b-1 flujo de campo eléctrico y ley de gauss
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B-1) Flujo de Campo Eléctrico y Ley de Gauss
B-1) Flujo de Campo Eléctrico y Ley de Gauss
Profesor Rodrigo Vergara Rojas
Ingeniero Civil Electrónico
Magister en Ingeniería Electrónica
PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE VALPARAÍSO
INSTITUTO DE FÍSICA
FÍSICA GENERAL ELECTROMAGNETISMO
Módulo B: Ley de GaussMódulo B: Ley de Gauss
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Contenidos a
Comprender
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Competencias a
Desarrollar
�Determinar, a partir del flujo eléctrico, si dentro de una superficie cerrada hay una fuente neta, un sumidero neto o nada.
�Calcular el flujo eléctrico usando la definición Φ= E�A
�Dada una superficie cerrada con una carga encerrada en su interior, calcular dicha carga o el flujo eléctrico a través de la superficie usando la Ley de Gauss.
�Leer, analizar, plantear y resolver problemas relacionados con los temas anteriores.
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Concepto de Flujo
� El flujo (Φ) es una propiedad escalar de cualquier campo vectorial.
� El campo mismo no está fluyendo, sino que es una representación fija del flujo, donde los vectores indican el campo en cada punto.
� La idea es considerar el campo vectorial como un fluido incompresible, estacionario y uniforme.
� Nos resulta conveniente considerar el flujo como una medida del número de líneas de campo que pasan a través de la espira.
Alambre doblado en forma de espira cuadrada de área A colocada en medio de un campo eléctrico uniforme.
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Flujo a través de una Superficie
� Espira puesta en plano perpendicular a la dirección de flujo.
� Las líneas de campo fluyen a través de toda el área encerrada por el alambre
� E: magnitud del campo eléctrico uniforme.
AE ⋅=Φ
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Flujo a través de una Superficie
�Espira puesto paralela a la dirección de flujo.
�No pasan líneas de campo a través de la espira.
0=Φ
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Flujo a través de una Superficie
� Espira puesta en un ángulo θ con respecto a la dirección de flujo.
� El nº de líneas que pasan por la espira inclinada de área A es el mismo que pasarían por una espira perpendicular de área A�cos(θ)
( ) AEcosAE •=⋅⋅=Φ θ8
Flujo a través de un
volumen cerrado
� En este caso hay que distinguir entre flujo positivo (que sale de la superficie) y flujo negativo (que entra a ésta).
� El vector flujo total sobre una superficie cerrada como la de la figura de abajo está dada por
( ) AEcosAE��
•=⋅⋅=Φ θ
: vector cuyo módulo es el área A y cuya dirección es normal a la superficie hacia fuera de la superficie cerrada
A�
: vector de velocidad de campo en la superficie
E�
∑ •=Φn
nn AE
E�
A�
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Flujo a través de un
volumen cerrado:
Ejemplo� Suposiciones:
El área de A1 es A
el campo de velocidad es uniforme (tiene la misma magnitud y dirección en todas partes)
EAAE 111 −=•=Φ
0AE 222 =•=Φ
( ) EAcosEAAE 3333 ==•=Φ θ
0AE 555 =•=Φ
0AE 444 =•=Φ
0EAEA5
1nn =−=Φ=Φ ∑
=
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Flujo a través de un
volumen cerrado
� En general, el flujo total a través de cualquier superficie cerrada va a ser cero, a menos que hayan dentro del volumen:lugares donde se cree nuevo fluido
(fuentes)
lugares donde se pierda el fluido existente (sumideros)
entrasaletotal Φ−Φ=Φ
0total >Φ
0total <Φ
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�Las fuentes de campo “agregan” campo.
�Las líneas que salen de la fuente son más que las que entran
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�Los sumideros de campo “quitan” campo.
�Las líneas que salen del sumidero son menos que las que entran
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Flujo a través de un
volumen cerrado
� Se puede generalizar el análisis anterior para campos no uniformes y superficies de forma y orientación arbitrarias.
� Se divide la superficie en elementos infinitesimales dA, y se integra
∫ •=Φ AdEtotal
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Flujo de Campo Eléctrico
� Se divide la superficie en elementos de área infinitesimales
� En el círculoθ > 90º
E apunta hacia adentro de la superficie
Flujo entrante (sumidero)
ΦE < 0
∑ ∆=Φ AEE
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Flujo de Campo Eléctrico
� Se divide la superficie en elementos de área infinitesimales
� En el círculoθ = 90º
E es perpendicular a la superficie
Flujo nulo
ΦE = 0
∑ ∆=Φ AEE
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Flujo de Campo Eléctrico
� Se divide la superficie en elementos de área infinitesimales
� En el círculoθ < 90º
E apunta hacia afuera de la superficie
Flujo saliente (fuente)
ΦE > 0
∑ ∆=Φ AEE
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Flujo de Campo Eléctrico
� Al llevar a límite diferencial la ecuación anterior se llega a la siguiente integral sobre una superficie cerrada S.
∑ ∆=Φ AEE
∫ •=ΦS
E AdE
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Ley de Gauss: Formulación
� SuposicionesColección de cargas positivas y negativas que crean un campo
eléctrico E en una cierta región del espacio.
Se construye en ese espacio una superficie gaussianaimaginaria, que puede o no encerrar a alguna de las cargas
� El flujo total ΦE a través de esta superficie con la carga neta q encerrada por ella es
0S
E0
qAdEq
εε =•⇒=Φ ∫
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+
-
Superficies gausseanas en
un dipolo eléctrico
� Superficie S1
Campo eléctrico sale de la superficie en todas partes
Flujo positivo en toda la superficie.
Carga neta encerrada positiva que actúa
como fuente de campo.
S1
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+
-
Superficies gausseanas
en un dipolo eléctrico
� Superficie S2
Campo eléctrico entra a la superficie por todas partes
Flujo eléctrico negativo en toda la superficie.
Carga neta encerrada negativa que actúa como
sumidero de campo.
S2
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+
-
Superficies gausseanas
en un dipolo eléctrico
� Superficie S3
Flujo neto cero.
Entran tantas líneas de campo como las que salen.
La superficie no encierra ninguna
carga.
S3
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+
-
Superficies gausseanas
en un dipolo eléctrico
� Superficie S4
Carga neta total cero (cargas negativa y positiva iguales)
Flujo neto cero.
Entran tantas líneas de campo como las que salen.
S4
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Flujo neto de una carga externa
a la superficie gausseana
� Cada línea de flujo que atraviesa una superficie gausseana a partir de una carga exterior a ella entre y sale.
� Su contribución neta al flujo a través de la superficie es cero.
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Superficies gausseanas en
torno a una carga
�En la figura, vemos superficies gausseanasde diversas formas que rodean una carga q.
�El flujo eléctrico neto es el mismo a través de todas las superficies.
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