baldor algebra

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Baldor, A. (2). Álgebra, (2ª. reimpr. de la 2ª. Ed.). México: Grupo Editorial Patria. Pp. 446-462.

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  • Baldor, A. (2). lgebra, (2. reimpr. de la 2. Ed.). Mxico: Grupo Editorial Patria. Pp. 446-462.

  • lgebra de BaldorF CD-ROM de regalo lleno de: 1tiles ejemplos paso a paso, ejercicios,

    herramientas y autoeualuaciones

    Exige con esta edicin tu CD-ROM!

    GRUPOEDITORIAL 1

    PATRIA

  • ~

    ALGEBRA

    DR. AURELIO BALDOR Fundador, Director y Jefe de la

    Ctedra de Matemticas del Colegio Baldor, La Habana, Cuba.

    Jefe de la Ctedra de Matemticas, Stevens Academy, Hoboken,

    New-Jersey, U.S.A. Profesor de Matemticas,

    Saint Peter's College, Jersey City, New-Jersey.

    Con grficos y 6,523 ejercicios y problemas con respuestas

    SEGUNDA REIMPRESIN 2009

  • Para establecer comunicacin con nosotros puede hacerlo por:

    correo: Renacimiento 180, Col. San Juan Tlihuaca, Azcapotzalco, 02400, Mxico, D.F.

    fax pedidos: (01 55) 5354 9109 5354 9102

    e-mail: [email protected]

    home page: www.editorialpatria.com.mx

    Direccin editorial: Javier Enrique Callejas Coordinacin editorial: Alma Smano Castillo Revisin tcnica:Alex Polo Velzquez Diseo: Juan Bernardo Rosado Sols Ilustracin: Jos Luis Mendoza Monroy Diagramacin: Seditograf 1 Carlos Snchez

    lgebra Derechos reservados: Dr. Aurelio Baldor

    Esta obra se termin de imprimir en febrero del 2009 en los talleres de

    Compaa Editorial Ultra S.A. de C.V. Centeno No. 162 Local 2, Col. Granjas Esmeralda

    C.P. 09810, Mxico, D.F.

    1983, Compaa Editora y Distribuidora de Textos Americanos, S.A. (CCEDT A) Cdice Ediciones y Distribuciones, S.A. (Cdice Amrica, S.A.)

    1983, Publicaciones Cultural, S.A. de C.V. 2000, Grupo Patria Cultural, S.A. de C.V.

    Derechos reservados: 2004, Grupo Patria Cultural, S.A. de C.V. 2007, Grupo Editorial Patria, S.A. de C.V. Renacimiento 180, Colonia San Juan Tlihuaca Delegacin Azcapotzalco, Cdigo Postal 02400, Mxico, D.F.

    Miembro de la Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana Registro nm. 43

    ISBN: 978-970-817-000-0 (segunda edicin) ISBN: 970-24-0779-6 (primera edicin) Queda prohibida la reproduccin o transmisin total o parcial del contenido de la presente obra en cualesquiera formas, sean electrnicas o mecnicas, sin el consentimiento previo y por escrito del editor.

    Impreso en Mxico Printed in Mexico

    Primera edicin: Publicaciones Cultural, S.A. de C.V.: 1983 Primera edicin: Grupo Patria Cultural, S.A. de C.V.: 2005 Segunda edicin: Grupo Editorial Patria, S.A. de C.V.: 2007

    Primera reimpresin: 2008 Segunda reimpresin: 2009

  • NDICE PGINA Captulos 5 Preliminares 40 Suma 46 11 Resta 58 111 Signos de agrupacin 63 IV Multiplicacin 79 V Divisin 97 VI Productos y cocientes notables 112 VIl Teorema del residuo 122 VIII Ecuaciones enteras de primer grado con una incgnita 131 IX Problemas sobre ecuaciones enteras de primer grado con

    una incgnita 143 X Descomposicin factorial 180 XI Mximo comn divisor 188 XII Mnimo comn mltiplo 193 XIII Fracciones algebraicas. Reduccin de fracciones 210 XIV Operaciones con fracciones 236 XV Ecuaciones numricas fraccionarias de primer grado con

    una incgnita 243 XVI Ecuaciones literales de primer grado con una incgnita 246 XVII Problemas sobre ecuaciones fraccionarias de primer grado 270 XVIII Frmulas 276 XIX Desigualdades. Inecuaciones 282 XX Funciones 291 XXI Representacin grfica de funciones y relaciones 301 XXII Grficas. Aplicaciones prcticas 311 XXIII Ecuaciones indeterminadas 319 XXIV Ecuaciones simultneas de primer grado con dos incgnitas

  • 576 BALDOR LGEBRA ~' ~~ !!I_J! m!~!!!!!

    PGINA Captulos 340 XXV Ecuaciones simultneas de primer grado con tres o ms

    incgnitas 356 XXVI Problemas que se resuelven por ecuaciones simultneas 370 XXVII Estudio elemental de la teora coordinatoria 376 XXVIII Potenciacin 389 XXIX Radicacin 401 XXX Teora de los exponentes 418 XXXI Radicales 437 XXXII Cantidades imaginarias 446 XXXIII Ecuaciones de segundo grado con una incgnita 460 XXXIV Problemas que se resuelven por ecuaciones de segundo

    grado. Problema de las luces 467 XXXV Teora de las ecuaciones de segundo grado.

    Estudio del trinomio de segundo grado 483 XXXVI Ecuaciones binomias y trinomias 490 XXXVII Progresiones 508 XXXVIII Logaritmos 520 XXXIX Inters compuesto. Amortizaciones. Imposiciones

    529 APNDICE 530 Tabla de inters compuesto 532 11 Tabla de inters compuesto decreciente 534 111 Cuadro de las formas bsicas de descomposicin factorial 536 IV Tabla de potencias y races

    537 Respuestas a los ejercicios del texto

  • Nlels Henrik Abel (1802-1829). Matemtico noruego. Vivi durante toda su vida en extrema pobreza. Trat de abrirse paso entre los matemticos del continente, pero no lo logr. Obtuvo con Jacobi el Gran Premio de Matemticas del Instituto de Francia, por su trabajo sobre las funciones elpticas. Fue

    _c_aP-tulo XXX///_

    uno de los ms grandes algebristas del siglo XIX. Demostr el teorema general del binomio. Llev a cabo la demostracin de la imposibilidad de la resolucin de las ecuaciones de quinto grado. Muri desconocido.

    ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCGNITA

    ECUACIN DE SEGUNDO GRADO es toda ecuacin en la cual, una vez simplificada, el mayor exponente de la incgnita es 2.

    As,

    es una ecuacin de segundo grado. Ecuaciones completas de segundo grado son ecuaciones de la forma ax2 + bx +e = O,

    que tienen un trmino en x2, un trmino en x y un trmino independiente de x. As, 2x2 + 7x- 15 = O y x2 - 8x = -15 o x2 - 8x + 15 = O son ecuaciones completas de

    segundo grado. Ecuaciones incompletas de segundo grado son ecuaciones de la forma ax2 + e = O que

    carecen del trmino en x. o de la forma ax2 + bx = O que carecen del trmino independiente. As, x2 - 16 = O y 3x2 + 5x = O son ecuaciones incompletas de segundo grado.

    RACES DE UNA ECUACIN DE SEGUNDO GRADO son los valores de la incgnita que satisfacen la ecuacin.

    Toda ecuacin de segundo grado tiene dos races. As, las races de la ecuacin x2 - 2x- 3 =O son x1 = 3 y x2= - 1; ambos valores satisfacen esta ecuacin.

    Resolver una ecuacin de segundo grado es hallar las races de la ecuacin.

  • CAPTULO XXXIII Ecuaciones de segundo grado con una incgnita

    ECUACIONES COMPLETAS MTODO DE COMPLETAR EL CUADRADO PARA RESOLVER LA ECUACIN DE SEGUNDO GRADO ax2 + bx + e = O

    Para comprender mejor este mtodo, consideremos primero la ecuacin del tipo X2 +bX+C = 0

    Podemos escribir esta ecuacin del siguiente modo:

    x2 +bx=-c

    Si observamos el primer miembro veremos que al binomio x2 + bx le falta un trmino para ser un trinomio cuadrado perfecto. Tal trmino es el cuadrado de la mitad del coeficiente del

    segundo trmino (~r , o lo que es lo mismo b: . En efecto, formamos as un trinomio cuyo primer trmino es el cuadrado de x; su segundo

    trmino es el doble producto de x por %; y su tercer trmino es el cuadrado de la mitad del

    coeficiente del segundo trmino (~r o sea b: . Para que no se altere la ecuacin le agrega-mos al segundo miembro la misma cantidad que le agregamos al primer miembro.

    As tendremos: x2 + bx +(b42)=( ~) -e

    En el primer miembro de esta ecuacin tenemos un trinomio cuadrado perfecto.

    Factorizamos: ( x + %f = b: -e

    Extraemos la raz cuadrada a ambos miembros: ~(x+%f = ~ b: -e

    Cuando el coeficiente de x2 es mayor que 1, el procedimiento es esencialmente el mismo, slo que como primer paso dividimos los tres trminos de la ecuacin entre a, coeficiente de x2 Pondremos un ejemplo numrico.

    447

  • 448 BALDORLGEBRA

    1) Sea la ecuacin 4x2 + 3x- 22 =O. Transponiendo el trmino independiente: x2 + 3x = 22 Dividiendo por el coeficiente del primer trmino: x2 + ~ x = ~ Agregando el cuadrado de la mitad de ~: x2 + ~ x + (~) 2 = ~ + {~) 2

    Factorizando el primer miembro: ( x + ~r = ~ + ~ Extrayendo la raz cuadrada a los dos miembros: )(x + ~r = J~ + ~ Resolviendo: X+= + ~ 8 -.. 64

    X=- ~ a 'V 64

    X=- + 19 a- a X=-+ 19= 16=2

    1 8 8 8

    X =-- 19= 22=-2 2 8 8 8 4 {

    X = 2 R. x1 =-2

    2 4

    DEDUCCIN DE LA FRMULA PARA RESOLVER LA ECUACIN GENERAL DE SEGUNDO GRADO ax2 + bx + e = O La ecuacin es ---------------1~ ax2 + bx +e= O

    Multiplicando por 4a: 4a 2x2 + 4abx + 4ae = O Sumando b2 a los dos miembros: 4a 2x2 + 4abx + 4ae + b2 = b2 Pasando 4ae al 2 miembro: 4a 2x2 + 4abx + b2 = b2 - 4ae Descomponiendo el primer miembro, que es un trinomio cuadrado perfecto: ----- (2ax + b)2 = b2 - 4ae Extrayendo la raz cuadrada a los dos miembros: -+ 2ax + b = ~ b2 - 4ae Transponiendo b: 2ax =- b ~ b2 - 4ae

    Despejando x: --------------~ -b~b2 -4ac X=--7-2a--frmula que me da las dos races de la ecuacin ax2 + bx + e = O (porque de esta frmula salen dos valores de x segn se tome ~ b2 - 4ae con signo+ o-) en funcin de a, coeficiente del trmino en x2 en la ecuacin, b coeficiente del trmino en x y e el trmino independiente.

    Obsrvese que en la frmula aparece el coeficiente del segundo trmino de la ecuacin b con signo distinto al que tiene en la ecuacin.

  • CAPTULO XXXIII Ecuaciones de segundo grado con una incgnita

    RESOLUCIN DE ECUACIONES COMPLETAS DE SEGUNDO GRADO SIN DENOMINADORES APLICANDO LA FRMULA GENERAL

    1) Resolver la ecuacin 3x2 - 7x + 2 =O. - bJb2 - 4ac Aplicamos la frmula x = 28 _ ~u a = 3, b = -7, e = 2, luego sustituyendo y teniendo presente que al sustituir b

    / ;~pone con signo cambiado, tendremos: - 7J72- 4(3)(2) 7~ 7$ 75

    X- 2(3) 6 _ 6 _ _ _ 6_ Entonces:

    X= 7+5= 12=2 1 6 6

    {

    X1 = 2 R. x =1

    2 3 X = 7-5=.?_= 1 2 6 6 3

    2 y ~ son las races de la ecuacin dada y ambas anulan la ecuacin. Sustituyendo x por 2 en la ecuacin dada 3x2 - 7x + 2 = O, se tiene:

    ' 3(22)- 7(2) + 2 = 12-14 + 2 =o

    sustituyendox por l3f - 7{~)+2=~ - ~+ 2=0 2) Resolver la ecuacin 6x - x2 - 9 = O.

    Ordenando y cambiando signos: i- 6x + 9 = O. Vamos a aplicar la frmula teniendo presente que a, coeficiente de x2 es 1:

    - 6 ~36 - 4(1)(9) 6~ 6 JQ - 6_3 X- 2(1) 2 - 2- -2-

    Entonces x tiene un solo valor 3; las dos races son iguales: x1 =X2 =3 R.

    Resolver las siguientes ecuaciones por la frmula general: 1. 3x2 -5x+2 = 0 6. 5x2 - 7x-90 = 0 11 . x2 =-15x-56 2. 4X2 + 3x-22 = 0 7. 6X2 = X+ 222 12. 32x2 +18x - 17=0 3. x2 + 11x =- 24 4. x2 = 16x - 63 5. 12x - 4 - 9x2 = O

    8. x+11 = 10x2 13. 176x=121 +64x2 18. 105 = x+2x2

    9. 49x2 - 70x + 25 = O 14. 8x + 5 = 36x2

    10. 12x - 7x2 +64 = 0 15. 27x2 +12x - 7 = 0

    3) Resolver la ecuacin (x + 4)2 = 2x(5x - 1) - 7 (x- 2). Para aplicar la frmula hay que llevarla a la forma ax2 + bx + e = O Efectuando: x2 + 8x + 16 = 1 Ox2 - 2x- 7x + 14

    449

  • 450

    Transponiendo: Reduciendo: Cambiando signos:

    BALDOR LGEBRA

    x2 + 8x + 16 - 1 Ox2 + 2x + .7x - 14 = O - 9x2 + 17x + 2 = O

    9x2 - 17x - 2 = O Aplicando la frmula:

    - 17 J 172-4(9)(-2) 17 j289+72 171361 1719 X- 2(9) 18 18 18

    Entonces: X= 17+19=36=2

    1 18 18

    X _ 17-19 _ -2 _ 1 2-~-18--9

    Resolver las ecuaciones siguientes llevndolas a la forma aJl + bx + e = O y aplicando la frmula general: 1. x(x + 3) = 5x + 3 2. 3(3x-2)=(x+4)(4-x)

    7. 7(x-3)-5(x2 - 1)=x2 - 5(x+2) B. (x- 5)2 - (x- 6)2 = (2x- 3)2 - 118

    3. 9x + 1 = 3 (x2 - 5) - (x - 3)(x + 2) 9. (5x- 2)2 - (3x + 1 )2 - x2 - 60 = O 4. (2x- W - (x + 5)2 = - 23 10. (x + 4)3 - (x- 3)3 = 343 5. 25(x + 2)2 = (x- 7)2 - 81 11. (X+2)3 - (x-1)3 = X(3X+4)+8 6. 3x(x- 2) - (x- 6) = 23(x- 3) 12. (5x- 4)2 - (3x + 5)(2x - 1) = 20x(x- 2) + 27

    DEDUCCIN DE LA FRMULA PARTICULAR PARA RESOLVER ECUACIONES DE LA FORMA x2 + mx + n = O

    Las ecuaciones de esta forma como x2 + 5x + 6 = O se caracterizan porque el coeficiente del trmino en x2 es 1. Estas ecuaciones pueden resolverse por la frmula general con slo supo-ner en sta que a = 1 , pero existe para ellas una frmula particular, que vamos a deducir.

    La ecuacin es Transponiendo n:

    x2 + mx+n=O x2 + mx=-n

    Sumando ~2 alosdosmiembros: x 2 +mx+~2 =~2 - n Descomponiendo el primer miembro, 2

    que es un trinomio cuadrado perfecto: (x + ~) = ~2 -n Extrayendo la raz cuadrada a los dos miembros: x + ~ = ) ~2 - n li . d m. m ~2 ransponren o - . x=- - + - - n 2 2 - 4 Obsrvese que m y n aparecen en la frmula con signos distintos a los que tienen en la

    ecuacin.

  • CAPTULO XXXIII Ecuaciones de segundo grado con una incgnita

    1) Resolver 3x2 - 2x(x- 4) = x- 12 por la frmula particular. Simplificando la ecuacin: 3x2 - 2x2 + 8x = x - 12

    x2 + 7x + 12 =O Aqu m = 7, n = 12, luego aplicando la frmula particular:

    X=-~ ~~ -12=-~~ =-~~ Entonces:

    X =-Z+1=-=-3 1 2 2 2

    X =-Z-1=--=-4 2 2 2 2

    R.

    Resolver las siguientes ecuaciones aplicando la frmula particular: 1. x2 - 3x + 2 = O 6. x2 - (7x + 6) = x + 59

    {X1 = -3

    x2 = -4

    2. x2 - 2x- 15 = O 7. (x- 1 )2 + 11x + 199 = 3x2 - (x- 2) 2 3. X2 =19x-88 8. (x-2)(x+2)-7(x-1)=21 4. x2 + 4x = 285 9. 2x2 - (x- 2)(x + 5) = 7(x + 3) 5. 5x(x- 1) - 2(2x2 - 7x) =- 8 10. (x - 1 )(x + 2) - (2x- 3)(x + 4) - x + 14 =O

    RESOLUCIN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON DENOMINADORES

    1) Resolver la ecuacin ...!_= .1__11. 3x 5x2 60

    Hay que quitar denominadores. El m. c. m. de 3x, 5x2 y 60 es 60x2 Tendremos: 20x = 84 - 11x2

    Transponiendo: 11x2 + 20x - 84 = O Aplicando la frmula se obtiene: x1 = 2, x2 =-3~ R.

    Resolver las siguientes ecuaciones:

    1. x2 x 3 5 . ._- - 1- =1 1 2x - 3_ x- 2 13. 3x-1-~ - I=o 5 - 2=10 X X+2 9 - X+5 - ---:- x 2x - 1 6

    2. 4x - .11=- 6 J.._- 11X+5=-1 10. x-13= 5- 10(5X+3) 5x - 8 7x - 4 X 2 14 - = - x x2 x x2 x- 1 X+2

    3. x2 x

    - - - =3(x-5) 7 -!_ +5x-1= 3 11 _ x _ _ x-2=~ 15 x+3 _ 5x-1 =O 6 2 3x +5 X+1

    x-2 x 2 2x -1 4x+ 7 4. 1(x-4)+~(x-5) 8 _ 1_ - _ 1_ = .! 4x2 1- 3x 20x 16. _ 1_ - .! = _1_ 4 5

    = .! (x2 -53) 12 - - - = -' x- 2 x-1 6 x-1 4 3 4-x 6 X+1 5

    451

  • 452 BALDOR LGEBRA

    17 X + 4 _ X+2=_!_ 18 _ 5 _ _ _ 6_ =3~ 19 !..=_2 +~=2X+9 20 _3 _ _ _ 1_ = _1_ X+ 5 X + 3 24 . X2- 1 X+ 1 8 . X + 1 X - 1 X + 3 . X + 2 X - 2 X+ 1

    RESOLUCIN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO POR DESCOMPOSICIN EN FACTORES Descomponiendo en factores el primer miembro de una ecuacin de la forma x

    2 + mx + n = O o ax2 + bx + e = O se obtiene un mtodo muy rpido para revolver la ecuacin.

    Resolver x2 + Sx - 24 = O por descomposicin en factores. Factorizando el trinomio (145), se tiene:

    (x + 8)(x - 3) = O Para que el producto (x + 8)(x - 3) sea cero es necesario que por lo menos uno de estos factores sea cero, es decir, la ecuacin se satisface para x + 8 = O y x - 3 = O. Podemos, pues, suponer que cualquiera de los factores es cero.

    Si x + 8 = O, se tiene que x = -8 y si x - 3 = O, se tiene que x = 3

    Lo anterior nos dice que x puede tener los valores -8 o 3. Por tanto, -8 y 3 son las races de la ecuacin dada.

    {x1 =-8

    R. 3 X2=

    Por tanto, para resolver una ecuacin de segundo grado por descomposicin en factores: 1) Se simplifica la ecuacin y se pone en la forma x2 + mx + n = O o ax2 + bx + e = O. 2) Se factoriza el trinomio del primer miembro de la ecuacin. 3) Se igualan a cero cada uno de los factores y se resuelven las ecuaciones simples que

    se obtienen de este modo.

    Resolver por descomposicin en factores:

    1. x2- x-6 = 0 10. x(x -1)- 5(x -2)=2 16. - 6- - i= __ 11. (x-2)2- (2x +W=- 80 X - 4 X 12

    17. (x -2)3 - (x - 3)3 = 37 12. ___Q=_i

    4. x2 = 1 08 - 3x x2 x 3 18. !..=2 -2= X+ 3 5. 2x2 + 7x - 4 = O 13. X+ 2 +X=~ X+1 3 6. 6x2 = 10 - 11x X X

    19_ 4x - 1 = 2X+ 1 1. 20x2- 27x = 14 14. (X+2)2- 2\- 5= 3 2x +3 6x + 5 8. 7x = 15 - 30x2

    15 _ _ x_ +X=3x +15 20_ 3x +2= 5- 9x+14 9. 60 = 8x2 + 157x x-2 4 4 12x

  • C A PTULO XXXIII Ecuaciones de segundo grado con una incgnita

    ECUACIONES LITERALES DE SEGUNDO GRADO Las ecuaciones literales de segundo grado pueden resolverse, como las numricas, por la frmula general o por descomposicin en factores. En muchas ecuaciones literales la resolu-cin por factores es muy rpida, mientras que por la frmula resulta mucho ms laboriosa.

    1) Resolver la ecuacin 3a - 2x = 1. x a

    Quitando denominadores 3a2 - 2x2 =ax 2x2 + ax - 3a2 =O

    Aplicando la frmula. Aqu a = 2, b = a, e = -3a2, luego:

    -a J a2- 4(2)(-3a2) X =- _ __,__4___:. __ - a~ 4

    -a~ -a5a 4 4

    {

    X1 =a

    R. X =-'-a 2 2 - a- 5a 6a 3 x = - -=--= - - a 2 4 4 2

    2) Resolver la ecuacin 2x2 - 4ax + bx = 2ab . La solucin de las ecuaciones de este tipo por la frmula es bastante laboriosa; sin em-bargo, por descomposicin en factores es muy rpida. Para resolver por factores se pasan todas las cantidades al primer miembro de modo que quede cero en el segundo. As, en este caso, transponiendo 2ab, tenemos:

    2x2 - 4ax + bx - 2ab = O Descomponiendo el primer miembro (factor comn por agrupacin), se tiene:

    2x(x- 2a) + b (x- 2a) =O o sea (x- 2a) (2x + b) =O Igualando a cero cada factor, se tiene: Si x - 2a=0, x = 2a

    2x+b =O, X=- 2

    Resolver las ecuaciones: 1. x2 + 2ax - 35a 2 = O 2. 1 Ox2 = 36a2 - 33ax 3. a2x2 + abx - 2b 2 = O 4. B9bx = 42x2 + 22b2

    5. x2 + ax = 20a2

    6. 2x2 = abx + 3a 2b2

    1. b2x2 + 2abx = 3a2

    8. x2 + ax - bx = ab

    {x1 =2a

    R. b X=--2 2

    9. x2 - 2ax = 6ab - 3bx 10. 3(2x2 - mx) + 4nx - 2mn =O 11 . x2 - a2 - bx - ab = O 12. abx2 - x(b - 2a) = 2

    453

  • 454 BALDOR LGEBRA

    13. x2 - 2ax + a2 - b2 = O 14. 4x(x- b) + b2 =4m2

    20. 6x2 - 15ax = 2bx - 5ab 24. __i__ =_t_

    x-1 2(a - 2) 15. x2 - b2 + 4a2 - 4ax = O 16. x2 - (a + 2)x = - 2a 17. x2 + 2x(4- 3a) = 48a 18. x2 - 2x = m2 +2m

    2x-b 2bx-b2 22.-2-=~ 26. 2x - b _ _ x_ = 3.: b X+b 4b

    19. x2 + m2x(m- 2) = 2m5

    ECUACIONES INCOMPLETAS Las ecuaciones incompletas de segundo grado son de la forma ax2 + e = O, que carecen del trmino en x, o de la forma ax2 + bx = O, que carecen del trmino independiente.

    ECUACIONES INCOMPLETAS DE LA FORMA ax2 +e = O

    Si en la ecuacin ax2 +e = O pasamos e al 2 miembro, se tiene:

    ax2 =-e :.x2=-%:.x=R

    Si a y e tienen el mismo signo, las races son imaginarias por ser la raz cuadrada de una cantidad negativa; si tienen signo distinto, las races son reales.

    A igual resultado se llega aplicando la frmula general a esta ecuacin ax2 +e= O tenien-do presente que b = O, ya que el trmino bx es nulo. Se tiene:

    X=~-4ac=~-4ac= G 2a 4a2 'ra

    1) Resolver la ecuacin x2 + 1 = 7 ~2 + 3. Suprimiendo denominadores: Transponiendo:

    Extrayendo la raz cuadrada:

    9x2 + 9 = 7x2 + 27 9x2 - 7x2 = 27 - 9

    2x2 =18 x2 = 9 X= .f9 X= 3 R.

    Las dos ralees +3 y -3 son reales y racionales.

    2) Resolver la ecuacin x2 + 5 = 7. Transponiendo y reduciendo: x2 = 2

    X= .J2 R. Las dos ralees .[2 y - .[2 son reales e irracionales.

  • CAPTULO XXXIII Ecuaciones de segundo grado con una incgnita

    3) Resolver la ecuacin Transponiendo:

    5x2 + 12 = Jx2- 20. 5x2 - 3x2 = -20 - 12

    2x2 =-32 x2 = -16

    Extrayendo la raz cuadrada: X= ~-16 X= 4J"=i= 4 R.

    Las dos races son imaginarias.

    Resolver las ecuaciones:

    1. lr=48 2. 51 - 9 =46 3. 71+ 14 =o 4. 9t-a2 = o 5. (x + 5)(x- 5) =- 7 6. (2x- 3){2x + 3) - 135 = o

    9. (2x-1)(x+2) - (x+4)(x-1)+5=0 10 ___ _ _ 1 = ]_

    2x2 6x2 12

    11 _ 2x-3=x-2 x-3 x-1 x2 -5 4x2-1 14x2- 1 12. --+--- --=0

    3 5 15

    7. 3(X+2)(x - 2)=(x-4)2 +8x X2+ 1 13. 2x-3- - =-7

    x-2

    8. (x+~)(x-~)=~ 3 14. 3- 4x2- 1 =2

    ECUACIONES INCOMPLETAS DE LA FORMA ax2 + bx = O

    Vamos a resolver la ecuacin ai + bx = O por descomposicin. Descomponiendo se tiene: x(ax +b) =O

    Igualando a cero ambos factores: x = O

    ax+b=O:.X=-1 a

    Se ve que en estas ecuaciones siempre una raz es cero y la otra es el coeficiente del trmino en x con signo cambiado partido por el coeficiente del trmino en t.

    Igual resultado se obtiene aplicando la frmula general a esta ecuacin teniendo presente

    que e = O. Se tiene: X_ -b _ -bb R --2-a----a--

    y de aqu -b+b o o X=--=- = 1 2a 2a

    -b-b - 2b b X=--= - =- -2 2a 2a a

    455

  • 456

    1) Resolver la ecuaci9n 5x2 = - 3x. Transponiendo: Descomponiendo:

    5x2 + 3x =O x(5x + 3) =O

    Igualando a cero:

    Las races son O y -~. R.

    X= O 5X+3=0:.X= - 5

    2) Resolver la ecuacin 3x -1 = 5;: 22

    .

    Quitando denominadores:

    Transponiendo y reduciendo: Descomponiendo:

    (3x- 1) (x- 2) = 5x + 2 3x2 - 7x + 2 = 5x + 2

    3x2 -12x=0 3x(x- 4) =o

    BALDOR LGEBRA

    3x-O x-Q- o - .. -3-

    Las races son O y 4. R.

    3.x2 - 3x = 3x2 - 4x 4. 5x2 + 4 = 2{x + 2} 5. (x- 3} 2 - {2x + 5} 2 = - 16

    X-4=0 :. X= 4

    6 ~-x - 9 = ~ . 3 6 2

    7. {4x - 1}{2x + 3} = (x + 3}{x -1}

    ECUACIONES CON RADICALES QUE SE REDUCEN A SEGUNDO GRADO. SOLUCIONES EXTRAAS Las ecuaciones con radicales se resuelven como sabemos, destruyendo los radicales me-diante la elevacin de los dos miembros a la potencia que indique el ndice del radical.

    Cuando la ecuacin que resulta es de segundo grado, al resolverla obtendremos las dos races de la ecuacin, pero es necesario hacer la verificacin con ambas races en la ecua-cin dada, comprobar si ambas races satisfacen la ecuacin dada, porque cuando los dos miembros de una ecuacin se elevan a una misma potencia generalmente se introducen nuevas soluciones que no satisfacen la ecuacin dada. Estas soluciones se llaman solu-ciones extraas o inadmisibles.

    Por tanto, es necesario en cada caso hacer la verificacin para aceptar las soluciones que satisfacen la ecuacin dada y rechazar las soluciones extraas.

    Al hacer la verificacin se tiene en cuenta solamente el valor positivo del radical.

  • CAPTULO XXXIII Ecuaciones de segundo grado con una incgnita

    1) Resolverla ecuacin ~4x-3- ~x-2= ~3x-5. Elevando al cuadrado:

    o sea 4x - 3- 2~ 4x2 -11x + 6 + x - 2 = 3x - 5 Aislando el radical: -2~4x2 -11x +6 =3x -5-4x +3-x +2 Reduciendo:

    Dividiendo por -2: Elevando al cuadrado: Transponiendo y reduciendo: Descomponiendo: Igualando a cero:

    -2~4x2 -11x+6 =-2x ~4X2 -11X+6 =X 4x2 - 11x + 6 = x2 3x2 - 11x + 6 = O

    (x - 3)(3x - 2) = O X- 3 = 0 :. X= 3

    3x-2=0 :. X = ~ Haciendo la verificacin se ve que el valor x = 3 satisface la ecuacin dada, pero el valor x = ~ no satisface la ecuacin. Entonces, x = ~ es una solucin extraa, que se rechaza. la solucin correcta de la ecuacin es x = 3. R.

    Resolver las ecuaciones siguientes haciendo la verificacin con ambas races:

    1. X+ ~4X+1=5 9. ~2x+ ~4x - 3 =3 2. 2x - ~ x - 1 = 3x - 7 3. ~ 5x - 1 + ~ x + 3 = 4 4. 2..[X - ~X +5 =1

    10. ~X+3+ ~=5 -y X+3

    11 FX+_i_= 5 " ){ .JX

    5. ~2x-1+ ~X+3 =3 12. 2..[X = ~X+ 7 + ~ -y X+7

    6. ~X - 3+ ~2X+1-2..fX= O 13. ~X+ ~ X + 8=2..fX 7. ~5x -1-b-x=J2X 8. ~3X +1+fsX= ~16X+1 14. ~6 -X+ ~X+7 - ~12X+1=0

    REPRESENTACIN Y SOLUCIN GRFICA DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Toda ecuacin de segundo grado con una sola incgnita en x representa una parbola cuyo eje es paralelo al eje de las ordenadas.

    457

  • 458 BALDOR lG EBRA

    1) Representar y resolver grficamente la ecuacin x2 - 5x + 4 =O El primer miembro de esta ecuacin es una funcin de segundo grado de x. Haciendo la funcin igual a y, tendremos:

    y= x2 - 5x + 4 A cada valor de x corresponde un valor de la funcin. Demos valores a x (Fig. 70). Para X= O, Y= 4

    X= 1, Y= o X= 2, Y=-2 X=2 1 2 Y=-21 4 X= 3, Y=-2 X= 4, Y= o X= 5, Y= 4 X= 6, Y= 10 X=-1 , y = 1 O, etctera

    Representando estos valores de y correspon-dientes a los que hemos dado a x, obtenemos la serie de puntos que aparecen sealados en

    - el grfico. Uniendo estos puntos por una curva suave se obtiene la parbolaABC, que es la re-presentacin grfica del primer miembro de la ecuacin dada. El punto inferior de la curva, en este caso co-

    rresponde al valor x = 2 ~ .

    --1 Figura 70

    El punto inferior de la curva (o el superior segn se ver despus) se obtiene siempre cuando a x se le da un valor igual a - ~ . En esta ecuacin que hemos representado b=-5ya =1 yportanto -b=-=21

    , 2a 2 2"

    Las abscisas de Jos puntos en que la curva corta al eje de las x son las races de la ecuacin. En este caso la curva corta al eje de las x en dos puntos cuyas abscisas son 1 y 4 y stas son las races de la ecuacin x2 - 5x + 4 = O. Vase que en la tabla de valores anterior para x = 1 y x = 4, y= O. Las races anulan la ecuacin. Cuando ambas ralees son reales y desiguales la curva corta al eje de las x en dos puntos distintos. Por tanto, para resolver grficamente una ecuacin de segundo grado en x basta hallar los puntos en que la curva corta el eje de las x.

  • CAPTULO XXXIII Ecuaciones de segundo grado con una incgnita

    2) Representar y resolver grficamente la ecuacin x2 - 6x + 9 = O. Tendremos: y= x2 - 6x + 9

    Demos valores ax (Fig. 71). Para X=O,

    X= 1, X=2, X= 3, X=4, X=5, X=6,

    Y=9 Y=4 Y=1 Y=O Y=1 Y=4 y = 9, etctera.

    Representando estos puntos y unindolos re-sulta la parbola ABC que es tangente al eje de las x. Esta curva es la representacin grfica del primer miembro de la ecuacin x2 - 6x + 9 = O.

    La curva toca al eje de las x en un solo punto 8 cuya abscisa es 3, luego las dos races de la ecuacin son iguales y valen 3. Obsrvese que en la tabla de valores x = 3 anula la funcin.

    NOTA

    --1 Figura 111---------

    Cuando al aplicar la frmula a una ecuacin de segundo grado la cantidad subradical de ~ b2 - 4ac es negativa, las races son complejas conjugadas. La parbola que representa una ecuacin de segundo grado cuyas races son complejas conjugadas no corta al eje de las x.

    Representar grficamente las funciones: 1.x2 +3x-4 2. x2 + 3x + 2

    3. x2 - 5x + 6 5. x2 - 2x- 8 1. x2 - 8x+ 16 4. x2 + 2x- 8 6. x2 - 9 8. x2 + 4x + 4 10. 3x2 - 4x- 7

    Resolver grficamente las ecuaciones:

    11. x2 -4x +3=0 14. X2 +4X+3=0 17. X2 +8x+16=0 20. x2 - 4x = - 4 12. x2 - 6x + 8 = O 15. x2 = 6 -x 18. x2 - 4 =O 21. 2x2 - 9x + 1 O = O 13. x2 - 2x - 3 = O 16. x2 = 2x -1 19. X2 = 3X +1 0 22. 2x2 - 5x - 7 = O

    459

  • Koenigsberg Potsdam

    Karl Gustav Jacobl (1804-1851). Matemtico alemn. Pro-fesor de Matemticas en las universidades de Berln y Koenigsberg. Comparti con Abel el Gran Premio del Instituto de Francia por su trabajo sobre las funciones eHpticas. Fue el primero en aplicar estas funciones elpticas a la teorla de

    los nmeros. Su obra sobre ecuaciones diferenciales inicia una nueva etapa en la Dinmica. Es famosa en este campo la ecuacin Hamilton-Jacobi. Ide la forma sencilla de los deter-minantes que se estudian hoy en el lgebra.

    ~P-tulo XXXIV PROBLEMAS QUE SE RESUELVEN POR ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO. PROBLEMA DE LAS LUCES

    Cuando el planteo de un problema da origen a una ecuacin de segundo grado, al resolver esta ecuacin se obtienen dos valores para la incgnita.

    Solamente se aceptan como soluciones del problema los valores de la incgnita que satisfagan las condiciones del problema y se rechazan los que no las cumplan.

    A es dos aos mayor que B y la suma de los cuadrados de ambas edades es 130 aos. Hallar ambas edades.

    Sea Entonces

    Segn las condiciones: Simplificando, se obtiene: Resolviendo:

    x = la edad de A x - 2 = la edad de 8

    x2 + (x - 2)2 = 130 x2 - 2x - 63 = O

    (x - 9)(x + 7) = O X- 9 = 0 :. X = 9 X + 7 = 0 :. X = -7

    Se rechaza la solucin x = - 7 porque la edad de A no puede ser - 7 aos y se acepta x = 9. Entonces A tiene 9 aos y 8 tiene x- 2 = 7 aos. R.

  • CAPTULO XXXIV Problemas que se resuelven por ecuaciones de segundo grado... 461

    A compr cierto nmero de latas de frijoles por $240. Si hubiera comprado 3 Jatas ms por el mismo dinero, cada lata le habra costado $4 menos. lCuntas Jatas compr y a qu precio?

    Sea x = el nmero de latas que compr

    Si compr x latas por $240, cada lata le cost $ 240 . X

    Si hubiera comprado 3 latas ms, x + 3 sacos, por el mismo dinero, $240, cada lata saldra a $ 240

    3, pero segn las condiciones el precio de cada una de estas latas, 2403, sera X+ X+

    $4 menor que el precio de cada una de las latas anteriores, 240 ; luego, se tiene la ecuacin: X

    240 = 240 +4 X X+3

    Resolviendo esta ecuacin se obtiene x = 12 y x = -15 Se rechaza la solucin x = -15 y se acepta x = 12; luego, compr 12 latas y cada lata le

    cost 2~0 =~~o= $20. R.

    La longitud de un terreno rectangular es doble que el ancho. Si la longitud se aumenta en 40 m y el ancho en 6 m, el rea se hace doble. Hallar las dimensiones del terreno.

    Sea Entonces

    x = el ancho del terreno 2x = la longitud del terreno

    El rea del terreno es x x 2x = 2i.

    Aumentando la longitud en 40 m, sta sera (2x + 40) m, y aumentando el ancho en 6 m, ste sera (x + 6) m. El rea ahora sera (2x + 40) (x + 6) = 2x2 + 52x + 240 m2, pero segn las condiciones esta nueva rea sera doble que la anterior 2x2; luego, tenemos la ecuacin:

    2x2 + 52x + 240 = 4x2

    Transponiendo y reduciendo: - 2x2 + 52x + 240 = o

    Cambiando signos y dividiendo entre 2: x2 - 26x - 120 = O

    Resolviendo esta ecuacin se halla x = 30 y x = -4. Aceptando la solucin x = 30, el ancho del terreno es 30 m y la longitud es

    2x= 60 m. R.

    Una persona vende una pelota en $24, perdiendo un % sobre el costo de la pelota igual al nmero de pesos que le cost la pelota. lCunto le haba costado la pelota?

    Sea x = el nmero de pesos que le haba costado la pelota

    Entonces, x = % de ganancia sobre el costo.

  • 462 BALDORLGEBRA

    La prdida obtenida es el x% de $x. En Aritmtica, para hallar el 6% de $6 procedemos .. 6x 6_36 . 1 l 01 d $ . x x x_x

    2 as1. 100 - 100 , u ego, .e x 10 e x sera 100 - 100 .

    Entonces, como la prdida L es la diferencia entre el costo x y el precio de venta $24, se tiene la ecuacin: 100

    x2 100 =X -24

    Resolviendo esta ecuacin se halla x = 40 y x = 60. Ambas soluciones satisfacen las condiciones del problema; luego, la pelota habr costado $40 o $60. R.

    1. La suma de dos nmeros es 9 y la suma de sus cuadrados 53. Hallar los nmeros. 2. Un nmero positivo es los ~ de otro y su producto es 2, 160. Hallar los nmeros. 3. A tiene 3 aos ms que 8 y el cuadrado de la edad de A aumentado en el cuadrado de la edad de 8

    equivale a 317 aos. Hallar ambas edades. 4. Un nmero es el triple de otro y la diferencia de sus cuadrados es 1 ,800. Hallar los nmeros. 5. El cuadrado de un nmero disminuido en 9 equivale a 8 veces el exceso del nmero sobre 2. Hallar

    el nmero. 6. Hallar dos nmeros consecutivos tales que el cuadrado del mayor exceda en 57 al triple del menor. 7. La longitud de una sala excede a su ancho en 4 m. Si cada dimensin se aumenta en 4 m el rea

    ser doble. Hallar las dimensiones de la sala. 8. Un comerciante compr cierto nmero de sacos de azcar por 1 ,000,000 bolvares. Si hubiera

    comprado 1 O sacos ms por el mismo dinero, cada saco le habra costado 5,000 bolvares menos. cuntos sacos compr y cunto le cost cada uno?

    9. Un caballo cost 4 veces lo que sus arreos. Si la suma de los cuadrados del precio del caballo y el precio de los arreos es 86,062,500,000,000 sucres, cunto cost el caballo y cunto los arreos?

    10. La diferencia de dos nmeros es 7 y su suma multiplicada por el nmero menor equivale a 184. Hallar los nmeros.

    11. La suma de las edades de A y 8 es 23 aos y su producto 102. Hallar ambas edades. 12. Una persona compr cierto nmero de libros por $1 ,800. Si compra 6 libros menos por el mismo

    dinero, cada uno le cuesta $1 O ms. cuntos libros compr y cunto le cost cada uno? 13. Una compaa de 180 hombres est dispuesta en filas . El nmero de soldados de cada fila es 8 ms

    que el nmero de filas que hay. cuntas filas hay y cuntos soldados en cada una? 14. Se vende un reloj en 75 nuevos soles ganando un% sobre el costo igual al nmero de nuevos soles

    que cost el reloj. Hallar el costo del reloj.

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