becerril espino jose solucion de sistemas de ecuaciones line

Solucin de sistemas deecuaciones lineales medianteel mtodo de Gauss-JordanJos Becerril Espino Lorenzo Bentez Morales

Irene Rivera Valladares Carlos Zubieta Badillo

PROBLEMARIO

BsicasUNIVERSIDADAUTONOMA

METROPOLITANA

Casa abierta al tiempo Azcapotzalco

DERECHOS RESERVADOS 2004, Universidad Autnoma Metropolitana (Mxico). Prohibida la reproduccin de esta obra as como la distribucin y venta fuera del mbito de la UAM. E-libro Bibliomedia [email protected]

PROBLEMARIO

Solucin de sistemasde

ecuaciones lineales medianteel mtodo de Gauss-Jordan


Casa abierta al tiempo

PROBLEMARIO



Este material fue aprobado para su publicacin porel Consejo Editorial de la Divisin de Ciencias Bsicas

e Ingeniera de la Unidad Azcapotzalco de la UAM,en su sesin del da 3 de abril del 2002.



PROBLEMARIO



Jos Becerril EspinosaLorenzo Bentez MoralesIrene Rivera ValladaresCarlos Zubieta Badillo

UNIVERSIDAD JTVlTjkMETROPOLITANA MczmlL Divisin de Ciencias Bsicas e Ingeniera

Casa abierta al tiempoMczmllL Divisin de Ciencias Bsicas e IngAzcapotzalco Departamento de Ciencias Bsicas



UAM-AZCAPOTZALCORECTORMtro. Vctor Manuel Sosa GodnezSECRETARIOMtro. Cristian Eduardo Leriche GuzmnCOORDINADORA GENERAL DE DESARROLLO ACADMICOMtra. Mara Aguirre TamezCOORDINADORA DE EXTENSIN UNIVERSITARIADCG Ma. Teresa Olalde RamosJEFA DE LA SECCIN DE PRODUCCIN Y DISTRIBUCIN EDITORIALESDCG Silvia Guzmn Bofill

ISBN: 970-31-0030-9

UAM-AzcapotzalcoJos Becerril EspinosaLorenzo Bentez MoralesIrene Rivera ValladaresCarlos Zubieta Badillo

Correccin:Marisela Jurez CapistrnIlustracin de Portada:Consuelo Quiroz ReyesDiseo de Portada:Modesto Serrano Ramrez

Seccin de producciny distribucin editorialesTel. 5318-9222 / 9223Fax 5318-9222

Universidad Autnoma MetropolitanaUnidad AzcapotzalcoAv. San Pablo 180Col. Reynosa TamaulipasDelegacin AzcapotzalcoC.P. 02200Mxico, D.F.

Solucin de sistemas de ecuaciones linealesmediante el mtodo de Gauss-Jordan1a. edicin, 20021a. reimpresin, 20032a. reimpresin, 2004

Impreso en Mxico



NDICE

PRESENTACIN 7

I. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES PARA QU? 9

II. SOLUCIN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MEDIANTE ELMTODO DE REDUCCIN DE GAUSS-JORDAN 13A) SISTEMAS CON SOLUCIN NICA 13B) SISTEMAS CON INFINIDAD DE SOLUCIONES 17C) SISTEMAS SIN SOLUCIN 21D) SISTEMAS HOMOGNEOS 23

m ANLISIS DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES QUEINVOLUCRAN CONSTANTES ADICIONALES PARA QUE ELSISTEMA TENGA O NO SOLUCIN 25

IV. USO DE LA CALCULADORA GRAFICADORA PARA LA RESOLUCIN

DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 31

V. APLICACIONES DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 37

VI. EJERCICIOS PROPUESTOS 41

VH. PROBLEMAS PROPUESTOS 45

RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS 51

RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS PROPUESTOS 52

BIBLIOGRAFA 55



PRESENTACIN

La solucin de los sistemas de ecuaciones lineales encuentra una amplia aplicacin en laciencia y la tecnologa. En particular, se puede afirmar, que en cualquier rama de laIngeniera existe al menos una aplicacin que requiera del planteamiento y solucin de talessistemas. Es por eso, que dentro de los planes de estudio de las carreras de ingeniera de laUAM Azcapotzalco, en la materia Complementos de Matemticas, se incluya el temasolucin de sistemas de ecuaciones lineales mediante el mtodo de Gauss-Jordn, por lasventajas que ste ofrece.

Esperamos que estas notas sirvan de apoyo para aquellos alumnos que han llevado o llevenel curso de Complementos de Matemticas, que por alguna razn deseen contar con unmaterial sucinto del tema, con ejercicios similares a los que se proponen en los exmenesdepartamentales. Tambin resulta til para quienes estn interesados en aprender y ejercitarel mtodo de Gauss-Jordn,

Por ltimo, los ejercicios de estas notas se pueden resolver sin el auxilio de una calculadorao computadora personal, sin embargo, incluimos una seccin dedicada a la solucin desistemas de ecuaciones lineales mediante el empleo de la calculadora TI-92, conmanipulacin simblica, ya que nos permite ilustrar cmo a travs de estos instrumentos ycon el software adecuado, por ejemplo MATLAB o DERIVE (la TI-92 cuenta conDERIVE) pueden obtenerse los mismos resultados. Las calculadoras graneadoras, dentrodel saln de clase, y las computadoras personales en casa o en los laboratorios escolaresson, sin duda, instrumentos de uso cotidiano.



I. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES PARA QUE?En esta seccin se presentan cuatro problemas cuya solucin requiere del planteamiento deun sistema de ecuaciones lineales.

Problema 1Una compaa minera extrae mineral de dos minas, el cual contiene para la mina I el 1% denquel y 2% de cobre, para la mina II el 2% de nquel y 5% de cobre. Qu cantidad demineral se deber extraer de cada mina para obtener 4 toneladas de nquel y 9 toneladas decobre?Solucin:Cul es el problema? Qu se busca?Queremos saber el nmero de toneladas de mineral que hay que extraer de cada mina,asignemos literales a esos nmeros.

Sean x el nmero de toneladas que se extrae de la mina I.y el nmero de toneladas que se extrae de la mina I I

Establezcamos ahora relaciones algebraicas entre las literales.Cunto se obtiene de nquel de la mina I? 0.0 lx.Y de la mina II? 0.02>> luego:

Anlogamente para el cobre tenemos:0.02*+ 0.05)/= 9

As, para saber cuantas toneladas hay que extraer de cada mina debemos resolver el sistemade dos ecuaciones lineales con dos incgnitas:

0.02* + 0.05^ = 9

Problema 2Luis y Vctor son dos amigos que invierten en acciones burstiles, entre ellos se entabla elsiguiente dilogo:Vctor-He comprado acciones de alfa, peoles y vitro.LuisQu cantidad tienes de cada una de ellas?



Vctor- adivina!Luis-Dime el valor total de tus acciones en tres das diferentes y te dir cuantas tienes decada una.Victor-El martes 21 de noviembre del 2000 a precio de cierre las acciones valan 138900,el 28 de noviembre valan 131220 y el 5 de diciembre 121280 pesos.Luis conoce la siguiente informacin:El 21 de noviembre el precio de alfa, peoles y vitro era respectivamente 16.98, 9.0, 9.0; el28 de noviembre 15.90, 8.72, 8.52 y el 5 de diciembre 14.08, 8.20, 8.76.Qu cantidad de acciones tiene Vctor?Solucin:Cul es el problema? El nmero de acciones que tiene Vctor de cada tipo.Asignemos literales, sean:

A la cantidad de acciones que tiene de alfa.P la cantidad de acciones que tiene de peoles.V la cantidad de acciones que tiene de vitro.

Establezcamos relaciones algebraicas entre las literales.El martes 21 de noviembre las acciones de alfa que adquiri Vctor valan 16.98,4, las depeoles valan 9/\ las de vitro valan 9Fy todas juntas valan $138900 por lo tanto:

16.98,4 + 9P + 9F = 138900Anlogamente para el 28 de noviembre se tiene:

15.90,4 -f 8.72P + 8 52F = 131220Y el 5 de diciembre:

14.08^4 + 8.20P 4- 8.76F = 121280Luis sabr el nmero de acciones que tiene Vctor s resuelve el sistema de tres ecuacionescon tres incgnitas.

16.98,4 + 9P + W =13890015.90,4+ 8.72P + 8.52F=: 13122014.08,4 +8.2GP + 8.76F = 121280

10DERECHOS RESERVADOS 2004, Universidad Autnoma Metropolitana (Mxico). Prohibida la reproduccin de esta obra as como la distribucin y venta fuera del mbito de la UAM. E-libro Bibliomedia [email protected]


Problema 3En una fbrica de ropa se producen tres estilos de camisas que llamaremos 1,2, 3. Cadaprenda pasa por el proceso de cortado, cosido, planchado y empaquetado. Las camisas seelaboran por lote. Para producir un lote de camisas del tipo 1 se necesitan 30 miapara

cortarlas, 40 miapara coserlas y 50 minpara plancharlas y empaquetarlas. Para el tipo 2,50 miapara cortar, 50 miapara coser y 50 mia para planchar y empaquetar. Para el tipo 3,65 miapara cortar, 40 miapara coser y 15 miapara planchar y empaquetar. Cuntos lotesse pueden producir si se trabajan 8 horas en cortar, 8 horas en coser y 8 horas en planchar yempaquetar?Solucin:

Queremos saber cuantos lotes de cada tipo de camisa se pueden producir, asignemosliterales.

Sea x el nmero de lotes de camisas del tipo 1 que se pueden producir.Sea >> el nmero de lotes de camisas del tipo 2 que se pueden producir.Sea z el nmero de lotes de camisas del tipo 3 que se pueden producir.Establezcamos relaciones algebraicas entre las variables.El nmero de minutos que se emplean en cortar una camisa del tipo 1 es 30x, del tipo 2 es50y, y del tipo 3 es 65z.El nmero total de minutos que se emplea en cortar todas las camisas es:

30* + 50y + 65z

Y tiene que ser igual a 480 minutos que son las 8 horas que se trabajan en cortar

Anlogamente en coser se tiene:40x + 50^ + 40^ = 480

En planchar y empaquetar tenemos:

Luego s queremos resolver el problema hay que solucionar el sistema de tres ecuacioneslineales con tres incgnitas.

40x + 50>>-f 40z = 480



Problema 4Tres compuestos se combinan para formar tres tipos de fertilizantes. Una unidad delfertilizante del tipo I requiere 10 kg del compuesto A, 30 kg del compuesto B y 60 kg delcompuesto C. Una unidad del tipo II requiere 20 kg del A, 30 kg del 2?, y 50 kg del C. Unaunidad del tipo III requiere 50 kg del A y 50 kg del C. Si hay disponibles 1600 kg del A,1200 kg del B y 3200 del C. Cuntas unidades de los tres tipos de fertilizantes se puedenproducir si se usa todo el material qumico disponible?Solucin:Queremos saber cuantas unidades de cada tipo de fertilizante se pueden producir,asignemos literales.Sea x el nmero de unidades del fertilizante del tipo I.Seaj el nmero de unidades del fertilizante del tipo ILSea z el nmero de unidades del fertilizante del tipo III.Establezcamos relaciones algebraicas entre las variables.La cantidad de kilogramos del compuesto^ que contiene el fertilizante del tipo I es lOx, deltipo II es 2Qy, y del tipo III es 50z.El nmero total de kilogramos del compuesto^ es:

IOJC + 20J; + 50Z

Y tiene que ser igual a 1600 kg que son los kilogramos disponibles del compuesto A.;. IOJC + 20>> + 50^ = 1600

Anlogamente para el compuesto B se tiene

Para el compuesto C se tiene60*+ 50^ + 50* = 3200

As, para saber cuantas unidades de cada tipo de fertilizante se pueden producir, hay queresolver el sistema de tres ecuaciones lineales con tres incgnitas.

30x4-30^ =

Al terminar la seccin II el lector estar en condiciones de resolver los sistemas deecuaciones lineales anteriores.



II. SOLUCIN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MEDIANTE ELMTODO DE REDUCCIN DE GAUSS-JORDAN

En esta parte el lector hallar la solucin de sistemas de ecuaciones lineales usando el

Mtodo de Gauss-Jordn. El tema se presenta en 4 secciones: A) sistemas con solucinnica, B) sistemas con infinidad de soluciones, C) sistemas sin solucin y D) sistemashomogneos.

A) SISTEMAS CON SOLUCIN NICA1) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales mediante el mtodo de Gauss-Jordn.

2x + 3> + z = 1

5x - y - z = 4

Solucin:

a) Escribimos la matriz aumentada del sistema.'23 i r3 - 2 - 4 - 3

V5 - 1 - 1 4 ,

Debemos llevar a dicha matriz a su forma escalonada reducida mediante operaciones

elementales en los renglones de la matriz, para sto, escribiremos la matriz y a continuacin

una flecha. Encima de esta flecha indicaremos la(s) operacin(es) que estamos efectuandopara que el lector pueda seguir el desarrollo.

Notacin para las operaciones elementales en renglones

cRi nuevo rengln / de la matriz aumentada.

Rf 292

32 J

\c\ 13 11 9\j ~r 7r 7T

o -

13



2/fc12

1 1 13

-17 - 7

2_9_133

1 2 2

0 1 0 - 10 0 1 2

v j

1 Io i n z

121113

o o13

96 19213 13.

96

1 0 0 10 1 0 - 1

,0 0 1 2 y

i 1 i2 20

H0 0 1

2 = 2

c) Interpretacin del resultado. La ltima matriz escalonada reducida indica que:La solucin del sistema es x -1, y = - 1 , z = 2 .

2) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones.3x+2y + 4z = 15x - y ~ 3z = - 74JC + 3j; + z = 2

Solucin:a) La matriz aumentada del sistema es:

'3 2 4 1 ^5 - 1 - 3 - 7

,4 3 1 2J

El primer elemento del primer rengln queremos que sea uno, una manera de obtenerlo esdividiendo entre 3, sin embargo, no es el nico camino (ni el mejor) para obtenerlo, en estecaso obtendremos - 1 , primero y despus haremos cero los dems elementos de la primercolumna, posteriormente obtendremos 1.

b) Desarrollo.

3 2 45 - 1 - 34 3 1

n- 72

- 1 - 1 3 - 15 - 1 - 3 - 74 3 1 2

M -i 3 -r0 - 6 12 -120 -1 13 - 2

i i -3 n0 1 - 2 20 - 1 13 - 2

1 1 - 3 10 1 - 2 20 0 11 0

fl 1 - 30 1 - 2 20 0 1 0

14



2R3+R2 (\ \ O

0 1 0 2 ~R2+Rl >l0

V

010

001

-r2

ojX

z

zz ]

= 2= 0v0 0 1 0,

c) Resultado.La solucin del sistema es x = - 1 , y = 2, z = 0.

3) Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones linealesa - 6 - ~6

c + 2d^4

Solucin;

Escribiendo la matriz aumentada del sistema y reduciendo de acuerdo a la operacinindicada tenemos:

n00

^2

l000

- 1100

1100

0110

011

- 2

002

- 3

002

- 3

- 6 ^345 >

- 63411

l -1 0 0 -6}0 1 1 0 30 0 1 0 -34

v0 0 0 1 19

l 0 0 0 3T0 1 0 0 370 0 1 0 -340 0 0 1 19

-R3+R2

l -1 0 0 -6^0 1 1 0 30 0 1 2 40 2 0 - 3 17

Ti - 1 0 0 - 6 N

0 1 1 0 30 0 1 2 40 0 0 1 19

1 -1 0 0 - 60 1 0 0 370 0 1 0 -340 0 0 1 19

= 37= -34= 19

-2R2+R4

15



4) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:36 + 16B-6D + 4E + F = 0 \6B-(64 +B-SD +E + F = 0 B-SD + + F = -64

- 2 D - 4 + F = 0

Solucin:Escribimos la matriz aumentada y reducimos.

1 6 - 6 4 1 - 3 61 - 8 1 1 - 6 4

16 2 - 4 1 - 49 8 - 3 1 - 6 4

116169

- 8 1 1- 6 4 12 - 4 18 - 3 1

-36- 4-64

(\ - 8 1 1 -640 - 8 8 0 -3216 2 - 4 1 - 49 8 - 3 1 - 6 4

(\ 0 -70 1 -10 0 1100 0 68

0 4-15 500- 8 192

(\ 0 -7 1 -320 1 - 1 0 40 0 22 - 3 1000 0 0 - 7 644

1 0 - 7 00 1 - 1 00 0 22 0

60 "i4

-1760 0 0 1 - 9 2

22

0 0 0 1 - 9 2

(\ -8 1 1 -64^10 1 - 1 0 40 130 - 2 0 -15 10200 80 -12 - 8 512

1 0 - 7 1 - 3 20 1 - 1 0 40 0 22 - 3 1000 0 17 - 2 48

(\ 0 -7 1 -32^0 1 - 1 0 40 0 22 - 3 1000 0 0 1 - 9 2

1 0 - 7 0 60 ^0 1 - 1 0 40 0 1 0 - 8



f\ o o o0 1 0 00 0 1 0

L 0 0 0 1

4 ^- 4- 8

- 9 2 ,

As B = 4, D = -4, E = -8, F = ~92.

B) SISTEMAS CON INFINIDAD DE SOLUCIONES5) Obtener la solucin del siguiente sistema de ecuaciones lineales.

2x + Ay - z = 2

Solucin:

-2 3 5^4 - 1 2,

r\ - 6 4 3^2 4 - 1 2,

( 1 - 6 4 3^ | x*2- '

6 >

lo 16 - 9 -4)

La ltima matriz est en su forma escalonada reducida, ya no se puede reducir ms, dedonde obtenemos:

216

despejando x,_

luego x, .y dependen de r, si z = /, / G R, tenemos

X 2 %

z =

Es decir, el sistema de ecuaciones tiene una infinidad de soluciones ya que para cada valorde / habr un valor para xy y> z.

17



Por ejemplo, si t = 0 entonces # = , y~~\i> z = 0, es una solucin para el sistema deecuaciones.

Si / = 1 entonces x = ^ , y = k> r ~ 1> ^s otra solucin para el sistema de ecuaciones.

Si / = -4 entonces x = 4, .y = -> z = - 4 , tambin es solucin para el sistema deecuaciones.As una vez ms, remarcamos, el sistema tiene una infinidad de soluciones.

6) Resolver el sistema de ecuaciones:2x-y + 3z = 4

2y~~z = 3

Solucin:Desde un principio podemos escribir la matriz aumentada del sistema con su primerrengln de coeficientes de la tercera ecuacin, es decir, podemos reordenar las ecuaciones

n 3 - 4 - I N2 - 1 3 43 2 - 1 3

(\ 3 -4 - O - 7 11 6

VO - 7 11 6 ,

1 3 - 4 -)0 -7 11 6

vo o o o .

n 3 -4 - n0 1 - U - f0 0 0 0

100

010

57

~ T0

117

_ _

0

r + i . _x+

? z -

_ 11

Oz = 0

7 7 sea 7 7

Nuevamente pongamos Z = / , / G R , entonces el conjunto solucin queda expresado como:

Por lo tanto, el sistema tiene una infinidad de soluciones.

18



7) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones.5x + 3y + z + 2w = l2x-y+3z + w=2-3x + 2y-2z + 3w = 32x +5y - z + 5w = 4

Solucin-.

( 5 3 1 2 12 - 1 3 1 2

- 3 2 - 2 3 32 5 - 1 5 4

R3+R2

( 5 3 1 2 \- 1 1 1 4 5- 3 2 - 2 3 32 5 - 1 5 4

-3R2+R3

O 8 6 22 26- 1 1 1 4 50 -1 - 5 - 9 -120 7 1 13 14

(\ -1 -1 - 4 - 5 '0 8 6 22 260 -1 - 5 - 9 -120 7 1 13 14

%R3+R2

(\ -10 00 -1o o

-1-34- 5-34

-450

-950

-70-12-70

1 -10 00 10 0

-1-34

50

- 4 - 5-50 -70

9 120 0

1 -10 10 0o o

5340

- 4 - 59 12

-50 -700 0

R2+R1 1 0 4 5 70 1 5 9 12 u l

17 170 0 0 0 0

-4R3+R1-5R3+R2

1 0 0 -0 1 oo o 10 0 0

1517

28172517O

17291735170

. 28.-

~ 17_. 29

17~ 35

1 7

0

17 17

2i^ 17_ 35- 17

v 21 1 15x~~ VJ^Tf

^""17 17T ~ 3 5 _ 2 52 " 17 17

Si w = /, tenemos:

19



X~~v + W

y = 29_28

z ~ vf~rf

w = i

, con eR.

:. hay infinidad de soluciones.

8) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones.5x-2y + z-2w = l

2y+6z-3w =

Solucin:

(5 - 2 1- 3 4 52 2 6

- 1 2- 3 3

-2R3+J

(\ - 6 -11O -14 -28

4 - 511 -13

O 14 28 -11 13

( 1 - 6 -11 4 -5^ 1- 3 4 5 - 1 22 2 6 - 3 3

(\ - 6 -11 4 -S~\O -14 -28 11 -130 0 0 0 0

(\ - 6 -110 1 20 0 0

4 - 5_il 11

140

i l140

i 47 711 1114 14

0 0 0 0 0

1 0 10 1 2

x + z - | w =

= 0

z- fw =4 ^ ~ 4 * " ' 14 rr

Ahora tenemos que ^ y>v pueden variar libremente, por lo tanto si z = j, w = /2 > c o n

/ j , 2^ nmeros reales, el conjunto solucin se expresa como:

20



C) SISTEMAS SIN SOLUCIN9) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones.

x + Sy-5z = 33x-2y + 3z = l2x + 3y - z = 4

Solucin:

1 8 - 5 33 - 2 3 12 3 - 1 4

-2RX+R3l 8 - 5 3 ^0 -26 18 - 80 -13 9 - 2

-2R3+R2l

o8 - 5O O

O - 1 3 9

3 ^- 4- 2

No hay necesidad de seguir reduciendo, del segundo rengln se tiene Ox + 0 y + Oz = -4

que da la igualdad 0 = -4 (contradiccin!), por lo tanto, el sistema no tiene solucin.

10) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones.a+b-3c-4d = -l2a + 2b-c-2d-la+b+2c +2d = 5

Solucin:

1 1 - 3 - 40 0 5 60 0 5 6

2

n0

121

10

- 3- 12

- 35

- 4- 22

- 46

-

15

30 0 0 0 3

Del tercer rengln se tiene 0a + 0b + 0c + Otf = 3 que da la igualdad 0 = 3, luego el sistemano tiene solucin.

21



11) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones.x + y + z-w = 2

Solucin:

1 1 1 - 1 22 - 1 0 1 53 0 1 1 12 2 2 - 1 3

v

(I 1 1 - 1 2 *0 - 3 - 2 3 10 0 0 1 - 60 0 0 1 - 1

Del cuarto rengln se tiene

sistema no tiene solucin.

-2R,+/?2 f\

00

,0

1- 3- 30

1- 2- 20

- 1341

21

~ 5- i

-R2+R%

1 1 1 - 1 20 - 3 - 2 3 10 0 0 1 - 60 0 0 0 5

= 5 que da la igualdad 0 = 5, por lo tanto, el

12) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones.

-3RJ+R36 - 2

-16 5-16 11

Solucin:

(3 2 5 > A 6 - 22 - 4 1 ****** > 2 - 4 11 6 -2} 13 2 5

(\ 6 - 2 ^0 -16 50 0 6

Del tercer rengln se tiene Qx + Oy = 6 que da la igualdad 0 = 6, luego el sistema no tienesolucin.



D) SISTEMAS HOMOGNEOSUn sistema de ecuaciones lineales se dice HOMOGNEO si cada una de las ecuacionesest igualada a cero es decir

11*1 + 12*2 + 13*3 + + !* =

21*1 +22*2 + 23*3 + + 2n* =

1*1 + 2*2 + 3*3 + + * = 0

Los sistemas homogneos SIEMPRE tienen solucin ya que

* 1 = * 2 = * 3 = ~ Xn ~ "

es solucin del sistema, sta solucin es llamada la solucin trivial, as un sistemahomogneo de ecuaciones lineales tiene solucin nica o tiene una infinidad de soluciones.

13) Resolver el siguiente sistemas de ecuaciones2x-3y + z = 0x + y - z = 0

Solucin.-

V

2 - 3 1 t)1 1 - 1 04 2 3 0

(\ 10 10 -2

-1 0-18 0

7 0

2R2+R3-R2+R\

f\ 1 -1 t)2 - 3 1 04 2 3 0

1 0 17 0N

0 1 -18 00 0 - 2 9 0

-2RX+R2 (\ 1 -10 - 5 30

(\ 00 1

02 7 0

17 0^-18 0

0 0 1 0

~3R%+R2

(\ 0 0 00 1 0 00 0 1 0

Luego, x = y = z = sistema tiene solucin nica, la solucin trivial.

23



14) Resolver el siguiente sistemas de ecuaciones2x-3y+4z = 03x-2y+2z = 0

Solucin:

2 - 3 4 O3 - 2 2 0l - 4 6 0

1 - 4 6 O3 - 2 2 02 - 3 4 0

n -4 0y0 10 -16 00 - 8 0.

(\ - 4 6 0'0 10 -16 00 0 0

1 - 4 6 00 1

K0 0 0 0,

1 0 - f 00 1 - | 00 0 0 0

V J

De donde:

x-5

0z =

Hacemos z = f e R, y la solucin se expresa como:

En ste caso el sistema tiene una infinidad de soluciones.

24



III. ANLISIS DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES QUE INVOLUCRANCONSTANTES ADICIONALES PARA QUE EL SISTEMA TENGA O NOSOLUCIN

En esta parte se dan ejemplos de sistemas de ecuaciones lineales donde se determinanvalores de constantes para que el sistema tenga o no solucin.

15) Obtener el valor de A para que el sistema de ecuaciones:2x -f y = 6x+Ay=4

tenga:

a) Solucin nica.b) Infinidad de soluciones.c) Carencia de solucin.Solucin.Aplicando el mtodo de Gauss-Jordn tenemos:

(2 1 6) i/%1 A 4) \i A 4) [o A-\ 1

Ahora queremos multiplicar el segundo rengln por -~ - , para poder hacerlo debemos

garantizar que A - ~ sea distinto de cero, es decir, si A & ~ podemos multiplicar, entonces:

0 1

De donde se tiene:

2A-1

Luego si A * ~ el sistema tiene solucin nica.

Ahora, si A = ~, al substituir en la tercera matriz tenemos:

25



[o o jDel segundo rengln se tiene Ox+Oy = 1 que da la igualdad 0 = 1.

Lo cual nos dice que si X = ^ el sistema no tiene solucin.

Remarcamos: Si >L = ~ el sistema no tiene solucin.

Si X & 1 el sistema tiene solucin nica.

Para ningn valor de X el sistema tendr infinidad de soluciones.

16) Obtener los valores de X para que el sistema de ecuaciones:2x+Xy = l

tenga solucin nica, infinidad de soluciones, o no tenga solucin.Solucin:

r2 X f,x 2 r

1 A2

o 4 - ;

J5.J I U 2 1

22-

1 A2

2J

Ahora en el segundo rengln queremos dividir por 4 - A2 para lo cul, debemos garantizar

que 4 - A ^ 0 ; supongamos que 4 - A & o, es decir A ^ 2 y efectuemos la operacin

l^i?7 en la ltima matriz escrita obteniendo:

12

2-A> i0 1

De donde se tiene:

X = : 2+1

y

i X 11 2 2

0 1 O 1 2+A;



Por lo tanto, si X * 2 el sistema tiene solucin nica.

Luego nos falta analizar los casos X = 2.

Si X = 2 , al substituir en la cuarta matriz tenemos:

1^ 0 O Oj Oy = ODe donde queda slo una ecuacin con dos variables:

x + y = 1 ; hacemos y = t :. x-^-t

Entonces el sistema tiene infinidad de soluciones.Si X = -2, substituyendo en la cuarta matriz:

r-20y = 4 0 = 4^0 0 4J

Luego el sistema no tiene solucin.En resumen:

Si X & 2, el sistema tiene solucin nica.Si X = 2 , el sistema tiene infinidad de solucionesSi X = - 2 , el sistema no tiene solucin.

(contradiccin!)

En los dos siguientes ejercicios usaremos el mtodo de Gauss, que tambin sirve paradeterminar los valores de las constantes de un sistema para que este tenga o no solucin, sinnecesidad de usar Gauss-Jordn.

17) Obtener el valor de "aM para que el sistema tenga solucin.

x+y+az=0Solucin:

(\ 2 3 O2 3 1 - 21 1 a 0

-2i?,+2 (\ 2 3 r0 -1 -5 -40 -1 a-3 -1

(\ 2 3 r0 -1 - 5 - 40 0 a+2 3

27



En la ltima matriz queremos en la tercer fila multiplicar por L^_ ? l u eg0 a debe ser

distinto de - 2 ; s a * -2 tenemos

'l 2 3 1 v

0 1 5 40 0 1 | - 3

/. el sistema tiene solucin nica para cada valor de a, cada vez que a&-2.Si a = - 2 , el sistema no tiene solucin por qu?Para ningn valor de a el sistema tiene infinidad de soluciones.

18) Determinar el valor de a para que el sistema tenga o no solucin.

x + 2y - 5z = 4

Solucin.

1 3 1 2 '1 2 - 5 42 5 - a 2 a + 4

Ti 3 1 2 ^0 - 1 - 6 20 0 4 - a 2 a - 2

S 4 - a 2 * 0 entonces

1 3 1

-R-,

l 30 -1

l 30 10 0

1 -6 2

- 2 - a 2 a

16

2- 2

a-2

0 1 6 - 20 0 1 4-a2 y

De donde se obtiene el sistema:x + 3>> + z = 2



que es un sistema con solucin nica.

Por lo tanto, s a * 2 el sistema tiene solucin nica.

S a = 2 la cuarta matriz queda en la forma:

0 1 6 - 20 0 0 0

De donde se obtiene el sistema:x + 3y 4 z = 2

que es un sistema con infinidad de soluciones.S a = -2 la cuarta matriz se transforma en:

1 3 1 2 ^0 1 6 - 2f\ f\ f\ A

< J

Del tercer rengln se tiene Ox 4 Oy 4 Oz = -4 que da la igualdad 0 = -4

Lo cual nos dice que el sistema no tiene solucin.En conclusin:

S a & 2, el sistema tiene solucin nica

S a = 2 , el sistema tiene infinidad de soluciones.

S a = 2, el sistema no tiene solucin.



IV. USO DE LA CALCULADORA GRAFICADORA PARA LA SOLUCIN DESISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

En esta parte, mediante la resolucin de algunos de los ejercicios anteriores, mostraremosque usndolas adecuadamente las calculadoras graneadoras, en particular la TI-92, son unapoderosa herramienta que ayuda a los alumnos a centrarse en los conceptos claves de lamateria en estudio.Debemos suponer que el lector est mnimamente familiarizado con estas calculadoras, lasde Texas Instrument (TI-83, TI-85, TI-89, TI-92) u otras como la HP48G la HP48GPX,algunas de las cuales manejan lenguaje simblico.

En el caso de la TI-92 sta presenta tres mtodos para resolver sistemas de ecuaciones. Unomediante la funcin solve, usando el mtodo de sustitucin. El segundo mtodo usandomatrices mediante la funcin simiilt Y por ltimo usando matrices y aplicando lasfunciones ref (forma escalonada por renglones) o la funcin rref (forma escalonadareducida por renglones). Estas dos funciones (ref y rref) corresponden a los mtodos deGauss y Gauss-Jordn respectivamente. La funcin rref es la que privilegiaremos en estapresentacinPara utilizar las funciones ref o rref (en la TI-92) primeramente habr que introducir lamatriz a la cual se le aplicar dicha funcin. Para esto, ya encendida la mquina, ir al botnde aplicaciones (APPS); aparece el men APLICACIONES, escoger la opcin 6:DATA/MATRIX/EDITOR, y ahora escoger una de las siguientes opciones: new crear unamatriz nueva, open una ya existente o current la ltima que fue accesada. Supongamos quese escoge new, entonces aparece un nuevo cuadro de dilogo para determinar el tipo dearreglo deseado (data, matrix, list), luego escoger en donde se habr de guardar, es decir, lacarpeta afolder, luego dar nombre a la variable (en este caso a la matriz) digamos variableal y finalmente definir cuantos renglones (rows) y cuantas columnas (columns) contendrel arreglo. Al final poner un doble enter.

Ahora ya est en una hoja de clculo, conteniendo ceros en los lugares que usted usar parameter los elementos de la matriz, por ejemplo: para meter la matriz aumentada del sistema



que se muestra en seguida (ejercicio 1) usted tendra que hacer lo siguiente (para lamquina TI-92).

1) Encender la mquina (pulsar la tecla on).2) Pulsar la tecla de aplicaciones APPS, se abre la ventana de dilogo APLICACIONES.3) Colocarse en la opcin datalmatrixleditor y pulsar enter o pulsar 6.4) Se abre una ventana de dilogo, escoger abrir un arreglo nuevo new enter o pulsar 3.5) Se abre una nueva ventana de dilogo, la ventana NEW.6) Ahora escoger el tipo (type) de arreglo, en este caso, escoger matrix enter o pulsar 2.7) Luego elegir el folder (por default puede escoger mam) no pulsar enter, pasar avariable.8) Dar nombre a la variable, en nuestro ejemplo, escribir al (pulsar al).9) Definir nmero de renglones, row dimensin, (pulsar 3 si se desean tres renglones).10) Definir nmero de columnas, col dimensin, (pulsar 4 si se desean cuatro columnas).11) Finalmente oprimir dos veces consecutivas la tecla enter.Ahora ya estamos en la hoja de clculo en donde meteremos los valores de nuestra matriz.Los espacios en donde deben de ir dichos valores aparecen con "cero" En la lnea deentrada se va indicando el lugar del elemento a introducir, por ejemplo, aparece riel = 0.Para nuestro ejemplo pulsar 3 enter, es decir, r iel = 3. El cursor salta al lugar rlc2 = 0.Ahora pulsar 2 enter, etctera. Recuerde que los nmeros con signo menos (nmerosnegativos) deben introducirse usando la tecla (-)nmero, por ejemplo, -7 se debe introducircomo (-)7 enter. Cuando termina de introducir los elementos del arreglo la manera desalirse es oprimir las teclas 2 ESC (second quit), regresar a la pantalla principal. Paraver si la matriz que meti es la correcta pulse en la lnea de entrada al, debe de aparecer elarreglo que acabamos de escribir. Para mayores detalles consultar el manual de su mquina.

Ejercicio 1. Resolver el sistema de ecuaciones lineales:3x+2y+4z = 15x~-y-3z^~74x + 3y + z = 2

(Ejercicio 2 de la seccin II A)



1. Introducir la matriz deseada mediante el editor matrix/editor, asignarle unnombre a la matriz, por ejemplo al. Los nombres se pueden dar en maysculas ominsculas, para la mquina es indistinto.

2. Es recomendable checar que se ha introducido correctamente la matriz al. Parapoder ver la matriz al escribir en la lnea de entrada al (y luego enter). Lamquina despliega en la pantalla principal al.

Solucin:1. Se escribe la matriz aumentada del sistema y se guarda (se almacena) con algn

nombre, por ejemplo, al, es decir;

'3 2 4 r5 -1 - 3 - 74 3 1 2

v y

2. Ahora se utiliza la expresin ref(al) la cual dar como resultado una matriz

equivalente a ai pero en la forma escalonada por renglones (de hecho es el uso

del mtodo de Gauss) y nos da como resultado:

1 _1 _ ! _71 5 5 5

0 1 g 20 0 1 0

3. Interpretar este resultado y mediante algunas operaciones llegar a la solucin delsistema : x = - 1 , y = 2, z = 0.

Este mismo resultado se pudo haber obtenido directamente aplicando la expresinrref(al) que significa hallar la matriz en su forma escalonada reducida porrenglones (de hecho es el uso del mtodo de Gauss-Jordn). En este caso seobtendra:

f\ 0 0 - f irrefl[ai)= 0 1 0 2

,0 0 1 0^

Interpretando este resultado, la solucin del sistema es: JC = - 1 , y = 2,z =

33



Ejercicio 2. Obtener la solucin del siguiente sistema de ecuaciones lineales:

2x + 4y -z-2

(Ejercicio 5 de la seccin IIB)Solucin:

1. Introducir la matriz aumentada del sistema, llammosle A2, esto es:

(3 - 2 3 5^

2. Emplear la expresin rref(A2)> para hallar la matriz escalonada reducida porrenglones:

En la lnea de entrada poner: rref(A2)La respuesta de la calculadora ser:

1 O SLrref^)^1 8

16 4,

2. La respuesta indica que la solucin es: 2 = , ^ = I ^ "" i ^ ^ ^

Ejercicio 3. Resolver el sistema de ecuaciones:2x-y + 3z = 4

^ - z = 3

(Ejercicio 6 de la seccin IIB)Solucin:

1. Introducir la matriz aumentada del sistema, llammosle A3, esto es:

(2 -1 3 4}3 2 - 1 3\ 3 - 4 - 1 ,

2. Directamente emplear la expresin rref(A3), para hallar la matriz escalonada

reducida por renglones:



1 O foo o

1 - U ~1 7 7

0 0

3. La respuesta indica que la solucin es: z = /, y^^t--, x = - ~ + y

Ejercicio 4. Resolver el sistema de ecuaciones:x + 8y -5z = 33x-2y + 3z = l2x + 3^ - z = 4

(Ejercicio 9 de la seccin IIC)Solucin:

1. Introducir la matriz aumentada del sistema, llammosle, por ejemplo, A4, estoes:

f\ 8 -5 \A 4 = 3 - 2 3 1

, 2 3 - 1 AJ

2. Directamente emplear la expresin rref(A4), para hallar la matriz escalonadareducida por renglones:

00

10

713

~T30

0i

J

3. La respuesta indica que NO hay solucin ya que el tercer rengln representa laigualdad: Ox + Oy + Oz = 1 que da 0 = 1, lo cual es una contradiccin.

NOTA: Los estudiantes creen que con la mquina ya pueden resolver cualquier sistema deecuaciones lineales y no se dan cuenta que, aunque la mquina es de gran ayuda, ella solano resolvi las ecuaciones, pues, como vimos en los casos anteriores, en todos ellos serequiri de nuestra interpretacin. Esto se agudiza si se tiene, por ejemplo, un sistema detres ecuaciones con dos incgnitas, como en el ejercicio 12, seccin II C.



Ejercicio 5. Resolver el sistema de ecuaciones.

2x-4y =

(Ejercicio 12 de la seccin IIC)Solucin:

1. Introducir la matriz aumentada del sistema, llammosle A5,esto es:

3 2 5 '2 - 4 11 6 - 2

2. Emplear la expresin rref(A5), para hallar la matriz escalonada reducida porrenglones:

A5 =

qu significa ste resultado? cmo lo interpretas?Esto nos da una matriz de 3X3, la mquina "no sabe" que se trata de la matrizaumentada del sistema propuesto. Si usted aplica la funcin rref la respuesta ser enla mayora de los casos, la matriz unitaria. Qu le indica ese resultado?Respuesta. Significa que el sistema no tiene solucin ya que el ltimo rengln debeinterpretarse como Ox + Oy = 1 que da 0 = 1 Contradiccin!

Ahora el lector puede volver al ejercicio 2 de la seccin I y resolverlo con la ayuda de lacalculadora.

0010

00



V. APLICACIONES DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALESEn esta seccin se darn 3 ejemplos con su planteamiento y solucin, sin procedimientos.

1) Una cadena de supermercados en Mxico vende carne molida del tipo popular y selecta.Un lote de molida popular contiene 3 kg de grasa y 17 kg de carne roja, un lote de molidaselecta contiene 2 kg de grasa y 18 kg de carne roja. Si en un momento dado cuenta con 10kg de grasa y 90 kg de carne roja. Cuntos lotes de molida popular y selecta puedenproducir utilizando toda la carne y toda la grasa sin desperdiciar nada?Solucin.Sean x el nmero de lotes de carne molida popular

y el nmero de lotes de carne molida selectaLa cantidad de grasa utilizada en la molida popular es 3xla cantidad de grasa utilizada en la molida selecta es 2ypor lo tanto 3x+2y = 10

anlogamente 17x +ISy = 90

Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos x = 0 , y~5.

Luego s no quieren desperdiciar nada debern de producir cinco lotes de carne molidaselecta y cero de la popular.

2) Encontrar un polinomio de grado 3 tal que:/ ( I ) - 2 ; / (2 ) = 6 ; / ' ( I ) = 5 ; / " (2) = -6

Solucin:

El polinomio ser de la forma f(x) = ax3 + bx2 +cx + d.Substituyendo los valores de x :

Derivando f(x) , f'(x) = 3ax2 +2bx + c ; f"(x)Substituyendo los valores de x en / ' (*) y / " (*)



Obteniendo el sistema de ecuaciones:a

3a + 26 + c =512a + 26 = -6

resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos:

De donde el polinomio es f(x) = - x 3 + 3x2 + 2x - 2.

Informacin necesaria para el ejercicio 3.Leyes de KirchhoffLos circuitos elctricos se rigen por las leyes de Kirchhoff que son:-Primera ley de KirchhoffLa suma algebraica de corrientes en un nodo es igual a cero.-Segunda ley de KirchhoffEn una malla cerrada la suma de cadas de tensin es igual a la suma de ierzaselctricas aplicadas.

3) Para el siguiente circuito obtenga el valor de las corrientes *j , i2,13.5Q A ion

WWV

10V D 16V

'1 B h

Solucin:Primera ley de Kirchhoff

La suma de corrientes en el nodo A es cero: / - i2 -i$ = 0

38



La suma de corrientes en el nodo B es cero: /3 + i2 i\ = 0

Segunda ley de Kirchhoff

En la malla cerrada BCAB 5/j + 53 = 10En la malla cerrada BADB - 5/3 +10/2 = 16

En la malla cerrada BCADB 5ix +102 = 26

El signo - en la cuarta ecuacin se debe a que la corriente va en sentido contrario, al

sentido en que se recorre la malla.

Obteniendo el sistema de ecuaciones

'i ~h - ' 3 = 0Sij + 5i3 = 10-5/3+10i2 =16Six + 10/2 = 26

Resolviendo el sistema tenemos:

;1 - 25 ' l2 - 25 > ;3 - 25

que son los valores buscados.

39



VI. EJERCICIOS PROPUESTOSUse el mtodo de Gauss-Jordan para resolver cada uno de los siguientes sistemas deecuaciones lineales

1) x1 4- 2x3 = 6-3x14-4x2 4-6x3 = 3

-Xj ~2x2 4-3x3 =8

3) 2Xj + x2 - x3 4- x4 = 13xx - 2x2 4- 2x3 - 3x4 = 25Xj 4- X2 - X3 4- 2 x 4 = - 12x, - x2 4- x3 - 3x4 = 4

6) Xj - 2x2 4- 3x3 - 4x4 = 14xx - 10x2 4- 6X3 - 28x4 = 23xt - 3x2 4- 20x3 - 4x4 = 8Xj - x2 4- 7x3 - 3x4 = 3

x - 4y 4- 2z = 0

9)

11)

3x-y-w = 2y 4- 2z 4- w = 1

13) 2x, 4- x2 - 3x3 x4 =- Xj - X2 4- X3 4- X 4 = 12xx 4- x2 - x3 - 3x4 = -

2) 3Xj 4- 2x2 - 3x3 4- 5x4 = -2-2xi+3j ic2+5j^-f2x4 = 0

Xj 4- X2 4- X3 4- X4 = 1- X 2 4 - X 3 - X 4 = - 2

4) 2Xj 4-X2 4- 2X3 4- X4 = 54Xj 4-3x2 4-7x34-3x4 =8- 8xj - x2 - x3 + 3x4 = 4Xj 4- X2 4- 2X3 - X4 = 1

6) xx 4-x2 - 3x3 - 2x4 = 12x1-3x24-9x3-x4 =32x2 - 6x3 4- x4 = 43Xj 4- 4x2 - 12x3 - 10x4 = -4

8)2x4-^ =

10)~ 6 j = 9

12)

14)



15)2Xj 4- 3x2 4 7x3 4 x4 = O- 4xx - 2x2 4 x3 4 x4 = 1

17) ~

19) xt - 2x2 4 3x3 - x4 = 10- Xj 4 x2 - x3 4 2x4 = 23xx 4- 5x2 - 2x3 4 x4 = - 9

- x2 + 5x3 - 3x4 = 3

21)

4x - y 4 Az = 1

2 3 ) - 3 X 1 + J C 2 - 2 X 3 =02xt 4 7x2 49x3 =5Xj 4 5x2 4 6x3 = 4

16) xt -2x 2 4x4 =1SX* X 2 JLX^ := 12x1 4 x2 - 2x3 - x4 = 4xx 43x2 - 2 x 3 - 2 x 4 = 7

18)

2x - 3y 4 z = 1

20)

22) 6 x -

24) 4x} 4 3x2 4 2x3 = 42Xj - X2 4- X3 = 18Xj 4 x2 4 4x3 = 2

En cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, obtener los valores de Xpara que el sistema tenga solucin nica, infinidad de soluciones, o no tenga solucin.

27) 28)

30) x -



x + 2y-3z =3x-y + 5z = 2

32)x + y-z =

- 5 ) z = X



VII. PROBLEMAS PROPUESTOS1) En una gasolinera de la Ciudad de Mxico trabaja Juan despachando gasolina, la magnatiene un precio de $5.44 el litro, la premium $6.11, (Junio 2001) podras darle a Juan unaecuacin lineal que le indique cuanto de dinero debe de entregar al finalizar el da.

2) Un hombre tiene en su bolsillo 39 monedas algunas son de dos pesos otras de 5 pesos. Sien total tiene 126 pesos, cuntas monedas tiene de 2 pesos y cuantas de 5 pesos?

3) Una persona compra una mezcla de caf de 3.25 kg por un precio de 225 pesos. Si el kgde caf Crdoba cuesta 80 pesos y el Xalapa 60 pesos, cunto lleva de cada tipo de caf lamezcla?

4) Un seor hace ejercicio diariamente cierto da corre 30 min. y nada 30 min. recorriendouna distancia total de 8 km, al da siguiente corre 45 min. y nada 15 min. para un total de 10km, suponiendo que su velocidad en cada deporte es la misma en ambos das, con quevelocidad corre y con qu velocidad nada?

5) Se tiene un nmero positivo de tres cifras, la suma de sus tres cifras es 22, el nmero decentenas menos el nmero de decenas es uno y el nmero de decenas menos el nmero deunidades es menos tres, cul es el nmero?

6) Un centro de diversin tiene capacidad de 101 mesas, las mesas cuentan con 4, 6 y 8asientos, la capacidad total de asientos es de 552. En cierto da se ocupo la mitad de lasmesas con 4 asientos, un octavo de las mesas con 6 asientos y un tercio de las de 8 asientospara un total de 35 mesas. Cuntas de cada tipo se usaron ese da?

7) Una granja avcola incluye en la dieta de sus aves vitaminas B, C y D, para evitarenfermedades as como un desarrollo ms rpido. En cierto mes compraron 20 cajas devitamina B, 40 cajas de vitamina C y 50 cajas de vitamina D pagando $70000, al messiguiente compraron 30 cajas de vitamina B, 20 de vitamina C y 50 cajas de vitamina D porun total de $51520, un mes despus compraron 40 de vitamina B, 10 de vitamina C y 70 de

45



vitamina D con un costo de 45000, s el precio por caja no ha variado en todo ese tiempoque precio tiene cada caja de vitaminas.

8) Una empresa juguetera produce tres tipos de carritos, el modelo 1 con un precio de 100pesos, el modelo 2 con un precio de 200 pesos y el modelo 3 con un precio de 300 pesos.Cierto da vendieron un total de 47 carritos por un total de 11100 pesos, con estos datos esposible saber cuantos carritos de cada tipo se vendieron?

9) Un hombre recibe ingresos por dos inversiones a tasa de inters simple del 6 | % y 8%,respectivamente. Tiene invertido al 6\ % el doble de lo que tiene al 8%. Si su ingreso anual

de las dos inversiones es de $7000.00, encuentre la cantidad que tiene invertida a cada tasa.

10) Un fabricante de objetos de plata tiene dos aleaciones, la primera contiene 35% de platay la segunda 60%. Qu cantidad debe utilizar de cada una para obtener 100 g de unaaleacin que contenga 50% de plata?

1 l)Un comerciante desea mezclar cacahuates que cuestan $50.00 el kilogramo con nuecesde $90.00 el kilogramo para obtener 60 kilogramos de una mezcla con valor de $65 elkilogramo. Cuntos kilogramos debe mezclar de cada variedad?

12) Una compaa papelera vende a una tienda escolar dos tipos de cuadernos. El precio demayoreo del primero es de $5 y el del segundo $7. La compaa recibe una orden por 500cuadernos y un cheque por $2860.00. Si en la orden no se especifica la cantidad que se deseade cada tipo, cmo debe surtir el pedido la compaa?

13) Una pequea fbrica de muebles produce sofs y sillones reclinables. Cada sofrequiere de 8 horas de trabajo y $1000 (pesos) de material, mientras que un silln reclinablepuede hacerse por $600 en 6 horas. La compaa dispone de 342 horas de trabajo porsemana y puede pagar $40200 de material Cuntos sofs y sillones reclinables puedenproducirse si se utilizan todas las horas de trabajo y todos los materiales?



14) Un granjero prepara una mezcla de avena y maz para alimentar a su ganado. Cadakilogramo de avena contiene 0.15 kilogramos (kg) de protea y 0.6 kg de carbohidratos,mientras que cada kilogramo de maz contiene 0.1 kg de protena y 0.75 kg decarbohidratos. Cuntos kilogramos de cada uno pueden usarse para cumplir con losrequerimientos nutricionales de 7.5 kg de protenas y 50 kg de carbohidratos por comida?

15) Un plomero P y un electricista E estn haciendo reparaciones cada uno en su taller y seponen de acuerdo para combinar sus servicios. El nmero de horas empleado en cada unade las dos obras se muestra en la siguiente tabla:

Tiempo empleado porP (horas)Tiempo empleado porE (horas)

ObraA

6

5

ObraB

4

6

Normalmente pensaran que el asunto est parejo, pero debido a la legislacin sobreimpuestos, deben cobrar por todo trabajo que hayan hecho. Se ponen de acuerdo en elegirpagos por horas de forma que la cuenta total en cada taller sea igual al ingreso querecibiran normalmente en las dos obras.

(a) Si x y y representan los pagos por hora del plomero P y del electricista ,respectivamente, demuestre que 6x + Sy = 10* y 4x 4- 6y = 1 \y. Describa las soluciones

del sistema.(b) Si P gana normalmente $200 (pesos) por hora, cunto debe cobrar 22?

16) Una mesa grande para una sala de conferencias debe tener la forma de un rectngulocon dos semicrculos en los extremos (vase la figura). Encuentre la longitud y el ancho dela parte rectangular, suponiendo que el permetro de la mesa es de 30 metros y que el reade la parte rectangular debe ser el doble de la suma de las reas de los dos extremos.

47



17) Para llenar un tanque de almacenamiento de agua de 300 litros se emplea un tubo nicode entrada; para proveer de agua de riego a los campos de los alrededores se pueden utilizardos tubos idnticos de salida (vase la figura). Se necesitan 5 horas para llenar el tanque,cuando los dos tubos de salida estn abiertos. Cuando uno de ellos se halla cerrado, slotoma 3 horas el llenado del tanque. Encuentre los flujos (en litros por hora) de entrada y desalida del tanque.

18) Un qumico tiene tres soluciones que contienen un 10%, 30% y 50%,respectivamente,de cierto cido; desea mezclar las tres soluciones, usando el doble de lasolucin al 50% respecto a la de 30%, para obtener 50 litros de una solucin que contengaun 32% del cido. Cuntos litros de cada solucin deber usar?

19) Si dos resistencias R\ y /fe de un circuito elctrico estn conectadas en paralelo, seencuentra la resistencia total R con la frmula 1/i? = (l/i?i) + (l/i?2) Dadas tres resistenciasA,ByC,y sabiendo que la resistencia total de A y B conectadas en paralelo es de 48 ohms,la de, B y C es de 80 ohms y la de A y C es 60 ohms, encuentre A,ByC (Ntese que alplantear las ecuaciones para resolver el ejercicio, dichas ecuaciones no son lineales, pero si



se usa la sustitucin x-^yz=L\^z-^^ s e obtiene un sistema de ecuaciones lineales que

se puede resolver por Gauss-Jordn).

20) Un proveedor de productos para el campo tiene tres tipos de fertilizantes G\9 G2 y G3que tienen contenidos de nitrgeno de 30%, 20% y 15%, respectivamente. Se ha planteadomezclaras para obtener 600 kilogramos de fertilizante con un contenido de nitrgeno de25%. Esta mezcla, debe contener 100 kilogramos ms del tipo G3 que del tipo G% Cuntoskilogramos se deben usar de cada tipo?

21) Una poblacin estable de 35000 aves vive en tres islas. Cada ao, 10% de la poblacinde la isla A emigra a la isla B; 20% de la poblacin de B emigra a la isla C, y 5% de lapoblacin de C emigra a A. Calcule el nmero de pjaros que vive en cada isla si lapoblacin de cada una no vara de un ao a otro.

22) Una tienda se especializa en la preparacin de mezclas de caf para conocedores. Eldueo desea preparar bolsas de 1 kilogramo que se vendern a $120 (pesos) usando cafscolombiano, brasileo y de Kenia. El costo por kilogramo de estos tres tipos de caf es de$140, $70 y $100, respectivamente.(a) Muestre que se debe usar al menos libra de caf colombiano, y no ms de j de libra

de caf brasileo.

(b) Determine la cantidad de cada tipo de caf suponiendo que el dueo decide usar ~ delibra de caf brasileo.

23) Una compaa tiene tres mquina^, B y C que producen cierto artculo. Sin embargo,debido a la falta de operarios capacitados, solamente se pueden operar dos de las mquinassimultneamente. La siguiente tabla muestra la produccin en periodos de tres das, usandolas diversas combinaciones de dos mquinas.



Mquinasutilizadas

AyBAyCByC

Horas deuso

687

Artculosproducidos

450036004900

Cunto tiempo le tomara a cada mquina, si se usara sola, producir 1000 artculos?



RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS PROPUESTOSX l ~ 11 ? ^2 11 ^ -^3 11

O\ v 23 v __ 123 v _ _ 2 7 v _ 9240) x\ "*" 29 A 2 "~ 29 5 A 3 "" 29 > ^ 4 29

3) Sin solucin4) x, = 2, x2 = 1, x3 = - 3 , x4 = 65) xt = - 6 - 5 3 / , JC2 = - 2 - 2 1 / , x3 =1 + 5/, x4 = /6) *! = 4 , JC2 = 1 + 3/, x3 = / , x4 = 2

7)x = f/, ^ = f/9 z = Z8) Sin solucin9) Y = - 4 , ^ = 2, z = 710) JC = 3 + 2 / , ^ = r?11) x = l, j / = - l , ^ = 0, w = 2

13) JCj = 2 / , x2 = - 2 , x3 = - 1 + / , x4 = /

14) x = l + f/, >> = 8 + f/, z = /, w = 41^ Y -~l4.i l / J.1/ V ~ 1 M. / _ 1 /LJJ xx g -r R J - r 8 # 2 ? x 2 4 4 t 4 #

16) Sin solucin17)x=- l , j = 3, r = -7

19) ^ =1 , x2 = - 2 , x3 = 39 x4 = 420) x = 3 - 2 / ? y =21) Sin solucin

* ~ 38 3 8 * ' * ~~ 19 1 9 * ' * ~"

23) Sin solucin24) Sin solucin25) Solucin nica si A & - y~. Para ningn valor de A tiene infinidad de soluciones. No

tiene solucin si A = - j ~



26) Solucin nica si X ^ -/l2 . Para ningn valor de X tiene infinidad de soluciones. Notiene solucin si X = V2 .27) Solucin nica si /t * 3. Infinidad de soluciones si X - 3. No tiene solucin siX = - 3 .

28) Solucin nica si /i ^ -73 . Para ningn valor de X tiene infinidad de soluciones. Notiene solucin si X = ->/3 .

29) Solucin nica si X & 1. Para ningn valor de A tiene infinidad de soluciones. Notiene solucin si X = 1.

30) Solucin nica si X & 2. Infinidad de soluciones si X = 2 . No tiene solucin siA = - 2 .

31) Solucin nica si X & 16. Infinidad de soluciones si X = 16. Para ningn valor de A notiene solucin.

32) Solucin nica si X & 2. Infinidad de soluciones si A = 2. No tiene solucin siA = - 2 .

33) Solucin nica si A * 3. Infinidad de soluciones si X = 3. Para ningn valor de X notiene solucin,

34) Solucin nica si X # -5 y X * 2. Infinidad de soluciones si X = 2 . No tiene solucinsi A = - 5 .

RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS PROPUESTOS

2) 23 de 2 pesos y 16 de 5 pesos.3) Caf Crdoba L5 kg, caf Xalapa 1.75 kg.4) Corre al2 km/h y nada a 4 km/h.5) El nmero es el 769.6) 24 de cuatro asientos, 4 de seis asientos y 7 de ocho asientos.7) Caja de vitamina B $625, caja de vitamina C $500 y caja de vitamina D $750.8) No, hay 16 posibilidades.9) Tiene invertido ^ ^ pesos al 6 | % y iSf^Q pesos al 8%.

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10) Debe utilizar 40 g para la aleacin que contiene 35% de plata y 60 g para la aleacinque contiene 60% de plata.11) Debe mezclar 37.5 kg de cacahuates y 22.5 kg de nueces.12) Debe surtir 320 cuadernos de a 5 pesos y 180 cuadernos de a 7 pesos.13) Pueden producirse 30 sofs y 17 sillones.14) Pueden usarse ~ kg de protena y ^ kg de carbohidratos.

15) a) x = | r , y = /. b) E debe cobrar 160 pesos.

16) La longitud es y metros y el ancho es de ~ metros.17) El flujo de entrada es de 140 litros por hora y el flujo de salida es de 40 litros por hora.18) Deber usar 8.75 litros de la solucin que contiene 10% del cido, 27.5 litros de lasolucin que contiene 30% del cido y 13.75 litros de la solucin que contiene 50% delcido.19) Las resistencias son A~^,B~^,C--~.20) Se deben usar 380 kilogramos del fertilizante G\9 60 kilogramos del fertilizante G2 y160 kilogramos del fertilizante G3.21) Viven 10000 pjaros en la isla A, 5000 pjaros en la isla B y 20000 pjaros en la isla C.22) a) Al resolver el sistema correspondiente al ejercicio su solucin es x = y - 1 / ,y = y - y /, z^t, (donde x le corresponde al caf colombiano, y le corresponde al cafbrasileo y z le corresponde al caf de Kenia), pruebe que z < ~| y selo para probar queJC > ~, tambin pruebe que y < j , con lo que se prueba que se debe de usar al menos ~ kgde caf colombiano, y no ms de | kg de caf brasileo,b) Cuando el dueo decide usar | kg de caf brasileo, tiene que usar ^ | kg de cafcolombiano, y ^ kg de caf de Kenia.

23) Le tomara 4 horas a la mquina A, 2 horas a la mquina B y 5 horas a la mquina C.



BIBLIOGRAFA

1) Antn Howard Introduccin al Algebra Lineal, 2a. Ed. Limusa Wiley. 2001.2) Gerber Harvey. Algebra Lineal. Grupo Editorial Iberoamrica. 1992.3) Grossman Stanley. Algebra Lineal con Aplicaciones. 5a. Ed. Me GrawHill. 1996.4) Kolman Bernard. Algebra Lineal con Aplicaciones y Matlab. 6a. Ed. Prentice Hall

Hispanoamericana, S. A. 1999.

5) Nakos George - Joyner David. Algebra Lineal con Aplicaciones. International ThomsonEditores. 1999.



PROBLEMARIO Solucin de sistemasde ecuaciones lineales mediante

el mtodo de Gauss-JordanSe termin de imprimir

en el mes de septiembre del ao 2004en los talleres de la Seccin

de Impresin y Reproduccin de laUniversidad Autnoma Metropolitana

Unidad Azcapotzalco

La edicinestuvo a cargo dela Seccin de Producciny Distribucin Editoriales

Se imprimieron400 ejemplares ms sobrantespara reposicin.



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NDICEPRESENTACINI. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES PARA QUE?II. SOLUCIN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MEDIANTE EL MTODO DE REDUCCIN DE GAUSS-JORDANA) SISTEMAS CON SOLUCIN NICAB) SISTEMAS CON INFINIDAD DE SOLUCIONESC) SISTEMAS SIN SOLUCIND) SISTEMAS HOMOGNEOS

III. ANLISIS DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES QUE INVOLUCRAN CONSTANTES ADICIONALES PARA QUE EL SISTEMA TENGA O NO SOLUCINIV. USO DE LA CALCULADORA GRAFICADORA PARA LA SOLUCIN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALESV. APLICACIONES DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALESVI. EJERCICIOS PROPUESTOSVII. PROBLEMAS PROPUESTOSRESPUESTAS A LOS EJERCICIOS PROPUESTOSRESPUESTAS A LOS PROBLEMAS PROPUESTOSBIBLIOGRAFA

becerril espino jose solucion de sistemas de ecuaciones line

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