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AyudantíasMecánica Racional II

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Univerdidad Austral de ChileFacultad de Ciencias de la Ingeniería

Mecánica Racional II

Dinámica DMIL 233

Ayudante Johan Muñoz

Profesor Sr. Rolando Ríos Rodríguez

Valdivia, Chile21 de abril de 2013

http://www.uach.cl/

http://ingenieria.uach.cl/

Índice General

Índice General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Índice de Figuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1. Cinemática Plana de Cuerpo Rígido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1. Movimiento plano general (ejes en traslación) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1. Problema 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.2. Problema 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2. Movimiento plano general (ejes en rotación) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.1. Problema 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2. Cinemática de Cuerpo Rígido en el Espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.1. Rotación en torno a un punto fijo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.1. Problema 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.1.2. Problema 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2. Movimiento General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2.1. Problema 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2

Índice de Figuras

1.1.1. Problema 5.141 del Meriam Vol. 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.2. Problema 5.135 del Meriam Vol. 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.1. Problema 5.194 del Meriam Vol. 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.1. Problema 7.21 del Meriam Vol. 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.1.2. Problema 7.21 del Meriam Vol. 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2.1. Problema 7.45 del Meriam Vol. 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3

1 Cinemática Plana de Cuerpo Rígido

1.1 Movimiento plano general (ejes en traslación)

1.1.1. Problema 1

Fig. 1.1.1: Problema 5.141 del Meriam Vol. 3.

4

§ CAPÍTULO 1. CINEMÁTICA PLANA DE CUERPO RÍGIDO 5

En el instante representado, la manivela OB tiene una velocidad angular horaria ω = 0, 8 (r/s) y seencuentra en posición horizontal. Hallar la correspondiente velocidad del rodillo guía A en su ranuraa 20.

Ecuación de Velocidad:

−→v A = −→v OB + −→v A/B

−→v A = −vA cos 20i − vA sin 20j (mm/s)−→v OB = −→ω OB × −→r OB

= −0, 8k × 250i = −200j (mm/s)−→v A/B = −→ω BA × −→r BA

= ωBAk × (−250i − 433j)= −250ωBAj + 433ωBAi (mm/s)

igualando componentes:

i : −vA cos 20 = 433ωBA

j : −vA sin 20 = −200 − 250ωBA

por lo tanto:

vA = 226 (mm/s)ωBA = −0, 5 (r/s)

1.1.2. Problema 2


Para la posición indicada, hallar la aceleración de la placa si la barra de accionamiento AO tieneuna velocidad angular cte. ωOA = 4 (r/s) y es θ = 60 para las dos barras.

Ecuación de Velocidad:

Ayudantías de Mecánica Racional II,21 de abril de 2013

Universidad Austral de ChileJohan Muñoz


−→v B = −→v OA + −→v B/A

−→v B = −→ω CB × −→r CB

= ωCBk × (−62, 5i + 108, 25j)= −62, 5ωCBj − 108, 25ωCBi (mm/s)

−→v A = −→ω OA × −→r OB

= −4k × (−125i + 216, 5j)= 500j + 866i (mm/s)

−→v B/A = −→ω AB × −→r AB

= ωABk × 300i

= 300ωABj (mm/s)


i : −108, 25ωCB = 866j : −62, 5ωCB = 500 + 300ωAB

por lo tanto, las velocidades angulares son:

ωCB = −8 (r/s)ωAB = 0 (r/s)

Ecuación de Aceleración:

−→a B = −→a OA + −→a B/A

−→a B = −→α CB × −→r CB + −→ω CB × (−→ω CB × −→r CB)= αCBk × (−62, 5i + 108, 25j) + −8k × (500j + 860i)= −62, 5αCBj − 108, 25αCBi + 4000i − 6928j (mm/s2)

−→a A =−→ω OA0 × −→r OB + −→ω OA × (−→ω OA × −→r OA)

= −4k × (500j + 866i)= 2000i − 3464j (mm/s2)

−→a B/A = −→α AB × −→r AB + −→ω AB × (−→ω AB × −→r AB)= αABk × 300i

= 300αABj (mm/s2)


i : −108, 25αCB + 4000 = 2000j : −62, 5αCB − 6928 = −3464 + 300αAB

por lo tanto, las aceleraciones angulares son:

αCB = 18, 47 (r/s2)αAB = −15, 4 (r/s2)




1.2 Movimiento plano general (ejes en rotación)

1.2.1. Problema 1


En la posición que se muestra la varilla DC gira en sentido antihorario a la velocidad constanteN = 2 r/s. Hallar la velocidad angula ω y la aceleración angular α de EBO en ese instante.

−→v A = −→v P + −→v rel

−→v A = −→ω CA × −→r CA

= 2k × −150i = −300j (mm/s)−→v P = −→ω OP × −→r OP

= ωOP k × −150j = 150ωOP i (mm/s)−→v rel = vrel cos 45i + vrel sin 45j


i : 0 = 150ωOP + vrel cos 45j : −300 = vrel sin 45

por lo tanto:

ωOP = ωEBO = 2 (r/s)vrel = −424, 26 (mm/s)




Ecuación de Aceleración:

−→a A = −→a P + 2−→ω × −→v rel + −→a rel

−→a A =−→α CA0 × −→r CA + −→ω CA × (−→ω CA × −→r CA)

= 2k × −300j = 600i (mm/s2)−→a P = −→α OP × −→r OP + −→ω OP × (−→ω OP × −→r OP )

= αOP k × −150j + 2k × 300i

= 150αOP i + 600j (mm/s2)2−→ω × −→v rel = 2 · 2k × (−300i − 300j)

= 1200i − 1200j (mm/s2)−→a rel = arel cos 45i + arel sin 45j


i : 600 = 150αOP + 1200 + arel cos 45j : 0 = 600 − 1200 + arel sin 45

por lo tanto:

arel = 600sin 45

≈ 848, 53 (mm/s2)

αOP = 8 (r/s2)



2 Cinemática de Cuerpo Rígido en el Espacio

2.1 Rotación en torno a un punto fijo

2.1.1. Problema 1


El disco de 120 mm de radio gira alrededor del eje z a la velocidad constante ωz = 20 r/s y elconjunto entero rota en torno al eje fijo x a la velocidad constante ωx = 10 r/s. Calcular los módulosde la velocidad −→v y de la aceleración −→a del punto B en el instante en que θ = 30

9

§ CAPÍTULO 2. CINEMÁTICA DE CUERPO RÍGIDO EN EL ESPACIO 10

2.1.2. Problema 2


El volante rueda sin deslizamiento siguiendo una circunferencia de radio R y da una vuelta completaalrededor del eje vertical y con una celeridad constante en el un tiempo τ . Determinar la expresiónvectorial de la aceleración angular α del volante.

−→Ω = 2π

τj

Sea c un punto del centro de la rueda

vc = ω · r

= Ω · R = 2π

τ· R




sea ω0 la velocidad angular con que gira en su propio eje la rueda

ω0 = vc

r= 2πR

rτ

=⇒ −→ω 0 = −2π

τ· R

rk

∴ −→ω =−→Ω + −→ω 0

= 2π

τj − 2π

τ· R

rk

−→α = −→Ω 0 + −→

ω 0

=−→Ω × −→ω 0

= 2π

τj × −2π

τ· R

rk

∴ −→α = −(

2π

τ

)2

· R

ri




2.2 Movimiento General

2.2.1. Problema 1


El disco de masa m y radio r gira en torno a su eje z con una velocidad angular constante p y lahorquilla en la que está montado rota alrededor del eje x que pasa por O con una velocidad angularconstante ω1. A la vez, todo el conjunto gira en torno al eje fijo Y que pasa por O con una velocidadangular constante ω2. Hallar la velocidad −→v y la aceleración −→a del punto A del borde del disco cuandopasa por la posición indicada, el cual el plano x-y del disco coincide con el plano x-y. Los ejes x-y-zson solidarios de la horquilla.




Cálculo pasando por B:

−→v A = −→v B + −→v A/B + −→v rel

−→v B = ω2j × bi = −bω2k−→v A/B = −ω1i × rj = −ω1rk

−→v rel = pk × rj = −pri

∴ −→v A−→v A−→v A = −pr i − (rω1 + bω2) k−pr i − (rω1 + bω2) k−pr i − (rω1 + bω2) k

Cálculo sin pasar por B:

−→v A = −→a A/O + −→v rel

−→v A/O = (ω2j − ω1i) × (bi + rj) = −(bω2 + rω1)k−→v rel = pk × rj = −pri

∴ −→v A−→v A−→v A = −pr i − (rω1 + bω2) k−pr i − (rω1 + bω2) k−pr i − (rω1 + bω2) k

−→a A = −→a B + −→v A/B + 2 · Ω × −→v rel + −→a rel

−→a B =−→α 2

0 × −→r B + −→ω B × (−→ω B × −→r B)= −ω2j × −bω2k

= −bω22i

−→v A/B = −→ω1 × −→r BA + −→ω 1 × (−→ω 1 × −→r BA)

= (ω2j × −ω1i) × rj − ω1i × (−ω1rk)= ω1ω2k × rj − ω2

1rj

= −ω1ω2ri − ω21rj

2 ·−→Ω × −→v rel = 2 · ω2j × −pri

= 2prω2k

−→a rel = −→p 0 × −→r + −→p × (−→p × −→r )

= pk × (−pri)= −p2rj

∴ −→a A−→a A−→a A = −ω2(bω2 + ω1r) − r(ω2

1 + p2)j + 2prω2k−ω2(bω2 + ω1r) − r(ω21 + p2)j + 2prω2k−ω2(bω2 + ω1r) − r(ω21 + p2)j + 2prω2k



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