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Autora: Bárbara Cánovas Conesa Contacto: [email protected]

Exámenes Matemáticas CCSS EvAU

www.clasesalacarta.com

Convocatoria: Junio 2019

PROPUESTA A

1.A. Un cliente hace un pedido a una fábrica de harinas que ofrece 3 tamaños distintos de sacos:

pequeño, mediano y grande. Ha pedido 20 sacos pequeños, 14 medianos y 6 grandes y el peso total de

su pedido es 1800 kilogramos. Si el peso de dos sacos pequeños y tres medianos es el mismo que el de

dos sacos grandes y el peso de un saco grande es cuatro veces el peso de un saco pequeño.

a) Plantea el sistema de ecuaciones que nos permita averiguar el peso de cada tipo de saco

b) Resuelve razonadamente el sistema planteado en el apartado anterior.

Lo primero que hacemos es establecer las incógnitas:

𝑥: kg que pesa un saco pequeño

𝑦: kg que pesa un saco mediano

𝑧: kg que pesa un saco grande

El sistema que nos indica el problema es el siguiente:

{20𝑥 + 14𝑦 + 6𝑧 = 18002𝑥 + 3𝑦 = 2𝑧 𝑧 = 4𝑥

→ {𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 − 𝟐𝒛 = 𝟎 𝟐𝟎𝒙 + 𝟏𝟒𝒚 + 𝟔𝒛 = 𝟏𝟖𝟎𝟎−𝟒𝒙 + 𝒛 = 𝟎

Lo resolvemos por Gauss:

(2 3 −220 14 6−4 0 1

|0

18000) → 𝐸2 = 10 𝐸1 − 𝐸2

𝐸3 = 2 𝐸1 + 𝐸3

→ (2 3 −20 16 −260 6 −3

|0

−18000

) → 𝐸3 = 6 𝐸2 − 16 𝐸3

→ (2 3 −20 16 −260 0 −108

|0

−1800−10800

) → 𝑧 = 100 → 𝑦 = 50 → 𝑥 = 25

→ 𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛: (25, 50, 100)

Es decir, hay cada saco pequeño pesa 25kg, cada saco mediano pesa 50kg y cada saco grande pesa

100kg.

2.A. En el siguiente problema de programación lineal optimiza la función 𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥 + 4𝑦 sujeta a

las siguientes restricciones: 𝑥 + 𝑦 ≥ 2 ; 𝑥 ≤ 𝑦 ; 0 ≤ 𝑦 ≤ 2 ; 𝑥 ≥ 0

a) Dibuja la región factible.

b) Determina los vértices de la región factible.

c) Indica el máximo y el mínimo y sus respectivos valores.

Los vértices los calculamos analíticamente haciendo sistemas de

ecuaciones con las expresiones de las rectas que al cruzarse forman

cada vértice:

𝑉1 → {𝑥 + 𝑦 = 2𝑥 = 𝑦

→ 𝑉1 = (1,1)

𝑉2 → {𝑥 + 𝑦 = 2𝑦 = 2

→ 𝑉2 = (0,2)

𝑉3 → {𝑥 = 𝑦𝑦 = 2 → 𝑉3 = (2,2)

y

1 –

2 –

1

–

2

–

x

V3 (2, 2)

V2 (0, 2)

V1 (1, 1)



La función a optimizar que nos da el enunciado es: 𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥 + 4𝑦. Y los valores que toma dicha

función en cada uno de los vértices hallados es:

En el vértice V1 : 𝑓(1,1) = 7



Por tanto se obtiene un máximo en el punto (𝟐,𝟐) que tiene un valor de 14, el mínimo se obtiene en el

punto (𝟏,𝟏) siendo su valor de 7.

3.A.- Se considera la función 𝑓(𝑥) = {4𝑥 −

3

2 𝑠𝑖 𝑥 ≤ c

(𝑥 − 2)2 +3

2 𝑠𝑖 𝑥 > c

a) ¿Para qué valor de 𝑐 la función 𝑓(𝑥) es continua en 𝑥 = c?

b) Para c = 1, representa gráficamente la función 𝑓.

Para que la función sea continua en 𝑥 = c, se tiene que cumplir que 𝑙𝑖𝑚𝑥 → 𝑐

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑐):

|

|𝑙𝑖𝑚𝑥 → 𝑐−

𝑓(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚𝑥 → 𝑐−

4𝑥 −3

2 = 𝟒𝒄 −

𝟑

𝟐

𝑙𝑖𝑚𝑥 → 𝑐+

𝑓(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚𝑥 → 0+

(𝑥 − 2)2 +3

2= (𝒄 − 𝟐)𝟐 +

𝟑

𝟐

𝑓(𝑐) = 𝟒𝒄 −𝟑

𝟐

Como los tres valores tienen que ser iguales:

4𝑐 −3

2= (𝑐 − 2)2 +

3

2→ 𝑐2 − 8𝑐 + 7 = 0 → {

𝑐1 = 7𝑐2 = 1

Es decir, existen dos valores de 𝑐 para los que la función es continua.

Para 𝑐 = 1:

𝑓(𝑥) = {4𝑥 −

3

2 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 1

(𝑥 − 2)2 +3

2 𝑠𝑖 𝑥 > 1

𝑥 ≤ 1 → 𝑓(𝑥) = 4𝑥 −3

2 𝑥 > 1 → 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 4𝑥 +

11

2

𝑓(0) = −3

2

𝑓(1) =5

2

{𝑉𝑥 = −

𝑏

2𝑎=4

2= 2

𝑉𝑦 = 𝑓(2) =3

2

→ 𝑉 = (2,3

2)

𝑓(1) =5

2



4.A.- La función 𝑣 (𝑡) = 48𝑡2 − 2𝑡3 nos da el número de ordenadores afectado por un virus

informático, siendo 𝑡 el tiempo (en horas) desde que se localizó el primer ordenador con virus. a) Averigua, si existe, el momento en el que el virus dejará de propagarse.

b) Estudia cuando aumenta y cuando disminuye la propagación del virus.

c) ¿En qué momento se produce el número máximo de ordenadores afectados? ¿cuántos

ordenadores?

Para calcular, si existe, el momento (𝑡) en que el virus dejará de propagarse, tenemos que igualar la

función 𝑣(𝑡) a cero y calcular 𝑡:

48𝑡2 − 2𝑡3 = 0 → 2𝑡2(24 − 𝑡) = 0 → {𝑡1 = 0 𝑡2 = 24

Es decir, en 24 horas el virus dejará de propagarse.

Para ver el comportamiento de la infección vírica, estudiamos el signo de la primera derivada:

𝑣′(𝑡) = 96𝑡 − 6𝑡2 𝑣′(𝑡) = 0→ 96𝑡 − 6𝑡2 = 0 → 6𝑡(16 − 𝑡) = 0 → {

𝒕𝟏 = 𝟎 𝒕𝟐 = 𝟏𝟔

No estudiamos el signo de 𝑣′(𝑡) para valores de 𝑡 menores que cero, puesto que un tiempo negativo no

tiene sentido. Como podemos observar, la infección aumenta desde el principio hasta las 16 horas, a partir

de este momento disminuye hasta las 24 horas que es cuando deja de propagarse.

El número máximo de ordenadores infectados se alcanza a las 16 horas y es de: 𝑣(16) = 𝟒𝟎𝟗𝟔

ordenadores.

5.A.- En un cierto banco el 5% de los créditos concedidos son para la compra de una casa. De los

créditos concedidos para la compra de una casa, el 40% resultan impagados. Del resto de créditos concedidos que no son para la compra de una casa, se sabe que el 10% de ellos resultan impagados.

a) Calcula la probabilidad de que elegido un crédito al azar sea de los impagados.

y

𝟏

𝟐 –

𝟏

𝟐

–

𝟏

–

x−𝟑

𝟐

–

𝟐

𝟐

–

𝟑

–

–

𝟑

𝟐 –

𝟏 > 𝟎

|

16

𝟏 𝟎

|

0

|

24



b) Sabiendo que un crédito se ha pagado, ¿cuál es la probabilidad de que el crédito fuera para una

casa?

Hacemos un diagrama de árbol con los sucesos:

C = “que el crédito sea para una casa”

C = “que el crédito no sea para una casa”

P = “que el crédito sea pagado”

I = “que el crédito sea impagado”

Para calcular la probabilidad de que un crédito resulte impagado, usamos el teorema de la probabilidad

total:

𝑃(𝐼) = 𝑃(𝐶) · 𝑃(𝐼|𝐶) + 𝑃(𝐶) · 𝑃(𝐼|𝐶) = 0.05 · 0.4 + 0.95 · 0.1 → 𝑃(𝐼) = 0.115

Para calcular la probabilidad de que si el crédito resulta pagado haya sido concedido para una casa,

empleamos la probabilidad condicionada y el teorema de Bayes:

𝑃(𝐶|𝑃) =𝑃(𝐶 ∩ 𝑃)

𝑃(𝑃)=𝑃(𝑃|𝐶) · 𝑃(𝐶)

1 − 𝑃(𝐼)=0.6 · 0.05

1 − 0.115→ 𝑃(𝐸|+) = 0.034

6.A.- Se ha tomado una muestra aleatoria del contenido en gramos de azúcar en frascos de 500 gramos

de kétchup en una muestra de 10 frascos y ha resultado ser: 60, 80, 120, 95, 65, 70, 75, 85, 100 y 90. Suponiendo que el contenido en azúcar en gramos del kétchup se distribuye según una ley normal de desviación típica 𝜎 = 10 gramos, se pide:

a) Halla el intervalo de confianza del 97% para el contenido medio de azúcar en un frasco de 500

gramos de kétchup.

b) Razona y explica qué se podría hacer para que el intervalo de confianza tuviera menor amplitud

con el mismo nivel de confianza.

c) ¿Crees que la media poblacional 𝜇 del contenido en gramos de azúcar es de 85 gramos con una

probabilidad del 98.5 %? Razona tu respuesta.

El intervalo de confianza para la media es: 𝐼𝐶 = (𝑥 ± 𝑍𝛼2⁄·𝜎

√𝑛)

La media muestral la tenemos que calcular:

𝑥 =∑𝑥𝑖𝑛=60 + 80 + 120 + 95 + 65 + 70 + 75 + 85 + 100 + 90

10→ 𝒙 = 𝟖𝟒 𝒈𝒓

La desviación típica y el tamaño muestral los sabemos: 𝜎 = 10 gramos y 𝑛 = 10 frascos de 500 gramos.

El nivel de confianza es del 97%, por lo que:

1 − = 0.97 → = 0.03 → 𝛼 2⁄ = 0.015 → 𝟏 −𝜶𝟐⁄ = 𝟎. 𝟗𝟖

El valor crítico Zα2⁄ es aquel que cumple, en la distribución normal estándar P (Z Zα

2⁄) 1 − α 2⁄ ,

por lo que buscamos en la tabla que nos dan 𝑃 (𝑍 𝑍𝛼2⁄) 0.985 Zα

2⁄= 𝟐.𝟏 .

Con todos estos datos ya podemos calcular nuestro intervalo de confianza para la media:

0,05

C

P0,6

0,4

P

0,1

0,90,95

I

I



𝐼𝐶 = (𝑥 ± 𝑍𝛼2⁄·𝜎

√𝑛) = (84 ± 2.17 ·

10

√10) = (84 ± 6.86) → 𝐼𝐶 = (77.14, 90.86)

Por tanto, el intervalo de confianza al 97% para el contenido en azúcar de los frascos de kétchup es de

(77.14, 90.86). Esto significa que el contenido en azúcar de los frascos de kétchup está entre 77.14 y 90.86

gramos, con una probabilidad del 97%.

Para disminuir el intervalo de confianza tenemos que disminuir el error máximo admisible:

𝐸 = 𝑍𝛼2⁄·𝜎

√𝑛

Como podemos ver, este valor es directamente proporcional al nivel de confianza e inversamente

proporcional al tamaño muestral, por tanto, si queremos mantener el nivel de confianza habrá que

aumentar la muestra en estudio.

Creo que la media poblacional de horas semanales de media dedicadas a las nuevas tecnologías con una

probabilidad del 98.5% sí puede ser = 85 gramos. Ya que, primero, el valor de 85 gramos ya forma parte

del intervalo para un nivel de confianza del 97%, si aumentamos dicho nivel hasta el 98.5% la amplitud

del intervalo aumentará, por lo que seguirá conteniendo el valor de 85.



PROPUESTA B

1.B.- Dadas las matrices

𝐴 = (1 33 1

) y 𝐵 = (1 5𝑎 𝑏

)

encontrar los valores de los parámetros 𝑎 y 𝑏 para que las matrices conmuten.

Si las dos matrices conmutan quiere decir que se cumple 𝐴 · 𝐵 = 𝐵 · 𝐴:

𝐴 · 𝐵 = (1 33 1

) · (1 5𝑎 𝑏

) → 𝐴 · 𝐵 = (1 + 3𝑎 5 + 3𝑏3 + 𝑎 15 + 𝑏

)

𝐵 · 𝐴 = (1 5𝑎 𝑏

) · (1 33 1

) → 𝐵 · 𝐴 = (16 8

𝑎 + 3𝑏 3𝑎 + 𝑏)

Para que dos matrices sean iguales tienen que ser iguales término a término, por lo que podemos

construir un sistema de ecuaciones igualando término a término de las matrices que nos han resultado:

{

1 + 3𝑎 = 16 5 + 3𝑏 = 8 3 + 𝑎 = 𝑎+ 3𝑏 15 + 𝑏 = 3𝑎 + 𝑏

→ {

𝑎 = 5𝑏 = 1

2.B.- Se reparten tres tipos de becas: B1 por valor de 400 euros, B2 de 160 euros y B3 de 200 euros. El

dinero total destinado a las becas es de 43400 euros y son 145 personas las que obtienen beca. Cada

persona solamente puede obtener una beca. Sabiendo que la cantidad de personas que recibe la beca B1

es 5 veces mayor que la que obtiene la beca B2:

a) Plantea el sistema de ecuaciones que nos permite averiguar qué cantidad de personas reciben

cada tipo de beca.

b) Resuelve razonadamente el sistema planteado en el apartado anterior.

Lo primero que hacemos es establecer las incógnitas:

𝑥: nº de personas que reciben la beca B1

𝑦: nº de personas que reciben la beca B2

𝑧: nº de personas que reciben la beca B3

El sistema que nos indica el problema es el siguiente:

{

400𝑥 + 160𝑦 + 200𝑧 = 43400𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 145 𝑥 = 5𝑦

→ {

𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟏𝟒 𝟏𝟎𝒙 + 𝟒𝒚 + 𝒛 = 𝟏𝟎𝟖 𝒙 − 𝒚 = 𝟎

Lo resolvemos por Gauss:

(1 1 110 4 51 −5 0

|14510850) → 𝐸2 = 10 𝐸1 − 𝐸2

𝐸3 = 𝐸1 − 𝐸3

→ (1 1 10 6 50 6 1

|145365145

) → 𝐸3 = 𝐸2 − 𝐸3

→ (1 1 10 6 50 0 4

|145365220

)

𝑧 = 55 → 𝑦 = 15 → 𝑥 = 75 → 𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛: (75, 15, 55)

Es decir, hay 75 personas obtuvieron la beca B1, 15 personas la beca B2 y 55 personas la beca B3.



3.B- Se considera la función 𝑓(𝑥) = {|𝑥 + 2| + 𝑡 𝑠𝑖 𝑥 ≤ −1(𝑥 − 𝑡)2 𝑠𝑖 𝑥 > −1

a) ¿Para qué valor de 𝑡 la función 𝑓(𝑥) es continua en 𝑥 = −1?

b) Para 𝑡 = 3, calcula los extremos relativos de la función 𝑓(𝑥) en el intervalo (−1,+∞).

c) Para 𝑡 = 3, calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función 𝑓(𝑥) en (−1,+∞).

Para que la función sea continua en 𝑥 = −1, se tiene que cumplir que 𝑙𝑖𝑚𝑥 → −1

𝑓(𝑥) = 𝑓(−1):

|

𝑙𝑖𝑚𝑥 → −1−

𝑓(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚𝑥 → −1−

|𝑥 + 2| + 𝑡 = 𝟏 + 𝒕

𝑙𝑖𝑚𝑥 → −1+

𝑓(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚𝑥 → −1+

(𝑥 − 𝑡)2 = (−𝟏 − 𝒕)𝟐

𝑓(−1) = 𝟏 + 𝒕

Como los tres valores tienen que ser iguales:

1 + 𝑡 = (−1 − 𝑡)2 → 1 + 𝑡 = 1 + 𝑡2 + 2𝑡 → 𝑡2 + 𝑡 = 0 → 𝑡(2𝑡 + 1) = 0 → {

𝑡1 = 0

𝑡2 = −1

2

Para 𝑡 = 3, la función toma el valor queda: 𝑓(𝑥) = (3 − 𝑡)2. Para estudiar la monotonía y los extremos

relativos, estudiamos el signo de la primera derivada:

𝑓′(𝑥) = 2(3 − 𝑡)(−1) → 𝑓′(𝑥) = 2𝑡 − 6 𝑓′(𝑥)=0→ 2𝑡 − 6 = 0 → 𝒕 = 𝟑

Por tanto, la función decrece en el intervalo (-1, 3) y crece en (3, +). Y existe un mínimo en

(3, 𝑓(3)), es decir, en el punto (3, 0).

4.B.- Sea la función 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥4 + 𝑏𝑥3 + 𝑐𝑥 + 1. Sabemos que presenta un punto de inflexión en el

punto de abscisa 𝑥 = 0, un máximo en 𝑥 = 1 y la pendiente de la recta tangente en 𝑥 = −1 es 24. Con

estos datos, halla razonadamente los valores de los parámetros 𝑎, 𝑏 y 𝑐.

Tenemos que calcular tres parámetros, con lo que necesitamos tres ecuaciones:

Punto de Inflexión en 𝑥 = 0: 𝑓′′(0) = 0

Máximo en 𝑥 = 1: 𝑓′(1) = 0

La pendiente de la recta tangente en 𝑥 = −1 es 24: 𝑓′(−1) = 24

Primero calculamos la primera y segunda derivada:

𝑓′(𝑥) = 4𝑎𝑥3 + 3𝑏𝑥2 + 𝑐 → 𝑓′′(𝑥) = 12𝑎𝑥2 + 6𝑏𝑥

Vamos a sacar factor común en la segunda derivada:

𝑓′′(𝑥) = 6𝑥(2𝑎𝑥 + 𝑏)

Y ahora construimos nuestro sistema de ecuaciones:

𝟎 𝟎

|

3

𝟒 > 𝟎

|

-1



{

𝑓′′(0) = 0 → 0(𝑏) = 0

𝑓′(1) = 0 → 4𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 = 0

𝑓′(−1) = 24 → −4𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 = 24

→ {𝑏 = 0 4𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 = 0−4𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 = 24

Resolvemos el sistema que nos queda por reducción:

{4𝑎 + 𝑐 = 0−4𝑎 + 𝑐 = 24

→ 2𝑐 = 24 → 𝑐 = 12 → 𝑎 = −3

Por tanto, la función nos queda: (𝒙) = −𝟑𝒙𝟒 + 𝟏𝟐𝒙+ 𝟏

5.B.- En una clase de pintura hay 27 alumnos, 14 son de Albacete, 5 son de Cuenca y 8 de Toledo.

a) Se sortean dos entradas entre todos los alumnos, ¿cuál es la probabilidad de que ambas entradas

le toquen a alumnos que no son de Albacete? (pueden tocarle al mismo alumno las dos entradas).

b) Si sorteamos 5 entradas, de una en una, de forma que no participa en el sorteo la persona que

ya le haya tocado una entrada, ¿cuál es la probabilidad de que las 5 sean para alumnos de Cuenca?

Si llamamos a los sucesos:

A = “ser de Albacete” C = “ser de Cuenca” T = “ser de Toledo”

La probabilidad de cada uno de ellos es:

𝑃(𝐴) =14

27 → 𝑃(��) =

13

27

𝑃(𝐶) =5

27”

𝑃(𝑇) =8

27

La probabilidad de que las dos entradas sorteadas le toquen a alumnos que no son de Albacete,

pudiéndole tocar al mismo alumno las dos entradas, es la probabilidad de la intersección del suceso

contrario a ser de Albacete, es decir:

𝑃(��1 ∩ ��1) =13

27·13

27→ 𝑃(��1 ∩ ��1) =

169

729= 0.23

La probabilidad de que las cinco entradas sean para los cinco alumnos de Cuenca, sin que le pueda

tocar a un mismo alumno dos entradas es de:

𝑃(𝐶1 ∩ 𝐶2 ∩ 𝐶3 ∩ 𝐶4 ∩ 𝐶5) =5

27·4

26·3

25·2

24·1

23→ 𝑃(𝐶1 ∩ 𝐶2 ∩ 𝐶3 ∩ 𝐶4 ∩ 𝐶5) = 1.23 · 10

−5

6.B.- El tiempo de atención a un paciente por parte de un centro médico sigue una distribución normal

de media desconocida y desviación típica σ = 2 minutos. Se hace un estudio de los tiempos de atención

de 10 clientes al azar, siendo estos tiempos: 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 14, 15 y 16 minutos respectivamente.

a) Halla un intervalo de confianza para la media poblacional del tiempo de atención al paciente por

parte del centro, con un nivel de confianza del 95 %.

b) ¿Cuál debería ser el tamaño mínimo de la muestra elegida para que, con el mismo nivel de

confianza, el error máximo admisible sea menor que 1 minuto?

El intervalo de confianza para la media es: 𝐼𝐶 = (𝑥 ± 𝑍𝛼2⁄·𝜎

√𝑛)



La media muestral la tenemos que calcular:

𝑥 =∑𝑥𝑖𝑛=5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 11 + 12 + 14 + 15 + 16

10→ 𝒙 = 𝟏𝟎. 𝟑 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐𝒔

Según nos dicen en el enunciado:

𝜎 = 2 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠

𝑛 = 10 𝑝𝑎𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠

El nivel de confianza es del 95%, por lo que:

1 − = 0.95 → = 0.05 → 𝛼 2⁄ = 0.025 → 𝟏 −𝜶𝟐⁄ = 𝟎. 𝟗

El valor crítico Zα2⁄ es aquel que cumple, en la distribución normal estándar P (Z Zα

2⁄) 1 − α 2⁄ ,

por lo que buscamos en la tabla que nos dan 𝑃 (𝑍 𝑍𝛼2⁄) 0.975 Zα

2⁄= 𝟏.𝟗𝟔

Con todos estos datos ya podemos calcular nuestro intervalo de confianza para la media:

𝐼𝐶 = (𝑥 ± 𝑍𝛼2⁄·𝜎

√𝑛) = (10.3 ± 1.96 ·

2

√10) = (10.3 ± 1.24) → 𝐼𝐶 = (9.06, 11.54)

Por tanto, el intervalo de confianza al 95% para el tiempo de atención a los pacientes en el centro

médico estudiado es de (9.06, 11.54). Esto significa que el tiempo de atención a los pacientes en dicho

centro médico está comprendido entre 9.06 y 11.54 minutos, con una probabilidad del 95%.

El error máximo admisible tiene la expresión:

𝐸 = 𝑍𝛼2⁄·𝜎

√𝑛

Como el enunciado nos dice que tiene que ser menor que uno, con el mismo nivel de confianza,

tenemos:

𝑍𝛼2⁄·𝜎

√𝑛 1 → 1.96 ·

2

√𝑛 1 → 3.92 √𝑛 → √𝑛 > 3.92 → 𝑛 > 3.922 → 𝑛 > 15.37

Por tanto, el tamaño mínimo tiene que ser de 16 pacientes.

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