Ayudantía Nº 1

1. Dados los vectores ˆ ˆ3= +

rP i aj y

rQ tal que 5=Q y 323ºθ = respecto del eje x en el plano xy,

a) Encontrar el valor de a para que y rr

P Q resulten perpendiculares;

b) Para dicho valor de a, hallar un vector unitario en la dirección de la suma +rr

P Q . 2. El vector 1

rV apunta a lo largo del eje Z y tiene magnitud 1 36=V . El vector 2

rV se encuentra en el

plano XZ, tiene un magnitud 2 55=V y forma un ángulo de 25º con el eje X. ¿Cuánto vale

1 2⋅r r

V V ? 3. Dados dos vectores ˆ ˆ5,2 3,8= −

rA i j y ˆ ˆ3,6 5,1= +

rB i j , determine el vector

rC que se encuentra

en el plano XY, perpendicular a rB y cuyo producto punto con

rA es 16,4.

4. Un paralelepípedo recto rectangular tiene lados

de longitudes a, 2a, 3a.. Determinar el largo de la proyección OR de

uuurOP

sobre uuurOQ .

5. Dados los vectores ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, 2 3 2 , 3= − + = + − = − + −

r rrA i j k B i j k C i j k

Calcular:

a) ( ) ( )+ × −r r rrA C B C

b) ángulos que forma ×r rA C con los ejes x, y, z

c) volumen del paralelepípedo que tiene por lados , y r rrA B C

6. Dados A

r y B

r. ¿Para qué valores de n, A

r y B

r son perpendiculares?

( ) ( )2 ˆˆ ˆ1 4 3 2A n i j n k= − − + −r

ˆˆ ˆ3 6B ni nj k= − + −r

7. Las diagonales de un paralelógramo están determinadas por los vectores:

1

2

ˆˆ ˆ2 4ˆˆ ˆ3 10 16

D i j k

D i j k

= + +

= − +

rr

Calcular el área del paralelógramo

Q

0

3a a

2a P

R

8. Dados Ar

y Br

: ˆˆ ˆ7 2 3A i j k= − +r

ˆˆ ˆ2 3B i j k= + +r

Calcular el ángulo que forma ( )A B+r r

con los ejes coordenados.

9. Dados los vectores A

r y B

r del sistema de la figura:

a) Determine un vector Cr

de manera que la suma de los vectores A

r, B

r y C

r sea nula.

b) Determine el ángulo entre Ar

y Br

. c) Determine un vector unitario perpendicular al vector

( )A B−r r

y ( )A C−r r

.

10. Determinar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos ( )1,1,1 , ( )0,2,3 , ( )0,0, 1− .

B

3

6

6

z

y

x A

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