1

Bach, el temperamento igual y una oportunidad perdida en la

evolucin de la notacin y del teclado musical

(Sergio Aschero) (2015)

Introduccin

Ante todo quiero aclarar que para mi criterio Johann Sebastian Bach (1685 1750) es

el ms grande compositor de la historia.

Pero ms all de mi opinin (compartida por la mayora de los amantes profundos de

la msica), en este anlisis voy a criticar no su obra musical sino su relacin con la

notacin musical al crear El clave bien temperado (1722, 1744). En esta grandiosa

obra, existe una discrepancia entre su defensa del temperamento igual de 12 variables

con respecto a la altura del sonido y la grafa resultante de tal defensa con sus 17

signos.

Adems demostrar que el teclado musical tradicional con su asimetra, dificulta el

acceso a una interpretacin natural y lgica.

En esta obra explicar mis razonamientos al respecto.

Matemtica y Msica

La msica es un ejercicio matemtico inconsciente en el que la mente no sabe que

est calculando G. W. Leibniz (1646-1716)

Realmente el nmero siete es tan esencial para la msica?

2

Casi cualquier occidental que al que le preguntemos por el nmero de notas

musicales, no dudar en decir que son siete y que sus nombres son: do, re, mi, fa, sol,

la, si. Sin embargo, como veremos ms adelante, usando slo siete notas, la

produccin musical quedara muy mermada. Por otro lado, si la pregunta se hiciese a

los que estn habituados a la msica oriental, la respuesta no sera tan contundente,

puesto que desde antiguo se han utilizado escalas que no partan de siete notas, como

son la javanesa (cinco tonos), la Raga Shruti de India (veintids tonos), la tailandesa

(ocho tonos), etc. Adems del nmero de notas, para la msica hay otra relacin

numrica en la que el nmero siete juega un papel fundamental: los intervalos o

cocientes entre las frecuencias de dos sonidos. De entre todos los intervalos posibles,

hay dos que siempre han dado lugar a la polmica, el tritono (o cuarta aumentada) y

las sptimas. El tritono, intervalo que se produce, por ejemplo, entre fa-si, resulta difcil

de entonar y produce un sonido algo siniestro, que en el medioevo se denomin

diabulus in musica (el diablo en la msica), y que deba evitarse a toda costa. De

hecho, la Iglesia sostena que el diablo se colaba en la msica a travs de este

intervalo. Una manera de evitarlo era prescindir del uso de la sptima. A este intervalo,

que se produce por ejemplo entre do-si, la armona tradicional posterior al siglo XVII,

no le atribuye un carcter diablico, pero la clasifica como una disonancia absoluta,

mientras que el tritono lo trata como una semiconsonancia. Si con estos antecedentes,

la popularidad del nmero siete en la msica queda en entredicho, la situacin an se

hace ms interesante cuando en el centro de la polmica se sitan grandes

matemticos que han contribuido a avivar la controversia.

Al menos desde el siglo VI a. C. con los pitagricos, se establece de forma clara el

doble inters de los nmeros en la msica. Por un lado, est la cantidad de notas que

hay en la octava y, por otro lado, la propia esencia del nmero como elemento

generador de las notas. Cualquier anlisis del papel del nmero siete en la msica

sera incompleto si descuidas alguna de estas dos facetas.

En cuanto a que en la msica occidental el nmero de notas por octava sea siete, no

es del todo cierto. Siete es la cantidad de nombres de notas que manejamos, pero en

realidad, la inmensa mayora de la msica que escuchamos surge del uso de doce

notas denominadas:

do do# re re# mi fa fa# sol sol# la la# si

Y si esto ya pone en tela de juicio el papel fundamental del nmero siete, la polmica

real surge al analizar la funcin del nmero 7 como generador de las notas musicales.

Las consonancias pitagricas que se reducen al tetractys (los cuatro primeros

nmeros), son ampliadas por la Justa Entonacin hasta el senario (los seis primeros

nmeros). A pesar de que las primeras versiones de la Justa Entonacin se deben a

Aristxeno de Tarento (360-300 a.C.), un discpulo de Aristteles que sostiene que

basta con el odo para conseguir la afinacin, sin duda debemos a Gioseffo Zarlino

(1517-1590) su formulacin rigurosa y su popularizacin. Zarlino, un neopitagrico

convencido, estableci que los sonidos cuyas frecuencias son proporcionales a 1, 2, 3,

4, 5, 6 son consonantes y comprob que stos eran emitidos por cuerdas de

longitudes:

1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6

3

Para Zarlino, el nmero 6 jugaba un papel fundamental. Desde el punto de vista

matemtico, se trata de un nmero que se obtiene como suma y producto de sus

divisores propios:

1 + 2 + 3 = 6

1 x 2 x 3 = 6

Adems, al multiplicar por 6 cualquier nmero acabado en 6, nos da un nmero que

acaba en 6. A estas propiedades aada la presencia del senario en el mundo: el

nmero de planetas, los signos del zodaco en cada hemisferio, las aristas de la

pirmide triangular, las superficies del cubo, etc.

Hasta bien entrado el siglo XVIII, las afinaciones que se usaban normalmente en los

estudios tericos eran la pitagrica y la Justa Entonacin. En ambas, la cantidad de

notas en una octava no est determinada a priori, pero normalmente este nmero se

fija en 12 notas. En estos sistemas de afinacin las notas se generan con potencias y

cocientes de los nmeros 2 y 3 o de los nmeros 2, 3 y 5. Si consideramos una nota

fija, por ejemplo el Do de frecuencia f = 264 Hz, para obtener el resto de notas

afinadas hay que multiplicar por las fracciones siguientes:

Zarlino, un neopitagrico convencido, estableci que los sonidos cuyas frecuencias

son proporcionales a 1, 2, 3, 4, 5, 6 son consonantes.

Si la frecuencia de la que partimos es 264 Hz, estas notas estn en la octava do2-do3.

Para trasladarlas a otra octava, no hay ms que multiplicar por una potencia de 2

adecuada. As, si queremos trasladarla n octavas, multiplicamos sus valores por 2n,

con n un nmero entero.

Est claro que en las dos afinaciones anteriores las potencias del nmero siete no se

utilizan. Es decir que no se considera que estas potencias generen notas agradables.

Y aqu est la clave del tratamiento musical del nmero siete.

No resulta fcil establecer una definicin unnime de sonidos consonantes, de hecho

debemos contentarnos con admitir que dos o ms sonidos son consonantes si resultan

agradables al odo. Evidentemente, se trata de un concepto que depende mucho de la

situacin socio-cultural y que ha evolucionado a lo largo de la Historia. Ante esta

perspectiva, resulta complicado establecer una idea de consonancia que resulte

operativa.

Entre todos los tericos que han estudiado el tema, nos quedaremos con la versin del

fsico John Tyndall (1820 1893):

4

Cuanto ms simple es la relacin de las frecuencias de dos sonidos, ms consonante

ser el intervalo que forman.

Este criterio, conocido con el desafortunado nombre de Teorema de Tyndall, no hizo

ms que recoger la idea con la que los musiclogos venan trabajando desde haca

siglos.

Prueba de ello es la carta que L. Euler, escribi a Federica Carlota Ludovica von

Brandenburg Schwedt, princesa de Anhalt Dessau (17451808), en la que expone de

forma casi literal el resultado de Tyndall:

Carta V: Del Unsono y de las Octavas

" [...] Vuestra Alteza comprender fcilmente que cuanto ms

simple sea la proporcin [entre las frecuencias], o expresada

con menores nmeros, ms distantemente se presenta al entendimiento

y presenta un mayor sentimiento de placer [...]."

3 de mayo de 1760

Segn este criterio, las consonancias pueden ordenarse de la forma siguiente:

1/1 Unsono > 2/1 Octava > 3/2 Quinta > 4/3 Cuarta > 5/4 Tercera mayor > 5/3 Sexta

mayor > 6/5 Tercera menor > 8/5 Sexta menor >...

A partir de esta ordenacin, surgen problemas con las que musiclogos y matemticos

han tenido que convivir:

A partir del siglo XVI, compositores y msicos empiezan a hacer uso de intervalos que

haban estado prohibidos. Sirva como ejemplo un fragmento de la polmica entre C.

Monteverdi (1567 1643), representante de la nueva msica, y G. M. Artusi (1540

1613), partidario de la msica tradicional:

No niego que inventar cosas nuevas est bien; incluso es necesario. Sin embargo,

decidme: a qu se debe que queris hacer uso de aquellas disonancias de la misma

manera que las emplean stos [los msicos modernos]? Si lo hacis porque

pretendis que se oigan de modo manifiesto [...] por qu no las usis de la manera

habitual, razonadamente, segn en la forma en que compusieron Adriano, Cipriano,

Palestrina [...]?

Por otro lado, no resulta sencillo justificar por qu es ms consonante 8/5 que 7/4 7/5

si tanto el numerador como el denominador son ms grandes y se alejan ms del

unsono.

Como veremos a continuacin, de nuevo el nmero siete est en la esencia de estas

cuestiones.

Mi objetivo no es hacer un anlisis exhaustivo del uso del siete en la msica, sino dar

una visin global a travs de algunos trabajos. Y para esto resultan esenciales las

aportaciones de G. Zarlino (1517-1590), J. Kepler (1571-1630), G. W. Leibniz (1646-

1716), J. S. Bach (1685-1750) y L. Euler (1707- 1783), quienes contribuyeron de forma

decisiva a reavivar la controversia. Cualquiera de estos cinco autores merecera un

5

estudio detallado, sin embargo aqu destacaremos algunas publicaciones que reflejan

de forma clara argumentos a favor y en contra del nmero siete en msica.

Muy influido por el neoplatonismo florentino, G. Zarlino vea la esencia numrica en

todas las cosas. En Le Institutioni Harmoniche (1558) hace una defensa del senario

como lmite para las consonancias, pero esto le plantea un problema: hemos dicho

que la sexta menor, 8/5, se considera una consonancia, y sin embargo tiene en sus

trminos el ocho que no pertenece al senario. Por qu no proponer el ottonario como

recinto de las consonancias? Evidentemente, aceptar el ocho significara dar cabida al

nmero siete y los intervalos compuestos con este nmero, 7/6 y 8/7, a las que

considera disonancias sin paliativos.

Zarlino, consciente de que el problema tena difcil solucin, recurre a argumentos

filosfico-numricos para resolverlo. Para l, las fracciones 8/5 y 7/6 contienen

nmeros de naturaleza muy diferente porque 8 = 23, y esto significa que incluir 8/5 no

supone incorporar nmeros primos que no estn contenidos en el senario, mientras

que aceptar el 7 escapa de los seis primeros nmeros. Adems, sus argumentos se

apoyan en la distincin aristotlica entre potencia y acto. Para Zarlino, 8/5 se

encuentra en el senario en potencia, pero no en acto, y aprovecha esta circunstancia

para justificar que las consonancias que surgen con el senario sean "consonancias

propiamente dichas" mientras que la sexta menor produce una "consonancia

comnmente dicha".

Como era de esperar, los razonamientos de Zarlino no fueron capaces de convencer a

muchos musiclogos de la poca, de ah que otros autores, como F. Salinas (1513 -

1590), hicieran otro tipo de defensas, basadas en la prctica, argumentando que 8/5

era consonante por ser complementario de la tercera mayor (5/4), sexta mayor +

tercera mayor = 8/5 x 5/4 = 2 y no por estar dentro o fuera del senario.

Habr que esperar ms de medio siglo hasta que Kepler, en Harmonices mundi (1619)

proporcione razonamientos mucho ms slidos. Convencido, como los pitagricos, de

que la armona de la msica y la del universo no eran ms que dos representaciones

de una misma realidad, Kepler basa las proporciones armnicas en los polgonos

regulares. Para esto necesitaba quedarse con una cantidad finita polgonos. La

manera de elegirlos fue relacionar la condicin de ser construible con regla y comps

con la capacidad de generar proporciones consonantes. As ide un mtodo que,

aparentemente, resolva de una vez por todas, los problemas de rechazar 7/6 o 8/7

pero aceptar 5/8. El mtodo consista en generar un rbol de consonancias en el que

cada fraccin a/b en el paso n genera dos fracciones, a/(a+b) y b/(a+b), en el paso

n+1. Se parta de la fraccin 1/1 y el proceso continuaba hasta llegar a un

denominador que representase los lados de un polgono regular no construible con

regla y comps (los polgonos de 7, 9, 11 y 13 lados).

6

En este rbol aparecen todos los intervalos consonantes y no es necesario aceptar

ninguna excepcin. Kepler intent comprender las leyes del movimiento planetario

durante la mayor parte de su vida. En un principio, considerando que este movimiento

deba cumplir las leyes pitagricas de la armona, aprovech que el nmero de

planetas fuese uno ms que el nmero de poliedros perfectos para intentar demostrar

que las distancias de los planetas al Sol venan dadas por esferas en el interior de

poliedros perfectos (anidadas sucesivamente unas en el interior de otras). Cuando

advirti que este modelo no explicaba el movimiento de los astros tuvo que recurrir,

con gran decepcin, a las elipses. Esta falta de simplicidad en el Universo, que Kepler

vivi como un fracaso, fue compensada por la perfeccin de la Armona Universal al

comprobar que las proporciones entre las velocidades angulares de los astros en su

afelio y su perihelio reproducan fielmente las proporciones de los intervalos

consonantes. Una vez efectuadas las mediciones, la Msica de las Esferas de los

pitagricos dejan de ser slo una idea para plasmarse en unos pentagramas que el

propio Kepler escribi.

Durante ms de siglo y medio, los argumentos de Kepler parecan slidos, pero

despus, en menos de veinticinco aos, sus justificaciones se desmoronaron. Por un

lado, W. Herschel, precisamente un msico de la corte del rey Jorge III de Inglaterra,

descubri Urano en 1781 y, pocos aos despus, C. F. Gauss (1777 1855) demostr

que se poda construir con regla y comps el polgono regular de 17 lados.

A pesar de que Leibniz no escribi mucho sobre msica, pero particip en la polmica

del nmero siete. Su produccin en este tema se reduce a algunas cartas dirigidas a

C. Goldbach (1690 1764). En una de stas, fechada el 17 de abril de 1712, a pesar

de que concede la posibilidad de que el nmero siete sea capaz de generar sonidos

agradables, no deja de verlo como algo anecdtico:

En msica, no contamos ms all del cinco, similares en esto a esta gente que,

hablando tambin de aritmtica, no pasaban del nmero tres y dieron lugar al dicho

alemn sobre los simples: "es tan simple que no sabe contar ms de tres". Todos

nuestros intervalos en uso vienen en efecto de razones formadas por los pares de los

nmeros primos 1, 2, 3, 5. Si tuviramos la suerte de un poco ms de finura,

7

podramos llegar hasta el nmero primo 7. Y pienso que realmente hay gente en este

caso. Esta es la razn por la que los antiguos no rechazaban completamente el

nmero 7. Pero apenas habr gente, que llegara hasta los nmeros primos

[siguientes] ms cercanos, 11 y 13.

A pesar de que varios autores del siglo XVIII utilizan la sptima en sus composiciones,

y de la innegable revolucin que supone El clave bien temperado (1722, 1740) de J. S.

Bach en el que, por supuesto aparecen sptimas y otros intervalos considerados

disonantes, los cientficos y tericos de la msica se mantienen fieles en su renuncia al

nmero siete como generador de consonancias. Una prueba contundente de ello es la

ltima frase de la carta que Euler escribi a la princesa de Anhalt Dessau en 1760

(Euler, 1990):

Carta VII: De los doce tonos del clavecn:

"Mi intencin era presentar a Vuestra Alteza el verdadero origen de los sonidos

empleados en la msica. [...] Los principios de la Armona se reducen en ltimo

trmino a nmeros, [...] el nmero 2 produce slo octavas [...]. Despus el nmero 3

produce los tonos que difieren de los anteriores en una quinta. Pero introduzcamos

tambin el nmero 5 y veamos cul sera el tono que produce 5 vibraciones, mientras

que el F no hace ms que una. [...]. Es llamado una tercera mayor y produce una

consonancia muy agradable, estando contenido en una proporcin de nmeros

bastante pequea, 4 y 5. [...] (As) tendris las teclas principales del clavecn que

segn los antiguos, constituye la escala llamada diatnica que deriva del nmero 2, del

nmero 3 repetido tres veces y del nmero 5 [...].

Si se quisiera tambin introducir el nmero 7, el nmero de tonos de una octava sera

mayor, y se llevara toda la msica a un grado ms alto. Pero aqu la Matemtica

abandona la armona a la Msica."

3 de mayo de 1760

Pero el ingenio de Euler no poda permanecer ajeno a la msica que se estaba

haciendo en su poca, y seis aos despus de haber escrito la carta anterior, en su

Conjecture sur la raisonde quelques dissonances gnralement reues dans la

musique (Euler), no slo se desdice de la ltima frase de esta carta y propone el

nmero 7 como uno de los artfices de la msica, sino que aprovecha la ocasin para

rectificar a Leibniz.

Se sostiene generalmente que no nos servimos en la msica ms que de las

proporciones compuestas por estos tres nmeros primos 2, 3 y 5 y el gran Leibniz ha

advertido ya, que en la msica no se ha aprendido an a contar ms all del 5; lo cual

es incontestablemente cierto en los instrumentos afinados segn la armona. Pero, si

mi conjetura se cumple, se puede decir que en la composicin se cuenta ya hasta el 7

y que el odo est ya acostumbrado; es un nuevo gnero de msica, que se ha

comenzado a usar y que era desconocida por los antiguos. En este gnero el acorde

4, 5, 6, 7 es la armona ms completa, puesto que contiene los nmeros 2, 3, 5 y 7;

pero tambin resulta ms complicado que el acorde perfecto en el gnero habitual que

no contiene ms que los nmeros 2, 3 y 5. Si sta es una perfeccin en la

composicin, quiz se har lo posible por llevar los instrumentos al mismo grado.

8

Posteriormente, Euler, cuando aborda el carcter de la Msica Moderna presenta un

sistema de afinacin en el que aparece el nmero siete, aunque quiz por parecerle

excesivamente atrevido, a los tonos en los que aparecen potencias de 7 les denomina

"extraos", frente a los tonos "principales" en los que slo aparecen potencias de 2, 3

y 5. Pero, puede estar desafinada la Naturaleza?

En el siglo XIX, J. B. Fourier (1768 1830) abre una nueva brecha en la cuestin del

nmero siete. Uno de sus resultados ms clebres y, sin duda, el ms utilizado en

msica, es que cualquier funcin peridica continua se puede descomponer en

funciones peridicas simples.

Esto significa que si un instrumento produce una nota, la onda sonora se puede

descomponer en ondas simples con frecuencias 1f, 2f, 3f,..., denominadas armnico

primero, segundo, etc. La amplitud de cada uno de los armnicos es lo que configura

el timbre del instrumento y hace que distingamos el do de un piano del do de una

trompeta. As, si tomamos como nota fundamental, o primer armnico, el do2 con una

frecuencia f=132 Hz, los diez primeros armnicos escritos en un pentagrama son los

siguientes:

(al sptimo armnico se le adjunta una flecha, o un cambio de grafa, que indica la

desafinacin).

Pero, esto no zanja la cuestin: por qu quedarnos en el sptimo armnico y no

seguir con el 11, 13, etc. que tambin estn desafinados?

Realmente, que estas cuestiones permanezcan sin resolver no supone ningn

problema prctico, pero afirmar que algunos armnicos de una nota emitida por un

cantante estn desafinados, es admitir que la naturaleza est desafinada. Est claro

que en los criterios para elegir las notas musicales, los argumentos basados en la

fsica del sonido se entremezclan con los netamente socio-culturales, y stos no tienen

por qu ser absolutamente ciertos.

Temperamento igual?

Divide la octava en 12 semitonos iguales. Fue el espaol Bartolom Ramos de Pareja (1440 - 1491) quien lo sistematiz en 1482, cuando ejerca como profesor de Msica en la Universidad de Salamanca y en Bolonia. En su tratado Msica Prctica (1482) se

encuentran teoras renovadoras y maneras de calcular diferentes clases de intervalos. Este sistema, que tard mucho tiempo en imponerse, lo consagr J. S. Bach (1685 - 1750) en su obra El Clave Bien Temperado donde realiza 48 Preludios y fugas (en dos libros) en todas las tonalidades. A pesar de su pobreza, debida a que elimina algunas notas naturales que vienen dadas por la escala de armnicos, el temperamento igual de 12 notas es el sistema ms empleado por sus ventajas tericas y prcticas. Por propia construccin, la distribucin de semitonos en el sistema temperado de 12

notas resulta totalmente uniforme.

9

Andreas Werckmeister publica el primer tratado sobre el "temperamento igual",

afinacin que hara posible la ejecucin y composicin de piezas en diversas

tonalidades. Lo interesante de este hecho es que la "afinacin pura", es decir, la

verdaderamente natural, no permita la transposicin de las piezas, pues estas perdan

la afinacin. Esto trajo como consecuencia la necesidad de alterar algunos intervalos

naturales para que pudieran ejecutarse las piezas en todas las tonalidades. De modo

que, como seala Taruskin, "toda la historia de la afinacin ha sido una historia de

negociacin entre resonancia natural y utilidad prctica"

El "temperamento igual" no slo hizo posible la composicin y ejecucin de piezas en

las diversas tonalidades lo que facilitaba, entre otras cosas, adaptarse a los registros

de los cantantes, sino que fij a partir de entonces el espectro de 24 tonalidades.

Surgen entonces los primeros intentos de componer obras que las recorran todas;

intentos que culminan con la compilacin de Bach, en 1772, de la primera parte de su

"Das wohltemperierte Klavier" (El clave bien temperado): 24 preludios y fugas

compuestos en las tonalidades, mayores y menores, de las 12 notas de la escala

cromtica.

Esta obra tiene, para la historia de la armona occidental, varias implicaciones de

profundo alcance. En primer lugar planteaba la equivalencia de todas las tonalidades

(toda pieza compuesta en una tonalidad puede ser perfectamente transpuesta a otra)

al presentar por primera vez piezas compuestas en cada una de ellas; en segundo

lugar, fijaba y totalizaba dichas tonalidades como las nicas disponibles para la

composicin musical (de all el carcter a la vez didctico y de repertorio de la obra);

en tercer lugar, al referirse al "clave" aparentemente Bach tena en mente los

instrumentos de teclado en general, y a su distribucin de notas en las teclas,

blancas y negras, parecan quedar excluidas del espectro musical notas que no

correspondieran al ahora intervalo mnimo del semitono el nico posible con la

"buena afinacin". Un instrumento bien afinado no dara cabida, por tanto, a un

sinnmero de sonidos que sin embargo existen en el espectro sonoro. El resultado de

este ordenamiento ser, bsicamente, el sistema de composicin musical que se

mantendr inclume en Occidente hasta comienzos del siglo XX aunque ya a finales

del siglo XIX comienza a presentar fisuras en las obras de algunos compositores; un

sistema con el que la msica acadmica entr sin duda en un perodo de

extraordinario esplendor. Sin embargo, precisamente por el desarrollo aqu descrito,

dicho sistema parece haberse "naturalizado" al punto de que se lleg a pensar que no

era posible componer "msica" combinaciones "armnicas", "agradables",

"hermosas", esto es: audibles, de sonidos fuera de l. Con el fin de contrarrestar esta

impresin he credo necesario, al retrasar su evolucin, indicar las huellas y marcas

histricas y culturales que lo definieron y que paradjicamente le permitieron adquirir el

carcter hegemnico que an hoy algunos msicos le confieren al continuar

atribuyndole una supuesta naturalidad.

En este sentido varios aspectos de la constitucin del sistema patentizan precisamente

tanto su historicidad como los imperativos a los que responden cuando se los analiza

desde la perspectiva de la desconstruccin del fonocentrismo y el logocentrismo en la

cultura occidental.

10

Partamos, para fines de la discusin, de la siguiente exposicin de Darius Milhaud que

resume bien las caractersticas de la tonalidad:

"La diatonicidad implica la creencia en el acorde perfecto (compuesto por su nota

fundamental, por su tercera mayor o menor y por su quinta) como una realidad fija que

se basa en las escalas mayores y menores que el msico utilizar en la composicin

de sus temas. Las melodas diatnicas, entonces, no emplearn sino las notas que

componen las escalas de la tonalidad en que estn escritas y las modulaciones que

puedan introducirse no sern sino la puesta en movimiento para alcanzar un plano

tonal paralelo, que tiene una nota fundamental diferente y se basa en otra escala y

otro acorde perfecto, pero cuyas relaciones mutuas son los mismos que los de la

tonalidad inicial."

En el mbito de la tonalidad, en efecto, cada una de las escalas posee por definicin

un sonido de base (nota fundamental o tnica) que determina inequvocamente y de

antemano las notas que pueden entrar a jugar un papel en la pieza y las que no.

Igualmente, a partir de dicha nota de base se determina el acorde fundamental que

constitua ineluctablemente la conclusin y el "reposo" del desarrollo musical. Hoy

resulta imposible, a la luz de los aportes tericos de Foucault, no entender dicho

sistema de composicin tonal como un mecanismo de control respecto a las

posibilidades de combinacin de notas, es decir, un "orden del discurso" musical. En

tanto tal, prohbe ciertos intervalos, ciertos acordes e incluso, en algn caso, la

aparicin de ciertas notas en una pieza compuesta en una determinada tonalidad.

Dicha prohibicin, sin embargo, con el tiempo dej de entenderse como una limitacin

y comenz a pensarse como el resultado de una particular racionalizacin en la

distribucin y asociacin necesaria de los sonidos. Las combinaciones excluidas lo

eran en razn a su "disonancia", a su imposibilidad de constituir conglomerados de

sonidos armnicos lo que llegar a entenderse como "agradables", con toda la

ambigedad que este trmino conlleva para el oyente. Se introduca de esta manera

en el sistema el elemento "afectivo" cosa que ya haba sucedido explcitamente en

Platn. Subrepticiamente esta concepcin del espacio musical pas de la

"denominacin" a la "sensacin" y por ello, ciertas combinaciones de sonidos que

histricamente haban sido entendidos como inestables comenzaron a ser "percibidas"

y, ms importante an para nuestros propsitos, "sentidas" como puntos de

desequilibrio en el desarrollo musical que "requeran" de una "resolucin", que en la

audiencia equivala a "satisfaccin", cuando se alcanzaba de nuevo la nota de base y

su acorde fundamental. El extremo de este proceso se encuentra en la concepcin

popular y por tanto ampliamente extendida que asocia, por ejemplo, las tonalidades

mayores a estados de alegra y felicidad, y las menores a estados de tristeza y

melancola.

Desde la antigedad los hombres han desarrollado en todas las culturas y

civilizaciones sistemas musicales completos.

Los instrumentos, los sistemas de afinacin, los procedimientos compositivos, etc. han

formado un todo unificado sobre el que se construyeron las obras musicales que

definen estos diferentes estilos. Los cambios en las orientaciones estticas y en las

posibilidades tecnolgicas, en una

relacin dialctica, han derivado en desarrollos y modificaciones de uno, varios o todos

los componentes de estos sistemas musicales. Muchas veces estos cambios mejoran

11

aspectos considerados insuficientes en sistemas anteriores pero siempre generan

como contrapartida prdidas en otros componentes del sistema. Obviamente aqu no

es aplicable la nocin de progreso. Estos sistemas son solo diferentes; ni mejores ni

peores.

Soslayar ,deliberadamente o no, cualquiera de los aspectos constitutivos de un

sistema musical nos conduce de manera inevitable a la degradacin del sistema y a la

imposibilidad de un real entendimiento de las obras creadas dentro de l. En este

orden tal vez uno los aspectos menos tenidos en cuenta entre los msicos a la hora de

interpretar distintos estilos es el de los diferentes sistemas de afinacin.

La adopcin del sistema de afinacin temperada

entendido como la particin de la octava en 12 semitonos iguales no fue tcnicamente

posible hasta 1885. Si bien este sistema cientfico de afinacin no fue necesario o

practicado mucho antes del siglo XX, no es una teora reciente.

En Europa aproximaciones cercanas al temperamento igual han sido aplicadas en los

instrumentos con trastes como violas y lades desde el siglo XVI y los chinos

especularon sobre el tema desde el siglo X a.C.

A modo de breve introduccin researemos los sistemas de afinacin y escalas ms

usados desde la Edad Media:

La afinacin y escala pitagrica se deriva de la superposicin de 11 quintas naturales

(generalmente desde mi b hasta sol #); la quinta restante recibe toda la coma diatnica

y por lo tanto es 24 cents baja. Fue el sistema usado hasta el siglo XV. La tercera

mayor pitagrica es un intervalo mucho ms amplio que la tercera natural derivada de

la serie de armnicos (4:5) y, considerndola armnicamente, no es consonante sino

por el contrario disonante. Es una escala que suena muy bien en un contexto de

msica mondica. Las escalas griegas fueron derivadas a partir de las diferentes notas

de esta escala bsica. Estos modos griegos desembocan en los modos de la Edad

Media que retienen los nombres griegos y a los cuales se les asociaba con ciertas

cualidades expresivas. Mientras la msica fue mondica, o polifnica pero basada en

quintas, cuartas y octavas se mantuvo el sistema pitagrico.

La msica de los siglos XVI y XVII est basada en parte en la teora de la proporcin,

de acuerdo a la cual los sonidos se deducen de la serie de armnicos. La fundamental

es el punto de referencia que simbolizaba la unidad (unitas) es decir Dios. Cuando

ms simple es el nmero de radio, ms noble y moral es el sonido. Cuanto ms

alejado de la unidad, ms catico. Cada intervalo puede expresarse en proporciones

(por ejemplo la octava 1:2; la quinta 2:3; la tercera 4:5) y su cualidad puede medirse

por la proximidad con la unitas. De acuerdo con esta teora la armona se basa en un

principio similar al de la seccin urea en arquitectura. Los intervalos cercanos a la

unidad son percibidos como ms placenteros, ms perfectos que aquellos remotos

que son desproporcionados y pertenecientes al reino del caos. La relacin 4:5:6 fue

considerada como la perfecta armona y la ms noble eufona (trias musica) que

simbolizaba la Santsima Trinidad. La proporcin de la trada menor (10:12:15) no

era considerada por estar sus nmeros alejados de la fundamental. En este contexto

se le asignaban a los acordes valores morales y por esa razn no poda usarse la

trada menor como acorde final ya que no se poda concluir una obra en caos. A

finales del siglo XVII solo las escalas mayores y menores sobrevivieron a los modos

eclesisticos. Esto hubiera resultado en un empobrecimiento (en relacin a los modos

eclesisticos) si no hubiera sido posible dar a cada transposicin de estas escalas su

carcter propio (s, por ejemplo, do mayor no evocara un efecto diferente que si

12

mayor). Si la diferencia en los modos eclesisticos reside en la secuencia de los

intervalos, las escalas mayores pueden ser distinguidas solo por la diferencia de

afinacin.

Solamente los instrumentos de viento naturales, cornos y trompetas, estaban

diseados como para este nuevo sistema. En el caso de los instrumentos de teclado

fue necesario desarrollar un nuevo sistema de afinacin que incluya a las terceras

puras. Este nuevo sistema fue el Mesotnico en el cual las terceras mayores son

absolutamente puras a expensas de los dems intervalos. Para conseguir estas

terceras mayores puras todas las quintas deben ser estrechadas notablemente. El

nombre Mesotnico proviene de dividir la tercera mayor pura Do-MI exactamente en el

medio, para lograr la afinacin del Re, y no en el radio 8:9:10 que es la afinacin

natural en donde hay un tono

"largo" Do-Re y un tono "corto" Re-MI. En Mesotnico no hay equivalencia

enarmnica, cada sonido es unvoco. Las escalas cromticas en instrumentos

afinados en este sistema tocadas sucesivamente producen un efecto extremadamente

variado y colorido por la diferencia entre los semitonos. En el caso de los instrumentos

de viento se suma la necesidad de digitaciones de horqueta y cerramiento parcial de

los orificios que agregan cambios de sonoridad muy grandes. En este contexto la

denominacin cromtica adquiere su sentido real. La quinta lobo en Mesotnico era

tan horrible, y tambin un obstculo para modular, que en la prctica de finales del

siglo XVII se modifica sustancialmente.

Estos temperamentos son, probablemente, los ms apropiados para la msica

temprana para rgano incluyendo a Buxtehude y Bach.

A fines del siglo XVII surge la necesidad de encontrar otro sistema de afinacin,

especialmente para los instrumentos de teclado, que permitiera tocar en cualquier

tonalidad y la modulacin a diferentes tonalidades: comienza a experimentarse con los

diferentes temperamentos. En estos temperamentos se logr la posibilidad de tocar en

diferentes claves que conservaron su color caracterstico. Los intervalos son diferentes

en cada clave, algunos puros, otros no, lo cual produce fuertes tensiones de afinacin.

Es importante destacar que hasta 1800 la profesin de afinador no se haba separado

de la de ejecutante lo que seguramente result en una variedad muy grande de

maneras de temperar.

Filsofos y tericos propusieron peridicamente desde el siglo XVII la adopcin del

temperamento igual para los instrumentos de teclado. Personalidades como Mersene,

Werckmeister, Neidhardt, Rameau y Marpug fueron tericos de avanzada que

propusieron un ideal filosfico. En sus escritos no indicaron instrucciones que

contengan la informacin necesaria para afinar en temperamento igual auditivamente.

Los msicos prcticos se rebelaron fuertemente contra esta modalidad. Ellos afinaban

de odo y no estaban dispuestos a sacrificar el "color" de las diferentes tonalidades.

Sus duras objeciones estaban dirigidas especialmente hacia las terceras consideradas

duras en estas aproximaciones al temperamento igual. Los libros publicados por estos

tericos influyeron a los historiadores del siglo XIX. Estos historiadores no tenan

experiencia o conocimiento sobre los requerimientos para afinar temperamento igual

de odo y por lo tanto no podan distinguir entre teora filosfica y la afinacin

practicada por los msicos. Esto llevo a conclusiones falsas como considerar que

J.S.Bach introdujo el temperamento igual en 1722. Cuando J. S. Bach escribi "Das

Wohltemperierte Klavier" evit en el ttulo de la obra el trmino alemn para

temperamento igual que

13

es gleich-schwebende Temperatur.

Los preludios y fugas que contiene esta obra exhiben el potencial de

color de cada clave en este temperamento circular.

Desde el comienzo del siglo XIX se produjo un paulatino acercamiento hacia el

temperamento igual. En 1885 Alexander John Ellis describi que an el temperamento

matemticamente igual no era practicado. A partir de los ltimos aos del siglo XIX es

tcnicamente posible la afinacin en temperamento igual.

Es importante recordar que toda la problemtica de los diferentes sistemas de

afinacin y temperamento se desarrollaron especialmente para los instrumentos de

afinacin fija como el clave, rgano, piano, lades, guitarras etc. Los instrumentos de

viento, en mayor o menor medida, pueden adaptarse. Obviamente un instrumento

barroco o copia de un instrumento barroco est naturalmente hecho para tocar en una

afinacin que no es el temperamento igual. En el caso de los instrumentos de

cuerda frotada (violines, violas, cellos, contrabajos, etc.) afinan las cuerdas al aire en

quintas justas y simultneamente afinan el resto de las notas de manera justa,

temperada o incluso pitagrica.

El siglo XIX fue el siglo del piano. Los grandes compositores, con muy pocas

excepciones, fueron pianistas e incluso virtuosos del instrumento. Con la paulatina

adopcin de los temperamentos circulares de base 12 y continuando luego con la

adopcin del temperamento igual, el piano predomin como instrumento e influy

sobre los dems instrumentos que fueron adaptndose a este nuevo sistema de

afinacin. De todas maneras se usaban simultneamente, como tambin se usa en la

actualidad, distintas maneras de afinacin, sobre todo en msica que no se ejecutara

con instrumentos de afinacin fija.

Hermann Helmholtz seala el paralelismo entre la necesidad de modulaciones a

centros tonales ms alejados y disonancias ms acentuadas en la medida que la

afinacin se acerca al temperamento igual. Pero tambin cuenta una experiencia con

el gran violinista Joachim al cual le pidi que ejecutara escalas mayores y al

controlarlas con el Harmoniun comprob que Joachim ejecutaba las escalas con

afinacin justa.

Es interesante destacar las observaciones que Paul Hindemith escribi en el marco de

la polmica sobre la msica dodecafnica en donde afirma que la disolucin del

sistema tonal ocurre a partir de la adopcin del sistema de temperamento igual. Sin

estar de acuerdo con su postura conservadora en contra del dodecafonismo no

podemos dejar de coincidir en lo que respecta a la influencia destructiva que el

sistema de afinacin en temperamento igual caus a la msica tonal. Esta

msica es fundamentalmente jerrquica, las perfeccin de las consonancias

(especialmente las terceras) es oscurecida por el temperamento igual. Del mismo

modo la relacin consonancia disonancia pierde polaridad lo cual produce un

empobrecimiento de los cdigos del mismo sistema. El temperamento

igual presenta una armona que consiste en intervalos de "compromiso" sin la

posibilidad de una quinta, cuarta o tercera mayor pura, por lo tanto ningn intervalo

est libre de batimento. Queremos aclarar que las denominaciones de sistemas de

afinacin Justa o Natural son elecciones estticas de determinados sistemas que no

implican naturalidad ni antinaturalidad.

Comparemos la afinacin del temperamento igual con el pitagrico y la afinacin justa:

14

PITAGRICA JUSTA IGUAL

Segunda Mayor 203.9 cents 204 cents 200 cents

Tercera menor 294.1 cents 316 cents 300 cents

Tercera Mayor 407.8 cents 386 cents 400 cents

Cuarta 498 cents 98 cents 500 cents

Quinta 702 cents 702 cents 700 cents

Sexta menor 792.2 cents 814 cents 800 cents

Sexta Mayor 905.9 cents 884 cents 900 cents

Sptima 1109.8 cents 1088 cents 1100 cents

Octava 1200 cents 1200 cents 1200 cents

Los intervalos justos (cuartas y quintas) presentan una diferencia de solo 2 cents. La

diferencia mayor existe en las terceras y sextas (menores y mayores) y la sptima o

sensible de la escala.

Comparativamente la escala pitagrica y de temperamento igual tienen una diferencia

menor entre s que con la escala justa.

El cellista Pablo Casals hablaba de la "justesse expressive" o afinacin expresiva.

Casals sistemticamente ejecutaba las sensibles ms altas hacia la nota que resuelve

y las sptimas de dominante ms bajas como sensibles descendentes. Esta es una

prctica, en mayor o menor medida, bastante comn. Es importante distinguir al

respecto entre ejecucin individual y ejecucin en ensamble.

Excede el alcance de este escrito las mltiples consideraciones posibles al respecto

de una afinacin expresiva en la ejecucin individual, solo alertaremos sobre las

consecuencias destructivas para la afinacin armnica.

Otro aspecto a considerar es el vibrato: Es sintomtico que el uso continuo del vibrato

en los instrumentos de viento y en los de cuerda coincide con la progresiva tendencia

de alejamiento de la afinacin justa hacia el temperamento igual. El uso del vibrato, tal

como es reportado por diversos autores del siglo XVII y XVIII, se limitaba como

expresin para determinadas notas. Incluso, en el caso de los instrumentos de viento,

se usaba vibrato de dedo o flattement que es un tipo de vibrato que no se puede hacer

en todas las notas del instrumento. En los instrumentos de vientos de la orquesta la

prctica de ejecucin con vibrato continuo se impone recin en el siglo XX e incluso

hoy en da el clarinete es raramente ejecutado de esta forma. Creemos que esto no es

casual, ya que un acorde en afinacin justa es destruido si se le aplica vibrato.

Posiblemente la tendencia haya sido disminuir la sensacin de dureza de la afinacin

en temperamento igual con el uso de vibrato. A su vez la mirada idlica del siglo XX en

relacin a la msica del XVIII y XIX ms la concepcin de una belleza

"edulcorada" que elude los contrastes entre consonancias perfectas y duras

disonancias propios de una concepcin dramtica y retrica de la msica ha influido

en gran medida sobre el uso de un vibrato constante.

Por analoga podemos decir que si ejecutamos la msica tonal de los siglos XVIII y

XIX con afinacin en temperamento igual, el producto es similar al que se obtiene

cuantizando los ritmos de cualquier obra de esta poca en una computadora. Los

ritmos ejecutados en toda su crudeza y exactitud proporcional no reflejan la

concepcin retrica y dramtica a la que hacamos referencia.

Segn Nikolaus Harnoncourt la insistencia en la ejecucin del ritmo proporcional tal

como est escrito es una prctica que recin se establece a partir de comienzos del

siglo XX con Gustav Mahler como director de orquesta.

15

Consideramos que en ensambles de instrumentos sin afinacin fija (vientos y

cuerdas), para la ejecucin de la msica tonal del siglo XVIII y XIX no debe usarse

afinacin en temperamento igual.

La afinacin justa es la adecuada para el sistema tonal. Incluso al tocar junto con

pianos en afinacin temperada debe igualmente favorecerse siempre que sea posible

la afinacin de los acordes con afinacin justa y con especial nfasis en terceras,

sextas y sensibles justas. El sonido del piano desaparece rpidamente y los batidos

que producen los sonidos resultantes son perceptibles solo en el ataque y luego

decaen. Por esta razn es posible tocar en ensamble con una afinacin mixta.

Entendemos por afinacin justa a aquella que se deriva de la serie de armnicos de un

sonido fundamental y que produce intervalos armnicos sin batimento en relacin al

sonido fundamental.

Estos sonidos armnicos estn en una relacin matemtica con la fundamental (las

frecuencias de los armnicos se derivan de la multiplicacin de la frecuencia de la

fundamental por el nmero de armnico).

La Afinacin Justa est basada en el contexto "tonal" desarrollado por un sonido, la

tnica, que acta como el "ancla" para la clave. Todos los dems sonidos de la escala

son juzgados como correctos por la ausencia de batimento entre la tnica y el

intervalo. Es un sistema de afinacin bsicamente armnico.

Dos notas tocadas simultneamente producen una tercera nota denominada

resultante. La frecuencia de la nota resultante es la diferencia de las frecuencias de las

notas tocadas. Esta nota resultante puede no ser de la misma intensidad que la de las

notas generadoras pero es audible. Cuando tres notas son tocadas simultneamente

se producen tres notas resultantes. Cuando dos notas adyacentes en la serie de

armnicos son tocadas simultneamente el sonido resultante ser siempre la

frecuencia de la fundamental de la serie. Asimismo notas alternadas de la serie

producen el sonido resultante una octava ms aguda de la fundamental. Acordes en

inversin y disposiciones abiertas de los acordes producirn resultantes que

duplicarn otros sonidos presentes en la serie de armnicos. A menos que los sonidos

resultantes coincidan exactamente con los otros sonidos presentes producirn

batimentos. Esto solo se logra en una afinacin justa de los intervalos, lo que produce

un refuerzo de la tonalidad. En afinacin de temperamento igual los sonidos

resultantes no concuerdan con los generadores y, por ejemplo, en una trada mayor

ninguno de los sonidos resultantes est afinado con la fundamental.

Anlisis de las diferentes notas de la escala en relacin a la tnica:

1 grado de la escala: Unsono Octava: La sensacin del unsono es simple y sin

complejidad. No es tocar solamente una altura sino una serie de armnicos iguales.

Las octavas son simples en caracterstica aunque la tendencia es tocarlas ms

amplias que lo que corresponden a una octava sin batimento o pura. No hay que

sorprenderse si uno toca una octava pura y siente que es baja en trminos meldicos

(tambin el cambio de timbre de un instrumento entre octavas conspira). No escuche

el timbre, escuche si hay o no batimento.

5 Grado de la escala: Quinta Perfecta : 2 cents ms alta que la quinta temperada.

3 Grado de la escala: Tercera Mayor: 14 cents ms baja que la tercera mayor

16

temperada. Aqu la distincin entre Temperamento Igual y Afinacin Justa es obvia. La

tercera mayor pura es tal vez la experiencia ms gratificante de tocar en afinacin

pura.

3 Grado de la escala: Tercera menor: 16 cents ms alta que la tercera menor

temperada. Es un intervalo de difcil ubicacin sin batimento. La sensacin fsica es

incmoda. La idea de un intervalo menor es de tensin que procura resolucin. Es

recomendable omitirlos hasta que los intervalos perfectos y mayores estn

consolidados.

4 Grado de la escala: Cuarta Perfecta: 2 cents ms baja que la cuarta temperada.

Como con otros grados de la escala, cuanto ms alejada est la nota en la serie de

armnicos, es ms difcil de tocar sobre la fundamental (la cuarta es el armnico 18 o

19). Una posibilidad para afinar la cuarta es escucharla como inversin.

Particularmente prefiero resolver la cuarta en la tercera mayor y escucharla como un

retardo de la cuarta por la tercera. Es muy importante entender la preeminencia de

este intervalo en armona tonal. La tendencia general es tocar este intervalo muy

amplio. En Afinacin Justa es necesario que todos los intervalos estn en perfecta

relacin con la tnica. La sensacin fsica no es tan fuerte como con la quinta.

6 Grado de la escala: Sexta Mayor: 16 cents menos que la sexta temperada. Como

la tercera mayor, la sexta funciona como tercera del acorde de IV grado (Fa-La-Do en

Do mayor). La relacin entre la fundamental de un acorde y la tercera es consistente

de acorde a acorde. El Fa (la cuarta) es 2 cents ms baja que la temperada y por esa

razn el La (la sexta) es 16 cents ms baja.

Observe que es la misma relacin que hay entre el 1 grado de la escala y la 3 de la

escala.

6 Grado de la escala: Sexta menor: 16 cents ms alta que la sexta menor

temperada.

2 Grado de la escala: Segunda Mayor: 4 cents ms alta que la segunda mayor

temperada. Este es uno de los intervalos de la escala que usualmente requiere de

cierta "correccin". Si se usa armnicamente como quinta del acorde de V grado (Sol-

Si-Re en Do), que es la relacin pura con la tnica de la clave, corresponde a una

"posicin" alta. Como fundamental del acorde de II grado (re-fa-la) se lo baja para

acomodarse a la tercera mayor pura entre el cuarto grado de la escala y el sexto (Fa-

La). La teora indica que es mejor acomodar la segunda bajndola antes que mover

los otros dos intervalos para acomodarse al segundo grado. La teora se rompe

rpidamente si el acorde de II grado es seguido del V. Si el II que est sonando es en

una afinacin baja: o se bajan las otras dos notas del V grado para afinarlo en relacin

o se acomoda el segundo grado de la escala en relacin a la quinta de la escala. En

general es el acorde siguiente el que determina la exacta posicin del segundo grado.

7 Grado de la escala: Sptima Mayor: 12 cents ms baja que la sptima temperada.

Este intervalo es la sensible. Generalmente se tiende a subir la afinacin de la

sensible. Este es un argumento vlido bajo ciertas circunstancias meldicas, pero en

general es completamente destructivo para la Afinacin Justa. En cualquier tonalidad

17

el acorde ms importante es el I grado, el siguiente es el V (dominante). El sptimo

grado de la escala es la tercera mayor del acorde de V grado. Si subimos la sptima

de la escala obtendremos desafinar el segundo acorde ms importante de la tonalidad.

La sptima debe ser baja (en relacin a la temperada) como toda tercera mayor debe

serlo.

4 Grado de la escala como Sptima menor del acorde de V grado dominante debe

ser 29 Cents ms baja. El uso de este intervalo es preparar la resolucin del V al I. La

7ma menor resuelve en la tercera mayor del acorde de I (tnica). Debe aplicarse la

regla cardinal de balance: en orden de importancia primero la fundamental del acorde,

luego la quinta, despus la tercera y por ltimo la sptima. Si la afinacin baja de la

sptima no es usada, es posible ubicarla como tercera menor de la quinta.

Cuando dos instrumentistas tocan uno la a 440Hz. y otro a (por ejemplo) 442Hz. hay

dos "choques" de frecuencia por segundo. A esto se lo denomina "batimento". La

afinacin justa es la produccin de intervalos sin batimento. Cuando se mueve la

afinacin del sonido en la direccin apropiada el batimento se hace ms lento y

finalmente cesa. En caso contrario el batimento es ms acelerado.

Hay un principio, al que se denomina "gravedad", que se produce en los ensambles y

conjuntos: cuando ms ejecutantes comienzan a escuchar y corregir la afinacin los

que encuentran ms problemas en escuchar la relacin correcta son arrastrados a

ella. Los nicos a los cuales no les sucede esto son aquellos que no pueden escuchar

en absoluto o que tienen demasiado ego para pensar que estn desafinados. La

afinacin es una habilidad individual expresada en un ensamble.

Ningn conjunto puede mejorar sin la participacin de cada uno de sus integrantes.

Cuando se mejoran las habilidades individuales el proceso es mucho ms fcil.

18

La convencin para el funcionamiento de las armaduras sigue el crculo de quintas.

Cada tonalidad mayor y menor cuenta con una armadura asociada que adjudica

sostenidos o bemoles como alteraciones propias a determinadas notas en esa

tonalidad. Bajo el concepto de tonalidad, las siete notas o intervalos de una escala

diatnica (mayor o menor) tienen cada uno una relacin predeterminada entre ellas.

Y como se ha mencionado antes, el punto referencial es la tnica (en ingls "key

note"). Cada nota o acorde de una tonalidad recibe un determinado nombre o grado

musical segn la posicin que ocupa cada nota en una escala diatnica. El primer

grado (I o tnica) el ms importante de todos junto al quinto (V o dominante). La

combinacin de ambos acordes es la base de la msica tonal occidental y la que es

capaz de crear efectos de tensin (dominante) y reposo (tnica).

I (primer grado): tnica

II (segundo grado): supertnica

III (tercer grado): mediante

IV (cuarto grado): subdominante

V (quinto grado): dominante

VI (sexto grado): superdominante o submediante

VII (sptimo grado): sensible (en la escala diatnica mayor) o subtnica (en

la escala diatnica menor).

19

Armadura Tonalidad mayor Tonalidad menor

si, mi, la, re, sol, do, fa do bemol mayor la bemol menor

si, mi, la, re, sol, do sol bemol mayor mi bemol menor

si, mi, la, re, sol re bemol mayor si bemol menor

si, mi, la, re la bemol mayor fa menor

si, mi, la mi bemol mayor do menor

si, mi si bemol mayor sol menor

si fa mayor re menor

do mayor la menor

fa sol mayor mi menor

fa, do re mayor si menor

fa, do, sol la mayor fa sostenido menor

fa, do, sol, re mi mayor do sostenido menor

fa, do, sol, re, la si mayor sol sostenido menor

fa, do, sol, re, la, mi fa sostenido mayor re sostenido menor

fa, do, sol, re, la, mi, si do sostenido mayor la sostenido menor

La armadura de clave o simplemente armadura en notacin musical es el conjunto

de alteraciones propias (sostenidos o bemoles) que escritas al principio

del pentagrama sitan una frase musical en una tonalidad especfica. Su funcin es

determinar qu notas deben ser interpretadas de manera sistemtica un semitono por

encima o por debajo de sus notas naturales equivalentes, a menos que tal

modificacin se realice mediante alteraciones accidentales. Los sonidos que se

encuentran fuera de la escala bsica se denominan "notas extraas a la tonalidad".

20

Bach y el "Clave bien Temperado"

En los tiempos de Bach, afinar un rgano o un clavicmbalo (antecesor del piano) era

todo un problema. Msicos, afinadores y fabricantes de instrumentos entablaban

interminables discusiones acadmicas sobre la manera en que deban efectuarse tales

afinaciones, y nunca se ponan de acuerdo. Se propusieron varias metodologas, pero

todas eran inapropiadas.

Un violn, una viola o un violoncelo siempre tuvieron resuelto el problema. Las cuatro

cuerdas del violn, por ejemplo, se afinan as: Sol, Re, La y Mi (tres quintas justas: sol-

re, re-la y la-mi). El violinista afina primero el La 5 (que es la segunda cuerda y

equivale al La central del piano). A continuacin afina las otras cuerdas buscando las

quintas justas derivadas de cada una. Debemos aclarar que la quinta justa es un

intervalo (o distancia) entre dos sonidos que al ejecutarse simultneamente no

producen batimentos (pulsaciones perceptibles que son naturales en todos los

intervalos excepto en la quinta justa, la cuarta justa y la octava). El violinista fricciona

con el arco, al mismo tiempo, las cuerdas La y Mi hasta que ambos sonidos producen

un acorde perfecto, limpio de batimentos. Luego afina de la misma manera el La con

el Re, y por ltimo el Sol con el Re. Ya con las cuatro cuerdas afinadas, el violinista

puede ponerse a tocar, pero a diferencia del pianista que dispone de todos los sonidos

ya predeterminados, el violinista debe crear cada nota musical presionando las

cuerdas con los dedos de su mano izquierda en el lugar preciso.

En las pocas de Bach los instrumentos de teclado se afinaban con similar criterio,

pero resultaba imposible obtener la perfeccin que se alcanza con los instrumentos de

entonacin libre. Se empezaba afinando el La central y se continuaba por quintas

21

justas sucesivas hasta completar los doce sonidos centrales. Pero qu ocurra? Al no

diferenciarse en los instrumentos de teclado los semitonos diatnicos de los

cromticos, ya que ambos, como dijimos, se fusionan en una sola tecla, la progresin

de quintas iba trasladando errores que terminaban sumados en la ltima quinta con

una diferencia descomunal. Esta quinta quedaba demasiado pequea, y por ese

motivo "aullaba", y lo haca tan desagradablemente que se la llamaba la "quinta del

lobo". Su sonido era directamente insoportable.

Por esta razn en los tiempos de Bach era imposible tocar en determinadas

tonalidades, las que contenan en mayor o menor grado la "quinta del lobo". Si las

obras estaban escritas en Si mayor o en La bemol, la ejecucin planteaba inarmonas

complicadas, si eran en Fa sostenido mayor o en Do sostenido mayor, resultaban

directamente inejecutables.

Ya en 1482, tres siglos antes de Bach, el famoso afinador espaol Bartolom Ramos

de Pareja haba ideado un nuevo sistema para afinar los instrumentos de teclado que

llam de "temperamento igual", con el que se resolva el problema. Pero este

inteligente innovador no tuvo suerte y su metodologa fue incomprendida y desechada

por el mundo musical de su tiempo.

Debieron pasar tres siglos hasta que el sabio alemn Ernesto Florencio Chladni, que

vivi en los tiempos de Bach y fund la ciencia acstica, determin el procedimiento

para afinar un instrumento de teclado segn el temperamento igual creado

intuitivamente por el frustrado Ramos de Pareja, y hall la frmula matemtica para

obtener la frecuencia temperada de cada nota musical de la escala. Dicha frmula,

vigente hasta hoy, es:

122 = 1,05946

La palabra "temperamento" quiere decir, segn el diccionario, "arbitrio, medida

conciliatoria, providencia que se toma para terminar las discusiones y contiendas o

para obviar dificultades". Como se ve, el nombre elegido no poda ser ms apropiado,

aunque por tradicin el trmino temperar ha sido incorporado a la jerga musical como

sinnimo de templar o afinar.

Se parte del La5 y se van afinando las notas centrales del teclado por quintas. Pero

estas quintas ya no van a ser "justas", como se haca con la metodologa antigua, sino

"temperadas", es decir, ligeramente disminuidas. Esto implica que cada quinta de la

serie no ha de ser un acorde perfecto, y que su ejecucin va a generar inevitables

batimentos. Lo que se hace es repartir lo ms equitativamente posible entre las doce

quintas de la escala las imperfecciones que en el otro mtodo se acumulaban en la

"quinta del lobo". Es decir: en lugar de obtenerse once quintas justas de perfecta

entonacin y la nmero doce horrorosa, se obtienen doce quintas levemente

achicadas, por lo tanto ninguna perfecta, pero cuyas imperfecciones son

prcticamente imperceptibles.

Pero los afinadores se volvan locos. El problema era lograr la reduccin exacta de

cada quinta. Cualquier leve exceso produce una distorsin que aparece en cualquier

sector de la progresin. A veces la "quinta del lobo" reapareca sorpresivamente, pero

ya no era una quinta disminuida sino aumentada, porque se haban achicado

excesivamente algunas o todas las dems.

Tericamente es ilimitada la cantidad de tonos que puede obtener un instrumento de

entonacin libre. La escala de Barbereau establece 31 sonidos, basada en una

22

sucesin de treinta quintas justas desde el Sol doble bemol, hasta el La doble

sostenido.

Naturalmente todas estas dificultades desaparecieron cuando se invent el "afinador

electrnico", que es actualmente una herramienta insustituible de cualquier afinador

profesional. Se trata de un aparatito del tamao de un celular, que indica en una

pequea pantalla digital cundo se ha logrado la entonacin exacta de cada nota de la

escala central temperada. Estas unidades que los chinos fabrican por un precio

insignificante (y que se basan en la aplicacin computarizada de la antigua ecuacin

de Chladni) permiten al afinador obtener con una perfeccin absoluta las quintas

temperadas que tan dificultosamente haba que buscar a puro odo hasta no hace

mucho ms de treinta aos. No obstante, el disciplinado odo musical, el manejo

correcto de la tcnica y los conocimientos acerca de la compleja mecnica de los

pianos siguen siendo indispensables para afinar con idoneidad este extraordinario

instrumento.

En la poca de Bach, los muy buenos afinadores lo hacan "de odo", con gran

concentracin y nervios de acero, aunque difcilmente un mismo afinador lograba dos

veces la misma escala templada. Otros afinadores, menos talentosos pero ms

pacientes, deban contar los batimentos que produca cada quinta con la ayuda de un

cronmetro. Por clculo matemtico basado en la ecuacin de Chladni se conoca la

cantidad de batimentos que produce por minuto cada quinta temperada. As tenemos,

por ejemplo, que la primera quinta: La-Mi, genera cuarenta pulsaciones por minuto; la

segunda: Mi-Si, 67 (poco ms de una por segundo); la tercera: Si-Fa sostenido:

cincuenta. La quinta que ms batimentos emite por minuto, y por ello es la ms difcil

de cronometrar, es la que forman el Sol sostenido y el Re sostenido: ochenta y cuatro

pulsaciones.

Una vez que se han afinado las doce quintas centrales (serie que los afinadores

denominan "reparticin", precisamente porque all se reparten igualitariamente las

imperfecciones de la enarmona) el problema se simplifica porque ahora slo hay que

trasladar cada una de estas notas hacia lo agudo y hacia lo grave mediante

sucesiones de octavas. La octava es fcil de establecer auditivamente porque es el

intervalo ms perfecto que existe. (Cada octava est conformada por una nota y su

homnima con el doble exacto de frecuencia. Por ejemplo: La 440 La 880).

En sntesis, por un lado era difcil afinar un clavicmbalo con el sistema de Chladni, y

por el otro los mismos msicos lo resistan, por lo cual el temperamento igual segua

sin ser aceptado ni reconocido en pleno siglo XVIII.

Hasta que Juan Sebastin Bach, que era tambin violinista y por lo tanto conoca la

dificultad de unir los dos instrumentos en una afinacin recprocamente compatible, se

interesa vivamente por las teoras de Chladni, que era muy respetado por su erudicin

pero predicaba en el desierto, y hace afinar su clavicmbalo segn el temperamento

igual.

Aunque Bach sola afinar sus propios instrumentos de teclado, se cuenta que no poda

encontrar un afinador profesional que tuviera experiencia en el nuevo mtodo, hasta

que el propio Chladni le envi uno a su casa. El maestro qued tan maravillado con

esta afinacin, particularmente porque permita hacer msica en todas las tonalidades

mayores y menores existentes, que se propuso convencer al mundo musical de su

tiempo de adoptarla definitivamente. Para lograrlo compuso expresamente una de las

obras ms bellas de la literatura pianstica de todos los tiempos, El Clave bien

23

Temperado, que es una coleccin de veinticuatro Preludios y Fugas escritos en las

veinticuatro tonalidades (doce en modo mayor y doce en modo menor), obra que

exige, para su ejecucin integra, un instrumento "bien temperado", hoy diramos "bien

afinado", mediante el sistema de temperamento igual. Y Bach logr con su obra

familiarizar a los msicos y a los amantes de la msica con la incomparable riqueza

sonora que se obtiene con el uso ilimitado de toda la gama tonal.

Cuando se impuso el temperamento igual, toda la literatura musical se escribi, y se

sigue escribiendo, sobre el nuevo procedimiento. Pero, atencin: Bach no escribi

solamente un volumen de El Clave bien Temperado, sino que aos ms tarde escribi

un segundo volumen, tambin integrado por veinticuatro preludios y veinticuatro fugas

en todas las tonalidades mayores y menores.

Lo que no deja de ser sorprendente es que esa escala temperada que adopt e

impuso Juan Sebastin Bach en 1722, es la misma que aplicamos en nuestros das

para afinar un piano, un bandonen, un acorden o un teclado electrnico.

Y gracias a su clarividencia y a su empeo por la perfeccin sonora, los amantes de la

msica contamos con una obra como El Clave bien Temperado.

Alessandro Longo, el clebre pedagogo y revisor de la obra de Bach para la editorial

Ricordi, hace la siguiente recomendacin a los pianistas y estudiantes de piano: "El

Clave bien Temperado, una de las obras ms poderosas y geniales creadas por el

cerebro y el corazn de Bach, es un libro que todo msico debe estudiar y volver a

estudiar muchas veces en su vida, a causa del doble valor tcnico y esttico que

encierra. A cada nuevo examen, a cada nuevo anlisis, los estudiosos descubrirn en

l tesoros de incomparable belleza."

Dos volmenes de preludios y fugas compuestos por Johann Sebastian Bach en todas

las tonalidades mayores y menores. Una coleccin formada por 48 preludios y

48 fugas.

El primer volumen que comprende los preludios y fugas del BWV846 al BWV 869 fue

terminado en 1722.

El segundo volumen que comprende del BWV 870 al BWV 893 fue terminado en 1744.

Cada libro tiene 24 grupos de un preludio y una fuga en la misma tonalidad. Empieza

por la tonalidad de Do mayor, despus la de Do menor, a la que le sigue Do sostenido

mayor y as sucesivamente, hasta haber completado toda la gama cromtica de mayor

a menor.

Los preludios y fugas del Clave bien Temperado (Vol. I.) De J. S. Bach:

El "preludio" no es una simple pieza introductora. Se origina como improvisacin

realizada mientras los msicos comprobaban la afinacin en sus instrumentos.

Como forma musical, era una pieza que introduca a otra ms extensa, hasta

constituirse como forma independiente en el siglo XIX, destacando las composiciones

de Frdric Chopin (24 preludios opus 28), Rachmaninov y Debussy.

En el siglo XVIII el preludio, de forma variada, se asocia a la fuga con Johann

Sebastian Bach.

24

En las "fugas" el canto ininterrumpido, deriva de un solo tema. J. S. Bach expone la

idea musical al principio del movimiento, desarrollndola en secuencias modulantes

sin cadencias destacadas, como recurso de articulacin.

PRELUDIO Y FUGA BWV 846. C major- ut majeur- C- dur

El preludio N 1 del volumen I del "Clave bien Temperado" en Do Mayor, con sus

acordes arpegiados, es del estilo del primer tipo de preludios improvisados.

PRELUDIO Y FUGA BWV 847. C minor- ut mineur- c- moll

El preludio N 2 del volumen I del "Clave bien Temperado" en Do menor, presenta

una estructura regular.

La fuga N 2 del volumen I del "Clave bien Temperado" en Do menor, en estilo

del Concerto Grosso, presenta en su estructura dos contrasujetos.

PRELUDIO Y FUGA BWV 848. C sharp major- ut dieser majeur- Cis- dur

El preludio N 3 del volumen I del "Clave bien Temperado" en Do sostenido Mayor, es

una invencin a dos voces.

La fuga N 3 del volumen I del "Clave bien Temperado" en Do sostenido Mayor,

claramente instrumental en carcter, presenta en su estructura dos contrasujetos.

25

PRELUDIO Y FUGA BWV 849. C sharp minor- ut diese mineur- cis- moll

El preludio N 4 del volumen I del "Clave bien Temperado" en Do sostenido menor,

tiene influencia de las formas de danza instrumentales: es una Courante a la francesa.

La fuga N 4 del volumen I del "Clave bien Temperado" en Do sostenido menor,

expone el tema- sujeto con cuatro notas. Una fuga basada en el estilo polifnico de la

liturgia.

PRELUDIO Y FUGA BWV 850. D major- re majeur- D- dur

El preludio N 5 del volumen I del "Clave bien Temperado" en Re Mayor, presenta

una estructura regular.

La fuga N 5 del volumen I del "Clave bien Temperado" en Re Mayor exhibe el estilo

de la Obertura Francesa que introduce una suite orquestal.

PRELUDIO Y FUGA BWV 851. D minor- re mineur- d- moll

El preludio N 6 del volumen I del "Clave bien Temperado" en Re menor presenta una

estructura regular.

26

La fuga N 6 del volumen I del "Clave bien Temperado" en Re menor es claramente

instrumental.

PRELUDIO Y FUGA BWV 852. E flat major- mi bemol majeur- Es- dur

La fuga N 7 del volumen I del "Clave bien Temperado" en Mi bemol Mayor se

encuentra en estilo del Concerto Grosso.

PRELUDIO Y FUGA BWV 853. E flat minor/ D sharp minor- mi bemol mineur/ re

diese mineur- es- moll/ dis- moll

El preludio N 8 del volumen I del "Clave bien Temperado" en Mi bemol menor,

muestra como "afecto emocional": la intimidad. La doctrina de los "Afectos" en el

Barroco es el contenido emocional inherente en una pieza de msica.

La fuga N 8 del volumen I del "Clave bien Temperado" en Re sostenido menor,

muestra un pasaje en estrecho donde el sujeto se combina con l mismo en

aumentacin e inversin.

PRELUDIO Y FUGA BWV 854. E majeur- mi majeur- E- dur

El preludio N 9 del volumen I del "Clave bien Temperado" en Mi Mayor tiene

semejanza de una pastoral.

27

La fuga N 9 del volumen I del "Clave bien Temperado" en Mi Mayor es claramente

instrumental en su carcter.

PRELUDIO Y FUGA BWV 855. E minor- mi mineur- e- moll

El preludio N 10 del volumen I del "Clave bien Temperado" en Mi menor, con una

meloda airosa con acompaamiento (textura homofnica) se conecta con el

movimiento lento del Tro Sonata.

La fuga N 10 del volumen I del "Clave bien Temperado" en Mi menor es claramente

instrumental en su carcter.

PRELUDIO Y FUGA BWV 856. F major- fa majeur- F- dur

El preludio N 11 del volumen I del "Clave bien Temperado" en Fa Mayor muestra una

invencin a dos voces.

La fuga N 11 del volumen I del "Clave bien Temperado" en Fa Mayor ofrece el

carcter de un Passepied.

28

PRELUDIO Y FUGA BWV 858. F minor- fa mineur- f- moll

El preludio N 12 del volumen I del "Clave bien Temperado" en Fa menor tiene

influencia de las formas de danza instrumentales. Similar en carcter a la Allemande.

La fuga N 12 del volumen I del "Clave bien Temperado" en Fa menor, expone un

intrincado cromatismo.

PRELUDIO Y FUGA BWV 858. F sharp major- fa dise majeur- Fis- dur

El preludio N 13 del volumen I del "Clave bien Temperado" en Fa sostenido Mayor se

relaciona con una invencin a dos voces.

PRELUDIO Y FUGA BWV 859. F sharp minor- fa dise mineur- fis- moll

La fuga N 14 del volumen I del "Clave bien Temperado" en Fa sostenido menor,

expone un intrincado cromatismo.

PRELUDIO Y FUGA BWV 860. G major- sol majeur- G- dur

El preludio N 15 del volumen I del "Clave bien Temperado" en Sol Mayor exhibe

como "afecto emocional": la exuberancia. Es uno de los preludios ms difciles de

interpretar tcnicamente.

29

PRELUDIO Y FUGA BWV 861. G minor- sol mineur- g- moll

El preludio N 16 del volumen I del "Clave bien Temperado" en Sol menor, con una

meloda airosa con acompaamiento (textura homofnica) se conecta con el

movimiento lento del Tro Sonata.

El comienzo de la fuga N 16 del volumen I del "Clave bien Temperado" en Sol menor,

podra servir como comienzo de una fuga coral de una Cantata.

PRELUDIO Y FUGA BWV 862. A flat major- la bemol majeur- As- dur

El preludio N 17 del volumen I del "Clave bien Temperado" en La bemol Mayor

presenta el estilo de un Concierto instrumental.

PRELUDIO Y FUGA BWV 863. G sharp minor- sol dise mineur- gis- moll

El preludio N 18 del volumen I del "Clave bien Temperado" en Sol sostenido menor

aparece como una invencin a tres voces, denominada Sinfona.

La fuga N 18 del volumen I del "Clave bien Temperado" en Sol sostenido menor,

presenta en su estructura dos contrasujetos.

30

PRELUDIO Y FUGA BWV 864. A major- la majeur- A- dur

El preludio N 19 del volumen I del "Clave bien Temperado" en La Mayor aparece

como una invencin a tres voces, denominada Sinfona.

La fuga N 19 del volumen I del "Clave bien Temperado" en La Mayor, muestra como

"afecto emocional": el humor.

PRELUDIO Y FUGA BWV 865. A minor- la mineur- a- moll

El preludio N 20 del volumen I del "Clave bien Temperado" en La menor presenta el

estilo del Concierto instrumental.

La fuga N 20 del volumen I del "Clave bien Temperado" en La menor, en estilo

del Concerto Grosso, expone el tema- sujeto con treinta y una notas.

PRELUDIO Y FUGA BWV 866. B flat major- si bemol majeur- B- dur

El preludio N 21 del volumen I del "Clave bien Temperado" en Si bemol Mayor, del

tipo libre, improvisado, con su rpida escala y pasajes arpegiados, es como

una Tocata o Fantasa virtuosa.

31

La fuga N 21 del volumen I del "Clave bien Temperado" en Si bemol Mayor, presenta

en su estructura dos contrasujetos.

PRELUDIO Y FUGA BWV 867. B flat minor- si bemol mineur- b- moll

El preludio N 22 del volumen I del "Clave bien Temperado" en Si bemol menor,

muestra como "afecto emocional": la intimidad.

La fuga N 22 del volumen I del "Clave bien Temperado" en Si bemol menor, tiene el

estilo polifnico de la liturgia.

PRELUDIO Y FUGA BWV 868. B major- si majeur- H- dur

El preludio N 23 del volumen I del "Clave bien Temperado" en Si Mayor es una

invencin a tres voces, denominada Sinfona.

PRELUDIO Y FUGA BWV 869. B minor- si mineur- h- moll

El preludio N 24 del volumen I del "Clave bien Temperado" en Si menor presenta una

clara forma binaria.

32

La fuga N 24 del volumen I del "Clave bien Temperado" en Si menor en tempo Largo.

33

Bach perteneci a una de las familias de msicos ms extraordinarias de la Historia,

con ms de treinta y cinco compositores famosos y muchos intrpretes destacados. Su

reputacin como organista y clavecinista se extendi por toda Europa.

Adems, tocaba el violn y la viola de gamba y fue, sin duda, el primer gran

improvisador de renombre de la Historia de la Msica. A pesar de esto, hubo que

esperar a la generacin de Mozart (1756 1791) y Beethoven (1770 1827) para que

se le reconociera como uno de los ms grandes compositores de todos los tiempos.

Precisamente, atendiendo a la cantidad y calidad de su produccin, fue Beethoven

quien, haciendo un juego de palabras con el significado de su apellido en alemn,

dijo de l que "no debiera llamarse Bach (arroyo, en alemn), sino mar".

Contemporneo de algunos de los ms grandes matemticos y cientficos de la

Historia Leibniz, Newton y Euler, Bach vivi en una poca de autntica revolucin

intelectual a la que, sin duda, contribuy desde la Msica. A pesar de la carta que su

hijo Carl Philipp Emanuel escribi a J. N. Forkel advirtiendo que su padre "no era

amante del seco material matemtico", lo cierto es que la grandeza estructural de sus

obras, as como la manera de zanjar un problema secular a travs de El clave bien

temperado (1722, 1744) son formas brillantes de hacer matemticas de las que Bach

slo fue consciente al final de su vida.

La obra de Bach est plagada de claves numricas. Por ejemplo, al sumar las cifras

que corresponden a la posicin en el alfabeto de las letras B-a-c-h, se obtiene el

nmero 14 (2+1+3+8) y las cifras correspondientes a las letras J-S-B-a-c-h suman 41,

o sea el revs de 14. Esta observacin, que podra haber sido una simple ancdota,

manifestaba una tcita predisposicin hacia las leyes de la simetra y de la armona

universales que proporcion muchas sorpresas en su obra. El manuscrito del coral

para rgano Von deinen Thron tret ich hermit contiene en la primera lnea 14 notas,

mientras que el coral en su integridad suma 41 notas. Sin duda, la frecuencia con la

que estos dos nmeros aparecen en las obras de Bach no puede atribuirse a

una casualidad.

Por otra parte, en la primera seccin del Credo de la Misa en Si menor, la palabra

credo se repite 43 veces. Si se suman las posiciones en el alfabeto de las letras

c-r-e-d-o, se obtiene precisamente el nmero 43. Las dos primeras secciones del

mismo Credo suman 129 compases, o sea, 43 multiplicado por 3, nmero que

simboliza la Trinidad.

En la Chacona para violn aparecen continuas referencias a su primera mujer, Mara

Brbara: en la pieza aparece insistentemente el nmero 211 correspondiente a las

palabras In Christo Morimur, y tambin los nmeros 81 y 158 que se corresponden con

la suma de las letras de Mara (40) Brbara (41) y Johann (58) Sebastian (86) Bach

(14), respectivamente.

Pero, ms all de esta simbologa numrica, que poco aporta a las matemticas,

haba razonamientos matemticos en sus composiciones?

Durante muchos aos, Bach no fue consciente del rigor cientfico de sus obras porque,

en palabras de su hijo Carl Philipp Emanuel, "no se dejaba arrastrar por profundas

consideraciones tericas y dedicaba, en su lugar, sus energas a la prctica".

Pero, tras nueve aos de negativa, en el verano de 1747, Johann Sebastian accedi a

ingresar en la Soziett der Musicalischen Wissenschaften (Sociedad de las Ciencias

34

Musicales). Era una sociedad elitista, que slo lleg a contar con veinte miembros,

creada por L. C. Mizler (1711 - 1778), un alumno de Bach, que adems de msico fue

matemtico, fsico, filsofo y mdico. El propsito era investigar la relacin

entre msica y matemticas y, de hecho, el propio Mizler contribuy al objetivo de la

Sociedad publicando un tratado de composicin basado en el ars combinatoria de

Leibniz.

Cuando Johann Sebastian ingres en la Sociedad, ya saba que en su manera de

abordar los cnones o las fugas se ocultaban razonamientos matemticos. De hecho,

para formar parte de la Sozitat present como trabajo cientfico una pieza cannica

basada en su Vom Himmel hoch (BWV 769), junto con un canon a seis voces de las

Variaciones Goldberg. Adems de estas dos obras aport un retrato, otra de las

exigencias de la selecta sociedad, que se ha convertido en la imagen ms conocida

de Bach.

La genialidad de Bach alcanza su cnit con el contrapunto y la fuga, composiciones en

las que la estructura geomtrica es incuestionable. Se parte de uno o varios temas y

se les somete a transformaciones geomtricas que mantienen la forma del tema:

traslaciones, giros y simetras que confieren a la obra una estructura muy rgida, pero

en la que el compositor encontr una fuente de inspiracin.

Se planteaba las fugas con el mismo rigor estructural que un gemetra, pero les

aada una velocidad y brillantez en la improvisacin, que resultaron admirables.

Sirvan como muestra las palabras de J. N. Forkel (1749 1818) refirindose a una

visita Bach al rey Federico II de Prusia (1712 1786):

Una noche, en los momentos en que [Federico el Grande de Prusia] preparaba ya su

flauta y sus msicos estaban preparados para comenzar, un funcionario [...] dijo [...]

"Seores el viejo Bach est aqu". [...] El rey renunci a su concierto de esa noche e

[...] invit a Bach a probar cada uno de los fortepianos y tocar en ellos alguna

improvisacin.

[...] Bach le pidi al rey un tema para una fuga, ofrecindose a ejecutarla de inmediato,

sin preparacin alguna. El rey qued admirado [..] y expres el deseo de or una

fuga a seis voces obligadas. Pero como no cualquier tema se presta para una armona

tan rica, Bach mismo eligi uno, y al punto, con asombro para todos los presentes lo

desarroll de la misma sabia y magnfica manera como haba desarrollado antes el

tema del rey.

La dificultad que entraa componer una fuga a seis voces es altsima, y la de

improvisarla slo ha estado al alcance de unos pocos.

35

En palabras de Hofstadter (1987), la tarea de improvisar este tipo de fugas podra

compararse, por decir algo, a la de jugar con los ojos vendados sesenta partidas

simultneas de ajedrez y ganarlas todas.

La mayora de la msica que escuchamos actualmente en occidente se basa en doce

notas en cada octava: siete de ellas, do, re, mi fa, sol, la, si, llamadas naturales, y

cinco ms do#, mib, fa#, sol#, sib, a mitad de camino entre cada dos de las

naturales (excepto entre el mi fa y si do), llamadas alteradas.

Para llegar a este consenso ha habido muchas batallas, pero la guerra (en un sentido:

el de la genialidad de su creacin musical) la gan Bach.

Pero en el terreno terico cometi un error, que voy a analizar y a corregir, unindolo

con la solucin que planteo.

El error de Bach y la solucin de Aschero

Empecemos exponiendo las 12 tonalidades mayores y las 12 tonalidades menores

utilizadas por Bach en el Clave bien Temperado en forma de escalas:

Do Mayor:

Do menor:

Do # Mayor:

36

Do # menor:

Re Mayor:

Re menor:

Mi b Mayor:

Mi b menor:

Mi Mayor:

37

Mi menor:

Fa Mayor:

Fa menor:

Fa # Mayor:

Fa # menor:

Sol Mayor:

38

Sol menor:

La b Mayor:

Sol # menor:

La Mayor:

La menor:

Si b Mayor:

39

Si b menor:

Si Mayor:

Si menor:

Lo primero que se evidencia es la utilizacin de dos tipos de alteraciones: sostenidos y

bemoles y eso constituye un error terico. Veamos por qu:

La realidad operativa del Clave bien Temperado de Bach es de 12 notas en

concordancia con la cantidad de teclas que su clave contena dentro de una octava,

40

sin embargo en su escritura conviven sostenidos y bemoles opuestos en su funcin,

creando una dificultad terica y prctica que se podra haber resuelto con la eleccin

de un solo tipo de alteraciones (por ejemplo los sostenidos) que por su carcter de

"elevacin" eran totalmente compatibles con la espiritualidad del genial compositor.

Repasemos todas las escalas con sus alteraciones tradicionales:

Veamos las escalas con sus alteraciones:

Do Mayor:

La menor:

Sol Mayor:

Mi menor:

Re Mayor:

41

Si menor:

La Mayor:

Fa # menor:

Mi Mayor:

Do # menor:

Si Mayor:

42

Sol # menor:

Fa # Mayor:

Re # menor:

Do # Mayor:

La # menor:

Fa Mayor:

43

Re menor:

Si b Mayor:

Sol menor:

Mi b Mayor:

Do menor:

La b Mayor:

44

Fa menor:

Re b Mayor:

Si b menor:

Sol b Mayor:

Mi b menor:

Do b Mayor:

45

La b menor:

El lmite del absurdo se produce al establecer treinta tonalidades para una realidad

que solo admite veinticuatro (12 Mayores y 12 menores).

A partir de este punto se inicia la limpieza del sistema operativo para la escritura

musical tradicional.

Qu pasa si optamos por la eleccin de los sostenidos para determinar todas las

tonalidades? La necesidad del Mi sostenido me produce la necesidad de un anlisis

ms profundo del teclado musical tradicional y la posibilidad de cambiarlo.

En este Crculo de Quintas figuran las doce tonalidades mayores y las doce

tonalidades menores. La novedad es que aparece una nueva serie de sostenidos que

suplantan a los bemoles.

En el siguiente diagrama aparecen las tonalidades ordenadas:

46

Teclado Simtrico de Aschero

El primer paso tiene que ver con el anlisis de un teclado cromtico tradicional:

47

Con la aparicin de Mi sostenido y para que el teclado sea simtrico hay que variar la

disposicin de una tecla.

Esta variable supone un cambio en el diseo:

48

49

El teclado tradicional es asimtrico, el propuesto por Aschero es simtrico. La pregunta

es: nosotros somos fsicamente asimtricos o simtricos?

Simetra bilateral en el ser humano

La materia se presenta en el universo de mltiples formas. Tenemos galaxias,

estrellas, planetas, rocas, seres vivos, cada uno compuesto por una cierta

combinacin de slidos, lquidos, gases o plasma (una clase de materia parecida a un

gas muy caliente). Parte de esa materia tiene una curiosa propiedad: si la dividimos en

dos por cierto sitio, las dos mitades son iguales; o, lo que es lo mismo, se ven iguales

desde un lado y desde otro. Es lo que llamamos simetra.

En biologa, se dice que simetra es la equilibrada distribucin en el cuerpo de los

organismos de aquellas partes que aparecen duplicadas. Los planos corporales de la

mayora de organismos pluricelulares exhiben alguna forma de simetra, bien

sea simetra radial o simetra bilateral. La mayora de especies animales tiene simetra

bilateral y pertenece por tanto al grupo Bilateria, aunque hay especies como los erizos y

las estrellas de mar que presentan simetra pentarradial secundaria derivada de la bilateral

(las fases de desarrollo tempranas y las larvas poseen simetra bilateral que

posteriormente se pierde en el adulto). La simetra bilateral permite la definicin de un eje

corporal en la direccin del movimiento, lo que favorece la formacin de un sistema

nervioso centralizado y la cefalizacin. La simetra bilateral fue uno de los pasos

fundamentales en la gnesis de los vertebrados.

Los seres humanos (su exterior) somos buenos ejemplos de esto. Tenemos

una casi igualdad entre las dos partes de nuestro cuerpo que se obtendran

dividindolo por una lnea que pasa por el centro de la nariz y p