b ejercicios6. la suma de las medidas de dos ángulos es 70g y la diferencia de las mismas es π /...

I.E.P CRUZ SACO – GUÍA COMPLEMENTARIA

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Trigonometría

1

EJERCICIOS 1. Del gráfico señale lo correcto

a) + + = 360° b) - - = 360°

c) - - = 360° d) + - = 360°

e) - - = 360°

2. Determine “x” en el gráfico mostrado:

a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 19

3. En el gráfico, Halle: x

a) 270° - + b) + - 270°

c) - - 270° d) - - 270°

e) 270° + - 4. En un triángulo, dos de sus ángulos interiores miden

70g y 80°. ¿Cuál es la medida sexagesimal del tercero?

a) 35º b) 36º c) 37º d) 38º e) 39º

5. Si: 22,22° = T°E'A". Calcule: T + E + A

a) 32 b) 33 c) 48 d) 47 e) 40

6. Dados los siguientes ángulos:

=38g; = 36°; = rad

90

π. Ordenar en forma

creciente:

a) > > b) > > c) > >

d) > = e) > = 7. Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo

miden (5x+6)° y (10x)g, Determine la medida del

menor ángulo en radianes.

a) /3 b) /4 c) /5 d) /6 e)/8 8. Se tiene dos ángulos cuyas medidas son 60° y 80g.

Halle la suma en el sistema radial.

a) /10 b) 7/9 c) 11/15

d) 12/17 e) N.A.

9. Si en un triángulo ABC, se tiene:

A = π/3 ; B = 100 g ; ¿cuánto mide el ángulo C en

sexagesimales?

a) 10° b) 20° c) 30°

d) 40° e) 50°

10. La suma de dos ángulos es 7/20 rad y su diferencia es 40g. Halle cuánto mide el mayor ángulo en el sistema centesimal y el menor en el sistema sexagesimal.

a) 60g; 20° b) 57g; 18,5° c) 55g; 13,5°

d) 47g ; 18,5° e) 53g; 17,5°

11. Calcule:

rad4064

rad6035

6πg

3πg

M

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

12. Si 16

rad <>a0 b’

Calcule:

2a

1bE

a) 1/3 b) 2/3 c) 4/3 d) 1/2 e) 3/2

C

B

A

x

Sistema de medidas angulares TEMA: 1

A

B

C

0

120g

(5x + 18)°


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I Bimestre – 5° Grado de Secundaria

2

13. Halle: x

(8x + 3)º = (7x + 9)g

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

14. Simplifique: P = 2°30’20” + 4°13’50” + 3°48’10” señale la diferencia entre el número de minutos y grado del resultado.

a) 11 b) 22 c) 13 d) 16 e) 30

15. Un ángulo mide (6x)g y su complemento mide (12x+

3)°. ¿Cuánto mide el suplemento de dicho ángulo en radianes?

a) /20 b) 3/20 c) 7/20

d) 11/20 e) 17/20

ACTIVIDAD DE EXTENSION 1. De acuerdo al gráfico señale lo correcto:

a) - = 360° b) - = 240°

c) + = 360° d) + = 240°

e) - = 240° 2. De la figura, Calcule x

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

3. Si "'32

MQPrad

Calcule

P

MQE 6

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

4. Si la suma de medidas de dos ángulos es 18° y su

diferencia es 12g, ¿cuál es la medida sexagesimal del menor?

a) 3°16' b) 3°45' c) 4°15'

d) 3°36' e) 2°15'

5. Calcule:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

6. La suma de las medidas de dos ángulos es 70g y la

diferencia de las mismas es π / 16 rad. Calcule la medida sexagesimal del mayor ángulo. a) 52º b) 54º c) 56º d) 58º e) 60º

7. Siendo “n” el número de radianes de 6º 40´, Calcule:

M =

n

n

9

2

a) 1 b) 2 c) 5/2 d) 5 e) 1/7 8. La diferencia de las medidas de dos ángulos

complementarios es π /16 rad. Calcule la medida sexagesimal del menor.

a) 27º b) 28º c) 29º d) 30º e) 31º

9. Calcule “x” si: (7x + 2)º = π / 6 rad a) 2 b) 4 c) 6 d) 10 e) 12

10. Se tienen los siguientes ángulos:

radα103π ; = 45° ; = 90g, Halle la diferencia

entre los mayores en el sistema radial.

a) /20 b) 3/10 c) 5/7

d) 3/20 e) N.A. 11. Los ángulos internos de un triángulo ABC miden:

A = (8x)°; B = (30x)g y c=(5πx/36) rad.

Calcule cuánto mide el mayor, en grados sexagesimales.

a) 60° b) 75° c) 81° d) 87° e) N.A.

12. Un ángulo mide (6x)g y su complemento mide

(12x + 3)°. ¿Cuánto mide el suplemento de dicho ángulo en radianes?

a) 203

b) 22

5 c) 25

7

d) 26

9 e) 20

17

13. La medida de un ángulo en radianes es:

rad3π

4kπ y en el sistema sexagesimal es

465°. Calcule el valor de K.

a) 7 b) 9 c) 11 d) 13 e) N.A. 14. Calcule la medida centesimal de la siguiente suma:

β = 72º + π / 5 rad

a) 100g b) 110g c) 120g d) 130g e) 120g

rad2

5440K

g

120°

7x + 1

x°

rad

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Trigonometría

3

EJERCICIOS 1. Calcule la medida de un ángulo en radianes si:

10040

109

RCS

a) rad2

3 b) rad3

4 c) rad4

5

d) rad5

6 e) rad2

3

2. Reduce: 27

C S

C S

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 3. Calcule un ángulo en radianes si se cumple:

CS

R

CS .

112

a) rad10

b) rad9

c) rad100

d) rad90

e) rad10

9

4. Si: S = a3+a2+a+2 C = a3+a2+a+7 Halle “R”

a) /10 b) /8 c) /6 d) /5 e)/4

5. Calcule un ángulo en centesimales si se cumple:

10/38 RCS

a) 38g b) 20g c) 40g d) 10g e) 19g

6. Simplifique: 3 2

2

C SM

S C

a) 2/3 b) 3/2 c) 2/5 d) 5/2 e) 7/2

7. Determine la medida de un ángulo en radianes, si se cumple:

325C2S

a) /5 b) 2/5 c) 3/5

d) 4/5 e)

8. Simplifique:

R

SCSC

119

a) 1

b) 5

c) 8

d) 20

e) N.A.

9. Calcule la medida de un ángulo en radianes, si: S=n2 + 3n + 5 y C=n2 + 4n + 10

a) 3/4 b) /3 c) /2

d) 3/20 e) N.A. 10. Halle: R

3

22

π200

RC

18

S

S, C y R son lo convencional. a) 2/3 b) 3/2 c)4 /3

d) 3/4 e) 11. Si se cumple:

100π

π76222 10RRSC

Halle el ángulo en radianes.

a) /10 b) /20 c) /5

d) /2 e)

12. Si se tiene: 200102

SCCS

Halle el ángulo en grados sexagesimales. a) 72° b) 144° C) 216° d) 288° e) 36°

13. Calcule:

R

Sabiendo: RCS 25

a)

10 b)

20

c)

16

d)

20 e) 2

10

14. Si se cumple la siguiente condición, Calcule: R

3

2

SC

CS2

2

a) 11π/210 b) 12π/213 c) 11π/215 d) 12π/215 e) 11π/120

15. Halle: x

a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 3 3

Relación entre sistemas TEMA: 2




4

ACTIVIDAD DE EXTENSION

1. Sabiendo que “S” y”C” lo convencional determine un ángulo en radianes si se cumple: C-S= 0,2.

a) /10 b) /20 c) /100

d) /200 e) 10

2. Simplifique: 2

S CE

S C

a) 19/18 b) 18/19 c) 8/19

d) 12/19 e) 14/5

3. Reduce la siguiente expresión: 3S C

EC S

a) 14 b) 15 c) 16

d) 17 e) 18

4. Calcule la medida de un ángulo en grados sexagesimales, sabiendo que se cumple:

16252

CCS

a) 9° b) 18° c) 27° d) 36° e) 45°

5. Calcule la medida de un ángulo en radianes:

30

56

2

2

xxC

xxS

a) /2 b)3 /10 c) /5

d) /3 e) / 10

6. Calcule el valor de:

1R

π

C

100

S

90

Si: S y C son los convencionales.

a) 180° b) 200g c) rad

d) 4rad e) 400g

7. Cuanto mide el ángulo que cumple la siguiente

relación:

S + C + R = 95 + π/4rad a) 50g b) 30° c) 50°

d) 45g e) 25°

8. Reduce:

RSCRP

20020

a) 1 b) 2 c) 4 d) 3 e)5

9. Simplifique la siguiente expresión:

a) 1 b) 2 c) 4 d) 3 e)5 10. Al Reduce la siguiente expresión:

Se obtiene:

a) 1 b) 2 c) 4 d) 3 e)5 11. Señale la medida del ángulo en radianes, si se

verifica:

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e)9

12. Reduce:

a) 1 b) 2 c) 4 d) 3 e)5


a) 1 b) 2 c) 4 d) 3 e)5

14. Reduce:

a) 10 b) 20 c) 40

d) 60 e) 80 15. Indique el valor de : M

2

22

22

2

S)(C

)S14(C6

SC

S)5(C4M

a) 19 b) 1919 c) 19

d) 1/19 e)1

1S-C

C2-S5

S-C

SCJ

R30-C-S2

R40S-C2J

11

R4

S-C2

S-C

3

S-C

C-S2J

3

S

R40-2

C

A

2

2

R380

)SC)(S-C(P




Trigonometría

5

EJERCICIOS

1. En un sector circular el ángulo central mide 40g y el arco 4πm. ¿Cuánto mide el radio?

a) 10m b) 20 c) 30 d) 40 e) 50

2. Del gráfico, Halle: x

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

3. Del gráfico determine "q" en función de a, b y c.

a) (a-b)c b) (a+b)c c) (a-b)/c d) (b-a)/c e) N.A.

4. Calcule la longitud de un arco, correspondiente a un ángulo central de 45º en una circunferencia de radio 8m.

a) 360m b) 4πm c) 2πm d) πm e) 720m

5. Calcule el área de un sector circular de radio 6m, de ángulo central 60°.

a) 3m2 b) 4m2 c) 6m2

d) 8m2 e) 12m2 6. Del gráfico Halle: “S”

a) 2u² b) 4u² c) 6u² d) 8u² e) 10u²

7. Del gráfico, Halle: S2 / S1

a) 5u² b) 10u² c) 15u² d) 16u² e) 21u²

8. Del gráfico, Halle: “S”

a) π+ 2 b) π- 2 c) π- 1 d) 2π- 1 e) 2(π- 2)

9. Del gráfico, Halle "S"; si: S1 = π/3

a) π b) 2π c) 2π/3 d) 3π e) π/2 10. Un sector circular tiene área "S". Si duplicamos el

ángulo central sin alterar el radio; el nuevo sector tendría como área: a) S b) 2S c) 4S d) 8S e) S/2

11. Calcule el área de un sector circular cuyo arco es el

doble de la inversa del radio. a) 1/4 b) 1 c) 2 d) 1/2 e) 4

Longitud de arco, área de un sector circular y número de

vueltas

TEMA: 3




6

12. El arco de un sector circular disminuye en un 20% y su radio aumenta en un 50% ¿Cómo varía el área del sector?

a) Aumenta en un 10% b) Disminuye 10% c) Aumenta 20% d) Disminuye 20% e) Sigue igual

13. ¿Cuántas vueltas dará la rueda de radio 2 al ir de "A" hasta "B"?

a) 1 b) 2 c) 1,5 d) 2,5 e) 1,25

14. Calcule el número de vueltas que da la rueda de radio R, al trasladarse desde P hasta chocar con la pared.

a) D/2 R b) D/ R c) D-R/2 R

d) D-R/ R e) D-2R/

15. De la figura mostrada Determine cuantas vueltas da la rueda de radio “R” sobre la pista circular de centro “O”, al recorrer el tramo AB (R=9r)

a) 2 b) 1 c) 3 d) 1,5 e) 2,5


1. Calcule la longitud de un arco, si se sabe que tiene

un ángulo central de 60° y un radio de 6

a)π b) 2π c) 3π d)4π e) π/3

2. En un sector circular de radio 9m.; el arco mide πm.

¿Cuánto mide el ángulo central?

a)π/4rad b) π/3 c) π/9 d)π/6 e) π/18

3. Halle: x

a)1 b) 1/2 c) 1/3 d)2 e) 3

4. Del grafico Calcule: x

a)2 b) 3 c) 4 d)1 e) 5

5. Calcule el área de un sector circular de ángulo

central 20° de radio 10m.

a) 50m2 b) (50/2)m2 c) (50/9)m2

d) 10m2 e)16m2

6. En un sector circular el ángulo central mide 40g y el radio 5cm. ¿Cuál es su área?

a) 1,5πcm2 b) 2,5π cm2 c) 3,5π cm2

d) 4,5π cm2 e) 5,5π cm2

O

C

A

D

B

42

R

3

R

3




Trigonometría

7

S

C

A

D

B

O 3Lx

S 2a

b

7. Del gráfico mostrado, Calcule el área de la región

sombreada.

a) 6m2 b) 5m2 c) 7m2

d) 8m2 e) 12m2

8. Del gráfico, Halle: S1 / S2

a) 1 b) 1/2 c) 2 d) 1/4 e) 4

9. Del gráfico, Calcule: S1 / S2

a) 0,2 b) 0,6 c) 0,8 d) 1 e) 0,5

10. Determine el área de la región sombreada.

a) 30,5u² b) 31,5u² c) 32,5u² d) 33,5u² e) 34,5u²

11. Calcule el área sombreada:

a) 2ab b) ab c) ab/2 d) a+b e) ab/4

12. Si: S=5L² ; entonces: Calcule: “x”

a) 2L b) 5L c) 4L d) 3L e) 6L

13. Los radios de la rueda de una bicicleta son (x+1) m

y (x-1) m si la rueda mayor da (x-2) vueltas y la menor (x-1) vueltas ¿Cuántas vueltas en total darán las dos ruedas?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

14. Una rueda de radio “r” gira sin resbalar por un camino circular de radio “R”, como se muestra en la figura. Calcule cuantas vueltas dará hasta que

llegue a su posición inicial (R=5r)

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 15. Calcule el número de vueltas que da la rueda de

radio “r” al recorrer el circuito desde A hasta B.

a) 2r/R b) r/2R c) R/2r d) R/r e) 2R

CA

D

B

O 2x+1

x+1

x+1

4

x

A

O

B

DC

3m

7m

4rad

S2

A

B

O S1

S S1 S2




8

EJERCICIOS

1. Si: 41

9Cosx

Halle: TgxSecxE

a) 3 b) –3 c) 1/3 d) –1/3 e) 9

2. Si: 22

22

nm

nmSecx

Halle: E = Cscx – Ctgx

a) nm

nm

b)

nm

nm

c)

nm

2mn

d) m

n e)

n

m

3. Si: n

mSenA

¿A qué es igual: E= (22 mn ).TgA?

a) n b) m c) m2 d) n2 e) m/n

4. Halle: BC. Si: SecA = 2,6 y BC – AC = 21cm a) 36cm b) 24cm c) 42cm d) 30cm e) 28cm

5. En un triángulo rectángulo el coseno de uno de sus

ángulos agudos es 0,96, si su hipotenusa mide 50cm. Halle el perímetro de dicho triángulo. a) 56cm b) 112cm c) 224cm d) 316cm e) 412cm

6. En un triángulo rectángulo ABC (C=90°), se tiene que: SenA = 3SenB. Calcule: E = SenA.CosA a) 0,1 b) 0,2 c) 0,3 d) 0,4 e) 0,5

7. Calcule: Tgθ

a) 1/2 b) 1/3 c) 1/4 d) 2 e) 4

8. En un triángulo rectángulo recto en “A”. Calcule el cateto “b” si se tiene que:

2a

16TgB . SenC . SenB

a) 16 b) 8 c) 22 d) 4 e) 29

9. Dado un triángulo rectángulo ABC (recto en B),

Simplifique:

E = sec2A + 2tanAtanC – cot2C a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 10. En un triángulo rectángulo ABC recto en “B” se

cumple: 2

3TgCTgA

Determine: SenA.Sen C a) 3/2 b) 2/3 c) 1/3 d) 1/2 e) 2

11. Del grafico AO = OB, Calcule: Ctgθ

a) 3 +1 b) 12 c) 132

d) 132 e) 2 + 3

12. Si: x y son los ángulos agudos de un triángulo rectángulo y además:

Tgy

bCscx Ctgy

Ctgx

aSecy Tgx

Determine: a.b – 1 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 13. Si el área de un triángulo rectángulo BAC (Recto en A) es de 5m2 y SenB = 2SenC. Halle el Perímetro del triángulo

a) 10m b) m

2

5315

c) m 5215

d) m 55 e) m 535

14. En un triángulo rectángulo ABC (recto en C) de lados

a; b y c se cumple que:

3

2

b

bp

Si “p” es el semiperímetro del triángulo, Calcule el seno del menor ángulo agudo a) 11/5 b) 20/31 c) 11/29 d) 20/29 e) 15/25

A C

B

Razones trigonométricas de ángulos agudos TEMA: 4




Trigonometría

9


1. En un triángulo rectángulo ABC (C=90°), se cumple: 4TgA = 9TgB Calcule: SecA

a) 2

5 b)

3

52 c)

3

32

d) 3

13 e)

2

13

2. En un triángulo rectángulo ABC (B=90º) Reduce:

F = senAsecC + cosAcscC

a) 2ac b) ac c) 2.a2c2 d) 2 e) 4

3. Del gráfico. Halle “Tg”

5x+4

4x+5

3x-2

a) 1/2 b) 1/3 c) 7/15 d) 8/15 e) N.A. 4. Dado un triángulo rectángulo ABC (recto en B).

Reduce la expresión:

ac

TgAc TgcaE

22

a) 1 b) 2 c) 1/2 d) 4 e) 1/4 5. En un triángulo rectángulo ABC (^B=90º) se sabe

que: b = 3a. Calcule:

E = cot2A + 4 a) 5 b) 9 c) 13 d) 12 e) 17

6. En un triángulo rectángulo ABC (^B=90º) se sabe

que: b = 3 y c = 1. Calcule: C = seca.tgA

a) 2 b) 22 c) 32

d) 62 e) 122 7. En un triángulo rectángulo ABC (B=90º) se sabe que:

c = 3a. Calcule:

M = csc2A + tgC a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

8. En un triángulo rectángulo ABC (^B=90º) se sabe

que: b = 13 y a = 5. Obtener el valor de:

A = secC + tgC a) 1 b) 2 c) 5 d) 1/5 e) 10 9. En un triángulo rectángulo ABC (^B=90º) se sabe

que: a+b = 3c. Calcule:

S = secA + tgA a) 1 b) 2 c) 3 d) 1/3 e) 6

10. Si ABCD es un cuadrado, calcule: Csc

a) 5/3 b) 25/3 c) 71/5

d) 73 /3 e) 73 /8

11. En un triángulo rectángulo ABC (recto en B), se

cumple que: SecA – CtgC = 3TgA. Calcule: TgC

a) 3 b) 10 c) 10 /3

d) 15 /3 e) 15

12. Del gráfico, obtener: Cosα

a) 2/3 b) 3/4 c) 1/4 d) 3/8 e) 1/2

13. Sabiendo que es un ángulo agudo y que Ctg = 20/21. Calcule:

E = 4Cos + 3

1Sen

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

14. Si: Tg = 3

2 y Cos =

3

2

( y son agudos), Calcule:

N = 2 13 .Cos + 7 10 .Sen a) 14 b) 18 c) 20 d) 24 e) 26




10

EJERCICIOS

1. Calcule:

Sen45 . Sec45

Cos60Sen37E

a) 1,2 b) 1,3 c) 1,1 d) 0,2 e) 0,8

2. Resolver: 2x . Sen30° – Tg45° = Sec60° a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

3. Del gráfico, Halle “Tg” a) 3/7 b) 5/3 c) 5/7 d) 4/7 e) 4/3

4. Del gráfico, Halle “Cos”

a) 2

3 b) 2 c) 32 d)3

32 e) 4

5. Del gráfico, Halle “x”

37°

x+5

x+3

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

6. Halle “Tg” del gráfico

45°

37°

a) 1/2 b) 1/3 c) 1/4 d) 1/5 e) 1/6

7. Del gráfico, Calcule “Tgθ”

45°

a) 1 b) 2 c) 1/2 d) 1/4 e) 1/3

8. Calcule:

Sen30Tg45

30Csc45Sec60TgA

222

a) 2 b) 4 c) 18 d) 16 e) 32

9. Del gráfico mostrado, halle: Senα

Senθ

53°

a) 3/2 b) 3/4 c) 4/5 d) 4/3 e) 3/5

Triángulos notables y propiedades TEMA: 5




Trigonometría

11

37°

x+5

x+3

20° 25°A B

CD

10cm

10. Resuelve el sistema: 2Cos(x + y + z) – 1 = 0

1 – 2Sen(x + y – z) = 0 Tg (y + z) – 1 = 0 Dar como solución x ; y ; z a) 15° ; 30° ; 45° b) 15° ; 30° ; 15° c) 30° ; 15° ; 15° d) 15° ; 45° ; 30° e) 30° ; 15° ; 30° 11. Si: AB = 2CD = 4DM. Halle Tgx

45°

x

C M

B

D

A

a) 1/5 b) 1/10 c) 1/3 d) 1/7 e) 1

12. Del gráfico, Halle “x”

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

13. Calcule: x + y, sabiendo que:

Cos (3x + 10°) . Csc(y – 40°) = 1 Ctg(2y - 65°) = Tg(55° - x)

a) 60° b) 66° c) 74° d) 80° e) 86°

14. Si se cumple Sen(2a + b) = Cos(a + 2b), Calcule:

a3Cos

b3Sen

b3Cos

a3SenP

a) 1 b) 2 c) 1,5 d) 2,5 e) 3

15. Calcule: x; si:

Cos(3x – 7) Sec x (x + 15°) = 1 a) 11° b) 22° c) 33° d) 44° e) 55°

16. Siendo “” y “” ángulos rectos agudos,

Calcule “” sabiendo que:

Sen (7 - 5°) = Cos(5 + 11°)

Tg(3 - ) Ctg(3 + 2°) = 1

a) 5° b) 10° c) 15° d) 20° e) 25°


1. Siendo “” un ángulo agudo para el cual se cumple:

Tg . Ctg30° = 1.

Halle el valor de la expresión:

Ctgθ2

θCtgM

a) 3 /3 b) 1 c) 3

d) 2 e) 32

2. Calcule: “n”, en:

(Sen45°)n-1 = 0,25

a) 3 b) 5 c) 4 d) –2 e) –1

3. Calcule: Tg(2x + 5°), si:

Sen(3x –10°) Csc(x + 30°) = 1

a) 1 b) 1/2 c) 3

d) 3 /3 e) ¾

4. Del gráfico, Calcule CD

a) 210 cm b) 12cm c) 16cm

d) 15cm e) 20cm




12

5. Halle el valor de “x”, si:

4x.cos 60º = x + 5

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

6. Si: Sec (2x + 20)º = Csc (3x + 5)º ;

Calcule el valor de “x”

a) 10 b) 11 c) 13 d) 17 e) 9

7. Halle el valor de:

Sec60º

Sen30º45ºCosk

2

a) 1/2 b) 1/4 c) 1/3 d) 1/8 e) 2


K = (Tg260º + 5Cos53º).Csc30º

a) 6 b) 12 c) 1/6 d) 1/12 e) 4

9. Calcule (x + y) a partir de:

Tg(x + 15)º.Ctg(y - 45)º = 1 Sen(2x - y)º = Cos(2y - x)º

a) 80º b) 100º c) 90º

d) 70º e) 80º

10. Si se cumple:

Sen(3x + 2)º= Cos(4x + 4)º Cos(4y + 5)º = Sen(3y – 20)º Halle: Sen5x.Cos3y

a) 4

6 b)

3

6 c)

2

6

d) 7

6 e)

8

6

11. Si: Csc30º Cos60ºSenx

Halle: 2Ctgx

Secx2Tgxk

a) 1/2 b) 2

3 c) 2/3

d) 3/2 e) 3

32

12. Si : Senxº . Csc(10 – 4x)º = 1

Halle “x”

a) 1º b) 10º c) 4º

d) 2º e) 5º

13. Halle: Sec6θ2Sen3θE

Si: 13θ60º.Csc102θSen

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

14. Si: ctg45ºcsc45º

tg45º2cos45ºtgα

Calcule: R = sen .cos

a) 1/6 b) 1/7 c) 1/8 d) 1/9 e) 1 15. Halle: “x”

Sen (3x – 80º).csc (x + 10º) = 1

a) 60º b) 45º c) 15º

d) 53º e) 1º

16. Siendo “” y “” ángulos rectos agudos,

Calcule “” sabiendo que:

Sen (7 - 5°) = Cos(5 + 11°)

Tg(3 - ) Ctg(3 + 2°) = 1

a) 5° b) 10° c) 15° d) 20° e) 25°




Trigonometría

13

EJERCICIOS 1. Halle el perímetro de triángulo rectángulo sabiendo

que uno de sus ángulos agudos es “” y de cateto adyacente “a”

a) a(Sen+Cos+1) b) a(Sec+Tg+1)

c) a(Csc+Ctg+1) d) a(Sec+Tg)

e) a(Csc+Ctg)

2. De la figura, Halle “x”

n

n

x

a) n(Ctg+Ctg) b) n(Ctg+Ctg+1)

c) n(Tg+Tg+1) d) n(Ctg+Tg)

e) n(Tg+Ctg)

3. Halle “x”

m

x

a) mSen . Sen b) mSen . Cos

c) mCos . Cos d) mCos . Sen

e) mTg . Ctg 4. Halle “x”

m

x

a) mSen . Tg b) mSen . Ctg

c) mCos . Cos d) mCos . Ctg

e) mSen . Sen

5. Halle “x”

a) RCtg

b) RTg

c) R(Ctg+1)

d) R(Tg+1)

e) R(Sen+1)

6. Del gráfico, Halle: AC

A C

B

x y

a) mSenx + nSeny b) mCosx + nSeny c) nSenx + mCosy d) mCosx + nCosy e) N.A.

7. Halle la longitud del arco AC , en función de m y .

A B

C

O

m

a) m.Csc b) m.Cos

c) m.Sec d)(m/2).Sec

e) 2 m.Csc

8. Calcule “Tg”

37°

a) 1 b) 1/2 c) 2/3 d) 3/4 e) 4/5

Resolución de triángulos TEMA: 6




14

A C

B

r

m x

9. Calcule “x” en en gráfico:

a) b + acos b) b - acos

c) b - asen d) b + asen e) N.A.

10. Determine BC en función de r

a) rTg(1+Sen) b) rTg(1+Csc)

c) rTg(1+Cos) d) rCtg(1+Csc)

e) rCtg(1+Cos)

11. Del gráfico, Halle “Ctg”

a) 3 b)2

3 c)

3

3

d)4

3 e)

6

3

12. Del gráfico, obtener “Tg”

3

5

a) 2 b) 1/4 c) 1/8 d) 1/2 e) 4 13. Del gráfico, Determine “x”

m

x

a) m(Sen – Sec . Tg)

b) m(Sen – Cos . Ctg)

c) m(Csc – Sen . Tg)

d) m(Cos – Sen . Ctg)

e) m(Cos – Sec . Ctg)

14. Del gráfico, Halle “x” en función de “R” y “”

x

R

a) R(Ctg – 1) b) R(Tg – 1)

c) R(Ctg – Cos) d) R(Tg – Sen)

e) R(Tg – Ctg)

15. De la figura, Halle “x” en términos de “M” y “”

a) mSen b) 2mSen c) mCos

d) 2mCos e) mTg




Trigonometría

15

ACTIVIDAD DE EXTENSION 01. De la figura, Halle: x en términos de m y θ.

a) m(tg + 1) b) m(ctg + 1)

c) m(tg + cot) d) m(sen + cos)

e) m(sec+ csc)

02. Del gráfico, Halle AB

B

A

C

Cd

a)CtgβTgθ

d

b) d(Tg+Ctg) – 1

c) d(Tg–Ctg) – 1 d) d(Tg–Ctg) – 1 e) N.A.

03. Si: ADAE . Expresar “Tg” en función de “”

B C

A D

E

a) Csc+Ctg b) Csc – Ctg

c) Sec + Tg d) Sec – Tg

e) Sec + Csc 04. De la figura. Halle “Tgy” en términos de “Tgx”

y

x

x

a) Tgx b) Tg2x c) Tg3x d) Tg2x – 1 e) Tg4x

05. En la figura la longitud del segmento PS y RT es

“L” y la del segmento ST es “K”, el valor de “K” esta

dado por

P R Q

S

T

a) L(Sen–Sen) b) L(Sen+Sen)

c) L.Sen.Sen d) L(Sen–Sen)

e) LSen+Sen

06. En la figura ECn AE .

Calcule: E = Tg4 + 2Tg2

A

H E

B

D

C

07. De la figura.

Calcule: E = Sec2 + Cos2

a

a

a) 6 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 08. En la figura.

Calcule: Tgα

SenβSenαE

45°

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5




16

3

5

x

09. De la figura, Calcule: Senx 34

a) 1,2 b) 1,4 c) 1,6 d) 1,8 e) 2

10. De la figura, Halle:

Cosα . Senθ

θα CosK

2

1

a) 1/2 b) 2/3 c) 1/3 d) 1/5 e) 2/5 11. Del gráfico, Halle “x”

m

n

x

a) mSen+nCos b) mCos+nSen

c) (m+n)Sen.Cos d) mTg+nSec

e) mSec+nTg

12. Del gráfico, Calcule CB en términos de m, .

A C

B

m

a) mSe . Csc b) mCos . Sec

c) mTg . Tg d) mTg . Ctg

e) mCtg . Ctg 13. Del siguiente gráfico, Indique la relación correcta:

m n a) mSen=nSen b) mCos=nCos

c) mTg=nTg d) mTg=nTg

e) mCos=nCos 14. Del gráfico, Calcule el perímetro del cuadrado ABCD.

m

E D C

A B

a) 4mSen b) 4mCos c) 4mTg

d) 4mCtg e) 4mSec

15. Del gráfico, Determine DC en función de m,

B C

m

A

D

a) mTg . Tg b) mTg . Ctg

c) mCtg . Tg d) mCtg . Ctg

e) mSen . Csc




Trigonometría

17

EJERCICIOS

01. A 20 m del pie de un poste, se observa la parte

superior de este con un ángulo de 37º. ¿Cuál es la altura del poste?

a) 15 m b) 12 c) 20 d) 24 e) 25 02. Un nadador se dirige hacia un faro y lo observa con

un ángulo de elevación de 30º, al avanzar 10 m, el nuevo ángulo de elevación se duplica. Halle la altura del faro.

a) 8,7 m b) 4,6 c) 9,6 d) 8,6 e) 5,3 03. Se observa la parte superior de un edificio de 120m

de altura con un angulo de 60°. ¿Cuál es la altura del edificio?

a) 403 m b) 603 m c) 803 m

d) 203 m e) 1203 m

04. Desde un punto en tierra ubicado a 40 m de una torre, se observa su parte más alta con un ángulo de elevación de 37°. ¿Cuánto mide la torre? a) 30 m b) 60 m c) 90m d) 27 m e) 36 m

05. Una persona de 2 metros de estatura observa la

parte más alta de una torre con un ángulo de elevación de 30°. ¿A qué distancia se encuentra la persona de la base de la torre, si esta mide 82m?

a) 203 m b) 403 m c) 803 m

d) 603 m e) 1003 m

06. Desde la parte más alta de una torre de 60 m de altura se observa a una hormiga con un ángulo de depresión de 37°. ¿A qué distancia de la base de la torre se encuentra la hormiga? a) 20 m b) 60 m c) 40 m d) 100 m e) 45 m

07. Al estar ubicados en la parte más alta de un edificio

se observan dos puntos “A” Y “B” en el suelo con ángulo de depresión de depresión de 37° y 53°. Halle la distancia entre estos puntos, si la altura del edifico es de 120m. a) 70 m b) 90 m c) 120 m d) 160 m e) 100 m

08. A 12 m de un poste el ángulo de elevación para lo

alto del mismo es “” (tg = 5/6). Si retrocedemos

8 m, el ángulo de elevación sería””. Calcule tg . a) 1 b) 1/2 c) 2 d) 3/2 e) 2/3

09. Una persona colocada a 36 m de una torre observa

su parte más alta con un ángulo de elevación “”

(tg = 7/12). ¿Qué distancia habría que alejarse

para que el ángulo de elevación sea “” , donde: tg = 1/4? a) 36 m b) 40 m c) 42 d) 46 m e) 48 m

10. Desde un punto en tierra se observa lo alto del tercer

piso de un edificio con un ángulo de elevación “” y la parte más baja del quinto piso con un ángulo de

elevación “”.

Halle: tg / tg . a) 1,2 b) 0,75 c) 1,3 d) 0,3 e) 0,25 11. A 120 metros del pie de un edificio, se observa la

parte más alta de este con un ángulo de elevación de 60°. ¿ Cuál es la altura de! edificio?

a) 340 b) 360 c) 380

d) 3120 e) 180 m

12. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de una

torre con un ángulo de elevación de 37º nos acercamos una cierta distancia y el ángulo de elevación es ahora de 45º. Si la altura de la torre es de 24m. ¿Cuál fue la distancia que nos acercamos? a) 6m b) 4m c) 12m d) 8m e) 16m

13. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un

edificio con un ángulo de elevación de 45º, y lo alto de la antena que se encuentra al borde del edificio con un ángulo de elevación de 53º. Si la antena mide 6m. ¿Cuál es la altura del edificio? a) 18m b) 24m c) 32m d) 36m e) 42m

14. Desde un punto en tierra se ve lo alto de una torre con un ángulo de elevación "θ". Nos acercamos una distancia igual a la altura de la torre y el ángulo de elevación es ahora 37º. Calcule: "ctgθ". a) 5/3 b) 4/3 c) 7/3 d) 3 e) 2

15. Una tortuga observa la parte mas alta de una estatua con un ángulo de 45º, y la parte superior del pedestal con un ángulo de 37º, Calcule la altura del pedestal si este animal se encuentra a 40m de la base del pedestal. a) 10m b) 12m c) 18m d) 30m e) 36m

Ángulos verticales TEMA: 7




18


01. A 240 metros de la base de un edificio se observa

la parte más alta de éste con un ángulo de elevación de 37º, Calcule la altura del edificio. a)100m b)120m c)140m d)160m e)180m

02. Un observador se encuentra a 24m de la base de un poste de 7 metros de altura. ¿Cuál es el ángulo de elevación respectivo? a)8° b)16° c)30° d)74° e)60°

03. Una escalera de 6 m de longitud está apoyada

sobre una pared formando con esta un ángulo de 30º. Calcule la distancia entre los pies de la escalera y la pared. a)1m b)2m c)5m d)3m e)4m

04. Desde lo alto de un edificio de 100 metros de altura

se observa un auto estacionado bajo un ángulo de depresión de 60º. Calcule la distancia desde el auto hasta el pie del edificio en el punto que está bajo el observador.

a)100m b)100 3 m c)50

3 m d)50m e)200 3 m

05. La parte superior de un edificio de 48 metros de

altura es observada bajo un ángulo de elevación de 53º. ¿Cuál es la distancia entre el observador y el pie del edificio? a)35m b)36m c)37m d)38m e)39m

06. Desde la cima de un monte se observa la parte superior de un edificio con un ángulo de elevación de 37º y el pie del mismo bajo un ángulo de depresión de 53º. Si el observador se encuentra a 72 m del edificio, ¿Cuál es la altura de este? a)120m b)130m c)140m d)150m e)160m

07. Un observador divisa la parte superior de un poste

de 30m con un ángulo de elevación de 37 º, Calcule la longitud del observador al pie del poste. a)10m b)20m c)30m d)40m e)50m

08. Desde un faro que tiene 24 3 m de altura se

observa a una lancha con un ángulo de depresión de 30°. Calcule a qué distancia de la lancha al pie del faro.

a)24m b)20m c)48m d)10m e)96m

09. Si desde un punto en tierra ubicada a 36 m de la base de un edificio; observa la parte superior del edificio con un ángulo de elevación de 37°, Calcule la altura del edificio. a)25m b)26m c)27m d)28m e)29m

10. Una persona de 1,7 m de estatura divisa lo alto de

un edificio con un ángulo de elevación de 37°, Si la persona está a 24 m del edificio, ¿cuál es la altura del edificio? a)18.7m b)24m c)1.7m d)18m e)19.7m

11. Se observa la parte alta de una torre con ángulo de

elevación "β" (Tg β = 3/5). Calcule la altura de la torre, si el observador se encuentra a 100 m. a)60m b)80m c)100m d)140m e)120m

12. Una hormiga observa un árbol de 150m con un

ángulo de elevación de 37°, Halle la distancia de la hormiga al pie del árbol. a)100m b)200m c)300m d)400m e)500m

13. Desde lo alto de un faro de 80 m de altura se

observa en el mar a dos delfines con ángulos de depresión de 45° y 37° en una misma dirección del observador. Halle la distancia de separación de los delfines. a)10m b)20m c)30m d)40m e)50m

14. Desde lo alto de un acantilado de 45 m de altura,

se observa dos botes que están en el mar, con ángulos de depresión de 53° y 45° en la misma dirección del observador. ¿Qué distancia hay entre los botes? a)5m b)10m c)15m d)30m e)25m

15. Una antena de televisión se encuentra situado en

lo alto de un edificio de 18 m de altura. Si un hombre ve la parte alta de la antena con un ángulo de 53° y la parte superior del edificio con un ángulo de 45° edificio, Halle la altura de la antena. a)2m b)3m c)4m d)5m e)6m




Trigonometría

19

01. Calcule: x

(3x - 2)° = 18

πrad

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

02. Calcule:

a) 50 b) 50/3 c) 1 d) 10 e) 30

03. Se tienen dos ángulos cuya suma de medidas es

14g y su diferencia 10g. ¿Cuál es la medida sexagesimal del mayor?

a) 9°42' b) 8°12' c) 9°15' d) 10°42' e) 10°48'

04. Calcule “M” en el sistema sexagesimal

a) 107° b) 105° c) 115° d) 110° e) 125°

05. ¿Cuántos minutos hay en: M = 4° 36'?

a) 276' b) 275' c) 274' d) 266' e) 264'

06. Siendo:

= (4a)° (2a)' ; = (6a + 34)g

Además: + = 3rad. Halle "" en radianes.

a) 1,79πrad b) 1,80πrad c) 1,81πrad d) 1,82πrad e) 1,83πrad


g50

rad10

72

P

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

08. Siendo S, C y R lo convencional, se verifica la

siguiente igualdad:

(C – S)2 = 2C – S Calcule la medida del ángulo en el sistema centesimal. a) 110g b) 100g c) 105g d) 120g e) 200g

09. Si: S y C son lo convencional, Simplifique la

expresión:

2SC

S26

SC

CS

a) 2 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

10. De la siguiente igualdad:

6S + 5C = 1 040 Calcule: “R”

a) 4

rad b)

5

rad c)

2

rad

d) 9

rad e)

18

rad

11. Para un ángulo se cumple:

S = 5n + 1 C = 6n – 2 Calcule el ángulo en el sistema Radial.

a) 4

rad b)

5

rad c)

3

rad

d) 10

rad e)

9

rad

12. Determine el valor de “n” en la igualdad:

CCS

nCS

3112

12

a)2 b)4 c) 6 d)8 e)10

13. Calcule la medida radial de ángulo de modo que

sus medidas sexagesimales (S) y centesimal (C), verifiquen:

S = x2 + x + 4 C = x2 + x + 6

a) πrad/10 b) πrad/5 c) πrad/4 d) πrad/6 e) πrad/2


3C

63C4SM

a)2 b) 1 c) 3 d) 4 e) 6

15. Determine la medida de un ángulo en radianes, si se cumple:

4

51005

53

R

CS

a) 2/5 b) /4 c) 2/7

d) /3 e) /5

g10

º60rad2V

g50rad3

M

PRACTICANDO LO APRENDIDO




20

16. En un sector circular de radio 9m. y ángulo central

de 60º ¿cuánto mide el arco? a) πm b) 9πm c) 3πm d)3πm/2 e)6πm

17. En un sector circular de radio 36cm. el ángulo

central mide 20g ¿cuánto mide el arco?

a) 1,5πcm b) 2,4πcm c) 3,8πcm d) 3,6πcm e) 4,8πcm

18. Calcule el área de un sector circular donde el radio

mide 4m y el arco mide 2m.

a) 2m² b) 4m² c) 8m² d) 16m² e) 32m²

19. En la figura mostrada determine el valor de “L”

sabiendo que el trapecio circular ABCD tiene 72m2

de área.

a) 1m b) 2m c) 3m d) 4m e) 5m

20. Se tiene dos ruedas en contacto, cuyos radios se

encuentran en la relación de 5 a 2. Determine cuántas vueltas dará la rueda menor, cuando la mayor de 4/5 dé vuelta. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

21. ¿Cuántas vueltas da la rueda en ir desde “A” hasta

“C”?, sabiendo que AB= 13m.

a) 1,5 b) 2,5 c) 3,5 d) 4,5 e) 5,5

01. Sean a, b y c los lados de un triángulo rectángulo

ABC (B = 90°), Simplifique:

E = a2Ctg2A + c2Ctg2C a) 2a2 b) 2b2 c) 2c2 d) b2 – a2

e) a2 + b2

02. En un triángulo ABC (AB = BC) se sabe que SenB =

0.6. Calcule TgA. a) 1/3 b) 1/2 c) 2 d) 3 e) 4

03. Calcule el perímetro de un triángulo ABC, sabiendo que:

35TgB = 5TgA = 12 y AB = 80 m a) 180 m b) 160 m c) 140 m d) 200 m e) 240 m

04. Si: + son ángulos agudos y complementarios, Calcule:

P = Sen + Sen2 + TgTg a) 0 b) 1 c) 2 d) 1.5 e) 2.5

05. En un triángulo rectángulo, los lados mayores miden 13 y 12. Calcule la tangente del mayor ángulo agudo del triángulo.

a) 1,2 b) 3,2 c) 2,6 d) 2,4 e) 2,8

06. Si: "" es un ángulo agudo tal que:

cos = 3

2 . Calcule "tg2".

a) 1,5 b) 2 c) 2,5 d) 3 e) 3,5

07. En un triángulo rectángulo ABC (B=90º); Simplifique:

P = sec2A - tg2A

a) b2-a2 b) b2-c2 c) a2-c2 d) c2-a2 e) 1

PRACTICANDO LO APRENDIDO




Trigonometría

21

08. Sea "" uno de los ángulos agudos de un triángulo

rectángulo. Si: sen es al coscomo 8 es a 15; Calcule:

E = sen - cos

a) 7/17 b) -7/17 c) 11/17 d) -9/17 e) 11/15


E = 2sen30° + sec245° + 1

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

10. Halle “x” en la siguiente relación:

2x.tg45º+ 3 tg60º=2xsen30º+ cos260º

a)7/4 b)-7/4 c) 11/4 d)-11/4 e)N.A.

11. Halle: “x” , si: sen2x csc40º = 1

a) 10° b) 20° c) 30° d) 40° e) 50°

12. Halle: “x”, si: cos(2x + 10º).sec(3x - 40º) = 1

a) 10° b) 20° c) 30° d) 40° e) 50°

13. Halle: “x” en el gráfico:

a) msen b) mcos c) mtg

d) msec e) mcsc

14. Halle "tgx" en función de "":

a) tg b) 2tg c)cot d) 2cot e) N.A.

15. Determine: “x” en términos de “m” y “”.

a) m.Sen .Tg b) m.Sec .Csc

c) m.Ctg .Csc d) m. Cos . Ctg

e) m.Sec2

16. El ángulo de elevación de la parte superior de una torre es de 37°; acercándose 105m, se encuentra que el ángulo de elevación es de 53°. ¿Cuál es la altura de la torre?

a) 150m b) 160m c) 170m d) 180m e) 190m

17. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de una

torre con un ángulo de elevación de 37º nos acercamos una cierta distancia y el ángulo de elevación es ahora de 45º. Si la altura de la torre es de 24m. ¿Cuál fue la distancia que nos acercamos?

a) 6m b) 4m c) 12m d) 8m e) 16m

18. Desde lo alto de un faro de 57 m sobre el nivel del

mar se observa un buque con un ángulo de depresión de 30°. Determina la distancia del buque al faro.

a) 19m b) 193m c) 28,5m

d) 573m e) N.A.

19. Una asta de bandera está clavada verticalmente en lo alto de un edificio, a 12 m de distancia del edificio un observador divisa la punta de la asta y la parte superior del edificio con los ángulos de elevación de 53° y 45° respectivamente. ¿Cuál es la longitud de la asta? a) 4m b) 3m c) 6m d) 2m e) 1m

20. Una persona ubicada a 36 m del pie de una torre

observa su parte más alta con un ángulo de elevación cuya tangente es 7/12. ¿Qué distancia en la misma dirección debe alejarse con respecto al punto anterior para que la tangente del nuevo ángulo de elevación sea 1/4? a) 38m b) 50m c) 40m d) 46m e) 48m

b ejercicios6. la suma de las medidas de dos ángulos es 70g y la diferencia de las mismas es π /...

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