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Benemerita Universidad Autonoma de Puebla F.C.C

Logica Matematica

M.C Alfonso Garces Baez

Notas del curso

Julio - 2003

2


Indice

1 Calculo de proposiciones.1.1 Semantica para el calculo de proposiciones.

Tablas de certeza

Conectivos

Pruebas de tautologıa y de contradicciones

Formas normales conjuntiva y disyuntiva

2 Calculo de predicados.2.1 Teorıa formal para el calculo de predicados.

Axiomas y pruebas

Teorema de deduccion

Interpretaciones

Satisfactibilidad y modelos

Formas normales

2.2 Sintaxis para el calculo de predicados.

Teorema formal axiomatico

Pruebas y teoremas

Teorema de deduccion

Teorema de completez y de coincidencia

3 Resolucion de problemas3.1 Tecnicas de resolucion de problemas

Procedimiento de herbrand

Resolucion y unificacion

Clasificacion de problemas

3.2 Programacion logica

Resolucion de problemas


Formalizacion de enunciados

La formalizacion de enunciados consiste en llevar:

De: A:Lenguaje usual Lenguaje formal

Enunciados simples Proposiciones presentadas por letras (p,q,r, ... A,B,C)

Los Conectivos son elementos que nos permiten construir frases o enun-ciados (proposiciones compuestas) a partir de otras frases (proposiciones sim-ples). Tales elementos son: ¬, →, ←, ↔, ∨, ∧ por citar algunos

La Conjuncion: se define de tal manera que la proposicion logica esVERDADERA si y solo si todas las componentes son VERDADERAS. Elsımbolo para la conjuncion es: ∧p ∧ q Se lee como p y q.

En el lenguaje natural hay mas formas para denotar una conjuncion, porejemplo:Llueve y me mojoLlueve, sin embargo me mojoA la vez, llueve y me mojoLlueve, no obstante me mojo

p q p ∧ qV V VV F FF V FF F F

Tabla de valores de certeza para la conjuncion

La disyuncion se define de tal modo que la proposicion logica es VER-DADERA si una o mas de las componentes son VERDADERAS. El sımbolopara la disyuncion es: ∨

p ∨ qSe lee como p o q. Obviamente hay mas formas de interpretar una disyun-cion, por ejemplo:Arriba o abajoAl menos uno de los dos


Como mınimo uno de dos

p q p ∨ qV V VV F VF V VF F F

Tabla de valores de certeza para la disyuncion

La condicional se define de tal manera que el unico caso en donde esFALSA es cuando el antecedente (p) tiene un valor logico de VERDAD y elconsecuente (q) tenga el valor logico de FALSO. El sımbolo utilizado paradenotar una condicional es →

(p→ q) o p⇒ qSe leen como Si p entonces q. A continuacion se daran unos ejemplos:Si son las 7:00, nos vamosSi son las 7:00 entonces nos vamosNos vamos si son las 7:00Para irnos, es necesario que sean las 7:00Las 7:00 es suficiente para que nos vayamos

p q p→ qV V VV F FF V VF F V

Tabla de valores de certeza para la condicional

La bicondicional se define de tal manera que: Dadas dos proposicionesp y q, se llama bicondicional de p y q, (Se utiliza el sımbolo ↔) p⇔ q, a laproposicion que dice p→ q y q → p.p ⇔ q es VERDADERA cuando p y q son VERDADERAS o FALSAS si-multaneamente. Y se lee: si y solo siVamos al cine si y solo si no llueveSi y solo si no llueve, vamos al cine


p q p⇔ qV V VV F FF V FF F V

Tabla de valores de certeza para la bicondicional

La negacion invierte los valores logicos, eso significa que si p es VERDA-DERA, entonces ¬p sera FALSA. La negacion se representa con el sımbolo:¬ o con el sımbolo:

Veamos ahora unos ejemplos:No llueveEs falso que llueveNo es cierto que llueve

p ¬pV FF V

Tabla de valores de certeza para la negacion

Antecedentes para el calculo formal de proposiciones

Se llama proposicion a la unidad minıma de un lenguaje; un lenguaje esun sistema; un sistema es un conjunto de elementos relacionados entre sı conun objetivo comun.

Si lo que pensamos coincide con la realidad entonces decimos que eso quepensamos tiene valor de certeza o que es verdadero; en caso contrario es falso.

Al establecer algo como cierto, como un hecho o simplemente algo dado,decimos que tiene valor de certeza verdadero (V), en caso contrario tienevalor de certeza falso (F)

Nomenclatura:p, q, r, s, ... Son variables proposicionales.A, B, C,D, ... Son proposiciones especıficas

El valor de certeza de las expresiones proposicionales, dependera del valorde certeza de sus componentes (principio de la composicionalidad).


Formas proposicionales

Definicion:Una forma proposicional es una expresion formada por conectivos y pro-posiciones, las siguientes son formas proposicionales:1.- (A) Las variables proposicionales por si solas.2.- (A ∨B), (A ∧B), (A→ B), (A↔ B), (¬A), (¬B)3.- No hay otras formas proposicionales.

Definicion:Una tabla de certeza es una funcion cuyos argumentos son variables pro-posicionales y cuyo valor resultante es un valor de certeza V o F. Para sabercuantos valores de certeza existen para una funcion con n variables, simple-mente se evalua 2n donde n es el numero de variables.

Por ejemplo:Con 1 variable proposicional p tendremos 2 valores de certezap f(p)V VF F

Sabemos que son 2 valores de certeza porque: (2n = 21 = 2)

Con 2 variables proposicionales p, q tendremos 4 valores de certeza (digaporque)p q f(p,q)V V *V F *F V *F F *

Definicion:Una forma proposicional es una tautologıa si tiene valor de certeza VER-DADERO para cualquier asignacion de valores de certeza a sus variablesproposicionales.Si tiene valor de certeza FALSO para cualquier asignacion de valores de cer-teza de sus variables proposicionales es una contradiccion.

Definicion:Sean A y B formas proposicionales, se dice que A implica logicamente a B


si A→ B es una tautologıaPruebe si (p→ q)↔ (¬q → ¬p) Es una tautologıa mediante tablas de verdad

p q ¬q ¬p p→ q ¬q → ¬p (p→ q)↔ (¬q → ¬p)V V F F V V VV F V F F F VF V F V V V VF F V V V V V

Por lo tanto (p→ q)↔ (¬q → ¬p) es una TAUTOLOGIA.

Se dice que A es logicamente equivalente a B si A↔ B es una tautologıa.

Como ejercicio, pruebe que (p→ q) es logicamente equivalente a:(¬q → ¬p)

Veamos ahora que (¬p∨ q) es logicamente equivalente a (p→ q) y que esuna tautologıa dicha equivalencia

p q ¬p ¬p ∨ q p→ q (¬p ∨ q)↔ (→ q)V V F V V VV F F F F VF V V V V VF F V V V V

Por lo tanto (¬p ∨ q)→ (p→ q) es una tautologıa.

Sera cierto que p→ (q → p)?Observe las tablas de verdad y diga si es cierto o no.p q q → p p→ (q → p)V V V VV F V VF V F VF F V V

Por lo tanto (p→ (q → p)) es una tautologıa.

Se recomienda que haga el siguiente ejercicio:Diga si es o no una tautologıa la siguiente proposicion logica:((¬p)→ (¬q))→ (q → p)


Proposicion.Sea A una forma proposicional cualquiera y P1, P2, P3, ..., Pn variables pro-posicionales que ocurren en A y sean A1, A2, ..., An cualesquiera formas pro-posicionales.Si A1 es una tautologıa, la forma proposicional B que se obtiene de reempla-zar P1 por A1 tambien es una tautoloıa.

Proposicion.Sean A y B dos formas proposicionales tal que:¬(A ∧B) es logicamente equivalente a:(¬A ∨ ¬B) y¬(A ∨B) es logicamente equivalente a:(¬A ∧ ¬B)

Demostracion:Sea C la forma proposicional: ¬(P1 ∧ P2)↔ (¬P1 ∨ ¬P2) que es una tauto-logıa.Por la proposicion anterior, tenemos que:D = ¬(A ∨ B) ↔ (¬A ∧ ¬B) tambien es una tautologıa y por lo tanto:¬(A ∨B) es logicamente equivalente a ¬A ∧ ¬B

Formas normales conjuntiva y disyuntiva

Una forma proposicional es restringida si y solo si se utilizan los conecti-vos: ∧ (conjuncion), ∨ (disyuncion), ¬ (negacion).

Sea A una forma proposicional restringida y A∗ una forma proposicionalque se obtiene de reemplazar los conectivos ∧ por ∨ y de sustituir las varia-bles proposicionales Pi por su negacion ¬ Pi

Entonces A∗ es logicamente equivalente a (¬A).

Ejemplo: SeaA = (¬A ∧ ¬B) ∨ AA∗ = ¬(¬A) ∨ ¬(¬B) ∧ ¬A= (A ∨B) ∧ ¬AEntonces:


A∗ ≡ ¬A

Sea¬A = ¬[(¬A ∧ ¬B) ∨ A]= ¬(¬A ∧ ¬B) ∧ ¬A= (A ∨B) ∧ ¬A

Proposicion:Sean A1 (1 ≤ i ≤ n) formas proposicionales, entonces:

1.- ∨mi=1(Ai) = A1 ∨ A2 ∨ ... ∨ Am es logicamente equivalente a:

¬(∧mi=1(Ai)) = ¬(¬A1 ∧ ¬A2 ∧ ... ∧ ¬Am)

2.- ∧mi=1(Ai) = A1 ∧ A2 ∧ ... ∧ Am es logicamente equivalente a:

¬(∨mi=1(Ai)) = ¬(¬A1 ∨ ¬A2 ∨ ... ∨ ¬Am)

Corolario:Toda forma proposicional que no es contradiccion es logicamente equivalentea una forma proposicional restringida de la forma: (∨m

i=1(∧nj=1Pij))

En donde cada Pij es una variable proposicional o la negacion de una variableproposicional.Dicha forma es llamada Forma Normal Disyuntiva (FND).

Toda forma proposicional que no es una tautologıa es logicamente equi-valente a una forma proposicional restringida de la forma: (∧m

i=1(∨nj=1))

En donde cada Pij es una variable proposicional o la negacion de una variableproposicional.Dicha forma es llamada Forma Normal Conjuntiva (FNC).

Proposicion. Toda expresion formada como una tabla de certeza esta de-terminada por una forma proposicional restringida. Por ejemplo:


P1 P2 P3 f(P1, P2, P3)V V V FV V F VV F V FV F F VF V V FF V F VF F V FF F F V

Donde: f(P1, P2, P3) =(¬P1∧¬P2∧¬P3)∨(¬P1∧¬P2∧¬P3)∨(¬P1∧¬P2∧¬P3)∨(¬P1∧¬P2∧¬P3)(FND)

Ejercicio: Encontrar las formas normales (conjuntiva y disyuntiva) de:1.- (p↔ q)(p↔ q) es logicamente equivalente a (p→ q) ∧ (q → p)De lo cual sabemos que:(p→ q) es logicamente equivalente a (¬p ∨ q) y que:(q → p) es logicamente equivalente a (¬q ∨ p)Entonces:(p↔ q)↔ ((¬p ∨ q) ∧ (¬q ∨ p)) FNC(p↔ q)↔ ((p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ ¬p)) FND

ejercicio:Encuentre la forma normal conjuntiva y disyuntiva1.- (((p→ q)→ r)→ s)(¬(¬(¬p ∨ q) ∨ r) ∨ s)(¬(p ∧ ¬q) ∨ r) ∨ s)((¬p ∧ ¬r) ∨ (q ∧ ¬r)) ∨ sFND

Argumentacion y validez

Definicion:Sea A1, A2, A3...An tal que A es una forma argumentativa donde Ai con1 ≤ i ≤ n y A son formas proposicionales. Si es probable asignar a la formaproposicionales Ai valores de certeza verdadero y a la forma proposicional A


valor de certeza falso entonces la forma argumentativa es invalida; en casocontrario es valida.

Ejemplo:(p→ q, q → r, p) Por lo tanto r1.- Analizar los valores de certeza que pueden ser asignados a las variablesproposicionales de A (conclusion) cuando r es falsa2.- Buscar la Ai donde ocurren las (n) variables proposicionales que ya tienenvalores asignadosA2 = ¬q ∨ r q es falso¬p ∨ q es falsa¬q ∨ r es falsap es falsaPor lo tanto: r es falsa entonces: La forma argumentativa es valida.

Ejercicio:Diga si la siguiente forma es valida o invalida:((¬p1) ∨ p2), (p1 → (p3 ∧ p4)), (p4 → p2) Por lo tanto: (p2 ∨ p3)Si consideramos lo siguiente:A1 = ((¬p1) ∨ p2)A2 = (p1 → (p3 ∧ p4))A3 = (p4 → p2)A = (p2 ∨ p3)

En forma de proposiciones logicas tendrıamos:((¬p1) ∨ p2)(p1 → (p3 ∧ p4))(p4 → p2)Por lo tanto:(p2 ∨ p3)

Para determinar la validez o invalidez de esta argumentacion Supondre-mos que el consecuente es falso (A)y que todas las premisas (A1, A2, ...An)son verdaderas.Si es posible hacer eso asignando valores de verdad; se dira que la agumen-tacion es invalida o No valida.1.- (p2 ∨ p3) es falso2.- p2 es falso


3.- p3 es falso4.- ¬p1 ∨ p2 es verdadero5.- p1 es falso5.- p1 → (p3 ∧ p4) es verdadero6.- p4 es falso7.- p4 → p2 es verdadero

Como fue posible hacer que todas las premisas sean verdaderas y el con-secuente falso, se dira que la forma argumentativa es invalida

Calculo formal de proposiciones

Sin perdida de generalidad, este calculo utiliza solo los conectivos: ¬ y→Los elementos del calculo formal de proposiciones son 4 y se listan a conti-nuacion:

Alfabeto de sımbolos Los sımbolos utilizados son: ¬,→, (, ), p1, p2, ...pn

Formulas bien construidas (fbc’s) Las cuales son:

• a) Cualquier variable proposicional p1, p2...

• b) ¬A, (A→ B) donde A y B son fbc’s

• c) Solo son fbc’s las mencionadas en los puntos anteriores.

Axiomas sean A, B y C

• a) (A→ (B → A))

• b) ((A→ (B → C))→ ((A→ B)→ (A→ C)))

• c) ((¬A→ ¬B)→ (B → A))

• d) ((¬A→ ¬B)→ ((¬A→ B)→ A))

Regla de inferencia

Definicion:Una demostracion en L es una secuencia de fbc’s A1, A2, ...An donde Ai1 ≤i ≤ n es:- Un axioma de L


- Es consecuencia de otras fbc’s por aplicacion de Modus PonensA la secuencia de Ais se le llama Prueba de An

Notacion: `L An

Ejemplo:`L A→ A1.- (A→ ((A→ A)→ A)2.- (A→ ((A→ A)→ A)→ ((A→ (A→ A))→ (A→ A)))3.- ((A→ (A→ A))→ (A→ A)) por M.P de 1 y 24.- (A→ (A→ A)) por el Axioma 15.- (A→ A) por M.P de 3 y 4

Definicion:Sea Γ un conjunto de fbc’s y Ai1 ≤ i ≤ n una secuencia de fbc’s. EntoncesAn es deducible a partir de Γ si cada Ai es:- Un axioma- Consecuencia de los Ais anteriores- Una fbc de Γ

Notacion: Γ `L An

Ejemplo:A, A→ B, B → C `L C1.- A hipotesis2.- A→ B hipotesis3.- B → C hipotesis4.- B de M.P de 1 y 25.- C de M.P de 3 y 4

Demostrar:`L ((p1 → p2)→ (p1 → p1))1.- (p1 → (p2 → p1))2.- ((p1 → (p2 → p1))→ ((p1 → p2)→ (p1 → p1)))3.-((p1 → p2)→ (p1 → p1)))

Teorema de la deduccion


Sean A y B cualesquiera fbc’s de L y Γ un conjunto de fbc’s (posible-mente vacıo), si Γ ∪ A ` B entonces Γ ` (A→ B)

Demostracion:Queremos demostrar que Si B es deducible de Γ ∪ A entonces (A → B) esdeducible de ΓComo B es deducible de Γ∪A quiere decir que existe una secuencia: B1, B2, ...Bn

tal que Bn = B y ademas Γ ∪ A : B1, B2, ...Bn = BB1(1 ≤ i ≤ n) puede ser:a) Bi es un axiomaBi ∈ Γ ∪ A es decir: Bi es una hipotesisb) (Bi ∈ Γ) oc) (Bi ∈ A)d) Bi es consecuencia de dos o mas fbc’s anteriores Bj y Bk por aplicacionde M.P donde...∗1 → Bj

.

.

.∗2 → Bk

.

.

.Bi... por M.P de ∗1 y ∗2...Bn

Demostracion por induccion sobre el ındice iCaso Base: i = 1Queremos demostrarSi Γ ∪ A ` (B = B1) entonces Γ ` (A→ (B = B1))Como Γ ∪ A { B1 = B nos limitamos a analizar los casos a), b) y c)


Para a) y b) tenemos que:1.- Γ1 ` (A1 6= A)2.- B1 → (A→ B1) por Lema 13.- Γ ` (A→ B1) por M.P de 1 y 2

Para c) tenemos que:1.- Γ ` (B1 = A)Ahora tenemos que probar que: Γ ` (A → A) pero ya se demostro que:(` A→ A) por lo tanto Γ ` (A→ AΓ = ∅ Γ ` (A→ Bi

El caso base (i = 1) quedo demostrado.

Hipotesis de induccion. Suponemos que se cumple:Si Γ ∪ A ` Bn−1 entonces Γ ` (A→ Bn−1)Caso general i = nProcedemos en los casos a) y b) como se hizo para el caso i = 1Γ ` (A→ Bn)Igualmente para c) Γ ` (Bn → Bn)Para d) tenemos:Sabemos por hipotesis de induccion: Γ ` (A→ Bn−1)Como j, k < i entonces:1.- Γ ` (A→ Bj) y Γ ` (A→ bn)Como Bn = (Bj → Bi) tenemos2.- Γ ` (A→ (Bj → Bi)Por el Lema 23.- (A→ (Bj → Bi))→ ((A→ Bj)→ (A→ Bi))4.- Γ ` ((A→ Bj)→ (A→ Bi)) por M.P de 2 y 35.- Γ ` (A→ Bi) por M.P de 1 y 4i = nΓ ` (A→ Bn)Finalmente: Como Bn = B)Si Γ ∪ A ` B entonces Γ ` (A→ B)

Ejemplo, Demostrar que:{(A→ B), (B → C)} ` (A→ C)1.- (A→ B) hipotesis ∈ Γ2.- (B → C) hipotesis ∈ Γ3.- A hipotesis


4.- B M.P de 1 y 35.- C M.P de 4 y 26.- {(A→ B), (B → C)} ∪ A ` C por 1, 2, 3 y 57.- {(A→ B), (B → C)} ` (A→ C)Por el teorema de la deduccion (TD)

Demostrar que:` (¬A→ (A→ B))1.- ¬A2.- ¬A→ (A→ B) por el Lema 13.- ¬B → ¬A4.- (¬B → ¬A)→ (A→ B) por 1.35.- A→ B por M.P de 3 y 46.- ` (¬A→ (A→ B)) por T.D

1.- ¬A2.- A3.- ¬A→ (¬B → ¬A) Lema 14.- A→ (¬B → A) Lema 15.- (¬B → ¬A) M.P de 1 y 36.- (¬B → A) M.P de 2 y 47.- ((¬B → ¬A)→ ((¬B → A)→ B)) Lema 3’8.- (¬B → A)→ B M.P 5 y 79.- (B) M.P 6 y 710.- {¬A, A} ` B Por 1 y 211 {¬A} ` (A→ B) por T.D12.- ` {(¬A→ (A→ B))} por T.D

Propocicion:Para cualquiera A y B fbc’s y un etiquetado Γ (posiblemente vacıo) de fbc’sde LSi Γ `L (A→ B) entonces Γ ∪ A `L B

Definicion:Una valuacion de L es una funcion υ cuyo dominio es el conjunto de las fbc’sde L y cuyo rango es el conjunto {V, F} tal que para cualquier fbc’s A y Bde L:1.- υ(A) 6= υ(¬A)


2.- ¬(A→ B) = F si y solo si υ(A) = V y υ(B) = F

Definicion:Una fbc A de L es una tautologiıa si para toda valuacion υ, υ(A) = V

Teorema de solidez (TS)Todo teorema de L es una tautologıa

Teorema de Completez

Toda tautologıa de L es un teoremaPor lo tanto todo teorema de L↔ es tautologıa.

Hay otras axiomatizaciones para el calculo proposicional, una muy cono-cida es la axiomatizacion de Kleen que consiste de lo siguiente:K1 ` (A→ (B → A))K2 ` (A→ B)→ ((A→ (B → C))→ (A→ C))K3 ` A→ (B → A ∧B)K4 ` (A ∧B)→ A o ` (A ∧B)→ B Regla de simplificacionK5 ` A→ (A ∨B) o ` B → (A ∨B) Regla de adicionK6 ` (A→ C)→ ((B → C)→ ((A ∨B)→ C))K7 ` (A→ B)→ ((A→ ¬B)→ ¬A)K8 ` ¬¬A→ A

Demostrar:

a) ` ¬¬B → B1.-(¬B → ¬¬B)→ ((¬B → ¬B)→ B) por Lema 32.- ¬B → ¬B por ` A→ A3.- (¬B → ¬¬B)→ B4.- ¬¬B → (¬B → ¬¬B) por Lema 15.- ¬¬B → B por M.P de 3 y 4

b)` A→ ¬¬A

c){A→ (B → C), B} ` A→ C1.- A Hipotesis


2.- A→ (B → C) Hipotesis3.- B Hipotesis4.- (B → C) M.P de 1 y 25.- C M.P de 3 y 46.- {A→ (B → C), B} ` C por 1,2,3 y 57.- A→ (B → C), B ` A→ C por T.D

d)(B → ¬¬B)1.- (¬¬¬B → ¬B)→ (B → ¬¬B) por Lema 32.- (¬¬¬B → ¬B) por (¬¬B → B)3.- (B → ¬¬B)

Hemos demostrado:a) `L (A→ A)b) (A, A→ B, B → C) `L Cc) (A→ B, B → C) `L (A→ C)d) `L ¬A→ (A→ B)e) `L ¬¬B → Bf) {A→ (B → C), B} `L A→ Cg) `L B → ¬¬B

Por demostrar:h) `L (¬A→ ¬B)→ (B → A)1.- ¬A→ ¬B por Hipotesis2.- ((¬A→ ¬B)→ ((¬A→ B)→ A)) por Lema 33.- (¬A→ B)→ A por M.P de 1 y 24.- B → (¬A→ B) por Lema 15.- B → A por transitividad

i) `L (¬A→ ¬B)→ ((¬A→ B)→ A)1.- ¬A→ ¬B por Hipotesis2.- ¬A→ B por Hipotesis3.- (¬A→ ¬B)→ (B → A) Lema 34.- B → A por M.P de 2 y 35.- ¬A→ A por c) de 1 y 46.- (¬A→ A)→ A por demostrar en el inciso h’7.- A por M.P de 5 y 68.- ¬A→ B,¬A→ ¬B ` A9.- ¬A→ ¬B ` (¬A→ B)→ A por T.D


10.- ` (¬A→ ¬B)→ ((¬A→ B)→ A) por T.D

h’) `L ((¬A→ A)→ A)1.- (¬A→ A) por Hipotesis2.- (¬A→ ¬A) por A→ A3.- (¬A→ ¬(¬A→ A))→ (¬A→ A)→ A por Lema 34.- (′negA→ ¬A)→ ((¬A→ A)→ A) porque:¬(¬A→ A) ≡ ¬(A ∨ A)¬(A ∨ A) ≡ (¬A ∧ ¬A)(¬A ∧ ¬A) ≡ ¬A5.- (¬A→ A)→ A por M.P de 2 y 46.- A por M.P de 1 y 57.- {¬A→ A} ` A por 1 - 68.- (¬A→ A)→ A por el T.D

`L (A→ B)→ ((¬A→ B)→ B)1.- ¬A→ B por Hipotesis2.- A→ B por Hipotesis3.- (A→ B)→ (¬B → ¬A) por I)4.- ¬B → ¬A por M.P de 2 y 35.- (¬A→ B)→ (¬B → ¬¬A) por I)6.- ¬B → ¬¬A por M.P de 5 y 17.- (¬B → ¬¬A)→ ((¬B → ¬A)→ B) por el Lema 38.- (¬B → ¬A)→ B por M.P de 6 y 79.- B por M.P de 4 y 810.- A→ B,¬A→ B ` B por T.D11.- A→ B ` (¬A→ B)→ B por el T.D12.- ` (A→ B)→ ((¬A→ B)→ B) por el T.D

I) `L (A→ B)→ (¬B → ¬A)1.- A→ B por Hipotesis2.- (¬¬A→ ¬¬B)→ (¬B → ¬A) por Lema 33.- A→ ¬¬B por (B → ¬¬B)4.- ¬¬A→ ¬¬B por (¬¬A→ A)5.- ¬B → ¬A por M.P de 2 y 46.- (A→ B) ` (¬B → ¬A)7.- ` (A→ B)→ (¬B → ¬A) por T.D


Teorema de Solidez

Todo teorema de L es una tautologıa.

Demostracion:Todo teorema de L tiene una prueba, es decir, una secuencia de fbc’s B1, B2, ..., Bn

donde Bn es el teorema:donde Bi con 1 ≤ i ≤ n es un axioma o consecuencia de dos anteriores, poraplicacion de M.P1.- Si es axioma entonces es tautologıa2.- Si es consecuencia de M.P de dos fbc’s por aplicacion de M.P, por laproposicion (∗) sabemos que tambien es tautologıa.

Proposicion:Sean A y B dos fbc’s cualesquiera. Si A y A → B son tautologıas entoncesB es tautologıa, es decir M.P de tautologıas produce tautologıas (∗)

Lema:Sea A una fbc y p1, p2, ..., pn variables proposicionales que ocurren en A.Si asignamos valuaciones a dichas variables, tal que:1 ≤ i ≤ nP ′

i es Pi si υ(Pi) = VP ′

i es ¬Pi si υ(Pi) = FA′ es A si υ(A) = V bajo la asignacionA′ es ¬A si υ(A) = F bajo la asignacionEntonces: P ′

1, P′2, ..., P

′n ` A′

Ejemplo:Sea A′ = ¬(¬P1 → P2)P1 P2 ¬(¬P1 → P2)F F V r1

F V F r2

V F F r3

V V F r4

Para r1 tenemos:P ′

1 = ¬P1

P ′2 = ¬P2

¬P1,¬P2 ` A


P ′1, P

′2 ` A′ = A

Para r2 tenemos:¬P1, P2 ` ¬(¬(¬P1 → P2))

Para r3 tenemos:P1,¬P2 ` ¬(¬(¬P1 → P2))

Para r3 tenemos:P1, P2 ` ¬(¬(¬P1 → P2))

Sobre el Lema anterior P ′1, P

′2, ..., P

′n ` A

P1 P2 ¬(¬P1 → P2) = Ar1 F F Vr2 F V F

V F FV V F

P1P2 = f(P1, P2)Para r1 : ¬P1,¬P2 ` ¬(¬P1 → P2) = A = A′

Para r2 : ¬P1, P2 ` ¬(¬(¬P1 → P2)) = ¬A = A′

Teorema de Completez

Sea A una fbc. Si A es una tautologıa en L, entonces es un teorema

Demostracion:Supongamos que las variables proposicionales P1, P2, ..., Pn ocurren en A, sa-bemos por el lema anterior que existen P ′

1, P′2, ..., P

′n tales que: P ′

1, P′2, ..., P

′n `

A′

Como A es tautologıa υ(A) = V bajo todas las posibles asignaciones de valo-res de certeza a sus variables proposicionales, entonces A′ = A, ahora veamoslos posibles valores para Pn con 1 ≤ kSi υ(Pn′)esV , P ′

n = Pn y P ′1, ..., P

′n−1, Pn ` A (i)

Si υ(Pn′)esF , P ′n = ¬Pn y P ′

1, ..., P′n−1,¬Pn ` A (ii)

Aplicando T.D a (i) e (ii) tenemos:P ′

1, ..., Pk−1 ` (Pk → A) y P ′1, ..., Pk−1 ` (¬Pk → A)

Podemos a partir de las hipotesis (Pk → A) y (¬Pk → A) deducir A?


Hemos demostrado anteriormente que:` (A→ B)→ ((¬A→ B)→ B)de donde sabemos que:` (Pk → A)→ ((¬Pk → A)→ A)Por lo tanto P ′

1, P′2, ..., P

′k−1 ` A

Aplicando el mismo procedimiento para P ′k−1 tenemos

P ′1, P

′2, ..., Pk−2 ` A

Aplicando el procedimiento para n− 2 veces ` APor lo tanto: A es un teorema.

Definicion:Una teorıa L es consistente si para ninguna fbc A se tiene que A y ¬A sonteoremas de la teoria.

Proposion:L es constante

Definicion:Una teorıa L es completa si para toda fbc A se tiene que `L A o bien `L ¬A

En base a los teoremas de completez y solidez, tenemos que:A es una tautologıa en L↔ A es un teorema en L

Definicion:Una fbc se dice que esta en forma clausular si tiene la Forma Normal Con-juntiva (FNC), donde:(A1 ∨ A2 ∨ ... ∨ An) ∧ (A1

1 ∨ A12 ∨ ... ∨ A1

n) ∧ (An1 ∨ An

2 ∨ ... ∨ Ann)

c1 = (A1 ∨ A2 ∨ ... ∨ An)c2 = (A1

1 ∨ A12 ∨ ... ∨ A1

n)...cn = (An

1 ∨ An2 ∨ ... ∨ An

n)ci con 1 ≤ i ≤ n son clausulas.Aj

i puede ser una formula atomica o la negacion de una formula atomica.

Definicion:Una clausula se dice de Horn, si a lo mas tiene una formula atomica (propo-sicion) no negada.


Tipos de clausulas de Horn:

1.- A0 ∨ ¬A1 ∨ ¬A2 ∨ ... ∨ ¬An es equivalente a:A0 ∨ ¬(A1 ∧ A2 ∧ ... ∧ An) es equivalente a:A0 ← (A1 ∧ A2 ∧ ... ∧ An) es equivalente a:A0 ← (A1, A2, ..., An) en donde:A0 es la cabeza y A1, A2, ..., An es el cuerpo.

2.- ¬(A1 ∨ ¬A2 ∨ ... ∨ ¬An) es equivalente a:¬(A1 ∧ A2 ∧ ... ∧ An) es equivalente a:← A1, A2, ..., An

3.- A0 es equivalente a ← Ao Es una afirmacion o hecho.

4.- ← NIL Es una clausula vacıa.

Antecedentes del calculo de predicados

El calculo de predicados es una generalizacion del calculo de proposicio-nes. Este requiere de un Dominio (conjuntos) al cual pertenecen los objetosen cuestion, dicho conjunto se conoce como Dominio del discurso.

Ejemplo: Supongamos que tenemos la siguiente figura:Interpretacion: +---+ | a | +---+ | b | +---+ | c | ---+---+--- Suelo

Predicado Mundo RealA AB BC C

Suelo SueloSobre {(A, B), (C, A), (B, Suelo)}Libre {(C)}

Un predicado puede tener argumentos o no tenerlos. Si no los tiene es unaproposicion, si tiene uno (por ejemplo: color(X)) es una propiedad, si tienedos (por ejemplo: alumno(X,Y)) es una relacion.Al numero de argumentos de un predicado se le conoce como Aridad, ası unarelacion binaria tendra Aridad 2, una ternaria Aridad 3 y ası sucesivamente


hasta la relacion n-aria de Aridad n.Al igual que en el calculo de proposiciones, los valores de certeza son asig-nados dependiendo si lo que se dice esta o no de acuerdo con el mundo real.Por ejemplo, en el caso de los bloques tenemos que: Sobre(A,B) es VERDA-DERO porque (A,B) pertenece al conjunto del Mundo Real. Sobre(B,C) esFALSO porque (B,C) no pertenece al conjunto del Mundo Real.Para referirnos a los elementos del Dominio que cumplen o no un predicado,tenemos dos formas denominadas Cuantificadores.

El cuantificador universal (∀(x)) se utiliza para referirnos a todos loselementos del dominio del discurso.

El cuantificador existencial (∃(x)) se utiliza para referirnos por lo menosa un elemento del dominio del discuro.

Equivalencias:1.- ∀(x)P (x) = ¬(∃(x)¬P (x))2.- ∃(x)P (x) = ¬(∀(x)¬P (x))3.- ¬∀(x)P (x) = ∃(x)¬P (x)4.- ¬∃(x)P (x) = ∀(x)¬P (x)

Ejemplo de formalizacion de un enunciado:”Todos los animales tienen boca”∀(x)(Animal(x)→ TieneBoca(x))∀(x)(¬Animal(x) ∨ TieneBoca(x))¬(∃(x))(Animal(x) ∧ ¬TieneBoca(x))La negacion seria:∃(x)(Animal(x) ∧ ¬(TieneBoca(x))

Analize y diga si es lo mismo:∀(x)(Animal(x)→ TieneBoca(x)) que:∀(x)Animal(x)→ TieneBoca(x)

El alcance del cuantificador es muy importante, si una variable xi esta ba-jo el alcance de un cuantificador se dice que esta ligada en otro caso se diceque esta libre.

Los elementos del lenguaje en L son:


Variables individuales x1, x2, x3, ...Constantes individuales a1, a2, a3, ...Letras de Predicados A1

1, A12, ..., A

21, A

22, ...A

nk

Letras de Funcion f 11 , f1

2 , ..., f 21 , f2

2 , ...fnk

Delimitadores , ( )Conectivos ¬ y →

Cuantificadores ∀ y ∃k es el ındice para distinguir un predicado de otro con el mismo numero deargumentosn es el ındice para distinguir el numero de argumentos

Ejemplo:Supongamos que D = N = {1, 2, 3, ..., n}Funcion sucesor f(x) = x + 1 tal que x ∈ DSuma(x,y)= x + yLa funcion regresa el resultado de la operacion definida.

Definicion:Un termino de L es:1.- Una constante o una una variable individual2.- Si fn

k es una letra funcional de aridad n y (t1, t2, ..., tn) son terminos en-tonces fn

k (t1, t2, ..., tn) es un termino.3.- Un termino en general es aquel generado por las dos definiciones anterio-res.

Definicion:Una formula atomica en L es una letra predical de la forma Ak

n(t1, t2, ..., tn)donde (t1, t2, ..., tn) son terminos.

Definicion:Una formula bien construida (fbc) de L se define como:1.- Cualquier formula atomica.2.- ¬A, A→ B y (∀xi)A si A y B son fbc’s de L y xi es una variable3.- Solo los indicados por los incisos anteriores.

Definicion:Dada una fbc (∀xi)A, decimos que:


La fbc A esta al alcance del cuantificador (∀xi)

EjercicioDetermine como ocurren las variables dentro de las fbc’s siguientes:1.- (∀xi)(∀x2)(A

21(x1, x2)→ A1

1(x2))x1 y x2 ocurren ligadas porque estan al alcance de los cuantificadores2.- (∀x1)(A

21(x1, x2)→ (∀x2)A

11(x2))

x1 es ligadax2 es libre3.- ((∀x1)A

11(x1)→ (∀x2)A

21(x1, x2))

La primera ocurrencia de x1 es ligada y la segunda es libre; x2 es ligada

Definicion:Sea A una fbc de L. Un termino t es libre para xi en A si xi no ocurre libreen A dentro del alcance de algun cuantificador universal de una variable xj

que ocurra en t

Ejercicio:a) t = xj para xi en A1

1(xi)Intuitivamente podemos pensar si es posible sustituir xi por t sin cambiar elsignificado de la formula bien construida (fbc), en este caso el termino xj eslibre para xi

Ejemplos:

1.- El termino xj es libre para xi en A11(xi)

Como es el termino xj para xi en (∀xj)A11(xi)?

Z = xj ademas υ = {xj}El termino xj no es libre para la variable xi en (∀xj)A

11(xi)!

2.- Como es Z = f 21 (x1, x2) para x1 en (∀x2)A

21(x1, x2)→ A1

1(x1)?Z = f 2

1 (x1, x2) ademas υ = {x1, x2}xi = x1

xj = x2 ademas xj /∈ υPor lo tanto: El termino es libres para x1 en la formula.

3.- Como es el mismo termino para x1 en (∃x3)(∀x2)A21(x1, x2)→ A1

1(x1)?(∃x3)(∀x2)A

21(x1, x2)→ A1

1(x1) = ¬(∀x3)(∃x2)¬A21(x1, x2)→ A1

1(x1)


Z = f 11 (x1, x3) ademas υ = {x1, x3}

xi = x1

xj = x2 En este caso respetando el cuantificador ∃ queda como en el ejemploanterior.xj = x3 ademas xj ∈ {x1, x3}Ademas x esta dentro del alcance de x3, el termino f 2

1 (x1, x3) No es librepara x1 en la formula.

Dos reglas adicionales:1) Eliminacion del cuantificador universalde: (∀x)A1

1(x)inferimos: A1

1(ø) donde A es una constanteEjemplo:de (∀x)A3

1(x1, f11 (x), B)

inferimos: A31(a, f1

1 (a), B)2) Introduccion del cuantificador existencial.de A1

1(a)Inferimos: (∃x)A1

1(x)

Ejemplo:De (∀x)A3

1(a, f(a), x)Inferimos: (∃y)(∀x)A3

1(y, f(y), x)

En el calculo de predicados como un lenguaje para la representacion delconocimiento.

Como representamos: Todos los paquetes que estan en la habitacion 27son mas pequeos que los que estan en la habitacion 28Predicados:paquete(x)estaenhabitacion(x, y)(∀x)(∀y)(P (x) ∧ P (y) ∧ estaenhabitacion(x, 27) ∧ estaenhabitacion(y, 28)→maspequeo(x, y)

Como representamos: Cada paquete de la habitacion 27 es mas pequeo queuno de los paquetes de la habitacion 291) (∃y)(∀x)(P (x)∧P (y)∧estaenhabitacion(x, 27)∧estaenhabitacion(y, 29)→maspequeo(x, y))


2)(∀y)(∃x)(P (x)∧P (y)∧estaenhabitacion(x, 27)∧estaenhabitacion(y, 29)→maspequeo(x, y))En este caso, ambas formalizaciones son validas. En lenguaje natural debe-mos eliminar amedades en caso de haberlas.

Definicion:Una interpretacion I de L es un conjunto no vacıo DI , el dominio de I juntocon una coleccion de elementos distintos a1, a2, ..., an ∈ DI una coleccion defunciones fn

i : DI → DI(i > 0, n < 0) y una coleccion de relaciones sobreDI , An

i ⊂ DnI , (i, n > 0)DI 6= Ø

D1I contiene un elemento

D2I contiene dos elementos

.

.

.Dn

I contiene n elmentos

Definicion:Una valuacion en I es una funcion υ del conjunto de terminos de L al con-junto DI que cumple:1.- υ(ai) = ai para cada constante ai ∈ L2.- υ(fn

i (t1, t2, ..., tn)) = fni (υ(t1), υ(t2), ..., υ(tn)) donde fn

i es cualquier sımbo-lo funcion de L y t1, t2, ..., tn cualquier termino de L.

Definicion:Dos ecuaciones υ y υ′ son equivalentes si: υ(x, j) = υ′(x, j)

Definicion:Sea A una fbc de L e I una interpretacion de L.Se dice que una valuacion υ en I satisface a A con base en el cumplimientode:1.- υ satisface la formula atomica An

j (t1, t2, ..., tn) si y solo si:An

j (t1, t2, ..., tn) ∈ InI

2.- υ satisface B si y solo si: υ no satisface ¬B3.- υ satisface B → C si y solo si: υ satisface ¬B o bien υ satisface C4.- υ satisface (∀xi)B si y solo si para cada valuacion equivalente υ′ satisfacea B.


Definicion:Sea A una fbc con variables todas ligadas, entonces se dice que A es una fbccerrada.

Una fbc tiene significado solo cuando se da una interpretacion a los sımbo-los que la componen.

Una fbc cerrada (sin variables libres) puede ser V o F

Una fbc con variables libres establece una relacion en DI lo cual puedesatisfacerse (Verdadera) para algunos valores en el dominio de las variablesy no satisfacerse (Falsa) para otros valores.

Ejemplo:Sea DI = Z+

A21(y, z) interpretada como: y ≤ z

Analizar para que valores se satisface:1.- A2

1(x1, x2)Esta la satisfacen todas las parejas de numeros (a1, a2) tales que a1 ≤ a2

2.-(∀x2)A21(x1, x2)

x1 es libre por lo tanto puede ser cualquier elemento de dominio. Como lafbc es cerrada e interpretada Que numeros satisfacen la fbc? de acuerdo a ladefinicion.Para x2 ∈ Z con x1 = 0 (se trata de una fbc verdadera)3.- (∃x2)(∀x1)A

21(x1, x2)

Para todo elemento de Z hay otro que es menor o igual que el primero(∃x2)(∀x1)A

21(x1, x2) es igual a:

(∀x1)(∃x2)A21(x1, x2) ?

Ejercicios: Interprete las siguientes fbc’s1.- A2

1(f21 (x1, x2), a1)

2.- A21(x1, x2)→ A2

1(x2, x1)3.- (∀x1)(∀x2)(∀x3)[A

21(x1, x2)→ A2

1(x2, x3)→ A21(x1, x3)]

DI = PersonasA2

1(y, z) es interpretado como y detesta a zf 2

1 (y, z) = za1 es Bush


1.-Tanto x1 como x2 son libres f 31 (x1, x2) = x2

A21(x2, Bush)

x2 ∈ DI = {Conjunto de personas que detestan a Bush}

2.- Si x1 detesta a x2 entonces x2 detesta a x1

Parejas (x1, x2) que se detestan reciprocamente

3.- La fbc es cerradaSi x1 detesta a x2 entonces x2 detesta a x3 entonces x1 detesta a x3 es Falso!

Definicion:Una fbc A es una interpretacion I si para toda combinacion A se satisface.A es falsa si no hay evaluacion en I que satisfaga a A.

Definicion:Una fbc A de I es una instancia de sustitucion de una fbc Ai de I si al reem-plazar automaticamente cada subformula de A por variables proposicionalesobtenemos A2

Pasos para convertir una fbc en calculo de predicados a su representacionclausular.1.- Eliminar los conectivos → por ∨2.- Reducir el alcance de los sımbolos de negacion (¬), que afecte solo aformulas atomicas.3.- Renombrar variables, hacer que los cuantificadores liguen a variables uni-cas.4.- Eliminar los cuantificadores existenciales, esto se hara sustituyendo lasvariables cuantificadas existencialmente por constantes (si no esta dentro delalcance del cuantificador universal) o por funciones denominadas funcionesde skolem5.- Expresar la fbc en forma normal Prenex, es decir, colocar todos los cuan-tificadores al frente de la formula.6.- Convertir a FNC (trabajar solo con la matriz, parte de la fbc sin cuanti-ficadores).7.- Eliminar los cuantificadores, se entiende que todas las variables de la fbcestan cuantificadas universalmente.8.- Sustituir los conectivos ∧ por ,9.- Representar la fbc como una lista de clausulas.


Ejemplo:1.- (∀x)[(∃y)A2

1(x, y)→ ¬(∀y)(A22(x, y) ∨ A2

3(y, x))]

Pasos:1.- (∀x)[¬(∃y)A2

1(x, y) ∨ ¬(∀y)(A22(x, y) ∨ A2

3(y, x))]2.- (∀x)[(∀y)¬A2

1(x, y) ∨ (∃y)(¬A22(x, y) ∧ ¬A2

3(y, x))]3.- (∀x)[(∀y)¬A2

1(x, y) ∨ (∃z)(¬A22(x, z) ∧ ¬A2

3(z, x))]4.- (∀x)[(∀y)¬A2

1(x, y) ∨ (A22(x, f 1

1 (x)) ∧ ¬A23(f

11 (x), x))]

5.- (∀x)(∀y)[¬A21(x, y) ∨ (A2

2(f1(x),x1 ) ∧ ¬A2

3(f11 (x), x))]

6.- (∀x)(∀y)[(¬A21(x, y) ∨ ¬A2

1(x, f 11 (x) ∧ (¬A2

1(x, y)(∀¬A23(f

11 (x), x)))))]

7.- [¬A21(x, y) ∨ ¬A2

2(x, f 11 (x))] ∧ [¬A2

1(x, y) ∨ ¬A23(f

11 (x), x)]

8-9 {¬A21(x, y) ∨ ¬A2

2(x, f 11 (x))} Clausula c1

{¬A21(x, y) ∨ ¬A2

3(f11 (x), x)} Clausula c2

Ejemplo:2.- (∀z)P (z)↔ [(∃x)Q(y, z) ∧ (∀y)P (y)]

Pasos:1.- [(∀z)P (z)→ [(∃x)Q(y, z)∧(∀y)P (y)]∧[(∃x)Q(y, z)∧(∀y)P (y)]→ (∀z)P (z)]2.- [¬(∀z)P (z) ∨ [(∃x)Q(y, z) ∧ (∀y)P (y)] ∧ [¬((∃x)Q(y, z) ∧ (∀y)P (y)) ∨(∀z)P (z)]]3.- [(∃z)¬P (z) ∨ [(∃x)Q(y, z) ∧ (∀y)P (y)] ∧ [(∀x)¬Q(y, z) ∨ (∃y)()]]4.- (∃z)¬P (z)∨ [(∃x)Q(y, z)∧ (∀y)P (y)]∧ [(∀x)¬Q(y, z)∨ [(∃y1)(¬P (y1))]∨(∀z1P (z1))]5.- ¬γ(a) ∨Q(y, a)← no se puede porque es una fbc cerrada, entonces:7.- (∀x)[((∃y)P (x, y)→ (∃z)¬P (x, z)) ∨ (∀y)(∃z)Q(x, y)→ Q(x, z)]

Convertir las siguientes fbc’s en clausulas.

a) (∀x)(P (x)→ (∃x)Q(x))1.- (∀x)(¬P (x) ∨ (∃x)Q(x))3.- (∀x)(¬P (x) ∨ (∃y)Q(y))4.- (∀x)(¬P (x) ∨Q(f 1

1 (x)))7.- (¬P (x) ∨Q(f 1

1 (x)))8,9.- {(¬P (x) ∨Q(f 1

1 (x)))} = c1


b)[(∀w)Q(w)]→ (∀x){(∀y){(∃z)[P(x, y, z)→ (∀u)R(x, y, u, z)]}}1.- ¬[(∀w)Q(w)] ∨ (∀x){(∀y){(∃z)[¬P (x, y, z) ∨ (∀u)R(x, y, z, u)]}}2.- [(∃w)¬Q(w)] ∨ (∀x){(∀y){(∃z)[¬P (x, y, z) ∨ (∀u)R(x, y, u, z)]}}4.- ¬Q(a) ∨ (∀x){(∀y){¬P (x, y, f 2

1 (x, y)) ∨ (∀u)R(x, y, u, f 21 (x, y))}}

5.- (∀x)(∀y)(∀z)[¬Q(a) ∨ ¬P (x, y, f(x, y)) ∨R(x, y, u, f(x, y))]9.- {¬Q(a) ∨ ¬P (x, y, f(x, y)) ∨R(x, y, u, f(x, y))}

El metodo de resolucion es una regla de inferencia que permite deducirnuevo conocimiento a partir del ya conocido.

Ejemplo:De: P (x, y); Q(z, w) ∨ ¬P (x, y)Se infiere: Q(z, w).Que sucede si tenemos:S = {P (x, a), a(z, w) ∨ ¬P (f(y), z)}?

Teorema de unificacion.

Sea S un conjunto de expresiones simples. Si S es unificable entonces elalgoritmo de unificacion termina y da un mgu (Unificador Mas General) paraS.Si S no es unificable entoces el algoritmo termina y respeta el echo.

Definicion:La sustitucion dada por el conjunto vacıo ø es llamada la sustitucion identi-dad. Se denota por ε.Para todas las expresiones ε se cumple: Iε = ε

Definicion:Sea S un conjunto de expresiones simples. Una sustitucion θ es llamada ununificador para S si Sθ es una expresion y unica (Singleton). Un unificadorθ para S es llamado un unificador mas general (mgu) para S, si para cadaunificador Γ de S existe una sustitucion τ tal que: Γ = θγ

Definicion:Sea S un conjunto finito de expresiones simples. El conjunto en desacuerdode S es definido como sigue:


Localizar la posicion del simbolo mas a la izquierda, en el cual no todaslas expresiones en S si tienen el mismo simbolo.

Extraer de cada expresion en S la subsexpresion que empieza en esaposicion del simbolo.

El conjunto de todas esas subexpresiones es el conjunto en desacuerdo.

Algoritmo de Unificacion.

Entrada: S = Conjunto de expresiones simples.Salidas:a) γ = mgu 1 ≤ k ≤ nb) ”S no es unificable”1. K ← 0; γ0 = ε2. Si Sγk es una expresion unica entonces stop, γk es un mgu de S.En otro caso: Encontrar el conjunto en desacuerdo Dk de Sγk.3. Si existe υ y t ∈ Dk tal que la variable υ no ocurre en t.Entonces:γk+1 ← γk{υ(t)}k ← k + 1ir al paso 2En otro caso: stop S no es unificable

Ejemplo:Unificar S = {P (a, x, h(g(z))), p(z, h(y), h(y))}k ← 0; γ ← εk ← 1; γ ← {z/a}k ← 2; γ2 ← {z/a, x/x(h/y)}S es simple?

sr1 sr2

{ a,z } {x,h(y)} {g(a),y}

{ z/a } {z/a}{x/h(y)} {z/a, x/h(y)}{y/b(a)}

k ← 3; γ ← {z/a, h(g(a)), y/g(a)}sr3 = {P (a, h(g(a))), h(g(a)), P (a, h(g(a)), h(g(a)))}STOP! γ3 es una mgu de S.


Encontrar el mgu, en caso de existir de los siguientes expresiones:

a) S = {P (f(y), w, g(z)), P (u, u, u)}S = {P (f(y), w, g(z)), P (f(y), f(y), u)}, {a/f(y)}S = {P (f(y), f(y), g(z)), P (f(y), f(y), u)}, {w/f(y)}S = {P (f(y), f(y), g(z)), P (f(y), f(y), g(z))}, {u/g(z)}S = {P (f(y), f(y), g(z)), P (f(y), f(y), g(z))}, {a/f(y), w/f(y), u/g(z)}Por lo tanto las mgu es: a/f(y), w/f(y), u/g(z)

b) S = {P (f(y), w, g(z)), P (u, u, u)}k ← 0 k ← 1 k ← 2θ0 ← ε θ1 ← {u/f(y)} θ2 ← {u/f(y), u/w}

S es simple? S es simple Sθ2 es simple?θk{f(y), u} {w, u} {g(z), f(y)}

θk+1{u/f(y)} {u/w} {f(y)/g(z)}∃υ ∈ Dn?NO. Por lo tanto No es Unificable.Sθ1 = {P (f(y), w, g(z)), P (f(y), u, f(y))}Sθ2 = {P (f(y), w, g(z)), P (f(y), w, f(y))}

c) S = {P (a, x, f(g(y))), P (z, h(z, w), f(w))}γ1 = {z/a}Sγ1 = {P (a, x, f(g(y))), P (a, h(z, w), f(w))}γ2 = {(z/a), (x/h(a, w))}Sγ2 = {P (z, h(a, w)), f(g(y)), P (z, h(a, w), f(w))}γ3 = {(z/a), (x/h(a, w))(w/g(y))}γ3 = {P (z, h(a, g(y))), f(g(y)), P (z, h(a, g(y))), f(g(y))}Por lo tanto es S es unificable.

Calculo Formal de Predicados

Definicion:El sistema formal K o KI del calculo de predicados es un sistema deductivocon base en:

1.- El lenguaje L. El alfabeto de simbolos ∀,¬,→, (, ), A11, ..., f

11 , ..., a1, ..., x1, ...

el conjunto de fbc’s

2.- Axiomas. Hay un numero infinito de axiomas los cuales se generan por


la siguiente secuencia de axiomas, cada axioma considera cuales quiera fbc’sA, B, CK1.(A→ (B → A))k2.((A→ (B → C))→ ((A→ B)→ (A→ C))k3.((¬A)→ (¬B))→ (B → A)k4.((∀xi)A→ A) si xi no ocurre libre en Ak5.(∀xi)A(xi → A(t)) si t es un termino de L que es libre para xi en A(xi)k6.(∀xi)(A → B) → (A → (∀(xi)B)) si A no contiene ocurrencias libres dela variable xi

3.- Reglas de deduccion.a) MP (Modus Ponens): de A ∧ (A → B) deducimos B para cualquier A yB de Lb) G (Generalizacion): de A deducimos (∀xi)A para cualquier fbc A de L ycualquier variable xi

Definicion:Una demostracion en Γ es una secuencia de fbc’s A1, A2, ..., An tal que paracada 1(i ≤ i ≤ n) o bien Ai es un axioma de K o Ai se deduce a partir demiembros previos de la secuencia. El miembro An de la secuencia se le llamateorema de K `k An

Definicion:Sea Γ cualquier conjunto de fbc de L una secuencia de fbc’s A1, A2, ..., An esuna deduccion a partir de Γ si para cada i(1 ≤ i ≤ n) se cumple alguna delas siguientes condiciones:1.- Ai es un axioma de K2.- Ai es un miembro de Γ3.- Ai se deduce de miembros anteriores de la secuencia.

Expresamos con Γ `n An que An es deducible a partir de Γ.

Proposicion:Si `n A1, entonces A es logicamente valida (teorema de la solidez).

Proposicion:k es constante (para ninguna fbc A de L sucede que A y ¬A sean teoremasde K.


Proposicion:Teorema de deduccion. Sean A y B fbc’s de L y Γ un conjunto de fbc’s de L.Si Γ∪{A} `k B y esta deduccion no contiene la aplicacion de G para algunavariable libre de A entonces Γ ` (A→ B).

Definicion:Si A y B son fbc’s de L y A ↔ B diremos que A y B son deductivamenteequivalentes.

Definicion:Si A contiene como variables libres solamente a y1, y2, y3, ..., yn entonces(∀y1), (∀y2), (∀y3), ..., (∀yn) A se le lama cerradura universal de A y A′.

Proposicion:Sea A una fbc cuyas variables libres son y1, y2, y3, ..., yn entonces `n A si ysolo si `n (∀yn)

Definicion:Una fbc esta en forma normal Prenex (fnp) si tiene la forma (Q1xi,j), ..., (Qnxi,n)Ddonde D es una fbc de L que no contiene cuantificadores y Q es ∀ o ∃.

Definicion:Un sistema de primer orden S es consistente si para ninguna fbc A, ambasA y ¬A son teoremas de S

Definicion:Un sistema de primer orden S es completo para cada fbc A se tiene que: `s Ao bien `s ¬A ejemplo:{A, (∀xi)A→ C} ` (∀xi)C1.- A Hipotesis2.- ∀(xi)A ` C Hipotesis3.- (∀xi)A Generalizacion a L (G)4.- C M.P de 2 y 35.- (∀xi)C G4

Calculo de predicados es la representacion de conocimiento.Supongamos que tenemos las siguientes representaciones en el mundo de losbloques:


Interpretaciones:

+---+

| b |

+---+

+---+ +---+ +---+

| a | | b | | c |

+---+ +---+ +---+

+---+ +---+ +---+ +---+ +---+ +---+ +---+ +---+

| c | | a | | c | | a | | b | | c | | a | | b |

-+---+- -+---+-+---+- -+---+-+---+-+---+- -+---+-+---+-

Suelo Suelo Suelo Suelo

1 2 3 4

Algunas fbc’s para la interpretacion (1) en sus valores de satisfaccion son:a) Sobre(A, B) es falsa porque (A, B) no se encuentra en la representacionsobreb) Libre(B) es verdadera porque (B) se encuentra en una relacion libre.c) Sobre(B, S) es falsa porque (B, S) no se encuentra en la relacion sobre.d) Sobre(C, S) es verdadera porque (C, S) se encuentra en la relacion sobre.NOTA: S es el Suelo

Relacion de predicados MundoA AB BC C

Sobre {(C, S), (A, C), (B, A)}Libre {(B)}

Una intepretacion satisface una fbc si la fbc tiene un valor verdaderobajo esa interpretacion. Por ejemplo, la fbc d) satisface las interpreta-ciones 1,2 y 3.

Una interpretacion que satisface una fbc es un modelo de esta.La interpretacion 4 es un modelo para la fbc c)

Si una fbc tiene valor verdadero bajo todas las interpretaciones, es unafbc valida.La fbc b) es valida.


Toda la fbc que no tiene modelo es una fbc inconsistente o insatisfac-tible. Por ejemplo la fbc a) es inconsistente.

Si una fbc w tiene el valor verdadero bajo todas aquellas interpreta-ciones para las que cada fbc del conjunto A tiene el valor verdade-ro, entonces w se sigue logicamente (o es una secuencia logica de A)(A ` w).

Ejemplo: Para las interpretacionesA = {Sobre(C, S), Libre(B)} yw = Sobre(B, A) ∨ Sobre(A, S)

Dos fbc’s son equivalentes si y solo si sus valores de verdad son identicosbajo todas las interpretaciones, es decir si y solo si cada una de ellas sesigue logicamente de la otra, es decir: w ` υ y υ ` w

El calculo de predicados provee un lenguaje uniforme mediante el cual sepuede expresar conocimiento acerca del mundo, razonar sobre el y extraerconsecuencias de ese conocimiento.

Pasos para la representacion del conocimiento:1 Conceptualizacion del mundo. (objetos, funciones, relaciones)2 Expresiones del calculo de predicados. (Refiriendose a los objetos, funcio-nes, relaciones)3 fbc’s que satisfacen el mundo conceptualizado. (*)

(*) Conceptualizaciones bien acentadas, es decir que algunos atomos dela base del conocimiento tengan que ser evaluados a traves de mecanismosde percepcion conectados al mundo.

Ejemplo:Supongamos que tenemos la fbc Libre(A) y Libre(B).Cuantos modelos podemos generar para dicha fbc en el mundo de los bloques(A,B,C,S)?


Solucion:

+---+ +---+

| a | | a |

+---+ +---+ +---+ +---+

| b | | c | | b | | c |

+---+ +---+ +---+ +---+ +---+ +---+

| a | | c | | a | | b | | c | | b |

-+---+-+---+- -+---+-+---+- -+---+-+---+-

Suelo Suelo Suelo

1 2 3

+---+ +---+

| a | | a |

+---+ +---+ +---+ +---+ +---+ +---+ +---+

| b | | c | | c | | b | | a | | b | | c |

-+---+-+---+- -+---+-+---+- -+---+-+---+-+---+-

Suelo Suelo Suelo

4 5 6

Hay 6 modelos, es decir 6 interpretaciones que satisfacen la fbc.

Representacion del conocimiento del sentido comun (conocimiento inge-nuo). Este conocimiento se basa en aquello que es obvio, por ejemplo:- Los peces viven en el agua y fuera de ella mueren.- La gente no existe antes de haber nacido.- Todos los animales tienen boca.- Todos los animales estan dotados del sentido del tacto.- Ningun animal que carece de pies tiene alas.

El calculo de situaciones es una formalizacion de ps conceptos de estados,acciones y efectos sobre las acciones. Con este formalismo podemos contes-tar preguntas del tipo Existe algun estado que satisfaga ciertas propiedades(objetivo que perseguimos) y si es ası, como se puede transformar medianteacciones el estado actual en el objetivoEste formalismo requiere del uso de estados como s0, s1, s3, ..., sn

En el mundo de los bloques podemos expresar un enunciado acerca de lo quees cierto (sucede) en el estado s0 mediante:Sobre(B, A, s0) ∧ Sobre(A, C, s0) ∧ Sobre(C, Suelo, s0) ∧ Libre(B, s0)


Pasos para representar las acciones y sus efectos:

Clasificar las acciones.- Imaginar que una accion existe como un objeto.Las acciones pueden considerarse como sımbolos constantes, variables o fun-ciones.Con esto se quiere decir que se debe considerar algo abstracto como algoconcreto.Ejemplo: La siguiente expresion denota el movimiento del bloque B al suelo.mover(B,Suelo)

Imaginar una constante de funcion.- que denota una funcion que proyectaacciones y estados en estados. Si α denota una accion y γ denota un estadoentonces hacer (α, γ) denota una funcion que proyecta el par accion-estadoen el estado resultante de ejecutar la accion α en el estado γ.

Expresar los efectos de las acciones mediante fbc’s.

Ejemplo: Para el par {Sobre,mover} las fbc’s son:[Sobre(x, y, s)∧Libre(x, s)∧Libre(z, s)∧(x 6= z) : −Sobre(x, z, hacer(mover(x, y, z), s))]Axioma de efectos positivos.[Sobre(x, y, s)∧Libre(x, s)∧Libre(z, s)∧(x 6= z) : −¬Sobre(x, y, hacer(mover(x, y, z), s))]

Ejemplo:Sea S0 la interpretacion.

+---+

| b |

+---+

| a |

+---+

| c |

-+---+-

Suelo

Sobre(B, A, S0)Sobre(A, C, S0)Sobre(C, Suelo, S0)Libre(B, S0)Sea S1 la interpretacion.


+---+

| a |

+---+ +---+

| c | | b |

-+---+-+---+-

Suelo

hacer(mover(B, A, Suelo), S0)Sobre(A, C, S1)Sobre(C, Suelo, S1)Sobre(B, Suelo, S1)Libre(A, S1)Libre(B, S1)

Axiomas de efecto: Sobre(B, Suelo, hacer(mover(B, A, Suelo), S0))Sobre(B, A, hacer(mover(B, A, Suelo), S0))Libre(A, hacer(mover(B, A, Suelo), S0))

Axiomas de marco:Sobre(A, C, hacer(mover(B, A, Suelo), S0))Sobre(C, Suelo, hacer(mover(B, A, Suelo), S0))Libre(B, hacer(mover(B, A, Suelo), S0))

Axiomas de efecto para el par: {Libre,mover}[Sobre(x, y, s)∧Libre(x, s)∧Libre(z, s)∧(x 6= z)∧(y 6= z)→ Libre(y, hacer(mover(x, y, z), s))]y[Libre(x, y, s)∧Libre(x, s)∧Libre(z, s)∧(x 6= z)∧ → ¬Libre(z, hacer(mover(x, y, z), s))]

Aplicar los axiomas de efectos y los axiomas de marco para obtener elestado objetivo S1 a partir del estado S0

Tenemos en cuenta que (∀s)Libre(Suelo, S) es verdadero en todos los estados.

Axiomas de marco para el par {mover, Sobre}[Sobre(x, y, s) ∧ (x 6= i)]→ ¬Sobre(x, y, hacer(mover(u, v, z), s)) y[¬Sobre(x, y, s)∧[(x 6= u)∨(y 6= z)]→ ¬Sobre(x, y), hacer(mover(u, v, z), s)]

Axiomas de marco para el par {mover, Libre}Libre(u, s)∧(u 6= z)→ Libre(u, hacer(mover(x, y, z), s)) ¬Libre(u, s)∧(u 6=


y)→ ¬Libre(u, hacer(mover(x, y, z), s))

Resolucion de problemas en Prolog.

Por favor, lea el documento Notas de prolog


Acerca de este documento...

Logica Matematica[27 de Julio de 2003]

Este documento ha sido escrito totalmente en LATEXSon las notas del curso de Logica Matematica de la Benemerita UniversidadAutonoma de Puebla. La transcripcion ha estado a cargo de Javier B. Ca-macho Martınez con revisiones del M.C Alfonso Garces Baez.

Formas de contacto:M.C Alfonso Garces Baez. e-mailLic. Javier Camacho Martınez. e-mail

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