AXIOMAS DE UN ESPACIO VECTORIALÁlvarez Lapizco Miguel Ángel

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EL ESPACIO VECTORIAL

• En álgebra abstracta, un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y otro conjunto, con estructura de cuerpo), con 8 propiedades fundamentales.

• A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo, escalares.

DEFINICIÓN Y PROPIEDADES BÁSICAS

• El espacio vectorial Rn es un conjunto de elementos llamados vectores en los que se definen dos operaciones, la adición y la multiplicación por un escalar. Se sabe que el espacio vectorial Rn es cerrado bajo estas operaciones; las suma de dos vectores en Rnpertenece a Rn y la multiplicación por un escalar en Rn también pertenece a Rn. El espacio vectorial Rn también posee otras propiedades algebraicas. Por ejemplo, se sabe también que los vectores en Rn son conmutativos y asociativos bajo la adición:

• u + v = v + uu + (v + w) =(u + v) + w

AXIOMAS DE UN ESPACIO VECTORIAL

1.- Si x Є V y y Є V, entonces x + y Є V (Cerradura bajo la suma).

2.- Para todo x, y, z en V, (x + y) + z = x + (y + z)(Ley asociativa de la suma de vectores)

3.- Existe un vector 0 Є V tal que para todo

 x Є V, x + 0 = 0 + x = x

4.- Si x Є V, existe un vector –x en V tal que x + (–x) = 0(–x se llama inverso aditivo de x)

AXIOMAS DE UN ESPACIO VECTORIAL

5.- Si x y y están en V, entonces x + y = y + x.(Ley conmutativa de la suma de vectores).

6.- Si x Є V y α es un escalar, entonces αx Є V(Cerradura bajo la multiplicación por un escalar).

7.- Si x y y estan en V y a es un escalar, entonces a(x + y) = ax + ay (Primer Ley Dsitributiva).

AXIOMAS DE UN ESPACIO VECTORIAL

8.- Si x Є V y α y β son escalares, entonces (α + β)x = αx + βx

(Segunda ley distributiva)

9.- Si x Є V y α y β son escalares, entonces α(βx) = (αβ)x

(Ley asociativa de la multiplicación por escalares)

10.- Para cada vector x Є V, 1x = x.

EJEMPLOS

• Ej. 1:

Espacios vectoriales de matrices.

Considere el conjunto de matrices reales de 2 x 2. Denote este conjunto como M22. En la sección de matrices se definieron las operaciones de adición y multiplicación por un escalar en este conjunto y, de hecho, éste forma un espacio vectorial. Se analizarán algunos axiomas para comprobar esto.

EJEMPLOS

• dos matrices de 2 x 2 cualesquiera. Se tiene entonces que:

Axioma 1:

u + v es una matriz de 2 x 2. Por consiguiente, M22 es cerrada bajo la adición.

Axiomas 2 y 5:

De acuerdo al tema anterior de matrices, se sabe que las matrices de 2 x 2 son conmutativas y asociativas bajo la adición.

EJEMPLOS

• Axioma 3:

La matriz cero de 2 x 2 es , puesto que:

Axioma 4:

Si , entonces

ya que

ÁLGEBRA LINEAL

Gracias por su atención.