7/28/2019 b) Numeros Reales (Demostraciones)

1/8

Demostraciones de Ecuaciones:

1) S a, b, c R + , demostrar que: (b+c)(a+c)(a+b) 8abc

En efecto:

a) a, b, c R + a > 0, b > 0 ^ c

> 0.

b) , ^ R a > 0, b > 0

^ c > 0.

c) - 2 0

d) a + b 2

e) - 2 0

f) b + c 2

g) - 2 0

h) a + c 2

i) Multiplicando: d), f) ^ h) -->

(a+b)(b+c)(a+c) 8( ) 2

j) (b+c)(a+b)(a+c) 8abc

2) Si 00, a ^ b son diferentes, demostrar que: + > 2

En efecto:

a) a b 0

b) a/b b/b 0/b

c) a/b 1 0

d) a/a b/a 0/a

e) 1 b/a 0

f) Restando e de c: a/b + b/a

2 0

g) a/b + b/a 2

7/28/2019 b) Numeros Reales (Demostraciones)

2/8

h) a>0, b>0 a/b + b/a > 2

4) Si a, b, c R; demostrar que: b 2c 2 + c 2a 2 + a 2b 2 abc (a+b+c)

En efecto:

a) (bc - ca) 2 0

a.1) b 2c 2 + c 2a 2 2abc 2

b) (bc - ab) 2 0

b.1) b2

c2

+ a2

b2

2ab2

c

c) (ac - ab) 2 0

c.1) a 2b 2 + c 2a 2 2a 2bc

d) Sumando a.1; b.1; c.1: 2(a 2b 2

+ c 2a 2 + b 2c 2) 2(a 2bc + ab 2c +

2abc 2)

e) a 2b 2 + c 2a 2 + b 2c 2 abc(a + b

+ c)

5) Si a ^ b son reales; demostrar que:

En efecto:

a) (a b) 2 0 d) (a+b) 2 4ab

b) a 2 2ab + b 2 0 e) ab

c) a 2 + 2ab + b 2 4ab f)

6) Si a + b = 2; a ^ b son reales, demostrar que: a 4 + b 4 2

En efecto:

a) (a b) 2 0 b) a 2 2ab + b 2 0

7/28/2019 b) Numeros Reales (Demostraciones)

3/8

c) (a + b) 2 4ab

d) (2) 2 4ab

e) 1 ab

f) (a 2 - b 2)2 0

g) a 4 + b 4 2(ab)

h) a 4 + b 4 2

7) Si a, b, c, d son reales, demostrar que: (ab + cd) 2 (a 2 + c 2)

(b 2 + d 2)

En efecto:

a) a, b, c, d R ab, bc, cd, ad

R

b) (ad bc) 2 0

c) a 2d 2 - 2abcd + b 2c 2 0

d) a 2d 2 + b 2c 2 2abcd

e) a 2d 2 + a 2b 2 + b 2c 2 + c 2d 2 a 2b 2 +2abcd + c 2d 2

f) a 2(d 2 + b 2) + c 2(d 2 + b 2) (ab

+ cd) 2

g) (ab + cd) 2 (a 2 + c 2)(b 2 + d 2)

8) Si a, b, c, d son reales, demostrar que: (ab + cd) (a 2 + c 2)

(b 2 + d 2)

En efecto:

a) Por el ejercicio 7 tenemos: (ab + cd) 2 (a 2 + c 2)(b 2 + d 2)

b) (ab + cd) 2*1/2 (a 2 + c 2)(b 2 + d 2)1/2

c) (ab + cd) (a 2 + c 2)(b 2 + d 2)

9) Si a + b = 1; a ^ b son reales, demostrar que: a 4 + b 4 1/8

En efecto:

a) (a b) 2 0 b) a 2 2ab + b 2 0

7/28/2019 b) Numeros Reales (Demostraciones)

4/8

c) (a + b) 2 4ab

d) (1) 2 4ab

e) 1/4 ab

f) (a 2 - b 2)2 0

g) a 4 + b 4 2(1/4) 2

h) a 4 + b 4 1/8

10) Si a + b = 3; a ^ b son reales, demostrar que: a 4 + b 4 8 1/8

En efecto:

a) (a b) 2 0

b) a2

2ab + b2

0

c) (a + b) 2 4ab

d) (3) 2 4ab

e) 9/4 ab

f) (a2

- b2

)2

0

g) a 4 + b 4 2(9/4) 2

h) a 4 + b 4 81/8

11) Si x e y R, demuestre que: |x| + |y| |x + y|

En efecto:

a) |x + y| 2 = (x+y) 2

b) |x + y| 2 x2 + 2|xy| + y 2 = |x| 2 + 2|x||y| + |y| 2

c) |x + y| 2 (|x| + |y|) 2

d) |x + y| |x| + |y|

12) Si a 2 + b 2=1. Demostrar que: -- a + b

En efecto

a) (a - b) 2 0

b) a 2 + b 2 2ab

c) 2a 2 + 2b 2 a 2 + 2ab + b 2

d) 2(a 2 + b 2) (a + b) 2

7/28/2019 b) Numeros Reales (Demostraciones)

5/8

e) 2 (a + b) 2 f) -- a + b

13) Si a y b son nmeros positivos y distintos, demostrar que:

+ > +

En efecto:

a) (a b) 2 > 0

b) a 2 2ab + b 2 >0

c) a 2 ab +b 2 > ab

d) (a + b) ( a 2 ab +b 2) > ab(a +b)

e) (a 3 + b 3)/a 2b 2 > ab(a+b)/a 2b 2

f) a 3/a 2b 2 + b 3/a 2b 2 > a/ab + b/ab

g) + > +

14) Si a + b + c = o, demostrar que: ( + + ) 2 = + +

En efecto

a) a + b + c = 0

b) =

c) + + + + = +

+

d) ( + + ) 2 = + +

15) Si a y b son nmeros positivos y distintos, demostrar que a

+ b < +

En efecto:

a) (a b) 2 > 0 b) a 2 2ab + b 2 >0

7/28/2019 b) Numeros Reales (Demostraciones)

6/8

c) a 2 ab +b 2 > ab

d) (a + b) ( a 2 ab +b 2) > ab(a +b)

e) (a3

+ b3

)/ab > ab(a+b)/ab

f) a 3/ab + b 3/ab > a + b

g) a + b < +

16) Si a + b = a, Demostrar que: b = 0.

En Efecto:

a) a + b = a

b) a + (-a) + b = a + (-a)

c) 0 + b = 0

d) b = 0

17) Si a y b son nmeros positivos distintos. Demostrar que: (a 3

+ b 3)(a + b) (a 2 + b 2) 2

En Efecto:

a) (a b) 2 0

b) a2

+ b2

2ab

c) ab(a 2 + b 2) 2a 2b 2

d) a 4 + b 4 + a 3b + ab 3 a 4 + b 4

+ 2a 2b 2

e) (a 3 + b 3)(a + b) (a 2 + b 2)2

18) Si x e y son nmeros positivos distintos. Demostrar que: (x 4

+ y 4 )(x 2 + y 2) (x 3 + y 3) 2

En Efecto:

a) (x y) 2 0

b) x 2 + y 2 2xy

c) (xy) 2(x 2 + y 2) 2x 3y3

d) x 6 + y 6 + x 4y2 + x 2y4 a 6 + b 6

+ 2a 3b 3

e) (x 4 + y 4)(x 2 + y 2) (x 3 + y 3)2

7/28/2019 b) Numeros Reales (Demostraciones)

7/8

19) Demostrar |x| = |y| x = y

En efecto:

a) |x| 0, |y| 0 |x| = |y|

b) |x| 2 = |y| 2

c) |x||x| = |y||y|

d) |x 2 | = |y 2 |

e) x 2 = y 2

f) x = y

20) Si a + b = 4; a ^ b son reales, demostrar que: a 4 + b 4 8

En efecto:

a) (a b)2

0

b) a 2 2ab + b 2 0

c) (a + b) 2 4ab

d) (4) 2 4ab

e) 4 ab

f) (a 2 - b 2)2 0

g) a 4 + b 4 2(ab) 2

h) a 4 + b 4 32

21) Si a y b son nmeros positivos distintos; demostrar que: a 2 +b/a 2 2b

En efecto:

a) (a - 2 0

b) a 2 2b + b/a 2 0

c) a 2 + b/a 2 2b

22) Si x e y son nmeros positivos distintos. Demostrar que: (x 4 + y 4 )(x 6 + y 6) (x 5 + y 5) 2

En Efecto:

a) (x y) 2 0 b) x 2 + y 2 2xy

7/28/2019 b) Numeros Reales (Demostraciones)

8/8

c) (xy) 4(x 2 + y 2) 2x 5y5 d) x 10 + y 10 + x 6y4 + x 4y 6 a 6 +

b 6 + 2a 3b 3

e) (x 4 + y 4)(x 6 + y 6) (x 5 + y 5)2

23) Si a, b pertenece a los reales; demostrar: 1 2ab/(a 2 + b 2)

En efecto:

a) (a-b) 2 0

b) a 2 + b 2

c) 1/( a 2 + b 2) 1/2ab

d) 2ab/( a 2 + b 2) 1

24) Si a, b pertenece a los reales; demostrar: 1 4ab/(a 2 + 4b 2)

En efecto:

a) (a 2b/2) 2

b) a 2 + 4b 2

c) 1/( a 2 + 4b 2) 1/ab

d) 4ab/( a 2 + 4b 2) 1