejm: ;

ARITMÉTICA 22


Nota:

Si el numerador y el denominador son iguales tenemos como resultado la unidad.

Ejm: 1/2 1/2

* Si el numerador es cero y el denominador posee cualquier valor diferente de cero,

entonces el resultado es cero. Ejm: Cero Tercios

* Fracción Irreductibles

Observemos el siguiente ejemplo: 2 / 7

Los números …………….y …………son ………… entre ………………..por lo tanto NO PUEDEN SIMPLIFICARSE. A estas fracciones se les llama irreductibles.

* Fracción Equivalentes

Cuando una o más fracciones una misma fracción

, porque

* Fracción Mixta

Está formado por un número entero que indica las unidades enteras que se tomaron y por una fracción menor que la unidad. Se obtiene así:

a Mixto:

ARITMÉTICA 23


Colocamos el cociente como el número entero, el residuo como numerador y mantenemos el mismo denominador (que fue el divisor en la división)

* Fracciones Homogéneas

Dos o más fracciones son homogéneas si poseen sus denominadores iguales.

Ejm: y

* Fracciones Heterogéneas

Dos o más fracciones son heterogéneas si poseen sus denominadores diferentes:

Ejm: y

ADICION DE FRACCIONES

I. Adición en Fracciones Homogéneas

Cuando las fracciones son homogéneas, la adición se realizará sumando los números y colocando el denominador común.

II. Adición en Fracciones Heterogénea

ARITMÉTICA 24

CocienteDivisorResiduo

57

521


Para realizar esta suma debemos convertir estas 2 fracciones homogéneas, por lo que buscaremos fracciones equivalentes.

Nota: La sustracción de fracciones se realiza de una forma análoga a la adición.

MULTIPLICACION DE FRACCIONES.-

La multiplicación de fracciones se realiza numerador con numerador y denominador con denominador.

DIVISION DE FRACCIONES.-

Se puede desarrollar de 2 formas:

A) Se invierte el divisor y se opera como una multiplicación:

B) Se arregla de la siguiente manera:

Medios Extremos

Y se realiza así: Producto de Medios .

ARITMÉTICA 25

13754


Producto de Extremos

=

Nota: Es importante considerara los signos ya que podemos multiplicar o dividir fracciones que tengan números negativos.

1. Ley de Signos para la Multiplicación

2. Ley de Signos para la División

ARITMÉTICA 26



1. Colocar V o F según corresponda.

a) son equivalentes

b) es mayor que

c) es irreductible

d) es igual a

e) Las fracciones impropias

son menores que la unidad.

2. Desarrollar

Rpta.:

3. ¿Cuántas son fracciones irreductibles?

I) 3/5 II) 5/2

III) 6/3 IV) 6/4

4. ¿Cuántas fracciones equivalentes hay?

I) II)

III) V)

5. Tengo una torta, la que he dividido en 5 partes. Si regalo 3 partes del mismo, ¿Cómo puedo representar lo que queda?Rpta.:

6. Resolver

Rpta.:

RESOLVER

7.

Rpta.:

8.Rpta.:

9.

Rpta.:

10.

Rpt

a.:

ARITMÉTICA 27


11.

Rpta.:

12. Si la clase de matemáticas dura ¾ de hora cada día. ¿Cuanto tiempo se dedica a la clase en 30 días de clases?Rpta.:

13. Calcular el número cuyos 2/3 es 34.Rpta.:

14. En una bolsa hay 250 caramelos. 121 son de fresa, 9 son de limón y el resto de naranja. ¿Que fracción del total son de naranja?Rpta.:

15. Una botella de 2 litros esta llena de agua hasta sus 2/3. ¿Cuántos litros de agua contiene la botella?Rpta.:

16. De una pieza de tela que tiene 36 metros de longitud. ¿Cuántos retazos de ¾ de metro se pueden obtener?Rpta.:

17. Si el perímetro de un cuadrado es 150/250 metros. ¿Cuánto mide el lado? Rpta.:

18. Una tanqueta tiene 50lt. De líquido A 40 L. De liquido B y 10 L. De un liquido C. Si extraemos 30 L. De mezcla. ¿Cuántos litros de B salen?Rpta.:

19. Un barco recorre 30 Km. Por hora. ¿Cuántos Km. Recorre

en de hora.

Rpta.:

20. ¿Cuáles afirmaciones son falsas?

a)

b)

ARITMÉTICA 28


c)

ARITMÉTICA 29



1. Desarrollar:

a) b)

c) d)

e) N.A.

2. Simplificar:

a) b)

c) d) e) N.A.

3. Simplificar:

a) b)

c) d) e) N.A.

4.

a) b)

c) d) e) N.A.

5. Efectuar:

a) b)

c) d) a y be) N.A.

6. Efectuar:

a) b)

c) d)

e) N.A.

7. Ana tiene 15 años, le gusta aumentarse su edad, en sus 2/5 frente a sus amigos. ¿Qué edad dice tener?

a) b) c) d) e) 19

8. En un salón de clases existen 4 filas de 8 alumnos cada uno. ¿Cuántos alumnos existen en el aula?

ARITMÉTICA 30


a) 16 b) 64c) 15 d) 42e) N.A.

9. Un depósito de agua esta lleno hasta su mitad, si se extrae 80 litros, el nivel disminuye hasta su sexta parte. ¿Cuál es el volumen total?

a) 241 b) 120c) 480 d) 240e) N.A.

10. Si 2/5 de un número es 30. ¿Cuál es ese número?

a) 75 b) 25c) 100 d) 80e) 40

11. Disminuir 180 en sus 13/15 partes.

a) 12 b) 6c) 24 d) 48e) 62

12. Al dividir un número entre su inverso, se obtiene 81. Hallar dicho número.

a) 9 b) 10c) 18 d) 48e) N.A.

13. Si una mujer usa 2/3 de un ovillo de lana para tejer ½ suéter. ¿Cuántos ovillos necesita para tejer 1 docena?

a) 8 b) 4c) 2 d) 16e) N.A.

14. Se tiene 500 botellas de ½ litro y 440 de ¾ litro. ¿Cuántos litros se pueden embotellar?

a) 580 b) 480c) 300 d) 200e) N.A.

15. Operar:

a) b)

c) d)

e) N.A.

ARITMÉTICA 31


ARITMÉTICA 32


TEMA: NÚMEROS DECIMALES

Observemos la siguiente fracción: a todas las fracciones que tengan en su

denominador alguna potencia de 10 se le llamara “Fracción Decimal”

En general, toda fracción, al realizar la división de su denominador con su denominador, genera un número llamado Decimal. Un número decimal consta de 2 partes:

Parte Entera Parte Decimal Milésimos

Coma Decimal Centésimos Decimos

Un número decimal puede descomponerse de la siguiente forma:

Observa que a partir de la coma decimal y hacia la derecha todos los dígitos serán Divididos entre las potencias consecutivas de 10.

CLASIFICACION DE LOS NÚMEROS DECIMALES

1. Decimal Exacto: Tiene un número limitado de cifras.Ejm: 0,432; 0,2; etc.

2. Decimal Periódico: Tiene un número ilimitado de cifras.Ejm: 0,333…; 0,4666…

Los decimales periódicos se clasifican en 2 grupos:

a) Puro: Cuando la parte que se repite (periodo) se inicia inmediatamente después de la coma decimal. Ejm: 0,3333…

Nota: Se acostumbra colocar encima de las cifras que se repiten el símbolo .

ARITMÉTICA 33


Ejemplo:

4,143143…= 4,

5,656565…= 5,

b) Mixto: Cuando el periodo se inicia lugares después de la coma decimal.

Ejemplo:

0,172424…= 0,17

3,214242…= 3,21

FRACCION GENERATRIZ

Expresamos las siguientes fracciones decimales como un número decimal.

Decimal Exacto Decimal Exacto

Como observamos todo número decimal exacto genera cuando existe una potencia de 10 en el denominador.

Ejemplo:

Cifras no periódica.


ARITMÉTICA 34


Ojo:

En forma general:


Pero también tenemos:

Cifra no periódica

Cifra no periódica.

Pero que pasaría si tuviéramos lo siguiente:

¿ Tendrá 3 cifras no periódicas?

Lo primero que debemos hacer es simplificar mientras sea posible.

Ejemplo:

Entonces tendrá 2 cifras no periódicas.

“Fracción Generatriz de un Decimal Exacto”

FRACCION GENERATRIZ DE UN DECIMAL PERIODICO PURO.

ARITMÉTICA 35

23 21

22


Ejemplo:

* *

* *

* *

FRACCIÓN GENERATRIZ DE UN DECIMAL PERIODICO MIXTO

Ejemplo:

ARITMÉTICA 36


I. ADICIÓN DE NÚMEROS DECIMALES

Sumemos: 0,18 + 0,23 + 0,07 0,18 +0,230,070,48

Ojo: La clave de esto es alinear la coma Decimal.

Ejemplo:

Sumemos: 0.3 + 0.004 + 0.0018 0,3 0, 0 4 0

+ 0,0 0 1 80,3 0 5 8

II. SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS DECIMALES

Restar: 8 de 17 17- 8 9

Ojo: La clave nuevamente es alinear la coma decimal.

III. MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES

Multiplicar: 0,32 x 6 0,32 x 61,92

Multipliquemos normalmente como si fueran números enteros y luego se corre la coma decimal en el resultado tantas ubicaciones, como lo indica el multiplicando.

ARITMÉTICA 37


IV. DIVISIÓN DE NÚMEROS DECIMALES

Divide: 0,45 0,005

Contemos las cifras decimales de cada número y comparamos. El número que tiene el mayor número de cifras decimales me indicara cuántos espacios tendré que dejar hacia la derecha a partir de la coma decimal, en cada número para desaparecer la coma (en caso de ser necesario completemos con cero).

Luego dividimos como si fueran números enteros.

0.45 = 0450 = 450

0.005 = 0005 = 5

ARITMÉTICA 38



1. Indicar verdadero (V) o Falso (F).

I. 4,6213… Periódico Mixto.II. 0,4545… Periódico Puro.III. 0,12 Decimal Exacto.

2. ¿Cuántas cifras periódicas tiene los siguientes decimales?

I. 0,521 =II. 1,643 =III.

3. Responde Verdadero (V) o Falso (F).

I. Los decimales exactos tienen un número infinito de cifras

II. Los decimales periódicos se dividen en periódico puro y periódico mixto.

III. El número 0.1666… es un decimal periódico mixto.

4. Calcular la fracción generatriz de : 0,81

5. Halla la fracción generatriz de: 1,31

6. Su necesidad de operar, diga ¿Cuántas cifras no periódicas y periódicas generan las siguientes fracciones?

I. II.

III. IV.

V.

7. Sumar:

I. 0,43 + 0,32 + 0,21II. 0,35 + 0,0041III. 6,2 + 4,53 + 1,621IV. 0,1 + 1 + 0,33V. 2,6 + 0,027 + 0,1

8. Completar:

I. 0, 4 5 +1, 2 1, 7 3 5

II. 3, 0 1 + . 4 5

3, 6 9 6

9. Restar:

I. 0,32 – 0,031 =II. 0,16 – 0,35 =III. 4,52 – 3,41 =IV. 4,05 – 1,7 =V. 2,402 – 1,234 =

ARITMÉTICA 39


10. Completar:

I. 2, 4 5 - , 2 4

0, 8 7 1

II. 0, 1 - 0, 4 2

0, 1 6 2

11. Calcular “c + d” si:

I. y a +b =9

II. y a + b = 5

III. y a + b = 5

12. Multiplicar:

I. 0,3 x 1,7 x 0,2 =II. 1,5 x 0,8 x 0,9 =III. 4 x 2.1 x 0,7 =IV. 1,3 x 0,5 x 0,2 =V. 1,2 x 0,8 x 0,3 =

13. Divide:

I. 0,36 1,2 =II. 7,74 1,8 =III. 14,4 9,6 =IV. 99 0,22 =V. 34,65 0,063 =

14. Resuelve:

I. (0,4 x 1,2) 0,3 =II. (0,51 x 0,6) 0,306 =III. (0,8 x 0,6) 0,04 =

15. Resolver, Si: N = 0,35I. 21 x N =II. 4,9 2 N =III. 2,8 – 4 N =IV. 10 N + 3,5 =

16. Si: A – B = 0,24, Resolver:I. (4 A - 4B) =II. ( 3 A - 3 B) X ( 2 A – 2 B) =III. (4 A – 4 B) (A – B) =

17. Indicar que fracción es decimal exacto:

I. II.

III. IV.

V.

18. Halle la fracción generatriz de:I.II. 0,32III.

19. Resolver: (8N – 3N) + 15N Si 2N = 0,836 Y 3N = 1,224

20. Indicar cuales son falsas.I. Tiene 3 cifras

periódicasII. Es periódico Puro

ARITMÉTICA 40


III. 0,25 Es decimal exacto.

ARITMÉTICA 41

342,5



1. Relacione correctamente ambas columnas:

I. 1,333… A) Decimal P. Puro.II. 0,15 B) Decimal P. Mixto. III. 0,4333…C) Decimal Exacto.

a)IA – IIB – IIICb)IA – II C – IIIBc)IB – II A – III Cd)IC – II A – III Be)IC – IIB – IIIA

2. Indicar cuales no son fracciones decimales.

A. B.

C. D.

a) A b) Bc) A y B d) Ce) D

3. Resolver

a) b)

c) d)

e)

4. Realizar la siguiente suma: (0,3 + 0,5) + (0,18 + 0,05)

a) 1,05 b) 1,03c) 1,08 d) 2,10e) 2,03

5. Indicar cual es la fracción generatriz de :

a) b)

c) d)

e)

6. Resolver: (2,1 – 0,7) – (0,8 – 0,15)

a) 0,70 b) 0,80c) 0,65 d) 0,55e) 0,75

7. Dado que x – y = 1,41 Calcular ( 5x – 5y) x (x – y) + (8x – 8y)

a) 20,3105 b) 21,2205c) 21,3105 d) 20,1505e) 21,1155

8. Resolver : 0.3 0.4

a) 0,20 b) 0,25c) 0,50 d) 0,75e) 0,80

9. Resolver : 0,05 x 0,2 x 0,5

a) 0,05 b) 0,005c) 0,0005 d) 0,025

ARITMÉTICA 42


e) 0,510. Calcular: (0,3 0,4) – (0,7 x

0,3)

a) 0,34 b) 0,40c) 0,45 d) 0,54e) 0,55

11. Completar adecuadamente los espacios en blanco con las opciones.

a. A la parte numérica de un decimal que se repite se llama……………….

b. Cuando el periodo se inicia inmediatamente después de la coma decimal se llama………….

A- Decimal PeriódicoB- Decimal Exacto.C- D. Periodo Puro.D- D. Periodo Mixto.

a) B y C b) A Y C c) A y Dd) B y D e) C y D

12. Calcular la fracción genera-triz de: 48, 37ab

a) 4867

b) 4837

c) 4837

d) 4887

e) 4837 13. Indicar Verdadero (V) y

Falso (F) según corresponda:

a. 0,4 Decimal Exactob. 0,372 Tiene 2 cifras Periódicas.c. 0,333… Decimal Periódico Puro.

a) VVF b) VVVc) FVV d) FFFe) VFV

14. Halle la fracción generatriz de: 8,246

a) b)

c) d)

e)

15. Calcular (0,7 x 0,2) + (0,7 x 0,3) + (0,7 x 0,5) considerando que:(a x b) + (a x c) + (a x d) = a(b + c + d)

a) 0,73 b) 0,5c) 0,45 d) 0,62e) 0,7

ARITMÉTICA 43


ARITMÉTICA 44


TEMA: POTENCIACIÓN Y RADICACIÓNPOTENCIACION DE NÚMEROS ENTEROS.-

Cuando el exponente es un número entero positivo y la base cualquier número entero.

Ejemplo:

En General :Si “a” es un número entero (no nulo) y n es un número entero positivo mayor que 1, definiremos la potencia enésima de a al número entero b que es el producto de “n” factores iguales a “a”

Entonces:an = b

Donde:a – Base enterab – Potencian – Exponente, n 1, n Z+

Ejemplos: 23= 2x2x2 = 8(-3)2 = (-3)2 x (-3)2 = 9(-2)3 = (-2) x (-2) x (-2) = -8

EXPONENTE CERO (O) Y EXPONENTE UNO (1)

a° = 1, a oa1 = a

Ejemplos:

5° = 1 (-2) ° = 1 (-3)1 = -3 (7)1 = 7

PROPIEDADES DE LA POTENCIACION DE NÚMEROS ENTEROS:

1. Producto de potencias de Iguales Base:

ARITMÉTICA 45


Ejemplo: 82 x 83 = 82 + 3 = 85 ; 23 x 24 = 2 3 + 4 = 27

“El producto de potencia de igual base es otra potencia de la misma base, cuyo exponente es igual a la suma de los exponentes de los factores”

2. Cociente de Potencias de Igual Base:

Ejemplo: 38 33 = 3 8 – 3 = 35 ; (-2)6 (-2)3 = (-2) 6 – 3 = (-2)3

“El cociente de potencias de igual base es otra potencia de la misma base, cuyo exponente es la diferencia de los exponentes de las potencias dadas”

3. Potencia de Potencia:

Ejemplo: (32)4 = 3 2 x 4 = 38 ; (-53) 2 = (-5) 3 x 2 = (-5)6

“La potencia de una potencia es otra potencia de la misma base, cuyo exponente es igual el producto de los exponentes.

4. Potencia de un Producto:

Ejemplo: (5 x 6)2 = 52 x 62 = 25 x 36 = 900

“La potencia enésima de un producto es igual al producto de las potencias enésimas de los factores”

NOTA:Las fracciones también pueden elevarse a un exponente y siguen las mismas propiedades.

Ejemplo:

1.

ARITMÉTICA 46


2.

3.

4.

* RADICACION DE NÚMEROS ENTEROS.-

Es la operación inversa a la potenciación pues tratamos de hallar la base, conociendo la potencia y el exponente.

En la Radicación, la potencia se denomina radicando, el exponente se llama índice y la base se llama raíz.

Simbólicamente: Sabiendo que bn = P obtenemos la siguiente relación para hallar el valor de b.

Luego: raíz =

En símbolos:

Donde: r Raízn índice radical, n N , n 2a radicando ( a R)

OBSERVACIONES:

1. El operador radical puede estar afectado por diferentes índices (enteros y mayores que 1). Así pueden existir:

Raíz cúbica; Raíz quinta; Raíz enésima de a

2. Si el operador radical no lleva índice, quedara entendido que se trata de la Raíz Cuadrada.Así: - Raíz Cuadrada

ARITMÉTICA 47


3. La Radicación, solo es posible en el conjunto de los números enteros cuando el radicando es potencia exacta de la raíz.

Ejemplos:

Porque 25 = 32

Porque 32 = 9

Porque 24 = 16

SIGNOS DE LA RAIZ HALLADA EN LA RADICACION.-

1. Si el radicando es un entero positivo y el índice es par o impar, la raíz hallada es positiva.

; ;

2. Si el radicando es un número entero negativo y el índice es impar entonces la raíz es negativa.

; ;

3. Si el radicando es un entero negativo y el índice es par, entonces no existe solución en el conjunto de los números enteros.

No es + 3, porque (+3) (+3) -9No es – 3, porque (-3) (-3) -9

POPIEDADES DE LA RADICACION DE NÚMERO ENTEROS.-

1. Propiedad Distributiva.- se aplica a la multiplicación y división

Ejemplo:

ARITMÉTICA 48


2. Potencia de una Raíz.- .

Ejemplo:

3. Raíz de una Potencia.-

Ejemplo:

4. Raíz de Raíz.-

Ejemplo:

NOTA:

ARITMÉTICA 49


Las fracciones también cumplen con estas propiedades.

Ejemplo:

1.

2.

3.

4.

ARITMÉTICA 50



1. Efectuar:

Rpta.:

2. Hallar el resultado de:

Rpta.:

3. Efectuar:

Rpta.:

4. Completar:

1.

2.

3.

5. Resolver:

Rpta.:

6. Efectuar :

Rpta.:

7. Resolver:

Rpta.:

8. Resolver la siguiente expresión:

Rpta.:

9. Hallar el valor de la siguiente :

Rpta.:

10. Resolver:

Rpta.:

11. Resolver:

Rpta.:

12. Resolver:

Rpta.:13. Completa:

ARITMÉTICA 51


14. Completar:

15. Resolver:

Rpta.:

16. Escribir en los casilleros correspondientes los números que permiten que la igualdad se cumpla:

I. II. III.

17. Resolver:

Rpta.:

18. Resolver:

Rpta.:

19. Resolver:

Rpta.:

20. Completar:

Rpta.:

ARITMÉTICA 52



1. Resolver:

a) 3 b) -4c) 4 d) -3e) N.A.

2. Hallar el valor de:

a) 16 b) 15c) 14 d) 13e) 12

3. Marca la respuesta correcta:

a) b) c) d) e) N.A.

4. Resolver la siguiente expresión:

a) 68 b) -68c) 71 d) -71e) N.A.

5. Resolver:

a) 7 b) -7c) -8 d) 8e) N.A.

6. Resolver lo siguiente:

a) 1 b) 2c) 3 d) 4e) N.A.

7. Resolver:

a) b)

c) d) e) N.A.

8. Resolver :

a) b)

c) d) e) N.A.

9. Indicar el índice resultante de:

ARITMÉTICA 53


a) 2 b) 3c) 4 d) 5e) 6

10. Resolver:

a) b)

c) d) e) N.A.

11. Dar como respuesta el exponente resultante de:

a) 86 b) 96c) -99 d) 90e) N.A.

12. Resolver la expresión siguiente:

a) 97 b) 95c) -99 d) -97e) N.A.

13. Calcular el valor de “M”.

a) 4 b) 5c) 2 d) 1e) N.A.

14. Dar como respuesta la suma de las cifras al resolver F.

a) 3 b) 4c) 5 d) 6e) N.A.

15. Indicar cuales son incorrectas.

I.

II.

III.

a) I b) IIc) I y II d) II y IIIe) Todas.

TEMA: TEORÍA DE LA DIVISIBILIDAD

ARITMÉTICA 54


I. MÚLTIPLO.-

Se llama múltiplo de un número a la multiplicación de dicho número por otro número natural.

Ejemplo:

Se lee múltiplo de dos.

Se lee múltiplo de tres.

II. DIVISORES-

Se dice que un número es divisor de otro cuando al dividirlo por el mismo, la división es exacta.

De manera práctica podríamos relacionar:Así:

CARACTERISTICAS DE LA DIVISIBILIDAD

A) Divisibilidad por 2. - Un número es divisible por 2 cuando termina en cero o en cifra par.Ejemplo: 426; 272; 36; 48; 50

B) Divisibilidad por 4. - Un número es divisible por 4 cuando sus dos últimas cifras de la derecha son ceros o forman un múltiplo de cuatro. Ejemplo: 112; 116; 268; 64; 104

ARITMÉTICA 55

7 77


C) Divisibilidad por 3.- Un número es divisible por 3 cuando la suma de los valores absolutos de sus cifras es un múltiplo de 3. Ejemplo: 537; 435; 81; 294

D) Divisibilidad por 5 .- Un número es divisible por 5 cuando el número termina en cero o cinco. Ejemplo: 525; 135; 645; 50; 185.

E) Divisibilidad por 8 .- Un número es divisible por 8 cuando sus tres últimas cifras de la derecha son ceros o forman un múltiplo de 8. Ejemplo: 664; 512; 72; 88; 6512.

F) Divisibilidad por 9 .- Un número es divisible por 9 cuando la suma de los valores absolutos de sus cifras es múltiplo de 9. Ejemplo: 792; 459; 234; 351.

G) Divisibilidad por 7 .- Un número es divisible por 7 cuando separando la primera cifra de la derecha, multiplicándola por 2, restándole este producto de lo que queda a la izquierda y así sucesivamente da cero o múltiplo de 7.Ejemplo: 441; 273; 483

H) Divisibilidad por 11 .- Un número es divisible por 11 cuando la diferencia entre la suma de las cifras de lugar impar y la suma de las cifras de lugar par, de derecha a izquierda, es cero o múltiplo de 11. Ejemplo: 264; 407; 525; 748.

I) Divisibilidad por 25 .- Un número es divisible por 25 cuando sus dos últimas cifras de la derecha son ceros o forman un múltiplo de 25.Ejemplo: 1250; 100; 525; 775.

J) Divisibilidad por 125 .- Un número es divisible por 125 cuando sus tres últimas cifras de la derecha son ceros o forman un múltiplo de 125. Ejemplo: 1125; 375; 750; 1375.

ARITMÉTICA 56



1. Complete con los divisores de:

16 = 1, 2, , 8, 1618 = 1, 2, , 6, 9, 24 = 1, , 3, , 6, 8, 12,

Rpta.:

2. ¿Cuántos múltiplos de 4 hay en: 14, 15, 16, 17,…, 98?

Rpta.:

3. Si = ¿Cuántos

valores puede tomar “a”?

Rpta.:

4. ¿Cuántos números de la forma son divisibles entre 15?

Rpta.:

5. Encuentre 5 múltiplos de 8:

1 2 3 4 5

Rpta.:

6. Hallar el valor de”C”

Si

Rpta.:7. ¿Cuántos números múltiplos

de 11 hay?

60379 – 45788 – 500258137995 - 13838

Rpta.:

8. Completa para que sean divisibles por 125.

a) 21 _ _ b) 4 _ 2 _c) 1 _ _ 5 d) 4 _ 5 _e) _ 2 _ 5

9. Marque con (V) y (F) los que son divisibles por 2.

I. 727 II. 742III. 543

10. Indique (V) o (F) según corresponda:

I. 3128 es divisible por 8II. 213 es divisible por 4III. 1618 es divisible por 3

Rpta.:

11. Hallar “a” si:

Rpta.:

ARITMÉTICA 57


12. ¿Calcular el valor de “x” si el número es divisible entre 7?

Rpta.:

13. Hallar “Y” si:

Rpta.:

14. Completar para que los siguientes números sean múltiplos de 7.

a) 10 5b) 10 6c) 41 3

15. Hallar “a – b”

16. Completa:

I. Un número es divisible por……..Cuando sus tres últimas cifras son……. o múltiplo de……..

II. 321 es divisible por………

17. Hallar “P” Si:

Rpta.:

18. Completa para que los siguientes números sean múltiplos de 11.

a) 501 _b) 5036 _ _c) 436 _ _

Rpta.:

19. Hallar “m”, si m < 5

Rpta.:

20. Calcular el valor de b, si

Rpta.:

ARITMÉTICA 58



1. Responder X * Y si:

a) 4 b) 8c) 2 d) 3e)

2. Calcular n + p + a Si:

; ;

a) 10 b) 11c) 12 D) 13E) 14

3. Hallar “n”

a) 5 b) 6c) 7 d) 8e) 9

4. calcular x + y Si:

a) 5 b) 6c) 7 d) 8e) 9

5. hallar el menor valor de “a” Si:

a) 4 b) 3c) 2 d) 1e) 5

6. Calcular el valor de m: Si

a) 2 b) 4c) 5 d) 6e) 8

7. Hallar la suma de valores de

“m” para lo cual:

a) 18 b) 12c) 9 d) 15e) N.A.

8. Hallar “P” si:

a) 6 b) 7c) 8 d) 2e) 3

9. Hallar los números que sean múltiplos de 7:343 1099 34335000 3164

ARITMÉTICA 59


a) 1 b) 2c) 3 d) 4e) 5

10. Si el número es múltiplo de 72. Hallar el valor de x + y

a) 1 b) 5c) 6 d) 7e) 8

11. Hallar m si:

a) 2 b) 4c) 6 d) 5e) 3

12. Hallar “a” si a < 7

a) 5 b) 4c) 8 d) 4e) 3

13. Hallar m – n Si y

a) 3 b) 4c) 5 d) 6e) 7

14. ¿Cuántos valores toma “n” para que se cumpla la

igualdad?

a) 1 b) 2c) 3 d) 4e) 5

15. Responder (V) o (F) a las siguientes afirmaciones.

I. 10136 es múltiplo de 9II. 2585 es múltiplo de 11III. 15600 es múltiplo de 125

a) FVV b) VVVc) FFF d) VFFe) FVF

ARITMÉTICA 60


TEMA: CRITERIOS DE LA DIVISIBILIDAD

Son los diversos métodos que nos permiten saber cuando un número es divisible entre otro.

Existen métodos para hallar el residuo en divisiones enteras inexactas sin la necesidad de ejecutarlas.

a) DIVISIBILIDAD POR 2

Todo número será divisible por 2 cuando:1. Cuando sus últimas cifras sean iguales a cero.2. Cuando el número sea múltiplo de 2 (sea un número par).

b) DIVISIBILIDAD POR 5

Todo número es divisible a 5 cuando:1. Cuando sus últimas cifras son iguales a cero o cuando la ultima es cero.2. Cuando el número termina en 5.

c) DIVISIBILIDAD POR 3

Todo número será divisible por 3 cuando:

1. La suma de sus cifras es un múltiplo de 3

d) DIVISIBILIDAD POR 9

1. Todo número será divisible por 9 cuando: la suma de sus cifras da

como resultado un múltiplo de 9

N = (# de 3 cifras)

N =

N =

e) DIVISIBILIDAD POR 11

ARITMÉTICA 61


Todo número será divisible por 11; cuando al tercer……….:1. Cuando al restar la suma de cifras de orden impar con la suma de

cifras de orden par da como resultado un

N = a b c d e (# de 5 cifras).

N = + [ (e + c + a) – (b + c) ]

f) DIVISIBILIDAD POR 7

Todo número será 7 cuando al multiplicar sus cifras de derecha a izquierda por los coeficientes: 1; 3; 2; -1; -3; -2.

La suma algebraica da como resultado un

N =

g) DIVISIBILIDAD POR 13

Todo número será 13 cuando al multiplicar sus cifras de residuo de derecha a izquierda por los coeficientes 1; -3; -4; -1; 3; 4; la suma algebraica da como resultado todo un 13.

* N =

*


ARITMÉTICA 62


1. Halla el resto de la división por 11 del número 12814

Rpta.:

2. Para cualquier n; es siempre divisible por:

Rpta.:

3. El número es divisible por 13. ¿Cuál es el resto de dividir por 11?

Rpta.:

4. ¿Cuánto debe valer “n” para que el resto de n x 159147

entre 7 sea 3?

Rpta.:

5. Hallar a: Si

Rpta.:

6. Determinar el resto de la división por 8 del producto

Rpta.:

7. Hallar el resto de dividir entre 15.

Rpta.:

8. Hallar las 2 últimas cifras de

Rpta.:

9. Si

Hallar el residuo al dividir entre 5.

Rpta.:

10. Si la suma del número N y su

C. A es + 4¿Cuántas cifras

podrá tener el número N como mínimo?

Rpta.:

11. Hallar el menor número exponente “K” de 4 cifras, que

permita que

Rpta.:

ARITMÉTICA 63


12. La diferencia de un número dado y otro obtenido invirtiendo el orden de las cifras de dicho número dado, siempre es múltiplo de.

Rpta.:

13. Hallar la suma de sus cifras del mayor número de la forma

sabiendo que es divisible por 7 y 13.

Rpta.:

14. ¿Cuál es el menor número múltiplo de 3 y 7 que da como residuo 1 al ser dividido entre 8.

Rpta.:

15. ¿Cuál es el número comprendido, entre 200 y 300, tal que leído al revés es el doble del número que sigue al original.

Rpta.:

16. ¿Qué cifra debe remplazar a “c” en el número para que sea divisible por 11?

Rpta.:

17. Si , ¿Cuál es la cifra de

las cifras unidades de la suma efectuada.

Rpta.:

18. En el sistema de base 7 la cifra de las unidades del número , es:

Rpta.:

19. ¿Cuántos números de la forma

son y cumplen que

=

Rpta.:

20. ¿Qué valores puede tomar “a” para que:

Rpta.:

ARITMÉTICA 64



1. La suma de los números y es

siempre divisible por:

a) 9 b) 3c) 11 d) 2e) 5

2. La diferencia entre un número de 3 cifras y otro número obtenido invirtiendo al anterior con las cifras en orden invirtiendo siempre es múltiplo de:

a) 19 b) 17c) 5 d) 11e) 13

3. Calcula “x” si:

a) 1 b) 5c) 3 d) 0e) 4

4. Hallar el resto de al dividir entre 11.

a) 3 b) 5c) 9 d) 7

e) 15. Si “n” es un número no

divisible por 3, la expresión es un.

a) b)

c) d)

e)

6. Si “n” es un número entre cualquiera, el producto n(n + 1) (2n + 1) es siempre divisible por.

a) 2 b) 5c) 3 d) 4e) 6

7. ¿Cuál es el menor valor de “n”

para que sea

a) 4 b) 3c) 2 d) 1e) 5

8. Al expresar en base 6; la cifra de unidades será:

a) 0 b) 1c) 2 d) 3

ARITMÉTICA 65

o

cifras1799...23a23a23a

1315

N

37

N


e) 49. El número de 4 cifras , el

cual esta inscrito en el sistema de base 8, será múltiplo de 7 cuando:

a)

b)

c)

d)

e)

10. Halla en el sistema decimal el número que en el sistema de base 7 es:

a) 122 b) 142c) 132 d) 124e) 123

11. Para todos los valores enteros posibles d “n”, el mayor número entero que es exactamente es:

a) 2 b) 3c) 4 d) 5e) 6

12. ¿Cuál es el menor número múltiplo de 7 que da de resto la unidad al ser dividido por 3 u 11?

a) 133 b) 67c) 267 d) 231e) 168

13. El residuo de: es:

a) 1 b) 2c) 3 d) 4e) 5

14. Hallar el menor valor de N talque: y

a) 59 b) 45c) 46 d) 52e) 31

15. Cuántos valores toma a: Si

a) 1 b) 2c) 3 d) 4e) 5

ARITMÉTICA 66


ARITMÉTICA 67


TEMA: MÁXIMO COMUN DIVISOR (M. C. D) MÍNIMO COMUN MULTIPLO (M. C. M)

Dado un conjunto de números enteros positivos: El M.C.D de dichos números es el mayor de los divisores comunes

que comparten dichos números. El M. C. M de dichos números es el menor de los múltiplos comunes

que comparten dichos números.

Ejemplo: Sean los números 18 y 24.

Divisores: De 18: 1, 2, 3, 6, 9,18. De 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.

Divisores comunes de 18 y 24: 1, 2, 3, 6

M. C. D. (18, 24) = 6

Definición a manera de aplicación de M. C. D (máximo común divisor)

* Ahora si tenemos:

d) Múltiplos:

De 18: 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144, 162,…De 24: 24, 28, 72, 96, 120, 144, 168,…

Múltiplos Comunes 18 y 24:

72; 144;….

M. C. M (18, 24) = 72

Obs.: Los divisores comunes de un conjunto de números enteros positivos son todos los divisores del M. C. D de dichos números.

ARITMÉTICA 68



1. Dado el número 31500

a) ¿Cuántos divisores tiene?

b) ¿Cuántos divisores son

primos absolutos?

c) ¿Cuántos divisores son

compuestos?

d) ¿Cuántos divisores son

mayores que 20?

2. Si el MCD de dos números es 6, su suma es múltiplo de 13, y además el producto de ellos es un cuadrado perfecto. Hallar su diferencia.

3. Si: y además tiene 3 divisores más que el número 360 Hallar (K + N).

4. Sea: y

Si se cumple que los divisores de N1 y N2

están en la relación de 21 es a 10. Hallar su MCD.

5. Si D(A, B) = N; D (B, C) = y

D (A, B, C) = 60. Hallar N

6. Si tiene divisores ¿Cuántos divisores tendrá a x b?

7. Sea: y

y a = 2b, si

Hallar a + b

8. ¿Cuántas parejas de números cumplen que su MCD sea 9 y su suma sea 126?

9. El M. C. M de los números A y B es 88. Si: Hallar A + B.

10. Hallar 2 números enteros sabiendo que su diferencia es 2842 y que los cocientes sucesivos para determinar su MCD son 1, 3, 4, 2, 5.

11. ¿Cuántas cifras tiene el MCM de

12. Hallar “K” sabiendo que: MCD (210 K, 300 y 420K) = 1200.

ARITMÉTICA 69


13. Hallar por divisiones sucesivas el MCD de 1144, 2168,7336 y 9184.

14. Hallar el valor de “n” en los números y

para que tenga 90 divisores.

15. El MCM de 2 números enteros es 22400, al calcularse el MCD mediante el algoritmo de Euclides se obtuvieron como cociente sucesivos 2, 5 y 3. Hallar uno de los números.

16. La suma de dos números es 140 y su MCD es 28; además su división entre ellos es exacta. Hallar los números.

17. Si “X” e “y” son números primos el MCM; es igual a:

Podemos afirmar:

18. Hallar el número de ladrillos necesarios para construir un cubo compacto sabiendo que su arista esta comprendida entre 2 y 3m y que las dimensiones del ladrillo a usarse son de 20, 15 y 8 cm.

19. Si y además los números suma 72. Hallar el MCD.

20. Si A – B = 5 y el MCM (A, B) = 150 Hallar A + B:


1. Si tiene 81 divisores. Hallar “n”.

a) 20 b) 10c) 15 d) 25e) 30

2. Entre los números: 180, 756 y 900. ¿Cuál es el que tiene tantos divisores como 360.

a) 900 b) 180c) 756 d) Todose) ninguno.

3. Si tiene 75 divisores. Hallar la suma de cifras de N.

a) 18 b) 15c) 27 d) 9e) 21

4. ¿Cuántos números compues-tos dividen exactamente al número 12740?

a) 27 b) 32c) 34 d) 46e) 38

ARITMÉTICA 70


5. Hallar el valor de n: Si tiene (7n + 34) divisores.

a) 11 b) 12c) 13 d) 14e) 15

6. Hallar n2: Si tiene 120 divisiones

a) 36 b) 16c) 25 d) 9e) 4

7. Si: tiene 3 divisores más que el número M = 29.53. Hallar su diferencia.

a) 1444 b) 1525c) 1400 d) 1732e) 1445

8. Hallar el MCD de 1591 y 2257 utilizando el Método de las divisiones sucesivas de Euclides.

a) 13 b) 17c) 27 d) 31e) 37

9. Si la suma de los divisores de es 847. ¿Cuántos

divisores tiene N?

a) 16 b) 18c) 15 d) 20e) 12

10. Sean los números A y B cuyo MCD es 12 y la diferencia de sus cuadrados es 20888. Hallar A – B.

a) 55 b) 84c) 60 d) 48e) 72

11. Si el MCD de (A, B) es 12.

Calcular su MCD de y

.

a) 8 b) 6c) 4 d) 12e) 16

12. Hallar el mayor de ellos si: MCD = 19 y uno de ellos es el séxtuplo del otro.

a) 19 b) 114c) 57 d) 152e) FD.

ARITMÉTICA 71


TEMA: PROGRESIÓN ARITMÉTICA Y PROGRESION GEOMÉTRICA

Progresión Aritmética: Es una sucesión de números que tiene la característica en que cada 2 términos consecutivos, se diferencian en una mínima cantidad llamada razón de dicha progresión aritmética.

an : Último término a1 : Primer término n : Número de términos. r : Razón.

Ejemplo:Calcular el término “40” en:* 12, 14, 16,…T40 = 12 + 39.2 = 90

Cálculo del número de términos (n )

an : Último término ao : anterior al primero r : Razón

Ejm. Cuántos términos existen:

14,16,18,…, 92

ARITMÉTICA 72


Progresión Geométrica:

Es una sucesión de números en donde al dividir 2 términos consecutivos siempre se obtendrá un cociente (razón geométrica) constante.

Tn : Último término T1 : Primer término. n : Número de términos q : razón geométrica.

Ejemplo: calcular el término 5 de la siguiente progresión:

1, 2, 4, 8, x, …X: Tn = T5

e) Reconoce los elementos:

T1 = 1

Tn = T5 = x q = 2n = 5

ARITMÉTICA 73



1. Calcule el 1er término de un P.A creciente de un número par de términos sabiendo que el producto de los extremos es 238 y la suma de los términos medios es 41.

Rpta.:

2. Calcule el término número 12 de un P.A si sabe que el quinto término es 31 y el término número 9 es 59.

Rpta.:

3. Calcule la suma de los 30 primeros términos de una (P.A) cuyo término que ocupa

el lugar P es de la forma

Rpta.:

4. Sea la progresión aritmética tiene 89

términos, Halle a + b + d.

Rpta.:

5. Sea las siguientes sucesiones:

Halle el término número 25.

Rpta.:6. Se tiene 2 P.A con la misma

cantidad de términos, cuyos

primeros términos son 4 y 10 respectivamente y sus razones son los números 8, 4, respectivamente. La suma de los términos centrales es 1384 ¿Cuántos términos tienen ambas progresiones?

Rpta.:

7. Si y son el primero y el último término de una serie en P.A cuya cantidad de términos es 22, calcule el 17 avo término si a +b = 10, b>a. a = 4 b = 6

Rpta.:

8. Sean los números , , en P.A calcule a

+ b.

Rpta.:

9. En una P.A el tercer término es igual a 4 veces el primer término y el sexto término es 17, calcule el primer término si la razón es par y los términos son números enteros positivos.

Rpta.:10. Halle el número de términos

de la siguiente progresión aritmética.

ARITMÉTICA 74


además: a +b +c = (b < c)

Rpta.:

11. Calcule

si los sumandos son términos que están en P.A. De la respuesta en base n.

Rpta.:

12. Calcule el resultado de efectuar la siguiente sumatoria sabiendo que tiene 100 sumandos. S = 5 + 6 + 7 + 9 + 9 + 12 + 11 + 15 +….

Rpta.:

13. Dado la siguiente P.A creciente, halla el término . Determine la suma de cifras.

Rpta.:

14. La suma de 15 términos de una P.A es 600 y la diferencia común de sus términos es 5, calcule el primer término.

Rpta.:

15. ¿Cuántos términos de la P.A? 26, 21, 16,… se deben tomarse para que su suma sea 74?

Rpta.:

16. En una P.G de 5 términos, sabemos que el tercer término es 12 y el cuarto término es 24, calcular la suma del primer y último término.

Rpta.:

17. En una P.G de 4 términos, si se sabe que el primer término es 2; si el último término es 0,25. Calcular el segundo término.

Rpta.:

18. Sea la siguiente P.G a, 25, a3

Calcular la suma de términos de la P.G

Rpta.:

19. La suma del primer y segundo término de una P.G. y la suma de los 2 términos consecutivos es 4 veces la suma anterior. Calcular la razón de la P.G.

Rpta.:

20. La diferencia de los 2 primeros términos de una P.G es 8 y la suma de los 2 términos consecutivos es 300. calcular el valor del 2° término.

Rpta.:

ARITMÉTICA 75



1. La suma de tres números que están en una progresión aritmética es 27 y su producto es 504. Calcule el mayor de ellos.

a) 13 b) 12 c) 11d) 11 e) 14

2. Calcule la suma de los 35 términos de una P.A cuyo término del lugar 18 es 4.

a) 40 b) 170 c) 150d) 155 e) 160

3. se tiene una P.A de números de 2 cifras donde el primer término es 12. Se escribe en forma consecutiva desde el 1er término al último y se observa que la cifra que ocupa el 7mo lugar es 4. halle el número de términos de la progresión si la cifra que ocupa el 9no lugar es 6 y la que ocupa el último lugar también es 6.

a) 8 b) 9 c) 15d) 13 e) 10

4. Si al calcular la suma de los 20 primeros términos de la P.A

se obtiene 4160 calcule m:

a) 6 b) 5c) 8 d) 10e) 12

5. Calcule la suma de los 35 términos de una P.A cuyo

término es

a) b)

c) d)

e)

6. La suma de tres términos es P.A es 12 y la suma de sus cubos es 408, calcule el menor de ellos.

a) 7 b) 8c) 9 d) 10e) 12

7. Sea la siguiente progresión aritmética

a) 30 b) 80c) 92 d) 91e) 93

ARITMÉTICA 76


8. Halle la suma de los 86 términos de la P.A

Si b es impar.

a) 9280 b) 9288c) 8598 d) 8290e) 9485

9. Hallar la suma de las 30 primeros términos de la progresión aritmética creciente

a) 26140 b) 22020c) 17670 d) 24130e) b y c

10. Sea la progresión aritmética. de 89

términos hallar: “a + b + c”

a) 15 b) 16c) 17 d) 18e) 19

11. Hallar el número de términos de la siguiente serie aritmética.

a) 20 b) 27c) 52 d) 25e) 30

12. Dada la siguiente progresión aritmética:

calcular.a) 10 b) 20c) 30 d) 35e) 40

13. El tercer término de una P.G es 20; si la suma de los 4 términos de esta P.G es 75. Calcular el valor de la razón.

a) 1 b) 2c) 3 d) 4e) 5

14. Si la siguiente P.G: a + b

a) 1 b) 2c) 3 d) 13e) 9

15. La suma de los 4 primeros términos de una P.G es 90 si la razón entre el último y el 1er

término es 8. Calcular la suma del 2do y el 3er término.

a) 36 b) 30c) 48 d) 40e) 34

ARITMÉTICA 77


TEMA: NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS

NÚMERO PRIMO ABSOLUTO:

Si hablamos en naturales un número Primo es aquel que posee solo dos divisores: el mismo y la unidad.

Veamos: 2; 3; 5; 7;... 1 2 1 3 1 5 1 7

Obs.: El 1 no es primo. Ya que sólo es divisible por la unidad; que viene

ser el mismo.

NÚMEROS SIMPLES :

Se le llama así a los factores primos que posee un número incluida la unidad.

Primos + Unidad

NÚMEROS COMPUESTOS :

Son aquellos números que pueden expresar como el producto de dos o más factores distintos de la unidad.

2 x 2 x 2 x 2 x 3Ejm: 48 6 x 8

12 x 2 x 2

Números Primos entre si (PESI):

Son aquellos números que poseen como único divisor común a la unidad.

ARITMÉTICA 78


Ejm 8, 9 y 25 son PESI

Números Primos entre si dos o dos:

Son aquellos números que al ser tomados de 2 en 2 resultan ser PESI.

PESI PESI

PESI

Descomposición Canónica de un Número:

Llamado también el teorema fundamental de la Aritmética y consiste en

colocar a un número como el producto de sus factores primos elevados

a ciertos exponentes.

Veamos: 180 2

90 2

ARITMÉTICA 79

i) 6 y 11 son PESIii) 11 y 49 son PESIiii) 6 y 49 son PESI


45 315 3 5 5 1

Tabla de los divisores de un Número:

Veamos la siguiente estructura:

1 2 4

“ESTUDIO DE LOS DIVISORES DE UN NÚMERO”

f) Cantidad de Divisores de un Número : (CDN)

Sea:

Ejm:

g) Suma de los Divisores de un Número : (SDN)

Sea:

ARITMÉTICA 80


Ejm:

h) Suma de las Inversas de los Divisores de un Número : (SIDN)

Sea: N el número: con suma de sus divisores SDN

Ejm: SID

i) Producto de los Divisores de un Número : (PDN)

Sea: N el número, con cantidad de divisores CDN

Ejm: PD

j) Función de Euler ( N)- Indicador de un Número:

Sea:

ARITMÉTICA 81


IDEA: El número N nos indica mediante su valor cuántos números menores que N. y primos con el existen.

Ejm: ¿Cuántos números menores que 10 son primos con el?

Aplicando Idea: Sea C: Conjunto de números menores que 10. (10= 2x5)

k) C = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,

l) Números menores que 10 y primos con el: {1, 3, 7, 9} son 4.

ARITMÉTICA 82



1. Acerca del número 31500. Determine: * La cantidad de divisores: primos, simples, compuestos, propios y totales.Rpta.:

2. Acerca del número 31500. Determine la suma de divisores simples y la suma de divisores compuestos.Rpta.:

3. Acerca del mismo 31500; halle la cantidad de divisores múltiplos de 15 que posee dicho número.Rpta.:

4. Dado el número N = 31500. Calcule cual es la cantidad de divisores pares e impares que posee.Rpta.:

5. Dado el número N = 31500; halle la cantidad de divisores que posee, que sean PESI con 189.Rpta.:

6. Determine la suma de los divisores de 3960 que sean primos relativos con 297.Rpta.:

7. Si: tiene 36 divisores que terminan en cero. Hallar la suma de cifras del número que es la suma de divisores de Rpta.:

8. ¿Cuántos números impares menores que 120 no son divisibles por 3 ni por 5?Rpta.:

9. Si termina en 7 ceros ¿Cuántos de sus divisores son PESI con 70?Rpta.:

10. Un número posee 45 divisores, de los cuales 4 son simples. Si dicho número es el menor posible. ¿Cuántos divisores múltiplos del menor factor primo posee dicho número?Rpta.:

ARITMÉTICA 83


11. Si se tiene los números ; cuya descom-

posición canónica es: . Calcular la

cantidad de divisores de A sabiendo que A y B tienen los mismos divisores primos.Rpta.:

12. Calcular el menor número impar de 20 divisores.Rpta.:

13. ¿Cuántos divisores como máximo puede tener el número

?Rpta.:

14. Calcular el valor de “n” si la suma de divisores del siguiente número

es 240Rpta.:

15. Hallar “n”; si 481n tiene divisores.Rpta.:

16. Hallar el valor de “n”, si el número de divisores de

es 2/3 del número

de divisores de Rpta.:

17. Si a un número N, cuya descomposición canónica es, a3b se multiplica por 7, su cantidad de divisores se duplica ¿Qué ocurre con la suma de divisores?Rpta.:

18. Si el numeral mínimo posee 16 divisores, calcular la suma de los divisores múltiplos de 7 del numeral (a b)Rpta.:

19. Calcular la cantidad de divisores de ; si descompuesto canónicamen-te, tiene la siguiente forma:

R

pta.:

20. ¿Cuántos de los divisores de

180 tienen 2 cifras?

Rpta.:


ARITMÉTICA 84


1. Dado ; ¿Cuántos divisores tiene?

a) 120 b) 60c) 80 d) 100e) 300

2. Del número N dado anteriormente; calcule el número de divisores simples que tiene y cantidad de divisores compuestos. Dé como respuesta el producto.

a) 200 b) 150c) 600 d) 575e) 450

3. Dado el número 75 600. Calcule cuántos de sus

divisores son , y cuántos son

impares. Dé como respuesta la suma de estos.

a) 300 b) 120c) 60 d) 160e) 100

4. Dado: Si sabemos que tiene 24 divisores. Calcular a.a) 5 b) 2c) 3 d) 4e) 7

5. Si: tiene

64 divisores. Calcular “a”

a) 5 b) 7c) 2 d) 4e) 8

6. Si: tiene 144

divisores. Hallar “a”

a) 7 b) 8c) 9 d) 6e) 5

7. Si: tiene 36

divisores de . Hallar “a”

a) 6 b) 5c) 4 d) 7e) 2

8. ¿Cuántos números menores que 800 son primos con él?

a) 320 b) 160c) 480 d) 300e) 250

9. Hallar 2 números primos a y b, tales que la suma de todos los divisores del número:

ARITMÉTICA 85


sea el triple de este número. Dar como respuesta la suma de este.

a) 9 b) 10c) 8 d) 12e) 13

10. La descomposición canónica del número N es:

Calcular la suma de los divisores primos de N, sabiendo que en total tiene 84 divisores.

a) 16 b) 12c) 10 d) 8e) 11

11. Si a y b son números primos absolutos y a + b = 259. ¿Cuánto vale la diferencia de a y b?

a) 200 b) 225c) 158 d) 160e) 230

12. Hallar el valor “n”, sabiendo que: tiene 144 divisores.

a) 4 b) 5c) 7 d) 2e) 3

13. Hallar la suma de las cifras de un número entero N, sabiendo que admite solo 2 divisores, que el número de divisores

simples mas los divisores compuestos es 6 y la suma de ellos es 28.

a) 8 b) 15c) 17 d) 12e) 13

14. Se tiene la descomposición canónica:

Calcular la suma de los divisores que son PESI con 19.

a) 200 b) 400c) 350 d) 450e) 500

15. Si

tiene 225 divisores impares. ¿Cuántos divisores PESI con 15 tiene N?

a) 29 b) 27c) 32 d) 41e) 28

ARITMÉTICA 86


ÍNDICE

Estadística 03

Número fraccionario y su clasificación. 19

Número Decimal 29

Potenciación y Radicación 39

Teoría de la Divisibilidad 49

Criterios de la Divisibilidad 55

Divisores y múltiplos comunes (MCM, MCD) 71

Progresión Aritmética y Geométrica 61

Número Primo y Compuesto 65

ARITMÉTICA 87

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