El autor de este libro es profesor de matemticas y estadstica de la Universidad de Sussex. Su inters por la probabilidad naci a raz de algunos juegos de naipes, y desde entonces ha realizado diversos estudios sobre loteras, cartas y dados. Miembro de la Royal Statistical Society, Haigh acta como portavoz en asuntos de probabilidad, temas combinatorios y loteras. Es autor tambin de Probability Models, que acaba de aparecer en Estados Unidos Como ocurre con la gran mayora de matemticos, su inters por la ruleta y sus sistemas de apuestas es casi nulo, el autor se entretiene muchsimo en temas relacionados con las apuestas deportivas, las quinielas y loteras, lo poco que hay sobre la ruleta es lo que escribir en este archivo de Word. La perspectiva de este juego de la ruleta para los matemticos es siempre negativa, pero en esta serie de archivos que estoy transcribiendo, no solo es bueno ver la parte positiva o esperanzadora, no est de ms que tambin escuchemos la opinin de los matemticos profesionales, para despus poder seguir opinando lo que nos venga en gana. Dado que ya coment que no era mucho lo que el autor dedicaba a la ruleta, complementar la opinin de este autor con otros autores y libros sobre probabilidades y juegos, tambin publicados por expertos en matemticas y probabilidades, entre ellos, Martn Gardner, un autor bastante conocido por sus muchos libros de entretenimientos matemticos. Como suele ser inevitable, uno no puede resistir a veces la tentacin de opinar o aadir algn comentario que ofrece el autor del libro, por ello, en la siguiente coleccin de archivos de Word sobre ruleta, todo lo que yo aada como opinin o comentario personal estar escrito en letra azul, mientras que el texto original del libro se mantendr en negro. Espero que la coleccin de textos que les voy a ofrecer les guste y entretenga. Atentamente: Namor.www.grupojoker.com 1

Este tercer volumen de Word corresponde al siguiente libro: MATEMTICAS Y JUEGOS DE AZAR John Haigh Ttulo original: Taking chances. Winning with probability Edita: Tusquets Editores, S.A. Qu es la probabilidad? Sea lo que sea, no es algo que se pueda ignorar. Un seguro de vida, de vivienda o de automvil dependen de una probabilidad que los asegurados tendrn que asumir, y pagar. Tiene usted que vacunarse contra la gripe este invierno? Deber empezar contraponiendo el riesgo de efectos secundarios o de una posible reaccin a las consecuencias derivadas de no vacunarse. Los miembros de un jurado slo pueden condenar a un acusado cuando no hay ninguna duda razonable de su culpabilidad. En el sistema judicial, uno de los criterios ms adecuados puede basarse en un balance de probabilidades. Una persona decide comprar, o no, participaciones de lotera por un impulso o por diversin, pero tambin pueden entrar en juego factores como creer, aunque sea vagamente, en la posibilidad de ganar una suma considerable. En los juegos de naipes, como el pquer o el bridge, se espera jugar mejor si se logra tener una idea realista de la posibilidad de que otro jugador tenga una determinada mano de cartas. Muchos problemas de decisin, ya sean serios o frvolos, pueden afrontarse en mejores condiciones si se comprende el concepto de probabilidad. En mi opinin, siempre es preferible conocer que ignorar, y una buena manera de llegar a conocer la probabilidad consiste en familiarizarse con una serie de juegos en los que sta desempea un papel relevante. El objetivo de este libro es proporcionar formas de evaluar y, en ocasiones, incrementar la probabilidad de xito. Ser un experto en probabilidad puede no bastar para tomar decisiones acertadas. A veces, lo nico que se consigue saber es en qu nos hemos equivocado. No obstante, por trmino medio, tanto en el juego como en la vida real, el proceso de toma de decisiones mejora si somos capaces de evaluar la probabilidad de los distintos resultados posibles. Este libro no es un tratado sobre la teora de la probabilidad, sinowww.grupojoker.com 2

un conjunto de planteamientos en cuya resolucin intervienen argumentos probabilsticos. Las lenguas poseen una capacidad considerable de decir la misma cosa de distintas formas. Despus de mezclar bien las cartas de una baraja y escoger la primera, por ejemplo, se puede afirmar La probabilidad de que sea una pica es un cuarto. Las siguientes frases tienen exactamente el mismo significado que la anterior: La probabilidad de que no sea una pica es de tres a uno. Es tres veces ms probable que salga una carta que no sea una pica. Existen formas ms elpticas de decir lo mismo: se puede recurrir a las palabras riesgo o posibilidad, pero al margen de su formulacin, qu significa esa premisa? Qu nos induce a hablar de un cuarto y no de cualquier otro valor? Slo en un modelo ideal se puede afirmar que la probabilidad es un cuarto. Mi modelo ideal es una baraja de 52 cartas de composicin idntica, 13 de ellas picas, y tal que todas las combinaciones posibles que se pueden dar despus de barajar las cartas son igualmente probables. Si se cumpliesen estas condiciones, entonces la primera carta sera una pica en una de cada cuatro de esas combinaciones igualmente probables, lo cual explica la eleccin de un cuarto. Me consta que mi modelo no puede ser exactamente correcto a todos los efectos, pero espero que se acerque lo suficiente a la realidad como para no dar una respuesta equivocada. Tampoco se necesit un modelo perfecto del mundo fsico para depositar vehculos espaciales sobre las superficies de la Luna y Marte. El experimento con las cartas puede repetirse tantas veces como se quiera. En este caso, se puede comprobar la validez de una afirmacin acerca de la probabilidad recurriendo a un gran nmero de experimentos del mismo tipo. Si la probabilidad de un suceso es un cuarto, entonces es de esperar que se produzca, por trmino medio, una vez de cada cuatro. De hecho, eso no significa que tiene que producirse exactamente una vez en cada bloque de cuatro repeticiones: puede ocurrir varias veces seguidas y puede que no se produzca en una docena de experimentos. El problema de este enfoque reside en saber qu entendemos por trmino medio y gran nmero. Bastan 100 experimentos? Tal vez 10.000? Desgraciadamente, no hay forma de saber hasta qu punto es grande un gran nmero.www.grupojoker.com 3

Tambin se suele hablar de probabilidad cuando nos referimos a acontecimientos nicos, irrepetibles, como el hecho de que el ndice burstil aumente por lo menos un 10% en el prximo ao o que Brasil gane el prximo campeonato mundial de ftbol. La idea de una frecuencia media a largo plazo carece de importancia cuando es imposible reconstruir las circunstancias reales. Tampoco estamos limitados a ocuparnos del futuro: una afirmacin del tipo La probabilidad de que Shakespeare escribiese Macbeth es del 80% tiene sentido, pues expresa la opinin de un especialista. Considerar la probabilidad como un nivel de certeza permite reconciliar ambos enfoques. Cuanto mayor sea el nivel de certeza de un acontecimiento, mayor ser la probabilidad que se le asocia. Si deseo evaluar mi nivel de certeza de que el ndice burstil aumentar cierta cantidad, puedo preguntar a un experto en bolsa. Tal vez me diga que puedo apostar dos a uno, es decir, que si apuesto una libra y gano, recibir tres libras (la libra que he apostado y otras dos que habr ganado). Mi reaccin a su oferta me da una idea de la probabilidad que puedo asignar al acontecimiento en cuestin. Si tengo la impresin de que apostar en esas condiciones es favorable, estoy asignando una probabilidad superior a un tercio. Si, en cambio, considero que no es una buena apuesta, entonces mi nivel de certeza es inferior a un tercio. Todo el mundo puede hacer este tipo de consideraciones, pero es fcil que las opiniones difieran. La probabilidad es algo muy personal. En el ejemplo de la pica es una baraja de cartas, posiblemente coincidamos en evaluar nuestras probabilidades en un cuarto, porque los modelos de nuestro experimento son prcticamente idnticos. En otras circunstancias, especialmente cuando disponemos de informaciones muy distintas, la evaluacin de la probabilidad puede variar enormemente. El propietario de un caballo de carreras tendr una opinin de las posibilidades de su caballo muy distinta a la de un lector de peridicos o a la del simple aficionado a las carreras de caballos. En los ejemplos en los que intervienen los dados, monedas, cartas, etc., se da un consenso generalizado en cuanto al modelo adecuado y, por tanto, el desacuerdo en las probabilidades es mucho menor. La gente puede tener razones muy distintas para creer que la rueda de una ruleta determinada funciona adecuadamente, pero todos aquellos que coincidan en considerar que sus 37 nmeros son igualmente probables utilizarn el mismo modelo para analizar las posibles apuestas. A lo largo de este libro, mantendremos esta posicin en lo esencial. Sin embargo, en algunos casos, loswww.grupojoker.com 4

expertos pueden manifestar opiniones diferentes. Descubrir si estas diferencias tienen grandes repercusiones en las decisiones que tomamos o las conclusiones que sacamos es una parte crucial de cualquier anlisis. Reflexionar con lgica. Debemos al erudito victoriano Francis Galton un magnfico ejemplo de los peligros de no reflexionar cuidadosamente. Si se lanzan tres monedas iguales al aire, cul es la probabilidad de obtener tres caras o tres cruces? Consideremos un razonamiento carente de sentido como el siguiente: Por lo menos dos de las tres monedas han de dar el mismo resultado, ya sea dos caras o dos cruces. La tercera moneda tiene la misma probabilidad de salir cara o cruz, con lo cual la mitad de las veces saldr como las otras dos y la otra mitad saldr distinta. Por consiguiente, la probabilidad de que las tres sean iguales es de la mitad. Para detectar el error de este razonamiento, se requiere un enfoque lgico. Una forma consiste en colorear las monedas de rojo, azul y verde, y hacer un listado de todos los resultados posibles lanzando las monedas en ese orden. Al distinguir las monedas, se evita el error que Galton nos presenta de forma provocadora. Los ocho posibles resultados son {CCC, CC+, C+C, +CC, C++, +C+, ++C, + + +}, de los que slo dos son iguales. Por tanto, la respuesta es muy distinta. La probabilidad de que las tres monedas caigan del mismo lado es de dos de ocho o, lo que es lo mismo, un cuarto. El error en este razonamiento se encuentra en la expresin la tercera moneda, al comienzo de la segunda frase. Si no estamos distinguiendo las monedas entre s, cmo podemos saber cul de ellas es la tercera? Si en dos de las monedas han salido cara, entonces est claro que la otra es la tercera, pero tambin se deduce que en esa moneda ha salido cruz; no es cierto, por tanto, que tenga la misma probabilidad de salir cara o cruz. Y si las tres monedas salen cara, cualquiera de ellas a la que se considere la tercera tendr que haber salido cara. Por tanto, la probabilidad de salir cara o cruz no es exactamente la misma. Este tipo de pensamiento poco lgico puede costar dinero. Supongamos que Andrs considera que la probabilidad es de un cuarto y que est dispuesto (siendo muy poco generoso) a pagar la apuesta a dos a uno si las tres monedas salen cara o cruz. Espera ganar dinero en la operacin. Si apuesta una libra, supone que ganar en tres de cadawww.grupojoker.com 5

cuatro juegos y perder dos libras en el juego restante. Por trmino medio, obtendr un beneficio de una libra despus de cuatro juegos. En cambio, Bernardo, que se cree el falaz argumento anterior, aceptar gustosamente la apuesta. Creer que la mitad de las veces perder una libra, pero que ganar dos libras las veces restantes y que, por tanto, obtendr un beneficio. Ambos estn dispuestos a jugar de buen grado, pero el anlisis de Bernardo es errneo. Cuanto ms juegue, ms perder y, tarde o temprano, deber reconsiderar la situacin. La regla inviolable. En el vocabulario de la probabilidad aparecen palabras y expresiones como posible, probable, con casi toda seguridad, etc., pero lo que se entiende por muy probable puede variar de un da a otro, y puede diferir de lo que pueda pensar otra persona. Para entendernos, usaremos los nmeros. Las probabilidades se miden en una escala del cero al uno. Las palabras imposible y probabilidad nula significan lo mismo. Por mi parte, asigno probabilidad nula a un viaje atrs en el tiempo hasta la poca de Mozart, pero cada uno puede tener su opinin. Por otra parte, probabilidad uno equivale a seguridad. Considero que es seguro que Elvis Presley est muerto. Tal vez haya quien est dispuesto a apostar que resucitar dentro de diez aos (seguramente haciendo esqu nutico en el lago Ness, perseguido por el monstruo). Sean cuales sean las opiniones de cada cual sobre los acontecimientos reales o hipotticos, carece de sentido hablar de probabilidad fuera del intervalo entre cero y uno. Es una regla inviolable. Sin embargo, debo confesar que algo me ha incomodado en todo esto. En mi primera poca de profesor universitario, propuse en un examen una pregunta inteligente sobre la relacin entre dos probabilidades. Se poda resolver con facilidad, y las respuestas parecan sensatas. Desgraciadamente, una consecuencia de mi solucin era que otras dos probabilidades violaban esa regla! La situacin se aclar gracias a la intervencin de un colega con ms experiencia que yo, que consigui que la pregunta no saliera de su despacho. Las probabilidades se pueden expresar en forma de cocientes, fracciones, decimales o porcentajes comprendidos entre 0% y 100%. Depende de cada cual. Las fracciones aparecen de forma natural si todos los resultados son igualmente probables, comowww.grupojoker.com 6

ocurre cuando se lanza un dado o en los juegos de cartas o al hacer girar una ruleta. En esos casos, los clculos suelen ser ms fciles si se representan las probabilidades en forma de fracciones; en general, es poco conveniente, en una primera fase, transformar las probabilidades en decimales. Si se desea comparar diversas probabilidades, se pueden utilizar tanto los porcentajes como los decimales o las fracciones con un denominador comn.

Algunos mtodos de trabajo. Conviene tener siempre presente dos ideas bsicas. La primera se refiere a los llamados sucesos excluyentes: si es imposible que dos cosas sucedan al mismo tiempo, entonces son excluyentes. Por ejemplo, si se extrae una carta de una baraja, se puede sacar un corazn o un diamante, pero no ambas cosas al mismo tiempo: los sucesos son excluyentes. Puede ser un trbol o un rey: no son excluyentes, pues puede tratarse del rey de trboles. Cuando los sucesos son excluyentes, para obtener la probabilidad de que ocurra al menos uno de ellos basta con sumar las probabilidades individuales. Si la probabilidad de que salga un corazn es un cuarto y la de un diamante es un cuarto, entonces la probabilidad de que salga una carta roja es un medio. La otra idea bsica es la de independencia. Dos sucesos son independientes cuando el conocimiento de que uno se produzca o no se produzca no influye sobre la probabilidad del otro. Por ejemplo, si lanzo al aire una moneda mientras usted lanza otra, los posibles resultados pueden considerarse independientes. Pero si extraigo una carta de una baraja y usted saca una carta de las restantes, los resultados no sern independientes. Por ejemplo, saber que mi carta es un as reduce la proporcin de ases de la baraja y, por tanto, afecta a la probabilidad de sacar un segundo as. Normalmente, resulta evidente cundo dos sucesos pueden considerarse independientes. Segn la definicin ms habitual, cuando dos sucesos son independientes, la probabilidad de que se produzcan ambos es el producto de sus probabilidades individuales. La probabilidad de sacar un seis en el lanzamiento de un dado es 1/6. Si a continuacin hacemos otro lanzamiento independiente, la probabilidad de sacar dos seises es (1/6) x (1/6) = 1/36. Supongamos que cada tres aos algn petrolero viertewww.grupojoker.com 7

al mar una cantidad considerable de petrleo y que cada cuatro aos un determinado equipo gana la copa de ftbol. Es difcil pensar que ambos sucesos interfieran entre s, por lo que parece razonable pensar que son independientes entre s. Por tanto, para un ao cualquiera, la probabilidad de que se produzca un vertido y que aquel equipo concreto gane la copa es (1/3) x (1/4) = 1/12. A veces, puede parecer sorprendente que algunos sucesos sean independientes. Consideremos los dos sucesos siguientes, en los que interviene un dado corriente. Obtener un nmero par, es decir, 2, 4 o 6. Obtener un mltiplo de tres, es decir, 3 o 6. Los sucesos son independientes, incluso en la misma tirada! Por tanto, el hecho de que el resultado sea un nmero par no influye en la probabilidad de que sea un mltiplo de tres, o viceversa. Cada una de las seis caras distintas del dado tiene una probabilidad de 1/6 y, dado que hay tres nmeros pares, la probabilidad total de que salga un nmero par (sumando las tres probabilidades individuales) es 3/6 = 1/2. Del mismo modo, la probabilidad de que salga un mltiplo de tres es 2/6 = 1/3. Al multiplicar ambas probabilidades se obtiene 1/6. Pero la nica manera de que se produzcan ambos sucesos es que salga un seis, cuya probabilidad tambin es 1/6. Por tanto, los sucesos son independientes, ya que la probabilidad de que se produzcan ambos es igual al producto de ambas probabilidades. Consideremos ahora un dado que no sea de seis caras, por ejemplo un tetraedro, cuyos cuatro lados, designados por {1, 2, 3, 4}, tengan la misma probabilidad de salir. En este caso, los dos sucesos no son independientes. Si el resultado es un nmero par, entonces es imposible que sea tambin un mltiplo de tres (y viceversa). Formalmente, si se utiliza la definicin de independencia anterior, la probabilidad de que salga un nmero par sigue siendo 1/2 (dos nmeros pares de los cuatro posibles), pero la probabilidad de obtener un mltiplo de tres pasa a ser , ya que slo uno de los cuatro posibles resultados es mltiplo de tres. Al multiplicar ambas probabilidades se obtiene (1/2) x (1/4) = 1/8. Pero en este dado no es posible que el resultado sea a la vez par y mltiplo de tres, ya que el dado no tiene ningn mltiplo de seis. Por tanto, la probabilidad de que se produzcan ambos es cero y no 1/8. Si utilizamos un dado en forma de diamante de ocho caras, los dos sucesos vuelven a ser independientes! En esta ocasin, los nmeros pares aparecen una de cada doswww.grupojoker.com 8

veces, y los mltiplos de tres una vez de cada cuatro. Para obtener al mismo tiempo un nmero par y un mltiplo de tres, se necesita un mltiplo de seis. En este dado de ocho caras, slo hay un mltiplo de seis, el propio seis, por lo cual la probabilidad de que salga un mltiplo de seis es 1/8. Y dado que (1/2) x (1/4) = 1/8, los sucesos son independientes, de acuerdo con la definicin que hemos adoptado. En este dado octadrico, si el resultado es un mltiplo de tres, ello significa que slo puede haber salido el tres o el seis. As, el resultado ser un nmero par, seis, la mitad de las veces. La probabilidad de obtener un nmero par es un medio, al margen de que el resultado sea un mltiplo de tres. Igualmente, si se nos dice que el resultado es un nmero par, entonces hay cuatro posibilidades {2, 4, 6, 8}, entre las que slo se encuentra un mltiplo de tres. As pues, que el resultado sea un nmero par no influye en la probabilidad de que salga un mltiplo de tres; sta es 1/4, con o sin dicha informacin. En estos ejemplos se han considerado dos sucesos (obtener un nmero par y obtener un mltiplo de tres) que pueden ser o no independientes en funcin del nmero de caras del dado. Cuando se trabaja con probabilidades, es necesario especificar el modelo en su totalidad. Para decidir intuitivamente si dos sucesos son independientes, hay que plantearse la siguiente pregunta: si se sabe con certeza que uno de ellos ha ocurrido, modifica esta situacin la probabilidad de que se produzca el otro? Si la respuesta es negativa, entonces los sucesos son independientes.

Grandes nmeros. Aunque he afirmado que la probabilidad slo expresa el grado de certeza que uno puede tener sobre algo, es til saber qu puede suceder cuando el nmero de repeticiones es muy grande. Veamos el caso del lanzamiento de una moneda: la probabilidad de que salga cara en un lanzamiento es 1/2, pero qu cabe esperar cuando se lanza la moneda miles o millones de veces? Se acercar la proporcin de caras a un medio? En principio, la respuesta es afirmativa, pero vale la pena plantearse el caso con ms detenimiento.www.grupojoker.com 9

Esperar que en un milln de lanzamientos se produzcan 500.000 caras y 500.000 cruces parece poco razonable. Todo cambia, sin embargo, cuando hablamos ms bien de un porcentaje fijo alrededor del valor central. Supongamos que queremos que el nmero de caras est comprendido entre el 49% y el 51% del total. En un experimento consistente en 100 lanzamientos, se trata, por tanto, de que salgan 49, 50 o 51 caras. Si se repite este experimento un gran nmero de veces, se obtendr que la proporcin de caras se sita en ese intervalo estrecho alrededor del 24% de las veces. Vamos a aumentar el tamao del experimento hasta 1.000 lanzamientos. Se trata ahora de que salgan entre 490 y 510 caras, lo cual sucede en un 50% de los casos, Con 10.000 lanzamientos, el intervalo aceptable se sita entre 4.900 y 5.100, y el xito nos acompaa en ms del 95% de los casos. Con un milln de lanzamientos, la familia Romanov recuperar su poder absoluto en Rusia antes de que la proporcin de caras caiga fuera del intervalo entre el 49% y el 51%. El mismo principio es vlido cuando se endurecen las condiciones. Tal vez sea excesivo pedir que la proporcin de caras se site entre el 49,9% y el 50,1% cuando se hacen 1.000 lanzamientos (los nicos resultados posibles son 499, 500 o 501 caras), pero nos quedaramos muy sorprendidos si no tuvisemos xito al hacer 10 millones de lanzamientos. La proporcin de caras puede llegar a ser tan prxima a 1/2 como se quiera. Lo que no cabe esperar es que el nmero de caras sea exactamente igual al de cruces, o que el nmero de caras se encuentre siempre dentro de un intervalo definido por un nmero fijo, por ejemplo 20, alrededor de su media, cuando se lanza al aire una moneda millones de veces. De hecho, se cumplo lo contrario: si se lanza al aire una moneda un gran nmero de veces, la diferencia absoluta entre los nmeros de caras y cruces tender a superar cualquier nmero que se pueda pensar. Lo que se estabiliza es la proporcin de caras. Lo mismo ocurre con probabilidades distintas de 1/2. Al extraer una carta de la baraja bien mezclada, la probabilidad de sacar una pica es un cuarto, es decir, el 25%. Si se repite el experimento un gran nmero de veces, con qu frecuencia saldr una pica entre el 24% y el 26% de las veces? Como ocurre con las monedas, la respuesta depende del nmero de veces que se seleccione una carta. Si slo se realiza diez veces el experimento, nunca tendr una pica entre el 24% y el 26% de las veces (tendran que salir entre 2,4 y 2,6 picas!). Con 100 extracciones, una vez de cada cuatro se sacarn 24, 25 o 26 picas. Con un milln de experimentos, el intervalo eswww.grupojoker.com 10

tan grande (de 240.000 a 260.000) que la probabilidad de quedar fuera de l es comparable con la de que un poni de las Shetland gane la carrera del Grand National. En resumen, supongamos que un experimento se puede repetir independientemente tantas veces como se quiera, y en condiciones idnticas, y que la probabilidad de un determinado suceso sea x. Repitamos el experimento, anotando cada vez la proporcin de casos en que se produce dicho suceso. Dicha proporcin puede oscilar ampliamente al principio, pero lo que interesa es su comportamiento a largo plazo. Consideremos un intervalo fijo, tan pequeo como se quiera, en el que se encuentre la probabilidad x, y observemos si la proporcin en cada caso cae dentro o fuera del intervalo. Sea cual sea el comportamiento inicial, llegar un momento en que la proporcin no slo caer dentro del intervalo, sino que permanecer en l a partir de entonces. Si existe una ley de las medias, acabo de describirla. Se refiere a algo que suceder en el futuro lejano y que no puede inferirse de los sucesos a corto plazo. Algunas veces se utiliza la expresin por la ley de las medias, normalmente con muy poca precisin, para indicar que si los nmeros de caras y cruces terminarn siendo iguales a largo plazo, podran empezar a serlo en el siguiente lanzamiento. Falso. Esta ley no dice nada sobre el siguiente lanzamiento, ni siquiera sobre los cien lanzamientos siguientes. Las frecuencias de caras y cruces se acercarn a sus medias, pero slo a su debido tiempo. Si se puede repetir un experimento de este tipo tantas veces como se desee, conocer el comportamiento a largo plazo nos ayudar a evaluar las probabilidades. Basta con hacer un seguimiento de la proporcin de casos en que se produce un suceso en tantas repeticiones como sea posible. Dicha proporcin puede considerarse como una estimacin de la probabilidad subyacente. En ocasiones, la estimacin ser excesiva o insuficiente, pero ser correcta en media. Sin embargo, cuantas ms repeticiones se hagan, mejor ser la estimacin. Algunos experimentos slo pueden hacerse una vez. La meteorloga puede sealar que la probabilidad de que maana llueva es del 50%. Seguramente se ha basado en el estudio de mapas del tiempo, datos enviados por satlites y otras situaciones meteorolgicas en la misma poca del ao, entre otros elementos. Dispone de algn modelo que le permite hacer predicciones, pero no puede verificar su afirmacin de la misma manera que lo hara para comprobar su presentimiento de que una moneda saldr cara. Maana es un da concreto, en el que llover o no, nunca podr saber siwww.grupojoker.com 11

su estimacin era precisa. Lo que s puede es llevar un registro acumulativo de sus predicciones durante varios aos. Tal vez de l se desprenda que de 100 ocasiones crey que la probabilidad de lluvia era del 50%, que en otras 80 ocasiones la probabilidad era del 25%, y as sucesivamente. Contrastar el tiempo atmosfrico real con sus predicciones agrupadas de esta forma no vara finalmente de repetir el experimento un buen nmero de veces (siempre y cuando su capacidad de hacer previsiones mantenga su coherencia). Aun cuando no es posible analizar su pretensin sobre la probabilidad de que llueva de la misma manera como lo haramos en el caso de experimentos repetibles, siempre es posible emitir juicios sobre la precisin global del conjunto de sus predicciones. Promedios y variabilidad. En la mayora de las ciencias, las ideas ms tiles son tambin las ms sencillas. As ocurre tambin con la probabilidad en el mbito de la estadstica. En un juego, resulta importante conocer las cantidades que se pueden ganar y la probabilidad de hacerlo, pero la cruda realidad de si el juego favorece a uno o a su oponente tiene normalmente ms que ver con un promedio. En muchas situaciones en el campo de la estadstica, es mucho ms til disponer de un promedio que de cualquier otra cantidad. Si slo juega una vez, aunque sea en pocas ocasiones, la variabilidad de los resultados puede desempear un papel mucho ms importante. Pero si el nmero de veces que juega es muy elevado, el promedio se impone. Cuanto ms variable es el resultado, mayor es el nmero de veces que hay que jugar en ms ocasiones para que se imponga el promedio. Comentario: de lo dicho por el autor se desprende el hecho de que precisamente la mayora de sistemas fueron realizados segn las opiniones de quienes los crearon basndose en datos estadsticos, el problema de manejar datos estadsticos con la esperanza de encontrar algo en particular puede fcilmente caer en resultados inexactos o en lo que se suele llamar la falacia del jugador, del cual veremos ms adelante algunos ejemplos. Aprovecho la ocasin del autor al hablar sobre lo que es la probabilidad para indicar que los resultados que pueden dar las estadsticas, sus probabilidades o porcentajes dewww.grupojoker.com 12

acierto, se basan siempre en situaciones tericas, teniendo siempre presente lo que suele suceder cuando se produce una enorme cantidad de jugadas, en ningn momento el clculo de probabilidades nos dar nunca la seguridad de lo que se producir en una sola jugada. Y esto es lo que hacen los sistemistas generalmente, creen que a travs de varios sucesos analizados suponen la probabilidad de acertar la siguiente jugada, ya que segn ellos debera producirse tal o cual condicin. Estas condiciones suelen producirse acertadamente despus de muchas, muchsimas jugadas o intentos (promedios), y nunca, en un tramo corto del juego (variabilidad), y eso es lo malo, porque cuando apostamos lo hacemos siempre sobre un tramo corto de tiempo, los sucesos de probabilidades se cumplen, pero siempre a la larga, ningn sistemista o jugador puede estar constantemente apostando durante diez mil o ms jugadas. En un tramo corto de juego, puede pasar absolutamente cualquier cosa. Y en una jugada nica, el clculo de probabilidades nos indica las opciones posibles, pero en ningn caso puede predecir, cul de esas opciones probables va a tener lugar. Las estadsticas son una aproximacin, pero nunca son una certeza, y en las apuestas dependemos ms de las certezas que de las aproximaciones. Certeza imposible de descubrir a priori, es la ley del azar.

Ruleta La ruleta es, con gran diferencia, el pasatiempo ms popular de los casinos, y supone alrededor del 60% de las apuestas totales. La ruleta estndar del Reino Unido tiene 37 nmeros, del 0 al 36. El cero es de color verde y los dems nmeros son rojos o negros. Cada jugador adquiere la cantidad de fichas de colores que desea. No es posible equivocarse sobre la identidad del ganador, ya que, en una misma mesa, los colores de las fichas de cada participante son distintos. En un mismo casino, en algunas mesas se admiten apuestas bajas y en otras pueden ser ms elevadas. La apuesta mxima permitida suele ser 100 veces la apuesta mnima. cien veces?. Los casinos en el Reino Unido funcionan de forma muy diferente a los del resto del mundo. Todos los casinos ingleses funcionan como club privado. Son crculos muywww.grupojoker.com 13

cerrados donde slo pueden jugar los socios y sus invitados. Para ser socio hay que tener un mnimo de 18 aos; los aspirantes, deben cursar una solicitud y firmar una declaracin comprometindose a observar en el juego las reglas establecidas por el club, al cabo de 48 horas les es concedido el carn de socio (de 2 a 25 libras). En las posturas, cada club establece sus propios lmites (con permiso de la Junta del Juego), por lo que algunos dejan un amplio margen de juego, que pueden ir desde los 50 Peniques a las 50 Libras (para los plenos), por ejemplo, en los casinos de Triangle (Bristol) o Westcliff (Essex) de 50 Peniques a 100 Libras, y en el casino Rendezvous de Londres, donde puede apostarse desde 2 Libras y hasta 1.000 Libras, con lo cual, en una martingala simple, se puede progresionar hasta 14 veces la apuesta inicial, en lugar de las 9 o 10 veces como aqu en Espaa. Las bebidas alcohlicas estn prohibidas en la sala de juego y no hay espectculo en directo. Cada casino, independientemente de su categora, no puede tener ms de dos mquinas tragaperras, la ruleta es el juego ms popular, estilo americano con un solo cero (como en Espaa), le siguen el blackjack, el baccarat (punto banco) y el craps, [informacin proporcionada por Joker y de la Gua del Juego de David Spanier], y despus de esta informacin complementaria, seguimos con John Haigh: Supondremos que los 37 resultados posibles son igualmente probables: los casinos tienen mucho inters en que as sea, pues su margen de beneficios es tan pequeo que cualquier sesgo apreciable puede desviar la ventaja en favor de algn jugador que tenga conocimiento del mismo. En cualquier apuesta que no sea aquellas en que se paga tanto como se ha apostado, lo que por trmino medio recuperan los jugadores son 36 unidades de cada 37 apostadas. Los jugadores pueden hacer apuestas mltiples, dejar pasar su turno, modificar el volumen de sus apuestas o variar su juego de muy diversas formas, pero el promedio permanece constante. De cada 37 unidades apostadas, se pierde una: una ventaja para la casa del 2,7%. En las apuestas a rojo y negro, etc. en las que el premio es igual a la apuesta, el margen de la casa es la mitad de esa cantidad. La razn es la regla segn la cual, cuando sale el cero, la mesa se queda la mitad de la apuesta, y la otra mitad se devuelve al jugador. En ese tipo de apuestas, el margen de la casa se reduce al 1,35%. Para simplificar, con la expresin apostar al rojo nos referiremos a cualquiera dewww.grupojoker.com 14

las seis apuestas en las que el premio es igual a la cantidad apostada (las chances simples). Esta regla significa que cuando un jugador apuesta dos unidades al rojo, lo normal ser que pierda su apuesta o disponga de cuatro unidades. Pero en una de cada 37 veces, cuando salga el cero, se le devolver slo una unidad. Por tanto, hay tres resultados posibles: el jugador recibe cero, una o cuatro unidades. Pero supongamos que se modifica la regla del cero, de forma que cuando salga ste, el jugador que ha apostado al rojo tiene la posibilidad, una de cada cuatro veces, de doblar la apuesta o perderlo todo. Esto se podra lograr fcilmente lanzando al aire dos monedas para ver si salen dos caras o haciendo girar de nuevo la ruleta. La devolucin media que recibe cuando sale el cero es una unidad (tiene una probabilidad de un cuarto de recibir cuatro unidades y de tres cuartos de no recibir nada), de forma que el margen del casino sigue siendo el mismo. Pero en este caso, toda apuesta de dos unidades slo dara lugar a dos resultados posibles: cuatro unidades o nada. Teniendo en cuenta la frecuencia de aparicin del cero, este cambio equivale a que si se apuesta al rojo se gane con una probabilidad de 73/148 y se pierda con una probabilidad de 75/148. Cuando analicemos este tipo de apuestas, actuaremos como si los casinos utilizasen este sistema modificado. De este modo se simplifica considerablemente el anlisis, sin introducir ninguna modificacin sustancial en las conclusiones. Objetivos Pablo necesita 216 libras para comprar un billete de avin que le permita asistir a la final de la Copa de Europa de ftbol. Slo dispone de la mitad de esa cantidad, 108 libras, pero est dispuesto a quedarse sin nada. Para l, 216 libras representa el nirvana, mientras que 215 libras sirven tan poco como una tarjeta caducada. Le puede ser de alguna utilidad el casino? Ante este tipo de problemas, slo cabe un consejo: en los juegos desfavorables, jugar con audacia es bueno, jugar con timidez, malo. Para ayudar realmente a Pablo, empecemos simplificando un poco la situacin y supongamos que, cuando sale el cero, tambin pierden las apuestas en las que el premio es igual a la cantidad apostada. En ese caso, el margen de la casa no vara sea cual sea la apuesta realizada.

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Una apuesta atrevida es jugrselo todo al rojo. En 18 de cada 37 ocasiones, el 48,6% de las veces, Pablo dispondr inmediatamente de 216 libras y podr ver el partido de su equipo en directo. En el caso contrario, perder todo su dinero y tendr que ver el partido por televisin. Existen otros enfoques audaces. Podra dividir su dinero en 18 partes iguales de seis libras y apostar sucesivamente a un nico nmero hasta que se quede sin dinero o acierte. Las apuestas a un solo nmero se pagan a 35:1, con lo que basta ganar una vez. Para determinar su probabilidad de xito calculemos primero la probabilidad de perder en todas las apuestas. Con cualquier apuesta, Pablo pierde 36 veces de cada 37; por tanto, la probabilidad de perder en todas las apuestas es (36/37)18 = 0,61. Con esta estrategia, la probabilidad de que gane por lo menos una de las apuestas es del 39%, una cantidad inferior a la correspondiente a una nica apuesta al rojo. Pablo puede utilizar las apuestas a 35:1 de una manera alternativa. Ya dispone de 108 libras y, si consigue ganar con una apuesta de cuatro libras en su primera apuesta (tres libras no bastan), habr alcanzado su objetivo. De hecho, mientras disponga de 76 libras, una apuesta de cuatro libras puede proporcionarle el dinero que necesita; si dispone de menos, necesitar apostar cinco libras, y con menos de 41 libras, tendr que subir la apuesta hasta seis libras. De esta forma, puede planificar hasta un total de 22 apuestas si es necesario (nueve de cuatro libras, siete de cinco y seis de seis libras); si gana con alguna de ellas, habr logrado su objetivo, pero en el caso contrario su fortuna se habr reducido a una libra. Su ltima oportunidad es apostar esa libra a 5:1 y luego las seis libras a 35:1. Su probabilidad total se eleva slo al 45,7%. En conjunto, esta estrategia es mejor que la de intentar 18 apuestas de seis libras, pero no tan buena como apostar todo de golpe al rojo. Un ltimo intento: colocar toda su fortuna en una apuesta a doble columna. Si gana, dispondr de 162 libras, de las que podr apostar 54 al rojo; si gana entonces, objetivo logrado; si pierde, vuelve a encontrarse con 108 libras y puede volver a empezar de nuevo. Esta estrategia slo permite ganar el 47,3% de las veces. Todas estas alternativas tienen probabilidades inferiores a la inicial, consistente en una nica apuesta cuyo premio sea igual a la cantidad apostada. En realidad, esa apuesta es ms favorable de lo que hemos dicho, debido a la regla del cero en las apuestas al rojo. Teniendo todo en cuenta, Pablo tiene una probabilidad del 49,3% de ver el partido en vivo. Su paso por el casino ser muy breve, pero tampoco tiene interswww.grupojoker.com 16

alguno en ver cmo flucta su fortuna; su planteamiento slo est pendiente en salir volando a presenciar la final. Hemos elegido unos nmeros que facilitasen los clculos, pero un juego audaz implica que se hacen pocas apuestas, las menos posibles. Fijmonos en el caso en que Pablo disponga de 24 libras, en lugar de 108, pero siga deseando tener 216 libras. Su esperanza es pequea, pero tiene alguna posibilidad. Una apuesta audaz consiste en jugrselo todo a un cuadrado; ganar si sale cualquiera de los cuatro nmeros. Su probabilidad es de 4/37, aproximadamente un 11%. Una alternativa consiste en dividir el dinero en dos partes iguales y hacer dos apuestas a caballo a 17:1 en tiradas sucesivas. En esta ocasin, tendr xito el 10,5% de las veces. Ninguna otra apuesta que no sea al rojo supera la apuesta al cuadrado. Si Pablo dispone de 24 libras en un principio, una forma audaz de utilizar la apuesta al rojo es apostarlo todo, cuando ya ha acumulado 108 libras, con la esperanza de doblar la cantidad, o utilizar lo justo para conseguirla cuando ha acumulado ms de 108 libras. Como el margen de la casa es menor en las apuestas al rojo, los resultados de la comparacin con la apuesta al cuadrado son algo ambiguos. Con un capital inicial de 24 libras, Pablo tiene que hacer tantas apuestas que ir perdiendo esa ventaja y la apuesta al cuadrado seguir siendo mejor. Si tuviese 54 libras, estara ms cerca de su objetivo y no existira prcticamente diferencia entre hacer dos apuestas al rojo en dos partidas sucesivas y cubrir nueve veces seguidas un nico nmero con seis libras en cada ocasin. En ambos casos, la probabilidad de cuadruplicar su dinero es algo superior al 24%. Estar ganando cuando deje de jugar? El hermano de Pablo, Miguel, tambin dispone de 108 libras, pero quiere ver el partido por televisin. Si le llega el dinero hasta entonces, se marchar del casino a las seis. El objetivo de su visita es la pura diversin. Cul es la probabilidad de que vaya ganando cuando acabe su visita?. La respuesta depende el nmero y la naturaleza de las apuestas que haga. Supongamos que Miguel se limita a un tipo de apuesta, de una libra cada vez. A modo de comparacin, no utilizar las apuestas al rojo, que son marginalmente ms favorables, sino que apostar por cualquier conjunto de m nmeros, siendo m = 1, 2, 3, 4, 6, 12 o 24 (pleno, caballo, lnea, cuadro, seisena, etc). Sea cual sea su decisin,www.grupojoker.com 17

la prdida media resultante es de 1/37 libras en cada tirada y, si tuviera tiempo de hacer 370 apuesta, su prdida media sera de 10 libras. Si sus apuestas son siempre a un solo nmero, la variabilidad con respecto a este promedio ser mayor que si se decanta por cualquier otra apuesta. La variabilidad ser menor si apuesta a la doble columna de 24 nmeros. Cuanto mayor sea la variabilidad de los resultados, mayor ser la probabilidad de que el resultado real se aleje de la media, ya sea por exceso o por defecto. Como, por trmino medio, pierde en cada jugada, para conseguir ganar al final de su visita es necesario que la variabilidad sea grande. Debera hacer apuestas a 35:1 a un solo nmero. Esta decisin tambin hace aumentar la probabilidad de que sus prdidas sean muy superiores a la media, pero aqu el planteamiento es otro. El objetivo de Miguel es aumentar la probabilidad de ir ganando cuando el reloj marque las seis. Vamos a seguir paso a paso las apuestas de Miguel y a calcular las probabilidades de que vaya ganando a medida que avanza la sesin. Es muy probable que empiece con una serie de prdidas, pero cuando gane, su fortuna aumentar en 35 libras. As pues, de golpe estar ganando, siempre que haya tenido suerte en cualquiera de las 35 primeras tiradas, solo ir perdiendo si en todas ellas ha perdido. Desde una probabilidad de 1/37 despus de la primera tirada, su probabilidad de ir ganando aumenta continuamente hasta la 35 tirada. La probabilidad de que pierda en las 35 35 primeras tiradas es (36/37) = 0,3833, es decir, Miguel tiene una probabilidad del 62% de ir ganando despus de la 35 tirada. Pero para ir ganando despus de 37 tiradas, tendr que haber ganado por lo menos dos veces en ese perodo. En 37 tiradas, la probabilidad de no haber ganado nada es (36/37)37, y la probabilidad de ganar exactamente una vez es (36/37)36. Por tanto, la probabilidad de haber ganado por lo menos dos veces despus de la 37 tirada es 1(36/37)37-(36/37)36, lo cual equivale a una disminucin considerable, hasta el 27%. Pero a parte de ese momento, hasta la 71 tirada, ir ganando si ha ganado por lo menos dos partidas en total, y su probabilidad ir en aumento. Tras exactamente 71 tiradas, su probabilidad se ha situado alrededor del 58%. Como es evidente, necesita haber ganado por lo menos tres veces para ir ganando despus de 73 tiradas. En ese momento, su probabilidad de ir ganando ha vuelto a disminuir, hasta menos del 32%. Desde entonces hasta la 107 tirada, basta con haberwww.grupojoker.com 18

ganado tres veces; la probabilidad aumenta, pero vuelve a disminuir en la 109 tirada. (He tenido mucho cuidado en no mencionar las tiradas nmeros 36, 72, 108, etc, pues en esos casos es posible que Miguel se encuentre exactamente en la misma situacin que el comienzo; entonces la discusin puede centrarse en si ir ganando incluye o no estar a la par. Para evitar esa cuestin semntica, nos limitaremos a nmeros de tiradas que no son mltiplos de 36). La situacin es clara. La probabilidad que tiene Miguel de ir ganando en distintos momentos de la sesin responde a una grfica en dientes de sierra. Tras un continuo aumento, se produce una cada abrupta hacia las 36 tiradas. Vuelve a aumentar de nuevo, pero no exactamente hasta el mismo nivel, con otra cada alrededor de las 72 tiradas, seguida de un aumento anlogo durante otras 35 tiradas, con una nueva cada a ambos lados de la 108 tirada, y as sucesivamente. Si se construyese una sierra segn ese modelo, resultara muy poco eficaz, pues cada mximo sucesivo, justo antes de la cada abrupta, es algo menor que el anterior. Cuando dan las seis, la probabilidad de que Miguel vaya ganando depende en gran medida del lugar en el ciclo de 36 tiradas en que el destino le haya colocado. Si el nmero total de tiradas es algo menor que un mltiplo de 36, la probabilidad de que vaya ganando cuando termine la sesin es bastante elevada, pero si ese nmero es algo mayor que un mltiplo de 36, la probabilidad ser bastante pequea. A un ritmo de 90 tiradas por hora (toma castaa, menudo crupier!), Miguel puede haber hecho unas 180 apuestas en dos horas. Para ir ganando despus de 179 tiradas, basta haber ganado cinco veces, por lo menos, siendo la probabilidad de ese suceso del 53%. Pero para ir ganando despus de 181 tiradas, se necesita haber ganado por lo menos seis veces, siendo la probabilidad correspondiente de slo el 37%. Si su nico objetivo fuese tener la probabilidad ms alta de terminar la sesin con ganancias despus de una serie de apuestas a un solo nmero, Miguel debera olvidarse del reloj y prever una sesin de 35 tiradas como mximo (basta con ganar una partida), con una probabilidad del 62%. Sin embargo, es muy posible que quiera quedarse ms tiempo, tal vez para poder completar 180 tiradas. En este caso, para que su probabilidad sea mxima, debera pensar en 179 apuestas. En realidad, estos clculos contienen una pequea inconsistencia, ya que inicialmente dijimos que el capital con que contaba Miguel era de 108 libras. Supusimos que erawww.grupojoker.com 19

capaz de hacer 180 apuestas, pero puede darse la situacin de que sus prdidas iniciales sean tan cuantiosas que agote su capital antes del instante en que ha decidido poner fin a la sesin. La limitacin de su capital reduce las probabilidades citadas en unos 0,5 puntos porcentuales. Pero se mantiene la diferencia entre finalizar la sesin despus de 179 o de 181 tiradas, y si Miguel dispone de 181 libras, todo encaja. Por otra parte, si Miguel slo tuviese 54 libras al inicio de la sesin, tendra una probabilidad de casi un cuarto de perderlo todo antes de ganar algo... y los casinos (todava) no prestan dinero. En lugar de apostar a un solo nmero, Miguel podra tentar la suerte y apostar a bloques de 2, 3, 4, 6 o 12 nmeros. Vuelve a producirse una grfica de dientes de sierra, pero en este caso las cadas se producen alrededor de los mltiplos de 18, 12, 9, 6 o 3 tiradas, y no alrededor de los mltiplos de 36. Los resultados son menos contrastados y las cadas menos pronunciadas. Supongamos que se concentra apostando 11:1 a una transversal, una fila de tres nmeros. Despus de 179 o 181 tiradas, las probabilidades de ir ganando son del 49% y del 40%, respectivamente. Si apuesta a 2:1 a una columna de 12 nmeros, las cifras seran del 40,5% y del 38,5%. Podra Miguel utilizar las apuestas al rojo, al tener un margen de la casa menor, para incrementar la probabilidad de terminar la sesin siendo an ms rico? No, excepto si est dispuesto a apostar en miles de tiradas. En una nica sesin, en la que como mucho podr hacer varios centenares de apuestas, es ms probable que vaya ganando si se limita a apostar a 35:1. Despus de 179 apuestas, ir ganando el 53% de las veces; con cualquier nmero de apuestas al rojo, su probabilidad de ir ganando nunca superar el 50%. Si slo apuesta al rojo, su probabilidad despus de 35 tiradas es del 47%, y despus de 179 apuestas del 44%. Por trmino medio, Miguel mejorar apostando al rojo, pero los resultados no son lo suficientemente variables como para proporcionarle una buena posibilidad de terminar la sesin siendo ms rico. Ilusiones Si los casinos admitiesen apuestas ilimitadas y prestasen dinero, existira una forma segura de obtener algn tipo de beneficio. Todo lo que uno tiene que hacer es apostar repetidas veces al rojo y doblar la apuesta cada vez. Cuando salga rojo y gane, vuelva a empezar. Puede repetir la secuencia varias veces. Independientemente de las prdidas al comienzo, la cantidad que recibir la primera vez que gane siempre ser una unidad mayor que la que tena al comienzo.www.grupojoker.com 20

Sin embargo, este sistema tiene dos fallos que lo hacen inviable: Los casinos no conceden crdito, y si usted se embarca en esa lnea, tendr que disponer de suficiente capacidad econmica para apostar lo que haga falta para poder seguir. Incluso el ms rico de los jugadores puede alcanzar el lmite fijado por el casino antes de que le sonra la fortuna. Supongamos que el lmite es de 100 unidades y que Jorge se embarca en el sistema. Su objetivo es ganar una unidad y marcharse. Su probabilidad de xito es considerable: ganar una unidad si en cualquiera de las siete primeras partidas sale rojo. El lmite fijado por el casino slo interviene cuando en ninguna de ellas sale rojo, siendo la probabilidad de ese suceso (19/37)7, una cantidad inferior a una centsima. Como el cero tambin puede haber salido en una de esas siete apuestas, sus posibilidades mejoran y la probabilidad de ganar supera el 99%. Pero para mitigar el posible entusiasmo ante una estrategia tan favorable, conviene comparar ese beneficio de una unidad con la prdida de 127 unidades en apuestas de 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 cuando todas las apuestas pierden. De promedio, usted pierde. La combinacin de un margen de la casa en cualquier apuesta y un lmite impuesto por la casa garantiza que cualquier secuencia de apuestas, ya sea una nica tirada o en varias, supone una desventaja para el apostante. No puede existir un sistema en el que el apostante tenga ventaja, a menos que la ruleta presente algn desperfecto. Lo siento. Despus de leer la historia de Graham Greene El que pierde gana, se puede tener la idea de que un matemtico con suficiente experiencia es capaz de construir un sistema que permita ganar siempre, pero no es cierto. Las matemticas demuestran precisamente lo contrario: ese sistema no existe. (En realidad el matemtico de Greene no era sino un ayudante de contable que se presentaba como matemtico, pero incluso los contables saben que es imposible). Sobre lo anterior, todos los matemticos (y contables) tienen la misma opinin, por lo que extraigo aqu tambin la opinin de Richard A. Epstein: El nmero de sistemas garantizados de apuesta, la proliferacin de mitos y falacias envueltas en esos sistemas y la innumerable cantidad de personas que propagan, veneran, protegen, y juran por esos sistemas conforman una legin. Los sistemas de apuestas tienen en elwww.grupojoker.com 21

fondo un paralelismo con los que proponen las mquinas de movimiento perpetuo que constantemente se dan golpes en la cabeza contra la segunda ley de la termodinmica.

Cmo perder. La mayora de los jugadores de un casino consiguen perder con facilidad y no necesitan mis consejos. De hecho, es poco frecuente interesarse por los trucos que ayudan a perder. Cualquiera que empiece su sesin de juego con la equivocada idea de abandonar cuando vaya ganando o haya alcanzado algn objetivo positivo, tendr que afrontar el dilema planteado en la seccin anterior. En este sentido, las experiencias de Dostoievski (vase ms adelante) pueden servir de advertencia. Para garantizar el xito, tal vez se necesite ms dinero del que se dispone o una apuesta ms elevada de lo que permite la casa. Sea pesimista: decida desde el comienzo que abandonar el juego cuando haya logrado perder una cantidad previamente estipulada. De vez en cuando, la suerte puede no ayudarle a lograr su objetivo. Ninguna ley le impide cambiar de opinin si encuentra que perder es demasiado difcil. La ventaja de jugar hasta perder una cantidad determinada es que las prdidas tienen un lmite y queda descartada la posibilidad de arruinarse. Una forma muy conveniente de seguir esa estrategia es el llamado sistema (inverso) de Labouchere. Para perder, por ejemplo, 45 unidades, escriba los nmeros del 1 al 9 en una columna (suman 45). Sume entonces el primero y el ltimo (el 1 y el 9) para saber cunto tiene que apostar la primera vez; las diez unidades se apuestan al rojo. Si no gana, elimine los dos nmeros de la lista y vuelva a sumar el primero y el ltimo (el 2 y el 8). Pero si gana en la primera apuesta, no elimine ningn nmero y escriba sus ganancias, diez, en la parte inferior. Los nuevos nmeros situados en primer y ltimo lugar son 1 y 10; su siguiente apuesta ser de 11 unidades al rojo (o al negro, por supuesto). Contine de esta guisa, eliminando un nmero cuando pierda y escribiendo un nmero cuando gane. Apueste una cantidad igual a la suma de los nmeros situados en primera y ltima posicin. Si se queda con un solo nmero, sa es su apuesta. Una vez eliminados todos los nmeros, los iniciales y los que ha ido aadiendo, ya se le puede felicitar. Ha conseguido su propsito: ha perdido 45 unidades.www.grupojoker.com 22

Pero en sus esfuerzos por perder su capital es posible, slo posible, que encuentre que no tiene demasiado xito y que no pierde demasiado a menudo. Tal vez su sistema requiera una apuesta ms elevada de lo que la casa permite! La nica forma de que pase esto es cuando ya ha ganado mucho dinero. De todos modos, nadie ha firmado un compromiso para seguir jugando eternamente, y puede dejar de jugar en cualquier momento. El sistema garantiza una prdida eventual de 45, pero no ms. Controle su montn de fichas, predispngase a cambiar de opinin y deje de jugar mientras vaya ganando, o cuando llegue la hora de cenar. Como es evidente, no es necesario utilizar los nmeros del 1 al 9, y su suma, 45, sino cualquier cantidad (positiva) que se ajuste a su bolsillo. Resultara temerario utilizar este sistema en sentido contrario: pretender dejar de jugar cuando haya alcanzado su objetivo, a base de modificar las reglas de escribir y eliminar nmeros. Tendra mucha suerte si le saliese bien, pero lo ms frecuente es que fuese un fracaso total.

El recorrido del borracho o la conservacin de la fortuna. Seguir los avatares de la fortuna de un jugador en un casino guarda cierto paralelismo con observar la marcha de un borracho por una calle estrecha. Nuestro protagonista est tan ebrio que el camino que va a seguir no depende de los pasos que ya haya dado. Su recorrido finalizar o bien desastrosamente en un canal al cabo de la calle o bien en la seguridad del hogar. El desastre o la seguridad dependen del azar. CANAL BAR HOGAR

Consideremos el caso de que es igualmente probable que vaya a la izquierda o a la derecha al dar un paso cualquiera, y que el bar se encuentra a 50 pasos del canal y 150 de su hogar.

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El recorrido del borracho: Consideremos que todos los pasos tienen la misma longitud y que es igualmente probable que vaya a la izquierda o a la derecha. La calle mide L pasos; el canal se encuentra en la posicin 0 y la casa en la posicin L. El borracho inicia su recorrido en el bar, a N pasos del canal y L n pasos de su casa. Cuando se encuentra a k pasos del canal, sea p(k) la probabilidad de que llegue a casa antes que al canal. Si se encuentra en el canal, donde k = 0, es imposible que llegue antes a su casa, con lo cual p(0) = 0. Si se encuentra en casa, donde k = L, es seguro que llega primero a casa, con lo cual p(L) = l. Consideremos ahora un punto intermedio, k, desde el que el borracho da un paso; la mitad de las veces se desplazar hasta k + 1 y la otra mitad hasta k 1. Por tanto,

(*) Esta expresin es vlida para todo valor de k intermedio, y da lugar al mismo nmero de ecuaciones que de incgnitas. Una expresin del tipo (*) se llama ecuacin diferencial y existen mtodos harto conocidos para resolverlas. Prescindiendo de los detalles, la respuesta es p(k) = k/L (puede comprobarse muy fcilmente). As pues, si empieza en una posicin n, la probabilidad de alcanzar la seguridad es n/L. El razonamiento para determinar el nmero medio de pasos en todo el recorrido es muy similar. Sea T(k) dicho nmero medio, empezando en el punto k. Si se empieza en cualquiera de los extremos, el recorrido ya ha finalizado y, por tanto, T(0) y T(L) son ambos nulos. La expresin anloga a (*), que se obtiene haciendo un paso desde la posicin intermedia K, es

El recuadro anterior nos lleva a dos conclusiones:

(**)

Las probabilidades de llegar primero al canal o primero a casa son 3/4 y 1/4, respectivamente. Dado que su casa est tres veces ms lejos, la probabilidad asociada es tres veces ms pequea. Por trmino medio, da 50 x 150 = 7.500 pasos antes de finalizar el recorrido. Para este tipo de clculo, basta con multiplicar las respectivas distancias entre s.

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Si en la ruleta no existiese margen para la casa, entonces las apuestas de una unidad como la que hemos analizado se ajustaran exactamente a este anlisis. La posicin del bar es el capital inicial, el canal es la bancarrota y el hogar es el momento de dejar de jugar. Sin el margen que se lleva la casa, usted ganar la mitad de sus apuesta y perder la otra mitad. La longitud media del recorrido es el nmero medio de apuestas hasta que se decide su suerte. Cuanto ms ambicioso sea el objetivo, menor ser la probabilidad de alcanzarlo antes de arruinarse. sta no slo disminuye, sino que se reduce hasta anularse. Por tanto, si no fija ningn lmite superior para abandonar el juego, con toda seguridad llegar un momento en que se arruinar, aun cuando no exista un margen de la casa. Qu sucede si se dobla la cantidad apostada? En esta situacin, su capital inicial queda reducido a la mitad, pero tambin el objetivo, y el cociente entre ambos sigue siendo el mismo. Es decir, doblar la apuesta no modifica en absoluto el proyecto de alcanzar un objetivo determinado. Evidentemente, el juego tendr tendencia a ser mucho ms corto. En esta situacin, tanto el capital inicial como la cantidad que se desea ganar son la mitad que antes y, por consiguiente, el juego durar, de media, una cuarta parte del anterior. Los casinos no ofrecen apuestas justas, pero usted y un amigo podran elaborar un juego justo a base de lanzar unas monedas al aire. Supongamos que usted dispone de una libra y su amigo de 1.000 libras. Supongamos tambin que en cada lanzamiento se apuesta una libra y que el juego finaliza cuando uno de los dos se arruina. Usted desea incrementar su fortuna de una libra a 1.001 libras; la probabilidad de conseguirlo es algo reducida, a/1.001. La duracin media del juego se obtiene multiplicando las apuestas iniciales. Es decir, el juego dura, por trmino medio: 1 x 1.000 = 1.000 lanzamientos, un nmero sorprendentemente elevado. Como la mitad de los juegos finalizan despus del primer lanzamiento, ese promedio slo puede ser de 1.000 si existiese una posibilidad real a muy largo plazo de incrementar su fortuna. Este ejemplo indica que la duracin media de un juego puede no ser un buen indicador de su duracin tpica. A pesar de que los clculos anteriores se basan en un juego poco realista, pueden darnos una buena idea de qu ocurre en un casino real. En un juego justo, la probabilidad de aumentar el capital en un factor diez antes de arruinarse es unwww.grupojoker.com 25

dcimo, independientemente de cmo se apueste. Cuando hay un margen de la casa, la probabilidad ser inferior a un dcimo, independientemente de lo que haga el jugador. Volvamos al prudente jugador que apuesta una unidad al rojo, con la esperanza de alcanzar algn objetivo antes de arruinarse. Esta situacin corresponde a la de un borracho que se escora un poco a la izquierda, con la esperanza de llegar primero a su casa, a pesar de su sesgo hacia el canal. El razonamiento del recuadro anterior puede modificarse sustituyendo las probabilidades iguales de desplazarse hacia la izquierdaUn casino real: Antes dijimos que al apostar al rojo era til modificar la regla del cero, de tal forma que las probabilidades de ganar o perder la apuesta eran 73/148 y 75/148. En algunos pases, cero es simplemente una apuesta perdida y, por tanto, estas probabilidades se convierten en 18/37 y

y hacia la derecha por cantidades que reflejen ese sesgo. Las dos ecuaciones que corresponden a (*) y (**) se resuelven de la misma manera y las respuestas finales son las del siguiente recuadro.Un anlisis vlido para cualquier casino se basara en lo siguiente: sea p la probabilidad de ganar la apuesta y, por tanto, sea 1 p = q la probabilidad de perderla. Las cantidades clave son la razn y la diferencia de estos dos valores. Sean ahora x = q/p e y = q p. Como las apuestas siempre favorecen a la casa, q es mayor que p y, por tanto, x es mayor que 1 e y es mayor que cero. Con la misma notacin que en el recuadro anterior, y modificando (*) y (**) como corresponde, las dos respuestas pueden escribirse: La probabilidad de alcanzar la seguridad es y el nmero medio de partida es x 1 L x 1n

La mejor manera de comprender estas expresiones es asignndoles algunos valores determinados. Para los casinos del Reino Unido, tomaremos p = 73/148 y q = 75/148, de forma que x = 75/73 e y = 1/74. Si a nuestro aficionado al ftbol, Pablo, se le hubiese aconsejado mal y se le hubiera recomendado apostar una unidad al rojo en partidas sucesivas hasta convertir su capital inicial en 216 libras, la tabla siguiente mostrara sus escasas probabilidades de xito. En esta tabla, donde L = 216, se dan los resultados para distintos valores del capital inicial.www.grupojoker.com 26

Probabilidad de alcanzar el objetivo de 216 unidades y duracin media correspondiente del juego, cuando se hacen apuestas sucesivas de una unidad al rojo para distintos valores del capital inicial. Capital inicial Probabilidad de xito (%) Duracin media (partidas) 54 90 108 144 162 180 198 1 3 5 14 23 38 61 3.800 6.200 7.200 8.400 8.300 7.300 4.850

La tabla muestra los resultados de un juego timorato, incluso en las apuestas al rojo, en las que la probabilidad del jugador es mayor. Pablo reducira su probabilidad de doblar sus 108 libras iniciales del 49% (juego audaz) al 5%. El nico consuelo es que obliga al casino a emplearse a fondo para sacar beneficios, pues tendra que trabajar, por trmino medio, durante 7.200 tiradas. El juego timorato le permite a un jugador pasar ms tiempo jugando a la ruleta, pero el margen de la casa devora el capital de los jugadores con la misma certeza que las mareas frenan la rotacin de la Tierra... y mucho ms deprisa.

Un poco de fsica. Cuando va girando la ruleta y el crupier ha lanzado ya la bola de marfil en la direccin opuesta, las leyes de la fsica determinan dnde se parar la bola. Algunos jugadores han intentado utilizar estas observaciones para calcular, con la ayuda de ordenadores ocultos, las velocidades de la bola y la ruleta e intentar determinar en qu punto se parar la bola sobre la ruleta. Su enfoque consiste en dividir la ruleta en segmentos, utilizar los clculos para predecir el segmento ms probable y cubrir todos los nmeros correspondientes con apuestas a un solo nmero. Por ejemplo, si el ordenador indica que el 10 es el destino ms probable, habra que apostar las mismas cantidades a los nmeros 24, 5, 10, 23 y 8, por ejemplo. Esa apuesta podra llamarse diez y sus cuatro vecinos. Los casinos no permiten que los jugadores dispongan de ordenadores, y el crupier grita No va ms antes de que la bola haya disminuido en exceso su velocidad. El margen de la casa es tan reducido que quedara fcilmente contrarrestado si algn jugador fuese capaz de identificar algunos nmeros con mayor probabilidad quewww.grupojoker.com 27

otros. Supongamos, por ejemplo, que un segmento de cuatro nmeros como {0, 32, 15, 19} tuviese slo la mitad de su probabilidad habitual. Este hecho ya basta para que un conjunto de apuestas de un solo nmero a cada uno de los otros 33 nmeros suponga un margen del 3,1% para el apostante. No hay que subestimar la complejidad de los clculos que intervienen en estos problemas de fsica. La obra de Thomas Bass The Newtonian Casino marca el camino en estos temas. Se necesitara una secuencia de lecturas para poder determinar las velocidades de rotacin de la ruleta y de la bola. Hay que tener en cuenta los pequeos obstculos que encuentra la bola mientras se desliza por el cilindro interno. La teora del caos indica que incluso unas modificaciones muy pequeas de las velocidades iniciales de la ruleta y la bola pueden tener grandes repercusiones en el resultado. Pero el jugador no necesita una respuesta precisa. Le basta con una indicacin general sobre el lugar ms o menos probable, y modificar as el juego en su favor. Los dems requisitos necesarios son disponer del capital suficiente para hacer frente a una mala racha y tener grandes dosis de paciencia. No obstante, si desea seguir siendo aceptado en el casino, hay que atenerse a las reglas y no intentar ocultar nada. Los estudiantes de The Newtonian Casino escondan sus ordenadores en zapatos especiales, y lograban calcular las velocidades de la ruleta y las bolas tecleando los datos con los dedos de los pies. Tuvieron algn xito, pero no se hicieron ricos. Sus mtodos fueron prohibidos, pero se divirtieron mucho. Parece increble la tcnica y la inventiva humana, pues parece un texto ms propio de las pelculas de James Bond que de la realidad, pero la realidad misma a veces supera a la ficcin, este mtodo descrito y actualmente poco empleado, tiene todava algunos practicantes, seguramente heredado de la tecnologa de los U.S.A., precisamente en el 2005 se captur a un grupo de rumanos en el casino de Madrid, los cuales aplicaban precisamente la tcnica descrita por el autor, con zapatos especiales que enviaban la informacin a un porttil, que es como mas o menos fue descrito en la noticia publicada en los peridicos despus de desmantelar a dicha organizacin. Desde el otro lado. Los casinos comerciales son angelitos si se les compara con el juego practicado en Adn en 1930 y descrito por Evelyn Waugh en Remote People. La banca dispona sobre una mesa cinco cartas boca abajo y los jugadores apostaban un ana a alguna dewww.grupojoker.com 28

las cartas. Cuando haba apuestas sobre todas las cartas, la banca anunciaba el vecedor y le pagaba la misma cantidad que haba apostado! Todos los premios garantizaban a la banca un margen del 60%. El sueo de un propietario de casino consiste en que varios jugadores distribuyan uniformemente sus apuestas sobre el tapete y apuesten las mismas cantidades a todos los nmeros. La casa se queda el 2,7% de todas las apuestas y redistribuye el resto a los apostantes, con la esperanza de que vuelvan a jugar. Su pesadilla es aquel jugador que apuesta mucho a unos pocos nmeros y que puede hacer perder los beneficios de un mes en unas pocas tiradas afortunadas. Los promedios se imponen, a la larga, pero un casino necesita disponer de suficiente dinero para poder hacer frente a algn revs momentneo. El Consejo del Juego insiste en que los casinos depositen cantidades importantes en una reserva, en funcin de la apuesta mxima aceptada. Este fondo de salvaguardia slo se utiliza en caso de emergencia, ya que se supone que los casinos pagan de inmediato a los jugadores. El establecimiento de una apuesta mxima impone un lmite a las posibles prdidas del casino. En algunas ocasiones se han confabulado diversos jugadores y cada uno de ellos ha apostado el mximo permitido al mismo nmero, pero las normas de los casinos prohben explcitamente actuar de este modo. De la misma manera que las compaas de seguros se reservan el derecho de retener el pago de una posible indemnizacin a aquellos clientes que ocultan informacin relevante, los casinos esperan que los jugadores acten con honestidad. No se permiten las situaciones de connivencia ni los juegos malabares consistentes en ajustar la apuesta despus de conocer el nmero ganador. Un casino poco cuidadoso, con una ruleta que no estuviese en perfectas condiciones, correra el riesgo de generar un sesgo de resultados que alguien podra explotar. Las ruedas de las ruletas estn sujetas a unas especificaciones muy estrictas, se engrasan peridicamente y se trasladan a menudo a otras mesas para que los resultados de cualquier mesa sean completamente imposibles de predecir. Los casinos no llevan un registro de las secuencias de los nmeros que salen, de forma que si considera dicha informacin le puede ayudar a mejorar su juego, tendr que hacer sus propias observaciones o comprar una de las listas no oficiales.

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Los crupiers son unos expertos en aritmtica. Cuando aparece el nmero ganador, agrupan todas las apuestas que han perdido y las empujan hacia una rampa donde se seleccionan automticamente las fichas por colores. Supongamos que el nmero ganador es el 15 y que un jugador ha colocado apuestas de una unidad en dicho nmero, la transversal adecuada y dos cuadrados tambin adecuados; el crupier sabe que el total que hay que pagar son 62 fichas, adems de las apuestas, pero suma 35, 11, 8 y 8 para cerciorarse de su instinto. De la misma manera que los jugadores de dados no necesitan detenerse para identificar los dobles, los crupieres ven tan a menudo las mismas situaciones que el nmero de fichas les viene a la cabeza inmediatamente. A pesar de que las apuestas al rojo ofrecen mejor rendimiento econmico que las dems, no son especialmente populares. Desde un punto de vista puramente aritmtico, la regla del cero hace que una apuesta de 18 unidades al rojo sea mejor que 18 apuestas a un solo nmero. Pero fijmonos en la psicologa: si gana una apuesta de 18 al rojo, usted conserva esa pila de fichas tal vez dejndola en el mismo sitio para la siguiente tirada- y la banca le acerca una pila del mismo tamao. Pero cuando gana una de las apuestas a un solo nmero, la banca le acerca una pila de 35 fichas (mientras que otras 17 fichas perdidas se van, sin darnos casi cuenta, por la rampa). Si los casinos tuviesen ms posibilidades de hacer publicidad, podran basarla en una informacin como la siguiente. Un jugador podra empezar su recorrido en un casino que admite apuestas de una libra, para pasar a otros ms salubres, dispuestos a pagar premios de hasta dos millones de libras. Si coloca las apuestas acumuladas en el nmero siguiente, cuatro apuestas ganadoras a un solo nmero transformaran una libra en 1,7 millones de libras. La probabilidad es pequea, una entre 1,9 millones, pero es siete veces ms favorable que la que se tiene al compartir un premio gordo de la Lotera Nacional que haya sido agraciado con dos millones de libras.

Fidor Dostoievski.

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Dostoievski era un jugador compulsivo, habitual de la ruleta en las ciudades de veraneo alemanas entre 1863 y 1871. En 1866 escribi El jugador, basndose en gran parte en su propia experiencia. En sus cartas de ese perodo explic que el secreto para ganar no cosiste en entusiasmarse, sino en mantener fra la cabeza. Eso es, y si se sigue esa regla es imposible perder, slo se puede ganar. Repiti esa idea en diversas ocasiones; en mayo de 1867, en una carta escrita desde Hamburgo, su conviccin era total: Si uno es prudente, es decir, si uno acta framente, como si fuese de mrmol y dispusiera de una cautela inhumana, entonces es seguro que puede ganar tanto como desee. Pero es necesario jugar durante mucho tiempo, durante muchos das, y contentarse con poco si la suerte no le acompaa (...). Todo aquel que juega sin calcular, confiando en la suerte, es un loco (...). Si uno apuesta poco cada vez, cada da, es imposible no ganar. Es seguro, seguro. Con ese convencimiento, consigui arruinarse muchas veces, pero era capaz de racionalizar sus prdidas y achacarlas a un exceso de entusiasmo. En una visita a Wiesbaden, jug a la ruleta con el propsito de ganar mil francos que le permitiesen resistir durante los tres meses siguientes: no sorprender saber que perdi todo su capital en cinco das. Al final de su poca de jugador, en abril de 1871, ya no estaba tan seguro de ganar inevitablemente si segua un sistema. Parece ser que finalmente comprendi que si lo que buscaba era ganar determinadas cantidades de dinero para pagar sus deudas o garantizar su supervivencia, era mucho ms probable que encontrase la ruina. Nunca se sabr hasta qu punto su renuncia al juego se debi a su propia voluntad o al hecho de que un decreto oficial clausur todos los casinos alemanes, obligando al escritor a regresar a San Petersburgo. En El jugador, Dostoievski describe con acierto el funcionamiento de la ruleta, pero contiene un pequeo error en el captulo 14. El lter ego del autor, Alexis, describe una apuesta a la docena de nmeros centrales, pero curiosamente sostiene que esa apuesta se paga a tres a uno, pero la probabilidad es de dos a uno. Todava est por construirse el casino que pague tres a uno una apuesta que gana 12 veces de cada 37! Alexis contina diciendo que la apuesta que acaba de ganar ha transformado sus 80 friedrichs dor en 200, lo cual es coherente con un pago de tres por cada dos. Se desconoce la explicacin de dicho error, pues el pago de 12 nmeros, o la columna central, en cualquier casino es de 2 a 1.

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Aqu termina el tema de la ruleta, a partir de este punto el autor sigue con el pquer y el bacar, para seguir en los siguientes captulos con loteras y apuestas deportivas. El autor presenta tambin el siguiente problema para que el lector lo resuelva: Supongamos que dispone de 20 libras para jugar en el casino y desea transformarlas en 100 libras con la mxima probabilidad. Describa exactamente en qu consistir su jugada atrevida, si se limita a apostar a rojo. qu probabilidad tiene de ganar?. Compare esta estrategia con la consistente en apostar 16 libras a un bloque de seis nmeros (que se pagan 5 a 1) y, en caso de perder, apostar las 4 libras restantes al cero. En el apartado de las soluciones, encontramos la siguiente respuesta: La jugada atrevida consiste en lo siguiente: cuando se dispone de 50 libras o menos, hay que apostarlo todo; con ms de 50 libras, apueste lo suficiente para conseguir 100 libras. Si empieza con 20 libras, sea p = 73/148 la probabilidad de ganar apostando al rojo. La probabilidad de ganar dos veces seguidas y conseguir 80 2 libras es p ; entonces puede ganar, o perder y luego ganar, o perder dos veces y volver a encontrarse en la situacin inicial. Sea x la probabilidad de conseguir el objetivo. Entonces, x = p2 [ p + (1 p ) p + (1 p )2 X ] y, por tanto, x [ 1 p2 (1 p )2 ] = p3 (2 p ) con lo cual x = 0,19286..., una cantidad muy parecida a x = 0,2 que es la probabilidad de ganar en un juego justo. Si apuesta 16 libras a 5:1, ganar exactamente 100 libras. La probabilidad de ganar es 6/37. Si pierde (probabilidad 31/37), la apuesta de cuatro libras al cero tiene una probabilidad de 1/37 de hacer que usted consiga 144 libras. Por consiguiente, la probabilidad global es 0,1848. S, se puede mejorar. Se podran apostar tres libras al cero, si se pierde la primera apuesta, lo cual permite alcanzar el objetivo cuando se gana, y queda una libra cuando se pierde. Con esta ltima libra, apueste a tres nmeros (apuesta a 11:1) y luego a cuatro nmeros (8:1) si ha ganado en la primera apuesta. Con esto, consigue otros (3/37) x (4/37) = 0,0088, y la probabilidad total se eleva a 0,1936, algo mejor que apostar al rojo.www.grupojoker.com 32

Aqu finaliza todo lo referente a la ruleta que cuenta el autor John Haigh, incluyo en este momento, como cierre, lo que la Enciclopedia Britnica define en la palabra gambling: Un mito comn de jugadores llamado la doctrina de la madurez de las posibilidades (o la Falacia de Monte Carlo) asume errneamente que cada jugada en un juego de azar no es independiente de las otras posibilidades. Un gran nmero de sistemas han sido inventados basados mayormente en esta falacia; los operadores de casinos son muy felices cuando se promueven estos sistemas y explotan cualquier resistencia de los jugadores a entender la realidad de las leyes de probabilidad y las posibilidades independientes. Con este autor hemos descubierto las leyes de la probabilidad dura, veremos a continuacin las leyes de la probabilidad blanda, me explico, veremos lo mismo, pero desde un punto de vista menos serio y ms divertido, con lo cual se aprende y se entretiene al mismo tiempo. Los siguientes textos estn extrados del libro: aj! PARADOJAS Del matemtico: Martn Gardner. Ttulo original: Aha! Gotcha. Paradoxes to puzzle and delight. Edicin espaola: Editorial Labor, S. A. 1983

Paradojas acerca del azar, las apuestas y las creencias: La teora de probabilidad ha llegado a ser tan esencial en todas las ramas de la ciencia no slo en las ciencias fsicas, sino tambin en las biolgicas y sociales-, que a buen seguro los aos venideros pondrn en ella cada vez ms fuerte acento en la enseanza de matemticas de nivel elemental. El obispo Joseph Butler, y otros antes que l (Cicern, por dar un nombre), han dicho que la probabilidad es gua de la vida misma. De la maana a la noche vivimos a base de hacer inconscientemente miles dewww.grupojoker.com 33

pequeas apuestas sobre resultados probables. Y si la mecnica cuntica resulta ser en fsica la palabra definitiva, el sustrato de las leyes fundamentales de la naturaleza ser el azar puro. Ms que en la mayora de las ramas de la matemtica, en teora de probabilidad bulle y pulula un enjambre de resultados fuertemente contrarios a la intuicin, de problemas cuyos resultados parecen absolutamente contrarios al sentido comn. En una planta de un edificio podramos confiar en que las probabilidades de que la primera vez que el ascensor se detiene en ella son iguales para subir y bajar. Paradjicamente, por lo comn, esto es falso. En una familia con cuatro hijos podramos esperar como lo ms verosmil que en ella hubiera dos nios de cada sexo, pero tambin esto es falso. Las ideas sencillas que sobre probabilidad presentamos aqu le ayudarn a comprender por qu apuestas que parecen favorables en el juego de dados son en realidad desfavorables. Las paradojas de este captulo han sido seleccionadas por ser fciles de comprender, y porque muchas de ellas admiten modelos con materiales tan fcilmente disponibles como barajas y monedas. Siempre que ha sido posible, la paradoja es explicada enumerando todos los casos equiprobables, aun cuando el problema pudiera resolverse ms rpidamente con auxilio de teora de probabilidad. Aunque esta resolucin directa sea ms larga, se adquiere con ella una comprensin ms profunda de la estructura del problema, que no podra conseguirse de otras formas. Aunque en ltimo extremo tal vez haya solamente una clase de probabilidad, es costumbre por ahora distinguir al menos tres tipos principales:1. La probabilidad clsica, o probabilidad a priori. Suponemos aqu que todos los

resultados del experimento son igualmente probables. Sabiendo que cierto fenmeno de azar puede admitir n resultados con igual posibilidad, para conocer la probabilidad de que se presente alguno de los k casos de un subconjunto dado basta calcular el cociente k/n. Por ejemplo, al lanzar un dado, si el dado est correctamente construido, puede mostrar con iguales posibilidades cualquiera de sus seis caras. Cul es la probabilidad de que salga un nmero par? De los seis resultados equiprobables (1, 2, 3, 4, 5, 6), hay tres que son pares (2, 4, 6), y, por tanto, la probabilidad de sacar puntuacinwww.grupojoker.com 34

par al lanzar un dado es 3/6 = 1/2. Dicho de otra forma, pares e impares estn a la par. La apuesta es justa. 2. La frecuencia relativa, o probabilidad estadstica. Esta probabilidad se aplica a fenmenos cuyos resultados no parecen, en principio, equiprobables. Lo mejor que podemos hacer es repetir el experimento el mayor nmero posible de veces, e ir anotando la frecuencia de aparicin de ciertos resultados. Tendremos un ejemplo cargando un dado de manera que no pueda determinarse fcilmente por inspeccin. Lo lanzamos cientos de veces. Llevando el registro de las puntuaciones podramos concluir, pongamos por caso, que la probabilidad de sacar un 6 es 7/10, en lugar del familiar 1/6 del dado equilibrado. 3. La probabilidad inductiva. Tenemos aqu el grado de verosimilitud y credibilidad que los cientficos atribuyen a leyes y teoras. A causa del conocimiento insuficiente de la naturaleza puede ser imposible dar una solucin clsica; por otra parte, los experimentos y observaciones pueden ser demasiado infrecuentes y ambiguos como para impedir el clculo preciso de las frecuencias. Por ejemplo, un astrnomo, al examinar todas las pruebas importantes fundadas en los conocimientos cientficos de su tiempo, puede llegar a concluir que la existencia de agujeros negros es ms verosmil que su inexistencia. Semejantes estimaciones de probabilidad, necesariamente imprecisas, van constantemente cambiando conforme se van descubriendo nuevas evidencias relacionadas con la hiptesis. La falacia del jugador. Los seores Buenaf tienen cinco nias y ningn nio. Seora Buenaf: Cunto espero que nuestro prximo beb no sea otra nia! Seor Buenaf: Querida, despus de cinco nias, forzosamente tiene que ser un nio. Tendr razn el buen seor? Hay muchos jugadores convencidos de que podrn ganar a la ruleta esperando a que se produzca una larga racha de rojos y apostando entonces al negro. Servir de algo este sistema?www.grupojoker.com 35

Edgar Allan Poe argumentaba que si al lanzar un dado se sacan cinco doses seguidos, la probabilidad de sacar otro dos en la siguiente tirada es menor que un sexto. Tena razn Poe? Si ha contestado usted afirmativamente a cualquiera de estas preguntas, ha cado usted en la trampa conocida como falacia del jugador. En todos los casos anteriores el resultado del siguiente acontecimiento no depende de los precedentes. La probabilidad de que los Buenaf tengan otra nia es la misma que la de que su primer hijo ya lo fuera. La probabilidad de que el siguiente nmero de la ruleta sea rojo es idntica a la de que lo fuera el precedente. Y la probabilidad de sacar todava un dos en el sexto lanzamiento sigue siendo un sexto. Para mejor aclararlo, supongamos que el seor Buenaf va lanzando una moneda equilibrada, y saca cinco caras seguidas. La probabilidad de que en un nuevo lanzamiento la moneda salga otra vez cara es idntica a la de antes: un cincuenta por ciento. La moneda no tiene memoria de lo que hizo en lanzamientos anteriores. Cuando el resultado del acontecimiento A tiene influencia sobre el acontecimiento B, se dice que B es dependiente de A. Por ejemplo, la probabilidad de que el lector salga maana con gabardina depende claramente de la probabilidad de que maana llueva, o (ms directamente) de cmo y en cunto estima el lector tal probabilidad. Los sucesos que en lenguaje ordinario decimos no tienen nada que ver uno con otro se llaman sucesos independientes. La probabilidad de que maana salgamos con gabardina es independiente de la probabilidad de que el presidente del Gobierno desayune tostadas con mantequilla. A casi todo el mundo le cuesta creer que la probabilidad de sucesos independientes no se vea influida en forma alguna por su proximidad a otros sucesos independientes de la misma naturaleza. Durante la primera guerra mundial, los soldados del frente buscaban para guarecerse embudos de artillera recin formados, convencidos de que los antiguos eran ms peligrosos, al ser ya hora de que nuevos proyectiles cayeran por segunda vez en ellos. Como parece inverosmil que dos granadas caigan una tras otra en el mismo punto, los soldados razonaban que los crteres recin formados seran seguros por algn tiempo.www.grupojoker.com 36

Hace muchos aos se contaba una historieta acerca de un tipo que viajaba mucho en avin. Temeroso de que algn da un pasajero pudiera traer a bordo una bomba escondida, l llevaba siempre en un maletn, desactivada, su propia bomba. Como saba que era muy improbable que el avin transportase un pasajero bombista, sera mucho ms improbable razonaba l- que llevase dos. Evidentemente, no por llevar su propia bomba modificaba en lo ms mnimo la probabilidad de que otro pasajero la llevase tambin, como tampoco el lanzamiento de una moneda puede ser influido lanzando otra. El ms popular de todos los sistemas de jugar a la ruleta, conocido como sistema de DAlembert, cae de lleno en la falacia del jugador: no reconocer la independencia de sucesos independientes. El jugador apuesta al rojo o al negro (o hace cualquier otra apuesta que pueda reportarle la misma cantidad que arriesga), incrementando las cantidades tras cada prdida, y reducindolas tras cada ganancia. El sistema presume que si la bolita de marfil acaba de otorgarle una ganancia al jugador, de alguna forma se acordar de ello y estar menos dispuesta a dejarle ganar la siguiente vez. Mientras que si la bolita le hace perder, sentir compasin del pobre jugador y se mostrar ms complaciente en las prximas vueltas de la rueda. Est claro que el autor no tiene la mas mnima idea de cmo opera el sistema DAlambert, pues este sistema para nada modifica la independencia de los sucesos o de los resultados, simplemente se trata de una estrategia en el manejo de la caja (las fichas), si perdemos cuatro veces seguidas, estamos apostando 1, 2, 3, 4 fichas (en total 10 fichas gastadas), ahora apostamos 5 fichas en la siguiente apuesta y ganamos, en la siguiente apuesta son 4 fichas (una menos) sobre el tapete, si ganamos obtenemos 4 fichas ms, por ltimo, realizamos otra apuesta de 3 fichas (vamos decreciendo la apuesta en una ficha cada vez que ganamos), si volvemos a ganar la apuesta, habremos obtenido en total 5+4+3 = 12 fichas. Resumiendo: antes perdimos 4 apuestas, sin embargo con solo 3 apuestas ganadas recuperamos las diez fichas perdidas y todava ganamos dos de beneficio, incluso antes de llegar a retroceder hasta la apuesta inicial de 1 ficha, lo que correspondera a la igualdad de aciertos y fallos. El problema que tiene este sistema tan conocido es que las rachas negativas siempre tienen tendencia a prolongarse bastante, hay que tener en cuenta, que en cada apuesta individual, tenemos siempre una mayor cantidad de nmeros en contra que a favor, 18 contra 19 y en las ruletas con doble cero 18 contra 20, por lo que la tendencia o elwww.grupojoker.com 37

promedio del total de las apuestas siempre tender hacia el lado de los fallos, al final, ocurre que la secuencia se vuelve demasiado larga como para que pueda recuperarse, ya que para ello se precisara una gran cantidad de aciertos en un juego donde las mayores probabilidades se acercan ms al lado contrario. Este sistema lleva al que lo aplica hasta un punto en donde termina por perder todas las fichas. Precisamente porque cada una de las puntuaciones de una ruleta bien equilibrada es independiente de todas las puntuaciones anteriores tendremos una demostracin muy sencilla de que ningn sistema de juego podr dar al apostante ventaja sobre el casino. La palabra ventaja, en sus acepciones de a favor y en contra, tiene que usarse con cuidado. Al lanzar una moneda bien equilibrada hay un caso a favor de que salga cara por cada caso en contra; es un juego justo, o matemticamente equilibrado. Empero, un apostador profesional, buscando su beneficio, podra ofrecernos pagos de 4 pesetas contra apuestas nuestras de 5 al jugar a cara o cruz, dicindonos como explicacin que las apuestas estn 4 contra 5. El pago que nos ofrece es inferior al justo. En su Complete Guide to Gambling (Gua completa del jugador), John Scarne nos dice:Siempre que apostamos por menos de nuestra suerte a favor, lo que sucede sin excepcin en toda forma de juego organizado, estamos abonando al operador un porcentaje de recargo a cambio del privilegio de dejarnos apostar. Nuestra oportunidad de ganancia tiene esperanza negativa, como dicen los matemticos. Cuando usamos un sistema, lo que hacemos es una serie de apuestas, todas con esperanza negativa. No hay forma de que sumando signos menos nos salga al final un signo ms...

El gazapo de Edgar Allan Poe al hablar de dados aparece en el eplogo de una de sus narraciones detectivescas, El misterio de Marie Roget. Un dado, lo mismo que una moneda, una ruleta o cualquier otro dispositivo de generacin del azar, engendra una sucesin de acontecimientos independientes, no influidos en modo alguno por el comportamiento pasado del dispositivo. Si el lector se siente inclinado hacia alguna forma de la falacia del jugador, ponga a prueba su creencia simulando una verdadera partida, donde se juegue con algnwww.grupojoker.com 38

sistema inspirado en la falacia. Por ejemplo, lancemos repetidamente una moneda, apostando una ficha de pquer (con pagos iguales) solamente si acaba de producirse una tanda de tres resultados iguales. Apueste siempre a favor del cambio de resultado. Concretamente, por ejemplo, despus de tres caras seguidas, apueste por cruz, y despus de tres cruces, apueste por cara. Al cabo de, pongamos por caso, 50 de estas apuestas ser muy improbable que tengamos exactamente el mismo nmero de fichas que al empezar, pero s debera ser un nmero cercano. Las probabilidades de ir con ventaja o con desventaja, esto es, ir perdiendo o ganando, son, por supuesto, iguales. Cuatro gatitos Al calcular probabilidades es fcil despistarse. Veamos aqu a un gato y una gata que se fueron de picos pardos. Seor Gatos: Oye, salada, cuntos gatitos hemos tenido de la ltima lechigada? Seora de Gatos: Pero qu zngano eres! No sabes contar? Pues cuatro! Seor Gatos: Cuntos han sido machos? Seora de Gatos: Es difcil de saber. Todava no te lo puedo decir. Seor Gatos: No es muy probable que los cuatro hayan sido machos. Seora de Gatos: Y tampoco lo es que las cuatro sean gatas. Seor Gatos: A lo mejor slo hay un gatito macho. Seora de Gatos: Y tal vez haya solamente una hembra. Seor Gatos: Calculando no es muy difcil. El que un gatito sea macho o hembra es cosa de cara o cruz. As pues, es evidente que lo ms verosmil es que haya dos machos y dos hembras. Ha razonado correctamente el seor Gatos? Comprobemos su teora. Denotando H a las hembras y M a los machos, podemos dar la lista de todos los casos igualmente posibles, que son 16. MMMM MHMH HHHH HMHM MHHM MMMH HHHM MMHH HHMM MHMM HMHH MMHM HHMH HMMH MHHH HMMM

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Solamente en dos de los 16 casos son todas las cras del mismo sexo. Por tanto, la probabilidad de que as ocurra es de 2/16, o sea, de 1/8. El seor Gatos estaba en lo cierto al pensar q