balance de momento
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BALANCE DE MOMENTO
Calva Carla
Escobar Fabián
Vuele Franco
Balance de Momento Lineal
La ecuación del balance de momento lineal es similar a la ecuación de balance de masa.
El momento lineal a diferencia de la masa y la energía es una cantidad vectorial.
Derivación de la Ec. General
Se puede escribir un balance de momento lineal para un volumen de control como el de la figura:
El vector lineal total de momento lineal P de la masa total M de un fluido en movimiento con velocidad v es:
P = M vEl término Mv es el momento lineal de esta masa M en movimiento, incluida en un instante dentro del volumen de control.
A partir de la segunda ley de Newton que puede expresarse como: la velocidad de cambio de momento lineal de un sistema es igual a la suma de todas las fuerzas que actúan sobre dicho sistema y tiene lugar en la dirección de la fuerza neta resultante
La ecuación para la conservación de momento lineal con respecto a un volumen de control puede escribirse como:
[1]
Ésta es la misma forma de la ecuación general de balance de masa con la suma de las fuerzas como término de rapidez de generación. Por lo tanto, el momento lineal no se conserva ya que es generado por fuerzas externas al sistema. Si no existen fuerzas externas, sí hay conservación del momento lineal.
Al usar el volumen de control general de la figura, se pueden evaluar los diversos términos de la ecuación [1] usando métodos muy similares al desarrollo del balance general de masa. Para un elemento pequeño de área dA en la superficie de control:
Velocidad de efusión de momento lineal
=
Donde:(dA cos α ) es el área proyectada en dirección perpendicular al vector velocidad v; α es el ángulo entre el vector velocidad y el vector unitario normal n en dirección al exterior; la cantidad p v es la velocidad o flujo específico de masa.
[2]
Con base en el algebra vectorial , el producto de la ecuación [2] se convierte en:
[3]
Integrando entre los límites de la totalidad de la superficie de control:
[4]
La efusión neta representa los primeros dos términos del lado derecho de la ecuación [1]
La velocidad de acumulación del momento lineal dentro del volumen de control V es:
Sustituyendo las ecuaciones 4 y 5 en la ecuación 1, el balance de momento lineal para un volumen de control es:
[5]
[6]
En general ∑F puede tener componentes en cualquier dirección y F es la fuerza que los alrededores desarrollan sobre el fluido del volumen de control, por lo tanto se puede escribir las ecuaciones escalares para las direcciones x, y, z.
[8]
[7]
[9]
El término ∑Fx en la ecuación 7 está constituido por la suma de varias fuerzas:1.- Fuerza del cuerpo (Fxg): es la fuerza causada por la acción de la gravedad sobre la masa total del volumen de control y es igual a M*g. Cuando la dirección x es horizontal, esta fuerza equivale a cero.2.- Fuerza de la presión (Fxp): es la fuerza causada por las presiones que actúan sobre la superficie del sistema fluido. 3.- Fuerza de fricción (Fxs): Durante el flujo del fluido está presente una fuerza de fricción o cortante que desarrolla sobre el fluido una pared sólida cuando la superficie de control atraviesa el sistema entre el fluido y la pared sólida.
4.- Fuerza de la superficie sólida (Rx): Ésta es la fuerza ejercida por la superficie sólida sobre el fluido.
Los términos de la ecuación 7 pueden representarse también como:
[10]
Pueden escribirse ecuaciones similares para las direcciones y y z.
Sistema de flujo en una dirección
Balance global de momento lineal
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Flujo a través de una tobera horizontal en dirección x solamente
)2(
/1cosint
)1(cos
1
21
2
22
promX
promX
promX
promXxxsxpxg
m
x
A
xxxsxpxgx
x
v
vm
v
vmRFFF
vmdAyentreegrarAl
dAvvRFFFF
vvaDebido
Si la velocidad no es constante y varía a lo largo del área superficial
)3(1 22 dAvA
vA
xpromx
Se usa el factor de corrección de velocidad del momento lineal β
Relación se
reemplaza por
Aplicaciones de flujo turbulento
se reemplaza por
Flujo turbulento 0.95 – 0.99
Flujo laminar 3/4
xprompromx vv /2
/xpromv
xprompromx vv /2
xpromv
avolumétricpromediovelocidadvxprom
Fuerza desarrollada por las presiones que actúan sobre la superficie del volumen de control:
Se puede despreciar la fuerza de fricción
La fuerza del cuerpo es cero ya que sólo está actuando en la dirección y
Reemplazando (4) en (2) y haciendo
β=1 y despejando Rx se tiene:
)4(2211 ApApFxp
0xsF
0xgFvvxprom
)5(112212 ApApmvmvRx
Donde Rx es la fuerza ejercida por el sólido sobre el fluido
La fuerza de reacción, es decir la fuerza del fluido sobre el sólido es el negativo de la fuerza -Rx
Factor de corrección β de la velocidad de momento lineal para flujo laminar
Se define de la siguiente manera para el flujo unidireccional donde se ha omitido el subíndice x.
promprom
prom
prom
prom
v
v
v
v
v
2
2
2
PROBLEMA
PROBLEMA
