FACULTAD DE INGENIERÍA

ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

INTEGRANTES:

Calderón Blas, Joaquín

Seguil Alvarez, Sergio

Vidal Valverde, Miguel

DOCENTE:JESÚS WALTER ACHA ESPINOZA

AUTOR A INVESTIGAR:JAKOB STEINER

TURNO:TARDE

AULA:418

Lima-Perú

2014

JAKOB STEINER TEOREMA DE STEINER (EJES PARALELOS)

DEDICATORIA:

Dedico este trabajo principalmente a Dios, por habernos dado la vida y permitirnos haber llegado hasta este momento tan importante de nuestra formación profesional. A vuestras madres, por ser el pilar más importante y por demostrarnos siempre su cariño y apoyo incondicional sin importar nuestras diferencias de opiniones.

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JAKOB STEINER

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INTRODUCCIÒN

 Matemático suizo. Realizó preferentemente estudios sobre geometría proyectiva

utilizando métodos sintéticos (independientes de las coordenadas). Fue profesor

honoris causa de la Universidad de Königsberg y catedrático de la Universidad de

Berlín.

Nacido el 18 de marzo de 1796, Utzenstorf, Suiza. Hijo de Anna Barbara Weber (1757-

1832) y Niklaus Steiner (1752-1826). Jakob era el más joven de los hijos y pasó sus

primeros años ayudando a sus padres con los pequeños agricultores y las empresas

que se quedaron cerca del pueblo de Utzenstorf, a unos 24 km al norte de Berna. No

aprendió a leer y escribir hasta los 14 años pero luego resultó muy valioso.

Alumno de Johann Heinrich Pestalozzi. Cursó estudios en las Universidades de

Heidelberg y Berlín. Radicado en Berlín, se ganaba la vida dando clases.

Su obra matemática se orientó hacia la geometría, que desarrolló en

el campo sintético, excluyendo la analítica. Publicó «Systematische Entwickelung der

Abhängigkeit geometrischer Gestalten von einander» en donde sentó las bases de la

geometría pura moderna.

Las normalmente conocidas como rectas de Simson se deben en realidad a William

Wallace (1768-1843), aunque llevan el nombre de Robert Simson (1687-1768). En

general, dado un triángulo ABC, cuando trazamos perpendiculares desde un punto P a

los lados del triángulo, al unir los pies de dichas perpendiculares obtenemos el

llamado triángulo pedal. Resulta que cuando P está en la circunferencia circunscrita a

ABC, estos puntos puntos están alineados, y el triángulo pedal es degenerado. A la

recta que une los tres pies se le llama recta de Wallace-Simson. Los pies de las

perpendiculares desde un punto a los lados de un triángulo están alineados si y solo si

el punto está situado en la circunferencia circunscrita. 

Jakob Steiner demostró en 1856 que si trazamos todas las rectas de Wallace-Simson

correspondientes a los diferentes puntos P de la circunferencia circunscrita, la

envolvente de todas ellas es una curva especial de tercera clase y cuarto grado  que

tiene la recta del infinito como doble tangente ideal que es tangente a los tres lados y a

las tres alturas del triángulo que tiene tres puntos de retroceso y que las tres tangentes

en ellos se cortan en un punto. Esta curva se conoce hoy como deltoide de Steiner. 

Jakob Steiner falleció el 1 abril de 1863 en Berna, Suiza.

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Estudios

A la edad de 18 años, contra los deseos de sus padres, salió de casa para

asistir a la escuela de Johann Heinrich Pestalozzi en Yverdom en el extremo

sur-este del lago de Neuchâtel. El hecho de que Steiner no pudo pagar nada a

su educación en la escuela no era un problema, porque Pestalozzi quería

probar sus métodos educativos en los pobres. La escuela Pestalozzi tuvo un

efecto muy significativo en la actitud de Steiner, tanto para la enseñanza de las

matemáticas y también a su filosofía a la hora de emprender la investigación en

matemáticas.

Vida profesional

En el otoño de 1818, Steiner dejó Yverdom y viajó a Heidelberg, donde se

ganó la vida dando clases privadas de matemáticas. Asistió a las conferencias

en las Universidades de Heidelberg en el análisis combinatorio, cálculo

diferencial e integral y álgebra. También en este tiempo se interesó por la

mecánica y escribió tres manuscritos inéditos sobre el tema

en 1821, 1824 y 1825.

En la Pascua de 1821 dejó Heidelberg y viajó a Berlín, donde otra vez se apoyó

de la tutoría con un ingreso muy modesto.

No tenía títulos de enseñanza formal por lo que decidió que tenía que

presentarse a los exámenes necesarios que le permitieran convertirse en un

maestro de matemáticas en un gimnasio. Después de tomar los exámenes

necesarios en Berlín se le concedió sólo una licencia limitada para enseñar. Su

problema no era en matemáticas, pero si en los otros temas que se

examinaron, como la historia y la literatura. Esta licencia restringida, sin

embargo, fue suficiente para permitir que fuera nombrado para el Gimnasio

Werder de Berlín.

Steiner, que era un firme creyente de los métodos de enseñanza de Pestalozzi,

los métodos utilizados en el aula por lo que tuvo contradicciones con el director

y fue destituido en el otoño de 1822.

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Otra vez tomó clases privadas para ganar el dinero suficiente que le permitiera

asistir a cursos en la Universidad de Berlín, lo que hizo desdenoviembre de

1822 hasta agosto de 1824.

En 1825, Steiner fue designado como maestro asistente en la Escuela Técnica

de Berlín. Fue promovido a maestro mayor en 1829.

Obras

La obra matemática de Steiner se centró en la geometría, que desarrolló en

el campo sintético, excluyendo totalmente la analítica, que odiaba, y que se

decía consideraba una desgracia para la geometría aun cuando se obtuvieran

iguales o mejores resultados. En su campo, sobrepasó a todos sus

contemporáneos. Sus investigaciones se distinguen por su generalización, la

riqueza de sus fuentes y el rigor de sus demostraciones. Ha sido considerado

el mayor genio de la geometría pura desde Apolonio de Perga.

En su «Systematische Entwickelung der Abhängigkeit geometrischer Gestalten

von einander» Steiner sentó las bases de la geometría pura moderna, donde

presenta las formas geométricas y la correlación entre ellas, en lo que él mismo

llamó geometría proyectiva, presentando mediante la ayuda de líneas y puntos

una nueva generación de secciones cónicas y superficies cuadráticas de

rotación, que llevan más directamente que otros métodos anteriores a la

naturaleza de las cónicas y nos revelan la conexión con las formas biológicas.

En este tratado, además, se analiza por primera vez el principio de dualidad,

como consecuencia de las propiedades fundamentales del plano, la línea y el

punto.

En un segundo pequeño volumen, «Die geometrischen Constructionen

ausgeführt mittels der geraden Linie und eines festen Kreises», publicado en

1883 y reeditado en 1895 por Ottingen, Steiner muestra lo que ya había sido

sugerido porJean-Victor Poncelet: cómo todos los problemas de segundo orden

pueden resolverse con ayuda de ejes rectos sin usar compás, tan pronto como

se dibuja un círculo en el papel.

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También escribió «Vorlesungen über synthetische Geometrie», publicado en

forma póstuma en Leipzig por Geiser y Schroeter en 1867: la tercera edición se

publicó en 1887.

El resto de los escritos de Steiner se publicaron principalmente en el periódico

de Crelle, cuyo primer número contiene cuatro de sus artículos. Los más

importantes se relacionan con las funciones algebraicas y superficies,

especialmente el resumen «Allgemeine Eigenschaften algebraischer

Curven», que contiene sólo resultados, sin describir los métodos utilizados para

obtenerlos. Según L. O. Hesse, estos escritos, junto con los teoremas

de Fermat, constituyen desafíos para las generaciones actuales y futuras.

Eminentes analistas probaron exitosamente algunos de estos teoremas, pero

únicamente Luigi Cremona, en su libro sobre curvas algebraicas, pudo

desarrollarlos todos, mediante un método sintético uniforme.

Otras investigaciones importantes de Steiner se relacionaron con máximos y

mínimos. Partiendo de proposiciones elementales, avanzó en la solución de

problemas cuya resolución analítica requiere hoy cálculo de variaciones, no

disponible en aquella época.

Publicaciones

Steiner se convirtió en uno de los primeros colaboradores de Crelle 's

Journal, que fue la primera revista dedicada exclusivamente a las matemáticas.

El primer volumen de la revista apareció en 1826 y contiene la primera obra

larga de Steiner, este documento es importante por ser el primer relato

publicado de la teoría de la potencia de un punto con respecto a un círculo, y

los puntos de semejanza de los círculos. También es importante para el uso del

principio de Steiner de la inversión en muchas de las pruebas.

En 1832 Steiner publicó su primer libro .Gran parte del material ya había

aparecido en los periódicos de Steiner durante los últimos seis años. El

prefacio de este libro ofrece una visión interesante del enfoque de Steiner a las

matemáticas en general y el material geométrico del libro en particular.

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Muerte

En los últimos diez años de vida de Steiner eran cada vez más difícil debido a

una enfermedad. Problemas en los riñones le llevó a pasar la mayor parte del

año en su país natal, Suiza, sólo se va a Berlín en el invierno para ofrecer sus

conferencias. Con el tiempo se convirtió en totalmente postrado en la cama y

fue incapaz de llevar a cabo cualquier actividad docente.

Falleció el 1 de abril de 1863, en Berna.

Reconocimientos

Steiner fue honrado por sus notables logros. En 1832 recibió un doctorado

honorario de la Universidad de Königsberg, y dos años más tarde ocupó la

cátedra de geometría que le correspondía en Berlín, cargo que desempeñó

hasta su muerte.

Fue nombrado a una nueva cátedra extraordinaria de la geometría en la

Universidad de Berlín, el 8 de octubre de 1834.

Pasó el invierno de 1854-1855 en París y durante su estancia allí fue elegido

miembro de la Academia de Ciencias.

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Teorema de Steiner:

Los momentos de inercia de sólidos rígidos con una geometría simple (alta simetría) son relativamente fáciles de calcular si el eje de rotación coincide con un eje de simetría. Sin embargo, los cálculos de momentos de inercia con respecto a un eje arbitrario puede ser engorroso, incluso para sólidos con alta simetría.

El Teorema de Steiner (o teorema de los ejes-paralelos) a menudo simplifica los cálculos.

 Premisa: Supongamos que conocemos el momento de inercia con respecto a un eje

que pase por el centro de masas de un objeto

Teorema: Entonces podemos conocer el momento de inercia con respecto a cualquier otro eje paralelo al primero y que se encuentra a una distancia D

 

Procedemos ahora la demostración del Teorema:

Tomemos un elemento de masa dm  situado en las coordenadas (x,y). Si ahora escogemos un sistema de coordenadas con origen en el centro de masas del objeto,

las nuevas coordenadas del elemento de masa serán (x',y')

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Calculamos el momento de inercia respecto del eje Z que es paralelo al eje que pasa por el centro de masas:

 

Como el segundo sistema de referencia tiene como origen el centro de masas:

La primera integral es el momento de inercia respecto del eje que pasa por el CM. La

última integral es la masa del sólido, y magnitud que multiplica a esta integral es la

distancia al cuadrado entre los dos ejes. por tanto:

“El teorema fue denominado así en honor de Jakob Steiner”

DEMOSTRACIÒNSe asumirá, sin pérdida de generalidad, que en un sistema de coordenadas

cartesiano la distancia perpendicular entre los ejes se encuentra a lo largo del eje x y

que el centro de masas se encuentra en el origen. El momento de inercia relativo al

eje z, que pasa a través del centro de masas, es:

El momento de inercia relativo al nuevo eje, a una distancia perpendicular r a lo largo

del eje x del centro de masas, es:

Si desarrollamos el cuadrado, se obtiene:

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El primer término es Icm, el segundo término queda como mr2, y el último término se

anula, puesto que el origen está en el centro de masas. Así, esta expresión queda

como:

EJEMPLOS

Ejemplo 1:

a) Calcula el momento de inercia de una varilla, masa m, longitud L, respecto a un eje perpendicular a distancia L/4 de un extremo. b) Calcula el momento de inercia de un disco homogéneo, masa m, radio R, girando respecto a un eje perpendicular por su extremo. c) El momento de inercia de un cuerpo de masa 2 kg respecto a un eje que pasa a 0,5 m del c.d.m vale 0,4 kg·m2. Calcula el momento de inercia respecto a un eje paralelo situado 0,3 m más lejos del c.d.m.  Solución: a) 

  Aplicando el teorema de Steiner:

 I =I0 + md2, siendo:

 I0 el momento de inercia del cuerpo respecto a un eje que pasa por su c.d.m. I el momento de inercia del cuerpo respecto a un eje paralelo al que pasa por su c.d.m. d distancia entre los ejes. Por tanto: Momento de inercia de una varilla delgada respecto a un eje perpendicular a su punto medio: 

I0 = (1/12) mL2

Luego:

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b)

 Aplicando el teorema de Steiner:

 I =I0 + md2

 Momento de inercia de un disco, cuya masa está distribuida uniformemente, respecto a un eje perpendicular por su centro:

 I0 = (1/2) mR2

 Por tanto:

I = (1/2) mR2+ mR2 = (3/2) mR2

 c) Datos: m = 2 kg; d1 = 0,5 m; I1 = 0,4 kg·m2; d2 = 0,3 m 

 El  teorema de Steiner no se puede aplicar entre dos ejes paralelos cualesquiera, uno de ellos tiene que pasar por el c.d.m del cuerpo, luego en este problema se debe utilizar dicho teorema para cada una de las dos distancias. 

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Ejemplo 2:

Calcular el momento de inercia del conjunto respecto al eje indicado. 

 

Datos: Los cilindros son iguales. Masa: m. Radio: R

Solución:

 Momento de inercia: I = I1 + I2

 Para hallar el momento de inercia de los dos cilindros con respecto a sus respectivos ejes, hay que aplicar el teorema de Steiner:

I = I0 + m d2

Momento de inercia del primer cilindro:

I1 = I0 + m R2

Momento de inercia de un cilindro, cuya masa está distribuida uniformemente, respecto a su eje:

I0 = (1/2) m R2

por tanto:

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Momento de inercia del segundo cilindro:

De todo lo anterior se tiene que:

 

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