beamer mate matic a

7/24/2019 Beamer Mate Matic A

http://slidepdf.com/reader/full/beamer-mate-matic-a 1/13

Introduccion Analisis del modelo Conclusiones

Un modelo para el bilinguismo

Daniel Cao Labora - Carlos Vazquez Monzon

Facultade de MatematicasUSC

21 de diciembre de 2015

Un modelo para el bilinguismo Cao Labora - Vazquez Monzon 1 / 13




Referencias y descripcion

Nuestra referencia principal sera An analytic solution of a model of language competition with bilingualism and interlinguistic similarity de autores Otero-Espinar, Seoane, Nieto e Mira.

Es un artıculo novedoso en los modelos linguısticos debido a que sepermite el bilinguismo como opcion y se establecen nuevosresultados analıticos (otros trabajos sobre el modelo se centrabanen un enfoque numerico).

Todo individuo pertenecera a uno de estos tres grupos:monolingues en X , monolingues en Y o bilingues B .





Asunciones

Las asunciones principales del modelo son las siguientes:

• El tamano de la poboacion no varıa con el tiempo. Desdeahora lo suponemos normalizado a 1.

• La probabilidad de que un individuo monolingue adquiera lalengua no madre crece con el estatus s ∈ [0, 1] de esta ultima.

• La probabilidad de que un individuo aprenda la otra lenguacrece al aumentar el valor k ∈ [0, 1] que mide la semejanzaentre lenguas. Sera k = 0 si son totalmente independentes yk = 1 si son la misma.

• La proporcion de hablantes de las lenguas tambien influye enque otros hablantes sean mas reticentes o no a la hora decambiar de lengua. Esta idea de ”presion social” vienemodelada por a y se suele tomar a ≈ 1,31.





Probabilidades de cambio de lengua

Si denotamos como P IJ la posibilidad de pasar del estado I al

estado J donde I = J y I , J ∈ {X ,Y ,B } parece natural tomar lassiguientes probabilidades, donde c es una constante positiva.

• P XB = ck (1 − s )(1 − x )a

• P YB = cks (1 − y )a

• P BX = P YX = c (1 − k )s (1 − y )a

• P BY = P XY = c (1 − k )(1 − s )(1 − x )a

De ahora en adelante supondremos que s , k ∈ (0, 1) y a > 0(centrandonos especialmente en a > 1). Ademas supondremos ques , k , a no dependen del tiempo.


I d i´ A ´li i d l d l C l i




Ecuaciones del modelo

Denotamos (habiendo ya normalizado) por x la cantidad demonolingues de X , y a los de Y y b = 1 − x − y a los bilingues B .

Si F x es la derivada temporal de x (analogo con F y ) tenemos, almultiplicar las probabilidades anteriores por la proporcion de genteque afectan,

F x (x , y ) = bP BX + yP YX − xP XB − xP XY ,F y (x , y ) = bP BY + xP XY − yP YB − yP YX ,

o, equivalentemente, usando b = 1 − x − y y agrupando:

F x (x , y ) = c [(1 − x )(1 − k )s (1 − y )a − x (1 − s )(1 − x )a],

F y (x , y ) = c [(1 − y )(1 − k )(1 − s )(1 − x )a − ys (1 − y )a].

ObservacionF b esta determinada porque F x + F y + F b ≡ 0 (poblaci´ on

constante).Un modelo para el bilinguismo Cao Labora - Vazquez Monzon 5 / 13

I t d i´ A ´li i d l d l C l i




Factibilidad y equilibrios triviales

Lema (Factibilidad de soluciones)

Supongamos a > 0. El triangulo de soluciones factibles A = {(x , y ), x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 1} es positivamente invariante.

IdeaComprobar que en cada punto de ∂ A el campo es entrante o es nulo.

Lema (Singularidades)

Los puntos P x = (1, 0) e P y = (0, 1) son siempre equilibrios triviales del sistema. Ademas como mucho aparecen 3 equilibrios mas en A.

IdeaLa primera afirmaci´ on es trivial, mientras que para la segunda se formula el sistema dado por F x = F y = 0. Al despejar una variable,se obtienen las singularidades en funci´ on a los ceros de una curva

que tiene a lo sumo 3 raıces.Un modelo para el bilinguismo Cao Labora - Vazquez Monzon 6 / 13





Estabilidad de los equilibrios

LemaSupongamos a > 1, entonces los equilibrios P x e P y sonasint´ oticamente estables. Ademas si solo hay un equilibrio en Aeste es, necesariamente, una silla.

IdeaLa primeira afirmaci´ on se hace evidente al calcular la jacobianaasociada al sistema, pues sale una matriz diagonal con autovalores negativos. La segunda afirmaci´ on recae en que las cuencas de atracci´ on de los equilibrios triviales deben de estar separadas por

alguna ´ orbita (Ferrel, Th. 8.6), por lo que la idea es descartar tipos de ´ orbitas usando ese hecho y tambien el hecho de que el campo es entrante para llegar a que s´ olo puede ser una silla.






Estudio del campo en ∂ A

Respecto a otros valores de a, si a < 1 cambia la formula daderivada de (1 − x )a y aparecen problemas al evaluar la jacobiana

en P x e P y (divisiones entre cero). Si a = 1 la estabilidad de losequilibrios triviales depende de los valores de s , k y aparecensituaciones variopintas.

Ademas de lo ya visto podemos estudiar el campo en ∂ A al

parametrizarla. De especial interes sera la componente F y en larecta x = 0 y F x en y = 0.

En estos casos en funcion una desigualdad que involucra a (a, k , s )da la cantidad de ceros de F y en x = 0 (ninguno, uno doble o dos)y lo mismo con F x en y = 0.

Un estudio mas profundo de la cuestion permite obtener las curvasque verifican F x = 0 o F y = 0 y determinar los signos del campo

en cada subregion.Un modelo para el bilinguismo Cao Labora - Vazquez Monzon 8 / 13





Dos situaciones distintas

El estudio analıtico previo concluye que hay dos situacionesesencialmente distintas, salvo casos degenerados (singularidadesdobles).

• Hay un unico punto de silla en el interior del triangulo.

• Hay dos sillas y un equilibrio asintoticamente estable en el

interior del triangulo.

Este resultado contrasta con un estudio previo de otro artıculo que,por simulacion numerica, preveıa cinco escenarios distintos.

Simplemente, se trataba de casos complicados de evaluar contecnicas numericas y aparecıan resultados erroneos como que P x oP y no aparentaban ser estables para todo par k , s ∈ (0, 1) cona > 1.






Ausencia de orbitas periodicas

En cualquiera de esas dos situaciones existen subregionespositivamente invariantes del triangulo. Este hecho es de especialinteres a la hora de buscar orbitas periodicas.

Supongamos que existe una orbita periodica en el simplementeconexo A. Englobara una cantidad finita de singularidades e con

suma de ındices igual a 1. Eso hace que la orbita periodica solopueda existir si hay al menos una singularidad atractora en A; ypor tanto 3 singularidades en A.

Eso ultimo tampoco es posible pues cualquier orbita que rodee al

equilibrio asintoticamente estable debera entrar e salir de unasubregion positivamente invariante; lo cual es imposible.

LemaNo hay ´ orbitas peri´ odicas en el sistema anterior.





Ausencia de orbitas periodicas

Se establecen las siguientes conclusiones:

• El modelo mejora resultados previos, descartando de modoanalıtico situaciones que eran esperadas por los resultadosnumericos preexistentes.

• Si a > 1 los equilibrios donde una lengua se extingue sonasintoticamente estables. Sin embargo, el bilinguismo en todala poblacion nunca se corresponde con un equilibrio.

• Solo existen dos situaciones esencialmente distintas. Unadonde solo son asintoticamente estables las situaciones deextincion de una lengua y otra donde aparece, ademas, un

equilibrio asintoticamente estable con hablantes de todo tipo.• Algunhas de las conclusiones anteriores cambian al considerara ≤ 1; sobre todo respecto a la estabilidad. Aun ası, eseenfoque no tiene tanto interes pues es relativamente frecuentela asuncion a ≈ 1,31.





Comportamiento frente a k , s

Fijando todos los parametros salvo uno se obtiene lo siguiente:

• Al aumentar k se observa que acaba por aparecer el equilibrioasintoticamente estable y este se desplaza hacia el bilinguismo(0, 0) llegando a el en caso irreal k = 1. Es un resultado logico

asumiendo que lenguas parecidas favorecen el bilinguismo.• Si k tiene un valor suficientemente grande para garantiza la

existencia del equilibrio anterior, la variacion de s desplazaeste equilibrio entre valores practicamente monolingues en X hasta valores practicamente monolingues en Y . De novo es un

resultado logico pues situaciones con una lengua con muchomas estatus que la otra favorecen el monolinguismo de lalengua dominante.





Comportamiento frente a k , s

Muchas gracias por vuestra atencion.


beamer mate matic a

Documents