GAUSS

EL MÈTODE DE GAUSS

Johann Carl Friedrich Gauss (30 d'abril del 1777 – 23 de febrer del 1855) fou un matemàtic i científic alemany que contribuí de manera significativa a molts camps, incloent-hi la teoria de nombres, l'estadística, l'anàlisi, la geometria diferencial, la geodèsia, l'electrostàtica, l'astronomia i l'òptica. Conegut a vegades com a  "el Príncep dels matemàtics", "el Primer dels matemàtics" o el "més gran matemàtic des de l'antiguitat"

Gauss fou un nen prodigi. Hi ha moltes anècdotes en referència a la seva precocitat quan era un infant, i féu els seus primers descobriments matemàtics innovadors quan encara era adolescent.

EL MÈTODE DE GAUSS

EQUACIÓ LINEAL

Una equació lineal amb n incògnites és una expressió d’aquest tipus:

a1x1 + a2x2 + a3x3 +.........+anxn =b

Exemples:

amb una incògnita: ax = b;2x = 5;-x+3 =0

amb dues incògnites: ax + by = c;2x-y = 3;-5x +2y = 1

amb tres incògnites: ax + by + cz = d;2x – 3y + 4z = 6;-x + 4y – z = 0

EQUACIONS NO LINEALS

x3 – 3y = 4; = y – 1;logx + 1 = x;

SISTEMES D’EQUACIONS LINEALS

És aquell que consta només d’equacions lineals. Tant el nombre d’equacions com el nombre d’incògnites poden ser arbitraris.

Resoldre un sistema d’equacions lineals és trobar les solucions que compleixen totes les equacions o adonar-se’n que no té cap solució.

Una equació és una condició imposada a totes les incògnites x, y, z, t,...Al augmentar el nombre d’equacions disminueix el nombre de solucions.

Quantes més condicions hi hagi menys possibilitats hi ha que totes les equacions ho acompleixin.

Exemples ( interpretació geomètrica):

Amb dues incògnites:

Una equació:

x + y = 1

Infinites solucions són els punts de la recta:

Dues equacions:

Infinites solucions són els punts de la recta:

Una única solució el punt on es tallen les dues rectes (-2,3)

Cap solució rectes paral·leles

Tres equacions:

Cap punt que passi per les tres rectes. No hi ha solució.

Dues rectes coincident i l’altre secant. Es tallen en el punt (1,0). Una única solució.

Tres rectes coincidents. Infinites solucions, tots els punts de la recta.

Tres rectes paral·leles, no hi ha punts comuns. Cap solució.

Una única solució. Les tres rectes es tallen en el mateix punt. Punt de tall: (-2,3)

No hi ha cap punt que pertanyi a les tres rectes. No hi ha solució. Les rectes es tallen dues a dues.

SISTEMES EQUIVALENTS

Dos sistemes són equivalents quan tenen les mateixes solucions.

CLASSIFICACIÓ DELS SISTEMES SEGONS LES SOLUCIONS

COMPATIBLES : Són els que tenen solució i podem distingir dos tipus de sistemes compatibles:

*COMPATIBLES DETERMINATS: Són els sistemes compatibles que només tenen una única solució.

*COMPATIBLES INDETERMINATS: Són els sistemes compatibles que tenen infinites solucions.

INCOMPATIBLES: Són els sistemes que no tenen solució.

SISTEMES TRIANGULARS

Són sistemes on els coeficients de la línia diagonal no són tots nuls i nuls són tots els situats sota ella.

Ens limitarem als de dues equacions i dues incògnites i als de tres equacions i tres incògnites.

Exemples:

Començant per l’última equació obtenim que: z=4; y=-16; x=7

Per tant és: COMPATIBLE DETERMINAT

L’última equació no ens aporta cap informació per tant si comencem per la segona tenim: y= 2+2z i substituint a la primera equació obtenim: x=-3z-3

Aleshores podem dir que el sistema és COMPATIBLE INDETERMINAT ja que té infinites solucions. Si donem diferents valor a z obtenim les solucions del sistema:

( -3z-3 , 2+2z , z )

Aquest sistema triangular és INCOMPATIBLE ja que l’última equació no és possible que és compleixi per a cap valor de les incògnites.

OBJECTIU

El nostre objectiu serà transformar qualsevol sistema d’equacions lineals en un altre que sigui equivalent, és a dir que tingui les mateixes solucions i que sigui triangular per la facilitat de trobar la solució al sistema.

SISTEMES EQUIVALENTS TRANSFORMACIONS

Donat un sistema anirem fent transformacions fins a obtenir un sistema triangular.

L’equivalència es pot provar veient que tota solució del primer sistema ho és del segon i al revés.

MÈTODE DE GAUSS

Les següents transformacions en les equacions d’un sistema donen lloc a un altre sistema equivalent: ( de la 1 a l 5 per raons obvies)

1- Multiplicar cada membre d’una equació per una constant no nul·la.

2- Intercanviar equacions.

3- Canviar l’ordre de les incògnites.

4- Suprimir una equació repetida.

5- Suprimir equacions del tipus 0=0

6- Substituir una equació per la suma d’ella mateixa i una altra multiplicada per una constant ( combinacions lineals)

Fer combinacions lineals entre les equacions d’un sistema lineal vol dir multiplicar les equacions per constants i sumar-les o restar-les entre elles ( les equacions)

Demostració d’aquesta transformació ( ho fem per tres incògnites):

aquest sistema és equivalent a aquest altre:

És claríssim que les solucions d’un sistema són solucions de l’altre i a la inversa.

7- Suprimir les equacions que són combinacions lineals de les altres equacions.

Demostració d’aquesta transformació (ho fem per tres incògnites):

Algunes combinacions lineals som molt obvies com per exemple si ens fixem que una equació és la suma de altres equacions, o la resta de dues equacions, etc.

EXERCICIS DE SISTEMES D’EQUACIONS

1- Donats diversos parells de sistemes d’equacions. Tots ells són equivalents, alguns per raons molt fàcils de veure. Digues per què? ( alguns caldrà que els resolguis per veure-ho)

2- Resolució de sistemes pel mètode de Gauss:

Amb dues incògnites ( aquests si et convé els pots resoldre pels mètodes que ja coneixes: reducció, igualació o substitució). Un cop tinguis la solució interpreta el resultat geomètricament.

3- Resol aquest sistema i interpreta geomètricament el resultat:

4- Resol els següents sistemes pel mètode de Gauss.

5- Resol el següent sistema pel mètode de Gauss.

6- Resol els següents sistemes pel mètode de Gauss:

7- a) Resol el següent sistema:

b) Afegeix una tercera equació de manera que continuï essent compatible.

c) Afegeix una equació per a que sigui incompatible.

8- Resol el següent sistema:

-Comprova que té infinites solucions.

-Afegeix una equació per a què continuï essent indeterminat.

- una equació per a que sigui incompatible.

9- Observa les següents situacions:

Proposa un sistema per cada una de les tres situacions.

10- Expliqueu que vol dir que un sistema d’equacions sigui: compatible, incompatible, compatible determinat i compatible indeterminat. No es demanen criteris de compatibilitat o d’incompatibilitat sinó, simplement que volen dir les paraules anteriors.

11- Un sistema de tres equacions lineals amb tres incògnites. Pot ser incompatible? Pot ser indeterminat? Raoneu les respostes i poseu algun exemple que aclareixi les vostres explicacions.

12- Expliqueu de la manera més senzilla que sigueu capaços què vol dir que un sistema d’equacions lineals sigui compatible, i què vol dir que sigui indeterminat. Digueu si un sistema incompatible pot ser determinat i/o indeterminat. Raoneu la resposta.

13-És possible que un sistema de dues equacions lineals amb tres incògnites tingui una única solució? És possible que un sistema de tres equacions lineals amb dues incògnites tingui una única solució?

Discutiu i resoleu el sistema següent:

14- Poseu un exemple de dues equacions amb dues incògnites de sistema:

a) Incompatibleb) Compatible indeterminatc) Compatible determinat

15- Pot ser incompatible un sistema de dues equacions amb tres incògnites?

Pot ser compatible determinat un sistema de dues equacions i 3 incògnites?

Pot ser compatible determinat un sistema de tres equacions i dues incògnites?

Pot ser compatible determinat un sistema de tres equacions i 3 incògnites?

Si m i n són dos nombres qualsevols digues quan serà compatible el següent sistema?

16- Donat el sistema:

a) Afegeix una equació perquè sigui incompatible.

b) Afegeix una equació perquè sigui compatible indeterminat.

17- Poseu un exemple de sistema de tres equacions amb dues incògnites que sigui compatible i determinat.

EXERCICIS DE SISTEMES AMB PARÀMETRES

1- Donat el sistema de tres equacions amb tres incògnites de matriu:

Discutiu la seva compatibilitat o incompatibilitat en funció dels valors que prengui el paràmetre a. Justifiqueu la resposta.

2- Determineu el valor del paràmetre a que fa incompatible el sistema d’equacions:

3- Donat el sistema d’equacions:

Determineu el valor del paràmetre a de manera que el sistema no tingui solució. Existeix algun valor de a que faci que el sistema tingui infinites solucions, per què?

4- Considereu el sistema d’equacions següent:

Per a quin valor de a té més d’una solució? Hi ha algun valor de a per al qual sigui incompatible?

5- Trobeu el valor de a que fa que el sistema sigui compatible:

En aquest cas trobeu-ne la solució.

6- Donat el sistema:

Determineu el valor de k per tal que el sistema tingui més d’una solució i en aquest cas resoleu-lo.

7- Discutiu el sistema segons els valors del paràmetre a:

8- Expliqueu que vol dir que un sistema d’equacions lineals sigui compatible indeterminat i que vol dir que sigui incompatible. Digueu si existeix algun valor de m per al qual el sistema següent sigui incompatible i si existeix algun valor de m per al qual sigui indeterminat.

EXERCICIS DE PROBLEMES DE PLANTEJAMENT

1- El supermercat Minipreu fa una oferta de pots de melmelada, ampolles d’aigua mineral i paquets de sal. Un senyor va comprar 2 pots de melmelada, 4 ampolles d’aigua i 1 paquet de sal i va pagar 20€. Un altre senyor va comprar 1 pot de melmelada, 2 ampolles d’aigua i va tornar un paquet de sal que estava en males condicions i va pagar 7€. Una senyora va comprar 3 ampolles d’aigua i va tornar dos paquets de sal i va pagar 2€. Quant valia cada pot de melmelada, cada ampolla d’aigua i cada paquet de sal?

2- La Marta, l’Anna i la Núria van a comprar dolços a una botiga. La Marta compra 5 xiclets, 2 cornets i 10 piruletes. L’Anna compra 2 xiclets, 15 piruletes i 2 cornets. La Núria compra un xiclet, un cornet i 4 piruletes. Si la Marta ha gastat 4.30€, l’Anna 4.40€ i la Núria 1.50€. Quin era el preu de cada piruleta, cornet i xiclet?

3- En Daniel, la Carme i l’Andreu han presentat un treball d’història. L’Andreu ha treballat el doble d’hores que la Carme i en Daniel una hora més que els altres dos plegats. En total hi ha dedicat 13 hores. Si entre tots han obtingut 10 punts i les notes són proporcionals a les hores dedicades. Quina nota té cadascun?

4- Un monument està format per tres torres, A, B i C. L’altura de B és 4/3 parts de la de A. L’altura de C és el doble de la de A. Finalment la torre C és 4 metres més alta que els 4/3 de la torre B. Quant fa cada torre?

5- La suma de les xifres d’un número comprés entre 100 i 999 és 13. Si intercanviem les xifres de les unitats i les centenes, el número disminueix en 198. Si intercanviem les de les unitats i les de les desenes el número augmenta en 36. Quin és aquest número?

6- Durant tres dies seguits tres persones, A, B i C, surten de casa amb una certa quantitat de diners cadascuna ( la mateixa tots tres dies) i aposten al canòdrom. El primer dia afirmen que A ha perdut el 10% del que portava, B ha guanyat el 20% del que portava i C n’ha perdut el 50%. La suma algebraica de pèrdues i guanys ( els guanys amb signe + i les pèrdues amb signe -) diuen que ha estat de 200€. El segon dia afirmen que A ha guanyat un 20% del que portava, B n’ha guanyat un 40% i C n’ha guanyat un 60% i que la suma algebraica de guanys i pèrdues ha estat de 800€. El tercer dia afirmen que A ni ha guanyat ni ha perdut, que B ha guanyat el 60% del que portava, C n’ha perdut el 30% i que la suma de guanys i pèrdues ha estat de 600€. És possible creure el que diuen? Raoneu la resposta.

7- Si un milió de votants de l’esquerra haguessin votat la dreta, totes dues coalicions haurien obtingut el mateix número de vots. Però si, contràriament, un milió de votants de la dreta haguessin votat l’esquerra, aquesta hauria obtingut el triple de vots que aquella. Quants vots ha obtingut cada coalició?

8- Una empresa fabrica tres models de cotxes: A, B i C. El model A ha de passar 20 hores en la unitat de muntatge; el model B 30h i el model C 10h. El model A ha de passar 10 hores a la unitat d’acabats; el model B 20h i el model C 30h. En total s’han produït 14 cotxes. La unitat de muntatge ha treballat 370h i la d’acabats 290h. Quants cotxes de cada tipus s’han produït?

9- El dilluns d’una certa setmana els articles A, B i C d’uns grans magatzems es rebaixen un 5%, un 6% i un 8% respectivament. El dimarts en canvi, es rebaixen un 2%, un 8% i un 6% sobre el preu inicial ( no sobre el preu rebaixat dilluns). Finalment, el divendres es rebaixen un 4%, un 7% i un 6% sobre el preu inicial. Si se sap que un client, que compra una unitat de cada un d’aquests articles cada un d’aquests dies s’estalvia 2.10€ el dilluns, 2.10€ el dimarts i 2.10€ el divendres. Quin és el preu per unitat d’aquests articles?

10- En Pere, en Joan i la Núria han fet un treball en comú. La Núria ha treballat el doble d’hores que en Joan i en Pere una hora més que els altres dos plegats. En total hi han dedicat 13 hores. Si entre tots han obtingut 8 punts, quants d’aquests punts corresponen a cadascun amb relació a les hores que cada un d’ells hi ha esmerçat?