avaliac˘ao experimental de controlador preditivo … · 2014-09-20 · s~ao mecanica do tipo...

AVALIACAO EXPERIMENTAL DE CONTROLADOR PREDITIVO ROBUSTOUSANDO LMIS PARA SISTEMA DE DINAMICA RAPIDA

Jose Roberto Colombo Junior∗, Rubens Junqueira Magalhaes Afonso∗, RobertoKawakami Harrop Galvao∗, Edvaldo Assuncao†

∗ITA - Instituto Tecnologico de AeronauticaDivisao de Engenharia Eletronica

Departamento de Sistemas e ControlePraca Marechal Eduardo Gomes, 50, 12228-900, Vila das Acacias, Sao Jose dos Campos, SP, Brasil

†UNESP - Universidade Estadual PaulistaDepartamento de Engenharia Eletrica, Lab. de Pesquisa em Controle

Av. Jose Carlos Rossi, 1370, 15835-000, Ilha Solteira, SP, Brasil

Emails: [email protected], [email protected], [email protected],

[email protected]

Abstract— This paper is concerned with the benchtop experimental evaluation of a robust predictive controller(RPC) designed with linear matrix inequalities for a fast dynamic system widely used in the literature. Thissystem consists of two cars connected to each other through a linear spring, with only one actuator. The controlobjective is to drive both cars to a desired position under restrictions imposed on the input signal and an outputsignal defined as a linear combination of the states. As a result, it was found that the RPC is capable of drivingthe cars close to the desired position while respecting the constraints, even in the presence of uncertainty aboutthe plant.

Keywords— Predictive control, robust control, linear matrix inequalities (LMIs), experimental evaluation,real-time operation.

Resumo— Este trabalho trata da avaliacao experimental em bancada de um controlador preditivo robusto(RPC) projetado via desigualdades matriciais lineares para um sistema de dinamica rapida largamente utilizadona literatura. Tal sistema consiste de dois carros conectados entre si atraves de uma mola linear, com apenasum atuador. O objetivo do controle e conduzir ambos os carros para uma posicao desejada, bem como respeitarrestricoes impostas sobre o sinal de entrada e um sinal de saıda definido como combinacao linear dos estados.Como resultado, verificou-se que o RPC foi capaz de conduzir os carros para proximo da posicao desejadarespeitando as restricoes, mesmo na presenca de incerteza sobre a planta.

Palavras-chave— Controle preditivo, controle robusto, desigualdades matriciais lineares (LMIs), avaliacaoexperimental, operacao em tempo real.

1 Introducao

O Controle Preditivo foi desenvolvido no finaldos anos 70, tendo como principal foco a indus-tria de petroleo. Atualmente diversas aplicacoespodem ser encontradas em outros segmentos, taiscomo as industrias quımica, aeroespacial, de ali-mentos, entre outras (Qin and Badgwell, 2003).Essa disseminacao foi motivada principalmentepelo fato dessa tecnica de controle poder consi-derar restricoes de entrada ou saıda da planta(Maciejowski, 2002). Com formulacao adequadado problema de otimizacao a ser resolvido em cadainstante de amostragem, tem-se garantias nomi-nais de estabilidade e atendimento das restricoes(Mayne et al., 2000). Contudo, tais propriedadespodem ser perdidas caso haja descasamentos entreo modelo interno do controlador e a dinamica realda planta, decorrentes de aproximacoes de mode-lagem ou ocorrencia de falhas.

Esse problema motivou o desenvolvimento detecnicas de controle preditivo robusto (RPC), ja apartir do final da decada de 80 (Campo and Mo-rari, 1987). Nesse contexto, Kothare, Balakrish-

nan e Morari (1996) propuseram uma abordagemRPC baseada no uso de desigualdades matrici-ais lineares, contemplando incertezas representa-das em forma politopica ou incertezas estrutura-das limitadas por norma. Essa abordagem per-mite obter a acao de controle, a cada instante deamostragem, por meio da solucao de um problemade programacao semidefinida (Boyd et al., 1994).

Para ilustracao da tecnica RPC proposta,Kothare, Balakrishnan e Morari (1996) apresen-taram resultados de simulacao numerica usandoum sistema composto por dois carros acopladospor uma mola. Esse sistema e considerado umbenchmark na area de controle robusto, como des-crito em (Wie and Bernstein, 1992). Varios traba-lhos posteriores envolvendo formulacoes RPC de-rivadas de (Kothare et al., 1996) tambem fizeramuso desse mesmo exemplo (Casavola et al., 2000),(Cuzzola et al., 2002), (Wan and Kothare, 2003),(Feng et al., 2006), (Wada et al., 2006), (Yuet al., 2009), (Cavalca et al., 2010), (Tahir andJaimoukha, 2013), (Zhang, 2013). Tambem nes-ses casos, os resultados sempre foram apresentadosna forma de simulacoes numericas.

Anais do XX Congresso Brasileiro de Automática Belo Horizonte, MG, 20 a 24 de Setembro de 2014

3244

Tendo em vista a importancia atribuıda a essesistema-exemplo pela literatura de RPC baseadaem LMIs, seria conveniente a realizacao de es-tudos experimentais para comprovar a aplicabi-lidade dessa tecnica de controle no cenario con-siderado. Em particular, dada a necessidade deresolver o problema de programacao semidefinidadentro de um perıodo de amostragem, seria im-portante avaliar a viabilidade de implementacaoem tempo real com recursos computacionais dis-ponıveis atualmente.

Nesse ambito, a proposta deste trabalho con-siste em implementar a lei de controle RPC deKothare, Balakrishnan e Morari (1996) em ban-cada, empregando um sistema real de dois carrosacoplados por uma mola. Consideram-se restri-coes de entrada e saıda, bem como incerteza demodelo. Cuidados de implementacao foram to-mados de modo a viabilizar a realizacao da tarefade controle com perıodo de amostragem relativa-mente pequeno (25 ms).

O restante deste artigo esta organizado da se-guinte forma. Na Secao 2, resume-se a formulacaodo RPC empregada. Na Secao 3, apresenta-se oestudo de caso. Na Secao 4, descrevem-se o ex-perimento realizado e os resultados obtidos. Co-mentarios finais sao apresentados na Secao 5.

2 Formulacao de controle preditivoadotada

Seja um modelo incerto no espaco de estadosa tempo discreto da forma:

x(k + 1) = Ax(k) +Bu(k), [A, B] ∈ Ω, (1)

sendo que x(k) ∈ Rnx representa o estado daplanta, u(k) ∈ Rnu as entradas de controle e Ω eum politopo de incertezas com vertices conhecidosAi ∈ Rnx×nx e Bi ∈ Rnx×nu , com i = 1,2,...,L.Supoe-se ainda que variaveis de saıda y(k) ∈ Rny

estejam relacionadas com o estado x(k) por meiode uma equacao da forma

y(k) = Cx(k), (2)

sendo C ∈ Rny×nx uma matriz conhecida.Na estrategia de controle preditivo adotada,

considera-se que o controle a ser aplicado no ins-tante k seja obtido por minimizacao de uma fun-cao de custo de horizonte infinito J∞(k) dada por:

J∞(k) =∞∑j=0

[x(k + j|k)TSx(k + j|k)+

u(k + j|k)TRu(k + j|k)], (3)

sendo que S ∈ Rnx×nx e R ∈ Rnu×nu sao matrizesde peso positivo definidas e os valores futuros dosestados sao dados por:

x(k+j|k) = Ax(k+j−1|k)+Bu(k+j−1|k), j ≥ 1,(4)

com x(k|k) = x(k). Adicionalmente, restricoesdevem ser incluıdas para levar em conta limitantessobre as entradas e saıdas do sistema.

Tendo em vista a incerteza sobre as matrizesA e B, o problema de otimizacao a ser resolvidono instante atual k e formulado como

minu(k+j|k),j≥0

max[A,B]∈Ω

J∞(k), (5)

sujeito a

|up(k + j|k)| ≤ up,max, p = 1,2,...,nu, j ≥ 0 (6)

e

|yq(k + j|k)| ≤ yq,max, q = 1,2,...,ny, j ≥ 1 (7)

sendo que up,max e yq,max denotam os limitantesda magnitude da p-esima entrada e q-esima saıda,respectivamente.

Trata-se de um problema do tipo “min-max”,no qual se realiza a minimizacao do maior valor docusto J∞(k) sobre a sequencia de acoes de controleu(k + j|k), j ≥ 0.

A abordagem proposta por (Kothare et al.,1996) consiste em minimizar um limitante supe-rior γ para o custo J∞(k), resolvendo o seguinteproblema de programacao semidefinida:

minγ,Q>0,Y,X

γ (8)

[Q x(k)b 1

]≥ 0, (9)

Q QATi + Y TBTi QS1/2 Y TR1/2

b Q 0 0b b γI 0b b b γI

≥ 0,

(10)[X Yb Q

]≥ 0, (11)

Xpp ≤ u2p,max, (12)[

Q (AiQ+BiY )TCTqb y2

q,max

]≥ 0, (13)

com i = 1,2,...,L, p = 1,2,...,nu e q = 1,2,...,ny,sendo Q = QT ∈ Rnx×nx , X = XT ∈ Rnu×nu eY ∈ Rnu×nx as variaveis de decisao do problemade otimizacao. Em (12) Xpp representa o p-esimoelemento da diagonal da matriz X. Em (13), anotacao Cq e usada para indicar a q-esima linhada matriz C.

As restricoes sobre as entradas de controleup(k) e sobre as saıdas yq(k) sao impostas pormeio das LMIs (11), (12) e (13), respectivamente.

O problema de programacao semidefinida de-finido por (8)-(13) sera denotado por P(x(k)).Vale ressaltar que a solucao do problema dependedo estado x(k) devido a LMI (9).


3245

Resolvendo P(x(k)), a cada instante de tempok, obtem-se uma matriz de ganhos F (x(k)) dadapor:

F (x(k)) = Y Q−1 (14)

sendo as matrizes Y e Q obtidas como solucao doproblema. Por fim, o controle a ser aplicado aplanta e dado por:

u(k) = F (x(k))x(k) (15)

3 Estudo de caso

3.1 Descricao do sistema

Os experimentos foram realizados com umaplanta didatica (Quanser Consulting) compostapor um carro acionado por motor de corrente con-tınua, acoplado a um reboque por meio de umamola. Uma foto do equipamento na bancada delaboratorio e apresentada na Figura 1a.

A variavel de controle consiste na tensao apli-cada ao motor do carro, que resulta na geracao deuma forca f por meio de um sistema de transmis-sao mecanica do tipo pinhao e cremalheira, con-forme apresentado na Figura 1b. Nessa figura, asmassas e posicoes do carro e do reboque sao de-notadas por mc, mr e xc, xr, respectivamente. Aconstante elastica da mola e denotada por Ks.

Carro ReboqueMola

(a)

(b)

Ks

mc

mr

f

xc

xr

Figura 1: Sistema empregado nos experimentos.(a) Foto do equipamento na bancada de laborato-rio. (b) Representacao esquematica.

O modelo a tempo contınuo do sistema e daforma:

x(t) = Acx(t) +Bcv(t) (16)

sendo x = [xc xr xc xr]T o vetor de estado

e v a tensao aplicada ao motor. Vale ressaltar quea dinamica eletrica do motor e muito mais rapidaque a do conjunto carro-mola-reboque e portantonao e considerada no modelo.

De acordo com o manual disponibilizado pelofabricante, as matrizes Ac e Bc sao dadas por:

Ac =

0 0 1 00 0 0 1

−Ks

mc

Ks

mc−bc+

K2gKmKt

Rmr2mp

mc0

Ks

mr−Ks

mr0 − br

mr

,(17)

Bc =[

0 0KgKt

Rmrmp0]T, (18)

com valores de parametros expressos na Tabela 1.Vale ressaltar que o modelo inclui atrito viscoso(com coeficientes bc e br para o carro e reboque),mas nao o atrito seco.

Para obter as matrizes A e B a tempo dis-creto, o modelo foi discretizado empregando aaproximacao de Euler, de forma a preservar a es-trutura politopica resultante de possıveis incerte-zas nos valores dos parametros. Adotou-se umperıodo de amostragem Ts = 25 ms, que e apro-ximadamente um decimo do perıodo de oscilacaonatural do sistema.

As posicoes do carro e reboque sao medidaspor meio de encoders, com resolucao de 0,023 mmde deslocamento linear. As velocidades sao esti-madas com uso de filtros derivativos de segundaordem, conforme especificacao do fabricante.

3.2 Tratamento do atraso computacional

Devido a necessidade de se resolver um pro-blema de otimizacao em cada perıodo de amos-tragem, ha um atraso de tempo entre a leiturados sensores e a atualizacao do controle aplicado aplanta. Se esse atraso fosse conhecido e constante,seria possıvel incluı-lo no modelo de projeto, comodescrito em (Maciejowski, 2002). Contudo, no tra-balho aqui realizado nao se tem garantia a prioride que o atraso permaneca constante ao longo detoda a tarefa de controle. Por essa razao, adotou-se o procedimento descrito a seguir.

Apos obter a solucao do problema de otimi-zacao, o resultado e armazenado na memoria docomputador para ser aplicado somente no proximoinstante de amostragem. Com isso, garante-se queo atraso sera sempre de um perıodo de amostra-gem, como ilustrado na Figura 2.

Lei de

controle

Atraso de

um período de

amostragem

Plantau(k) x(k))(kξ )(kv

Ambiente computacional

Figura 2: Malha de controle com a adicao doatraso artificial.


3246

Tabela 1: Constantes utilizadas para a construcao do modelo.

Constante Significado fısico ValorKs Constante elastica da mola 142 N/mmc Massa do carro 1,15 kgmr Massa do reboque 0,54 kgbc Coeficiente de atrito viscoso no carro 5,4 N.s/mbr Coeficiente de atrito viscoso no reboque 2,2 N.s/mKg Razao da caixa de engrenagens 3,71Km Constante de tensao contraeletromotriz 7,67× 10−3 V.s/radKt Constante de torque do motor 7,67× 10−3 N.m/ARm Resistencia de armadura do motor 2,6 Ωrmp Raio do pinhao conectado no motor 6,35 mm

Com isso, pode-se definir um vetor de estadosaumentado ξ, de forma a levar em conta o atrasode transporte na entrada da planta:

ξ(k) =

[x(k)

u(k − 1)

], (19)

sendo que x(k) e o vetor de estado original eu(k − 1) = v(k) e o controle devidamente aplicadoa planta no instante k.

Assim, o modelo a ser empregado na lei decontrole passa a ser:

ξ(k + 1) = Aξ(k) + Bu(k), (20)

com A e B definidos como:

A =

[A B

01×nx0

], (21)

B =

[0nx×1

1

]. (22)

A solucao do problema de otimizacao P(ξ(k))e utilizada para gerar u(k), que sera aplicado aplanta no proximo instante de amostragem.

3.3 Parametros adotados na lei de controle

Considera-se que a tarefa de controle consisteem deslocar o conjunto de carro e reboque parauma posicao de referencia r, partindo do repouso.Como a lei de controle e formulada de modo a le-var o estado para a origem, a tarefa e realizada es-tabelecendo ξ(0) = [−r −r 0 0 0]T comocondicao inicial. Desse modo, ao conduzir o estadoξ para a origem, o controlador estara levando asposicoes xc e xr para a referencia r.

Em todos os experimentos neste trabalho, asmatrizes de peso, S e R, para ajuste do controla-dor foram tomadas como:

S =

104 0 0 0 00 104 0 0 00 0 0,01 0 00 0 0 0,01 00 0 0 0 10−3

e R = 0,1.

(23)

Um limitante umax = 6 V foi imposto so-bre a tensao aplicada ao motor. Adicionalmente,foi imposta uma restricao sobre a compressao damola (xc − xr). Para isso, definiu-se uma variavely = xc − xr por meio da equacao de saıda (2) comC = [1 −1 0 0] . O limitante imposto sobrea excursao dessa variavel foi ymax = 1,0 cm.

3.4 Estudo de descasamento de modelo

Com o intuito de investigar a capacidade docontrolador de tratar incertezas, foi estudado oefeito de uma possıvel variacao na constante elas-tica da mola (Ks). Para isso foram consideradostres cenarios.

No primeiro, o controlador faz uso de um mo-delo com um unico vertice, correspondendo aosvalores nominais dos parametros apresentados naTabela 1 (incluindo Ks = 142 N/m). Esse con-trolador sera chamado de NPC (Nominal Predic-tive Controller). No segundo cenario, introduz-seum descasamento de modelo no NPC, alterando ovalor de Ks para 270 N/m. Na pratica, tal des-casamento poderia ser resultante, por exemplo, deuma falha que alterasse as caracterısticas da mola.Diante da impossibilidade de se alterar a mola em-pregada no equipamento, essa situacao de falha foiinvestigada alterando a constante elastica adotadano modelo. Por fim, no terceiro cenario emprega-se o RPC fazendo uso de um modelo com dois ver-tices, correspondendo a valores extremos de 135 e405 N/m para o parametro Ks. Cabe ressaltarque essa faixa inclui o valor nominal correto.

3.5 Implementacao em bancada

Tanto o RPC quanto o NPC foram imple-mentados na plataforma computacional Matlab2012a, em um computador com processador Inteli5-3470S (2,90 GHz) e 6 GB de memoria RAM.

O problema de programacao semidefinida foiresolvido utilizando o pacote LMI Control Toolboxdo Matlab. Vale notar que a LMI (9) e a unica queprecisa ser alterada durante a tarefa de controle,o que simplifica a recodificacao do problema de


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0 0.5 1 1.5 20

2

4

6

Tempo (s)

Ten

são

(V)

(b)

Controle vRestrição

0 0.5 1 1.5 2

0

0.5

1

1.5

Tempo (s)Com

pres

são

da m

ola

(cm

)

(c)

xc − x

r

Restrição

0 0.5 1 1.5 2

0

1

Tempo (s)

1 =

sim

, 0 =

não

(d)

Factibilidade da solução inicial

0 0.5 1 1.5 2

0

10

20

30

Tempo (s)

Tem

po (

ms)

(e)

Tempo de otimizaçãoTempo totalPeríodo de amostragem

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

5

10

15

20

(a)

Tempo (s)

Pos

ição

(cm

)

CarroReboqueReferência

Figura 3: Resultados obtidos empregando o controlador NPC sem descasamento entre planta e modelo.(a) Leitura dos sensores de posicao e valor de referencia. (b) Sinal de controle v e respectiva restricao.(c) Compressao da mola e respectiva restricao. (d) Factibilidade da solucao inicial. (e) Tempo gastodurante o processo de otimizacao e tempo total gasto pelo algoritmo de controle.

otimizacao em tempo real. Com efeito, uma vezque o conjunto de LMIs (9)-(13) tenha sido arma-zenado na memoria do computador, basta alteraro valor de x(k) na LMI (9) a cada novo instantede amostragem e entao invocar o otimizador.

Antes de se comecar a tarefa de controle, umasolucao (γ0, Q0, Y0, X0) e obtida offline para oproblema inicial P(ξ(0)), sendo necessarios 55 mspara gera-la. Com isso, ja se tem a solucao a serempregada no instante k = 0. Nos instantes pos-teriores, testa-se a factibilidade da solucao inicial,verificando se a LMI (9) e satisfeita com Q = Q0.Em caso afirmativo, a solucao (γ0, Q0, Y0, X0) eutilizada para inicializar o otimizador. Caso con-trario, o problema de otimizacao nao e resolvido eutiliza-se a ultima matriz de ganhos armazenadana memoria do computador para calcular o sinalde controle u(k). Para evitar que o tempo despen-dido na otimizacao ultrapasse o perıodo de amos-tragem, estipulou-se um numero maximo de 20iteracoes no algoritmo numerico de solucao. Es-tudos preliminares mostraram que esse criterio de

parada resultava em um valor de custo similar aoobtido com a configuracao default do otimizador.

4 Resultados e discussao

A Figura 3 apresenta o resultado obtido noCenario 1, isto e, com uso do controlador NPCempregando o conjunto planta/modelo “casados”.

Como pode ser observado na Figura 3a, ocarro e o reboque sao conduzidos para posicoesproximas da referencia. O erro em regime estacio-nario, cerca de 4,5%, se deve a presenca de atritoseco. Com efeito, nao ha evidencia de que a plantaesteja sujeita a perturbacoes exogenas.

As restricoes impostas sobre o controle v e avariavel de saıda y = xc−xr foram respeitadas aolongo de toda a tarefa de controle, como se podeverificar nas Figuras 3b e 3c. Vale notar que asolucao inicial sempre se mostrou factıvel, comoindicado na Figura 3d.


3248

−0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.80

5

10

15

20

25

30

35

40

Desvio do período de amostragem (%)

Núm

ero

de o

corr

ênci

as

Figura 4: Histograma com a distribuicao do jittermedido durante a tarefa de controle.

Por fim, observa-se que o tempo total neces-sario para executar o algoritmo de controle (in-cluindo a comunicacao com o dispositivo de inter-face com a planta e demais operacoes de processa-mento de dados) e sempre menor que o perıodo deamostragem, como se pode constatar na Figura 3e.

Na Figura 4 e apresentado um histograma dojitter (desvio do perıodo de amostragem com res-peito ao valor de 25 ms estipulado) durante arealizacao da tarefa de controle. O histogramafoi levantado utilizando um osciloscopio (AgilentMSO-X 2012A) para medir o intervalo de tempoentre as atualizacoes do controle aplicado a planta.Como resultado, verifica-se que os maiores desviosdo perıodo de amostragem sao pequenos, nao su-perando 0,6%.

Na Figura 5 sao apresentados os resultadosobtidos para o Cenario 2, em que a constante elas-tica da mola no modelo usada pelo NPC esta emdesacordo com o valor real.

A partir da Figura 5a e 5b, verifica-se queo carro e o reboque continuam sendo conduzidospara proximo da referencia, e a restricao impostasobre o sinal de controle continua sendo respei-tada.

Contudo, como se pode observar na Figura 5c,a restricao imposta sobre a compressao da moladeixa de ser respeitada durante parte do ensaio.A violacao dessa restricao coincide com o inter-valo de tempo em que a solucao inicial deixou deser factıvel, como mostrado na Figura 5d. Valelembrar que, nesse caso, emprega-se a matriz deganho obtida no instante anterior. Como resul-tado, o tempo de computacao torna-se pequeno,como pode ser visto na Figura 5e.

O resultado obtido no Cenario 2 ilustra os pro-blemas de violacao de restricoes que podem surgirem decorrencia de descasamento de modelo. Issomotiva o uso de um controlador robusto que leveem conta uma faixa de valores para Ks de modoa acomodar possıveis falhas que resultem na alte-racao desse parametro.

Na Figura 6 sao apresentados os resultados

obtidos para o Cenario 3, que consiste no uso doRPC. A partir das Figuras 6a e 6b, verifica-se queo carro e o reboque continuam sendo conduzidospara perto da posicao de referencia, com atendi-mento da restricao de controle. E mostrado naFigura 6c que a restricao sobre o sinal de saıdavolta a ser respeitada.

Adicionalmente, constata-se que a solucao ini-cial foi factıvel ao longo de todo o ensaio (Figura6d) e que o tempo total de computacao semprefoi menor que o perıodo de amostragem (Figura6e). Conclui-se portanto que a utilizacao do RPCe adequada para acomodar possıveis descasamen-tos de modelo, evitando o problema de violacaode restricoes observado no Cenario 2.

5 Conclusoes

Neste trabalho, realizou-se uma avaliacao ex-perimental da formulacao de controle preditivo ro-busto (RPC) originalmente proposta por Kothare,Balakrishnan e Morari (1996). O estudo de casoenvolvendo um sistema de dois carros acopladospor uma mola foi escolhido tendo em vista a im-portancia atribuıda a esse exemplo pela literaturade RPC baseada em LMIs. Vale salientar que essesistema eletromecanico tem dinamica rapida, emcomparacao com aplicacoes industriais tıpicas decontrole preditivo. Por essa razao, cuidados deimplementacao precisaram ser tomados de modoque o problema de otimizacao envolvido pudesseser resolvido dentro de um perıodo de amostra-gem relativamente curto (25 ms). Como resul-tado, observou-se que o RPC foi capaz de condu-zir o sistema para proximo da posicao de referen-cia, respeitando as restricoes de entrada e saıda,mesmo na presenca de incerteza sobre um dos pa-rametros do modelo (constante elastica da mola).Os ensaios revelaram ainda que a robustez e par-ticularmente importante para garantir o atendi-mento da restricao de saıda.

Trabalhos futuros poderiam estudar formasde se compensar o atrito seco presente no sistema,de modo a reduzir o erro de posicionamento em re-gime estacionario. Vale salientar que a simples in-troducao de um integrador na lei de controle poderesultar em oscilacoes sustentadas em torno da po-sicao de referencia, devido a presenca de atritoseco (Yao et al., 2013). Uma alternativa consis-tiria no uso de estimadores de perturbacao comoem abordagens tradicionais de controle preditivo(Maciejowski, 2002). Contudo, tal metodo podenao se mostrar apropriado neste caso, uma vezque a forca de atrito depende do sentido do des-locamento e pode exibir caracterısticas complexasem baixas velocidades (Hensen et al., 2003). Dessemodo, investigacoes mais detalhadas se fazem ne-cessarias para tratar essa questao.


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0 0.5 1 1.5 2

0

2

4

6

Tempo (s)

Ten

são

(V)

(b)


0 0.5 1 1.5 2−0.5

0

0.5

1

1.5

Tempo (s)Com

pres

são

da m

ola

(cm

)

(c)

xc − x

r

Restrição

0 0.5 1 1.5 2

0

1

Tempo (s)

1 =

sim

, 0 =

não

(d)


0 0.5 1 1.5 2

0

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20

30

Tempo (s)

Tem

po (

ms)

(e)


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

10

20

30

Tempo (s)

Pos

ição

(cm

)

(a)CarroReboqueReferência

Figura 5: Resultados obtidos empregando o controlador NPC com descasamento entre planta e modelo.(a) Leitura dos sensores de posicao e valor de referencia. (b) Sinal de controle v e respectiva restricao.(c) Compressao da mola e respectiva restricao. (d) Factibilidade da solucao inicial. (e) Tempo gastodurante o processo de otimizacao e tempo total gasto pelo algoritmo de controle.

Agradecimentos

Os autores agradecem o apoio financeiro daFAPESP (2011/17610-0 e 2011/18632-8), CA-PES (Pro-Engenharias), CNPq (Produtividadeem Pesquisa) e FINEP.

Referencias

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Casavola, A., Giannelli, M. and Mosca, E. (2000).Min–max predictive control strategies forinput-saturated polytopic uncertain systems,Automatica 36(1): 125–133.

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3250

0 0.5 1 1.5 2 2.50

2

4

6

Tempo (s)

Ten

são

(V)

(b)


0 0.5 1 1.5 2 2.50

0.5

1

Tempo (s)Com

pres

são

da m

ola

(cm

)

(c)x

c − x

r

Restrição

0 0.5 1 1.5 2 2.5

0

1

Tempo (s)

1 =

sim

, 0 =

não

(d)


0 0.5 1 1.5 2 2.50

10

20

30

Tempo (s)

Tem

po (

ms)

(e)


0 0.5 1 1.5 2 2.50

5

10

15

20

Tempo (s)

Pos

ição

(cm

)

(a)

CarroReboqueReferência

Figura 6: Resultados obtidos empregando o controlador RPC. (a) Leitura dos sensores de posicao evalor de referencia. (b) Sinal de controle v e respectiva restricao. (c) Compressao da mola e respectivarestricao. (d) Factibilidade da solucao inicial. (e) Tempo gasto durante o processo de otimizacao e tempototal gasto pelo algoritmo de controle.

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avaliac˘ao experimental de controlador preditivo … · 2014-09-20 · s~ao mecanica do tipo...

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