Funciones de Bessel.

1. Funcin generatriz y desarrollo en serie.

1. Al igual que los polinomios de Legendre las funciones de Bessel de primeraespecie se pueden introducir a travs de una funcin generatriz.

g(x, t) = ex

2(t 1

t) =

n=n=

Jn(x)tn (1)

Notese que entendemos las funciones de Bessel como los coeficientes, que de-penden de x, de una serie en la variable t. A diferencia de los polinomios deLegendre, esta serie no es una serie de Taylor sino de Laurent pues contienepotencias negativas.

2. Expandiendo el producto de las dos exponenciales podemos llegar expresionesen forma de serie de Taylor:

ext

2 ex

2t =r=0

xrtr

2rr!

s=0

(1)sxsts

2ss!=

r=0

s=0

(1)s

r!s!

(x2

)r+strs (2)

Para poder identificar este producto con la serie en (1) haremos el cambio dendice n = r s o equivalentemente r = n + s y r + s = n + 2s. Sustituyendoobtenemos:

n=n=

s=0

(1)s

s!(n + s)!

(x2

)n+2stn (3)

Jn(x) =

s=0

(1)s

s!(n + s)!

(x2

)n+2s=

xn

2nn!

xn+2

2n+2(n + 2)!+ . . . (4)

2. Relaciones de Recurrencia

Podemos deducir relaciones de recurrencia similares a las encontradas para lospolinomios de Legendre de la siguiente forma:

dg(x, t)

dt=

1

2x(1 +

1

t2)g(x, t) =

1

2x(1 +

1

t2)n=0

Jn(x)tn =

n=0

x

2Jn(x)(t

n + tn2 (5)

Por otro ladodg(x, t)

dt=

n=0

nJn(x)tn1 (6)

1

Igualando trminos en tn en ambas expresiones llegamos a

Jn1(x) + Jn+1(x) =2n

xJn(x) (7)

Podemos encontrar una segunda relacin de recurrencia derivando con respecto ax:

dg(x, t)

dx=

1

2(1

1

t)g(x, t) =

1

2(1

1

t)

n=n=

Jn(x)tn (8)

por otro lado

dg(x, t)

dx=

n=0

J n(x)tn (9)

Igualando trminos en tn en ambas expresiones llegamos a:

Jn1(x) Jn+1(x) = 2J

n(x) (10)

Sumando y restando las dos relaciones de recurrencia obtenemos:

Jn1(x) =n

xJn(x) + J

n(x) (11)

Jn+1(x) =n

xJn(x) J

n(x) (12)

3. Propiedades.

1. Las funciones de Bessel no son polinomios. Su serie de Taylor tiene infinitostrminos.

2. Para x 0

3.Jn(x) = (1)

nJn(x) (14)

Esto se puede demostrar haciendo

Jn(x) =s=0

(1)s

s!(s n)!

(x2

)2sn(15)

2

Las contribuciones a la serie para valores s = 0, . . . , n 1 son cero. As quepodemos hacer el cambio s s + n

Jn(x) =

s=0

(1)s+n

(s + n)!s!

(x2

)2s+n= (1)nJn(x) (16)

4. La paridad de las funciones de Bessel est bien definida:

Jn(x) = (1)nJn(x) (17)

Esto se puede comprobar de la siguiente forma:

g(x,t) = ex

2(t+ 1

t) =

n=n=

(1)nJn(x)tn (18)

que por otro lado es igual a:

g(x,t) = ex

2(t+ 1

t) = e

x

2(t 1

t) =

n=n=

Jn(x)tn (19)

5.J 0(x) = J1(x) (20)

Es un caso particular de la segunda relacin de recurrencia.Ejercicio Demuestralo

6. Si sustituimos t = ei en la funcin generatriz:

g(x, ei) =n=n=

Jn(x)ein = e

x

2(eiei) = eix sin (21)

de donde concluimos que

eix sin =n=n=

Jn(x)ein (22)

7. Del mismo modo si sustitiuimos t = iei

g(x, iei) =

n=n=

Jn(x)inein = e

x

2(iei(iei)1) = e

ix

2(ei+ei) = eix cos (23)

y por tanto:

3

eix cos =

n=n=

inJn(x)ein (24)

de esta propiedades puede venir un justificacin fsica de la funcin generatriz.

Consideremos la onda plana en d=3 propagandose a lo largo de un eje perpen-dicular al eje z. En coordenadas cilndricas escribiremos

ei~k~r = eikr cos (25)

renombrando x = kr tenemos la expansin de una onda plana (propagandoseperpendicularmente al eje de la cilndricas) en ondas cilndricas

eix cos n=n=

inJn(kr)ein (26)

4. Representacin Integral.

Las funciones de Bessel admiten la siguiente representacin integral.

Jn(x) =1

pi

0

cos(n x sin )d (27)

Para demostrar que esta definicin es equivalente a otras que hemos estudiadopodemos utilizar las ecuaciones(14) (22) y (24) para escribir:

cos(x sin ) = J0(x) + 2

n=1

J2n(x) cos(2n) (28)

sin(x sin ) = 2

n=1

J2n1(x) sin [(2n 1)] (29)

(30)

Usamos la expresin para el coseno del ngulo resta.

Jn(x) =1

pi

0

cos(n x sin )d (31)

=1

pi

0

cos(n) cos(x sin )d +1

pi

0

sin(n) sin(x sin )d (32)

4

Usando las expresiones (30)

Jn(x) =1

pi

0

cos(n)

[J0(x) + 2

m=1

J2m(x) cos(2m)

]d (33)

+1

pi

0

sin(n)2

m=1

J2m1(x) sin [(2m 1)] d (34)

y de la ortogonalidad de la base de Fourier vemos que para n par contribuyesolamante la primera integral y para n impar la segunda. De ello deducimos que

Jn(y) =

{1

0cos(n) cos(y sin )d n par

1

0sin(n) sin(y sin )d n impar

(35)

Esto completa la demostracin. Por consiguiente se puede afirmar que:

Jn(x) =1

pi

0

cos(n x sin )d (36)

Ejercicio: Comprueba la ecuacin (14) utilizando la representacin integral

Jn(y) =

{1

0cos(n) cos(y sin )d n par

1

0sin(n) sin(y sin )d n impar

(37)

Jn(y) =

{Jn(y) n parJn(y) n impar

(38)

Ejercicio: Comprobar la segunda relacin de recurrencia utilizando la represen-tacin integral. Por un lado:

J n(y) =1

pi

0

ycos(n y sin )d (39)

=1

pi

0

sin(n y sin )( sin )d (40)

Por otro lado:

Jn1(y) =1

pi

0

cos(n y sin )d (41)

=1

pi

0

[cos(n y sin ) cos sin(n y sin ) sin )] d (42)

La combinacin

Jn1(y) Jn+1(y) =2

pi

0

sin(n y sin ) sin d (43)

cancela el trmino que es producto de cosenos.Por tanto se cumple que J

n(y) = 1

2(Jn+1(y) Jn1(y))

5

5. Ecuacin de Bessel.

1. Utilizando las relaciones de recurrencia llegamos a la ecuacin diferencial ordi-naria:

x2d2Jn

dx2+ x

dJn

dx+ (x2 n2)Jn = 0 (44)

Que es la ecuacin de Bessel. Sus soluciones dependen del ndice n. Las funcionesde Bessel tal como las hemos definido con la funcion generatriz satisfacen laecuacin de Bessel.

2. Si dividimos la ecuacin por x, el operador que genera la ecuacin de Bessel esautoadjunto. Para ello hay que redefinir el producto escalar adecuadamente.

3. Con la ecuacin escrita en su forma cannica

d2Jn

dx2+

1

x

dJn

dx+ (1

n2

x2)Jn = 0 (45)

Obsevamos que x=0 es un punto singular. Es de esperar que existan solucionesque diverjan en ese punto. De hecho, las funciones de Bessel de segunda especie,o funciones de Neumann, son tambien soluciones de la ecuacin de Bessel lineal-mente independientes con las funciones de Bessel de primera especie y divergenen x=0.

4. Partiendo de (45) y despreciando los trminos subdominantes para x >> 1recuperamos la ecuacin del oscilador armnico simple luego esperamos que lassoluciones de la ecuacin de Bessel sean oscilatorias, no periodicas, pero que seaproximen asintoticamente a oscilaciones armnicas para valores de x grandes.

5. Como veremos ms adelante, la ecuacin de Bessel aparece al aplicar el metodode separacin de variables a la ecuacin de autovalores del Laplaciano en coorde-nadas polares. Versiones modificadas de esta ecuacin aparecen en coordenadascilndricas y esfricas.

6. En estas aplicaciones es habitual considerar como intervalo de definicin unrecinto finito [0, a] con condiciones de contorno homogeneas en x = a. Es impor-tante saber resolver ecuaciones de la forma Jn(a) = 0 J

n(a) = 0, o lo que eslo mismo conocer, los valores del m-simo cero de la funcin de Bessel de ordenn xnm(Jn(xnm) = 0) y de la derivada de la de la funcin de Bessel de ordenn x

nm(J

n(x

nm= 0). Los ceros de las funciones de Bessel y de sus derivadas

se pueden encontrar en libros de tablas y tambin en los libros de ecuacionesdiferenciales de la bibliografa.

6

Figura 1: Representacin de las cinco primeras funciones de Bessel. Son funciones oscilantes

pero no peridicas.

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