EL SISTEMA DE NÚMEROS REALES

Se llama sistema de números Reales a un conjunto no vacío R, dotado de dos operaciones internas que son la adición y la multiplicación, las cuales se denotan por:

y una relación de orden menor, simbolizada por “<” que satisface los axiomas de adición, multiplicación, distributiva, de igualdad, de orden y del supremo.

AXIOMAS PARA LA ADICIÓN:

A1. Si a , b∈R → (a+b )∈R (Propiedad de Clausura o Cerradura)

A2. a+b=b+a, ∀ a,b∈R (Propiedad Conmutativa)

A3. (a+b )+c=a+(b+c ) , ∀ a,b,c∈R (Propiedad Asociativa)

A4. ∃! 0∈R / a+0=0+a, ∀ a∈ R (Propiedad del Elemento Neutro Aditivo)

A5. ∀ a∈R, ∃! ( -a)∈R / a+(-a)=(-a)+a=0 (Propiedad del Elemento inverso Aditivo)

AXIOMAS PARA LA MULTIPLICACIÓN:

M1. Si a,b∈R →(a·b )∈ R (Propiedad de Clausura o Cerradura)

M2. a·b=b·a, ∀ a,b∈R (Propiedad Conmutativa)

M3. (a·b ) · c=a· (b·c ) , ∀ a,b,c∈R (Propiedad Asociativa)

M4. ∃! 1∈R / a ·1=1·a, ∀ a∈R (Propiedad del Elemento Neutro Multiplicativo)

M5.∀ a≠0, ∃! a-1=1

a / a·( 1

a)=( 1

a)· a=1

(Propiedad del Elemento inverso Multiplicativo)AXIOMAS DISTRIBUTIVOS

D1. a· (b+c )=ab+ac , ∀ a,b,c ∈R (Distributividad por la izquierda)

D2. (b+c )·a=ba+ca , ∀ a,b,c ∈ R (Distributividad por la derecha)

AXIOMAS DE LA IGUALDAD:

I1. ∀ a,b ∈R, a=b ∨ a≠b (Dicotomía)

I2. a=a , ∀ a ∈R (Reflexiva)

I3. Si a=b → b=a, ∀ a,b∈R (Simetría)

I4. Si (a=b ∧ b=c ) → a=c ∀ a,b,c∈R (Transitiva)

I5. Si a=b → a+c=b+c, ∀ a,b ,c∈R (Monotonía para la Adición)

I6. Si a=b → a·c=b·c , ∀ a,b , c∈R (Monotonía para la Multiplicación)

AXIOMAS DE ORDEN:

O1. ∀ a,b ∈R, uno y solo uno de los siguientes enunciados es verdadero: a≺b o a=b o a≻b (Ley de Tricotomía)

O2. Si (a≺b ∧ b≺c ) → a≺c ∀ a,b,c∈R (Ley Transitiva)

O3. Si a≺b → a+c≺b+c, ∀ a,b , c∈R (Ley de Monotonía – Consistencia Aditiva )

O4. Si a≺b ∧ c≻0 → a · c≺b·c, ∀ a,b , c∈R (Ley de Monotonía– Consistencia Multiplicativa)…. La desigualdad no cambia.

O5. Si a≺b ∧ c≺0 → a · c≻b·c, ∀ a,b , c∈R (Ley de Monotonía– Consistencia Multiplicativa) … La desigualdad cambia.

( ·) :RxR→R(a ,b)→a·b

(+) :RxR→R(a ,b)→a+b

a b

a b

a b

a b

a

a

AXIOMA SUPREMO:“Todo subconjunto S, no vacío de números reales, acotado superiormente, tiene supremo”

REPRESENTACIÓN DE LOS NÚMEROS REALESEntre los números reales y los puntos de una recta se puede establecer una correspondencia, es decir: si sobre una recta se fija su origen “O”, una unidad, y un sentido positivo, entonces, a cada punto de una recta le corresponde un número real y recíprocamente, a cada número real le corresponde un único punto de la recta, al número real correspondiente a un punto de la recta se le llama abscisa del punto.

INTERVALOS:Es un subconjunto de R, que sirve para expresar la solución de una inecuación.

ℝINTERVALOS REPRESENTACIÓN

ACOTADOS

Abierto:a∈R ,b∈ R/a≺b ; se llama intervalo abierto

denotado por ⟨a ,b⟩ al conjunto ⟨a ,b⟩= {x∈R/ a≺x≺b } x∈ ⟨a ,b⟩=¿¿

Cerrado:a∈R ,b∈ R/a≤b ; se llama intervalo cerrado

denotado por [a ,b ] al conjunto [a ,b ]= {x∈R /a≤x≤b } x∈ [a ,b ] ¿¿

Semiabierto por la derecha:Se llama intervalo semiabierto por la derecha

denotado por [ a ,b)=[ a ,b[ al conjunto [ a ,b)=[ a ,b[= {x∈R /a≤x≺b } x∈[ a ,b )¿¿

Semiabierto por la izquierda:Se llama intervalo semiabierto por la izquierda denotado por al conjunto (a ,b ]=]a ,b ]={x∈R /a≺x≤b } x∈( a ,b ]¿¿

NO

A

Infinitos:⟨a ,+∞⟩= {x∈R/ x≻a }

[ a ,+∞)={x∈R / x≥a }

0-1-3-4-5 1 2 3 4 5-2

a

a

0

COTADOS

⟨−∞ , a⟩={x∈ R/ x≺a }

(−∞ , a ]= {x∈R/ x≤a }

⟨−∞ ,+∞⟩={x / x∈R }

OPERACIONES CON INTERVALOS:

Dado que los intervalos son conjuntos de números reales, podemos realizar con ellos operaciones como la unión, intersección, diferencia, complemento; aplicando las respectivas definiciones:

1. UNIÓN DE INTERVALOS: Dados dos intervalos A y B, la unión de estos intervalos se define como:A∪B=¿¿

2. INTERSECCIÓN DE INTERVALOS: Dados dos intervalos A y B, la intersección de estos intervalos se define como:

A∩B=¿¿

3. DIFERENCIA DE INTERVALOS: Dados dos intervalos A y B, la diferencia de estos intervalos se define como:

A - B=¿¿

4. COMPLEMENTO DE UN INTERVALO: Dado el intervalo A, su complemento se define como:A'= {x∈R /x∉ A }

Ejemplos:

Dados A=[−2,6 ] y B=[ 4,6) . Determinar:1. A∪B

2. A∩B

3. A−B4. A´5. B´

6. B∪A

7. B∩A

8. B−A

9. (B∪A )´

10. (B∩A )´

11. (B−A )´12. BΔA

Dados A=[−2,8 ] y B=[−4,5 ) . Determinar:1. A∪B

2. A∩B

3. A−B4. A´

5. B´6. B∪A

7. B∩A

8. B−A

9. ( AΔB)´

Dados A=⟨2,4 ⟩ y B=( 0,5 ] . Determinar:1. A∪B 2. A∩B 3. A−B

4. A´5. B´6. B∪A

7. B∩A

8. B−A

9. (B∪A )´

10. (B∩A )´

11. (B−A )´