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Cálculo Diferencial e Integral

Julio Nùñez Cheng

Banco de Preguntas

I Unidad

1. En toda sumatoria la variable i, recorrerá los valores enteros hastaalcanzar el límite superior.

a) Verdadero ( ) b) Falso

2. El sumatorio o la sumatoria es un operando matemático que permiterepresentar sumas de muchos sumandos, n o incluso infinitossumandos, se expresa con la letra griega sigma ( Ó) :


3. El sumatorio o la sumatoria es un operando matemático que permiterepresentar sumas de muchos sumandos, y se define como :

a) Verdadero ( ) b) Falso4. Si se quiere expresar la suma de los cinco primeros números naturales

se puede hacerlo de esta forma:

También hay fórmulas para calcular los sumatorios más rápido. Porejemplo, para sumar los primeros mil números naturales no tiene muchosentido sumar número por número, y se puede usar una fórmula comoesta:


5. Los operadores de suma son útiles para expresar sumas de formaanalítica; esto es, representar todos y cada de los sumandos en formageneral mediante el "i-ésimo" sumando. Así, para representar la fórmulapara hallar la media aritmética de n números, se tiene la siguienteexpresión:

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Julio Nùñez Cheng


6. Calcular aplicando la fórmula de sumatorias:

200

1

1

1 2 3 4 5 ...200

:( 1)

2

i

n

i

i

Aplicandon ni

=

=

= + + + + +

+=

∑

∑

a) 18600 b) 19100 c) 20000 d) 20100 e) 20200

7. Hallar el valor de n en la siguiente sumatoria:

11 2 3 4 5 ... 1596

n

ii

=

= + + + + + =∑

a) 52 b) 48 c) 50 d) 54 e) 56

8. Calcular el límite de :

2 2 10

Límite x xx

− + =→


3 3 11

Límite x xx

+ − =→

10.Calcular el límite de :

2 42

2

xLímitex

x

−=

−→

11. Calcular el límite de:




Julio Nùñez Cheng

3 11

1

xL ím i tex

x

−=

−→


3 2

3 2

2 35 2 3

x x xLímitex x x

x

+ −=

− +→ ∞


39

9

xLímitex

x

−=

−→


2

2

24 4

2

x xLímitex x

x

−=

− +→


2

2

13 2

1

xLímitex x

x

−=

+ +→ −

16. Una idea intuitiva de función continua, es considerar que su gráfica escontinua en el sentido que se puede dibujar sin levantar el lápiz de lahoja de papel:


17. Determinar si la siguiente función es continua o discontinua:

1( 1)

yx

=−




Julio Nùñez Cheng

18. Determinar si la función es continua o discontinua:

2( ) 2 1f x x x= − +

19.Determinar el límite de :

3 82

2

xLímitex

x

+=

+→ −

20. Determinar el límite de:

24 92 3

32

xLímitex

x

−=

+

→ −

21. Determinar el límite de:

2

2

3 8 162 9 4

4

x xLímitex x

x

− −=

− +→

22. Hallar la asíntota vertical de la función:

3

2( )( 1)

xf xx

=−


3 1( )2

xf xx−

=−


3 1( )2

xf xx−

=+




Julio Nùñez Cheng

25. Hallar la asíntota horizontal de la función:

8 4( )4 5

xf xx+

=−


2

2

3( )3

xf xx

=+

II Unidad

1. Representa la pendiente de la recta tangente al gráfico de una curva enun punto:

a) Antiderivada b) Integral c) Derivada d) Ecuación diferencial

2. La expresión define a la derivada de una función:

0

dy ylímitedx x

x

∆=

∆∆ →


3. Calcular la derivada de la siguiente función:

23 2 4y x x= − +4. Calcular la pendiente de la recta en el punto x = 1 de la siguiente

función:

25 2 4y x x= + +5. Calcular la derivada de la función :

2 3(3 2 )y x x= −




Julio Nùñez Cheng

6. Calcular la derivada d yd x

de la siguiente función compuesta:

2 2(2 3 )y u u x x= = −7. Calcular la derivada de la función:

2ln (3 5 )y x x= −

8. Calcular la derivada de la función:

3 xy e=9. Calcular la derivada de la función:

2(3 5)(2 4 )y x x x= − −10. Calcular la derivada de la función:

2 2 3y x x= − +

11. Calcular la pendiente de la recta en el punto x = 1 de la función :

2 2 3y x x= − +

12. Calcular la pendiente de la recta en el punto x = 0 de la función :

3 22y x x x= − +

13. Hallar la segunda derivada de la función:

3 22y x x x= − +

14. En la función:2 3 3y x x= − +

Hallar la rapidez de cambio de la ordenada, en el punto x =1, si

2 / .dx cm segundosdt=




Julio Nùñez Cheng

15. Hallar la derivada de la función compuesta:

2 3 2y u u x= = −

16. Hallar la derivada de la siguiente función:

2(3 2)y x= −

17. Hallar la derivadad yd x de la función:

2 2 3x y x y+ = +

18. Hallar la derivadadydx de la función:

2 2 2 3y x x= − +

19. Hallar la derivadadydx de la función:

3 2 25x y y x+ = +

20. Hallar la derivada de la función:

2ln (3 1)y x= −

III Unidad

1. Hallar la antiderivada de la función: x dx =∫

2. Hallar la antiderivada de la función:3x dx =∫

3. Hallar :3( 1)x dx+ =∫




Julio Nùñez Cheng

4. Hallar:3(3 2)x dx− =∫

5. Hallar:2(3 2 3)x x dx− + =∫

6. Hallar: 2dx

x=

+∫

7. Hallar: 5 2dxx

=−∫

8. Hallar:3xe dx=∫

9. Calcular la integral :

32

1

( 3 )x x d x− =∫

10. Calcular la integral :

1 2

5 2d x

x=

+∫

11. Calcular la integral:

12

0

( 2 3)x x dx− +∫

12.Calcular la integral :

23 2

0

( 3 )x x dx+ =∫

13. Resolver la ecuación diferencial: 3dy xdx

=

14. Resolver la ecuación diferencial:23 5dy x x

dx= −

15. Resolver la ecuación diferencial:

2 1 2dy x x para y xdx

= − = = −




Julio Nùñez Cheng

16. Resolver la ecuación diferencial:2

22 0 1 2dy dyx para y x

dx dx= = = − =

Clave de Respuestas

Primera Unidad

1. Verdadero2. Verdadero3. Verdadero4. Verdadero5. Verdadero6. Clave d7. Clave e8. Respuesta: 19. Respuesta: 310. Respuesta: 411. Respuesta: 312. Respuesta: 2/513.Respuesta: 1/614. Infinito15. Respuesta : - 216. Verdadero17. Discontinua x = 118. Es continua, su gráfico es una parábola19. Respuesta : 1220. Respuesta: - 621. Respuesta: 16/722. Respuesta: Asíntota vertical en x = 123. Respuesta: Asíntota vertical en x = 224. Respuesta : Asíntota vertical en x = - 225.Respuesta : Asíntota horizontal en x = 226. Respuesta: Asíntota vertical en x = 3

Clave de Respuestas

Segunda Unidad

1. Clave C2. Verdadero

3. 6 2d y xd x

= −




Julio Nùñez Cheng

4. 12Pendiente m= =

5. 2 2 2 23(3 2 ) (6 2) (3 2 ) (18 6)dy x x x x x xdx

= − − = − −

6.

2

2 3 2

2(2 3 )(4 3)

(2 3 )(8 6) 16 36 18

dy x x xdxdy x x x x x xdx

= − − =

= − − = − +

7. 2

(6 5)(3 5 )

dy xdx x x

−=

−

8.33 xdy e

dx=

9.218 44 20dy x x

dx= − +

10. 2 2dy xdx

= −

11. 0Pendiente m= =12. 1Pendiente m= =

13.

2

2 6 4dy xdx

= −

14. 2 /dy cm segundosdt=−

15. 6(3 2) 18 12dy x xdx= − = −

16. 6(3 2) 18 12dy x xdx= − = −

17. 2 2

1 2 2 12 3 3 2

d y x xd x y y y y

− −= =

− −

18.2 2

2dy xdx y

−=




Julio Nùñez Cheng

19.

23 210 1

dy x xdx y

− +=

−

20. 2

63 1

dy xdx x

=−

Clave de Respuestas

Tercera Unidad

1.

2

2xx dx c= +∫

2.

43

4xx dx c= +∫

3.

43 ( 1)( 1)

4xx dx c+

+ = +∫

4.

43 (3 2)(3 2)

12xx dx c−

− = +∫

5.2 3 2(3 2 3) 3x x dx x x x c− + = − + +∫

6. ln ( 2)2

dx x cx

= + ++∫

7.1ln (5 2)

5 2 5dx x cx

= − +−∫

8.3 31

3x xe dx e c= +∫

9.

32

1

(3 ) 22x x dx− =∫

10.

12

5

14ln14 ln 7 ln ln 22 7

dxx

= − = =+∫




Julio Nùñez Cheng

11.

12

0

7( 2 3)3

x x dx− + =∫

12.

23 2

0

( 3 ) 12x x dx+ =∫

13.

232xy c= +

14.

23 5

2xy x c= − +

15.

3 2 173 2 3x xy = − +

16.

4 8 312 3xy x= − +

Julio Núñez Cheng

Chimbote

26 de marzo del 2011



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