capítulo 5 variáveis aleatórias contínuas a classe de variáveis aleatórias chamadas contínuas...

Capítulo 5Variáveis aleatórias contínuasA classe de variáveis aleatórias chamadas contínuas será tratada nesse capítulo. Serão apre-sentadas suas definições e algumas propriedades. A profundidade e o rigor da apresentaçãoserão adequados às necessidades do curso e ao nível dos alunos mirado pelos objetivos do curso.Todos os trechos e as passagens não rigorosos serão comentados com o intuito de explicar ondee o que estão faltando e o porquê da falta.

O seguinte esclarecimento deve ser dado antes da apresentação: uma variável aleatóriachama-se contínua quando sua função de distribuição acumulada for contínua (como funçãode R a R). A antecipação no esclarecimento justifica-se pelo fato de que a apresentação avir não destaca para leitores as funções de distribuição acumuladas. Consequentemente, se aexplicação do nome “contínua” não aparecer bem no início, então ela pode escapar-se da atençãodo leitor para sempre. Na realidade, meu querido leitor, a minha preocupação principal é quevocê não associe o nome “conínua” de uma variável aleatória com a continuidade de sua funçãode densidade. Essas duas não têm relação entre si. Quanto à função de distribuição acumulada,seu conhecimento dela não é necessário para sua concepção da apresentação a vir. Ela só serve,então, para que você saiba da verdadeira raíz do nome “contínua” nas variáveis aleatóriastratadas no capitulo presente e adiante dele.

▷ Para MAE116 (disciplina de duração de um semestre), apresentar somente a Seção normal queversa sobre variáveis aleatórias normais. As aplicações destas variáveis aleatórias estão no Capí-tulo tcl, inclusive os exercícios que empregam a privacidade da família de distribuições normais.As propriedades da média e variância e a privacidade supracitada podem ser apresentadas porsimulação, fato que sugere que a apresentação da Seção normal esteja próxima, no percurso dadisciplina, à apresentação do Capítulo Simula.

Para MAE219/229 (curso de duração de dois semestres), devemos apresentar, de acordo comaementa desta, também as variáveis aleatórias uniforme e exponencial, que são tratadas nasseções do presente capítulo. A associação entre variáveis aleatórias contínuas é um assuntoopcional; o material deste esta na Seção ascont.

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CAPÍTULO 5. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS 177

5.1 Sobre o método de construção de variáveis aleatóriascontinuas

5.1.1 A construção de variáveis aleatórias contínuasQualquer variável aleatória contínua é construída a partir da função de densidade de probabi-lidade. Por isso, a presente apresentação inicia-se com a definição da classe de tais funções.

▷ Caminhos alternativos de construção existem, mas suas vantagens são muito particulares e servemaos objetivos muito específicos que são absolutamente incompatíveis com o nível da presenteapresentação.

Definição 13 (de função de densidade de probabilidade).Um função f : R → R chama-se função de densidade de probabilidade caso f

atenda as seguintes condições:

(a) f é não-negativa, isto é, f(x) ≥ 0 para cada x ∈ R.

(b) A área debaixo de f é 1. Ou, falando com maior exatidão, a área da figura planadelimitada por de cima pelo grafo da função f e delimitada por de baixo pelo eixode abcissas é 1. Ou, expressando-se com uso da integral,∫ +∞

−∞f(x)dx = 1

Os termos função de densidade e função-densidade são sinônimos para “função dedensidade de probabilidade” e o segundo deles será o mais usado entre os três no texto aseguir.

Alguns exemplos de funções-densidade estão na Figura 5.1.

-1,0 -0,5 0 0,5 1 1,5 2,0 2,5 3,0

0,5

1,0

1,5

2,0f(x) = 2

3 , 0, 5 ≤ x ≤ 2, 0

(1) Função constante-1,0 -0,5 0 0,5 1 1,5 2,0 2,5 3,0

0,5

1,0

1,5

2,0f(x) = 2x, 0 ≤ x ≤ 1

(2) Função crescente

Figura 5.1: Exemplos de funções de densidade

Seja agora f uma função-densidade qualquer. Vou mostrar o procedimento que construiuma variável aleatória a partir de f . Na minha exposição, vou chamar a variável aleatóriaresultante por X. Ainda mais, para poder ilustrar graficamente o procedimento demonstrado,vou trabalhar com a f específica que é a função linear crescente desenhada na Figura 5.1-(2).

O procedimento de construção é bem curto e objetivo: para qualquer1 conjunto D denúmeros reais, a probabilidade de X assumir valor dentro de D defina-se como a área da figuraplana construída acima de D até o grafo de f .

1Não bem qualquer! Veja a discussão ?? que especifica e delimita essa “qualquerdade”.


Essa foi a definição. Esta é a expressão da definição por símbolos matemáticos:

IP [X ∈ D] =

∫D

f(x)dx para “qualquer” conjunto D ⊆ R (5.1)

Realço: a Eq. (5.1) só reformula a definição com uso de símbolos antigos e novos. Sobre taissímbolos, discursarei nos próximos dois parágrafos.

O antigo é∫Df(x)dx que é a expressão matemática tradicional para “a área da figura plana

construída acima de D até o grafo de f”. A expressão dá-se pela integral. Se você, meu leitor,já estudou e aprendeu integrais, então você sabe que as integrais são as áreas pela sua própriadefinição. Mas se você não conhece as integrais, essa falha não diminuirá em nada a capacidadede entender a exposição a seguir. Simplesmente aceite

∫Df(x)dx como um símbolo para marcar

a área da figura plana construída acima de D até o grafo de f . Ou, em outras palavras, ao ver“∫Df(x)dx” murmure para si “a área da figura plana construída acima de D até o grafo de f”

em vez de “intedede-efdexizdexiz”.O símbolo novo trazido pela Eq. (5.1) é IP [X ∈ D]. Ele foi inventado para significar “a

probabilidade de X assumir valor dentro de D”. A invenção não é minha; ela veio ao mundobem antes do momento no qual eu escrevi as primeiras linhas do presente texto. A respeito dela,vale apresentar agora algumas de suas formas alternativas que serão frequentemente usadas notexto todo:

quando D = (a, b) (um intervalo aberto com extremos a e b), escreveremos IP [a < X < b] epronunciamos “a probabilidade de X assumir valor entre a e b”

quando D = (a,+∞) (um ráio que extende-se à direita de a), escreveremos IP [X > a] ouIP [a < X] e pronunciamos “a probabilidade de X assumir valor maior que a”

quando D = (−∞, a) (um raio que extende-se à esquerda de a), escreveremos IP [X < a] ouIP [a > X] e pronunciamos “a probabilidade de X assumir valor menor que a”

quando D = {d} (um número d), escreveremos IP [X = d] e pronunciamos “a probabilidadede X assumir valor d”

Quanto aos casos [a, b], [a, b), (a, b], [a,+∞) e (−∞, a], esses serão vistados explicados APÓSO QUÊ.

Prosseguimos agora à discussão da dúvida que surge na cabeça de qualquer um que vêpela primeira vez a definição acima apresentada. A dúvida surge devido à diferença entre essadefinição e aquela que foi usada no caso de variáveis aleatórias discretas. O cerne da dúvidapode ser resumido assim: “Assim pode? E se sim, por quê?”

Por que posso definir uma variável aleatória da maneira como defini X? Analisando cui-dadosamente as minhas construções, percebe-se que “definir a variável aleatória X” significafazer a determinação dos seus valores junto com suas probabilidades. Este conjunto é chamadode “distribuição de uma variável aleatória”, e estou construindo essa distribuição, conforme járessaltado, sem ter um experimento aleatório por trás mas, em vez disso, essa construção contacom a ajuda de uma função-mãe. Por que então posso fazer isso, ou seja, por que posso fazeresta substituição?

Talvez a pergunta colocada no fim do parágrafo anterior não esteja clara. O sentido exatodela é: será que as distribuições resultantes destes dois métodos de construção são diferentes?

A única diferença situa-se no fato de que o primeiro método faz com que cada ponto,referente aos possíveis valores da variável aleatória , possui probabilidade estritamente positiva,enquanto o segundo método faz com que esta probabilidade seja nula. Se não ficou claro, issoquer dizer que para qualquer variável aleatória contínua X e qualquer d ∈ R a probabilidade


de X assumir o valor d é zero, IP [X = d] = 0. Por isso que o cálculo das probabilidade noscasos em que D é igual a [a, b], [a, b), (a, b], [a,+∞) ou (−∞, a] são equuivalentes ao cálculodas probabilidades no caso em que D é igual, respectivamente, a:(a, b), (a, b), (a, b), (a,+∞) e(−∞, a).

Apesar dessa diferença, as semelhanças entre variáveis aleatórias discretas e contínuas sãomuitas:

a. se você construir qualquer conjunto de valores, então a probabilidade da variável aleatóriaassumir valores dentro deste conjunto é não-negativa;

b. a probabilidade de assumir algum valor do conjunto de todos os valores é 1;

c. se você formar dois conjuntos de valores que não têm intersecção, então a probabilidade davariável aleatória assumir valores na união destes conjuntos é a soma das probabilidadesdela assumir valor em cada conjunto separado.

Ocorre que tais propriedades são básicas, no sentido de que tudo o que fazemos com nossasvariáveis aleatórias pode ser justificado por argumentos que são baseados nestas três proprie-dades.

Expliquei então que a construção via funções-mãe são legítimas, no sentido que tudo o quesabemos (ou aprendemos) a fazer com variáveis aleatórias discretas pode ser transferido paraas variáveis aleatórias contínuas.

As variáveis aleatórias estudadas no presente capítulo serão definidas de uma maneira com-pletamente diferente daquela que costumeiramente usávamos até agora. Precisamente falando,não haverá um experimento aleatório por trás das variáveis aleatórias no presente capítulo. Asdistribuições destas serão construídas diretamente, no sentido de não haver o auxílio de umexperimento aleatório. Faremos, tipicamente, o seguinte: escolheremos uma função específicae postularemos que a tal função corresponde a uma variável aleatória; esta pode assumir todosos valores onde a função não se anula, e a probabilidade de assumir um valor em qualquersubconjunto de R é a área acima deste conjunto, limitada pelo gráfico da função .

Por exemplo, considerando D = [0, 1/2] no caso em que f(x) = 2x, para 0 ≤ x ≤ 1 (Figura5.1-(2)), basta calcular a área do triângulo rosa (Figura 5.2) que é igual a 0, 25. Caso você nãoesteja convencido, posso calcular utilizando integrais: IP [0 ≤ X ≤ 0, 5] =

∫ 0,5

02x = 2× x2

2|0,50 =

2× 12× (0, 52 − 02) = 0, 25.

-1,0 -0,5 0 0,5 1 1,5 2,0 2,5 3,0

0,5

1,0

1,5

2,0f(x) = 2x, 0 ≤ x ≤ 1

D = [0; 0, 5]

Figura 5.2: IP [0 ≤ X ≤ 0, 5]

As variáveis aleatórias definidas da maneira retratada acima, se chamam variáveis aleatóriascontínuas. Note que esse nome não foi dado pelo fato de que as funções-mãe são contínuas, taisfunções podem ter descontinuidades; a verdadeira razão deste nome situa-se no fato de que afunção de distribuição resultante desta construção é contínua.

UMA OUTRA TENTATIVA DE DAR O RECADO:A aula do curso, que versou sobre variáveis aleatórias discretas, ensinou que uma variável

aleatória sempre nasce de um experimento aleatório.


Se você acreditou nisto, estará então surpreso agora, pois as variáveis aleatórias normais –o assunto da presente aula – serão construídas sem o auxílio de experimentos aleatórios. Vocêentão tem todo o direito de levantar a pergunta: “O que é no final das contas, uma variávelaleatória ?”

Minha resposta para a pergunta levantada seria assim: “O que importa para nós é a distri-buição de variável aleatória. (Recorde, que dar/saber a distribuição de uma variável aleatória,significa dar/saber o conjunto dos valores que ela pode assumir junto com as respectivas pro-babilidades.) No caso de uma variável aleatória , que nasceu num experimento aleatório, cons-truímos sua distribuição a partir das caraterísticas do experimento aleatório. No caso de umavariável aleatória contínua, sua distribuição será dada diretamente com o auxílio de uma funçãochamada função de densidade (o nome mais completo é função de densidade de distribuição oufunção de densidade de probabilidade).”

Pode-se ver que minha resposta é indireta: em vez de definir o conceito “variável aleatória”, somente indiquei a caraterística do conceito que importa para nós. Isto ocorreu, por que adefinição completa e correta é muito formal.

5.1.2 Esperança e variância de variáveis aleatórias contínuas

Definição 14 (da esperança e variância de variável aleatória contínua; não se assuste como uso de integrais caso você as desconhece).

Para variável aleatória contínua X com a função-densidade f , o valor∫ +∞

−∞xf(x)dx (5.2)

chama-se esperança matemática, ou simplesmente esperança de X e denota-se porIE [X], enquanto que o valor ∫ +∞

−∞(x − IE [X])2 f(x)dx (5.3)

chama-se variância de X e denota-se por Var [X].

Entre as diversas razões que motivam a atribuição de conceitos “esperança” e “variância”à variável aleatória contínua e também a definição dos mesmos por fórmulas (5.2) e (5.3), aúnica que posso e devo apresentar a você é a analógia entre variáveis contínuas e discretas.Mais fundo que isso você não precisa penetrar, pois o próprio conceito de esperança ainda nãoadquiriu sua imagem correta e completa na sua imaginação.

Acerca da esperança e da variância de uma variável contínua, você deve conhecer a maneirade cálculo dos seus valores. Você não vai ser solicitado a executar esse cálculo. Mas seuconhecimento lhe ajudará a entender os procedimentos que utilizam esperança e variância.Garanto que tais utilizações virão em monte com estudos de métodos estatísticos do curso.

Vamos então ao cálculo da esperança de variávela aleatória X cuja função-densidade está naFigura 5.3. A despeito da particularidade do caso tratado, todas as idéias e métodos aplicam-seao caso geral.

O primeiro passo no cálculo de IE [X] é a discretização da distribuição de X. Na perspectivado procedimento, o que será discretizado é a função-densidade de X, mas para eu estar próximoà nomenclatura correta, vou usar os termos neutros e intuitivos “discretização de X”.


Vamos discretizar X por K = 10 pedaços iguais (esse termo não é bem preciso e não étradicional mas é comodo, e, por isso, será usado). Para tal,

(a) Divido em K = 10 intervalos de tamanhos iguais ao domínio de X, quer dizer o con-junto de R onde X assume valores diferentes de 0 (ou, equivalentemente, onde a função-densidade de X é diferente de 0). No caso, o domínio de X é o intervalo [0, 1].

(b) Calculo a área em cima de cada intervalo.

(c) Construo a variável aleatória discreta que assume K valores, um em cada um dos intervalos,e para cada valor atribuo a probabilidade que é a área calculada no item (b).

A variável aleatória resultante da execução dos passos (a)-(c) chama-se discretização de X.Vou denotá-la por Xdscrtz

K . A notação é boa no sentido que indica a variável aleatória que foidiscretizada e a quantidade dos intervalos de partição. Nós vamos ficar com essa notação, em-bora ela não seja perfeitamente completa. Vimos que no processo de construção, precisávamosescolher em quantas partes dividiremos o domínio de X e calcular as probabilidade de cadauma dessas partes. Além disso, foi necessário especificar os valores que a nova variável deveassumir. De maneira intuitiva, esses valores devem ser o ponto médio de cada intervalo.

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0X

desloca por 10.1

Figura 5.3: Função de densidade de X

0,05 0,15 0,25 0,35 0,45 0,55 0,65 0,75 0,85 0,95

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

desloca por 10, 1

Figura 5.4: Método de discretização de X

Neste caso em que X tem uma distribuição uniforme [0, 1], isto é, fX(x) = 1, para 0 ≤ x ≤ 1,ilustrada na Figura 5.3, temos a seguinte discretização (ver Figura 5.4):(a) K = 10 e cada intervalo tem tamanho 0, 1.(b) Devido a natureza da distribuição uniforme contínua, temos que a área de cada retânguloé 0, 1.(c) Criamos a variável discreta, Xdscrtz

10 , com a função de probabilidade dada na Tabela 5.1 egráfico na Figura 5.5.


x 0,05 0,15 0,25 0,35 0,45 0,55 0,65 0,75 0,85 0,95P (Xdscrtz

10 = x) 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1

Tabela 5.1: Discretização da variável uniforme [0,1]

0,05 0,15 0,25 0,35 0,45 0,55 0,65 0,75 0,85 0,95

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

Xdscrtz10

desloca por 10.1

Figura 5.5: Função de probabilidade de Xdscrtz10

Agora, vamos ao cálculo da esperança dessa variável aleatória discretizada.

IE[Xdscrtz10 ] =

10∑i=1

xiP (Xdscrtz10 = xi) = 0, 05× 0, 1 + · · ·+ 0, 95× 0, 1 = 0, 5

SUGESTÃO EXERCÍCIO: CÁLCULO DA VARIÂNCIA

5.1.3 Manipulações com variáveis aleatórias contínuasVariáveis aleatórias continuas podem ser somadas, multiplicadas e ainda muito mais. Na rea-lidade, todas as manipulações que aprendemos ao estudar variáveis aleatórias discretas podemser aplicadas às contínuas. Entretanto, somente algumas delas serão apresentadas nessa seção.Essas algumas são as que são imprescindíveis para a futura exposição de métodos estatísticos.

5.1.3.1 Fórmula para soma de variáveis aleatórias contínuasSe X e Y forem duas variáveis aleatórias contínuas independentes com as respectivas funções-densidade fX e gY , então elas podem ser somadas, e a soma, a ser denotada por Z é variávelaleatória contínua cuja função-densidade, hZ , obedece a seguinte propriedade:

hZ(z) =

∫ +∞

−∞fX(z − y)gY (y)dy (5.4)

(aviso já que haverão fórmulas-irmãs para a fórmula (5.4); a apresentação dessas e a discussãoda irmanidade está sendo adiada até o momento oportuno).

Um leitor atento deveria já perceber que o conceito de independência entre variáveis ale-atórias contínuas não tinha sido introduzido. Isso realmente aconteceu e a razão para tal é aincapacidade minha de chegar a tal conceito por um caminho curto mas rigoroso. Ao invésdele, vou dar agora um critério prático para a identificação da independência. Será o máximoque eu consigo dentro dos limites impostos pelo volume do curso todo e pela profundidade doconhecimento na área de matemática da maioria de meus leitores. Se duas variáveis aleatóriasdiscretas X e Y indepedentes entre si foram substituídas por, respectivamente, Z e V que sãocontínuas, então Z e V podem ser declaradas independentes. Recordo que a substituição de va-riáveis aleatórias discretas por contínuas faz-se para alcançar simplicidade em contas e cálculos.


Que isso pode ser feito foi explicado naquela oportunidade quando motivei a própria existênciade variáveis aleatórias contínuas. A respeito disso, vale então notar que minha receita estádentro da framework que usamos para compreenção de variáveis aleatórias contínuas.

↓ Exemplo 44. Aqui vou lhe apresentar o resultado de aplicação da fórmula para soma(isto é, a fórmula (5.4)): vou calcular, seguindo a fórmula, as somas de variáveis aleatóriascontínuas específicas já utlizadas na seção 5.1.2, chamadas uniformes. Não exijo de meu leitora compreenção plena dos argumentos do exemplo, mas sugiro que sejam vistas as Figuras 5.6e 5.7 que ilustarm os resultados finais; preste a atenção à transformação que ocorre com afunção-densidade da soma quando acrescenta-se mais uma variável.

hZ(z) =

∫ +∞

−∞fX(z − y)gY (y)dy =

∫ +∞

−∞I[0,1](z − y)I[0,1](y)dy

A questão aqui é encontrar o chamado limite de integração de y, isto é, os valores para osquais essa função

(I[0,1](z−y)I[0,1](y)

)é não-negativa. O símbolo introduzido, I[0,1](y), chamado

de função indicadora, nada mais é do que uma maneira resumida de escrever que gY (y) = 1,se 0 ≤ y ≤ 1. O mesmo vale para I[0,1](z − y) = 1, se 0 ≤ z − y ≤ 1. Ou seja, I[0,1](z − y) = 1,se z − 1 ≤ y ≤ z e I[0,1](y) = 1, se 0 ≤ y ≤ 1. Essa região está representada na Figura 5.6.

-1 0 1 2

1

-1

y = z y = z − 1

z

y

domı́nio de z

domı́nio de y

Figura 5.6: Limites de integração utilizados para cálculo da função de densidade de Z = X+Yvia fórmula (5.4)

Observe (olhe novamente a Figura 5.6) que os valores de y variam conforme os valores de zda seguinte maneira: {

0 ≤ y ≤ z, se z ∈ [0, 1]

z − 1 ≤ y ≤ 1, se z ∈ [1, 2]

Logo, temos que a função de densidade de Z = X + Y é dada por:

hZ(z) =

∫ +∞

−∞I[0,1](z − y)I[0,1](y)dy =

∫ z

01dy = z, se z ∈ [0, 1]∫ 1

z−11dy = 1− (z − 1) = 2− z, se z ∈ [1, 2]

0, se z ≤ 0 ou z ≥ 2

Com representação gráfica ilustrada na Figura 5.7.


z

hZ(z)

0 1 2

1

z 2− z

fdp de Z = X + Y

Figura 5.7: Gráfico da função de densidade de probabilidade resultante, hZ(z)

Fim do Exemplo 44↑

Gostaria que você tivesse na sua mente uma imagem que reflete aquilo que acontece quandose soma duas variáveis aleatórias contínuas. Como as imagens e a imaginação diferem-se depessoa para pessoa, então devo lhe permitir criar a sua, mas gostara de sugerir que você“compre” a minha. Essa está abaixo.

Eu, quando penso no mecanismo que soma uma variável aleatória contínua com outracontínua, imagino as discretizações das duas e enxergo a soma dessas como a discretização dasoma das contínuas. Eis abaixo um exemplo desse tipo de pensamento. No exemplo, aparecemas variáveis aleatórias já vistas no Exemplo 44. Isso dá uma certa continuidade e unificação àexposição como um todo.

↓ Exemplo 45. Cumprindo a promessa colocada no texto imediatamente acima, vou apre-sentar agora minha visão acerca da interação de valores de duas variáveis aleatórias continuasquando essas se somam uma com outra.

Seja X a variável aleatória uniforme no intervalo [0, 1]. Seja Y a variável aleatória com amesma distribuição e sejam as duas independentes entre si. Denotamos por Z a soma das duas,isso é: Z = X + Y .

Primeiro vou considerar, separademente, a discretização de X e Y . Conforme já mostradona Seção 5.1.2, o resultado dessa discretização está na Tabela 5.2.

x 0,05 0,15 0,25 0,35 0,45 0,55 0,65 0,75 0,85 0,95IP (Xdscrtz

10 = x) 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1y 0,05 0,15 0,25 0,35 0,45 0,55 0,65 0,75 0,85 0,95

IP (Y dscrtz10 = y) 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1

Tabela 5.2: Discretização das variáveis X e Y

Agora precisamos calcular os valores possíveis que a variável discretizada Zdscrtz, resultanteda soma de Xdscrtz

10 com Y dscrtz10 , pode assumir. Para isso, montei a tabela auxiliar (Tabela 5.3)

cujo corpo da tabela nada mais é do que a soma dos possíveis valores de Xdscrtz10 com os possíveis

valores de Y dscrtz10 .


x ’y 0,05 0,15 0,25 0,35 0,45 0,55 0,65 0,75 0,85 0,950,05 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 10,15 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,10,25 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,20,35 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,30,45 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,40,55 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,50,65 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,60,75 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,70,85 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,80,95 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9

Tabela 5.3: Cálculo dos valores que Zdscrtz = Xdscrtz10 + Y dscrtz

10 pode assumir (Espaço amostral)

Devo alertar ao leitor que agora vem o passo fundamental para a discretizção de Z: Estouconsiderando que as variáveis X e Y são independentes. Isso quer dizer que estou considerandoque Xdscrtz

10 e Y dscrtz10 são independentes. Na prática, a consequência desse fato é que podemos

utilizar a fórmula abaixo para o cálculos das probabilidades de Zdscrtz.IP [Zdscrtz = x+ y] = IP [Xdscrtz

10 = x, Y dscrtz10 = y] = IP [Xdscrtz

10 = x].IP [Y dscrtz10 = y]

Além disso, devido à natureza da distribuição uniforme, essa probabilidade é a mesma, inde-pendentemente do x e do y considerados:

IP [Zdscrtz = x+ y] = IP [Xdscrtz10 = x, Y dscrtz

10 = y]

= IP [Xdscrtz10 = x].IP [Y dscrtz

10 = y] = 0, 1× 0, 1 = 0, 01

Agora temos toda a informação necessária para calcular a função de densidade da variávelZdscrtz = Xdscrtz

10 + Y dscrtz10 . Observe que, utilizando a Tabela 5.3, basta contar o número de

vezes que cada valor possível de Zdscrtz assume e multiplicar por 0, 01(IP [Zdscrtz = x+ y]

).

Por exemplo, se quisermos calcular a probabilidade de Zdscrtz = 0, 2 ou Zdscrtz = 0, 3:

IP [Zdscrtz = 0, 2] = IP [Xdscrtz10 = 0, 05, Y dscrtz

10 = 0, 15] + IP [Xdscrtz10 = 0, 15, Y dscrtz

10 = 0, 05]

= 0, 01 + 0, 01 = 0, 02

= 2(No de vezes que 0, 2 aparece na Tabela 5.3) × 0, 01

IP [Zdscrtz = 0, 3] = IP [Xdscrtz10 = 0, 05, Y dscrtz

10 = 0, 25]

+ IP [Xdscrtz10 = 0, 25, Y dscrtz

10 = 0, 05]

+ IP [Xdscrtz10 = 0, 15, Y dscrtz

10 = 0, 15]

= 0, 01 + 0, 01 + 0, 01 = 0, 03

= 3(No de vezes que 0,3 aparece na Tabela 5.3) × 0, 01

Seguindo essa lógica, calculo a função de densidade de Zdscrtz = Xdscrtz10 +Y dscrtz

10 , hZdscrtz(z),

z 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1IP (Zdscrtz = z) 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,1

z 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9IP (Zdscrtz = z) 0,09 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01

Tabela 5.4: Função de probabilidade de Zdscrtz


Observe que essa nova variável, Zdscrtz apresenta a mesma tendência de comportamento quea variável Z: Comportamento crescente até 1 (parte vermelha) e decrescente de 1 à 2 (parteazul).

z

hdescrtzZ (z)

0 1 2

0,5

0,1

fdp de Zdescrtz

Figura 5.8: Gráfico da função de probabilidade resultante, hdscrtzZ (z)


5.1.3.2 Soma de uma variável aleatória contínua com uma constanteContinuamos com a exposição entitulada “Manipulações com variáveis aleatórias continuas” eagora passamos a analisar, detalhadamente, aquilo que acontece quando a uma variável aleatóriacontínua acrescenta-se uma constante (c). Para isso, irei mostrar graficamente para o casoespecífico em que que X é novamente uma variável aleatória uniforme no intervalo [0, 1]. Estavariável aleatória foi considerada devido à simplicidade gráfica, mas é importante observar queas ideias aqui apresentadas servem para demais distribuições contínuas. Assim, no nosso casoespecífico, c = 1 e X possui a seguinte função de densidade

f(x) =

{1, se x ∈ [0, 1]

0, caso contrário

Vamos criar, a partir da variável aleatória X, a nova variável Y = X + 1 com função dedensidade dada por g. Aqui, afirmarei que a distribuição dessa variável, é a mesma que a de X,substituindo o argumento (x) da função de densidade de X, por y−1, ou seja, g(y) = f(y−1).Isto quer dizer que g(y) = 1, para 0 ≤ y − 1 ≤ 1, ou seja, para 1 ≤ y ≤ 2:

g(y) =

{1, se y ∈ [1, 2]

0, caso contrário

Ao leitor mais curioso, a dedução dessa fórmula faz-se pelo uso da derivada da função dedistribuição acumulada, explicitado, resumidamente, abaixo:

IP [Y ≤ y] = IP [X + 1 ≤ y] = IP [X ≤ y − 1] ⇒ G(y) = F (y − 1) ⇒ g(y) = f(y − 1)

Assim, podemos observar que a adição de uma constante faz com que o domínio da funçãoseja transladado com valor igual ao dessa constante, no caso 1. Na Figura 5.9, vê-se, claramente,esse efeito no gráfico da função de densidade.


-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.5

1fdp de X

desloca por 1

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.5

1fdp de Y = X + 1

desloca por 1

Figura 5.9: Funções de densidade de probabilidade das variáveis aleatórias X e Y = X + 1

5.1.3.3 Multiplicação de uma variável aleatória contínua por uma constanteEssa é a penúltima parte da seção “Manipulações com variáveis aleatórias continuas”. Aquiveremos o que acontece quando uma variável aleatória contínua é multiplicada por uma cons-tante. Irei continuar o exemplo utilizando a variável X com distribuição uniforme [0, 1]. Assim,como feito anteriomente, vamos criar, a partir da variável aleatória X, a nova variável W = 2Xcom função de densidade dada por h. Novamente, afirmarei que a distribuição dessa variável,é a mesma que a de X considerando um peso de 1

2e substituindo o argumento (x) da função

de densidade de X, por w/2, ou seja, h(w) = 12f(w

2). Isto quer dizer que h(w) = 1

2, para

0 ≤ w2≤ 1, ou seja, para 0 ≤ w ≤ 2:

h(w) =

{12, se w ∈ [0, 2]

0, caso contrário

Observe, caro leitor, que nesse caso além da alteração no domínio da função de densidade(de [0, 1] para [0, 2]), também houve uma mudança no valor que a função assume nesse domínio(de 1 para 1

2). Isto ocorre pois, sendo uma função de densidade, a área embaixo do gráfico

da função e acima do domínio deve ser 1 (Recorde a condição (b) da Definição 13). O que euestou tentando dizer é que se o domínio da função aumenta 2 vezes, o valor da função deve serdiminuído de maneira inversamente proporcional, ou seja, por 1

2, o que pode ser visualizado na

Figura 5.10.

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.5

1fdp de X

desloca por 1

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.5

112

fdp de W = 2X

2 vezes

Figura 5.10: Funções de densidade de probabilidade das variáveis aleatórias X e W = 2X

De maneira análoga ao caso Y = X + 1, a dedução da fórmula da densidade de W, h,faz-se pelo uso da derivada da função de distribuição acumulada, explicitado, resumidamente,da seguinte maneira:

IP [W ≤ w] = IP [2X ≤ w] = IP[X ≤ w

2

]⇒ H(w) = F

(w2

)⇒ h(w) =

1

2f(w2

)Aqui vale uma observação importante. Nesse exemplo, estamos considerando a multiplica-

ção por uma constante maior do que 1. Caso fosse uma constante menor do que um 1, teríamosque o domínio da função diminuiria, implicando no aumento do valor da função, ou seja, ela


esticaria. Novamente, isso tudo porquê a área total deve ser mantida em 1. Como exercício,sugiro que considere o caso em que W ′ = 1

2X.

5.1.3.4 Soma e Multiplicação de uma variável aleatória contínua por constantesNessa última parte da seção “Manipulações com variáveis aleatórias continuas”, juntaremosas manipulações estudadas nas duas partes anteriores e veremos o resultado de acréscimo emultiplicação feitas em sequência com uma variável aleatória contínua. Essa sequência é o queconstrói variáveis aleatórias normais a partir da variável aleatória normal padrão, e, devidoao uso intenso de variáveis aleatórias normais, focamos agora justamente nessa sequência demanipulações. Isso será abordado novamente na Seção 5.5.

Seguindo os exemplos anteriores, irei considerar novamente que X é uma variável uniforme[0, 1] e vou aplicar, primeiramente, a transformação Y = X + 1 e depois a transformaçãoL = 2Y = 2(X + 1). De 5.1.3.2, sabemos que adicionar uma constante positiva faz com que ográfico da função seja transladado à direita (passo indicado em vermelho na Figura 5.10). De5.1.3.3, sabemos que a multiplicação por um constante, faz com que o domínio seja aumentadoe, por consequência, o valor da função seja diminuído (passo indicado em laranja na Figura5.11). Temos então que a função de densidade resultante de L = 2(X + 1), k(l), é dada por:

k(l) =

{12, se l ∈ [2, 4]

0, caso contrário

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.5

1fdp de X

desloca por 1

(1)

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

0.5

112

2(X + 1)

X + 1X

desloca por 1 2 vezes

(2)

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

0.5

112

fdp de L = 2(X + 1)

2 vezes

(3)

Figura 5.11: (1) fdp da variável aleatória X, (2) Método de transformação da variável aleatóriaX para a variável aleatória 2(X + 1) e (3) fdp variável aleatória resultante L = 2(X + 1)

Recado Final: A ideia das seções anteriores é que você, querido leitor, consiga ter um visãográfica do que ocorre quando somamos uma constante à uma variável aleatória e multiplicamospor uma constante uma variável aleatória , além do resultado final aplicando em sequênciaessas duas manipulações. A utilidade dessas manipulações será esclarecida na seção em quetrataremos das Normais Gerais (Seção 5.5). A ideia central que você deve se lembrar é que,independente do que está sendo feito com a variável aleatória , a área abaixo do gráfico dafunção e acima do eixo das abscissas deve continuar sendo 1. Segue um ”pseudo” resumo daideia geral:

(a) Ao somar uma constante positiva, o gráfico da função é deslocado à direita. Ao somar umaconstante negativa (ou subtrair uma constante positiva), o gráfico da função é deslocadoà esquerda.


(b) Ao multiplicar uma variável aleatória por uma constante maior do que 1, o domínio dafunção aumenta e o valor da função no domínio diminui, temos um ”achatamento” dográfico. Ao multiplicar uma variável aleatória por uma constante menor do que 1, o domí-nio da função diminui e o valor da função no domínio aumenta, temos um ”esticamento”do gráfico.


5.2 Variável aleatória normal padrãoA função, que será usada na definição da variável aleatória Normal Padrão é a função f dadapela fórmula abaixo:

f(x) =1√2π

e−x2

2 , para todo x ∈ R (5.5)

Essa será chamada função-densidade da variável aleatória Normal Padrão ou função-densidade da distribuição Normal Padrão. Todos os termos usados nesse nome têm suarazão de ser, e as razões serão reveladas nos momentos oportunos.

O gráfico da função f está apresentado na Figura 5.12.

0x

Figura 5.12: O grafo da função-densidade da variável aleatória Normal Padrão

Por favor, não se assuste com a fórmula da função f . Você não precisa decorá-la, nem preci-sará usá-la em suas provas. Em breve você saberá o porquê disso. São poucas as propriedadesde f que devem ser conhecidas por você, e todas elas são óbvias ou bem compreensíveis. Eis alista delas.

(a) Em primeiro lugar, seu cérebro deve saber imaginar o grafo da função f . Para isso, ésuficiente que você olhe a Figura 5.12 que apresenta cuidadosamente esse grafo. Seriaútil que você decorasse as seguintes caraterísticas: f é côncova quando seu argumentoestá ao redor de 0, e é convexa quando o argumento corre para −∞ ou para +∞. O quenão precisa ser decorado é que as abcissas dos pontos de inflexão são −1 e 1 (que há doispontos de inflexão é meio que óbvio).

(b) A segunda propriedade notável de f é sua simetria em relação à reflexão em torno do eixovertical. Essa propriedade é a consequência direta do fato de que f(x) = f(−x) paracada x ∈ R, fato que verifica-se diretamente da análise da expressão de nossa f .

(c) A terceira propriedade a ser lembrada para sempre é que f é positiva, quer dizer quef(x) > 0 para todo x ∈ R. Isso acontece porquê e elevado a qualquer potência só poderesultar num valor positivo.

(d) A última, quarta, propriedade notável de f é que a área debaixo de seu grafo é 1, ou,mas especificamente, a figura delimitada por baixo pelo eixo de abcissas e por cima pelografo de f tem área 1. A demonstração desse fato exige 3 meses de aulas expositórias, nominimo, e de 1 ano de estudos, caso você deseje entender direitinho todos os ingradientesenvolvidos na demostração desse fato. É óbvio que não temos tempo para isso. Logo,para aceitar a veracidade dessa propriedade, peço que você simplesmente acredite naminha palavra. Assim, essa quarta propriedade torna-se tão fácil e natural como as trêsanteriores.


▷ Esse fato de que a área da figura debaixo do grafo de f é 1 pode estar em descompasso coma intuição que vê a figura como “extendida infinitamente à esquerda e à direita” e conclui –erroneamente mas comprensivamente – que a área de uma figura infinita não pode ser finita.A conclusão é de fato errada e, para mostrar o erro, vou lhe apresentar um exemplo de figurainfinita cuja área é finita. Na minha apresentação, vou usar o fato por você conhecido da épocado colegial que diz que

1

2+

1

4+

1

8+ . . . = 1

e que mostra como se pode chegar a ter um valor finito juntando-se um número infinito de valores.Essa idéia pode ser usada para mostrar que pode existir área ilimitada cuja área é finita. Nomeu exemplo (ilustrado pela Figura 5.13), construo uma função g da seguinte maneira: entre 0e 1, o valor de g é 1/2, entre 1 e 2 é 1/4, entre 2 e 3 é 1/8 e assim por diante.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

1

Figura 5.13: Exemplo de função que delimita uma figura infinita cuja área é finita (no caso, é1).

Obviamente então, a figura debaixo do grafo de g assim construída está composta de retângulos,e a soma das áreas desses é a área da figura toda. Mas a mesma é 1 já que a soma das áreasdos retângulos é a soma da progressão geométrica de razão 1/2.

▷ Muitas vezes alunos me perguntam por que a expressão de f contém estes valores mágicos e eπ. Creio que uma explicação se faz necessária, a fim de que tais alunos se livrem da sensação deque há em f algo místico e inatingível para quem é não-matemático. Esta sensação atrapalhadiversos estudantes na compreensão de fatos a serem apresentados em nosso curso, os quais, naverdade, são muito simples e não usam, de forma alguma, fontes místicas por trás de f .A misticidade erroneamente alegada por alguns deduz-se do encontro e amarração entre cons-tantes e fenômenos universais. O que é universal nessa história são três seguintes coisas:

(a) a constante π que é o quociente do comprimento de uma circunferência e seu diâmetro (suauniversalidade está no fato que esse quociente é válido para qualquer circunferência);

(b) a constante e que é limite

e := limn→∞

(1 +

1

n

)n

(5.6)

(há diversos motivos para enxergar e como constante universal; uma das universalidadesmanifesta-se da seguinte forma: a função ex é a única função cuja derivada coincide comela própria);

(c) a função-densidade da distribuição Normal Padrão (sua universalidade adveio da univer-salidade da distribuição Normal Padrão, que possui essa devido ao Teorema Central doLimite que alega que ela é a única distribuição para a qual convergem somas centraliza-das e normalizadas de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas comvariânica finita, sendo que a referida convergência ocorre para qualquer distribuição davariáveis aleatórias da sequência).


Então, o primeiro encontro místico é o entre π e e na fórmula para f . Na minha concepção dascoisas, isso acontece porquê a área debaixo da função e−x2/2 é

√2π. Foi esse fato que obrigou

a Natureza a dividir e−x2/2 por√2π, já que a área debaixo de f deve ser 1 conforme manda o

desejo da Natureza em fazer de f uma função-densidade. Verdade é que certas pessoas achamque há na Natureza razões muito profundas para tal amarração entre e e π. Eu, pessoalmente,não acho.O segundo encontro místico é entre f de um lado e e e π do outro. Eu não vejo aqui muito mis-tério porquê a demonstração do Teorema Central de Limite mostra para mim que as expressões(1 + 1/n)n surgem naturalmente quando considera-se somas centralizadas e normalizadas devariáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas. Isso se vê pela lente de FunçõesCaracterísticas, fato que complicaria minha explicação caso eu desejasse explicar esse fenômenono presente texto.

Pronto! Foi o que posso lhe contar sobre a magia ao redor da função-densidade da distribuiçãoNormal Padrão. Você, talvez, goste mais dos “Contos de Fadas” de Charles Perrault, entre osquais encontra-se o seu amado conto da Chapezinho Vermelho (sobre o qual notaria que elaescaparia do lobo mau caso ficasse em casa estudando funções-densidade em vez de passear pelafloresta).

Agora vou usar a função f para construir uma variável aleatória. Essa será chamada va-riável aleatória Normal Padrão ou variável aleatória com a distribuição NormalPadrão e denotada por Z. Essa notação será rigirosamente obedecida na presente seção. Nolivro todo, haverão poucos lugares onde a variável aleatória Normal Padrão será denotada poruma letra diferente de Z. Ainda antes de prosseguir para a própria definição de Z, gostaria deavisar que a frase “variável aleatória Z e Normal Padrão” será codificada da seguinte maneira:

Z ∼ N (0; 1) (5.7)

O significado dos números 0 e 1 nessa codificação será revelado quando falarmos sobre todaa família de variáveis aleatórias normais; quanto à letra N da codificação, ela naturalmenteadveio da palavra “normal”.

Minha construção de Z é “por decreto” e meu decreto constitui-se dos seguintes “parágra-fos”:

(a) Z pode assumir qualquer valor em R.

(b) As probabilidades associadas aos valores de Z obedecem as seguintes regras:

(i) para quaisquer números reais a e b (com a < b), a probabilidade da variável aleatóriaZ assumir valor no intervalo (a, b) denota-se por

IP [X ∈ (a, b)] ou IP [a < Z < b] (5.8)

e defina-se como a área situada abaixo do gráfico da função f e acima do intervalo(a, b) (veja Figura 5.14-(1));

(ii) para qualquer número real a, a probabilidade da variável aleatória Z assumir qual-quer valor no raio (−∞, a) denota-se por

IP [Z ∈ (−∞, a)] ou IP [−∞ < Z < a] ou IP [Z < a] (5.9)

e defina-se como a área situada abaixo do gráfico da função f e acima do raio (−∞, a)(veja Figura 5.14-(2));


(iii) para qualquer número real b, a probabilidade da variável aleatória Z assumir valorno raio (b; +∞) denota-se por

IP [Z ∈ (b, ∞)] ou IP [b < Z < ∞] ou IP [Z > b] (5.10)

e defina-se como a área situada abaixo do gráfico da função f e acima do raio (b, ∞)(veja Figura 5.14-(3));

(iv) para qualquer número real c, a probabilidade da variável aleatória Z assumir valorc denota-se por

IP [Z = c] (5.11)e o valor dessa probabilidade declara-se 0. Com o intuito de dar uma uniformidadeàs definições (i)-(iv), podemos agora dizer que a probabilidade no caso (iv) é definidacomo a área da figura situada abaixo do gráfico da função f e acima do ponto c (vejaFigura 5.14-(4)); como tal figura é um intervalo e como a área de qualquer intervaloé 0, então a abordagem via a área está de acordo com o postulado que impus pordecreto que IP [Z = c] é 0.

a b

(1) IP (a < Z < b)

a

(2) IP (−∞ < Z < a)

b

(3) IP (b < Z < ∞)

c

(4) IP (Z = c)

Figura 5.14: Áreas correspondentes aos intervalos descritos nos itens (i)-(iv)

A construção da variável aleatória Z acima apresentada causa estranhesa para qualquer umque a vê pela primeira vez na vida. A razão está no fato de que Z foi introduzida de maneiradiferente daquelas que foram usadas para construir variáveis aleatórias discretas. Para garantirque nada escape de nossa comparação, vamos recordar os caminhos da introdução de variáveisaleatórias discretas. Eram dois.

No primeiro deles, a variável aleatória introduzida não vivia sozinha, mas sim sempre asso-ciada a um experimento aleatório. Nesse caso, a variável associava um valor a cada resultadodo experimento subjacente, e o valor que a variável ia de fato assumir determinava-se pelo re-sultado da proferência do experimento. Essa relação dá o sentido ao termo “a probabilidade davariável aleatória assumir certo valor” e o sentido permitia calcular tal probabilidade a partirde probabilidades atribuídas aos resultados do experimento subjacente. Olhando agora paraa construção da variável aleatória Z percebe-se, facilmente, que essa não segue o caminho deassociação com o experimento aleatório.

É natural você perguntar se existe um experimento aleatórioque pode ser encaixado artifici-almente por de trás da construção de Z de forma tal que essa seja associada a tal experimentoaleatório. A resposta é não. Mas o porquê de “não” exige um argumento cuidadoso que foibrevemente discutido na Seção 5.1.

Tendo a negativa acerca da existência de um experimento aleatório por trás da variávelaleatória Z, apostamos todas as nossas fichas no que a definição de Z siga o segundo caminhode definições de variáveis aleatórias discretas no qual descreve-se o conjunto de todos os possíveisvalores e atribuí-se a probabilidade para cada um deles. Infelizmente, percebe-se de imediatoque isso não pode ser verdade, uma vez que o item (b-iv) da definição declara que para cadavalor c, a probabilidade de Z assumir c é nula.


O que aconteceu então, e porquê? O vilão é o nosso desejo de construir uma variávelaleatória contínua, quer dizer uma variável aleatória que obedece à relação

IP [Z ∈ D] = a área delimitada pela função-densidade acima de D

Acerca disso eu não vou dar detalhes agora, mas mesmo sem recebê-los, você naturalmenteperguntaria: “Para que serve esse desejo uma vez que suas consequências são desastrosas, pelomenos no campo da didática?” Nisso, eu tenho boa resposta: “As variáveis aleatórias contínuassurgem naturalmente como limites de sequências de variáveis aleatórias . Tais limites são usadosem muitas frentes, uma das quais é a elaboração de métodos estatísticos. Essa frente é a maisimportante para nós, pois um dos objetivos principais do presente texto é a introdução dealguns de tais métodos. A despeito da simplicidade dos métodos a serem ensinados, neles jáaparecerão com toda a força os limites de sequências de variáveis aleatórias . Isso acarretaa inevitabilidade de exposição sobre variáveis aleatórias contínuas. Ainda mais: há motivospara substituir certas variáveis aleatórias discretas por variáveis aleatórias contínuas. Um dosmotivos é a facilidade em cálculos que tal substituição proporciona. Isso acarreta a necessidadede falar sobre transformações aplicadas às variáveis aleatórias contínuas, e, em particular, sobresomas delas. Isso nos leva muito para fora da pergunta original, já foi brevemente discutido naSeção 5.1.3 e será retomado quando tratarmos das chamadas Normais Gerais na Seção 5.5.

Então, nosso diálogo acima serviu para eu confirmar sua suspeita de que na construçãode Z há algo difícil para a compreensão de um não-matemático, e que alguns dos pontos dedificuldade foram comentados (e parcialmente esclarecidos) para variáveis aleatórias contínuasna Seção 5.1.1.

De acordo com meu plano de ensino, voltamos agora à variável aleatória Z e aprenderemoso cálculo dos valores de probabilidades do tipo

IP [a < Z < b], IP [Z < a], IP [Z > b] (5.12)

quer dizer, probabilidades que apareceram nas Eqs. (5.8), (5.9), (5.10) da definição de Z. Oscálculos serão feitos com auxílio de uma tabela chamada a Tabela da Distribuição NormalPadrão. Se formos analisar o próprio processo de cálculo, veremos que ele constitui-se demanipulação de figuras delimitadas pela função-densidade f . O objetivo é relacionar essasfiguras com figuras específicas para as quais a referida Tabela fornece os valores de suas áreas.Após achar esse relacionamento, processo que requer habilidades as quais serão aqui a agora lheensinadas, a área da figura será calculada a partir dos valores contidos na referida Tabela, e porfim, a área calculada será associada a uma das probabilidades da lista (5.12). Todo esse processonão é complicado e será ensinado em detalhes. No momento, você só precisa entender que nesseprocesso manipulam-se áreas, mas as manipulações conectam-se com cálculos de probabilidades.Isso é normal, pois no mundo de variáveis aleatórias contínuas, “probabilidade” é definida comoa “área” da figura correspondente.

Mas, antes de partir para o prometido cálculo das probabilidades listadas na Eq. (5.12),gostaria de formular que

IP [Z < a] = IP [Z ≤ a], para qualquer aIP [Z > b] = IP [Z ≥ b], para qualquer bIP [a < Z < b] = IP [a ≤ Z < b] = IP [a < Z ≤ b] = IP [a ≤ Z ≤ b]

(5.13)

e explicar a razão delas valerem. As relações supraformuladas serão usadas nos cálculos a vir,e também têm uma importância para sua compreenção de variáveis aleatórias contínuas.

A demonstração das igualdades (5.13) é um bom exercício de aplicação da propriedade deaditividade de probabilidade. Lembre-se da propriedade (b)-(iv) da construção da variável Z


(IP [Z = c] = 0, c qualquer constante real ) e o fato de que a probabilidade da união de doisconjuntos disjuntos é a soma das probabilidades de cada conjunto. Por exemplo,

IP [Z ≤ a] = IP [Z < a] + IP [Z = a] = IP [Z < a] + 0 = IP [Z < a].

Se você, meu querido leitor, fosse um matemático assim como eu, então tal fato me obrigariaa discutir com você sobre os conjuntos cabíveis nesta definição. Porém, para as necessidadesdeste curso e do curso de estatística básica, é suficiente que tais subconjuntos sejam intervalosou semi-intervalos, ou seja, [a; b], (−∞; a] ou [b; +∞).

▷ Prestem a atenção ao fato de que são três os tipos de problema cuja solução está exposta nastransparências 17–32. As 17–26 abordam o problema do tipo:

(1) dado um limiar z achar a probabilidade de que a variável aleatória normal padrão Z estejamaior (ou menor) que este limiar;

as 27–31 abordam o problema inverso ao problema formulado acima:

(2) achar o limiar z da maneira tal que a probabilidade de que a variável aleatória normalpadrão Z esteja maior (ou menor) que este limiar seja igual a um valor fixado antemão;

e a transparência 32 aborda o problema:

(3) achar o tamanho z tal que se fizermos um passo de tamanho z à direita do 0 e um passoigual à esquerda do 0, então a probabilidade da variável aleatória normal padrão assumirvalor no intervalo resultante (quer dizer, no intervalo [−z, z]) esteja igual a um valordeterminado antemão.

Nossa atenção dada à solução do problema (3) cria uma falsa impressão de que o problema (4)formulado abaixo pode ser resolvido tal facilmente quanto o problema (3):

(4) achar o tamanho z tal que se fizermos 2 passos de tamanho z à direita do 0 e 1 passo detamanho z à esquerda do 0, então a probabilidade da variável aleatória normal padrãoassumir valor neste intervalo (quer dizer, no intervalo [−z, 2z]) esteja igual a um valordeterminado antemão.

Na verdade, o problema (4) é muito mais difícil que (3). Assim, será qualquer outro problemano qual os passos à direita e à esquerda não são iguais. Tal tipo de problema não aparecerá nonosso curso.

A variável aleatória normal padrão é muito importante em ciências exatas e nas aplicações deprobabilidades e estatística em ciências não exatas. Mas, a curto prazo, você, meu queridoleitor, precisará somente calcular valores numéricos das probabilidades; vamos então ao queinteressa. Como se sabe, a área abaixo da função entre dois valores a e b expressa-se por umintegral. Para achar o valor numérico de tal integral, é necessário saber a função primitiva.Porém, não existe expressão analítica da função primitiva para a função f . Por isso existemtabelas que apresentam as áreas abaixo de f para certos valores de a e de b. Os valores numéricosdestas áreas são calculados por métodos de aproximação, os quais não serão discutidos nestetexto, o que, diga-se de passagem, é um alívio para você: tudo o que precisa é aprender a usartais tabelas!

Sobre tais as tabelas, é preciso dizer que se você abrir livros sobre estatística, perceberáque existem diferentes tabelas. Na verdade, todas elas são transitáveis, no sentido que a partirde qualquer uma delas você pode construir qualquer outra. Isso ficará mais claro no seguir dotexto. Agora, vamos listar os tipos mais comuns que você, caro leitor, irá encontrar. Cada umadessas tabelas foi criada para atender a necessidade de alguns procedimentos estatísticos, daía existência de cada uma delas.


1. Tabela que fornece a área acima dos intervalos da forma (−∞; z], isto é, o valor dasprobabilidades até um certo ponto, IP [Z ≤ z], para z não negativo. É o tipo mais comumde tabela, pois retorna os valores da chamada distribuição acumulada da Normal Padrão(Figura 5.15-(1)).

2. Tabela que fornece a área acima dos intervalos da forma [0; z]; isto é, o valor das proba-bilidades para intervalos da forma [0; z], para z não negativo.(Figura 5.15-(2))

3. Tabela que fornece a área acima dos intervalos da forma [−z; z], isto é, o valor dasprobabilidades entre dois pontos simétricos, IP [−z ≤ Z ≤ z]. Essa tabela tem grandeutilidade quando se olha para intervalos de confiança (Figura 5.15-(3)).

4. Tabela que fornece a área acima dos intervalos da forma [z;∞), isto é, o valor das proba-bilidades depois de certo ponto, IP [Z ≥ z], para z não negativo. Essa tabela tem grandeutilidade quando se olha para os chamados testes de hipóteses (Figura 5.15-(4)).

z0

(1) IP (Z ≤ z)

z0

(2) IP (0 ≤ Z ≤ z)

-z z0

(3) IP (−z ≤ Z ≤ z)

z0

(4) IP (Z ≥ z)

Figura 5.15: Ilustração das áreas correspondentes para cada tipo de Tabela da Normal

Segue-se então do texto do parágrafo anterior que, ao precisar calcular o valor da IP [Z ≤ z],para qualquer z ≥ 0, basta consultar a tabela do item 1. Para calcular o valor da IP [0 ≤ Z ≤ z],para qualquer z ≥ 0, basta consultar a tabela do item 2. O mesmo para as outras tabelas.Iremos focar nas tabelas dos itens 1 e 2. Veja os dois exemplos abaixo que ilustram esseprocedimento para essas tabelas.

↓ Exemplo 46. Exemplo de uso da Tabela normal para a determinação de valores das proba-bilidades IP [Z ≤ z] quando z não é menor que 0 e Z ∼ N (0; 1).Queremos encontrar o valor da IP [Z ≤ 2, 35] utilizando a tabela que fornece esses valores dire-tamente. Isto quer dizer que basta procurarmos a linha com o valor de 2, 3 e a coluna com ovalor 5 (segunda decimal). No corpo da tabela estará o valor dessa probabilidade, que é 0, 9906.


2, 35

(1) IP (Z ≤ 2, 35) (2) Tabela com os valores de IP (Z ≤ z),z ≥ 0

Figura 5.16: Área e tabela utilizadas no cálculo de IP (Z ≤ 2, 35)


↓ Exemplo 47. Exemplo de uso da Tabela normal para a determinação de valores das proba-bilidades IP [0 ≤ Z ≤ z] quando z não é menor que 0 e Z ∼ N (0; 1).Queremos encontrar o valor da IP [0 ≤ Z ≤ 2, 35] utilizando a tabela que fornece esses valoresdiretamente. Isto quer dizer que basta procurarmos a linha com o valor de 2, 3 e a coluna com ovalor 5 (segunda decimal). No corpo da tabela estará o valor dessa probabilidade, que é 0, 4906.

0 2, 35

(1) IP (0 ≤ Z ≤ 2, 35) (2) Tabela com os valores de IP (0 ≤ Z ≤ z),z ≥ 0

Figura 5.17: Área e tabela utilizadas no cálculo de IP (0 ≤ Z ≤ 2, 35)


Nesse momento, você leitor deve estar se perguntando: Mas e se eu quiser calcular a IP [0 ≤Z ≤ 2, 35] e tiver em mãos apenas a tabela que fornece os valores de IP [Z ≤ 2, 35]? O mesmopara o outro caso: E se eu quiser calcular a IP [Z ≤ 2, 35] e tiver em mãos apenas a tabela que


fornece os valores de IP [0 ≤ Z ≤ 2, 35]? Conforme já comentado, estamos trabalhando comáreas, então, bastam algumas pequenas manipulações com essas áreas para responder a essapergunta. Antes de partirmos para a resposta, irei enunciar duas propriedades da função-mãeda variável aleatória Z ∼ N (0; 1), que são fundamentais para os cálculos dessas probabilidadese para o caso geral, as quais são apresentadas abaixo:

- Simetria da função f : A função f é simétrica em relação à reflexão realizada em torno do eixode ordenadas. Esta propriedade resulta da forma da função : o valor dela em qualquerponto x é igual ao seu valor no ponto −x (isso ocorre porque x2 na expressão de f farácom que o sinal − “desapareça”).Isso quer dizer que: IP [0 ≤ Z ≤ z] = IP [−z ≤ Z ≤ 0] e IP [Z ≥ z] = IP [Z ≤ −z]

- As áreas abaixo de f à esquerda ou à direita de 0 são 0, 5 cada.Isso quer dizer que: IP [0 ≤ Z < ∞] = IP [−∞ < Z ≤ 0] = 1/2

↓ Exemplo 48. Revisitando o Exemplo 46, agora queremos encontrar o valor da IP [Z ≤ 2, 35]utilizando a tabela que fornece os valores de IP [0 ≤ Z ≤ z], para z ≥ 0. Isto quer dizer queteremos que reescrever essa probabilidade para que ela esteja de acordo com a tabela utilizada.Para isso, basta observar (Figura 5.18) que IP [Z ≤ 2, 35] = IP [0 ≤ Z ≤ 2, 35] + IP [Z ≤ 0].Agora basta procurarmos a linha com o valor de 2, 3 e a coluna com o valor 5 (0,9906) eutilizar a segunda propriedade da função f (IP [Z ≤ 0] = 0, 5), obtendo o mesmo valor obtidoanteriormente de 0, 9906.

IP [Z ≤ 2, 35] = IP [0 ≤ Z ≤ 2, 35] + IP [Z ≤ 0] = 0, 4906 + 0, 5000 = 0, 9906

2, 35

(1) IP (Z ≤ 2, 35)= 0 2, 35

(2) IP (0 ≤ Z ≤ 2, 35)+ 0

(3) IP (Z ≤ 0)

Figura 5.18: Manipulações com áreas para cálculo de IP (Z ≤ 2, 35)


↓ Exemplo 49. Revisitando o Exemplo 47, agora queremos encontrar o valor da IP [0 ≤ Z ≤2, 35] utilizando a tabela que fornece os valores de IP [Z ≤ z], para z ≥ 0. Isto quer dizer queteremos que reescrever essa probabilide para que ela esteja de acordo com a tabela utilizada.Para isso, basta observar (Figura 5.19) que IP [0 ≤ Z ≤ 2, 35] = IP [Z ≤ 2, 35] − IP [Z ≤ 0].Agora basta procurarmos a linha com o valor de 2, 3 e a coluna com o valor 5 (0, 9906) eutilizar a segunda propriedade da função f (IP [Z ≤ 0] = 0, 5), obtendo o mesmo valor obtidoanteriormente de 0, 4906.

IP [0 ≤ Z ≤ 2, 35] = IP [Z ≤ 2, 35]− IP [Z ≤ 0] = 0, 9906− 0, 5000 = 0, 4906


0 2, 35

(1) IP (0 ≤ Z ≤ 2, 35)= 2, 35

(2) IP (Z ≤ 2, 35)− 0

(3) IP (Z ≤ 0)

Figura 5.19: Manipulações com áreas para cálculo de IP (0 ≤ Z ≤ 2, 35)


Agora vou te ensinar como calcular IP [a ≤ Z ≤ b] para quaisquer a e b. O que precisaremospara isso é a Tabela normal e as duas propriedades da função-mãe da variável aleatória Z ∼N (0; 1) já citadas: Simetria (IP [0 ≤ Z ≤ z] = IP [−z ≤ Z ≤ 0] e IP [Z ≤ −z] = IP [Z ≥ z])e IP [0 ≤ Z < ∞] = IP [−∞ < Z ≤ 0] = 0, 5. Para facilitar, em todos os casos estaremosconsiderando que a > 0 e b > 0, isto quer dizer que ao considerarmos esses valores negativos,basta incluir un sinal negativo (−a e −b). O objetivo é obter, via manipulações de áreas, aprobabilidade no formato fornecido pelas tabelas.

Iremos iniciar considerando a Tabela do item 1, ou seja, Tabela que fornece os valores deIP [Z ≤ z], para z ≥ 0.

a. Os dois valores são positivos (a e b)A probabilidade que queremos (área cinza rachurada) corresponde a diferença entre aárea rachurada total - azul e cinza (IP [Z ≤ b]), menos a área rachurada em azul (IP [Z ≤a). Agora basta procurar na Tabela os valores de a e b para encontrar as respectivasprobabilidades e substituí-las na equação:

a b[-∞, b]

0

IP [a ≤ Z ≤ b] = IP [Z ≤ b]− IP [Z ≤ a] (5.14)

b. Os dois valores são negativos (−a e −b)A probabilidade que queremos (área cinza rachurada) corresponde a diferença entre a árearachurada total (IP [Z ≤ −b]) menos a área rachurada em azul (IP [Z ≤ −a]). Observeque, devido a simetria, a área cinza rachurada é igual a área em cinza, ou seja, IP [−a ≤Z ≤ −b] = IP [b ≤ Z ≤ a]. Esse é um caso que pode ser resolvido em apenas umalinha, se você utilizar o gráfico e a simetria da função f . Mas vou detalhar os principaispassos. Primeiro, lembre-se que a área total embaixo da curva é 1, ou seja, a área atéum ponto somada com a área depois desse mesmo ponto é 1. Escrevendo em termos deprobabilidade: IP [Z ≤ b] = 1 − IP [Z ≥ b], para qualquer b (positivo ou negativo). Ooutro passo utiliza a propriedade de simetria da função f . Veja, o gráfico da função de(−∞, 0] é espelhado ao gráfico da função [0,+∞), escrevendo em termos de probabilidade:IP [Z ≤ −a] = IP [Z ≥ a], para qualquer a (positivo ou negativo). Pronto, esses foram ospassos utilizados para chegar na última igualdade da equação.


b a-b-a(-∞,-b]

0

IP [−a ≤ Z ≤ −b] = IP [Z ≤ −b]− IP [Z ≤ −a]

={1− IP [Z > −b]

}−{1− IP [Z > −a]

}= IP [Z > −a]− IP [Z > −b]

= IP [Z ≤ a]− IP [Z ≤ b] (5.15)

c. Um valor é positivo (b) e outro negativo (−a)A probabilidade que queremos (área cinza rachurada) corresponde a diferença entre a árearachurada total (IP [Z ≤ b]) menos a área rachurada em azul (IP [Z ≤ −a]). Aqui, usamosas mesmas propriedade da letra (b): Para qualquer a (positivo ou negativo) temos queIP [Z ≤ −a] = IP [Z ≥ a] e IP [Z ≥ a] = 1− IP [Z ≤ a].

b-a[-∞, b]

0

IP [−a ≤ Z ≤ b] = IP [Z ≤ b]− IP [Z ≤ −a]

= IP [Z ≤ b]− IP [Z ≥ a]

= IP [Z ≤ b]−{1− IP [Z ≤ a]

}(5.16)

d. Um valor é −∞ (a) e outro é positivo (b)Nesse caso, essa é exatamente a probabilidade que a Tabela fornece. Logo, basta procurardiretamente o ponto b na tabela para encontrar a probabilidade.

b0

IP [−∞ < Z ≤ b] = IP [Z ≤ b] (5.17)

e. Um valor é −∞ (a) e o outro é negativo (−b)A probabilidade que queremos (área em cinza rachurada) corresponde a área em cinza.Aqui, usamos novamente as mesmas propriedade da letra (b): Para qualquer b (positivoou negativo) temos que IP [Z ≤ −b] = IP [Z ≥ b] e IP [Z ≥ b] = 1− IP [Z ≤ b].

b-b 0

IP [−∞ < Z ≤ −b] = IP [Z ≥ b] = 1− IP [Z ≤ b] (5.18)

f. Um valor é negativo (−a) e outro é +∞ (b)Aqui, poderia simplesmente aplicar a simetria para conlcuir que IP [Z ≥ −a] = IP [Z ≤a]. Mas, detalhando, observe que a probabilidade que queremos (área cinza rachurada)corresponde a área rachurada total (IP [−∞ < Z < ∞] = 1) menos a área rachurada emazul (IP [Z ≤ −a]). Agora basta usar a propriedade de que IP [Z ≤ a] = 1 − IP [Z ≤ −a]que chegamos no resultado.


-a 0

IP [−a ≤ Z < ∞] = IP [−∞ < Z < ∞]− IP [Z ≤ −a]

= 1− IP [Z ≤ −a] = IP [Z ≤ a] (5.19)

g. Um valor é positivo (a) e outro é +∞ (b)A probabilidade que queremos (área cinza rachurada) corresponde a área rachurada total(IP [−∞ < Z < ∞] = 1) menos a área rachurada em azul (IP [Z ≤ a])

a0

IP [a ≤ Z < ∞] = IP [−∞ < Z < ∞]− IP [Z ≤ a]

= 1− IP [Z ≤ a] (5.20)

Agora vamos considerar a Tabela do item 2, ou seja, a tabela que fornece os valores de IP [0 ≤Z ≤ z], para z ≥ 0.

a. Os dois valores são positivos (a e b)A probabilidade que queremos (área cinza rachurada) corresponde a diferença entre aárea rachurada total - azul e cinza (IP [0 ≤ Z ≤ b]) e a área rachurada em azul. Agorabasta procurar na Tabela os valores de a e b para encontrar as respectivas probabilidadese substituí-las na equação:

a b[0, b]

0

IP [a ≤ Z ≤ b] = IP [0 ≤ Z ≤ b]− IP [0 ≤ Z ≤ a] (5.21)

b. Os dois valores são negativos (−a e −b)A probabilidade que queremos (área cinza rachurada) corresponde a diferença entre aárea rachurada total (IP [−a ≤ Z ≤ 0]) e a área rachurada em azul (IP [−b ≤ Z ≤ 0]).Pela simetria de f , temos que a área rachurada em cinza é igual a área em cinza eIP [−a ≤ Z ≤ 0] = IP [0 ≤ Z ≤ a].

b a-b-a[-a, 0]

0

IP [−a ≤ Z ≤ −b] = IP [−a ≤ Z ≤ 0]− IP [−b ≤ Z ≤ 0]

= IP [0 ≤ Z ≤ a]− IP [0 ≤ Z ≤ b] (5.22)

c. Um valor é positivo (b) e outro negativo (−a)A probabilidade que queremos corresponde a soma da área azul rachurada e laranjarachurada. Novamente, usamos a simetria.


b-a 0

IP [−a ≤ Z ≤ b] = IP [−a ≤ Z ≤ 0] + IP [0 ≤ Z ≤ b]

= IP [0 ≤ Z ≤ a] + IP [0 ≤ Z ≤ b] (5.23)

d. Um valor é −∞ (a) e outro é positivo (b)A probabilidade que queremos corresponde a soma da área azul rachurada e laranjarachurada. Usamos a propriedade de que a área da metade de figura é 1/2, IP [−∞ <Z ≤ 0] = 1/2.

b0

IP [−∞ < Z ≤ b] = IP [−∞ < Z ≤ 0] + IP [0 ≤ Z ≤ b]

= 1/2 + IP [0 ≤ Z ≤ b] (5.24)

e. Um valor é −∞ (a) e outro é negativo (−b)A probabilidade que queremos área (cinza rachurada) corresponde a diferença entre aárea rachurada total (IP [−∞ < Z ≤ 0]) e a área azul rachuraada (IP [−b ≤ Z ≤ 0]). Aquiusamos as duas propriedades da função f .

-b(-∞, 0]

0

IP [−∞ < Z ≤ −b] = IP [−∞ < Z ≤ 0]− IP [−b ≤ Z ≤ 0]

=1

2− IP [0 ≤ Z ≤ b] (5.25)

f. Um valor é negativo (−a) e outro é +∞ (b)A probabilidade que queremos corresponde a soma das áreas azul rachurada e laranjarachurada. Para finalizar, precisamos aplicar as duas propriedades da função f .

-a 0

IP [−a ≤ Z < ∞] = IP [0 ≤ Z ≤ ∞] + IP [−a ≤ Z ≤ 0]

=1

2+ IP [0 ≤ Z ≤ a] (5.26)

g. Um valor é positivo (a) e outro é +∞ (b)A probabilidade que queremos (área cinza rachurada) corresponde a diferença entre aárea rachurada total (IP [0 ≤ Z < ∞]) e a área azul rachurada (IP [0 ≤ Z ≤ a]). Aquiusamos a propriedade IP [0 ≤ Z < ∞] = 1/2.


a[0,∞)

0

IP [a ≤ Z < ∞] = IP [0 ≤ Z < ∞]− IP [0 ≤ Z ≤ a]

=1

2− IP [0 ≤ Z ≤ a] (5.27)

Além das perguntas que pedem para achar o valor da probabilidade IP [a ≤ Z ≤ b], as quaistratamos por completo acima, há mais dois tipos de perguntas que geralmente são feitas, e queserão apresentadas a seguir.

↓ Exemplo 50 Perguntas que são respondidas pelo uso inverso da tabela da distribuição nor-mal.Este tipo de pergunta tem a seguinte característica típica: Dado um valor p entre 0 e 1 e umvalor a, que pode ser infinito, achar z tal que IP [a ≤ Z ≤ z] = p. Por exemplo:

(a) Achar z tal que IP [0 ≤ Z ≤ z] = 0, 4750.

i-) Tabela IP [Z ≤ z], para z ≥ 0. Nesse caso, temos que:

IP [0 ≤ Z ≤ z] = IP [Z ≤ z]− IP [Z ≤ 0] = IP [Z ≤ z]− 0, 5

Igualando ao valor que queremos, temos:

IP [Z ≤ z]− 0, 5 = 0, 4750 ⇒ IP [Z ≤ z] = 0, 4750 + 0, 5 = 0, 9750

Agora basta procurar no corpo da tabela o valor de 0, 9750 para encontrarmos z, nocaso z = 1, 96.

ii-) Tabela IP [0 ≤ Z ≤ z], para z ≥ 0. Nesse caso, basta procurar pelo valor 0, 4750diretamente no corpo da tabela, obtendo z = 1, 96.

(b) Achar z tal que IP [−∞ < Z ≤ z] = 0, 9750.

i-) Tabela IP [Z ≤ z], para z ≥ 0. Nesse caso, basta procurar pelo valor 0, 9750 direta-mente no corpo da tabela, obtendo z = 1, 96.

ii-) Tabela IP [0 ≤ Z ≤ z], para z ≥ 0. Nesse caso, temos que:

IP [−∞ < Z ≤ z] = IP [0 ≤ Z ≤ z] + IP [−∞ < Z ≤ 0] = IP [0 ≤ Z ≤ z] + 0, 5

Igualando ao valor que queremos, temos:

IP [0 ≤ Z ≤ z] + 0, 5 = 0, 9750 ⇒ IP [0 ≤ Z ≤ z] = 0, 9750− 0, 5 = 0, 4750

Agora basta procurar no corpo da tabela o valor de 0, 4750 para encontrarmos z, nocaso z = 1, 96.

(c) Achar z tal que IP [−∞ < Z ≤ z] = 0, 0250.

i-) Tabela IP [Z ≤ z], para z ≥ 0. Note que, apesar da aparente identidade destapergunta com a pergunta do item (b), há uma diferença que afetará o tratamentodesta: o valor 0, 025 da probabilidade é menor que 0, 5 e, portanto, não se encontrana tabela. O que fazer nesse caso então?Primeiramente observe, caro leitor, que o valor 0, 025 é muito baixo para que z sejamaior que zero no caso em que IP [−∞ < Z ≤ z] = 0, 025). Caso precise de ajuda


para verificar esse fato, lembre-se da segunda propriedade de f : IP [−∞ < Z ≤ z] =0, 5. Logo, qualquer z que forneça uma probabilidade acumulada menor que 0, 5,deve ser menor do que zero (IP [−∞ < Z ≤ z] < 0, 5 ⇒ z < 0). Para ficar mais claroque z é negativo, vamos denotar por z = −u, u > 0. Então, a equação que queremosresolver será escrita da seguinte forma: IP [Z ≤ −u] = 0, 025.Veja, pela simetria temos que IP [Z ≤ −u] = IP [Z ≥ u], para qualquer u (Equa-ção (5.18)). Assim,

IP [Z ≤ −u] = IP [Z ≥ u]

= 1− IP [Z ≤ u] ⇒0, 025 = 1− IP [Z ≤ u] ⇒ IP [Z ≤ u] = 0, 9750

Logo, basta procurar no corpo da tabela o valor 0, 9750 para encontrarmos u, ouseja, u = 1, 96 ⇒ z = −u = −1, 96.

ii-) Tabela IP [0 ≤ Z ≤ z], para z ≥ 0. Pelo item (b) já sabemos que:

IP [−∞ < Z ≤ z] = IP [0 ≤ Z ≤ z] + 0, 5 ⇒ IP [0 ≤ Z ≤ z] = 0, 025− 0, 5 = −0, 4750

Isso está completamente errado!!! Não existe probabilidade negativa!!Onde ocorreu o erro então????O erro ocorreu pois, conforme explicado anteriormente, z é menor do que zero.Assim, antes de começar a fazer as manipulações com as probabilidades, lembre-sede verificar se z > 0. Não aplique fórmulas diretamente!Vamos então ao que interessa. Novamente, iremos denotar z = −u, u > 0. Utili-zando a Equação (5.25), temos:

IP [Z ≤ −u] = 0, 5− IP [0 ≤ Z ≤ u]

0, 025 = 0, 5− IP [0 ≤ Z ≤ u] ⇒ IP [0 ≤ Z ≤ u] = 0, 4750

Conforme item anterior, temos que u = 1, 96 ⇒ z = −u = −1, 96.Fim do Exemplo 50↑

↓ Exemplo 51 Pergunta sobre a área central de uma variável aleatória normal.A pergunta pode ser feita assim (claro que há variações na forma de se perguntar a mesmacoisa): achar os valores de Z entre os quais estão compreendidos os 98% centrais da distribuição.A expressão matemática é sempre a mesma: Achar z tal que IP [−z ≤ Z ≤ z] é um valor dadode probabilidade. Vamos resolver este problema para o caso em que o valor exigido é 0, 98,considerando o uso das duas tabelas:i-) Tabela IP [Z ≤ z], para z ≥ 0. Nesse caso, usando a simetria de f , temos que

IP [−z ≤ Z ≤ z] = IP [Z ≤ z]− IP [Z ≤ −z] (5.28)= IP [Z ≤ z]− IP [Z ≥ z]

= IP [Z ≤ z]−{1− IP [Z ≤ z]

}= 2× IP [Z ≤ z]− 1

Agora, basta igualar a equação ao valor exigido, no caso de 0, 98:

2× IP [Z ≤ z]− 1 = 0, 98 ⇒ IP [Z ≤ z] = (0, 98 + 1)/2 = 0, 99

O passo final é procurar no corpo da tabela, o valor de z que resulta na probabilidadede 0, 99. Aqui, não podemos encontrar exatamente a probabilidade desejada no corpo databela, mas encontramos as probabilidades 0, 9898 (z = 2, 32) e 0, 9901 (z = 2, 33). Paraefeitos do curso, qualquer um dos valores pode ser utilizado.


ii-) Tabela IP [0 ≤ Z ≤ z], para z ≥ 0. Nesse caso, usando a simetria de f , temos que

IP [−z ≤ Z ≤ z] = IP [0 ≤ Z ≤ z] + IP [−z ≤ Z ≤ 0] (5.29)= IP [0 ≤ Z ≤ z] + IP [0 ≤ Z ≤ z]

= 2× IP [0 ≤ Z ≤ z]

Agora, basta igualar a equação ao valor exigido, no caso de 0, 98:

2× IP [0 ≤ Z ≤ z] = 0, 98 ⇒ IP [0 ≤ Z ≤ z] = (0, 98)/2 = 0, 49

O passo final é procurar no corpo da tabela, o valor de z que resulta na probabilidade de0, 49. Conforme ocorreu no item anterior, não temos o valor exato no corpo da tabela,mas as probabilidades 0, 4898 (z = 2, 32) e 0, 4901 (z = 2, 33).


▷ Importante mencionar que, atualmente, diversos softwares calculam a probabilidade acumu-lada da distribuição Normal, para um dado z. Por exemplo, a função DIST.NORMP.N do Excele a função pnorm do R. A adoção de tabelas tem motivação didática, para que o aluno compre-enda como manipular probabilidades, de forma que o próprio conceito e as propriedades sejamfirmados.

▷ Uma impressão errada que um professor pode adquirir, após ter trabalhado com a perguntado Exemplo 51, situa-se no fato de que, dado um valor p da probabilidade desejada, achar z talque IP [−z ≤ Z ≤ z] é tão simples quanto achar z que satisfaz, por exemplo, IP [−z ≤ Z ≤ 2z]

ou IP [z ≤ Z ≤ 2z]. Ocorre que as últimas duas perguntas são extremamente difíceis, assimcomo qualquer outra pergunta que seja diferente de IP [−z ≤ Z ≤ z]. O ponto relevante nestadiscussão é que essa boa pergunta se resolve com o uso da simetria da função f . Já em qualqueroutra situação esta simetria não nos auxila.


5.3 Exercícios sobre variável aleatória normal padrãoEx. 56. Seja Z a variável aleatória normal padrão. Determine:(a) IP

[Z ≤ 2, 13

]; (b) IP

[Z < 2, 13

]; (c) IP

[Z ≥ 2, 13

]; (d) IP

[0 ≤ Z < 2, 13

];

(e) IP[Z ≤ −2, 13

]; (f) IP

[− 2, 13 ≤ Z ≤ 2, 13

]; (g) IP

[Z ≤ 5

]; (h) IP

[Z ≤ −4, 5

].

Ex. 57. Seja Z a variável aleatória normal padrão. Determine:(a) o valor de z tal que IP

[Z ≤ z

]= 0, 8907; (b) o valor de z tal que IP

[Z < z

]= 0, 8907; (c) o

valor de z tal que IP[Z ≥ z

]= 0, 1093; (d) aproximadamente, o valor de z tal que IP

[Z ≤ z

]=

0, 9 (Obs.: a solução deixará clara a necessidade da presença do termo “aproximadamente” esua repercussão na abordagem à pergunta.); (e) o valor de z tal que IP

[Z ≤ z

]= 0, 1093; (f)

o valor de z tal que o valor de z tal que IP[− z ≤ Z ≤ z

]= 0.5. Obs.: A tarefa do tipo

do item (f) aparecerá frequentemente no decorrer do curso e, consequentemente, nas provas.Enteretanto, o padrão da tarefa será sempre o do item (f), só 0, 5 pode mudar para outrovalor numérico. Em particular, nunca lhe pedirei nada do tipo “encontrar o valor de z tal queIP[− z ≤ Z ≤ 2z

]= 0.5”. A razão é simples: este e similares são muito difíceis para o nível de

nosso curso.

Exc. 58. No presente exercício, eu repeti as questões dos Exercícios 56 e 57 aplicando pequenasmodificações as quais, na sua maioria, resuzem-se à simples alteração de valor. O motivopara tal repetição é puramente didático. É útil que você saiba de sua essência:Acontece que há poucas as habilidades relacionadas à variável aleatória Normal Padrãoque você precisa adquirir. São duas básicas: (i) dado limiar, achar a correspondenteprobabilidade (como está perguntado nas questões do Exercício 56), e (ii) dada probabili-dade, achar o correspondente limiar (como está perguntado nas questões do Exercício 57).Vale ainda mencionar que para solucionar questões dos grupos (i) e (ii), você precisa sa-ber como manipular as áreas debaixo da função-mão da distribuição Normal Padrão. Talconhecimento poderia ser chamado por habilidade (iii).Se na acquisição das habilidades (i), (ii), (iii) você usou fortemente o gabarito dos Exc. 56e 57, então você precisa receber perguntas semelhantes nas quais você poderia testar ashabilidades adquiridas. É para isso servem as questões do presente exercício. Tente faze-locom forças próprias e consulte o gabarito somente para checar a resposta final.

Seja Z a variável aleatória normal padrão. Determine:

(a) IP[Z ≤ 4.52

]; (h) IP

[− 2.45 ≤ Z ≤ 1.79

];

(b) IP[Z < −5.13

]; (j) o valor de z tal que IP

[Z ≤ z

]= 0.5;

(c) IP[Z ≥ 6.18

]; (k) o valor de z tal que IP

[Z ≤ z

]= 0.121;

(d) IP[0 ≤ Z < 4.98

]; (ℓ) o valor de z tal que IP

[Z ≥ z

]= 0.121;

(e) IP[Z ≥ −7.31

]; (m) o valor de z tal que IP

[Z ≤ z

]= 0.621;

(f) IP[− 2.45 < Z < −1.79

]; (n) o valor de z tal que IP

[Z ≥ z

]= 0.621;

(g) IP[1.79 < Z < 2.45

]; (o) o valor de z tal que IP

[− z ≤ Z ≤ z

]= 0.95.

Exc. 59. Na solução desse exercício, está proibido usar a Tabela da Distribuição NormalPadrão. A idéia da proibição é obrigar você a empregar na sua solução a interpretação deprobabilidade via área e as seguintes propriedades da função-densidade f de distribuiçãonormal padrão: (a) f é espelhadamente simétrica em relação ao eixo vertical; (b) f(x)decresce quando x aumenta de 0 ao +∞, e f(x) decresce quando x diminui de 0 ao−∞ (em termos matemáticos rigorosos, diz-se que f cresce em (−∞, 0] e decresce em[0,+∞)). Só com o intuíto de forncer uma ajudinha a mais, digo lhe que a utilidade dapropriedade (b) está no que ela garante que, por exemplo, IP

[1 ≤ Z ≤ 2

]é maior que

IP[1, 5 ≤ Z ≤ 2, 5

].


Em cada par de probabilidades dadas abaixo, ache a maior sem usar a Tabela da DistribuiçãoNormal Padrão:(a) IP

[Z ≤ 1

]e IP

[Z ≤ 2

]; (b) IP

[Z ≤ −1

]e IP

[Z ≤ −2

];

(c) IP[0 ≤ Z ≤ 1

]e IP

[0 ≤ Z ≤ 2

]; (d) IP

[− 1 ≤ Z ≤ 0

]e IP

[0 ≤ Z ≤ 2

];

(e) IP[− 1 ≤ Z ≤ 2

]e IP

[− 3 ≤ Z ≤ 1

]; (f) IP

[0 ≤ Z ≤ 3

]e IP

[1 ≤ Z ≤ 4

].


5.4 Soluções aos exercícios sobre variável aleatória nor-mal padrão

Solução ao Exc. 56.

(a) Utilizando a Tabela da Distribuição Normal Padrão temos que procurar o valor que estána interseção da linha “2.1” com a coluna “3” (já que a combinação desses dois significaque o limiar para o qual a Tabela dará a correspondente área é 2, 13). Utilizando areferida tabela temos que o valor é 0, 9834, ou seja, P[Z ≤ 2, 13] = 0, 9834.

(b) A P[Z < 2, 13] é igual a P[Z ≤ 2, 13], segundo a explicação dada em aula. Recorde quea igualdade ocorre devido ao fato de que P[Z = z] = 0 para um z qualquer. Vale vocêrecordar que esse fato faz parte da definição da variável aleatória Z, e que ele é válido –também devido à própria definição – para qualquer variável aleatória contínua.

(c) A solução segue-se da relação P[Z ≥ 2, 13] + P[Z < 2, 13] = 1, que implica no queP[Z ≥ 2, 13] = 1 − P[Z < 2, 13] = 1 − 0, 9834 = 0, 0166. A relação usada na solução foiapresentada na aula. A despeito disso, achei que repetir aqui o argumento poderia ser útil.O argumento começa com a substituição de Z ≥ 2, 13 por Z ∈ [2, 13;+∞) e de Z < 2, 13por Z ∈ (−∞; 2, 13). Após disso, observam-se dois fatos: que [2, 13;+∞) e (−∞; 2, 13)não têm pontos em comum (isto pode ser escrito assim: [2, 13;+∞) ∩ (−∞; 2, 13) = ∅),e que a união dessas duas semirretas dá todo o R, quer dizer

[2, 13;+∞) ∪ (−∞; 2, 13) = (−∞,+∞) (5.30)

Esses fatos em conjunto com a propriedade da probabilidade chamada aditividade impli-cam no que

IP [Z ∈ [2, 13;+∞)] + IP [Z ∈ (−∞; 2, 13)] = IP [Z ∈ (−∞; +∞)] (5.31)

Isso acarreta a relação formulada no início da presente solução já que IP [Z ∈ (−∞; +∞)] =1 (e vale lembrar também que essa última igualdade é uma das relações que são colocadaspor decreto na definição de variável aleatória contínua).

(d) O pilar da solução é a relação

P[Z < 0] + P[0 ≤ Z ≤ 2, 13] = P[Z ≤ 2, 13] (5.32)

que deduz-se pelo caminho idêntico àquilo que foi usado na dedução da relação (5.31) (coma intenção de lhe fornecer uma ajudinha extra, digo-lhe que (5.32) segue-se da relação(−∞; 0) ∪ [0; 2, 13] = (−∞; 2, 13] da mesma maneira como (5.31) segui-se da relação(5.30)). Agora, observe que em consequência da simetria da função-mãe da variávelaleatória Z tem-se que o valor da P[Z < 0] é 1/2. Então, juntando as partes, temos queP[0 ≤ Z ≤ 2, 13] = P[Z ≤ 2, 13]− P]Z < 0] = 0, 9834− 0, 5 = 0, 4834.

(e) A simetria da função-mãe nos provem da igualdade P[Z ≤ −2, 13] = P[Z ≥ 2, 13]. Acercada última probabilidade, o item (c) acima nos dá seu valor: 0, 0166. Esse, portanto, é aresposta à questão do presente item.

(f) A chave da solução é a observação de que, devido a simetria da função-mãe, a proba-bilidade em questão é igual a 2 × P[0 < Z ≤ 2, 13]. Usando o resultado do item (d),chega-se então à resposta: 2× 0, 4834 = 0, 9668. Uma segunda forma de obter o mesmoresultado é da seguinte maneira: sabemos que acontece exclusivamente [Z < −2, 13] ou


[−2, 13 ≤ Z ≤ 2, 13] ou [Z > 2, 13], como as probabilidades dos eventos [Z < −2, 13]e [Z > 2, 13] já foram obtidas nos itens (c) e (d) (não são os mesmos eventos porémtêm as mesmas probabilidades pois o evento [Z = 2, 13] tem probabilidade nula), entãoa probabilidade restante corresponde ao evento [−2, 13 ≤ Z ≤ 2, 13].

(g) O limiar 5 não está na Tabela. O valor máximo para limiares presentes na Tabela é 3, 99.Faz-se o que no caso? Argumenta-se nesse caso assim: por um lado, P[Z ≤ 5] ≤ 1 (já quenenhuma probabilidade pode ser maior que 1), e por outro lado, P[Z ≤ 5] ≥ P[Z ≤ 3, 99](pois 5 > 3, 99). Juntando os dois lados com a informação oriunda da Tabela de que:P[Z ≤ 3, 99] = 1, conclui-se que P[Z ≤ 5] = 1. Esta é a resposta final? Não! PoisP[Z ≤ 5] não pode ser 1, por não corresponder à área debaixo de toda a função-mãe, aqual é 1, de acordo com as propriedades de funções-mãe. A resposta correta soa assim:Com a precisão de quatro casas após a virgula, que a Tabela nos proporciona, podemosdeduzir que a parte inteira e as quatro casas após a vírgula do valor da P[Z ≤ 5] são0, 9999. Não vou entrar em maiores detalhes a respeito, pois meus objetivos didâticosme aconselham e obrigam a escolher valores de limiar entre −3, 99 e 3, 99, quer dizer,os valores para os quais a Tabela dá a área correspondente e que está está estritamenteentre 0 e 1. Na prática, se você precisar calcular área ligada aos limiares fora do intervalo[−3, 99; 3, 99], procure pela tabela da distribuição normal cuja precisão seja maior que ada Tabela usada por nós neste curso.

(h) Pelo mesmo raciocínio que o do item (g), a resposta na pergunta deste item é assim:P[Z ≤ −4, 5] é um valor maior que zero, cuja parte inteira e quatro casas após a vírgulasão 0, 0000.


(a) Procuramos o valor 0, 8907 no corpo da Tabela da Distribuição Normal. Este valor estána intersecção da linha “1.2” e a coluna “3”. Portanto, 1, 23 é a resposta à pergunta desteitem.

(b) De acordo com os argumentos apresentados na solução do item (b) do Exercício 1, tem-seque P[Z < z] = P[Z ≤ z], para z qualquer que seja. Então, aproveitando o resultado doitem (a) do presente exercício, conclua-se que a resposta aqui é 1, 23.

(c) Como P[Z ≥ z] + P[Z < z] = 1 para qualquer z que seja (veja a justificativa destaigualdade na solução do item (c) do Exercício 56, e como 1 − 0, 1093 = 0, 8907, então apergunta do presente item pode ser reformulada como achar z para o qual P[Z ≤ z] =0, 8907. Mas isto nós já fizemos na solução do item (a) acima. Portanto, aqui a respostatambém é 1, 23. Outra forma de pensar é considerar P[Z ≥ z] = P[−Z ≤ −z] = P[Z ≤−z] = 0, 1093, o valor de z que satisfaz essas igualdades é z = 1, 23.

(d) Ao tentar a execução da abordagem usada no item anterior, reparamos que 0, 9 não estáno corpo da Tabela da Distribuição Normal Padrão. Isto não significa a inexistência dez satisfazendo P[Z ≤ z] = 0, 9. Ele existe, mas ele é um número com algoritmos além dasegunda casa após a virgula, e como a Tabela foi feita só para limiares com, no máximo,duas casas após a vírgula, então, naturalmente, o valor deste z não está nas marginaisda Tabela, e a área correspondente, quer dizer, 0, 9 não está no seu corpo. Neste caso,procuramos na tabela o valor próximo ao desejado 0, 9. São dois, a saber: 0, 8997 e0, 9015. Qual dos dois serve? A resposta depende de nossos objetivos. Para o efeito deexercícios e provas do curso, pode tomar qualquer um dos dois. Mas seja avisado: se seucolega tomou o valor diferente do seu, os valores de z, o seu e o do colega, sairão diferentes.


Ainda mais, nos exercícios dos capítulos posteriores, este z não será a resposta final, masum valor no meio de uma solução, que ainda, no decorrer da solução, envolver-se-á emcontas algébricas. Isto pode causar graaaaaandes diferenças entre respostas finais, a suae a do seu hipotético colega que escolheu da Tabela o valor diferente do seu. É claro quenenhum de vocês está errado, e que na minha correção de suas soluções, eu não desconteia nota devido à liberdade dada às suas escolhas.Voltando ao números do presente exercício, fecha-se a solução assim: se escolhermos0, 8997, teremos a resposta z = 1, 28, enquanto que a escolha0, 9015 dará z = 1, 29. Estassão nossas respostas, mas devo avisar que há pessoas e materiais didáticos que insistiriamque a resposta é uma e única e que esta é z = 1, 28, já que 0, 8997 está mais próximo que0, 9015 ao requerido 0, 9. Existem também os quem sugerem a calcular o valor de z comoa soma ponderada de 1, 28 e 1, 29, sendo que os pesos destes valores refletem a relaçãoentre as distâncias de 0, 8997 e de 0, 9015 até 0, 9. No caso, as distâncias são 0, 0003 e0, 0015, e a resposta, segundo a sugestão, será assim:

0, 0015

0, 0003 + 0, 0015× 1, 28 +

0, 0003

0, 0003 + 0, 0015× 1, 29 ≈ 1, 2817

Observe que o z do valor mais próximo ao 0, 9 recebe peso maior. As vezes, pessoassimplificam as contas e tomam os pesos iguais, quer dizer, 1/2 para cada um, chegandoentão à resposta

1

2× 1, 28 +

1

2× 1, 29 = 1, 285

Tudo isto é um excesso de capricho do ponto de vista da matéria do presente capítulo.Entretanto, deve ser avisado que a tarefa aqui tratada surge em questões sobre estimaçãode parâmetros e teste de hipóteses, e que nestas, arredondar para mais ou para menossignifica diminuir ou aumentar a confiança da resposta final. Quando chegarmos a taisquestões, farei o comentário apropriado, e deduzirei dele argumento preciso e cuidadosoque dará a resposta única e não dúbia. Mas isto acontecerá lá, no futuro-tal-tal-distante.

(e) Uma olhada na Tabela revela o fato assustador: no seu corpo não se encontra o valor0, 1093. Passando o susto, vimos que isto é normal e acontece por que z deve ser menorque 0. (Se você ainda não percebeu o porque, volte á solução do item (e) do Exercício79. Uma vez que limiares menores que 0 não estão na tabela da distribuição normal,precisamos relacionar nossa tarefa a uma outra que envolve limiar maior que 0. Isto éfácil, pois a relação genérica

P[Z ≤ y] = P[Z ≥ −y], para qualquer y (mesmo negativo)

nos permite concluir que para limiar u relacionado ao “nosso” z via

u = −z (5.33)

valeP[Z ≥ u] = 0, 1093 (5.34)

Esta equação já foi resolvida no item (c). A resposta é:

u = 1, 23 (5.35)

Substituindo isto na Equação 5.33, terminamos a solução: z = −1, 23.Observação: Em vez introduzir u, poderíamos trabalhar com −z. Isto encurta a solução.Mas não lhe aconselho esta economia, pois vi muitas provas cujos autores acham que −z


já é aquele limiar negativo, do qual procuramos, e, como −z = 1, 23 (este resultado é are-escrita da Equação 5.35 com −z substituindo u, o que é legitimo e correto), então aresposta final é 1, 23. É claro que este erro veio da pressa e pressão na hora de prova.Mas se você prefere se prevenir dele, use u no lugar de −z assim como fiz na presentesolução.

(f) O valor procurado atende à relação P[0 ≤ Z ≤ z] = 0, 5/2 = 0, 25 devido à simetriada função-mãe da variável aleatória Z; na tabela não se encontra o valor 0, 25, portantotomaremos um dos mais próximos a este, os quais são 0, 24857 e 0, 25175 e que corres-pondem ao valor de z igual respectivamente, 0, 67 e 0, 68 - pode escolher qualquer umdestes para sua resposta.


(a) Utilizando a Tabela da distribuição normal dada em aula não temos o valor “4,52”,porém temos o valor “3,99” que com quatro casas decimais é considerado ser 1, portanto,a resposta deste item, ou seja, P[Z ≤ 4, 52] = 1.

(b) Queremos calcular P[Z < −5, 13], utilizando o resultado do item (h) do Exercício 56,temos que P[Z < −5, 13] ≤ P[Z < −4, 5] = 0, 0000, como probabilidade não pode sernegativa então temos que P[Z < −5, 13] = 0, 0000.

(c) P[Z ≥ 6, 18] = 1 − P[Z < 6, 18], utilizando o mesmo argumento do item (a) chegaremosque P[Z < 6, 18] = 1 e portanto P[Z ≥ 6, 18] = 0.

(d) P[0 ≤ Z < 4, 98] = P[Z < 4, 98]− 0, 5 = 1− 0, 5 = 0, 5.

(e) P[Z ≥ −7, 31] = 1− P[Z < −7, 31] = 1− 0 = 1.

(f) Temos que P[−2, 45 < Z < −1, 79] = P[1, 79 < Z < 2, 45] pela simetria da função-mãe,dessa forma utilizando a Tabela da distribuição normal padrão, P[−2, 45 < Z < −1, 79] =P[Z < 2, 45]− P[Z < 1, 79] = 0, 9946− 0, 9633 = 0, 0313.

(g) Resultado já calculado no item anterior.

(h) P[−z − 2, 45 ≤ Z ≤ 1, 79] = P[−z − 4, 24 ≤ Z ≤ 0] = 0, 5− P[Z < −z − 4.24]

(i) Pela simetria da função-mãe em torno do zero, então temos que z = 0.

(j) O valor de z tal que P[Z ≤ z] = 0, 121 não está presente na Tabela, porém temos queP[Z ≥ −z] = 0, 121 = 1−P[Z < −z] → P[Z < −z] = 0, 879 → −z = 1, 17 → z = −1, 17.

(k) P[Z ≥ z] = 0, 121 → P[Z < z] = 1− 0, 121 = 0, 879 → z = 1, 17.

(l) P[Z ≤ z] = 0, 621 → z = 0, 31.

(m) P[Z ≥ z] = 0, 621 → P[Z ≤ −z] = 0, 621 → −z = 0, 31 → z = −0, 31.

(n) P[−z ≤ Z ≤ z] = 0, 95 → P[0 ≤ Z ≤ z] = 0, 95/2 pois é função-mãe é simétrica.Portanto P[0 ≤ Z ≤ z] = 0, 95/2 → P[Z ≤ z] = 0, 5 + 0, 95/2 = 0, 975 → z = 1, 96utilizando a Tabela da Distribuição Normal Padrão.


Solução ao Exc. 59. O gabarito deveria ter desenhos e somente desenhos. Isso está deacordo com a proibição no uso da Tabela da Distribuição Normal Padrão conforme imposto peloenunciado. Acontece que fazer desenhos é muito mais trabalhoso do que escrever fórmulas. Foiessa a razão de porquê meu aluno-monitor “desenhou” as soluções usando fórmulas. Entretanto,observe que suas soluções de fato não se amparam em lugar algum na Tabela da DistribuiçãoNormal Padrão.

(a) {Z ≤ 2} = {Z ≤ 1} ∪ {1 < Z ≤ 2} e como P[1 < Z ≤ 2] > 0 então P[Z ≤ 1] < P[Z ≤ 2].

(b) De forma similar. {Z ≤ −1} = {Z ≤ −2}∪{−2 < Z ≤ −1} e como P[−2 < Z ≤ −1] > 0então P[Z ≤ −2] < P[Z ≤ −1].

(c) {0 ≤ Z ≤ 2} = {0 ≤ Z ≤ 1} ∪ {1 < Z ≤ 2} e como P[1 < Z ≤ 2] > 0 entãoP[0 ≤ Z ≤ 1] < P[0 ≤ Z ≤ 2].

(d) Temos que {−1 ≤ Z ≤ 0} e {0 ≤ Z ≤ 1} são eventos com mesma probabilidade. Podemosescrever {0 ≤ Z ≤ 2} = {0 ≤ Z ≤ 1} ∪ {1 < Z ≤ 2}, como P[1 < Z ≤ 2] > 0 entãoP[−1 ≤ Z ≤ 0] < P[0 ≤ Z ≤ 2].

(e) De forma similar ao item (d) temos que: os eventos {−1 ≤ Z ≤ 2} e {−2 ≤ Z ≤ 1}são equivalentes em termos de terem as mesmas probabilidades. Além disso, {−3 ≤ Z ≤1} = {−3 ≤ Z < −2} ∪ {−2 ≤ Z ≤ 1} e portanto P[−3 ≤ Z ≤ 1] > P[−2 ≤ Z ≤ 1] =P[−1 ≤ Z ≤ 2].

(f) Temos que os eventos {0 ≤ Z ≤ 3} e {1 ≤ Z ≤ 4} têm mesmo comprimento, porémo segundo está mais distante do zero, local cuja a função-mãe tem maior probabilidade,portanto P[0 ≤ Z ≤ 3] > P[1 ≤ Z ≤ 4].


5.5 Variáveis aleatórias normais gerais

A exposição da presente seção é sobre a família de variávei aleatórias contínuas chamadasnormais. Um dos membros da família chama-se normal padrão, e essa é a variável construídana Seção 5.2. A inversão de ordem na exposição – do particular para o geral – tem suas razões:a didática desse caminho é a melhor de todas, de acordo com minha experiência.

É assim. Fixo um número real positivo e o chamo por σ (se você não gostar desta linguagemgenérica, pense, por exemplo, que σ = 5). Fixo um outro número real, desta vez pode serpositivo, negativo ou nulo, e o chamo de µ (novamente, você pode usar, por exemplo, µ = 4).Uso os números escolhidos para construir a seguinte função:

fµ,σ(x) =1

σ√2π

e−(x−µ)2

2σ2 , x ∈ R (5.36)

(Os “números” µ e σ são os chamados parâmetros da função construída e é por isso que elesestão mencionados na notação da função.)

Minha intenção é usar no futuro fµ,σ como função-densidade para construir a correspondentevariável aleatória contínua e estudar a mesma, mas antes disso vamos olhar mais cuidadosamentena função construída.

Então, com o intuíto de entender a forma da função fµ,σ, observamos que essa surge sefizermos as seguintes ações com a f(x) =

(√2π

)−1exp−x2/2, função-densidade da variável

aleatória Normal Padrão estudada detalhadamente na Seção 5.2:

substituirmos x em f por 1σ(x− µ) ⇒ deslocamento e ”dilatação” no eixo horizontal

dividirmos por σ ⇒ ”compressão” no eixo vertical

Quanto às ações, vê-se diretamente que elas foram o objeto de estudo da Seção 5.1.3. Seusresultados nos dizem que se dilatarmos f ao longo de eixo horizontal σ vezes, em seguidacomprimirmos σ vezes ao longo de eixo vertical, e, por fim, deslocarmos o grafo todo por µunidades ao longo de eixo horizontal, então obtemos o grafo da função fµ,σ. Esse resultado seráusado muitas vezes, fato que sugere que o mesmo seja destacado como um teorema.

Proposição 15. (Sobre a relação entre f e fµ,σ).O grafo da função fµ,σ obtem-se a partir do grafo da função f via a seguinte sequência detransformações.

Agora passo à construção da variável aleatória a partir da função fµ,σ e ao estudo davariável construída. Antes de mais nada, preciso certificar se fµ,σ é função-densidade, isto é, quefµ,σ(x) ≥ 0 para cada x, e que seu grafo e o eixo horizontal delimitam a figura cuja área é 1. Issoé fácil. A primeira propriedade segue-se do fato que e elevado a qualquer potência resulta numvalor não negativo. A segunda propriedade é a consequência da propriedade correspondente dafunção f e da Proposição 15. De fato, sabe-se que a área da figura delimitada por de baixo peloeixo horizontal e por de cima pelo grafo de f possui área 1. Portanto, quando f foi dilatadaσ vezes na direção horizontal, a figura aumentou sua área σ vezes. Depois, a compressão def na direção vertical por 1/σ diminuiu a área as exatas 1/σ vezes, fazendo com que a figuraresultante tenha área 1. Após isso, a figura é deslocada, mas o deslocamento não afeta a áreada figura. Isso tudo conclui a demonstração da validade da segunda propriedade para fµ,σ.Importante observar que o significado de ”dilatar” e ”comprimir” vai depender do valor de σ,conforme Figuras 5.20 e 5.21.


-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

0.1

0.2

0.3

0.4

µ

σ σf0,1

(1) f0,1

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

0.1

0.2

0.3

0.4

µ

σ σ

(2) Dilata horizontalmente

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

0.1

0.2

0.3

0.4

µ

σ σ

(3) Comprime verticalmente

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

0.1

0.2

0.3

0.4

µ

σ σf1,2

(4) Desloca horizontalmente

Figura 5.20: Transformações realizadas no gráfico da normal padrão (f0,1) que resultam nanormal geral (fµ,σ) para o caso em que σ é maior do que 1.

-3 -2 -1 0 1 2 3

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

µ

σ σf0,1

(1) f0,1

-3 -2 -1 0 1 2 3

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

µ

σ σ

(2) Comprime horizontal-mente

-3 -2 -1 0 1 2 3

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

µ

σ σ

(3) Dilata verticalmente

-3 -2 -1 0 1 2 3

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

µ

σ σ

f1,0.5

(4) Desloca horizontal-mente

Figura 5.21: Transformações realizadas no gráfico da normal padrão (f0,1) que resultam nanormal geral (fµ,σ) para o caso em que σ é maior do que 1.

Agora posso usar qualquer fµ,σ para construir variável aleatória . As variáveis aleatóriasresultantes são extremamente importantes para a Teoria de Probabilidade e para a Estatística,o que me motiva usar definição destacada para essa construção. Acerca de seu conteúdo, avisoque haverá nele termos que adquirirão explicação no texto após a definição.

Definição 15. (Variável aleatória normal geral).Para qualquer µ real e qualquer σ real positivo, a variável aleatória cuja função-densidadeé

fµ,σ(x) =1

σ√2π

e−(x−µ)2

2σ2 , x ∈ R

chama-se normal de média µ e variância σ2.

Relacionado à Definição 15, há a escrita

X ∼ N(µ, σ2

)(5.37)

que leia-se “a variável aleatória X é normal de média µ e variância σ2” ou, em termos preferidospor alguns autores, “a variável aleatória X tem distribuição normal de média µ e variânciaσ2”. A segunda leitura adquire sentido lógico caso fµ,σ for chamada função-densidade dadistribuição normal de média µ e variância σ2. As vezes, eu vou usar esse termo, emboraeu não goste muito dele, e a razão para tal é que o uso dele requer a introdução da média e davariânica de distribuição. Isso pode ser feito facilmente, mas torna a ser um ruído na exposição.


5.5.1 Cálculo de probabilidades para variáveis normais gerais dife-rentes da normal padrão

Veja, caro leitor, após o entendimento de que o gráfico das normais gerais são obtidos viasequência de transformações no gráfico da normal padrão e que as normais gerais são de fatovariáveis aleatórias contínuas, a pergunta que surge naturalmente é: Como calcular probabili-dades dessas variáveis aleatórias?

Partimos então de X ∼ N(µ;σ2), com µ ̸= 0 e σ ̸= 1; σ > 0. Escolhemos dois valores a eb reais (a < b), estes podem ser arbitrários, mas sugiro que você pense em dois valores, comoapresentado na Figura 5.22 (1).

Veremos como podemos alterar esse gráfico em um outro de maneira que a área (probabi-lidade) de interesse seja preservada. A ilustração desse procedimento está na Figura 5.22 parao caso particular em que X ∼ N(1; 22).

• O primeiro passo (Figura 5.22 (2)) é centralizar o gráfico no zero, isso quer dizer que eudesloco toda a figura por |µ| na direção horizontal (vale observar que −” na frente de |µ|significa que o deslocamento será à esquerda por |µ| unidades se µ for positivo, e à direitapor |µ| unidades, se µ for negativo).

• O segundo passo (Figura 5.22 (3)) é comprimir a figura resultante do primeiro passopelo fator σ na direção horizontal (vale observar que se σ for maior que 1, a figuracontrai-se σ vezes, e se for < 1, a figura estica-se 1/σ vezes; em ambos os casos, acontração/esticamento só age numa dimensão).

• O terceiro passo (Figura 5.22 (4)) é esticar a figura resultante do segundo passo pelo fatorσ na direção vertical (vale observar que se σ for maior que 1, a figura estica-se σ vezes, ese for < 1, a figura contrai-se 1/σ vezes; em ambos os casos, a contração/esticamento sóage numa dimensão).

Vejamos agora mais detalhadamente o que acontece com essas áreas afinal. Você, caroleitor, já sabe que transladar um gráfico não altera a sua área. Assim, a área compreendidaentre a e b até o gráfico da função da Figura 5.22 (1) é igual à área entre a − µ e b − µ atéo gráfico da função da Figura 5.22 (2). O segundo passo (Figura 5.22 (3)) resulta no gráficoamarelo, cuja área compreendida entre a−µ

σe b−µ

σaté o gráfico da função é σ vezes menor do

que a área delimitada pelo gráfico anterior (vermelha). Essa “compressão” está refletida nosdeslocamentos dos pontos a − µ e b − µ para a−µ

σe b−µ

σ, respectivamente. O terceiro passo

(Figura 5.22 (4)) resulta no gráfico verde cuja área compreendida entre a−µσ

e b−µσ

até o gráficoda função é σ vezes maior do que a área delimitada pelo gráfico anterior (amarela). Isso querdizer que no final de todas as transformações temos um gráfico com a mesma área delimitadapelo gráfico azul.

Observe que tomamos o caminho inverso da construção de fµ,σ via f0,1. Aqui, partimos deuma área específica no gráfico de fµ,σ (IP [a ≤ X ≤ b]) e encontramos a área equivalente nográfico de f0,1 (IP [a−µ

σ≤ Z ≤ b−µ

σ]). Assim, a área da Figura 5.22 (1) é IP [a ≤ X ≤ b] e a área

da Figura 5.22 (4) é IP [(a− µ)/σ ≤ Z ≤ (b− µ)/σ] e, juntando-se a isso a conclusão de que asduas áreas são iguais, temos, enfim, a seguinte relação:

IP

[a− µ

σ≤ Z ≤ b− µ

σ

]= IP [a ≤ X ≤ b], onde X ∼ N (µ;σ2) e Z ∼ N (0; 1) (5.38)


-3 -2 -1 0 1 2 3

a b

4 5 6

0.1

0.2

0.3

0.4

µ

σ σ

(1) f1,2

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

0.1

0.2

0.3

0.4

(a− µ) (b− µ)

(2) Desloca horizontalmente por µunidades

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

0.1

0.2

0.3

0.4

a−µσ

b−µσ

(3) Contrai horizontalmente σ vezes

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

0.1

0.2

0.3

0.4

a−µσ

b−µσ

(4) Estica verticalmente σ vezes

Figura 5.22: Passos para cálculo de probabilidades de uma normal não padrão via normalpadrão

Uma maneira mais simples de visualizar que o procedimento mantém as mesmas áreas é viaFigura 5.23. Nessa figura, o quadrado vermelho corresponde ao quadrado azul transladado, oretângulo amarelo corresponde ao quadrado vermelho comprimido horizontalmente e o verde, oretângulo amarelo esticado verticalmente. Como já esperado, a área das figuras azul, vermelhae verde são iguais.

Figura 5.23: Ilustração da sequência de ações utilizadas para mostrar que as áreas das figurasazul, vermelha e verde são iguais.

Gostaria de reescrever a igualdade em (5.38) de uma maneira diferente. Para tal, trabalhareicom o lado esquerdo desta igualdade; as transformações que pretendo fazer já foram discutidase justificadas no texto mas, para um melhor entendimento, irei retomá-las. Em primeiro lugar,note que quando X é uma variável aleatória qualquer, x um número qualquer e y um númeroqualquer positivo, então

IP [X ≤ x] = IP

[X

y≤ x

y

](5.39)

Para se convencer de que isso é verdade, considere como X meu salário, o qual você nãoconhece e, portanto, considera ser uma variável aleatória. Note agora que do seu ponto devista, a probabilidade do meu salário ser menor que 1000 é a mesma que a probabilidade dametade do meu salário ser menor que 500. Isso justifica a propriedade (5.39) que diz que aprobabilidade não muda se todas as partes das desigualdades foram divididas ou multiplicadaspor um mesmo valor, o qual deve ser positivo. Em segundo lugar, note que quando X é umavariável aleatória qualquer, e x e y são números reais quaisquer, então

IP [X ≤ x] = IP [X + y ≤ x+ y] (5.40)


A justificativa da última igualdade segue o mesmo modo de argumentação que a da igualdade(5.39). A igualdade (5.40) diz que a probabilidade não mudará, caso seja acrescentada a mesmaquantidade a todos os lados das desigualdades.

Assim, utilizando as equações (5.39) e (5.40) temos:

IP [a ≤ X ≤ b] = IP [a− µ ≤ X − µ ≤ b− µ] subtrai µ

= IP

[a− µ

σ≤ X − µ

σ≤ b− µ

σ

]divide por σ (5.41)

Mas, como IP [a ≤ X ≤ b] = IP[a−µσ

≤ Z ≤ b−µσ

](relação (5.38), podemos concluir que

IP

[a− µ

σ≤ Z ≤ b− µ

σ

]= IP

[a− µ

σ≤ X − µ

σ≤ b− µ

σ

]para quaisquer a e b reais. (5.42)

A relação (5.42) significa que as variáveis aleatórias Z e X−1σ

são, na verdade, a mesmavariável aleatória, ou seja,

se X ∼ N (µ;σ2) então Z =X − µ

σ∼ N (0; 1) (5.43)

O procedimento realizado na equação (5.41) é chamado muitas vezes de ”padronização”. Pormeio dele e da relação (5.43) é que conseguiremos calcular as probabilidades de uma variávelnormal não padrão via normal padrão. Recorde, caro leitor, que há diversas tabelas disponíveis.Nessa seção, iremos focar na tabela que fornece os valores de IP [Z ≤ z], para z ≥ 0 (equações(5.14) - (5.20)). Como ilustração dessa aplicação, seguem os exemplos 52 e 53.

▷ Uma outra maneira de olhar a relação entre a normal padrão e as normais gerais é partindode Z e não de X. Utilizando novamente os princípios (5.39) e (5.40), temos:

IP

[a− µ

σ≤ Z ≤ b− µ

σ

]= IP [a− µ ≤ σZ ≤ b− µ] multiplica por σ

= IP [a ≤ σZ + µ ≤ b] acrescente µ

Mas, a primeira probabilidade nos cálculos acima é igual a IP [a ≤ X ≤ b], conforme (5.38).Portanto, podemos concluir que

IP [a ≤ X ≤ b] = IP [a ≤ σZ + µ ≤ b] para quaisquer a e breais (5.44)

A relação (5.44) significa que as variáveis aleatórias X e σZ + µ, na verdade, são a mesmavariável aleatória. E essa é a conclusão final sobre a relação entre X e Z, a qual desejavadeduzir. Coloco essa relação em destaque abaixo:

se X ∼ N (µ;σ2) então X = σZ + µ onde Z ∼ N (0; 1) (5.45)

▷ Existe uma família de variáveis aleatórias contínuas chamadas variáveis aleatórias normais.Qualquer variável aleatória desta família pode ser definida pelo método “área-abaixo-da-função”.Qualquer uma destas variáveis aleatórias tem uma relação algébrica com a variável aleatórianormal padrão, enquanto sua “função-mãe” tem a relação algébrica com a função-mãe da variávelaleatória normal padrão e, como se espera, estas duas relações têm uma relação entre elas.Conseqüentemente, a introdução de uma variável aleatória normal genérica pode seguir doiscaminhos: um que explora a relação com a variável aleatória normal padrão, e outro que exploraa relação entre as funções-mãe. Escolhi o segundo caminho. Isso quer dizer que introduzirei asvariáveis aleatórias normais genéricas usando funções-mãe e depois, partindo desta definição,derivei a relações delas com a variável aleatória normal padrão. O caminho oposto é tão bomquanto esse; em outras palavras, a escolha do caminho é questão de gosto...


↓ Exemplo 52. Exemplo de cálculo de probabilidade envolvendo uma variável aleatória normalnão padrão com o uso da tabela da distribuição normal padrão que fornece os valores deIP [Z ≤ z], para z ≥ 0.Seja Y ∼ N (1; 4), calcule:

(a) IP [2 ≤ X ≤ 3];

IP [2 ≤ X ≤ 3] = IP [2− 1 ≤ X − 1 ≤ 3− 1]

= IP

[2− 1

2≤ X − 1

2≤ 3− 1

2

]= IP

[2− 1

2≤ Z ≤ 3− 1

2

]= IP [0, 5 ≤ Z ≤ 1]

= IP [Z ≤ 1]− IP [Z ≤ 0, 5] = 0, 8413− 0, 6915 = 0, 1498

(b) IP [−3 ≤ X ≤ −2];

IP [−3 ≤ X ≤ −2] = IP [−3− 1 ≤ Y − 1 ≤ −2− 1]

= IP

[−3− 1

2≤ X − 1

2≤ −2− 1

2

]= IP

[−3− 1

2≤ Z ≤ −2− 1

2

]= IP [−2 ≤ Z ≤ −1, 5]

= IP [Z ≤ −1, 5]− IP [Z ≤ −2] = IP [Z ≥ 1, 5]− IP [Z ≥ 2]

=[1− IP [Z ≤ 1, 5]

]−

[1− IP [Z ≤ 2]

]= IP [Z ≤ 2]− IP [Z ≤ 1, 5] = 0, 9772− 0, 9332 = 0, 0440

(c) IP [−2 ≤ X ≤ 3];

IP [−2 ≤ X ≤ 3] = IP [−2− 1 ≤ X − 1 ≤ 3− 1]

= IP

[−2− 1

2≤ X − 1

2≤ 3− 1

2

]= IP

[−2− 1

2≤ Z ≤ 3− 1

2

]= IP [−1, 5 ≤ Z ≤ 1]

= IP [Z ≤ 1]− IP [Z ≤ −1, 5] = IP [Z ≤ 1]− IP [Z ≥ 1, 5]

= IP [Z ≤ 1]−[1− IP [Z ≤ 1, 5]

]= 0, 8413− [1− 0, 9332] = 0, 7745

(d) IP [−∞ < X ≤ 3];

IP [−∞ ≤ X ≤ 3] = IP [X ≤ 3] = IP [X − 1 ≤ 3− 1]

= IP

[X − 1

2≤ 3− 1

2

]= IP

[Z ≤ 3− 1

2

]= IP [Z ≤ 1] = 0, 8413


(e) IP [−∞ < X ≤ −2];

IP [−∞ ≤ X ≤ −2] = IP [X ≤ −2] = IP [X − 1 ≤ −2− 1]

= IP

[X − 1

2≤ −2− 1

2

]= IP

[Z ≤ −2− 1

2

]= IP [Z ≤ −1, 5] = IP [Z ≥ 1, 5]

= 1− [Z ≤ 1, 5] = 1− 0, 9332 = 0, 0668

(f) IP [−2 ≤ X < +∞];

IP [−2 ≤ X ≤ +∞] = IP [X ≥ −2] = IP [X − 1 ≥ −2− 1]

= IP

[X − 1

2≥ −2− 1

2

]= IP

[Z ≥ −2− 1

2

]= IP [Z ≥ −1, 5]

= IP [Z ≤ 1, 5] = 0, 9332

(g) IP [3 ≤ X < +∞];

IP [3 ≤ X ≤ +∞] = IP [X ≥ 3] = IP [X − 1 ≥ 3− 1]

= IP

[X − 1

2≥ 3− 1

2

]= IP

[Z ≥ 3− 1

2

]= IP [Z ≥ 1]

= 1− IP [Z ≤ 1] = 1− 0, 8413 = 0, 1587


↓ Exemplo 53. Exemplo de cálculo de limiares envolvendo uma variável aleatória normal nãopadrão com o uso da tabela da distribuição normal padrão que fornece os valores de IP [Z ≤ z],para z ≥ 0.Seja X ∼ N (1; 4).

(h) Encontre o valor de x tal que IP [−∞ < X ≤ x] = 0, 75;

IP [−∞ < X ≤ x]

= IP [X ≤ x] = IP [X − 1 ≤ x− 1]

= IP

[X − 1

2≤ x− 1

2

]= IP

[X − 1

2≤ z

], onde z =

x− 1

2

Agora basta procurar no corpo da tabela o valor de 0, 75 para encontrar z. No caso, ovalor mais próximo é z = 0, 67 ⇒ x−1

2= 0, 67 ⇒ x = 2, 34.


(i) Encontre o valor de x tal que IP [−∞ < X ≤ x] = 0, 25;

IP [−∞ < X ≤ x] = IP [X ≤ x]

= IP [X − 1 ≤ x− 1]

= IP

[X − 1

2≤ x− 1

2

]= IP

[Z ≤ x− 1

2

]= IP [Z ≤ z] , onde z =

x− 1

2

Lembre-se que na tabela acumulada, não há valores de probabilidades menores do que0, 5, pois z ≥ 0. Sendo assim, z deve ser um número negativo. Vamos denotar essenúmero por −u, u > 0. Então:

0, 25 = IP [Z ≤ −u] = IP [Z ≥ u] = 1− IP [Z ≤ u] ⇒ IP [Z ≤ u] = 1− 0, 25 = 0, 75

Agora basta procurar no corpo da tabela o valor de 0, 75 para encontrar u. No caso, ovalor mais próximo é u = 0, 67,⇒ z = −0, 67. Logo, x−1

2= −0, 67 ⇒ x = −0, 34.

(j) Encontre os valores entre os quais são compreendidos os 70% centrais da distribuição davariável aleatória X. Ou seja, queremos encontrar X tal que IP [−x ≤ X ≤ X] = 0, 70.

IP [−x ≤ X ≤ x] = IP [X ≤ x]− IP [X ≤ −x] = IP [X ≤ x]− IP [X ≥ x]

= IP [X ≤ x]−[1− IP [X ≤ x]

]= 2× IP [X ≤ x]− 1

= 2× IP [X − 1 ≤ x− 1]− 1

= 2× IP

[X − 1

2≤ x− 1

2

]− 1

= 2× IP

[Z ≤ x− 1

2

]− 1

= 2× IP [Z ≤ z]− 1, onde z =x− 1

2

Primeiro, precisamos igualar ao valor de probabilidade solicitado, 0, 7:

2× IP [Z ≤ z]− 1 = 0, 7 ⇒ IP [Z ≤ z] =0, 7 + 1

2= 0, 85

Agora basta procurar no corpo da tabela o valor de 0, 85 (probabilidade) para encontrarz. No caso, o valor mais próximo é z = 1, 4 ⇒ x−1

2= 1, 4 ⇒ x = 3, 8.


5.5.2 Esperança e variância de variáveis aleatórias normaisO fato é que

Se X é uma variável aleatória normal com a média µ e variância σ2

então IE[X] = µ e Var[X] = σ2 (5.46)


Note que a afirmação de (5.46) não é um pleonasmo. Até agora“variável aleatória normalcom média µ e variância σ2” era apenas um nome e não havia comentado que, ao se calculara esperança e a variância desta variável aleatória, então de fato elas seriam respectivamente µe σ2. Ou, em outras palavras, se tomarmos a variável aleatória criada pela função-mãe fσ,µ ecalcular sua esperança e sua variância, então elas serão iguais, respectivamente, aos parâmetrosµ e σ2 usados na construção da função-mãe.

Os valores de esperança e de variância de uma variável aleatória normal desempenham opapel fundamental nos cálculos das probabilidades envolvendo esta variável aleatória. Lembre-se da fórmula da padronização (5.41) que consiste em subtrair a média de uma variável normalnão padrão e depois dividir pelo seu desvio padrão a fim de obter uma normal padrão (relação(5.43)).

Importante lembrar de algumas propriedades da esperança e variância, já estudadas nasdistribuições discretas, que valem tmabém para qualquer distribuição contínua:

• A esperança da soma é a soma das esperanças, isso quer dizer que IE[X1+X2] = IE[X1]+IE[X2]

• A esperança da diferença é a diferença das esperanças, isso quer dizer que IE[X1 −X2] =IE[X1]− IE[X2]

• Se X1 e X2 são independentes, então a variância da soma da soma é a soma dasvariâncias, isso quer dizer que Var[X1 +X2] = Var[X1] + Var[X2]

• Se X1 e X2 são independentes, então a variância da diferença é a soma das variâncias,isso quer dizer que Var[X1 −X2] = Var[X1] + Var[X2]

Em muitas situações, há necessidade de calcular esses valores no caso das variáveis aleatóriasnormail. Nesse caso, temos que:

• (a) Se X1 ∼ N (µ1, σ21) e X2 ∼ N (µ2, σ

22), independentes, então S = X1 +X2 tem média

µ1 + µ2 e variância σ21 + σ2

2

• (b) Se X1 ∼ N (µ1, σ21) e X2 ∼ N (µ2, σ

22) independentes, então D = X1 −X2 tem média

µ1 − µ2 e variância σ21 + σ2

2

Nesse momento, caro leitor, você já deve estar se perguntado onde isso tudo vai dar. Naverdade, o que estamos tentando fazer aqui é construir as novas variáveis S e D, assunto queserá discutido a seguir.

5.5.3 Soma e diferença de variáveis aleatória normaisNa seção 5.1.3.1 vimos a fórmula (equação (5.4)) para soma de variáveis aleatórias contínuas. Nocaso das variáveis normais, você deve estar se perguntando: Qual será a distribuição resultanteda soma ou da diferença de duas normais quando essas são independentes? Para o seu alívio,não será necessário utilizar a equação equação (5.4) nesse caso. As variáveis aléatórias normais(tanto a padrão quanto a não padrão) possuem uma propriedade interessante na qual a suasoma e a diferença ainda são variáveis aleatórias normais. Veja, isso quer dizer que a área acimado domínio e abaixo do gráfico dessas funções é 1 e que a função é não-negativa. A perguntaque surge imediatamente é: Sendo essas variáveis resultantes normais, quem é a média e avariância dessas novas variáveis? Isso já foi respondido na seção anterior, quando calculamosµS, µD, σ2

S e σ2D. Para facilitar, essa propriedade está enunciada abaixo.


Proposição 16. (Soma e diferença de variáveis aleatórias normais independentes).Se X1 ∼ N (µ1, σ

21) e X2 ∼ N (µ2, σ

22) independentes, então

S = X1 +X2 é uma normal de média µS = µ1 − µ2 e variância σ2S = σ2

1 + σ22

D = X1 −X2 é uma normal de média µD = µ1 − µ2 e variância σ2D = σ2

1 + σ22

▷ A proposição anterior pode ser generalizada considerando n variáveis aleatórias normais eindependentes. Nesse caso, se Xi ∼ N (µi, σ

2i ), para i = 1, . . . , n, então Sn =

∑ni=1Xi ∼

N (∑n

i=1 µi,∑n

i=1 σ2i )

Para fixar melhor as ideias, vamos aos dois exemplos abaixo.

↓ Exemplo 54. Suponha que um pequeno elevador suporte o peso máximo de 160 kg e queo peso das pessoas que utilizam esse elevador possa ser modelado por uma distribuição normalcom peso médio de 75 kg e desvio padrão de 4 kg. Qual é a probabilidade de que com 2 pessoasno elevador, o elevador não ultrapasse o peso máximo?

Seja X1 o peso de uma pessoa dentro do elevador e X2 o peso da outra pessoa dentro doelevador.

Pelo enunciado, temos que: X1 ∼ N (75, 42) e X2 ∼ N (75, 42)

Como estamos considerando 2 pessoas (independência) dentro do elevador, a variável quequeremos é S = X1 +X2. S ∼ N (75 + 75, 16 + 16) ⇒ Z ∼ N (150, 32)

A probabilidade que queremos é IP [S ≤ 160]. Então:

IP [S ≤ 160] = IP [S − 150 ≤ 160− 150]

= IP

[S − 150√

32≤ 160− 150√

32

]= IP

[Z ≤ 160− 150√

32

]= IP [Z ≤ 1, 77] = 0, 9616


↓ Exemplo 55. Suponha que o peso médio de uma pessoa em uma determinada região possaser modelado por uma distribuição normal. Suponha também que há uma diferença entrehomens e mulheres, sendo que mulheres possuem um peso médio de 62 kg, com desvio padrãode 3 kg, e homens um peso médio de 74 kg com desvio padrão de 4 kg. Deseja-se saber aprobabilidade de uma mulher pesar pelo menos 10 kg a mais do que o peso de um homem.

Seja X1 o peso de uma mulher e X2 o peso de um homem.

Pelo enunciado, temos que: X1 ∼ N (62, 32) e X2 ∼ N (74, 42)

D = X1 −X2 ∼ N (62− 74, 9 + 16) ⇒ Z ∼ N (−12, 25)


Veja calcular a probabilidade de uma mulher pesar pelo menos 10 quilos a mais do que umhomem é equilvalente a calcular a probabilidade da diferença do peso de uma mulher eum homem ser maior ou igual a 10kg (X1 ≥ X2 + 10 ⇒ X1 −X2 ≥ 10). Então:

IP [D ≥ 10] = IP [D − (−12) ≥ 10− 12]

= IP

[D + 12

5≥ 10− 12

5

]= IP

[Z ≥ 10− 12

5

]= IP [Z ≥ −0, 4]

= IP [Z ≤ 0, 4] = 0, 6554



5.6 Exercícios sobre variáveis aleatórias normais geraisLembrete sobre notação. A notação “X ∼ N (µ, σ2)” significa “a variável aleatória X temdistribuição Normal com a média µ e a variância σ2”. Se for necessário assinalar que µ e σ2

usadas em contas são, respectivamente, a média e a variância da variável aleatória denotadapor X, vou então usar a notação µX e σ2

X no lugar de µ e σ2.As vezes, em vez de introduzir X via a escrita “X ∼ N (µ, σ2)”, eu escrevo o seu significado

verbal, quer dizer, escrevo algo assim: “seja X a variável aleatória com distribuição Normal demédia µ e de variância σ2”(observe que a preposição “com” após “Normal”, que aponta aosvalores da média e da variância, foi substituida por “de”; isto é permitido, e não muda o sentidode nada). Ainda falando sobre a introdução de variáveis nos enunciados dos exercícios a seguir,devo avisar que a introdução textual, as vezes, pode soar assim: “seja X a variável aleatóriacom distribuição Normal de média µ e de desvio padrão σ”(o exemplo do uso desta maneiraestá já abaixo no Exc. 60.) A razão da troca de indicação ao valor da variância para a queindica o valor do desvio padrão é que o último é o que interessa na fórmula de padronização(veja abaixo). Por favor, evite usar a variância nos lugares destinados ao desvio padrão! Esteaviso aplica-se em dois casos principais: na fórmula de padronização (veja abaixo) e na escritaN (·, ·). Naquela fórmula, o denominador é o desvio padrão, a naquela escrita, o segundo lugarentre as parênteses está destinado à variância, e você e nunca, nunca, nunca2 pode coloca-la ovalor do desvio padrão.Lembrete sobre a fórmula de padronização. Agora vamos à fórmula que você vai usarpara transformar problemas envolvendo Normais Gerais ao problema envolvendo Normal Pa-drão. Tal fórmula chama-se a fórmula de padronização, e seu emprego resulta, no frigir dosovos, na possibilidade do uso da Tabela da Distribuição Normal Padrão para a determinaçãoda resposta numérica. Eis esta: para a e b, números finitos satisfazendo a < b, vale que

IP [a ≤ X ≤ b] = IP

[a− µ

σ≤ Z ≤ b− µ

σ

], onde X ∼ N (µ, σ2) e Z é Normal Padrão (5.47)

Vale apresentar dois casos particulares da fórmula que são frequentemente usados:

IP [X ≤ b] = IP

[Z ≤ b− µ

σ

], e IP [X ≥ a] = IP

[Z ≥ a− µ

σ

](5.48)

Exc. 60. Seja X uma variável aleatória com distribuição normal de média 500 e desvio padrão100.(a) Calcule IP

[X ≤ 450

].

(b) Calcule IP[X ≥ 650

].

(c) Calcule IP[550 ≤ X ≤ 650

].

(d) Dê os valores entre os quais estão compreendidos os 98% centrais da distribuição de X.Dica: Para entender a tarefa, é precisa recordar que o eixo da simetria da função-mãe davariável aleatória X é a reta vertical que passa por x = 500 (a média, cujo valor, no caso,é 500). (Vale recordar também que “função-mãe” é a nossa maneira de chamar aquilo quecomumente chama-se por função-densidade.) Por isto que os valores de X podem ser ditoscomo “centrados em 500”. É uma maneira de se expressar, nada além disto e nada maisprofundo que isto. Traduzindo a linguagem de expressão para os termos usuais, concluimosque a tarefa é achar dois valores a e b, que estejam equidistanciados em relação ao centro da

2Este “nunca, nunca, nunca” eu tomei emprestado da canção “Rule, Britannia”, daquele seu lugar que diz:Rule Britannia!Britannia rule the wavesBritons never, never, never shall be slaves.


distribuição, quer dizer, ao valor 500, e que sejam tais que IP [a ≤ X ≤ b] = 0, 98.(e) Dê o valor de z tal que IP

[X ≤ z

]= 0, 05.

Ex. 61.(a) Determine IP

[X ≤ 1.2

]e IP

[X ≤ −1.2

]para X ∼ N (1; 1);

(b) determine x tal que IP[0 ≤ X ≤ x

]= 0.8 para X ∼ N (1; 1);

(c) determine x tal que IP[X ≤ x

]= 0.8 para X ∼ N (1; 1);

(d) determine IP[Y ≤ 1.2

]e IP

[Y ≤ −1.2

]para Y ∼ N (1; 4);

(e) determine IP[V ≤ 1.2

]e IP

[V ≤ −1.2

]para V ∼ N (1; 16);

(f) determine IP[W ≤ 1.2

]e IP

[W ≤ −1.2

]para W ∼ N (2; 1);

(g) determine IP[U ≤ 1.2

]e IP

[U ≤ −1.2

]para U ∼ N (−0.5; 1);

(h) para cada uma das variáveis aleatórias dos itens acima, determine o limiar tal que a pro-babilidade de assumir valores menores que este limiar seja 0.7;(j) para cada uma das variáveis aleatórias dos itens acima, determine o limiar tal que a proba-bilidade de assumir valores menores que este limiar seja 0.2.

Exc. 62. Na solução desse exercício, você está proibido a usar a Tabela da Distribuição NormalPadrão. A idéia da proibição é obrigar você a empregar na sua solução a interpretação deprobabilidade via área e as propriedades do grafo da função-densidade da distribuição nor-mal; acredito que na solução dos items (e)-(g), será precisa também fazer a padronizaçãodas probabilidades comparadas.

Em cada par de probabilidades dadas abaixo, ache a maior sem usar a Tabela da DistribuiçãoNormal Padrão:(a) IP [2 ≤ Y ≤ 3] e IP [3 ≤ Y ≤ 4], onde Y ∼ N (2; (3)2);(b) IP [2 ≤ U ≤ 3] e IP [3 ≤ U ≤ 5], onde U ∼ N (3; (2)2);(c) IP [2 ≤ V ≤ 3] e IP [2 ≤ W ≤ 3], onde V ∼ N (3; (2)2) e W ∼ N (2; (3)2);(d) IP [0 ≤ A ≤ 1] e IP [2 ≤ B ≤ 4], onde A ∼ N (0; (3)2) e B ∼ N (2; (3)2);(e) IP [−1 ≤ C ≤ 8] e IP [2 ≤ D ≤ 4], onde C ∼ N (2; (3)2) e D ∼ N (4; (1)2);(f) IP [3 ≤ D ≤ 9] e IP [−4 ≤ G ≤ 5], onde D ∼ N (3; (2)2) e G ∼ N (2; (3)2);(g) IP [−20 ≤ F ≤ −5] e IP [−6 ≤ K ≤ 0], onde F ∼ N (0; (5)2) e K ∼ N (−6; (2)2).

Exc. 63.(a) Seja Y a variável aleatória com a distribuição N (0;σ2). Qual deve ser o valor de σ2, querdizer, o valor da variância de Y , para que IP [Y ≤ 1] seja igual a 0, 975?(b) Seja A a variável aleatória com a distribuição N (µ; 22). Qual deve ser o valor de µ, querdizer, da média de A, para que IP [A ≤ 5, 92] seja igual a 0, 975?(c) Seja D a variável aleatória com a distribuição N (µ; 32). Qual deve ser o valor de µ paraque IP [D ≤ 5, 92] seja igual a 0, 975?(d) Ache σ com o qual V ∼ N (0, σ2) satisfaça 0, 9850 = IP [V ≥ −4, 34].(e) Ache µ com o qual U ∼ N (µ, 32) satisfaça 0, 0150 = IP [U ≥ 0, 51].(f) Ache σ com o qual X ∼ N (0, σ2) satisfaça 0, 1190 = IP [X ≤ −4, 72].(g) Ache µ com o qual W ∼ N (µ, 25) satisfaça 0, 2420 = IP [W ≥ 6].

Exc. 64.(a) Ache a média e a variância da variável aleatória X sobre a qual sabe-se que ela temdistribuição normal e que a probabilidade de X assumir valor maior que 25 é igual a 0,1056,enquanto que a probabilidade de X ser maior que 12 vale 0,9772.Dica. A ideia da solução é que cada uma das duas condições dadas no enunciado gera –via a utilização da fórmula de padronização e a posterior consulta à Tabela da DistribuiçãoNormal –uma equação envolvendo os desconhecidos µ e σ. Assim, temos duas equações comduas incognitas. A forma das equações garante a existência e a unicidade da solução.


(b) Ache a média e a variância da variável aleatória X sobre a qual sabe-se que ela temdistribuição normal e que IP [X < 3, 34] = 0, 9850 e IP [X < 2, 36] = 0, 8810.(c) Ache a média e a variância da variável aleatória X sobre a qual sabe-se que ela temdistribuição normal e que IP [X < 1, 31] = 0, 1190 e IP [X < 3, 08] = 0, 9846.

Exc. 65. Para alunos com estudo aprofundado de matemática, tipo os que fazem garduação emMatemática, Matemática Aplicada, Estatística, Física, Economia e qualquer curso da EscolaPolitécnica. É possivel sugerir valores p e q, ambos entre 0 e 1, e valores P e Q da maneiraque os problemas do tipo de Exc. 64 não possua solução, quer dizer que não existam µ e σsatisfazendo IP [X < P ] = p e IP [X < Q] = q, onde X ∼ N (µ, σ2)?


5.7 Soluções aos exercícios sobre variáveis aleatórias nor-mais gerais

Notação: Escreverei padron= para assinalar que nesta passagem uso a fórmula de padronização

e escreverei tabela= para assinalar que uso a Tabela da distribuição normal padrão.

Solução ao Exc. 60. (a) IP [X ≤ 450] = IP [(X − µX)/σX ≤ (450 − 500)/100] = IP [Z ≤−0, 5] = 1− IP [Z ≤ 0, 5]

tabela= 1− 0, 6915.

(b) IP [X ≥ 650] = IP [(X − µX)/σX ≥ (650− 500)/100] = IP [Z ≥ 1, 5] = 1− IP [Z ≤ 1, 5]tabela=

1− 0, 9332.(c) IP [550 ≤ X ≤ 650] = IP [(550 − 500)/100 ≤ (X − µX)/σX ≤ (650 − 500)/100] = IP [0, 5 ≤Z ≤ 1, 5] = IP [Z ≤ 1, 5]− IP [Z ≤ 0, 5]

tabela= 0, 9332− 0, 6915.

(d) A palavra “centrais” significa que procuramos um intervalo cujo centro coincide com o valorda esperança da variável aleatória X, da maneira que a área compreendida nesse intervalo,obtida a partir da função-mãe da variável aleatória X, seja 0,98. Designamos por x a distânciado centro até os limites do intervalo. Com esta notação tem-se que a abcissa do extremoesquerdo do intervalo é 500− x e a do extremo direito é 500 + x, e portanto podemos escrevera pergunta da seguinte maneira formal: achar x tal que IP [500− x ≤ X ≤ 500 + x] seja igual0, 98. Faremos o seguinte cálculo:

0, 98 = IP [500− x ≤ X ≤ 500 + x]

= IP [((500− x)− 500)/100 ≤ (X − µX)/σX ≤ ((500 + x)− 500)/100]

= IP [−x/100 ≤ Z ≤ x/100]

Já que a função-mãe da variável aleatória normal padrão é simétrica em torno do eixo deordenadas, então tem-se a seguinte propriedade:

0, 98 = IP [−x/100 ≤ Z ≤ x/100] se e somente se 0, 98

2= IP [0 ≤ Z ≤ x/100] (5.49)

Para que possamos usar a Tabela, transformaremos a última equação da seguinte maneira:

0, 98

2= IP [0 ≤ Z ≤ x/100] se e somente se 0, 5 +

0, 98

2= IP [Z ≤ x/100] (5.50)

Isso tudo implica no que devemos procurar por x tal que 0, 99 = IP [Z ≤ x/100]. O valor0,99 não está presente entre as probabilidades fornecidas pela Tabela. (Atenção: 0,99 é aprobabilidade e não é um limiar, logo ele deve ser procurado no corpo da Tabela mas não nassuas marginais.) Usaremos 0, 9901 que é o valor mias próximo a 0, 99 presente na Tabela. Essanos dá: 0, 9901 = IP [Z ≤ 2, 33]. Portanto x/100 = 2, 33. Daí, x = 233. Voltando ao intervalosolicitado pelo enunciado, lembramos que na solução deste, designamos por x a distância docentro do intervalo até seus extremos. Como o centro do intervalo está posicionado na médiada distribuição X, que é 500, concluimos que o intervalo procurado é [500− 233; 500 + 233] =[267; 733].(e) 0, 05 = IP [X ≤ x] = IP [(X − µX)/σX ≤ (x − 500)/100] = IP [Z ≤ z], onde denotamos(x− 500)/100 por z. Então, como o “novo” incognito z, o problema soa assim:

achar z tal que 0, 05 = IP [Z ≤ z] (5.51)

Recordeo-lhe que nas soluções de problemas desse tipo (o tipo aqui referido é “achar o limiartal que a probabilidade recortada por ele seja um valor dado”), você deve esboçar o gráfico da


função-densidade e marcar no desenho a figura cuja área está em questão. Fazendo tal desenho,você vé que no presente caso o valor de z só pode ser negativo. Como limiares negativos nãosão forncedidos pela Tabela, então o problema (5.51) deve ser transformada – via a introduçãodo novo incognito u pelo u = −z – no seguinte problema:

achar u tal que 1− 0, 05 = IP [Z ≤ u] (5.52)

Como o valor 0, 95 não está no corpo da Tabela, tomaremos no seu lugar 0, 9505. Para esse, aTabela nos disse: 0, 9505 = IP [Z ≤ 1, 65]. Portanto u = 1, 65, e, consequentemente, z = −1, 65.Lembrando a relação entre x e z, concluímos que x = −1, 65× 100 + 500 = 335.Observação. Conforme observado na solução, não há, no corpo da Tabela da DistribuiçãoNormal, um valor exato 0, 95. Os mais próximos ao 0, 95 são 0, 9495, ao qual corresponde ovalor z = 1, 64, e 0, 9505, ao qual corresponde o valor z = 1, 65. Na solução do item (e) doExc. 60, tomamos z = 1, 65 sem nenhuma razão específica. Observe que se tomassemos 0, 9495,então z seria 1, 64 e, consequentemente, x seria −1, 64 × 100 + 500 = 336. Esse seria umaresposta correta, assim como 335 derivada acima.

AVISO: O gabarito do Exc. 61 foi prepadado pelo monitor do curso. Em alguns lugares, eleusou a Tabela que dá probabilidades para IP [0 ≤ Z ≤ z]. Recorde que a Tabela que nósusamos dá as probabilidades para IP [Z ≤ z]. Isso acarreta uma pequena diferença nos cálculos,mas a resposta final não depende do tipo de tabela usada. NO FUTURO EU PRETENDOCORRIGIR OS CÁLCULOS FEITOS PELO MONITOR PARA UNIFORMIZAR TODOS OSGABARITOS.Solução ao Exc. 61. (a) IP [X ≤ 1.2]

padron= IP [Z ≤ 1.2−1

1] = IP [Z ≤ 0.2]

tabela= 0.5793, e

IP [X ≤ −1.2]padron= IP [Zleq−1.2−1

1] = IP [Z ≤ −2.2] = 1− IP [Z ≤ 2.2]

tabela= 1−0, 9861 = 0.0139.

(b) A igualdade IP [0 ≤ X ≤ x] = 0, 2 equivale, segundo à formula de padronização, àigualdade IP [0−µX

σX≤ Z ≤ x−µX

σX] = 0, 2. Ao introduzir z via z = x − 1 e ao substituir µX e

σX por seus respectivos valores numéricos (que são 1 e 1), escrevemos a última igualdade daseguinte maneira: IP [−1 ≤ Z ≤ z] = 0, 2 ; nesta z é incognito, que queremos achar (para serposteriormente usada afim de achar x). Olhando na igualdade, você percebe que se −1 fosse−∞, você então saberia achar z sem problemas; mesmo se no lugar de −1 houvesse 0, vocêsaberia o caminho que levaria à descoberta de z. Mas −1 é pedra no sapato. Entretanto, hácaminhos para se livrar dele. Um dos mais simples é escrever:

0, 2 = IP [−1 ≤ Z ≤ z] = IP [Z ≤ z] − IP [Z ≤ −1]tabela= IP [Z ≤ z]− (1− 0, 8413) ⇔

⇔ 0, 3587 = IP [Z ≤ z](5.53)

O problema da segunda linha da Eq. (5.53) resolve-se pelo caminho indicado na solução doExc. 57(e). O ponto aqui é que para não errar na resposta, é precia identificar se z está àesquerda ou à direita do 0. No caso, z está à esquerda do 0. De acordo com a abordagemensinada (veja o conteúdo da Observação que se encontra após a resolução do Exc. 57(e)), vocêprecisa introduzir u via u = −z e procurar pelo seu valor que satisfaça IP [Z ≤ u] = 1− 0, 3587.A Tabela nos dá: IP [Z ≤ 0, 36] = 0, 6406. Logo u = 0, 36, e portanto, z = −0, 36. Finalmente,x = z + 1 = −0, 36 + 1 = 0, 64.

O presente arquivo contem soluções dos items (c)-(j) do Exc. 61 preparadas pelo monitor do curso.Eu ainda não verifiquei o texto de monitor, razão pela qual o texto fica invisível para meu leitor.Solução ao Exc. 62.A solução foi feita pelo monitor do curso mas não verificada por mim. Logo, há possibilidade dehaver erros e/ou o uso da linguagem que foge do padrão da linguagem dos textos elaborados pormim.


(a) Fazendo a padronização temos que P[2 ≤ Y ≤ 3] = P[0 ≤ Z ≤ 1/3] e P[3 ≤ Y ≤ 4] =P[1/3 ≤ Z ≤ 2/3]. Ambos os eventos têm comprimento de 1/3. Basta verificar onde quehá maior massa de densidade, ou seja, onde área da função-mãe no respectivo intervaloé maior, como a função-mãe da variável aleatória Z tem área maior em torno da média,que no caso é zero, então a probabilidade P[2 ≤ Y ≤ 3] é maior.

(b) Utilizando o mesmo procedimento do item (a) temos que: P[2 ≤ U ≤ 3] = P[−1/2 ≤Z ≤ 0] = P[0 ≤ Z ≤ 1/2] e P[3 ≤ U ≤ 5] = P[0 ≤ Z ≤ 1], note que P[0 ≤ Z ≤ 1/2] <P[0 ≤ Z ≤ 1]. Portanto P[3 ≤ U ≤ 5] é a maior.

(c) De forma análoga ao item (b) temos que: P[2 ≤ V ≤ 3] = P[−1/2 ≤ Z ≤ 0] = P[0 ≤ Z ≤1/2] e P[2 ≤ W ≤ 3] = P[0 ≤ Z ≤ 1/3]. Notamos que P[0 ≤ Z ≤ 1/2] > P[0 ≤ Z ≤ 1/3],portanto a probabilidade P[2 ≤ V ≤ 3] é maior.

(d) De maneira similar os itens (b) e (c) obtemos que: P[0 ≤ A ≤ 1] = P[0 ≤ Z ≤ 1/3]e P[2 ≤ B ≤ 4] = P[0 ≤ Z ≤ 2/3] portanto P[2 ≤ B ≤ 4] > P[0 ≤ A ≤ 1] poisP[0 ≤ Z ≤ 2/3] > P[0 ≤ Z ≤ 1/3].

(e) P[−1 ≤ C ≤ 8] = P[−1 ≤ Z ≤ 2] e P[2 ≤ D ≤ 4] = P[−2 ≤ Z ≤ 0] = P[0 ≤ Z ≤ 2], noteque P[−1 ≤ Z ≤ 2] > P[0 ≤ Z ≤ 2]. Ou seja, P[−1 ≤ C ≤ 8] > P[2 ≤ D ≤ 4]

(f) Utilizando os argumentos do item (a) temos que os eventos associados as probabilidadeP[3 ≤ D ≤ 9] = P[0 ≤ Z ≤ 3] e P[−4 ≤ G ≤ 5] = P[−2 ≤ Z ≤ 1] têm comprimentosiguais, porém o evento {−2 ≤ Z ≤ 1} acumula mais massa de probabilidade que o evento{0 ≤ Z ≤ 3} pelo fato do primeiro evento está mais concentrado em torno zero do que osegundo.

(g) P[−20 ≤ F ≤ −5] = P[−4 ≤ Z ≤ −1] e P[−6 ≤ K ≤ 0] = P[−6 ≤ Z ≤ −3] os mesmosargumento de (a) e (f), temos comprimentos iguais porém o evento {−4 ≤ Z ≤ −1}acumula mais massa de probabilidade pelo fato de está mais próximo do zero.

Solução ao Exc. 63. (a) A igualdade 0, 975 = IP [Y ≤ 1], que veio do enunciado, junto coma fórmula de padronização dão: 0, 975 = IP [Z ≤ 1/σ], onde Z é a normal padrão. Para esta,usando a Tabela da Distribuição Normal, achamos que 1/σ = 1, 96. Daí, σ ≈ 0, 51, o que é aresposta em termos do desvio padrão. Se desejar dar a resposta em termos da variânica, estaserá: σ2 = (0, 51)2 = 0, 2601.(b) A igualdade 0, 975 = IP [A ≤ 5, 92], que veio do enunciado, junto com a fórmula depadronização dão: 0, 975 = IP [Z ≤ (5, 92−µ)/2], onde Z é a normal padrão. Para esta, usando aTabela da Distribuição Normal, achamos que (5, 92−µ)/2 = 1, 96. Daí, µ = 5, 92−2× 1, 96 = 2.(c) A solução é semelhante à anterior, porém com variância diferente, tendo D ∼ N (µ; 32).

IP [Y ≤ 5.92] = 0.975 → IP [Z ≤ 5.92−µ3

] = 0.975 →→ 5.92−µ

3= 1.96 → −µ = 3× 1.96− 5.92 → µ = 0.04.

(d) O limiar para 0,9850 é 2,17. Daí a relação 4, 34/σ = 2, 17. Isto dá σ = 2.(e) O limiar para 0,0150 é 2,17. Daí surge-se a relação 2, 17 = (0, 51− µ)/3. Isto dá µ = −6.(f) O limiar para 0,8810 é 1,18. Dai 1, 18 = 4, 72/σ. Portanto, σ = 4.(g) O limiar para 0,7580 é 0,70. Portanto 0, 7 = (6− µ)/5. Dai µ = 2, 5.Solução ao Exc. 64. (a) Construimos um sistema de duas equações:{

IP [Z ≥ 12−µσ

] = 0.9772

IP [Z ≥ 25−µσ

] = 0.1056


Estas nos dão que {12−µσ

= −225−µσ

= 1, 25

Observando o sistema, podemos subtrair a 2-a equação da primeira, gerando:

−3.25 =(12− 25)− (µ− µ)

σ→ σ = 4

Agora, para achar a média, só subsituir σ em uma das equações do sistema:

−2 =(12− µ)

4→ µ = 20.

(b) Se não errei nas contas, cheguei à resposta: µ = 1 e σ2 = 22.(c) Se não errei nas contas, cheguei à resposta: µ = 2 e σ2 = 0, 52.Exc. 65. Sim. Na verdade os valores p e q estão relacionados aos valores de P e Q, ouseja, não podemos escolher quaisquer 4 valores para essas quantidades. Por exemplo, suponhaque P = µ e Q = µ + σ, então P[X < P ] = P[X < u] = P[Z < 0] = 0, 5 enquanto queP[X < Q] = P[X < µ + σ] = P[Z < 1] = 0, 8413. Isto é, p tem que ser 0, 5 e q tem quer ser0, 8413. Portanto, com outros valores de p e q não será possível resolver o problema.

capítulo 5 variáveis aleatórias contínuas a classe de variáveis aleatórias chamadas contínuas...

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