Justificación del estudio y formulación del problema

(Una propuesta didáctica para estimular el aprendizaje de adición y sustracción de números decimales, en el 6° grado de primaria, mediante la creación de problemas.)

El actual Diseño Curricular de Educación Básica Regular del Perú considera la

formulación de problemas como una de las competencias a desarrollar en los

estudiantes, en el área de Matemática, a partir del V ciclo (5to y 6to grado de

Primaria). Se señala específicamente “Resuelve y formula, con autonomía y

seguridad, problemas que requieren del establecimiento de relaciones entre números

naturales, decimales y fracciones, y sus operaciones, argumentando los procesos

empleados en su solución e interpretando los resultados obtenidos”. Posteriormente,

los documentos Mapas de Progreso y Rutas de Aprendizaje, elaborados por el

Ministerio de Educación del Perú, han resaltado la formulación de problemas como un

complemento para el enfoque de la resolución de problemas, que es el que predomina

actualmente en la enseñanza de las matemáticas en el Perú.

En el campo de los números y operaciones hay una constante preocupación por

acercar la resolución de problemas a la realidad y específicamente en lo concerniente

a los decimales se enuncian las siguientes capacidades en el DCN:

5to grado: Resuelve y formula problemas de estimación y cálculo con operaciones

combinadas de números naturales y decimales.

6to grado: Resuelve y formula problemas que implican operaciones combinadas con

números naturales, fracciones y decimales.

Consideramos que el logro de estas capacidades debe darse a la par, ya que se le

está dando mucha importancia a la resolución de problemas y dejando de lado a la

formulación de los mismos. El formular sus propios problemas le dará al estudiante

más seguridad para el aprendizaje de la matemática y en particular para la resolución

de problemas con decimales.

Según los resultados de las Evaluaciones Censales de Estudiantes (ECE) que se vienen

realizando desde al año 2007 con estudiantes de segundo grado, un promedio de 52%

de niños están en la llamada etapa inicial del aprendizaje, mientras que un promedio

de 12%, llega a los aprendizajes satisfactorios. Esta es una seria llamada de atención

acerca de la forma en que nuestros estudiantes están aprendiendo las matemáticas

desde la base, que son los primeros grados de la primaria.

Los alumnos no muestran capacidades de resolución de problemas y una de las

razones puede ser que sus motivaciones para resolverlos se ven recortadas al tener

que resolver solo problemas que les dan sus profesores o que están en los libros y no

resolver problemas creados por ellos o por sus compañeros.

La acción de crear problemas en Matemáticas ha recibido diferentes denominaciones

por los investigadores que han tratado este tema, Kilpatrick 1987 (Citado en Castro

2011) la llama formulación de problemas; Brown y Walter 1990 (Citados en Castro

2011) la denominan plantear problemas; para Silver 1994 (Citado en Castro 2011)

este acto se llama generación de problemas, la propia Castro (2011) la nombra como

invención de problemas y Malaspina (2011) la denomina creación de problemas. Lo

cierto es que estamos frente a una actividad intelectual que se ha convertido en una

eficaz manera de aprender Matemáticas según prestigiosos investigadores como

Polya 1957, Freudenthal 1973 y Kilpatrick 1987 (Citados en Castro 2011).

Se considera que cuando una persona tiene la capacidad de crear un problema ha

alcanzado niveles de reflexión complejos es decir, ha llegado a una etapa de

razonamiento que hace posible la construcción del conocimiento matemático.

Consideramos a la adición y sustracción de números decimales como actividades

comunes para nuestros niños que la aplican a su vida desde muy pequeños en las

operaciones de compra y venta, en las situaciones de cambio de dinero, en el peso de

los productos, etc. sin embargo resulta igualmente sorprendente que a la hora de

trasladar este ejercicio de la vida diaria a las clases de matemáticas, pueda resultarles

tan complicado de operar cuando es el docente quien propone los problemas y

ejercicios que pueden ser copiados de textos o creados por él pero que no son

significativos para los estudiantes, entonces es que nace la propuesta de que sean los

propios estudiantes quienes cumplan la función de crear sus propios problemas.

Creemos que a través de la propuesta de formulación o creación de problemas

matemáticos conseguiremos que nuestros estudiantes puedan desarrollar las

matemáticas con mayor interés y confianza, lo que les permitirá un aprendizaje más

significativo.

Usaremos la perspectiva del EOS para el análisis matemático y didáctico en nuestro

estudio.

La investigación permitirá analizar si es que como revelan las investigaciones

realizadas en otros contextos, también en nuestra realidad es beneficioso el trabajo

de creación de problemas y permitirá identificar potenciales conflictos, condiciones y

restricciones relacionados con su tratamiento didáctico.

PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN¿Es posible mejorar el aprendizaje de los estudiantes del 6º grado sobre la adición y sustracción de decimales mediante la creación de problemas matemáticos?

OBJETIVOS DE INVESTIGACIÓNEl objetivo general del presente trabajo de investigación es hacer una propuesta didáctica mediante la cual los docentes estimulen el aprendizaje de la adición y sustracción de los números decimales mediante la creación de problemas en los estudiantes del 6º grado de educación primaria.

Objetivo general:

Hacer una propuesta didáctica basada en la creación de problemas, mediante la cual los estudiantes del 6º grado de educación primaria mejoren su capacidad de resolver problemas sobre adición y sustracción de los números decimales.

Objetivos específicos: 1. indagar cómo resuelven los problemas que incluyen operaciones de adición y

sustracción con decimales los estudiantes de 6º grado de primaria.2. Elaborar un conjunto de problemas con el mismo objeto matemático, que

propuestos adecuadamente a los estudiantes, los estimulen a la creación de nuevos problemas, mediante variaciones a los propuestos.

3. Diseñar una secuencia didáctica basada en el conjunto de problemas elaborados y en el enfoque ontosemiótico del conocimiento y la instrucción matemática, mediante la cual se estimule a los estudiantes de 6º grado de primaria la creación y solución de sus propios problemas.

4. Determinar la efectividad de la aplicación de la secuencia didáctica elaborada y recoger elementos para rediseñarla.

ANTECEDENTES REFERENCIA 1: RELACIONADA CON EL ASPECTO CREACIÓN DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS

La acción de crear problemas en Matemáticas ha recibido diferentes denominaciones por los investigadores que han tratado este tema, Kilpatrick 1987 (Citado en Castro 2011) la llama formulación de problemas; Brown y Walter 1990 (Citados en Castro 2011) la denominan plantear problemas; para Silver 1994 (Citado en Castro 2011) este acto se llama generación de problemas, la propia Castro (2011) la nombra como invención de problemas y Malaspina (2011) la denomina creación de problemas. Lo cierto es que estamos frente a una actividad intelectual que se ha convertido en una eficaz manera de aprender Matemáticas según prestigiosos investigadores como Polya 1957, Freudenthal 1973 y Kilpatrick 1987 (Citados en Castro 2011).

Se considera que cuando una persona tiene la capacidad de crear un problema ha alcanzado niveles de reflexión complejos es decir, ha llegado a una etapa de razonamiento que hace posible la construcción del conocimiento matemático.

Para Castro (2011) las ventajas de crear problemas son muchas, por ejemplo el incremento del conocimiento matemático, la motivación, la reducción del miedo o la preocupación por las Matemáticas, la mejora en superar los errores matemáticos habituales, la ayuda positiva al desarrollo de la creatividad y el permitir al docente conocer las habilidades de sus estudiantes para usar su conocimiento matemático.

Para Polya 1957, el escenario ideal para la creación de problemas es el que proviene de crear un nuevo problema de uno ya resuelto, para Brown y Walter 1990 (Citados en Castro 2011) la actividad consiste en proponer nuevos problemas en la resolución de otros problemas.

Silver 1994, dice que la tarea de inventar puede ubicarse antes, durante o después de la resolución de problemas. Cazares 2000 (Citado en Castro 2011) nos da dos aproximaciones: los problemas que se inventan dentro del proceso de resolución de un problema y los inventados a partir del contacto del individuo con su medio.

Kochen, Badre y Badre 1976 (Citados en Castro 2011) crearon un modelo para la invención de problemas en el caso de individuos que se enfrentan a situaciones de su vida real. Silver 1974 dice que el individuo, a partir de un hecho genera problemas nuevos y a partir de un problema complejo procede a la división de este en otros más sencillos.

Moses, Bjork y Goldemberg 1990 (Citados en Castro 2011) dicen que para generar problemas a partir de uno dado, el estudiante ha de saber distinguir los elementos que forman parte de un problema que son: Información conocida, información desconocida y los procesos a seguir para relacionar ambas informaciones, a partir de ahí considerar lo que pasaría si alguno de estos elementos cambiase.

Brown y Walter 1990 (Citados en Castro 2011) a través de su estrategia llamada ¿Qué pasaría si? Separaron al proceso en dos partes: la aceptación del problema y la exigencia del problema dado. Stoyanova 1998 (Citado en Castro 2011) clasifica las formas de problemas en situaciones libres, situaciones semi estructuradas y situaciones estructuradas.

En el trabajo de Malaspina (2011) se plantea como objetivo de investigación explorar las competencias y actitudes de futuros profesores de primaria en torno a la creación de problemas. La finalidad es ver cómo interpretan un

problema los alumnos de pre grado que van a ser profesores de primaria. El objeto matemático es la adición y sustracción de números naturales. Los sujetos investigados fueron alumnos de pregrado de educación, en la especialidad de primaria.

La metodología empleada consistió en recibir del investigador un problema relacionado a la vida diaria para que ellos critiquen los posibles resultados y generen así una serie de datos que el autor ha podido analizar.

Según el análisis realizado, un 65% de los sujetos investigados señalaron que al problema le faltaba claridad en el enunciado. Malaspina valora positivamente estas respuestas y considera que denotan una actitud crítica y competencia para identificar un texto sin claridad suficiente, pero considera preocupante que un 96% de sus alumnos haya decidido por una de las respuestas pues este era un texto que puede prestarse a varias interpretaciones.

De otro lado, el autor conjetura, para entender los resultados mayoritarios, que los alumnos presentan marcada influencia de la autoridad o institución que deben ser aceptadas por encima de las consideraciones de los alumnos. Como resultado de esta investigación se comprueba que en las actividades docentes no hay mucha preocupación por la creación de problemas, ya que la mayoría son copiados o transcritos de diversos medios.

Malaspina (2011), concluye señalando la necesidad de crear problemas estimulantes para el aprendizaje de las matemáticas e investigar tópicos sobre la creación de problemas incluyéndolos a todo nivel, desde la escuela hasta la educación superior.

Los trabajos realizados por Malaspina en los últimos años (2011, 2012, 2013 y 2014) en lo relacionado a la creación de problemas, constituyen un punto de apoyo importante para el presente trabajo de investigación ya que presenta una visión actualizada y explora el campo de la creación de problemas basados en otros ya existentes, tendiendo puentes para iniciar investigaciones ya no con profesores o estudiantes de educación, sino con los propios estudiantes de Educación Básica Regular.La investigación de Ayllón, Castro y Molina (2011) relacionada al conocimiento aritmético puesto de manifiesto por los alumnos de primaria cuando inventan problemas tuvo como objetivos el describir las creencias de los estudiantes sobre qué es un problema, para qué sirve, cómo y cuándo resolverlos, la posibilidad de resolverlos en más de una forma y los elementos que lo hacen difícil.

También querían clasificar los enunciados de los problemas inventados por los estudiantes en base a su coherencia, estructura semántica, estructura operatoria, el número de preguntas formuladas y el número de etapas involucradas en la resolución de los problemas inventados; así como estudiar a qué conjunto numérico pertenecen los números que utilizan los estudiantes al inventar sus problemas y el número de cifras que tienen.

Los sujetos investigados fueron 378 estudiantes del nivel primario de primer a sexto grado siendo evaluados un pequeño grupo de 27 en el año 2001 y el resto en 2010.

Las experimentaciones del 2001 fueron hechas en base a tarjetas donde aparecían diferentes artículos con sus precios, se le solicitó a cada grupo de alumnos que inventaran un problema de compra-venta que tuviera relación con la tarjeta elegida y lo resolviese posteriormente. Luego se les pidió crear un problema más difícil que el anterior. Más adelante se les entrevistó sobre su concepción de lo que es un problema y solicitó solucionar el problema elaborado por su compañero.

Se analizó los resultados y mientras la mayoría de estudiantes enunciaban problemas coherentes para su nivel, que tienen solución a través del uso de los números dados en el problema y saben operarlos adecuadamente, 6 demostraron deficiencias para esto mismo.

En 2010 se realizaron cuestionarios acerca de la noción que tenían los estudiantes sobre el problema y las respuestas que dan para justificar la utilidad de la resolución de problemas son justificadas en base a la utilidad escolar, social y genérica; mientras que los motivos profesionales aparecen en pequeño porcentaje.

Se concluye que los investigados saben distinguir entre un problema y un problema matemático, que los motivos sociales y escolares son los que tienen mayor relevancia para justificar la utilidad de la resolución de problemas y en cuanto a la coherencia de las invenciones que formularon los alumnos en 2001 se apreciaba recién a partir de los alumnos del 2do grado, mientras que en 2010 los alumnos inventan enunciados coherentes desde el 1er grado.

REFERENCIA 2: RELACIONADA CON EL OBJETO MATEMÁTICO QUE ES ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS DECIMALES

Los números decimales son aquellos racionales que tienen una fracción representante con denominador potencia de 10 (fracciones decimales). Godino (2004) conceptualiza a la fracción decimal y también al número decimal, dice que una fracción es llamada decimal si su denominador es una potencia de 10 y llama números decimales a los racionales para los cuales se puede encontrar una fracción decimal representante. Se concluye así que todos los números decimales son racionales, pero no todos los números racionales son decimales.

Los números naturales admiten un representante decimal cuya parte decimal es cero mientras que un número decimal admite un representante cuya notación decimal tiene un número finito de cifras.

En su libro La Disme, el matemático belga Simon Stevin (citado en Godino 2004) propuso fraccionar la unidad en décimas, centésimas, milésimas, etc. para medir cantidades de magnitudes menores que la unidad. Dado este resultado una medida vendrá siempre expresada mediante un número entero y fracciones decimales; también se sugiere que, en lugar de usar los denominadores para expresar las partes de la unidad en la parte fraccionaria del número, se adopte un criterio de posición.

Consideramos relevante la investigación desarrollada por Konic (2011) que tuvo por objetivo principal el aportar nuevos conocimientos para la mejora de la formación inicial en Matemáticas y didáctica de la matemática de los profesores de educación primaria españoles. Utilizó el Enfoque Onto Semiótico (EOS) siendo su objeto matemático los números decimales. Se planteó como objeto de investigación elaborar un modelo didáctico de referencia local para evaluar conocimientos sobre los números decimales. Asimismo se pretendía analizar trayectorias de enseñanza de los números decimales en ciertos libros de textos escolares de primaria en España y evaluar aquellos significados personales que tienen los futuros profesores de primaria acerca de los números decimales.

La investigación se realizó con estudiantes de pregrado del primer año de la especialidad de educación primaria, de la Universidad de Granada, España. La metodología empleada consistió en las experimentaciones consistieron en pruebas piloto, el uso de juicio de expertos y el análisis del tratamiento del tema en libros escolares.

Del análisis de los datos se identificaron dificultades existentes en la enseñanza y aprendizaje de los números decimales, como así también las implicaciones que ello acarrea tanto para el desempeño en la vida cotidiana como en el abordaje de conocimientos nuevos en el área de los números. Se puso de manifiesto también la necesidad de revisar textos y actividades planteadas para el aula por parte de los docentes en actividad.

Acerca de las operaciones de adición y sustracción con decimales se dice que es un procedimiento que consiste en transformar los dos números decimales para que tengan el mismo número de cifras después de la coma, añadiendo ceros a la derecha del número que tenga la parte decimal más corta. Así, si se disponen los dos números en columnas, la coma debajo de la coma, sólo queda aplicar el algoritmo habitual de la adición o de la sustracción en números naturales.

En lo concerniente a la definición de lo que se denomina números decimales, Konic (2011) presentó dos posturas. La primera que considera al número decimal como una forma de expresión de un número racional según Arezzo 2000 y Moreira 2007 (citados en Konic, 2011) y una segunda postura que lo considera como un conjunto numérico con entidad propia según Brousseau 1987, Socas 2002, Cid, Godino y Batanero 2004 (citados en Konic, 2011)

Para Konic (2011) la expresión número decimal indica en sí misma a un número que está escrito en base diez, pero en la tradición escolar nos han enseñado que el número decimal designa casi siempre a los números con coma o sea aquellos en los que podemos distinguir una parte entera y una parte decimal separada por una coma.

Pensamos que esta tesis doctoral aporta un importante material para el objeto matemático elegido, ya que brinda una amplia y detallada información basada en reseñas cronológicamente ordenadas y en importantes investigaciones realizadas en este siglo, básicamente en Europa.

REFERENCIASAyllón, M. , Castro, E. y Molina, M. (2011). Conocimiento aritmético puesto de manifiesto por alumnos de primaria cuando inventan problemas. SEIEM. Investigaciones en pensamiento numérico y algebraico e historia de la matemática y educación matemática. Universidad de Granada, Andalucía, España. pp.77-86. Recuperado de http://www.seiem.es/gruposdetrabajo/pna/ActasPNAGranada.pdf

Castro, Encarnación (2011). La invención de problemas y sus ámbitos de investigación. SEIEM. Investigaciones en pensamiento numérico y algebraico e historia de la matemática y educación matemática. Universidad de Granada, Andalucía, España. pp. 41-49. Recuperado de http://www.seiem.es/gruposdetrabajo/pna/ActasPNAGranada.pdf

Godino, J. (2004). Matemática para maestros. Universidad de Granada, Andalucía, España. Recuperado de http://www.ugr.es/~jgodino/edumat-maestros/manual/8_matematicas_maestros.pdf

Konic, Patricia (2011). Evaluación de conocimientos de futuros profesores para la enseñanza de los números decimales (Tesis de Doctorado) Universidad de Granada, Andalucía, España. Recuperado de http://0-hera.ugr.es.adrastea.ugr.es/tesisugr/0680004.pdf

Malaspina, Uldarico (2011). Sobre creación de problemas. Revista Iberoamericana de Educación Matemática Unión, (28), pp. 159-164. Recuperado de http://www.fisem.org/www/union/revistas/2011/28/archivo_16_volumen28.pdf

Malaspina, Uldarico (2012). Hacia la creación de problemas. Revista Iberoamericana de Educación Matemática Unión, (29), pp. 155-160. Recuperado de http://www.fisem.org/www/union/revistas/2012/29/archivo13.pdf

Malaspina, Uldarico (2011). Sobre creación de problemas. Revista Iberoamericana de Educación Matemática Unión, (28), pp. 159-164. Recuperado de http://www.fisem.org/www/union/revistas/2011/28/archivo_16_volumen28.pdf

Malaspina, Uldarico (2012). Resolviendo y creando problemas con profesores de educación básica. Revista Iberoamericana de Educación Matemática Unión, (30), pp. 151-158. Recuperado de http://www.fisem.org/www/union/revistas/2012/30/Archivo_14_de_volumen_30.pdf

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Malaspina, Uldarico (2013). Variaciones de un problema. El caso de un problema de R. Douady . Revista Iberoamericana de Educación Matemática Unión, (34), pp. 141-149. Recuperado de http://www.fisem.org/www/union/revistas/2013/34/archivo13.pdf

Malaspina, Uldarico (2013). Nuevos horizontes matemáticos mediante variaciones de un problema. El caso de un problema de R. Douady . Revista Iberoamericana de Educación Matemática Unión, (35), pp. 135-143. Recuperado de http://www.fisem.org/www/union/revistas/2013/35/archivo12.pdf

Malaspina, Uldarico (2013). La enseñanza de las matemáticas y el estímulo a la creatividad. Uno. Didáctica de las Matemáticas, (63), pp. 41-49. Recuperado de http://uno.grao.com/revistas/uno/063-innovacion-en-la-universidad/la-ensenanza-de-las-matematicas-y-el-estimulo-a-la-creatividad