automatización de procesos industriales.pdf

Automatizacion de ProcesosIndustriales

Ingeniero de Organizacion. Curso 1o

Jose Marıa Gonzalez deDurana

Dpto. I.S.A. EUI–UPV/EHU–

Vitoria-Gasteiz

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Copyright c© 2005Ultima Revision: Febrero 2004

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Indice

1. OBJETIVOS

2. METODO

3. EVALUACION

4. CONTENIDOS

5. Libros recomendados

. Tema 1. Introduccion

1. Perspectiva historica

2. La empresa productiva

2.1. El proceso productivo

2.2. Operaciones basicas de fabricacion

• Procesado de un elemento • Montaje • Movimiento de material• Almacenamiento • Inspeccion y control

2.3. Tipos de procesos

• Job Shops • Produccion por lotes • Lıneas de produccion • Produc-cion continua

2.4. Ubicacion de los procesos

• Producto en posicion fija • Por clases de procesos • En flujo deproducto • Por tecnologıa de grupo

3. El proceso en feedback

3.1. Esquema de regulacion en feedback

3.2. El significado del control

3.3. El control en la empresa

4. La automatizacion industrial

• Tecnicas analogicas • Tecnicas digitales

4.1. Estructuras de automatizacion

4.2. Ventajas e inconvenientes de la automatizacion

4.3. Elementos de la automatizacion

5. Modelos matematicos de sistemas

3

6. Modelado y simulacion de sistemas complejos

6.1. Importancia del modelado

• Lenguaje Unificado de Modelizacion (UML)

7. Estructura del curso

Parte I. Control de procesos de eventos discretos

. Tema 2. Sistemas booleanos

1. Dispositivos logicos

2. Algebra de Boole

2.1. Funciones booleanas

• Formas canonicas

2.2. Simplificacion de funciones booleanas

• Metodo de Karnaugh • Metodo de Quine-McCluskey • Algoritmo deQuine

3. Sistemas combinacionales

3.1. Funciones logicas elementales4

• Funcion NOT • Funcion AND • Funcion OR • Funcion NAND• Funcion NOR • Funcion XOR

4. Sistemas secuenciales

4.1. Automata de Mealy

4.2. Automata de Moore

4.3. Tablas de estado

4.4. Diagrama de estado

4.5. Dispositivos biestables

• Biestable R-S

. Tema 3. Modelos computacionales

1. Grafcet

1.1. Elementos basicos

• Etapas • Transiciones • Segmentos paralelos

1.2. Estructuras basicas

• Secuencia simple • Divergencia OR • Convergencia OR • Divergencia

5

AND • Convergencia AND • Saltos • Posibilidades avanzadas

2. Cartas de estado

2.1. Stateflow

2.2. Elementos de una carta de estado

• Estados • Transiciones • Uniones

2.3. Elementos de texto especiales

• Datos • Eventos

3. Creacion de un modelo con Stateflow–Simulink

• Observaciones • Ejemplo. Control de barrera de ferrocarril

Parte II. Control de procesos continuos

. Tema 4. Modelos de sistemas continuos

1. Ecuacion diferencial

1.1. Sistemas lineales - parametros constantes

• Modelo externo • Modelo interno

1.2. Modelo externo6

1.3. Modelo interno

1.4. Calculo de la respuesta temporal

• Calculo de la respuesta con Matlab

2. Simulink

• Ejemplo. Modelo simple • Ejemplo, Circuito electrico • Calculo conMatlab para c. alterna

3. Sistemas no lineales – pendulo

3.1. Respuesta – modelo externo

• Resolucion simbolica

3.2. Respuesta – modelo interno

4. Sistema de primer orden

5. Sistema de segundo orden

6. Linealizacion

• Ejemplo. Deposito

7. Respuesta de frecuencia7

7.1. Diagrama de Nyquist

7.2. Criterio de Nyquist

• Principio del argumento • Criterio de estabilidad de Nyquist • Ejem-plo 1 • Ejemplo 2 • Ejemplo 3 • Ejemplo 4

7.3. Diagramas de Bode

8. El lugar de las raıces

8.1. Reglas para el trazado

8.2. Trazado por computador

. Tema 5. Realizacion del control

1. Realizacion fısica

2. Sensores

2.1. Tipos de sensores

2.2. Clasificacion

2.3. Calibracion

2.4. Tipos de transductores

8

2.5. El potenciometro como sensor de posicion

3. Actuadores

3.1. Tipos de actuadores

3.2. Otros actuadores

3.3. Accesorios mecanicos

3.4. El motor de c.c.

3.5. Ecuaciones diferenciales

3.6. Modelo externo

3.7. Funcion de transferencia del motor

3.8. Reductor de velocidad

3.9. Funcion de transferencia del reductor

3.10.Reductor con poleas elasticas

3.11.Aplicacion practica: sistema de control de posicion

4. Especificaciones de funcionamiento

4.1. Especificaciones en tiempo

9

• Valores para el sistema de 2o orden • Otros valores

4.2. Especificaciones en frecuencia

5. Estabilidad, controlabilidad y observabilidad, sistemas lineales

. Tema 6. Diseno de Sistemas de Control continuos

1. Introduccion

2. Tipos de controladores

• Realizacion de los controladores • Controlador PID • Controladoresde adelanto y de retraso de fase • Controlador de adelanto-retraso conred pasiva • Controlador de adelanto-retraso con amp. operacional

3. Diseno en el lugar de las raıces

• Efecto de anadir un cero • Efecto de anadir un polo

3.1. Diseno de un controlador de adelanto de fase

3.2. Diseno de un controlador PID

Parte III. Automatizacion local

. Tema 7. Automatas programables

10

1. Descripcion de un PLC

2. Programacion de PLC’s

2.1. Ladder Diagram (LD)

3. Celula flexible SMC

3.1. Automata programable Omron CPM2A-30CDR-A

3.2. Ejemplos

. Tema 8. Sensores

1. Tipos de sensores

1.1. Clasificacion

1.2. Caracterısticas

2. Calibracion

3. Tipos de transductores

. Tema 9. Actuadores

1. Tipos de actuadores

11



2. Neumatica

2.1. Valvulas

3. Automatismos electricos

3.1. El rele

3.2. Funciones logicas con reles

Parte IV. Automatizacion global

. Tema 10. Niveles de Automatizacion

1. Fabricacion inteligente

Parte V. APENDICES

. Tema A. Ecuaciones diferenciales

1. Ecuaciones diferenciales de primer orden

1.1. Problema de condiciones iniciales (PCI)

12

2. Estudio cualitativo

3. Orden de una ecuacion diferencial

4. Interpretacion geometrica

5. Sistemas de 2o orden

• Interpretacion geometrica

6. Solucion numerica

7. Solucion numerica con Matlab


7.1. Metodo de Kelvin

13

1. OBJETIVOS

• Formar personas con capacidad para el planeamiento, gestion, diseno y desa-rrollo de proyectos de automatizacion.

• Utilizar para ello las tecnologıas y metodos de actualidad.

• Inculcar un marco teorico en el que tengan cabida los complejos procesosproductivos.

• Analisis, diseno y realizacion.

• Visualizar los metodos y tecnologıas existentes.

2. METODO

• Clases teoricas: proyector (a completar), pizarra, ejercicios.

• Clases practicas: ordenador, ejercicios, montajes.

• Trabajos tutorizados.

• Tutorıas: cuestiones, ejercicios, trabajos.horario 2-cuatr: lunes de 10 a 12, miercoles y jueves de 17 a 19

14

3. EVALUACION

Trabajos: ejercicios, problemas, temas teoricos, programas, montajes.Calificacion: ≤ 2. Han de ser concertados con el profesor.

Practicas: ejercicios resueltos por computador, montajes.Calificacion: la nota (≤ 4) se pondera por el no de asistencias.

Nota: los trabajos y las practicas se hacen durante el curso, no en verano.

Examen: teorıa y problemas.

Calificaciones maximas:

Trabajos 2Practicas 4Examen 4Total 10

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4. CONTENIDOS

Tema 1. IntroduccionParte I. Control de procesos de eventos discretosTema 2. Sistemas booleanosTema 3. Modelos computacionalesParte II. Control de procesos continuosTema 4. Modelos de sistemas continuosTema 5. Realizacion del controlTema 6. Diseno de sistemas de control continuosParte III. Automatizacion localTema 7. Automatas programablesTema 8. SensoresTema 9. ActuadoresParte IV. Automatizacion globalTema 10. La piramide de automatizacion

Fases. Analisis –obtencion de modelos computacionales, matematicos.

. Diseno –diseno y programacion de controladores, simulacion.

. Realizacion –matematica, computacional, fısica.

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Herramientas

. Programacion en lenguajes estandar: C, C++, Java.

. Programas especıficos para control: Matlab, Scilab, Octave, Maple.

Prerrequisitos

. Algebra Lineal: espacios vectoriales, matrices.

. Analisis Matematico: analisis real y complejo (basico), ecuaciones dife-renciales ordinarias.

. Informatica: manejo del ordenador, windows, nociones de programacion(C, C++, Java).

. Fısica: nociones de mecanica, electricidad, calor, fluidos.

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Sistemas continuos en el tiempo

Son sistemas de control cuyo modelo es una ecuacion diferencial (ordinaria)

dx

dt(t) = f(t, x, u), t ∈ R, x(t) ∈ Rn, u(t) ∈ Rq

f : R× Rn × Rq → Rn continua, u : R→ Rq (entrada, dada)

Las soluciones x(t) representan el “movimiento” del sistema.

Ecuacion de salida y(t) = g(x, u), y(t) ∈ Rp.

u1(t)

u2(t)

x(t)

y(t)

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Sistemas discretos en el tiempo

El modelo es una ecuacion en diferencias finitas. t = k T ∈ T Z

x((k + 1)T ) = f(kT, x(kT ), u((k + 1)T )), x(t) ∈ Rn, u(t) ∈ Rq

f : R× Rn × Rq → Rn; u(t) : R→ Rq (entrada, dada).

T ∈ R : periodo de discretizacion o de muestreo.

Ecuacion de salida y(kT ) = g(x(kT ), u(kT )), y(t) ∈ Rp.

Acelerador de iones Tandetron. IBeAM, Arizona State University

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Sistemas de eventos discretos – sistemas hıbridos

a) Producen eventos: sistemas continuos o discretos.b) Reaccionan ante eventos que reciben (sistemas reactivos).a � b) Sistemas hıbridos.Modelos matematicos: ecuacion diferencial (ordinaria)

dx

dt(t) = f(t, x, u), t ∈ R, x(t) ∈ Rn, u(t) ∈ Rq

f : R× Rn × Rq → Rn discontinua; u : R→ Rq (entrada, dada)Modelos computacionales: Matlab + Simulink + Stateflow

u(t)

x(t)

y(t)

s1

s2

s3

20

Ejercicios

Sistemas continuos

. Buscar ejemplos de sistemas de control continuos en t.

. Identificar en ellos las entradas y salidas.

. Si es posible, hallar n, p, q en cada uno de ellos.

Sistemas discretos

. Buscar ejemplos de sistemas de control discretos en t.

Sistemas reactivos

. Buscar ejemplos de sistemas reactivos.

. Identificar los procesos que emiten eventos y los que los reciben.

. Iniciar el estudio de MATLAB, Simulink y Stateflow.

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5. Libros recomendados

Bibliografıa

[1] Paul H. Lewis, Hang YangSistemas de Control en IngenierıaPrencice Hall Inc., 1999

[2] Benjamin C. KuoSistemas Automaticos de ControlEditorial Prentice-Hall - 1996

[3] Emilio Garcıa MorenoAutomatizacion de procesos industrialesEditorial U.P.V. (Universidad Politecnica de Valencia). 1999

[4] M.P. Groover. Automation, Production Systems and Computer Aided Manufacturing.Prentice Hall. 1980.

[5] David Harel“Statecharts: A Visual formalism for Complex Systems”Science of Computer Programming 8, (1987) pp. 231-274.

[6] The International Electrotechnical Comision. The International Standard IEC-61631http://www.plcopen.org

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Capıtulo 1. Introduccion

Automatizacion: teorıas y tecnologıas para sustituir el trabajo del hombre porel de la maquina. Mecanismo de feedback

Relacionada con las Teorıas de Control y de Sistemas.

Adopta los mas recientes avances.

Para automatizar procesos: saber como funcionan esos procesos.

. Procesos continuos

. Procesos comandados por eventos

. Procesos de fabricacion

Estudio – Visitas a empresas.

Procesos conectados entre si – gestion – marco jerarquico –

Estructura de la empresa – redes locales – buses de comunicacion

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1. Perspectiva historica

Fuego:

. Homo sapiens→ calefaccion → alimentos

. Edad Bronce → metales → ceramica → “procesos fabricacion”

Energıa eolica:

. 2000 A.C: embarcaciones a vela

. 1000 A.C.: Fenicios → Mediterraneo

. Edad Media: Europa → molinos de viento

Energıa hidraulica: 50 A.C: Romanos → noria

Maquina de vapor

. James Watt, 1750 → Revolucion Industrial

. Maquina de vapor → bombas agua (minas de Gales)

. Automatizacion telares (Manchester)

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Teorıas, tecnologıas y areas

. Teorıas

– Teorıas de Control, Sistemas y Senal– Sistemas de eventos discretos– Maquinas de estado, Redes de Petri, Grafcet, Statechart

. Tecnologıas

– Neumatica, Hidraulica– Electronica– Microprocesadores, Ordenadores, Automatas programables– Robotica– Comunicaciones– Desarrollo del software

. Areas tecnologicas

– Automatizacion de las maquinas-herramienta– Control por computador, CAD, CAM, CIM– Control de procesos distribuido– Celulas flexibles

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2. La empresa productiva

Ente socioeconomico – adecuacion parcial de flujos: produccion y consumo

Dos subsistemas: uno para medir las necesidades de los consumidores y de tras-ferirles los productos que las satisfagan y otro que se encarga de la produccion.

Elemento productivo – Elemento consumidor (de materias primas)

Departamentos o secciones:

. Finanzas

. Gestion

. Compras

. Almacen de materias primas

. Produccion

. Almacen de productos terminados

. Ventas

26

Actividad de la empresa

Gestión

Almacén de Almacén deproductos terminadosProducciónmaterias primas

Finanzas

MERCADO

Compras Ventas

Gestion: controla a todos los demas

. parte superior: generacion del producto (gestion de produccion)

. parte inferior: ventas − comparas = beneficio (mercadotecnia)

Objetivo: maximizar el beneficio.

27

2.1. El proceso productivo

Sistema dinamico de control:

(Flujo de producto)-Materia primas Proceso

productivo (Flujo de producto)-Producto terminado

Internamente: diferentes subprocesos conectados entre sı.

. bloque o “funcion”: complejo sistema movido por eventos

. interconexion + naturaleza estocastica = complejidad

. conocer modelos matematicos de los procesos mas simples

.proceso → productoproceso 6← producto

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2.2. Operaciones basicas de fabricacion

• Procesado de un elemento

-Materia prima Mecanizado -Pieza

• Montaje

-Mat. prima 1 Mecanizado 1 -Pieza 1

-Mat. prima 2 Mecanizado 2 -Pieza 2

Montaje -Producto

• Movimiento de material

• Almacenamiento

• Inspeccion y control

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2.3. Tipos de procesos

• Job Shops

- amplia gama, alta tecnologıa, series medianas–pequenas

- mano de obra y maquinaria especializadas – elevados costes

• Produccion por lotes

- muy extendida – lotes tamano medio, cada lote de una tirada

- maquinaria y el personal preparados – cambio lote

• Lıneas de produccion

- cadena – grandes series - pocos productos – automoviles

- cintas trasportadoras – estaciones (proceso o montaje) – almacenes

• Produccion continua

- productos simples – grandes cantidades – petroquımica

- flujo continuo de producto

30

2.4. Ubicacion de los procesos

Importancia: procesos, comodidad del personal, cableados, buses etc.Programas simulacion (estocastica)

• Producto en posicion fija

El producto no debe moverse – obras – naval y aeronautica

• Por clases de procesos

Maquinas en locales por clases de procesos – mecanizado – flexible

• En flujo de producto

Maquinas a lo largo del flujo

• Por tecnologıa de grupo

Por clases + en flujo de producto

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3. El proceso en feedback

ω( )t

B

C

Actuador

x

válvula

A

xC : consigna de velocidad ωref (fija)

Si ω aumenta

⇒ aumenta fuerza centrıfuga

⇒ bolas B se separan

⇒ A sube

⇒ x cierra valvula vapor de la caldera

⇒ baja la presion

⇒ ω disminuye

Feedback: artificio basico del control.

Governor de Watt

32

3.1. Esquema de regulacion en feedback

Basico en muchos procesos de la Naturaleza, incluso en los seres vivos.

-yref m+

ym(t)

-ε(t)C -x(t)

A -u(t) m+ -v(t)P r -y(t)

�M

6−

?

d(t)

yref−→ Entrada de referencia C Controladord(t)−→ Entrada perturbadora A Actuadory(t)−→ Salida P Planta o Procesoε(t)−→ Error M Medidor

33

3.2. El significado del control

Controlar: conducir, dirigir, gobernar, comardar, ...trayectoria prefijada — controles

chofer →

volanteaceleradorfrenoscambio de marchas

→ vehıculo

Teorıa de Control

sistema de control = entidad

– terminales de entrada (controles) → estımulos– terminales de salida → respuesta

Caja negra o bloque – planta o proceso

Entrada Salida- Bloque -

34

3.3. El control en la empresa

El esquema de feedback es aplicable los procesos de la empresa.

. Control de produccion

. Control de calidad

. Control de presupuestos

. Control de procesos

Elementos esenciales:

. medida de variables del proceso a controlar

. realimentacion de las variables medidas

. comparacion con una consigna

. actuacion sobre el proceso

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4. La automatizacion industrial

Aplicar feedback – procesos continuos – procesos movidos por eventos

• Tecnicas analogicas

Controlador: mecanico, neumatico, hidraulico, electrico, electronico, optico

Procesos Continuos – controlador PID

x(t) = C(ε(t)) = Kp

(1 + Td

dx(t)dt

+1Ti

∫ t

0x(τ)dτ

)

• Tecnicas digitales

Ordenador – microprocesadores – microcontroladores – ordenador personal comuni-caciones – software ...

? Controladores para procesos continuos – PID

? Control de procesos de eventos discretos – automata programable

? Estructuras de control – Automatizacion Global

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4.1. Estructuras de automatizacion

Proceso 1 Proceso 3 Proceso 4Proceso 2

. Automatizacion fija – produccion muy alta – automoviles

. Automatizacion programable – produccion baja – diversidad de productos

. Automatizacion flexible – produccion media – pocos productos

. Automatizacion total

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4.2. Ventajas e inconvenientes de la automatizacion

Ventajas:

? Permite aumentar la produccion y adaptarla a la demanda? Disminuye el coste del producto? Consigue mejorar la calidad del producto y mantenerla constante? Mejora la gestion de la empresa? Disminuye de la mano de obra necesaria? Hace mas flexible el uso de la herramienta

Inconvenientes:

• Incremento del paro en la sociedad• Incremento de la energıa consumida por producto• Repercusion de la inversion en el coste del producto• Exigencia de mayor nivel de conocimientos de los operarios

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4.3. Elementos de la automatizacion

. Mecanica: herramientas, mecanismos, maquinas, elementos de transporte

. Electrica: automatismos electricos, motores electricos de c.c. y c.a., cableados– fuerza – mando, aparillajes electricos

. Tecnologıa Electronica: controladores analogicos, sensores, pre-accionadores,drivers – accionamientos, communicaciones, telemando-telemetrıa, comunica-cion inalambrica

. Neumatica – electro-neumatica: cilindros neumaticos, valvulas neumaticas yelectro-neumaticas, automatismos neumaticos

. Hidraulica y electro-hidraulica: cilindros hidraulicos, valvulas hidraulocas yelectro-hidraulicas, automatismos hidraulicos

. Control e Informatica Industrial: controladores de procesos, control por compu-tador, embedded control, automatas programables, vision artificial, robotica,mecatronica, celulas – fabricacion flexible – mecanizado – montaje, controlnumerico, CAD-CAM, CIM, redes y buses – comunicaciones

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5. Modelos matematicos de sistemas

Modelo matematico: ecuacion o sistema de ecuaciones que lo representa y cuya evo-lucion en el tiempo se corresponde con la del sistema.

Permite hacer calculos, predicciones, simulaciones y disenar.

Clasificacion:

. Sistemas de tiempo continuo

. Sistemas de tiempo discreto

. Sistemas de eventos discretos

Sistemas de eventos discretos =sistemas reactivos = sistemas comandados por eventos (event-driven systems)

Modelos complejos – procesos estocasticos – procesos de colas – modelos no ma-tematicos basados en computador.

Lenguaje Unificado de Modelado (UML).

6. Modelado y simulacion de sistemas complejos

Dinamica de fluidos – sistemas energeticos – gestion de negocios40

Teorıa de Sistemas – Teorıa de Control – Analisis Numerico –Ciencias de la Computacion – Inteligencia Artificial – Investigacion Operativa

Mayor importancia cuanto mayor es la complejidad del sistema.

Paradigma de computacion del futuro: metodo para representar los problemas, ana-lizarlos y obtener soluciones

Lenguaje de modelizacion universal:comunicacion → equipos empresa → miembros de la comunidad cientıfica

Un buen lenguaje de modelizacion ha de tener

. Elementos del modelo – conceptos fundamentales y semantica

. Notacion – representacion visual de los elementos del modelo

. Directivas – lenguajes a utilizar para el modelado

41

6.1. Importancia del modelado

Mundo Realdel

Entidad

Experimentoobservados de

Datos

en contextoexperimental

dentro de contexto

Resultados

Modelo M

Simulación

básico

Modelo

Validación

dentro del contexto

análisis sólo

experimento

deProceso deModelado y Simulación

Conocimientoa priori del

modelo básico

Experimento virtualSimulación =

Sistema S

MODELOREALIDAD

OBJETIVOS

42

• Lenguaje Unificado de Modelizacion (UML)

Booch, Rumbaugh y JacobsonObjtivos:

1. Otorgar al modelado de sistemas (y no solo al software) la capacidad de utilizarconceptos orientados a objetos.

2. Establecer un acoplamiento explıcito con los artefactos tanto conceptual comoejecutable.

3. Tratar los temas inherentes a la escala en los sistemas complejos y de misioncrıtica.

4. Crear un lenguaje de modelado entendible tanto por las maquinas como porlos seres humanos.

Versiones 0.9 y 0.91 de UML en Junio y en Octubre de 1996.Version UML 1.3 en Junio de 1999.

43

Objetivos actuales:

. Ofrecer a los usuarios un lenguaje de modelado de uso inmediato, expresivo yvisual, para desarrollar e intercambiar modelos significativos.

. Suministrar mecanismos de extension y especializacion que permitan extenderlos conceptos del nucleo del lenguaje.

. Soportar especificaciones que sean independientes de los lenguajes de progra-macion particulares y de los procesos de desarrollo.

. Dar una base formal para el aprendizaje del lenguaje.

. Animar el crecimiento del mercado de herramientas para objetos.

. Soportar conceptos de desarrollo de alto nivel: components, collaborations, fra-meworks, patterns.

. Integrar las mejores practicas de programacion.

Caracterısticas de UML

Consistente lenguaje sin propietario y abierto a todos. Permite especificar, visualizar,construir y documentar los artefactos de software. Vale tambien para el modelado denegocios y otros sistemas. Esta estructurado en 9 paquetes:

44

. Data Types

. Core

. Extension Mechanisms

. Common Behavior

. State Machines

. Activity Graphs

. Collaborations

. Use Cases

. Model Management

45

Consideraciones

Estudio de sistema complejo ← secuencia de visiones distintas del modeloUn modelo: diferentes niveles de fidelidadLos mejores modelos – conectados realidad

Graficos (a modo de vistas) de un modelo

. use case diagram

. class diagram

. behavior diagrams:

– statechart diagram– activity diagram– interaction diagrams

∗ sequence diagram∗ collaboration diagram

– implementation diagrams:∗ component diagram∗ deployment diagram

UML no soporta diagramas de flujo de datos

46

7. Estructura del curso

• Control de procesos continuos? Diseno controladores – procesos t continuo – PID –

• Control de procesos de eventos discretos? Diagramas de estado? Redes de Petri? Grafcet? Statecharts

• Automatizacion local? Captadores? Pre-actuadores y actuadores? Automatismos electricos, neumaticos e hidraulicos? Automatas programables – Controladores industriales

• Automatizacion global? Simulacion de procesos productivos? Redes locales – Buses industriales? GEMMA – SCADA – Control jerarquico

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Bibliografıa

[1] Paul H. Lewis Sistemas de Control en Ingenierıa. Prentice Hall, Madrid, 1999.

[2] Emilio Garcıa Moreno Automatizacion de procesos industriales. Editorial U.P.V.(Universidad Politecnica de Valencia), 1999.

[3] K.Lockyer La produccion industrial, su administracion. Representaciones y Ser-vicios de Ingenierıa S.A., Mexico, 1988.

[4] M.P. Groover Automation, Production Systems and Computer Aided Manufac-turing. Prentice Hall. 1980.

[5] David Harel “Statecharts: A Visual formalism for Complex Systems”, Scienceof Computer Programming 8, (1987), pp. 231-274.

[6] Object Modeling Group OMG Unified Modeeling Language Specification. ObjectModeling Group, Inc., Version 1.3, June 1999.

[7] Hans Vangheluwe Modeling and Simulation Concepts. McGill, CA, CS 522 FallTerm 2001.

48

Parte I. Control de procesos de eventos discretos

49

Capıtulo 2. Sistemas booleanos

1. Dispositivos logicos

Dispositivos fısicos con solo dos estados: mecanicos, interruptor, valvula, transistor→ automatismos.

0 1

. Sistemas combinacionales

. Sistemas secuenciales

50

Dispositivos biestables: basicos para las memorias RAM

��

��

��

��

1

2

��

��

2

1

sistemas con memoria.

��

��

1

2��

��

��

Figura 2.1: Pulsador

sistemas sin memoria

2. Algebra de Boole

Conjunto U — dos operaciones + , · tales que ∀a, b, c ∈ U :51

1. Idempotentes: a + a = a · a = a2. Conmutativas: a + b = b + a, a · b = b · a3. Asociativas: a + (b + c) = (a + b) + c,

a · (b · c) = (a · b) · c4. Absorciones: a · (a + b) = a + (a · b) = a

⇒ (U,+, ·) es un retıculo. Si ademas

5. Distributivas: a + (b · c) = (a + b) · (a + c),a · (b + c) = (a · b) + (a · c)

⇒ (U,+, ·) retıculo distributivo. Si

6. Cotas universales: ∃ 0, 1 ∈ U tales que0 · a = 0, 0 + a = a, 1 · a = a, 1 + a = 1

7. Complemento: ∀a ∈ U ∃a ∈ U | a + a = 1, a · a = 0

⇒ (U,+, ·, , 0, 1) es un algebra de Boole.

Z2 := ({0, 1} , OR , AND) es un algebra de Boole.

52

2.1. Funciones booleanas

f : Zn2 → Z2

(x1, . . . , xn) 7→ f(x1, . . . , xn)

Tabla de verdad

f(x1, . . . , xn), g(x1, . . . , xn) equivalentes ⇐⇒ tablas de verdad coinciden

P. ej., f(x1, x2, x3) = x1x2, g(x1, x2, x3) = x1x2(x3 + x3) equivalentes:

x1 x2 x3 f

0 0 0 00 0 1 00 1 0 00 1 1 01 0 0 01 0 1 01 1 0 11 1 1 1

x1 x2 x3 g

0 0 0 00 0 1 00 1 0 00 1 1 01 0 0 01 0 1 01 1 0 11 1 1 1

53

• Formas canonicas

≡ func. booleanas: relacion de equivalencia → representantes canonicos:

. suma de min-terms, p. ej., f(a, b, c, d) = abcd + abcd + abcd

. producto de max-terms: f = (a + b + c + d)(a + b + c + d)(a + b + c + d)

n variables ⇒ 2n terminos canonicos diferentes

mintermsf(x) x, xf(x, y) xy, xy, xy, xyf(x, y, z) xyz, xyz, xyz, xyz, xyz, xyz, xyz, xyz

min-term = numero binario = numero decimalp. ej., xyz = 010 = 2.

Obtencion de la f.c.:

. Tabla de verdad ⇒ f.c. (inmediato)

. Para i = 1, . . . , n mult. por (xi + xi) los terminos de f sin xi.

54

2.2. Simplificacion de funciones booleanas

Aplicar la ley de complementacion: x + x = 1⇒ f · (x1 + x1) ≡ f .

f = suma de implicantes primos (terminos irreducibles).

• Metodo de Karnaugh

f(a, b, c, d) = b + bc

cdab

00 01 11 10

00 0000

0001

0011

0010

01 0100

0101

0111

0110

11 1100

1101

1111

1110

10 1000

1001

1011

1010

@@

abcd 00 01 11 10

00 0 1 1 0

01 0 1 1 0

11 1 1 1 0

10 1 1 1 0

@@ #

"

!#" !

– cada casilla representa un min-term –

55

• Metodo de Quine-McCluskey

Ejemplo:f(x1, x2, x3, x4) = Σ(0, 7∗, 9, 12∗, 13, 15)

i min-terms

0 0 0 0 07∗ 0 1 1 19 1 0 0 1

12∗ 1 1 0 013 1 1 0 115 1 1 1 1Tabla de verdad

u i 1-term 2-term

0 0 0 0 0 0 0 0 0 012 9 1 0 0 1 1 - 1 1

12∗ 1 1 0 0 1 1 0 -3 7∗ 0 1 1 1 - 1 1 1

13 1 1 0 1 1 1 - 14 15 1 1 1 1

(a) Ordenar tabla por numero de unos de cada termino → grupos.(b) Los elementos de cada grupo se combinan con los del siguiente.(c) Repetir el proceso hasta que no se puedan combinar mas.

f = x1x2x3x4 + x1x3x4 + x1x2x4.

Un termino indiferente puede aprovecharse si cubre mas de un min-term.

56

• Algoritmo de Quine

Como ya se ha indicado, el metodo de Quine-McCluskey, lo mismo que el de Kar-naugh, se basa en utilizar repetidamente la ley a + a = 1. Dada una funcion f enforma canonica de suma de m min-terms, el algoritmo es el siguiente:

1. Poner todos los min-terms en una lista, ordenados de alguna forma de 1 a m.

2. para i desde 1 hasta m− 1 hacer

Elegir el termino i-esimo, Ti, de la listapara j desde i + 1 hasta m hacer

Tomar el termino j-esimo, Tj , de la listaSimplificar, si es posible, la expresion Ti + Tj , aplicando la ley a + a = 1

y poner el termino simplificado en una nueva lista.

3. Volver al paso 1 con la nueva lista obtenida y repetir el algoritmo

4. El algoritmo termina cuando no es posible simplificar mas.

Gran coste computacional si el n es elevado.

57

3. Sistemas combinacionales

Sistema de control con p entradas u1(t), . . . , up(t) ∈ Z2

y q salidas y1(t), . . . , yq(t) ∈ Z2,

yi(t) = fi(u1(t), . . . , up(t)), i = 1 . . . q.

Tiempo continuo: I ⊂ R; tiempo es discreto:

I = {t0, t0 + T, . . . , t0 + kT, t0 + 2kT, . . .}, t0, T ∈ R.

-u1(t)

-u2(t)

-up(t)

... S.C.

-y1(t)

-y2(t)

-yq(t)

...

Los valores de las salidas en el instante t solo dependen de los valores que en esemismo instante tengan las entradas.

58

3.1. Funciones logicas elementales

• Funcion NOT

x z

0 11 0

x zd zx

• Funcion AND

x y z

0 0 00 1 01 0 01 1 1

-x

& -z

-y

xz

y

59

• Funcion OR

x y z

0 0 00 1 11 0 11 1 1

-x

≥ 1 -z

-y

xz

y

• Funcion NAND

x y z

0 0 10 1 11 0 11 1 0

-x

& d -z

-y

xz

y

60

• Funcion NOR

x y z

0 0 10 1 01 0 01 1 0

-x

≥ 1 d -z

-y

x

yz

• Funcion XOR

x y z

0 0 10 1 01 0 01 1 1

-x

= 1 d -z

-y

zx

y

61

4. Sistemas secuenciales

Sistema de control con p entradas u1(t), . . . , up(t) ∈ Z2 , q salidas y1(t), . . . , yq(t) ∈ Z2

y n variables de estado.

-u1(t)

-u2(t)

-up(t)

...

x1(t)

x2(t)...

xn(t)

-y1(t)

-y2(t)

-yq(t)

...

Las variables de estado x1(t), . . . , xn(t) ∈ Z2 memorizan el comportamiento del sis-tema en instantes anteriores a t.

Modelos: modelo de estado (ecuacion en diferencias finitas), maquinas de estados,redes de Petri ⇒ modelos computacionales: grafcet, StateCharts.

62

4.1. Automata de Mealy

M1 = {U, Y, X, f, g}

U, Y ,X: conjuntos de entrada, de salida y de estado.

estado:{

f : U ×X → X(u, x) 7→ x = f(u, x)

salida:{

g : U ×X → Y(u, x) 7→ y = f(u, x)

4.2. Automata de Moore

M2 = {U, Y, X, f, g}

U, Y ,X: conjuntos de entrada, de salida y de estado.

estado:{

f : U ×X → X(u, x) 7→ x = f(u, x)

salida:{

g : X → Y(x) 7→ y = f(x)

Automata de Mealy ↔ Automata de Moore.

63

4.3. Tablas de estado

f(x, u): tabla de transicion, g(x, u): tabla de salida.

Automata de Mealy:

u1 u2 . . . u2q

x1 x1,1 x1,2 . . . x1,2q

x2 x2,1 x2,2 . . . x2,2q

......

......

x2n x2n,1 x2n,2 . . . x2n,2q

u1 u2 . . . u2q

x1 y1,1 y1,2 . . . y1,2q

x2 y2,1 y2,2 . . . y2,2q

......

......

x2n y2n,1 y2n,2 . . . y2n,2q

Automata de Moore:u1 u2 . . . u2q

x1 x1,1 x1,2 . . . x1,2q

x2 x2,1 x2,2 . . . x2,2q

......

......

x2n x2n,1 x2n,2 . . . x2n,2q

x1 y1

x2 y2...

x2n y2n

Tamano (maximo): (2n × 2q) casillas.

64

4.4. Diagrama de estado

Grafo orientado con N vertices y q aristas.Mealy:

@@xu

0 1A = 00 00 01B = 01 01 10C = 10 00 01

11 − −

Tabla de transicion

@@xu

0 1A = 00 0 0B = 01 0 0C = 10 0 1

11 − −

Tabla de salida

A@GAFBECD1/0

��

0/0

��

B@GAFBECD1/0 440/0

33 C@GAFBECD

0/0

ZZ444444444441/1ss

Moore:

@@xu

0 1A = 00 00 01B = 01 10 01C = 10 00 11D = 11 10 01

Tabla de transicion

x y

A = 00 0B = 01 0C = 10 0D = 11 1

Tabla de salida

A/ 0@GAFBECD

1

��

0

��

B/ 0@GAFBECD1 440 // C/ 0@GAFBECD

0

XX22222222222

1

22 D/1@GAFBECD0rr

1

ff

65

4.5. Dispositivos biestables

Son los sistemas secuenciales mas simples.

. Una o dos entradas u1, u2

. Una variable de estado Q

. Una salida y1 = Q (salida adicional y2 = Q).

Asıncronos o sıncronos.Qt+1 = f(Qt, u1, u2),

Sıncronos: Clk senal de reloj

1

t

Clk

0

El valor del estado Q se actualiza en los flancos de bajada.

66

• Biestable R-S

Biestable asıncrono basico.S

R

Q

Q_

Tabla de transicion:

@@QSR

00 01 11 100 0 0 − 11 1 1 − 0

S

R

Q

Q

S

R

Q

Q

Clk

Combinacion de entradas “11” no permitida (contradiccion: Q = Q = 0)

67

Capıtulo 3. Modelos computacionales

1. Grafcet

Graphe de Comands Etape/Transition. Norma IEC-848: fabricantes PLC.

Aplicable al esquema:

P.C. P.O.

órdenes

eventos

Sistema automatizado de produccion

. Parte operativa: dispositivos que interactuan sobre el producto: preactuadores,actuadores y captadores

. Parte de Comando (control): computadores, procesadores o automatas

68

1.1. Elementos basicos

• Etapas

Rectangulo numerado.Estado o modo de funcionamiento estable del sistema.La Parte de Comando asociada se mantiene invariable.Etapas activas: cırculo negro.Etapa inicial: rectangulo doble.

• Transiciones

Segmento horizontal que corta la lınea de enlace entre dos etapas.

Condicion de paso: receptividad.

• Segmentos paralelos

Procesos que evolucionan de forma concurrente.

69

1.2. Estructuras basicas

• Secuencia simple

• Divergencia OR

• Convergencia OR

• Divergencia AND

• Convergencia AND

• Saltos

• Posibilidades avanzadas

. Paralelismo

. Sincronizacion

. Jerarquıa

. Comunicacion

70

2. Cartas de estado

Statecharts – David Harel, 1987. Generalizacion maquinas de estados.

. Capacidad de agrupar varios estados en un superestado.

. Posibilidad de ortogonalidad o independencia (paralelismo) entre ciertos esta-dos.

. Necesidad de transiciones mas generales que la flecha etiquetada con un simpleevento.

. Posibilidad de refinamiento de los estados.

Formalismo visual para describir estados y transiciones de forma modular que per-mite el agrupamiento de estados (jerarquıa), la ortogonalidad (paralelismo) y el refi-namiento de estados. Admite la visualizacion tipo ”zoom”entre los diferentes nivelesde abstraccion.

Implementaciones: Statemate, Stateflow etc.

71

2.1. Stateflow

Toolbox de Matlab para modelar sistemas de eventos discretos.

Tiene un unico elemento: Chart = carta de estados (D.Harel)

Creacion de un modelo:

Matlab → Simulink → new-model → Chart

. Crear la carta Stateflow

. Utilizar el Explorer de Stateflow

. Definir un interface para los bloques deStateflow

. Ejecutar la simulacion

. Generar el codigoCarta de estados de Stateflow

Generadores de codigo:

. sf2vdh: traductor de Stateflow a VHLD

. sf2plc: genera codigo para programar algunos PLC.

72

2.2. Elementos de una carta de estado

– Elementos graficos: cartas, estados, transiciones y uniones– Elementos de texto: lenguaje, datos y eventos.

. Carta: maquina de estados generaliza-da – bloque de Simulink

. Estados: modos de funcionamiento– Nombre / acciones– Acciones: entry: a, exit: b, du-

ring: c, on event e : d

Descomposicion OR (trazo continuo) yAND (trazo discontinuo).

. Transiciones: saltos– Nombre / acciones– Nombre: e (evento), [c] (condi-

cion)– Acciones: {a} (accion)– default-transition

. Uniones puntos de bifurcacion.– Conectivas – de historia

. Datos– Entrada de Simulink– Salida de Simulink– Local– Constante– Temporal– Workspace

. Eventos– Entrada de Simulink– Salida de Simulink– Local

I/O Simulink: disparo por ↑, ↓ o l

73

• Estados

Sintaxis:

nombre /

entry: accion

exit: accion

during: accion

on event e: accion

Accion: cambiar salida – llamada a funcion.

S1

S2

e

Estado (padre) = { subestados (hijos) }

Descomposicion AND : todos activos – hijos en lınea discontinua

Descomposicion OR: solo uno activo – hijos en lınea continua.

74

• Transiciones

. Forma de flecha – saltos entre estados – eventos

. Acciones asociadas

. Transicion por defecto – senala el estado inicial

Sintaxis:

e – nombre de un evento

[c] – expresion booleana – condicion

{a} – accion

No texto – disparo con evento cualquiera en el sistema.

75

• Uniones

. Forma de pequeno cırculo

. Uniones conectivas – puntos de bifurcacion – decision condicionada

. Uniones de historia – descomposicion OR – activo = ultimo

C2

e1

e2

e3

P H

C1

76

2.3. Elementos de texto especiales

• Datos

. Entrada de Simulink

. Salida a Simulink

. Local

. Constante

. Temporal

. Workspace

• Eventos

. Entrada de Simulink

. Salida a Simulink

. Local

Activacion: flanco subida - flanco de bajada - flanco indiferente

77

3. Creacion de un modelo con Stateflow–Simulink

Matlab → Simulink → new-model

Stateflow → Chart Chart estados, transiciones, etc.

Pasos a seguir:

. Crear carta Stateflow

. Establecer interface Simulink – Stateflow

. Con Explorer de Stateflow declarar datos y eventos

. Ejecutar la simulacion

. Generar el codigo (ANSI C, sf2vhld, sf2plc)

• Observaciones

Simulacion larga: t = inf

Chart → File → Chart Properties → “Execute (enter) Chart At Initialization”

78

• Ejemplo. Control de barrera de ferrocarril

Objetivo – cerrar la barrera si llega tren – abrirla si ha pasado.

Sistema de eventos discretos: tren llega – tren ha pasado.

79

Esquema:

0-x•S1 S2•

TRENd dddComponentes: barrera con motor-reductor

2 sensores S1 y S2

sistema digital, reles y elementos auxiliares.

Sensores:

S1 en x1 < 0 – evento en senal s1 – llega tren

S2 en x2 > 0 – evento en senal s2 – tren ha pasado

Presencia del tren en [x1, x2] – sensores S1 y S2.

Operacion sistema:

si S1 se activa la barrera debe cerrarse,

si S2 se activa la barrera puede abrirse.

80

Sistema de control de eventos discretos

– division en paralelo (paralelismo) – trasmision de eventos.

Sensores: S1 y S2 – Manual Switch de Simulink

flanco de subida en s1 : llega el tren

flanco de bajada en s2 : el tren se ha ido.

Carta de estados: dos estados Tren y Barrera, en paralelo.

Barrera – dos hijos Abrir y Cerrar, Tren – dos hijos Fuera y Dentro.

S2

S1

0

1

0

1

Chart

Tren 1 Barrera 2

Dentro

Fuera

Cerrar

Abrir

s2/e2 e2s1/e1 e1

81

Parte II. Control de procesos continuos

82

Capıtulo 4. Modelos de sistemas continuos

1. Ecuacion diferencial

Sistema fısicoLeyes fısicas−→ Ecuacion diferencial∑

ifi = ma

m1 m2

k

b

f t( )

( )x t1x t( )2

0

Ecuacion diferencial:f(t)− k (x1(t)− x2(t))− b

(dx1(t)

dt− dx2(t)

dt

)= m1

d2x1(t)dt

k (x1(t)− x2(t)) + b

(dx1(t)

dt− dx2(t)

dt

)= m2

d2x2(t)dt

83

1.1. Sistemas lineales - parametros constantes

• Modelo externo

Ecuacion diferencial L−→ G(s) funcion de transferencia

. Modelo entrada – salida

. Diagrama de bloques

• Modelo interno

Ecuacion diferencial cambios−→{

x(t) = Ax(t) + Bu(t)y(t) = Cx(t) + Du(t)

modelo de estado

. Algebra lineal

. Calculo por computador

. Sistemas multivariable

84

1.2. Modelo externo

Ecuacion diferencial:

a2x(t) + a1x(t) + a0x(t) = b1u(t) + b0u(t)

Aplicando la transformacion de Laplace tenemos

a2[s2X(s)− sx0 − x0] + a1[sX(s)− x0] + a0X(s) = U(s)[b1s + b0]

y si suponemos condiciones iniciales nulas queda

X(s) =b1s + b0

a2s2 + a1s + a0U(s).

Funcion de transferencia G(s):

X(s) = G(s)U(s)

G(s): funcion racional; denom. de G(s) := polinomio caracterıstico.

85

1.3. Modelo interno

Ecuacion diferencial: a2x(t) + a1x(t) + a0x(t) = b1u(t) + b0u(t)

⇓ cambios: x1 := x; x2 := x; u1 := u; u2 := u

Modelo de estado{

x1(t) = x2(t)x2(t) = −a0

a2x1(t)− a1

a2x2(t) + b0

a2u1(t) + b1

a2x2(t)

Ecuacion de estado:(x1(t)x2(t)

)=(

0 1−a0

a2−a1

a2

)(x1(t)x2(t)

)+(

0 0b0a2

b1a2

)(u1(t)u2(t)

)Ecuacion de salida (si salidas ≡ estados):(

y1(t)y2(t)

)=(

1 00 1

)(x1(t)x2(t)

)+(

0 00 0

)(u1(t)u2(t)

)Modelo de estado: {

x(t) = Ax(t) + Bu(t)y(t) = Cx(t) + Du(t)

86

1.4. Calculo de la respuesta temporal

1. Resolucion de la ecuacion diferencial

2. Modelo externo G(s):

. Integracion compleja:

y(t) = L−1[Y (s)] =1

2πj

∫ σ+j∞

σ−j∞Y (s)estds

. Transformada de Laplace – expansion frac. simmples:

u(t) L−→ U(s); G(s) U(s) = Y (s); Y (s) L−1

−→ y(t). Integral de convolucion:

y(t) = u(t)⊗ g(t) =∫ t

0g(t− τ) u(τ) dτ

3. Modelo interno:

. Resolucion de la ecuacion de estado:

x(t) = eAtx(0) +∫ t

0eA(t−τ)Bu(τ) dτ

87

• Calculo de la respuesta con Matlab

. Circuitos

– Calculos con matrices – metodos de mallas y nudos

. Sistemas lineales y no lineales

– Resolucion ecuacion diferencial– ode23 y ode45

. Modelo externo

– residue – expansion de Y (s) en frac. simples– series, parallel, feedback: simplificacion diagr. bloques.– impulse, step, lsim – respuesta temporal (numerica)– Symbolic Toolbox – transformadas de Laplace L y L−1

. Modelo interno

– impulse, step, lsim – respuesta temporal (numerica)

. Conversion modelos interno y externo

– ss2tf, tf2ss

88

2. Simulink

Simulink: librerıa (toolbox ) de Matlab para modelado y simulacion.

Modelo externo – Modelo interno – Sist. no lineales – Sist. reactivos

. . .

Ventana grafica de Simulink

Ventana de comandos de Matlab Ventana con la respuesta temporal

89

Inicio: – escribir simulink en Matlab command window – clic en el icono SimulinkSimulink

− Simulink

— Countinous— Discrete— Math Operations— Signal Routing— Sinks— Sources

...

+ Dials & Gauges Blockset

+ Stateflow

...

90

• Ejemplo. Modelo simple

Sistema de control en feedback con

K = 5, G(s) =s + 1s2 + 4

, H(s) =2s + 1s + 1

Ventana para dibujo: File → New → Model

G(s) y H(s): Continuous → Transfer Fcn

→ G(s): numerador = [1, 1] denominador = [1, 0, 4]

→ H(s): numerador = [2, 1] denominador = [1, 1]

K: Math Operations → Gain

→ K = 5

Suma: Math Operations → Sum

→ (+) (−) | flechas

91

Entrada escalon: Sources → Step

→ Step time = 0, Initial value = 0, Final value = 1.

Visualizacion: Sinks → Scope

Union con flechas

s+1

s +42

Transfer FcnSum Step Scope

5

Gain

2s+1

s+1

Transfer Fcn 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

t

y(t)

Respuesta temporal

Simulacion: Simulation → Simulation parameters

→ t inicial, t final, algoritmo, paso, etc.

92

• Ejemplo, Circuito electrico

+

-

3

5

4

6

2

1

2

3

1

Z

Z

Z

Z

Z

Z

i

i

i

v

Metodo de mallas:

v = (z1 + z2 + z4)i1 − z2i2 − z4i3

0 = −z4i1 − z5i2 + (z4 + z5 + z6)i30 = −z2i1 + (z2 + z5 + z3)i2 − z5i3

En forma matricial: V = Z I, es decirv00

=

z1 + z2 + z4 −z2 −z4

−z4 −z5 z4 + z5 + z6

−z2 z2 + z5 + z3 −z5

i1i2i3

Solucion:

I = Z−1V

93

• Calculo con Matlab para c. alterna

Escribimos en el archivo circuito.m los datos y las ordenes oportunas.

Vef=220; f=50; w=2*pi*f;R1=1; L1=0.1; C1=100e-6; z1=R1+j*L1*w+1/(i*C1*w)R2=1; L2=0.03; C2=220e-6; z1=R2+j*L2*w+1/(i*C2*w)R3=0.25; L3=0.2; C3=100e-6; z1=R3+j*L3*w+1/(i*C3*w)R4=5; L4=0.1; C4=100e-6; z1=R4+j*L4*w+1/(i*C4*w)R5=20; L5=0.01; C5=100e-6; z1=R5+j*L5*w+1/(i*C5*w)R6=25; L6=0.33; C6=100e-6; z1=R6+j*L6*w+1/(i*C6*w)V = [Vef 0 0]’Z = [ z_1+z_2+z_4 - z_2 - z_4

-z_4 - z_5 z_4+z_5+z_6-z_2 z_2+z_5+z_3 - z_5 ];

I = inv(Z)*V

Para hacer el calculo, en la pantalla de comandos de Matlab escribimos

>> circuito

y, pulsando Enter , obtendremos el vector intensidades:

I = [17.9962 + 10.1363i, 2.1462− 3.5405i, −0.4702− 1.3816i]′

94

3. Sistemas no lineales – pendulo

β

mg

f (t)

Ecuacion diferencial:f(t)−mg sin(β(t))−ma = 0f(t)−mg sin(β(t))−mlβ(t) = 0

mlβ + mg sin(β)− f(t) = 0

Cambio x1 := β, x2 := β: x1 = x2

x2 =f(t)−mg sinx1

l m

En el archivo pendulo.m escribimos:function x_prima=pendulo(t,x)l=1; m=1; g=9.8; % Parametrosif t<1 % Fuerza exterior

f=1;else f=0;end % Ecuac. estado:x_prima=[x(2) (f-m*g*sin(x(1)))/(m*l)]’;

Solucion numerica del P.C.I.:>> t0=0; tf=5; % Interv. integracion>> x0=[0 0]’; % Cond. iniciales>> [t,x]=ode23(’pendulo’,t0,tf,x0);>> plot(t,x)

95

3.1. Respuesta – modelo externo

b

k

( )

( )tf

t0 x

m

Ecuacion diferencial:mx(t) + bx(t) + kx(t) = f(t)

↓ Lms2X(s)+bsX(s)+kX(s)=F (s)

f(t) = 1(t) ⇒ F (s) = 1/sExpansion en fraciones simples:

G(s) = 1ms2+bs+k

; X(s) = G(s) 1s

X(s) = r1s−p1

+ r2s−p1

+ r3s−p3

L−1 es inmediata:y(t) = r1e

p1t + r2ep2t + r3e

p3t

0 5 10 150

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

t

y(t)

Calculo de x(t) con Matlab:>> m=1; b=1; k=1; B=1;>> A=[m b k 0];>> [r,p,c]=residue(B,A)>> t=[0:0.05:15];>> x=r(1)*exp(p(1)*t)

+r(2)*exp(p(2)*t)+r(3)*exp(p(3)*t);

>> plot(t,x)

Mas sencillo aun: con impulse, step o lsim .

96

• Resolucion simbolica

Symbolic Toolbox de Matlab – Maple core –

. Transformada de Laplace L(f(t)) = F (s):

>> F = laplace(f,t,s)

. Transformada inversa de Laplace L−1(F (s)) = f(t):

>> f = ilaplace(F,s,t)

El mismo ejercicio anterior:

>> syms s t>> m=1; b=1; k=1;>> G = 1/(ms^2+b*s+k);>> U = 1/s;>> Y = G * U ;>> y = ilaplace(Y,s,t);>> ezplot(y, [0,15], axis([0, 15, 0, 1.25])

−→ grafica igual que la de antes.97

3.2. Respuesta – modelo interno

m1 m2

k

b

f t( )

( )x t1x t( )2

0

f(t)−k(x1(t)−x2(t))−b(x1(t)−x2(t))=m1x1(t)k(x1(t)−x2(t))+b(x1(t)−x2(t))=m2x2(t)

Cambios: x3 = x1, x4 = x2, u := f ⇓x1 =− k

m1x1 + k

m1x2 − b

m1x1 + b

m1x2 + 1

m1u

x2 = + km2

x1 − km2

x2 + bm2

x1 − bm2

x2

Modelo de estado (sup. salidas≡estados):x1

x2

x3

x4

=

0 0 1 00 0 0 1−km1

km1

−bm1

bm1

km2

−km2

bm2

−bm2

x1

x2

x3

x4

+

001

m1

0

u

y1

y2

y3

y4

=

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

x1

x2

x3

x4

+

0000

u

Resolucion con Matlab:

>> m_1=1; m_2=2;>> k=0.1; b=0.25;>> A=[0 0 1 0

0 0 0 1-k/m_1 k/m_1 -b/m_1 b/m_1k/m_2 -k/m_2 b/m_2 -b/m_2]

>> B=[0 0 1/m1 0]’>> C=eye(4,4); D=zeros(4,1);>> S=ss(A,B,C,D); % crea sistema>> t=[0:0.1:12];>> % Respuesta a escalon unitario:>> y=step(S,t)>> % Grafica de la respuesta:>> plot(t,y)

98

4. Sistema de primer orden

-U(s) A

s + a-Y (s)

Entrada:

. Impulso de Diracu(t) = δ(t) L−→ U(s) = 1G(s)U(s) = A

s+a = Y (s)L−1(Y (s)) = y(t) = Ae−at

. Escalon unitariou(t) = 1(t) L−→ U(s) = 1/sG(s)U(s) = A

s(s+a) = Y (s)

L−1(Y (s)) = y(t) = Aa −

Aa e−at

τ := 1/a constante de tiempo

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

t

Respuesta impulsional

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

t

Respuesta al escalon

99

5. Sistema de segundo orden

-U(s) ω2n

s2 + 2ξωns + ω2n

-Y (s)

Entrada:• Impulso de Dirac

u(t) = δ(t) L−→ U(s) = 1G(s)U(s) = ω2

ns2+2ξωns+ω2

n= Y (s)

y(t) = ωn√1−ξ2

e−ξωnt sin (ωn√

1−ξ2) t

• Escalon unitariou(t) = 1(t) L−→ U(s) = 1/s

G(s)U(s) = ω2n

s(s2+2ξωns+ω2n)

= Y (s)

y(t) = 1− 1√1−ξ2

e−ξωnt sin (ωn√

1−ξ2t + α)

ωn: pulsacion nat. ξ: coef. amort.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

t

Respuesta impulsional

ϕ

s1

s2

im

re

ωn

ξω n

α

100

6. Linealizaciona) Caso monovariable.

x = f(x(t), u(t), t), x ∈ R, u ∈ R

Solucion {x0(.), u0(.)} (equilibrio). Perturbamos:

x(t) = x0(t) + δx(t), u(t) = u0(t) + δu(t)

Suponemos que

(δx)i = o(δx, δu), (δu)i = o(δx, δu), i > 1

Derivando respecto a t,

x(t) = x0(t) + ˙δx(t)

tenemos que

˙δx(t) = x(t)− x0(t)

f(.) lisa ⇒ Desarrollo Taylor:

f(x, u, t)= f(x0, u0, t) + fxδx + fuδu + o(δx, δu)x− x0 = fxδx + fuδu + o(δx, δu)

˙δx = Aδx + Bδu + o(δx, δu)

en donde

A = fx(t) =∂f

∂x

��x0,u0

, B = fu(t) =∂f

∂u

��x0,u0

b) Caso multivariable f(.),x(.),u(.): vectores.

⇒ fx(.) y fu(.): jacobianos de f(.) resp. de x y u

Jx0 = ∂f∂x

��x0,u0

=

0B@

∂f1∂x1

. . . ∂f1∂xn

. . . . . . . . .∂fn∂x1

. . . ∂fn∂xn

1CA

x0,u0

Ju0 = ∂f∂u

��x0,uo

=

0B@

∂f1∂u1

. . . ∂f1∂un

. . . . . . . . .∂fn∂u1

. . . ∂fn∂un

1CA

x0,u0

De donde˙δx = fxδx + fuδu (4.1)

o bien˙x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t)

en donde x(t) = δx(t), u(t) = δu(t),

A(t) = fx(t), B(t) = fu(t)

Las matrices A(t) y B(t) (jacobianos) son funcio-nes de tiempo si la solucion de la ecuacion diferen-cial no es constante.

101

• Ejemplo. Deposito

q t( )

a t( )

h t( )

Area A1

Elemento – masa m:

Ep = mgh(t) =1

2mv(t)2 = Ec,

⇒ velocidad de salida v(t) =p

2gh(t).Caudal de salida:

q(t) = a(t)v(t) = a(t)p

2gh(t)

Pero caudal = variacion de volumen,

q(t) =d

dtA1h(t) = A1

dh

dtIgualando,

dh

dt=

1

A1a(t)

p2gh(t)

Punto de funcionamiento (o estado de equilibrio)a0, h0: valores de equilibrio de (a(t), h(t)).

x(t) := h(t)−h0 y u(t) := a(t)−a0 : “pequenos”incrementos.

f(h, a) =1

A1a(t)

p2gh(t),

Derivando f respecto de h, tenemos

∂f

∂h

��ho,a0

=1

A1

2ga

2√

2gh

��ho,a0

=ga0

A1√

2gh0:= A,

y, derivando f respecto de a,

∂f

∂a

��ho,a0

=1

A1

p2gh0 := B.

Modelo linealizado en h0, a0:�x(t) = Ax(t) + Bu(t)y(t) = Cx(t) + Du(t)

Hemos supuesto (implıcitamente) que no hayperdidas de energıa por rozamiento.

102

7. Respuesta de frecuencia

-U(s)G(s) -Y (s)

G(s) =b(s)a(s)

estable

Entrada sinusoidal:

u(t) = sin ωtL−→ U(s) =

ω

s2 + ω2⇒ ω

s2 + ω2G(s) = Y (s)

Y (s) =k0

s− iω+

k0

s + iω+

k1

s− s1+

k2

s− s2+ . . . +

kn

s− sn

s1, . . . , sn: raıces (sup. simples) de a(s); k0, k0, k1, . . . , kn: resıduos de Y (s).

y(t) = k0eiωt + k0e

−iωt︸︷︷︸ + K1es1t + K2e

s2t + . . . + Knesnt︸︷︷︸yss(t) → 0

yss(t) = M sin(ωt + φ)

M = |G(iω)| , φ = arg G(iω)

103

7.1. Diagrama de Nyquist

Es un grafico en C de la funcionG : R → C

ω 7→ G(iω)Metodos:

. Manual – tabla de valores

G(s) =1

s + 1M = |G(iω)|φ = arg G(iω)

ω M φ

0.0 1.000 0.00.5 0.894 -26.61.0 0.707 -45.01.5 0.555 -56.32.0 0.447 -63.43.0 0.316 -71.65.0 0.196 -78.7

10.0 0.100 -84.3

. Con Matlab: [M,phi] = nyquist(num,den,w)

104

7.2. Criterio de Nyquist

Sirve para averiguar si un sistema con realimentacion, de la forma

- jU(s) Y (s)- G(s) -

H(s)

6

�

r

es estable o no, conociendo el diagrama de Nyquist de G(s)H(s) y el numero de polosen C+ de G(s)H(s).

• Principio del argumento

Sea f : C→ C analıtica en todos los puntos –excepto en un numero finito de polos–de un dominio D y en todos los puntos de su contorno δ, y sean Zf y Pf los numerosde polos y de ceros, respectivamente, de f(z) en D. Entonces

Zf − Pf =12π

∆s∈γ arg f(z)

105

-

6 Plano z

Principio del argumento

-

6Plano f(z)

-

6 Plano s

Criterio de Nyquist

-

6

−1

Plano G(s)H(s)

106

• Criterio de estabilidad de Nyquist

G(s) = nGdG

, H(s) = nHdH

, G(s)H(s) = nG nHdG dH

T (s) = G(s)1+G(s)H(s) =

nGdG

1+nG nHdG dH

= nG dHdG dH+nG nH

F (s) = 1 + G(s)H(s) = 1 + nG nHdG dH

= dG dH+nG nHdG dH

polos de T (s) ≡ ceros de F (s)polos de G(s)H(s) ≡ polos de F (s)

Aplicamos el principio del argumento a F (s):

12π

∆s∈γ arg F (s) = ZF − PF

= PT − PGH

Criterio de Nyquist:

PT = PGH +12π

∆s∈γ arg F (s)

No polos de T (s) en C+ = No de polos de G(s)H(s) en C+ + No de vueltas deG(s)H(s) alrededor de (-1 + 0j)

107

• Ejemplo 1

−2 −1 0 1 2

−2

−1

0

1

2

Plano s

−1 −0.5 0 0.5 1

−1

−0.5

0

0.5

1

Plano G(s)H(s)

G(s) =1

(s + 1)(s + 2), H(s) = 2

Polos de G(s)H(s) = {−1,−2}

PT = PGH +12π

∆s∈γarg F (s) = 0 + 0 = 0

T (s) =G(s)

1 + G(s)H(s)es estable.

108

• Ejemplo 2

−2 −1 0 1 2

−2

−1

0

1

2

Plano s

−1 −0.5 0 0.5 1

−1

−0.5

0

0.5

1

Plano G(s)H(s)

G(s) =5

s3 + 5s2 + 9s + 5, H(s) = 1

Polos de G(s)H(s) = {−2 + i,−2− i,−1}

PT = PGH +12π

∆s∈γarg F (s) = 0 + 0 = 0

T (s) =G(s)


109

• Ejemplo 3

−2 −1 0 1 2

−2

−1

0

1

2

Plano s

−2 −1.5 −1 −0.5 0

−1

−0.5

0

0.5

1

Plano G(s)H(s)

G(s) =5

s4 + 4s3 + 4s2 − 4s− 5, H(s) = 2

Polos de G(s)H(s) = {−2 + i,−2− i,−1, 1}

PT = PGH +12π

∆s∈γarg F (s) = 1 + 1 = 2.

T (s) =G(s)

1 + G(s)H(s)es inestable.

110

• Ejemplo 4

−2 −1 0 1 2

−2

−1

0

1

2

Plano s

−2 −1.5 −1 −0.5 0

−1

−0.5

0

0.5

1

Plano G(s)H(s)

G(s) =5

s4 + 4s3 + 4s2 − 4s− 5, H(s) = 1.4(s + 0.95)

Polos de G(s)H(s) = {−2 + i,−2− i,−1, 1}

PT = PGH +12π

∆s∈γarg F (s) = 1− 1 = 0.

T (s) =G(s)


111

7.3. Diagramas de Bode

Se compone de dos graficos en R, asociados a la funcionG : R → C

ω 7→ G(iω),que representan M(ω) y φ(ω).

Metodos:

. Manual – lapiz y regla

. Con Matlab: bode(num,den,w)

ωn=10

ζ=1/8

-40 dB/dec

112

8. El lugar de las raıces

-U(s) j+ - k - G(s) s -Y (s)

�H(s)

6−

G(s) =nG

dG, H(s) =

nH

dH, k ∈ R

G(S)H(s) =nG nH

dG dH=

Z(s)P (s)

= K(s− z1)(s− z2) . . . (s− zm)(s− p1)(s− p2) . . . (s− pn)

T (s) =kG(s)

1 + kG(s)H(s)=

knGdG

1 + knGdG

nHdH

=k nG dH

dG dH + k nG nH

=k nG dH

P (s) + k Z(s)=

nT

dT

L.R. es el lugar geometrico, en C, de las raıces de dT (s) al variar k en R+

113

8.1. Reglas para el trazado

Z(S)P (s)

=|s− z1|ejφz1 . . . |s− zm|ejφzm

|s− p1|ejφp1 . . . |s− pn|ejφpn=|s− z1||s− z2| . . . |s− zm||s− p1| . . . |s− pn|

ejΣφi

Ecuacion caracterıstica: P (s) + kZ(S) = 0m

kZ(S)P (s)

= −1 ⇐⇒ k|s− z1| . . . |s− zm||s− p1| . . . |s− pn|

ejΣφi = e±j(2k+1)π, k = 0, 1, 2, . . .

1. Condicion angulo – trazado

arg[kG(s)H(s)] = Σφi = ±(2k + 1)π

2. Condicion de magnitud – calculo de k en cada punto

k =|s− p1| . . . |s− pn||s− z1| . . . |s− zm|⇓

Reglas para el trazado

114

8.2. Trazado por computador

Ejemplo de trazado del lugar de las raıces mediante MATLAB:

G(s)H(s) =s + 1

s(s + 2)(s2 + 6s + 13)

>> num=[1 1]>> den=conv([1 2 0],[1 6 13])>> rlocus(num,den)

-6 -4 -2 0 2 4 6-6

-4

-2

0

2

4

6

Eje Real

Eje

Imag

115

Capıtulo 5. Realizacion del control

Realizaciones

. Realizacion matematica lineal de orden n.Dada G(s) ∈ R(s)p×q, hallar A, B, C, D, tales que el sistema{

x(t) = A x(t) + B u(t)y(t) = C x(t) + D u(t),

con A ∈ Rn×n, B ∈ Rn×q, C ∈ Rp×n, D ∈ Rp×q, tenga por matriz de transfe-rencia G(s). Se llama realizacion minimal si el numero entero n es el menor quepuede encontrarse. Las mas simples son las llamadas realizaciones canonicas:controlador, observador, controlabilidad y observabilidad.

. Realizacion analogica. – modelo – circuito electronico

. Realizacion digital. – programa (Matlab, Simulink, C++, Java, etc.)

. Realizacion fısica. – prototipo – fabricacion

116

1. Realizacion fısica

-Entrada m+ - C - A - P r -Salida

�S

6−

P Planta o proceso a controlar. –fijo –dado

A Actuador. –potencia suficiente para ”mover”la planta

S Sensor. –adecuado a la senal de salida

C Controlador. –PID –adelanto/retraso –analogico/digital

. En el caso lineal los bloques son funciones de transferencia

. Diferentes tecnologıas: neumatica, electrica, electronica

. Los bloques A y S son (practicamente) constantes

. Problema de diseno: Dada la planta P , hallar C para que el sistema funcionede forma adecuada (especificaciones).

117

2. Sensores

Partes de un sensor

Captador: dispositivo con un parametro p sensible a una magnitud fısica h – emiteenergıa w que depende de p (y de h). Ideal: w(t) = K h(t), K = cte.

Transductor: recibe la energıa w del captador, la transforma en energıa electricae(t) y la retransmite.

Acondicionador: recibe la senal e(t) del transductor y la ajusta a los niveles devoltaje e intensidad, precisos para su posterior tratamiento, dando v(t).

h t( ) e t( ) ( )v t

p h( )

( ) ( ) ( )w p h tAcondicionadorTransductor

Captador

Sensor = Captador + Transductor + Acondicionador

. Analogicos: todas las senales son analogicas

. Digitales: v(t) digital.

Sistemas de control: medicion de variables que intervienen en el proceso.El sensor ha de ser de gran calidad. Estatica – Dinamica.

118

2.1. Tipos de sensores

Analogicos: parametro sensible – magnitud fısica

. Resistencia R – desplazamiento, temperatura, fuerza (galgas)

. Capacidad C – desplazamiento, presencia

. Autoinduccion, reluctancia L – desplazamiento (nucleo movil)

. Efecto Seebeck – temperatura (termopar)

. Piezoelectricidad – fuerza, presion

. Dispositivos electronicos – temperatura, presion

. Avanzados: ionizacion, ultrasonidos, laser, camaras CCD, etc.

Digitales: binarios o n bits

. Fin de carrera – presencia (interruptor)

. Dilatacion – temperatura (termostato)

. Resistencia, capacidad, autoinduccion – presencia

. Efecto fotoelectrico – presencia (1 bit), posicion (n bits), velocidad119

2.2. Clasificacion

Aspecto – tipos

. Senal de salida – analogicos, digitales

. Energıa – pasivos, activos

. Funcionamiento – deflexion, comparacion

Caracterısticas

Aspecto – caracterısticas

. Diseno – electrico, diseno mecanico, actuacion

. Escalas – rango, resolucion

. Estatica – precision, linealidad, histeresis, repetitividad, derivas

. Dinamica – orden cero, orden uno, orden dos

. Fiabilidad

120

2.3. Calibracion

Ensayo: entrada h = magnitud de valor conocido – salida medida v

Tabla de calibracion: varios puntos h1 → v1, . . . , hn → vn, dentro del rango

Curva de Calibracion: representacion grafica (h, v)

Necesario: aparato de medida de mayor precision que el sensor

Linealizacion: curva de calibracion → lınea recta

. Por punto final: v = m h, en donde m = vn/hn

. Por lınea independiente: v = m h + b

. Por mınimos cuadrados: v = m h + b, en donde

m =

n

n∑i=1

hivi −n∑

i=1

hi

n∑i=1

vi

nn∑

i=1

h2i −

(n∑

i=1

hi

)2 , b =

n∑i=1

vi

n−m

n∑i=1

hi

n

121

2.4. Tipos de transductores

Temperatura. Termistor – parametro sensible: R (ptc, ntc)

. Termopar – ∆T → ∆v – rapido (ms) – senal debil – T alta

. Circuitos integrados – LM335 (10 mV/0K), AD592 (1µ A/0K).

Posicion. Resistivos – potenciometro (R) – lineal y angular

. Inductivos – LVDT

. Encoder – digital – lineal y angular

. Ultrasonidos

. Laser

Velocidad. Dınamo tacometrica

. Encoder

Aceleracion, fuerza, presion, luz, color, etc.122

2.5. El potenciometro como sensor de posicion

R

Rx

V +

?i(t)

x(t)

vx(t)

0

Rx =ρ

Ax(t)

i(t) =V +

R

vx(t) = Rx i(t) =ρ

Ax(t)

V +

R= Kpot x(t)

. Ventajas: precio economico

. Inconvenientes: –rozamiento –ruido en la medida

. Tipos: –lineal –circular –de una vuelta –de varias vueltas

. Si ponemos V − en vez de 0 mide x negativos

123

3. Actuadores

Actuador: dispositivo que ejerce acciones de cierta ponencia.Transforma energıa: electrica → electrica – electrica → mecanica – etc.

3.1. Tipos de actuadores

Actuadores hidraulicos – potencia alta

. Principio de Pascal – aceite especial – 200 bar – 0.25 l/s

. Cargas mayores de 6 o 7 Kg

. Control: servovalvulas (con motor) – controlan el flujo de fluido

Actuadores neumaticos – potencia baja – control neumatico

. Cilindros - motores - movimientos rapidos - poca precision

. fluido: aire – aire comprimido – 5 a 10 bar

Actuadores electricos

. Motores electricos: C.C., C.A, lineales, paso a paso, brushless, etc.

124


. Reles – automatismos electricos

. Contactores

. Arrancadores y Drivers para motores

. Amplificadores electronicos de potencia


. Maquinas simples: plano inclinado, palanca, biela-manivela, engranajes, rodi-llos, poleas, agitadores, vibradores, etc.

. Poleas, cremalleras, pinones: translacion → rotacion

. Reductores de velocidad

. Maquinas complejas

125

3.4. El motor de c.c.

va(t)

+

−

N

S

?φ

?φ

?ia(t)θ(t)

126

3.5. Ecuaciones diferenciales

va(t)+

−

vf (t)

+

−ea(t)

Ra

La Lf

Rf-

ia(t) �if (t)

�φ(t)

inductor: vf (t) = Rf if (t) + Lfdifdt

inducido: va(t)− ea(t) = Ra ia(t) + Ladiadt

flujo magnetico: φ(t) = kf if (t)

par motor: Pm(t) = kt φ(t) ia(t)

variables de rotacion: ω(t) =dθ

dtα(t) =

dω

dtf.c.e.m.: ea(t) = ke φ(t) ω(t)

carga mecanica: Pm(t)− Pl(s) = Jmdω

dt+ Bmω(t)

127

3.6. Modelo externo

Transformada de Laplace con condiciones iniciales nulas:

vf (t) = Rf if (t) + Lfdifdt

L=⇒ Vf (s) = (Rf + sLf )If (s)

va(t)− ea(t) = Ra ia(t) + Ladiadt

L=⇒ Va(s)− Ea(s) = (Ra + sLa)Ia(s)

φ(t) = kf if (t) L=⇒ φ(s) = kf If (s)

Pm(t) = kt φ(t) ia(t)L=⇒ Pm(s) = kt φ(s) Ia(s)

ω(t) = dθdt α(t) = dω

dtL=⇒ ω(s) = sθ(s) α(s) = sω(s)

ea(t) = ke φ(t) ω(t) L=⇒ Ea(s) = ke φ(s) ω(s)

Pm(t)− Pl(t) = Jmdωdt + Bmω(t) L=⇒ Pm − Pl = s Jm + Bmω(s)

Motor de c.c. controlado por inducido: φ = cte. Kt = ktφ , Ke = keφ

-Va(s) m+ - 1sLa + Ra

- Kt- m+ - 1

sJm + Bm

r -ω(s)

�Ke

6−

?

Pl(s)

Ia(s) Pm(s)

Ea(s)

128

3.7. Funcion de transferencia del motor

Y (s) = G(s) U(s) G(s) ∈ R(s)1×2

U(s) =[

Va(s)Pm(s)

]G(s) =

[G11 G12

]Y (s) = ω(s)

G11 =Kt

(sLa + Ra)(sJm + Bm)(

1 +KtKe

(sLa + Ra)(sJm + Bm)

)=

Kt

s2LaJm + s(LaBm + RaJm) + RaBm + KtKe

G12 =1

(sJm + Bm)(

1 +KtKe

(sLa + Ra)(sJm + Bm)

)=

sLa + Ra

s2LaJm + s(LaBm + RaJm) + RaBm + KtKe

ω(s) =[G11 G12

] [Va(s)Pm(s)

]= G11Va(s) + G12Pm(s)

129

3.8. Reductor de velocidad

1 2 3 4

Pm

Pl

1 : Pm(t)− P21(t) = J1d2θ1dt2

+ B1dθ1dt

L=⇒ Pm(s)− P21(s) = s (J1s + B1) θ1(s)

2 : P12(t)− P32(t) = J2d2θ2dt2

+ B2dθ2dt

L=⇒ P12(s)− P32(s) = s (J2s + B2) θ2(s)

3 : P23(t)− P43(t) = J3d2θ3dt2

+ B3dθ3dt

L=⇒ P23 − P21(s) = s (J3s + B3) θ3(s)

4 : P34(t)− Pl(t) = J4d2θ4dt2

+ B4dθ4dt

L=⇒ P34 − Pl(s) = s (J4s + B4) θ4(s)

-Pm(s) � ��

+ - D2d1

-� ��+ - D3

d2-� ��

+ - D4d3

-� ��+ - 1

sJ4+B4s- 1

s-

θ4(s)

�D4d3

6

J3s+B3

6−

s�D3d2

6

J2s+B2

6−

s�D2d1

6

J1s+B1

6−

?

Pl

P21 P12

ω1

P32 P23

ω2

P43 P34

ω3 ω4

130

3.9. Funcion de transferencia del reductor

El diagrama de bloques puede reducirse a

-Pm(s) m+ - 1sJr + Br

-ω1(s)Kr

-ω4(s) 1s

-θ4(s)

?Pl(s)

1Kr

?

en donde

Jr = d12d2

2d32

D22D4

2D32 J4 + d1

2d22

D32D2

2 J3 + d12

D22 J2 + J1

Br = d12d2

2d32

D22D4

2D32 B4 + d1

2d22

D32D2

2 B3 + d12

D22 B2 + B1

Kr = d1 d2 d3D2 D3 D4

.

Es un sistema de primer orden (para ω) o de segundo (para θ).

131

3.10. Reductor con poleas elasticas

-Pm(s) � ��

+ - 1J1s+B1

-ω1(s) 1

ss -θ1(s)

?r1

?x1(s)� ��

+�K12f12(s) s6r1

6−P21(s)

?R2

?P12(s)

� ��+ - 1

J2s+B2-

ω2(s) 1s

s -θ2(s)

6

R2

6−x2(s)

?6−P32(s)

-Pl(s) � ��

+

1 : f12(s) = K12(r1θ1(s)−R2θ2(s))

P21(s) = r1 f12(s) P12(s) = R1 f12(s)

Pm(s)− P21(s) = s (J1s + B1)

2 : f23(s) = K23(r2θ2(s)−R3θ3(s))

P32(s) = r2 f23(s) P23(s) = R3 f23(s)

P12(s)− P32(s) = s (J2s + B2)

3 : f34(s) = K34(r1θ3(s)−R2θ4(s))

P43(s) = r3 f34(s) P34(s) = R4 f34(s)

P23(s)− P32(s) = s (J3s + B3)

4 : P34(s)− Pl(s) = s (J4s + B4)

Es un sistema de orden 2 × no de poleas. Modelo externo: formula de Mason.

132

3.11. Aplicacion practica: sistema de control de posicion

Motor de c.c.

PoleasCarrito

C AS+

−

Vxr

x(t)

Entrada = Vx –control –referencia –consigna

Salida = x(t)

C Controlador = PID analogico

A Actuador = Amplificador de potencia

P Planta = Motor c.c. + Poleas + Carrito

S Sensor = Potenciometro

133

4. Especificaciones de funcionamiento

Son condiciones que se exigen a un sistema de control para que su funcionamientosea aceptable.

1. Estabilidad

2. Rapidez

3. Precision

Las especificaciones de funcionamiento suelen expresarse por numeros que se definena partir de

. la respuesta en el tiempo

. la respuesta en frecuencia

Problema de diseno: dado una planta o proceso a controlar y fijadas unas especifica-ciones de funcionamiento, obtener el modelo matematico de un controlador tal que elsistema de control resultante cumpla tales especificaciones.

134

4.1. Especificaciones en tiempo

. Respuesta temporal: grafica de la senal de salida.

. Entradas de prueba: impulso de Dirac, escalon unitario, funcion rampa, funcionparabola, etc.

. Respuesta para entrada escalon ⇒ revela especificaciones.

Mp : estabilidad

tp : rapidez

error : precision

135

• Valores para el sistema de 2o orden

y(t) = 1 +1√

1− ξ2e−ξωnt sin(ωn

√1− ξ2t− φ), φ = arctan

−ξ√1− ξ2

y′(t) = e−ξωnt

(−ξ2ωn√1− ξ2

+ ωn

√1− ξ2

)sin(ωn

√1− ξ2t) = 0

⇒ sin(ωn

√1− ξ2t) = 0 ⇒ t =

kπ

ωn

√1− ξ2

, k = 0, 1, 2, . . .

Para k = 1 (primer maximo),

tP =π

ωn

√1− ξ2

; y(tP ) = 1 +1√

1− ξ2e−ξωntp(−

√1− ξ2 cos π + ξ sinπ)

y(tp) = 1 + MP ⇒ Mp = e−ξπ/√

1−ξ2

• Otros valores

tr =arctan(−

√1− ξ2/ξ)

ωn

√1− ξ2

, ts '4

ξωn,

1ξωn

= constante de tiempo

136

4.2. Especificaciones en frecuencia

Respuesta de G(s) con u(t) = A sin(ωt):

yss(t) = M sin(ωt + φ), M = |G(jω)|, φ = arg G(jω)

• Frecuencias de corte: ωA, ωB; -3 dB

• Anchura de banda BW = ωB − ωA

⇒ rapidez

• Ganancia en BW: constante⇒ precision

• Margenes de ganancia y fase⇒ estabilidad

No hay una relacion explıcita entre las especificaciones en tiempo y en frecuencia.

137

5. Estabilidad, controlabilidad y observabilidad, sistemas lineales

Sistema lineal S: modelo de estado[

A BC D

]∈ R(n+q)×(n+p) ⇒ G(s) ∈ R(s)p×q

. Estabilidad – G(s) – polos simples s1, s2, . . . , sn

y(t) = k1es1t + k2e

s2t + . . . + knesnt

Si algun si ∈ C+ ⇒ y(t)→∞ – sistema inestable.

. Controlabilidad: Q = [B AB A2B . . . An−1B] ∈ Rn×nq

. Observabilidad: R = [C CA CA2 . . . CAn−1]T ∈ Rnp×n

S controlable ⇐⇒ rank Q = n S observable ⇐⇒ rank R = n

Si S es controlable y observable se puede realizar un feedback de estado para reubicarlos polos de S, i.e., se puede

S inestablestate feedback−−−−−→ S estable

138

Capıtulo 6. Diseno de Sistemas de Control continuos

1. Introduccion

Aplicacion en numerosos campos en tecnologıa y ciencia.

. pilotos automaticos en barcos o aviones

. control teledirigido de naves espaciales

. controles de posicion y velocidad – maquinas herramientas

. control de procesos industriales – robots

. controles en automoviles – suspension activa

. controles en electrodomesticos

Desarrollo: Bajo coste y miniaturizacion de electronica.

Objeto del diseno: controlador.

Control: sistemas SISO y MIMO.

Realizacion: componentes electronicos analogicos – computador digital.139

2. Tipos de controladores

Diseno: determinar Gc(s) para conseguir un adecuado funcionamiento.

Gc Gp

H

R(s)

D(s)

Y(s)ε

Controlador Gc(s):

P Proporcional : Gc(s) = Kp

I Integrador : Gc(s) = 1sTi

D Derivativo : Gc(s) = sTd

PID Gc(s) = Kp(1 + 1sTi

+ sTd)

140

• Realizacion de los controladores

P

R

R2

R1

Vi

Vo

V0

Vi=

R1 + R2

R1= Kp =

R1 + R2

R1

I

R 1

R

V

C 1

i

V o V0

Vi= − 1

sR1C1; Ti = sR1C1

D

R 1

R

VC 1

i

V o V0

Vi= −sR1C1; Td = sR1C1

141

• Controlador PID

Kp

1

1

dsT

isT

Vi Vo

Gc = V0Vi

= Kp

(1 + 1

sTi+ sTd

)Kp = R5

R4, Ti = R2C2, Td = R3C3

R 1V

C 2

i

V o

C 3

R 1R 4

R 4

R4

R 5

R 1

R 3

142

• Controladores de adelanto y de retraso de fase

Gc =V0

Vi= Kc

s− zc

s− pc

{a) | zc |<| pc | adelanto de fasea) | zc |>| pc | retraso de fase

R1

C

R2Vi Vo

R1

R2

Vi

Vo

C

a) b)

Gc = Kcs−zcs−pc

= 1+αTsα(1+Ts) Gc = Kc

s−zcs−pc

= 1+Ts1+αTs

α = R1+R2R2

, T = CR1R2R1+R2

α = R1+R2R2

, T = R2C

143

• Controlador de adelanto-retraso con red pasiva

R1

Vi Vo

R2

C1

C 2

Gc =V0

Vi=

(1 + αT1s)(1 + βT2s)(1 + T1s)(1 + T2s)

donde α > 1, β = 1/α, αT1 = R1C1, T2 = R2C2 y T1T2 = R1R2C1C2.

144

• Controlador de adelanto-retraso con amp. operacional

R1

Vi

C1

R2

C2

Vo

Gc =V0

Vi= Kc

s− zc

s− pc= −C1(s + 1/R1C1)

C2(s + 1/R2C2)

. Eliminando R2 ⇒ controlador PI

. Eliminando C2 ⇒ controlador PD

145

3. Diseno en el lugar de las raıces

G(s) =1s2

Sistema marginalmente estable para cualquier K.

146

• Efecto de anadir un cero

Cero en z1 = (−2.5, 0); G(s) =s + 2.5

s2

Es como si z1 “tirase” del L.R. hacia sı, estabilizando el sistema.

147

• Efecto de anadir un polo

Polo en p1 = (−2, 0); G(s) =1

s2(s + 2)

Es como si p1 empujara al L.R., desestabilizando el sistema.

148

3.1. Diseno de un controlador de adelanto de fase

El controlador esGc(s) = Kc

s− zc

s− pc, |zc| < |pc| (6.2)

Diseno: hallar zc y pc para que el L.R. pase por un punto dado, definido a partir delas especificaciones de funcionamiento.

Ejemplo. Dado un sistema con

G(s) =1s2

, H(s) = 1, (6.3)

disenar un controlador de adelanto de fase para conseguir las siguientes especificacio-nes de funcionamiento:

Mp < 0.2, Ts < 4 s para ε = 2%

siendo ±ε la banda de tolerancia de error.

149

Resolucion.Para el sistema de 2o orden sabemos que

Mp = e−ξπ/√

1−ξ2 ⇒ ξ =− ln(Mp)√

ln(Mp)2 + π2= 0.456.

Para t = 4τ tenemos que e−t/τ = e−4 = 0.0183 < 0.02. Por tanto, si ts = 4τ tenemosque para t > ts se cumple que y(t) < 0.02.

ts = 4τ =4

ξωn

Sustituyendo,

4 =4

0.456 ωn⇒ ωn = 2.22.

Por tanto, el punto s0 ∈ C correspondiente a las especificaciones dadas es:

s0 = −ξωn ± iωn

√1− ξ2 = −1± 2i.

Ahora el problema es calcular Gc(s) para que el L.R. pase por s0.

150

Ponemos el cero del controlador en el punto zc = −1, bajo el punto s0 = (−1 ± 2i)por donde ha de pasar el L.R.

re

im

-1-2-3-4-5

1

2

3

θ 90º116.56º

Raíz deseada

p

Por la condicion de angulo,

90o − 2(116.56o)− θp = −180o ⇒ θp = 38o,

se deduce que el polo ha de ser pc = −3.6. Aplicando ahora la condicion de moduloen el punto s = −1 + 2i resulta Kc = 8.1.

151

El lugar de las raıces del sistema con controlador es

El controlador disenado es Gc(s) = 8.1s + 1

s + 3.6.

152

3.2. Diseno de un controlador PID

Ejemplo. Se trata disenar un controlador PID para un sistema con Gp(s) = 1/s2 yH(s) = 1. Las especificaciones son las mismas en el ejemplo anterior.

Mp < 0.2, Ts < 4 s para ε = 2%

siendo ±ε la banda de tolerancia de error.

Resolucion.

Como en el ejemplo anterior, el lugar de las raıces ha de pasar por el punto s0 =(−1± 2j). La funcion de transferencia del PID es

Gc = Kp

(1 +

1sTi

+ sTd

)= Kp

TdTis2 + Tis + 1Tis

= TdKp

s2 + 1Td

s + 1TdTi

s= Kc

(s− z1)(s− z2)s

,

con Kc = TdKp.

153

re

im

-1-2-3-4-5

1

2

3

θ 90º116.56º

Raíz deseada

z2

Metodo simple:

(a) suponemos que los ceros z1 y z2 son reales,

(b) ponemos el cero z1 bajo la raız s0 deseada,

(c) aplicando la condicion de angulo, determinamos el otro cero,

(d) aplicando la condicion de modulo, hallamos Kp.

154

(a) z1 y z2 en el eje real.

(b) z1 = −1

(c) Condicion de angulo:

90o + θz2 − 3(116.56o) = −180o, θz2 = 3(116.56)− 180o − 90o = 79.6952o

⇒ z2 = −1.3636.

Con z1 y z2 ya podemos hallar Td, Ti y Kp:

Kc

s2 + 1Td

s + 1TdTi

s= Kc

(s− z1)(s− z2)s

≡ Kcs2 + 2.3636s + 1.3636

s,

siendo Kc = TdKp, de donde resulta

Td =1

2.3636= 0.4231 s, Ti =

2.36361.3636

= 1.7333 s

(d) Por ultimo, aplicando la condicion de modulo, hallamos Kp.

(√

12 + 22)3

2√

(1.3636− 1)2 + 22= 2.750 = Kc ⇒ Kp =

Kc

Td= 6.5

155

Control del balanceo de una barra

Diseno de un sistema de control para mantener una barra en posicion vertical.

xf

θ

y• Barra de longitud l y masa m

• Movimiento en el plano xy

• Fuerza f(t) horizontal

• Desplazamiento x(t) de la base

• Giro θ(t) de la barra

¿Es posible el control —sin feedback— de labarra?

157

Modelo matematico. 2a ley de Newton :∑

P = Jd2θ

dt2

f(t)θ(t)

mg

O

J :=∫ l

0x2dm =

∫ l

0x2ρAdx = ρA

l3

3=

13ρAl l2 =

13m l2

f(t)l

2cos θ(t) + mg

l

2sin θ(t) = J

d2θ

dt2

Linealizacion: cos θ ' 1, sin θ ' θ ⇓

13m l2

d2θ

dt2−mg

l

2θ(t) =

l

2f(t) ⇓ L

d2θdt2− 3g

2l θ(t) = 32ml f(t)

(s2 − 3g2l )θ(s) = 3

2mlF (s)

Modelo externo: θ(s) =3

2ml

s2 − 3g2l

F (s)

Datos: g = 9.8,m = 1, l = 1 ⇒ polos : p1 = 3.834058, p2 = −3.834058.

158

Lugar de las raıces.

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Sistema inestable o marginalmente estable con controlador P

159

Diseno de un controlador.

Especificaciones:

tp =14, Mp =

13

Sistema de segundo orden:

Mp = e−ξπ/√

1−ξ2 ⇒ ξ =− ln(Mp)√

ln(Mp)2 + π2= 0.403712

tp =π

ωn

√1− ξ2

⇒ ωn =π

tp√

1− ξ2= 10.301589

Polo del sistema:

s0 = −ξωn ± i ωn

√1− ξ2 = −4.158883± 9.424777i

Problema: hallar Gc(s) para que el L.R. pase por s0.

160

Calculo de los parametros de Gc(s).

φp1φzcφp2φpc

s0

p1p2zcpc

⇒ pc = −4− 8.440951 = −12.440951

Condicion de angulo:φzc − φp1 − φp2 − φpc = (2k + 1)π ⇒ φpc = 0.840410 rad =48.151970o

Condicion de modulo:

K =|s0 − p1||s0 − p2||s0 − pc|

|s0 − zc|= 156.425395

161

Parte III. Automatizacion local

162

Capıtulo 7. Automatas programables

1. Descripcion de un PLC

Externamente un PLC se compone de una o varias cajas de plastico acopladasmecanica y electricamente entre sı. Una de ellas contiene la CPU (Central ProcessUnit) y las otras son modulos complementarios para entradas, salidas, comunicacio-nes, alimentacion y otras funciones especiales.

CPU

. Datan de la decada de los 80– sustituir reles y temporizadores.

. Potentes PLC: operaciones potentes– tipo maestro.

. PLC’s de gama baja: actuadores – senso-res – pocas I/O– tipo esclavo.

Tanto la CPU como los modulos adicionales tienen bornas para los cables de conexiondel automata con sensores y actuadores ası como con otros automatas y ordenadores.

163

Arquitectura de un PLC

Buses: direcciones − datos − control

EEPROMROMCPURAMEPROM

opto − entradasrelés − salidas

. Sistema basado en microprocesador.

. Entradas opto-acopladas y filtradas, salidas por rele.

. Alta inmunidad al ruido – gran fiabilidad.

164

Cableado directo I/O (obsoleto)

Proceso 1 Proceso 2 Proceso 3

CPU

Drivers Drivers

. Sensores y actuadores clasicos.

. Las entradas – salidas se cablean hasta el proceso.

. Posiblilidad de errores de transmision.

. Gran cantidad de cables.

165

Cableado por bus de campo

Proceso 1 Proceso 2

CPU

CPU

1

0

22 3

. Sensores y actuadores “inteligentes”.

. Automata esclavo en proceso.

. Reducido numero de cables.

. Posibilidad de usar elementos de radiofrecuencia.

166

2. Programacion de PLC’s

Lenta evolucion de los lenguajes de control industrial.

Motivo: los programas se pueden usar en areas en las que los fallos pueden originarriesgos para la seguridad humana o producir enormes perdidas economicas.

Antes de que una nueva tecnica ser aceptada, debe ser probada para verificar quecumple unas severas condiciones de seguridad y fiabilidad.

Los programas deben ser comprendidos por otras personas ajenas al programador:tecnicos (electricistas, mecanicos, etc.), encargados de planta e ingenieros de proceso→ lenguajes con caracterısticas especiales.

Es posible resolver el mismo problema con diferentes lenguajes. El grado de dificultadpuede variar.

Hay sistemas que convierten automaticamente de un lenguaje a otro.

Programacion con raton mediante interfaces graficas bajo windows.

167

La norma IEC 1131

Intento de normalizacion del empleo de PLC’s en automatizacion.

Antes de la IEC 1131-3: lenguajes especıficos de cada PLC→ confusion, mala coordinacion y perdidas de tiempo y dinero.

Objetivo de la IEC 1131-3: hacer que los programas se entiendan mejor.

Familias de la IEC 1131:

. IEC 1131-1 Informacion general: definicion de terminos, normas para la eleccionde PLC’s y perifericos.

. IEC 1131-2 Hardware: requisitos mınimos de construccion y servicio.

. IEC 1131-3 Lenguajes de programacion: elementos comunes, sintaxis, semantica.

. IEC 1131-4 Guıa de usuario: para todo proyecto de automatizacion.

. IEC 1131-5 Comunicaciones: PLC – perifericos, PLC – PLC, PLC – PC.

168

La IEC 1131-3. Lenguajes de programacion

Norma para el diseno de software para sistemas de control industrial, en particularpara PLC’s (Programmable Logic Controller).

Fue publicada por primera vez en 1993. Hasta entonces no habıa ningun estandarpara la programacion de sistemas PLC.

Lenguajes incluidos en la norma IEC 61131-3:

. Structured Text (ST)

. Function Block Diagram (FBD)

. Ladder Diagram (LD)

. Instruction List (IL)

. Sequential Function Chart (SFC)

Metodologıa flexible de programacion.

Permite combinar bloques realizados en diferentes lenguajes.

169

2.1. Ladder Diagram (LD)

. Lenguaje de contactos

. Disenado para tecnicos electricistas

. Cada contacto representa un bit: entrada, salida, memoria

. Diseno con Statecharts, SFC.

. Automatas gama alta: programables en C o SFC

. Automatas gama baja: conversion (manual) SFC → LD

M a

��

B

b c

Si se activa la entrada M yno se activa el bit a o se activa el bit b y se activa el bit c

entonces se activa la salida B.

170

Conversion manual SFC → LD

ON

e1

keep(11)

e0

e0 r1

e2

keep(11)

e1

e1 r2

e3

keep(11)

e2

... ...en−1 rn

en+1

keep(11)

en

00

r1

1

r2

2

r3... rn

n

rn+1

171

3. Celula flexible SMC

Transfer (cinta trasportadora) + 8 Estaciones.

Producto: montaje simple

172

Estacion 1 Elementos

. Actuadores: 6 cilindros neumaticoscontrolados por electrovalvulas

. Sensores: detectores magneticos

. Pulsadores de marcha, paro y rearme.

. Selector ciclo, seccionador, seta emergencia

. Piloto indicador error

. PLC con 13 entradas y 10 salidas

Operaciones

. Sacar la base del almacen (cilindro A)

. Verificar posicion correcta (cilindro V)

. Trasladar base al manipulador (cilindro T)

. Rechazar base incorrecta (cilindro R)

. Insertar base en palet (cilindros MH y MV)173

Grafcet estacion 1

174

Simulacion estacion 1 en Matlab

175

vacio

rearme

pos

c.i.

vLRx

T

Scope

vLRx

P

vLRx

MV

vLRx

MH

0

Falta material

vLRx

E0

Defecto

0

1

0

1

0

0

1

1base

vacio

ci

vA

vP

vT

vE

vMV

vMH

FM

PD

Chart

vLRx

A

176

estacion1s/Chart

Printed 03−May−2005 18:20:38

S6a/entry: vT=0;% traslado atras

S1/entry:vA=1; % avance AP S30/entry:

PD = 1;

S2/entry: vA=0;vP=1; % bajar VP S31/

% poner c.i.

S2w/entry: vP=0;t0=t;

S32/entry:PD = 0;

S3/entry:vP=−1; % subir VP

S3w/entry:vP=0;t0=t; % temporizador

S4/entry:vA=−1; % retro. A

S5/entry: vA=0;vT=1; % trasladar

S6/entry: vT=−1;% traslado atras

S0/

S7/entry: vE=1;% expulsar

S9/entry: vMV=1;% bajar MV

S8/entry: vE=−1;% expulsor atrasexit: vE=0;

S10/entry:vMV=0;

S11/entry:vMV=−1; % subir MV S20/entry:

FM = 1;

S12/entry: vMV=0;vMH=1; % avance MH

S21/entry: FM=0;vMV=−1; % subir MVexit: vMV=0;

S13/entry: vMH=0;vMV=1; % bajar MV

S14/entry: vMV=0; % cesar vacio ven

S15/entry:vMV=−1; % subir MV

S16/entry: vMV=0;vMH=−1; % retro MHexit: vMH=0;

mh0

mv0

[ci==1] [ci==0]

e0

a1 rearme

p1

[ci==1]

[t>t0+5]

p0

[t>t0+5]

a0

tr1

tr0

[base==1][base==0]

e1 mv1

[vacio==1][vacio==0]

mv0rearme

mh1

mv1

mv0

177

3.1. Automata programable Omron CPM2A-30CDR-A

18 entradas??????????????????

12 salidas

????????????

Programa Memoria

RS-232Perif.

Lenguaje: LD + instrucciones –16 bits–

Entradas: IR 00000-IR 00915 (o bits)Ch: 00.00 a 00.11 y 01.00 a 01.05Salidas: IR 01000-IR 01915 (o bits)Ch: 10.00 a 10.07 y 11.00 a 00.03Bits: IR 02000-IR 04915 y IR 20000-IR 22715Especial: SR 22800-SR 25515Temporal: TR 0-TR 7Holding: HR 0000-HR 1915Auxiliar: AR 0000-AR 2315Link: LR 0000-LR 1515Timers: TIM/CNT000 to TIM/CNT255Memoria datos: DM0000-DM 6655 (RW)Interrupciones externas: 4Salida de pulsos: 2 puntos 10 KHzEntradas respuesta rapida: 4 (50µ s)Controles analogicos: 2 (0-200)2 Puertos comunicaciones: perif., RS232

178

3.2. Ejemplos

Programa 1: al pulsar M se encendera la luz FM.

M

0.00� ��FM

11.01

179

Programa 2: al pulsar M se encendera la luz FM y se mantendra encendida; al pulsarP se apagara.

M

0.00 keep(11)

eP

0.01

e

hr00� ��FM

11.01

180

Diseno con StateCharts

va

vr

si

sd

x

cilindro A

Scope

M

1

0

va

vr

Chart

x(t)

0

1

3

x

2

sd

1

si

1s

0

1

1

0

2

vr

1

va

chart_1cil_doble_4e/Chart

Printed 09−May−2005 12:07:20

I/va=0;vr=0;

D/va=0;vr=0;

R/va=0; %retro.vr=1;

A/va=1; %avancevr=0;

M sd

si M

181

Implementacion con LD

ON

0.00

R

20.03

si

0.04 keep(11)

IA

20.01

I

20.00

M

0.01 keep(11)

AD

20.02

A

20.01

sd

0.05 keep(11)

DR

20.03

D

20.02

M

0.01 keep(11)

RI

20.00

A

20.01

gva10.01

R

20.03

gvr10.02

182

Capıtulo 8. Sensores

Partes de un sensor

Captador: dispositivo con un parametro p sensible a una magnitud fısica h – emiteenergıa w que depende de p (y de h). Ideal: w(t) = K h(t), K = cte.

Transductor: recibe la energıa w del captador, la transforma en energıa electricae(t) y la retransmite.

Acondicionador: recibe la senal e(t) del transductor y la ajusta a los niveles devoltaje e intensidad, precisos para su posterior tratamiento, dando v(t).

h t( ) e t( ) ( )v t

p h( )

( ) ( ) ( )w p h tAcondicionadorTransductor

Captador

Sensor = Captador + Transductor + Acondicionador

. Analogicos: todas las senales son analogicas

. Digitales: v(t) digital.

Sistemas de control: medicion de variables que intervienen en el proceso.El sensor ha de ser de gran calidad. Estatica – Dinamica.

183

1. Tipos de sensores

Analogicos: parametro sensible – magnitud fısica

. Resistencia R – desplazamiento, temperatura, fuerza (galgas)

. Capacidad C – desplazamiento, presencia

. Autoinduccion, reluctancia L – desplazamiento (nucleo movil)

. Efecto Seebeck – temperatura (termopar)

. Piezoelectricidad – fuerza, presion

. Dispositivos electronicos – temperatura, presion

. Avanzados: ionizacion, ultrasonidos, laser, camaras CCD, etc.

Digitales: binarios o n bits

. Fin de carrera – presencia (interruptor)

. Dilatacion – temperatura (termostato)

. Resistencia, capacidad, autoinduccion – presencia

. Efecto fotoelectrico – presencia (1 bit), posicion (n bits), velocidad184

1.1. Clasificacion

Aspecto – tipos

. Senal de salida – analogicos, digitales

. Energıa – pasivos, activos

. Funcionamiento – deflexion, comparacion

1.2. Caracterısticas

Aspecto – caracterısticas

. Diseno – electrico, diseno mecanico, actuacion

. Escalas – rango, resolucion

. Estatica – precision, linealidad, histeresis, repetitividad, derivas

. Dinamica – orden cero, orden uno, orden dos

. Fiabilidad

185

2. Calibracion

Ensayo: entrada h = magnitud de valor conocido – salida medida v

Tabla de calibracion: varios puntos h1 → v1, . . . , hn → vn, dentro del rango

Curva de Calibracion: representacion grafica (h, v)

Necesario: aparato de medida de mayor precision que el sensor

Linealizacion: curva de calibracion → lınea recta

. Por punto final: v = m h, en donde m = vn/hn

. Por lınea independiente: v = m h + b

. Por mınimos cuadrados: v = m h + b, en donde

m =

n

n∑i=1

hivi −n∑

i=1

hi

n∑i=1

vi

nn∑

i=1

h2i −

(n∑

i=1

hi

)2 , b =

n∑i=1

vi

n−m

n∑i=1

hi

n

186

3. Tipos de transductores

Temperatura

. Termistor – parametro sensible: R (ptc, ntc)

RT = R0eβ(( 1

T0)−( 1

T)), β = cte., T0 = 250C – formas variadas

. Termopar – ∆T → ∆v – rapido (ms) – senal debil – T alta

. Circuitos integrados – LM335 (10 mV/0K), AD592 (1µ A/0K).

Posicion

. Resistivos – potenciometro (R) – lineal y angular

. Inductivos – LVDT

. Encoder – digital – lineal y angular

. Ultrasonidos

. Laser

Velocidad

. Dınamo tacometrica

. Encoder187

Capıtulo 9. Actuadores

1. Tipos de actuadores

Actuador: dispositivo que ejerce acciones de cierta ponencia.Transforma energıa: electrica → mecanica – estabilidad, rapidez, precision.

Actuadores hidraulicos – potencia alta

. Principio de Pascal – aceite especial – 200 bar – 0.25 l/s

. Cargas mayores de 6 o 7 Kg

. Control: servovalvulas (con motor) – controlan el flujo de fluido

Actuadores neumaticos – potencia baja – control neumatico

. Cilindros - motores - movimientos rapidos - poca precision

. fluido: aire – aire comprimido – 5 a 10 bar

Actuadores electricos

. Motores electricos: C.C., C.A, lineales, paso a paso

188


. Reles – automatismos electricos

. Contactores

. Arrancadores y Drivers para motores

. Amplificadores electronicos de potencia


. Maquinas simples: plano inclinado, palanca, biela-manivela, engranajes, rodi-llos, poleas, agitadores, vibradores, etc.

. Poleas, cremalleras, pinones: translacion → rotacion

. Reductores de velocidad

. Maquinas complejas

189

2. Neumatica

Tecnologıa basica de la automatizacion – fabricacion y montaje Utilizacion de laenergıa potencial del aire comprimido. DIN 24300Sencillez de diseno – rapidez de montaje – flexibilidad – fiabilidad

Componentes: Cilindros (actuadores) y valvulas (control flujos)

Cilindro: energıa aire comprimido → energıa mecanica

Tubo de acero – embolo – vastago – una o dos tomas de aire

P P P Cilindrode simple efecto Cilindro de doble efecto

Tipos: con amortiguador, en tandem, multiposicionales, rotativos y mesas,de impacto, sin vastago.

190

2.1. Valvulas

Sirven para controlar el paso de fluido – notacion: no vıas / no de posiciones

Distribuidoras: pieza fija + pieza movil. Muchas formas y dimensiones

Accionamiento:

. Manual, con pulsador, seta, palanca o pedal.

. Mecanico, con leva, rodillo o varilla.

. Neumatico, con orificios especiales para senales neumaticas.

. Electrico, con electroiman.

. Electroneumatico.

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

� � � � � � � � �

��

��

��

��

��

��

��

A A

P PR R

Valvula 3/2 de corredera y con accionamiento mecanico191

Valvulas de dos vıas

Valvula 2/2: dos orificios o vıas de aire (entrada y salida), y dos posiciones de trabajo.Dos tipos: NC y NA. Reposo: cuadrado dcha.

P

A A

P

Con accionamientos:

P

A A

P

192

Valvulas de tres vıas

Tres vıas y dos o tres posiciones de trabajo. Valvulas 3/2: 3 vıas y 2 posiciones ypueden ser de tipo NC o NA.

P R

A

P

A

R

Valvulas 3/3: 3 vıas de aire y 3 posiciones.

P R

A

abrir ← (centro: las tres vıas cerradas) → cerrar

193

Valvulas de cuatro y cinco vıas

4 vıas y 2 o 3 posiciones trabajo; 5 vıas y 2, 3 o 4 posiciones de trabajoA B

X

P R

X

P R

A B

Y

Valvulas 4/2 y 4/3

R S P

A B

X Y X

A B

Y

R P S

X

A B

R P S

YX

A B

R P S

Y

Valvulas 5/2, 5/3 y 5/4

194

Valvula selectora

Conductos internos con forma de T; la bolita tapona la entrada X o YSi pX > pY entonces la bolita tapa la entrada Y y pA = pX .En cambio, si pY > pX ocurre lo contrario y pA = pY Si pX = pY = baja entonces

A

X Y

Figura 9.2: valvula de lanzadera

pA = baja; Si pX = pY = alta entonces pA = alta.

Realiza neumaticamente la funcion logica OR.

Valvulas de simultaneidad

Lleva una corredera en el conducto que comunica las entradas X e Y . La correderatiene dos tapones ubicados en sendas cavidades, uno para la entrada X y otro para

195

la entrada Y y unidos por una varilla. Si pX > pY entonces la cavidad de la entradaX resulta taponada y pA = pY .

A

X Y

Por el contrario, si pY > pX se tapona la cavidad de Y y la presion en pA = pX .Si pX = pY , la corredera queda en el centro y entonces pX = pA = pY .

Realiza neumaticamente la funcion logica AND.

Aplicacion sencilla

Control de un cilindro de doble efecto desde dos posiciones X e Y mediante unavalvula selectora de tipo OR.

196

X Y

197

3. Automatismos electricos

3.1. El rele

. Interruptor accionado por electroiman

. Dispositivo fundamental en automatismos electricos

. Contactores

. Diagrama de contactos

NC

NA

A1

A2

1

1A

A 2

12 14

11

Esquema segun norma CEI

198

3.2. Funciones logicas con reles

+a

−s

+a s− −

−+a

K

K

Identidad Negacion Negacion con rele

+ −a b s

−+a b

s

K

K

−+a b

s

K

K

Funcion AND Funcion AND Funcion NAND

199

Parte IV. Automatizacion global

200

Capıtulo 10. Niveles de Automatizacion

Esquema simple de una empresa

Gestión

Almacén de Almacén deproductos terminadosProducciónmaterias primas

Finanzas

MERCADO

Compras Ventas

Nivel productivo de automatiza-cion

. Redes de comunicacion

. Controladores

. Actuadores

. Sensores

. Procesos

Fases de automatizacion:Produccion → Diseno → Gestion → Automatizacion total

201

Automatizacion produccion – Software

. CAD Computer Aided Design – maquinas herramientas

. CAPP Computer Aided Process Planning – planificacion sistemas

. PPS Planning Production System – optimizacion produccion

. MRP Material Requirement Planning – almacen materias primas

. CAM Computer Aided Manufacturing – equipos productivos

. CNC Computer numeric control

. NC Numeric control

. SFC Shop Floor Control – almacen → planta → pedidos

. QC Quality Circle – mejora calidad – reduccion costes

. CAPC Computer Aided Production control – control produccion

. CAPM Computer Aided Production management – gestion produccion

. TMS Transportation Management System – gestion i/o productos

202

Piramide de Automatizacion

��A

AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA

Celula – Planta Baja

Proceso – Campo

Produccion – Planta

Factorıa

G

Sensor, Actuador, PID

PLC, CNC, NC

WS, PCC, PC

MF, WS, PC, CAD/CAM, CAPP, etc.

MF, WS, PC, Gestion

203

SCADA

Supervisory Control and Data Acquisition (de Control Supervisor y Adquisicion deDatos). Software de captura de informacion de un proceso o planta. –analisis oestudios –retroalimentacion y control del proceso.

. Generacion, transmision y distribucion energıa electrica

. Sistemas del control del medio ambiente

. Procesos de fabricacion

. Gestion de senales de trafico

. Gestion de abastecimiento de aguas

. Sistemas de transito masivo

. Supervision y control de estaciones remotas

Caracterısticas de SCADA:

. Mostrar de forma inteligible las lecturas de medidas y de estado de la plantaen las computadoras principales.

. Permitir a los operadores controlar la planta de maneras predefinidas.204

. Para restringir el acceso a las computadoras principales se suelen emplear con-solas especiales conectadas con ellas en red.

. El interfaz hombre-maquina de SCADA permite generalmente que los opera-dores puedan ver el estado de cualquier parte del equipo de la planta.

. La interaccion del operador con el sistema se realiza mayormente a traves de unsistema de alarmas. Las alarmas son condiciones anormales automaticamentedetectadas en el equipo de la planta que requieren la atencion del operador, yposiblemente su intervencion actuando adecuadamente sobre el proceso quizasguardando informacion importante y volviendo a ponerlo a funcionar suave-mente.

. Las computadoras principales de SCADA funcionan tıpicamente bajo un siste-ma operativo estandar. Casi todos los programas SCADA funcionan en algunavariante de UNIX, pero muchos vendedores estan comenzando a suministrarMicrosoft Windows como sistema operativo.

. Los sistemas de SCADA disponen generalmente de una base de datos distribui-da que contiene datos llamados puntos. Un punto representa un solo valor dela entrada o de la salida supervisado o controlado por el sistema. Los puntospueden ser “duros” o “suaves”. Un punto duro representa una entrada real osalida conectada con el sistema, de mientras que uno suave es el resultado de

205

operaciones logicas y matematicas aplicadas a otros puntos duros y suaves.

. El interfaz hombre-maquina de un sistema SCADA suministra un programade dibujo para poder representar estos puntos. Las representaciones puedenser tan simples como un semaforo en pantalla que represente el estado de unsemaforo real en el campo, o tan complejas como una imagen de realidad virtualque representa la evolucion real de la planta.

. En la pasada decada la demanda de aplicaciones civiles de sistemas de SCADAha ido creciendo, requiriendo realizar cada vez mas operaciones automaticamente.

. Por otro lado, soluciones SCADA han adoptado una estructura distribuida, conposibilidad de adaptarse a los componentes de un sistema de control distribuido(DCS) con multiples RTUs o PLCs inteligentes, capaces de ejecutar procesossimples en modo autonomo sin la participacion de la computadora principal.

. Los RTUs y PLCs actuales pueden programarse en los lenguajes de definidosen la norma IEC 61131-3, como el BFD (Function Block Diagram), lo quea los programadores de SCADA para realizar el diseno y puesta a punto deprogramas. Ello permite que algunos programas comunes (intercambio de da-tos, calidad, gestion de alarmas, seguridad, etc.) puedan ser realizados por losprogramadores de estacion principal y luego cargados desde ella en todos losautomatas. De este modo los requisitos de seguridad ahora se aplican al siste-

206

ma en su totalidad, e incluso el software de la estacion principal debe resolverlos estandares de seguridad rigurosos para algunos mercados.

. Ademas, el software de la estacion principal realiza analisis de datos, analisishistoricos y analisis asociados a requisitos particulares de la industria parapresentarlos a los operadores de la gestion de la empresa.

. En algunas instalaciones los costes que resultarıan de fallar del sistema decontrol son extremadamente altos, pudiendo incluso perderse vidas humanasen algunos casos.

. La fiabilidad de los sistemas de SCADA ha de estar garantizada para sopor-tar variaciones de temperatura, vibraciones, fluctuaciones de voltaje y otrascondiciones extremas empleando a veces para ello hardware y canales de comu-nicacion redundantes.

. Si un fallo se identifica rapidamente, el control puede ser automaticamenteasumido por el hardware de reserva y ası la parte averiada puede sustituirse sinparar el proceso.

. La fiabilidad de tales sistemas se puede calcular estadısticamente. El tiempocalculado de fallo de algunos sistemas de alta calidad puede ser incluso de siglos.

207

. Algunos sistemas SCADA utilizan la comunicacion por radio o por telefono. Es-to abre nuevas posibilidades, impensables hace pocos anos, a la automatizacionindustrial.

. Indicadores sin retroalimentacion inherente:– Estado actual del proceso: valores instantaneos– Desviacion o deriva del proceso: Evolucion historica y acumulada

. Indicadores con retroalimentacion inherente (afectan al proceso, despues al ope-rador):

– Generacion de alarmas;– MHI (Interfaces hombre-maquina);– Toma de decisiones: + Mediante operatoria humana; + Automatica (me-

diante la utilizacion de sistemas basados en el conocimiento o sistemasexpertos).

– etc.

Aplicacion diferentes areas industriales:

. Gestion de la produccion (facilita la programacion de la fabricacion);

. Mantenimiento (proporciona magnitudes de interes tales para evaluar y deter-minar modos de fallo, MTBF, ındices de Fiabilidad, entre otros);

208

. Control de Calidad (proporciona de manera automatizada los datos necesariospara calcular ındices de estabilidad de la produccion CP y CPk, tolerancias,ındice de piezas NOK/OK, etc;

. Administracion (actualmente pueden enlazarse estos datos del SCADA con unservidor SAP e integrarse como un modulo mas);

. Tratamiento historico de informacion (mediante su incorporacion en bases dedatos).

Etapas de un sistema SCADA:

Las etapas de un sistema de adquisicion de datos comprenden una serie de pasos quevan desde la captura de la magnitud a su postprocesado.

209

Molido de la malta

Uno de los primeros procesos en la elaboracion de la cerveza. La malta y el grano sepesan y se muelen segun la receta elegida.

210

Elaboracion de la cerveza

Una vez molido el grano y obtenido el mosto, se bombea en grandes tinas y comienzael proceso. Aquı vemos tres grandes tinas con sus tubos.

211

Embotellado

La cerveza elaborada se embotella. Vemos el proceso de embotellado mostrando lasidentificaciones de lote y producto, la hora de inicio e informacion de alarmas.

212

Empaquetado

Finalmente, la cerveza en botella se empaqueta en cajas. Aquı, se ponen seis paquetesen cada caja. Las cajas se sellan y se cargan sobre las plataformas.

213

1. Fabricacion inteligente

Intellution iHistorian:La importancia de transformar datos de fabricacion en inteligencia de planta.

214

El Desafıo: Convertir datos en conocimiento

Historicamente la fabricacion se ha identificado con la maquinaria ruidosa instaladaen la planta baja, valvulas del vapor silbando y chimeneas humeando.

Hoy, la fabricacion se ha convertido en uno de los sectores de informacion mas in-tensivos del mundo. Junto con los productos que salen lıneas de empaquetado o sevierten a traves de tuberıas, el producto de las instalaciones fabriles, es una corrientecada vez mayor de datos se originan en el nivel de planta.

Estos datos se utilizan para optimizar el inventario y la produccion, mejorar calidad yconsistencia del producto, para el correcto mantenimiento del equipo, y para asegurarque las plantas cumplen con las leyes ambientales, de seguridad y de salud.

Para convertir el torrencial flujo de datos de las instalaciones de fabricacion actualesen conocimiento, las companıas deben poder capturarlo de un amplio numero defuentes, juntarlo en un formato comun, y ponerlo a disposicion del software quepuede interpretarlo, dandole el significado y el valor.

Por ejemplo, en una lınea de empaquetado con tres lıneas de llenado de botellas quegenera datos sobre el estado de cada lınea, cuando esos datos se analizan al cabo decierto tiempo se puede determinar el grado de paradas no programadas ocurridas enuna determinada maquina. Esto lleva a unas mejores decisiones informadas sobremantenimiento preventivo y a gastos de capital en equipo nuevo de la planta.

215

Crear una ”planta inteligente”, sin embargo, requiere algo mas que elaborar datosrepresentativos e implementar aplicaciones para interpretarlos. La pieza de este rom-pecabezas que ha faltado a muchos fabricantes hasta la fecha es un simple depositocentral para los masivos volumenes de datos historicos que emanan de los sistemasde operaciones a traves de la planta: un historiador de planta extensa.

Estos historiadores de planta extensa pueden surtir estos datos a una amplia variedadde usos en los niveles operativo y de negocio de la empresa.

Algunos historiadores de datos de planta extensa han estado ya en el mercado haceanos, pero se han considerado demasiado costosos y complejos para casi todas lasinstalaciones de fabricacion corrientes, excepto para las mas grandes, tales como cier-tas operaciones de proceso continuo como las industrias quımicas y las refinerıas depetroleo.

216

Parte V. APENDICES

217

Capıtulo A. Ecuaciones diferenciales

1. Ecuaciones diferenciales de primer orden

La ecuacion diferencialdx

dt= ax(t), a = constante (A.4)

es una de las mas simples. Dice: ∀t la ecuacion x′(t) = ax(t) es cierta.

Soluciones: son las funciones u(t) que verifican la ecuacion diferencial (A.4). En estecaso es facil hallarlas:

. f(t) = k eat es una solucion de (A.4) ya que f ′(t) = a k eat = a f(t)

. No hay mas soluciones: sea u(t) una solucion cualquiera. Entonces

d

dt

(u(t) e−at

)= u′(t) e−at + u(t) (−a e−at) = a u(t)e−at − u(t) a e−at = 0

⇒ u(t) e−at = cte.⇒ u(t) = cte. eat

Hemos probado la existencia y unicidad de la solucion de (A.4).

218

1.1. Problema de condiciones iniciales (PCI)

x(t) = k eat solucion de (A.4), a dada

k queda determinada si nos dan el valor x0 de x(t) en t0:

x(t0) = k eat0 = x0 ⇒ k = e−at0x0;

si t0 = 0 entonces k = x0. Por tanto, la ecuacion diferencial

x′(t) = a x(t)

tiene una unica solucion que cumple la condicion inicial

x(t0) = x0

Problema de condiciones iniciales:

Dadas{

x′(t) = a x(t)x(t0) = x0

(A.5)

hallar la solucion u(t) que pasa por x0.

219

2. Estudio cualitativo

El problema de condiciones iniciales es el que mas interesa en las aplicaciones deingenierıa. Pero solo estudia una solucion. ¿Hay alguna forma de estudiar todas lassoluciones a la vez?

PCI:{

x′(t) = a x(t)x(t0) = x0

Solucion: x(t) = x0 eat

a > 0 ⇒ limt→∞

x0eat =∞

a = 0 ⇒ x(t) = cte.

a < 0 ⇒ limt→∞

x0eat = 0

El signo de a es crucial para el comportamiento de la solucion.

220

¿Que ocurre si se perturba el parametro a?

-

6

x0

t

x

a > 0

-

6

x0

t

x

a = 0

-

6

x0

t

x

a < 0

. a 6= 0 : el comportamiento no cambia al perturbar a

. a = 0 : cambio radical

a = 0 es un punto de bifurcacion en la familia de ecuaciones diferenciales

{x′ = a x, a ∈ R}

221

3. Orden de una ecuacion diferencial

(a) sistema

orden 1 : x′ = f(t, x) | t, x ∈ R, f : R× R→ R

orden 2 :{

x′1 = f1(t, x1, x2)x′2 = f2(t, x1, x2)

∣∣∣∣ t, x1, x2 ∈ Rf1, f2 : R× R2 → R

...orden n : x′ = f(t, x) | t ∈ R, x ∈ Rn, f : R× Rn → Rn

(b) ecuacion x(n) = F (t, x, x′, x′′, . . . , x(n−1))

orden = numero n de ecuaciones en (a)= orden de la derivada de orden maximo en (b).

Con x = x1, x′ = x2, x′′ = x3, . . . , x(n−1) = xn se pasa de (b) a (a).

Si la ecuacion diferencial (a) es de la forma

x′ = f(x)

i.e. no depende explıcitamente de t, entonces se llama sistema autonomo.

222

4. Interpretacion geometrica

dxdt = f(t, x) asigna a cada punto (t, x), un numero: la pendiente.

f : R2 → R

(t, x) 7→ dx

dt= pendiente

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

t

x(t)

x(0)

223

5. Sistemas de 2o orden

La ecuacion diferencial

dx

dt= f(t, x), t ∈ R, x ∈ R2, f : R× R2 → R2

es de segundo orden. Tambien puede escribirse como un sistemadx1

dt= f1(t, x1, x2)

dx2

dt= f2(t, x1, x2)

∣∣∣∣∣∣∣t, x1, x2 ∈ Rf1, f2 : R× R2 → R2

de dos ecuaciones de primer orden; se llama sistema de segundo orden.


A cada punto (t, x1, x2) ∈ R3 le asociamos el vector (f1, f2). Si el sistema es autonomo(no depende de t), entonces es en R2.

224

6. Solucion numerica

Obtener soluciones u(t) expresadas por funciones elementales de

x′(t) = f(t, x), t ∈ R, x ∈ Rn,

es a veces difıcil o imposible, incluso si n = 1. En esos casos procede hacer un estudiocualitativo, la interpretacion geometrica o hallar la solucion numerica

Solucion numerica: tabla de valores de la solucion u(t) del PCI.

t u1 u2 . . . un

−10 −3 −1.1 . . . 0.2...

......

...0...

10

Tabla → representacion grafica

Obtencion:• algoritmo: Euler, Runge-Kutta, etc.• del grafico de pendientes (i. geom.)• graficamente: quebradas de Euler

225

7. Solucion numerica con Matlab

Metodos:

. ode23

. ode45

. Simulink

ode23 y ode45 implementan metodos numericos de Euler, Runge-Kutta, etc. Parahallar la solucion del PCI{

x′(t) = f(t, x)x(0) = x0

∣∣∣∣ t ∈ R, x ∈ Rn

hemos de hacer dos cosas:

. archivo .m de Matlab para describir la funcion

. llamada a ode23

226

Para un PCI de 2o orden, en el archivo f_prueba.m, pondremos

function xp = f_prueba(t,x)xp = zeros(2,1) % indica el orden n = 2xp(1) = f1(x(1),x(2),t)xp(2) = f2(x(1),x(2),t)

en donde f1 y f2 vendran dadas.

Para hacer la llamada a ode23 o a ode45 escribiremos:

x0 = [a; b]; % condiciones iniciales (dadas)t0 = 0; % es lo normaltf = tiempo final;[t,x] = ode23(@fprueba, [t0,tf], x0)plot(t,x) % respuesta temporalplot(x(:,1),x(:,2)) % phase portrait

en la ventana de comandos de Matlab o en un archivo .m.

227

Ejemplo. Sistema mecanico

f(t)m

k

b

f(t)− k x(t)− b x′(t) = m x′′(t)Cambios: x1 = x, x2 = x′ ⇒{

x′1 = x2

x′2 = − kmx1 − b

mx2 + 1mf

Solucion numerica:• Archivo f mkb.mfunction xp = f mkb(t,x)xp=zeros(2,1);f=1;m=1;k=2;b=1;xp(1)= x(2);xp(2)=-k/m*x(1)-b/m*x(2)+1/m*f;• Llamada a ode23x0=[0;1]; t0=0; tf=10;[t,x]=ode23(’f mkb’,[t0,tf],x0)plot(t,x),title(’Resp. temp.’)plot(x(:,1),x(:,2)),title(’Mapa fase’)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Respuesta temporal

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Mapa de fase

x(0)

228


Sistema mecanico (m, k, b):

{x′1(t) = x2(t)

x′2(t) = − k

mx1(t)−

b

mx′2(t) +

1m

f(t)

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5Campo vectorial

x(0)

Con Matlab es posible superponer el cam-po de vectores (interpretacion geometrica)y la solucion numerica:m=1; k=2; b=1; f=1;[X1,X2]=meshgrid(-1.2:0.2:1.2);U1 = X2;U2 = -k/m*X1-b/m*X2+1/m*f;M = sqrt(U1. 2 + U2. 2);V1 = ones(size(M))./M .* U1;V2 = ones(size(M))./M .* U2;quiver(X1,X2,V1,V2),axis square

229

7.1. Metodo de Kelvin

Teorema. z(t) es una solucion del P.C.I. x′(t) = f(t, x)

x(0) = x0

(1)

si y solo si

z(t) = x0 +∫ t

t0

f(s, z(s))ds. (2)

Demostracion. z(t) solucion de (1) ⇒ z′(t) = f(t, z(t)) ⇒∫ t

t0

z′(s)ds =∫ t

t0

f(s, z(s))

⇒ z(t)− z(0) =∫ t

t0

f(s, z(s) ⇒ z(t) = x0 +∫ t

t0

f(s, z(s).

z(t) verifica (2) ⇒ dz

dt= f(t, z(t)).

⇒ z(0) = x0 +∫ t0

t0

f(s, z(s))ds = x0.

230

Idea de Kelvin: construir un integrador fısico (mecanico) y realizar fısicamente (mecanicamente)el esquema

∫-x(t)r

�f

-x′(t)

x0 -

�t

Muchas veces en los sistemas de control

231

automatización de procesos industriales.pdf

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