Punto número #2 “Distribuciones de probabilidad introducción y conceptos.

En estadística, la distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que mide el número de éxitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes entre sí, con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos.

Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, esto es, sólo son posibles dos resultados. A uno de estos se denomina éxito y tiene una probabilidad de ocurrencia p y al otro, fracaso, con una probabilidad q = 1 - p. En la distribución binomial el anterior experimento se repite n veces, de forma independiente, y se trata de calcular la probabilidad de un determinado número de éxitos. Para n = 1, la binomial se convierte, de hecho, en una distribución de Bernoulli.

Para representar que una variable aleatoria X sigue una distribución binomial de parámetros n y p, se escribe:

Para una distribución de probabilidad binomial, deben darse las siguientes condiciones

En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: el suceso "éxito" y su contrario el suceso "fracaso".

El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente, esto es que el valor de la probabilidad de cada prueba no se afecta por pruebas anteriores, ni afecta pruebas futuras.

La probabilidad del suceso "éxito" es constante, la representamos por p, y no varía de una prueba a otra. La probabilidad de el suceso "fracaso" es 1-

p y la representamos por q .

El experimento consta de un número n de pruebas.De la “n” pruebas , calculamos la probabilidad de “k” éxitos.

Parámetros de la distribución binomial, la media y la desviación estándar.

Ejemplos.

Consideremos el siguiente juego, la apuesta a un número al arrojar un dado. Consideraremos un "éxito" si sale el número

que eligimos, y un "fracaso" si sale otro número.

Tenemos que:

p = 1/6

q = 1-p = 5/6

Si hacemos una sola prueba donde P(k) es la probabilidad de k exitos.

tenemos que:

n = 1

P(0) = q = 5/6

P(1) = p = 1/6

Si hacemos dos pruebas, encontraremos lo siguiente:

n = 2

Primera prueba

Segunda prueba

DescripciónNúmero de éxitos

Probabilidad primera prueba

Probabilidad segunda prueba

Probabilidad de las dos pruebas

q q Pierde las dos pruebas 0 5/6 5/6 25/36

p qGana la primera y pierde la segunda

1 1/6 5/6 5/36

q p Pierde la primera y gana la 1 5/6 1/6 5/36

segunda

p p Gana las dos pruebas 2 1/6 1/6 1/36

Tendremos cuatro diferentes formas de obtener resultados, estas cuatro formas las vemos en la columna "descripción" de la

tabla anterior.

La probabilidad para cada resultado, se calcula multiplicando las probabilidades del resultado de cada prueba, dado que estas

son independientes.

El número de "éxitos" lo hacemos contando las "p" de cada línea.

Así podemos calcular la probabilidad desde cero hasta 2 éxitos.

Observa que para la P(1) sumamos dos veces cinco sextos que se encuentran en los renglones verdes de la tabla anterior.

Así podemos calcular la probabilidad desde cero hasta 2 éxitos.

Observa que para la P(1) sumamos dos veces cinco sextos que se encuentran en los renglones verdes de la tabla anterior.

Los resultados en la siguiente tabla.

P(0)= 25/36

P(1)= 2(5/36)=10/36=5/18

P(2)= 1/36

Podemos poner la probabilidad en decimales.

P(0)= 25/36 = 0.694444444

P(1)= 5/18 = 0.277777777

P(2)= 1/36 = 0.02777777

Y hacemos su gráfica:

Ahora calcularemos lo mismo con la fórmula de distribución binomial.

Sustituimos con n = 2 y k = 0:

2! entre 2! es igual a uno.

Por definición 0! es igual a uno

1/6 elevado a la cero es uno.

Sustituimos con n = 2 y k = 1:

Sustituimos con n = 2 y k = 2: