Liburu honek UPV/EHUko Euskara eta Eleaniztasuneko Errektoreordetzaren dirulaguntza jaso du

Materialen elastikotasun eta erresistentzia

Juan Luis Osa Amilibia

EUSKARA ETA ELEANIZTASUNEKO ERREKTOREORDETZAREN SARE ARGITALPENA

AURKIBIDEA

0. GAIA SARRERA0.1 MATERIALEN ERRESISTENTZIA. ARAZOAK ETA METODOAK0.2 SISTEMA ERREALA ETA KALKULU-ESKEMA0.3 KANPO- ETA BARNE-INDARRAK0.4 TENTSIOAK0.5 DESPLAZAMENDUAK ETA DEFORMAZIOAK

1. GAIA BARNE-INDARREN BANAKETA: TENTSIOAK1.1 SARRERA1.2 TENTSIO NORMALA ETA DEFORMAZIOAK1.3 TENTSIO-DEFORMAZIO DIAGRAMAK1.4 ELASTIKOTASUNA ETA PLASTIKOTASUNA1.5 ELASTIKOTASUN LINEALA ETA HOOKE-N LEGEA1.6 TENTSIO EBAKITZAILEA ETA DEFORMAZIO ANGELUARRA1.7 TENTSIO ETA KARGA ONARGARRIAK

2. GAIA AXIALKI KARGATUAK DAUDEN BARRA PRISMATIKOAK

2.1 SARRERA2.2 INDAR AXIALAK ERAGINDAKO LUZAPENAK2.3 DESPLAZAMENDU-DIAGRAMAK2.4 EGITURA HIPERESTATIKOAK: MALGUTASUNEN METODOA2.5 EGITURA HIPERESTATIKOAK. ZURRUNTASUNEN METODOA2.6 TENPERATURAREN ETA AURREDEFORMAZIOEN ONDORIOAK2.7 TENTSIOAK EBAKIDURA INKLINATUETAN2.8 TENTSIO-KONTZENTRAZIOAK2.9 INDAR ZENTRIFUGOAREN ERAGINA ERAZTUNETAN

3. GAIA BIHURDURA3.1 SARRERA3.2 BIHURDURA ARDATZ ZIRKULARRETAN3.3 BIHURDURA EZ-UNIFORMEA3.4 EBAKIDURA HUTSA3.5 E ETA G ELASTIKOTASUN-MODULUEN ARTEKO ERLAZIOA3.6 POTENTZIA-TRANSMISIOA ARDATZETAN3.7 ESTATIKOKI ZEHAZTUGABEKO ARDATZAK BIHURDURAN3.8 TENTSIO-KONTZENTRAZIOAK ARDATZ ZIRKULARRETAN

4. GAIA INDAR EBAKITZAILEA ETA MAKURDURA-MOMENTUA HABETAN

4.1 HABE-MOTAK4.2 INDAR EBAKITZAILEA ETA MAKURDURA-MOMENTUA4.3 KARGAREN, INDAR EBAKITZAILEAREN ETA MAKURDURA-

MOMENTUAREN ARTEKO ERLAZIOA4.4 INDAR EBAKITZAILEEN ETA MAKURDURA-MOMENTUEN DIAGRAMAK

i

5. GAIA TENTSIOAK HABEETAN5.1 SARRERA5.2 DEFORMAZIO NORMALAK HABEETAN5.3 TENTSIO NORMALAK HABEETAN5.4 HABEEN ZEHARKAKO SEKZIO MOTAK5.5 TENTSIO EBAKITZAILEAK EBAKIDURA LAUKIZUZENETAN5.6 TENTSIO EBAKITZAILEAK HEGAL ZABALEKO T-BIKOITZ HABEETAN I5.7 TENTSIO EBAKITZAILEAK EBAKIDURA ZIRKULARRETAN5.8 HABE ARMATUAK5.9 HABE KONPOSATUAK5.10 KARGA AXIALDUN HABEAK (KARGA INKLINATUAK ETA ESZENTRIKOAK

HABE ETA ZUTABEETAN)5.11 MAKURDURA ASIMETRIKOA

6. GAIA TENTSIO ETA DEFORMAZIOEN AZTERKETA6.1 SARRERA6.2 TENTSIO LAUA6.3 TENTSIO NAGUSIAK ETA TENTSIO EBAKITZAILE MAXIMOAK6.4 MOHR-EN ZIRKULUA TENTSIO LAUAN6.5 HOOKE-REN LEGEA TENTSIO LAUAN6.6 PRESIOPEAN DAUDEN HORMA MEHEKO EDUKIONTZI ESFERIKO ETA

ZILINDRIKOAK. TENTSIO BIAXIALA6.7 KARGA KONBINATUAK TENTSIO LAUAN6.8 TENTSIO NAGUSIAK HABEETAN6.9 EBAKIDURA LAUKIZUZENEKO HABEEN DISEINUA6.10 INDAR ZENTRIFUGOAREN ERAGINA ERAZTUNETAN6.11 MAKURDURA ETA BIHURDURA KONBINATUAK ARDATZ

ZIRKULARRETAN

7. GAIA MAKURDURAK HABETAN ERAGINDAKO DEFORMAZIOAK

7.1 SARRERA7.2 DEFLEXIO-KURBAREN EKUAZIO DIFERENTZIALA7.3 DEFLEXIO-KURBAREN EKUAZIO DIFERENTZIALAREN INTEGRAZIO

BIKOITZA7.4 MOHR-EN TEOREMAK7.5 HABE KONJOKATUAREN METODOA7.6 GAINJARPEN-PRINTZIPIOA7.7 SEKZIO ALDAKORREKO HABEAK (HABE EZ-PRISMATIKOAK)

8. GAIA HABE HIPERESTATIKOAK8.1 SARRERA8.2 DEFLEXIO-KURBAREN EKUAZIO DIFERENTZIALAK ERABILIZ EGINIKO

ANALISIA8.3 MOH-EN TEOREMAK ETA GAINJARPEN PRINTZIPIOA ERABILIZ EGINIKO

ANALISIA8.4 HABE JARRAITUAK

9. GAIA GILBORDURA9.1 SARRERA9.2 KARGA KRITIKOA9.3 EULER-EN FORMULAK9.4 ZUTABEAREN BERMA_BALDINTZAK9.5 EULER-EN FORMULAREN APLIKAZIO-EREMUA9.6 OMEGA ω KOEFIZIENTEEN METODOA

ii

0. GAIA SARRERA

0.1 MATERIALEN ERRESISTENTZIA. ARAZOAK ETA METODOAK0.2 SISTEMA ERREALA ETA KALKULU-ESKEMA0.3 KANPO- ETA BARNE-INDARRAK0.4 TENTSIOAK0.5 DESPLAZAMENDUAK ETA DEFORMAZIOAK

0.1 MATERIALEN ERRESISTENTZIA. ARAZOAK ETA METODOAK

Solido guztiek, neurri ezberdinean, erresistentzia eta zurruntasun

propietateak dituzte. Beraz, kargak jasan ditzakete hautsi gabe eta deformazio

handirik izan gabe muga batzuen barruan.

Materialen erresistentzia zientzia bat da, egitura-elementuen erresistentzia

eta zurruntasuna aztertzen dituena.

Materialen erresistentziak garatu dituen metodoen bidez, elementuen

dimentsioak segurtasunez zehazten dira, bai makinen osagaientzat, bai egitura

estatikoentzat.

Materialen erresistentziaren oinarriak mekanika orokorraren teoremetatik

eratorriak dira, batez ere estatikatik.

Materialen erresistentziaren eta mekanikaren arteko ezberdintasuna zera

da: lehenengoarentzat solidoak deformagarriak direla, eta mekanikarentzat

zurrunak. Materialen erresistentzia mekanikaren adartzat har daiteke, solido deformagarrien mekanika deitua.

Solido deformagarrien mekanikaren barruan elastikotasunaren teoria dago, materialen erresistentziak baino ikuspuntu zehatzagoak erabiltzen dituena.

Baina horren emaitza zehatzak lortzeko lantresna matematiko konplexuetara jo

behar da, eta zenbait kasutan ezin da emaitzarik lortu. Beraz, elastikotasunaren teoria era murriztuan aplikatzen da, nahiz errealitatea era zehatzago eta osoago

11/10/30 r3.2 MEE 0 - 1

batean deskriba dezakeen arren.

Beraz, MEEren (Materialen Elastikotasun eta Erresistentzia) helburua da

kalkulu-metodo sinplifikatuak eraikitzea, ikuspuntu teknikotik elementu seguruak

izan daitezen eta era onargarrian diseina daitezen. Horretarako, hurbilpenezko

prozedurak erabiltzen dira. Metodoen emaitzak zenbakizkoa eta zehatza izan

behar du, hipotesi sinplifikatuak erabiliz, eta horien emaitzak errealitatean eta

elastikotasunaren teoriaren emaitza zehatzarekin konparatuz balioztatuko dira.

Beraz, materialen erresistentziaren aplikazio-eremuak, bere ezaugarri

praktikoengatik, elastikotasun-teoriarenak baino zabalagoak dira.

Gainera MEEk elementuen barne-egoera aztertzeaz gainera, lan-gaitasuna

eta aztertutako egituraren erabilpena ere balioztatzen ditu. Elastikotasunaren teoriak ez du puntu hori aztertzen.

0.2 SISTEMA ERREALA ETA KALKULU-ESKEMA

Kalkulu-eskema bat aukeratuz hasten da objektuaren erresistentziaren edo

sistema errealaren azterketa. Egituraren kalkulua hasi aurretik, egituraren

ezaugarri nagusiak identifikatu behar dira, eta sobera daudenak baztertu. Hau da,

egituraren eskema eraiki behar da, egituraren portaeran eragin gutxi duten

faktoreak kontuan hartu gabe.

Arazoaren sinplifikazio hori guztiz beharrekoa gertatzen da kasu guztietan,

zeren egituraren ezaugarri guztiak kontuan hartzen dituen problemaren emaitza

lortzea ezinezko baita (elementu finituen metodoa bera ere emaitzaren hurbilpen

bat da).

Horrela, igogailu baten kablearen erresistentziaren kalkulua egitean:

– garrantzitsuak diren faktoreak:– kabinaren pisua– kablearen pisua (oso luzea bada)– kabinaren azelerazioa

– sobera daudenak:– igogailuaren erresistentzia aerodinamikoa– presio barometrikoaren aldaketa altueraren

arabera– tenperaturaren aldaketa altueraren arabera– zenbatezinak diren beste hainbat faktore

11/10/30 r3.2 MEE 0 - 2

Objektu errealari garrantzia ez duten faktoreak kenduz, kalkulu-eskema lortzen da.

Gorputz edo sistema berak kalkulu-eskema bat baino gehiago izan ditzake,

kalkuluak behar duen zehaztasunaren eta aztertu nahi den faktorearen arabera.

Horrela, aurreko adibidean kablearen erresistentzia soilik aztertu nahi bada,

kabina eta karga solido deformaezintzat har daitezke, eta kablearen muturrean

aplikatutako indar baten bidez ordezkatu. Aldiz, kabinaren erresistentzia

aztertzean ezingo litzateke solido zurruntzat hartu. Haren ezaugarriak aztertu eta

haren kalkulu eskema bereizia egin beharko da.

Kalkulu-eskemaren aukeraketa materialen ezaugarriak definituz hasten da.

Normalki, materialak homogeneoak, jarraituak eta isotropoak direla jotzen da.

– Materiala homogeneoa da, baldin eta edozein puntutan propietate berak

baditu.

– Materiala jarraitua da, baldin eta materiak elementuari ezarritako

bolumen osoa okupatzen badu.

– Materiala isotropoa da, baldin eta edozein norabidetan propietate berak

baditu.

Kalkulu-eskema eraikitzean solidoaren geometrian sinplifikazioak ezartzen

dira. Materialen erresistentzian oinarrizko sinplifikazioa da, solidoa barra edo oskol

batekin ordezkatzea.

Barra deritzo, dimentsio bat beste biak baino handiagoak dituen gorputzari.

Geometrian, irudi lau bat kurba batean zehar mugituz lortzen da barra. Kurba horri

“barraren ardatza” deritzo. Irudi lauari, bere GZ (grabitate-zentroa) ardatzean

duela, “zeharkako sekzio” deritzo

Barrak sekzio konstantea edo aldakorra izan dezake. Ardatzaren arabera,

barra zuzena, kurbatua edo alabeatua izan daiteke. Egitura asko barraz osatuak

daudela jo daiteke.

11/10/30 r3.2 MEE 0 - 3

Materialen erresistentzian erabiltzen den bigarren eskema mota “oskolak”

dira. Dimentsio bat beste biak baino txikiagoa dituzten elementuak dira oskolak.

Adibidez, mota horretakoak dira edukiontzien paretak, industria-pabiloien teilatuak,

eta abar.

0.3 KANPO- ETA- BARNE-INDARRAKObjektu errealak eskemekin ordezkatzean, aplikatutako indar-sistemak ere

sinplifikatzen dira. Horrela, indar kontzentratuaren eta banatuaren kontzeptuak

sortzen dira.

Indarrak aldi berean barne- eta kanpo-indarrak izan daitezke. Indarrek bi

gorputzen arteko akzioa neurtzen dute. Egitura ingurunetik isolatua dagoela

kontsideratuz gero, inguruneko elementuek egituran eragiten duten indarrak

kanpo-indarrak izango dira. Bi kanpo-indar mota daude:

– bolumenekoak (pisua, indar magnetikoak,...)

– azalerakoak (uraren bultzada,...)

Euskarrietan gertatzen diren

erreakzioak ere kanpo-indarrak dira.

Adibidez, garabi batean:

Irudiko sistemaren baldintzen

arabera, sistema isostatikoa (R1, R2),

edo hiperestatikoa (R1', R2', ..., RN') izan

daiteke.

11/10/30 r3.2 MEE 0 - 4

Aztertzen ari garen gorputzaren zatien arteko interakzioei barne-indarrak deitzen zaie. Barne-indarrak, sistema osatzen duten elementuen arteko indarrez

gainera, gorputza osatzen duten partikulen arteko indarrek ere osatzen dituzte, eta

sistema kanpo-indar sistema baten pean dago.

∑ (PN)ezk+(PΔ)=0

−(P Δ)+∑ (PN)esk=0

∑ (PN)ezk+∑ (PN )esk=0

Pieza bitan banatuz gero sekzioetan barne-indarrek duten banaketak, haiek

sortutako deformazioak kontuan hartuz, bi sekzioak hurbilduz bat egiteko gai izan

behar du. Baldintza horri deformazioen jarraipen-baldintza deitzen zaio

materialen erresistentzian, eta baita elastikotasunaren teorian ere.

Oreka- eta jarraitasun-baldintzak betetzen dituen barne-indar sistema bat

existitzen dela eta bakarra dela frogatu daiteke.

11/10/30 r3.2 MEE 0 - 5

Oreka-baldintzek R indar eta MG momentu erresultanteak lortzen bakarrik

laguntzen du (betiere kanpo-indarrak ezagunak badira), baina ez du barne-

indarren banaketaren informaziorik ematen. Estatikaren oinarriak aplikatuz barne-

indarren sistema sekzioaren GZra eramanez, R eta MG lortuko ditugu. Horiek hiru

ardatzetan proiektatuz, sei osagai lortuko ditugu: hiru indar eta hiru momentu.

Osagai horiei sekzioaren barne-indarreko faktore edo orekatzaile deitzen zaie.

R OX ardatza → N indar normala

OY ardatza → VY indar ebakitzailea

OZ ardatza → VZ indar ebakitzailea

MG OX ardatza → MX bihurdura-momentua (torsor)

OY ardatza → MY makurdura-momentua (flector)

OZ ardatza → MZ makurdura-momentua

Kanpo-indarrak ezagutuz sei osagai orekatzaileak ezagutu daitezke

barraren zati batean sei oreka-ekuazioak aplikatuz.

Era berean, barrako karga motak sailkatzen dira:

– A sekzioan N ≠ 0 eta beste osagaiak = 0 badira

→ TRAKZIOA edo KONPRESIOA

11/10/30 r3.2 MEE 0 - 6

0.4 TENTSIOAK

Sekzioan barne-indarren banaketa definitzeko, aurretik intentsitatearen

kontzeptua azaldu behar da. Neurri horri tentsio deituko diogu.

A sekzioa aztertuko dugu. B puntuaren inguruan ∆A eremu infinitesimala

aztertuko dugu, haren barnean Δ F barne-indarra dagoela. Zatiki honek

definitzen du ∆A eremu infinitesimalean batez besteko tentsioa:

pm=Δ FΔ A

∆A eremu infinitesimala nahi adina txikiagotu dezakegu, materiala jarraitua

11/10/30 r3.2 MEE 0 - 7

baita. Beraz, limitea ∆A zerorantz doanean:

p= limΔ A→0

Δ FΔ A

p osagai bektorialari A sekzioko B puntuko tentsio oso deritzo. Tentsioa

indarra zati azalera unitatean definitzen da.

– sistema internazionala → Pa (pascal) kg⋅ms2

1m2 (MPa = 106 Pa =

Nmm2 )

– sistema teknikoa → kgcm2 edo

kgmm2 (≈ 10MPa)

p σ → n-ren norabidea TENTSIO NORMALA

τ' → t'-ren norabidea TENTSIO TANGENTZIALA

τ'' → t''-ren norabidea TENTSIO TANGENTZIALA

Noranzkoaren eta ardatzen notazioaren arabera, σ eta τ aurrerago azalduko

diren azpi-indizez adierazten dira.

Tentsioak B puntuan baina sekzio ezberdin batean aztertuz, tentsio egoera

ere ezberdina izango da. Sekzio bakoitzeko puntu batean agertzen diren tentsio multzoak puntuaren tentsio-egoera osatzen du.

Tentsio-egoera bektorialki adierazten da, eta materialen erresistentziaren

oinarrietako bat da. x , y , z , xy , yz, zx

– Tentsio normala σ gisa adieraziko da, dagokion ardatza azpiindize gisa

duelarik (x, y edo z)

– Tentsio ebakitzailea τ izendatuko da, bi azpiindize dituelarik: lehenengoa

planoarekiko elkarzut da, eta ardatzarena izango da; bestea dagokion

11/10/30 r3.2 MEE 0 - 8

ardatzaren norabidearena

Tentsio-tentsorearen osagaiak(era matrizialean adierazita:

σ ii=σx , σ ij=τxy )

σx , σy , σz , τxy , τ yz , τzx τxy=τyx τyz=τzy τxz=τzx

0.5 DESPLAZAMENDUAK ETA DEFORMAZIOAK

Material guztiak, kanpo-indarren eraginpean deformatzen dira. Horrek

eragina du solidoaren barne-indarren banaketan, hala ere normalki deformazioak

oso txikiak direnez oharkabean pasatzen dira.

Solidoaren puntuak

desplazatu egiten dira kanpo-

indarren eraginez.

11/10/30 r3.2 MEE 0 - 9

Puntu baten desplazamendu-bektorea zera da: jatorritzat deformatu

gabeko puntua duen (A puntua) eta muturrean (gezia) puntuaren posizioa solidoa

behin deformaturik (A' puntua) duen bektorea da.

Desplazamendu-bektoreak ardatzetan dituen proiekzioak, desplazamendu-ardatzen noranzkoetan dira. u ,v eta w gisa izendatzen dira (x, y eta z

ardatzetan hurrenez hurren).

Desplazamendu linealez gainera, desplazamendu angeluar kontzeptua ere

kontuan hartu beharrekoa da. Solidoaren bi puntuk sortzen duten segmentuak

deformatu aurretik eta ondoren, biraketa ere jasaten du espazioan. Biraketa hori

definitzeko ardatzekiko deskonposatzen da:

x, y eta z γ=γ x i +γy j+γz k

Solido-sistema batek bere desplazamendua espazioan saihesteko behar

adina lotura badu, sistema zinematikoki aldaezina dela esaten da. Bestela,

puntuen deformazio-desplazamendua lortzeko solido zurrunaren desplazamendua

kendu beharko zaio desplazamendu absolutuari.

Materialen erresistentzian aztertuko

ditugun kasu gehienetan, edozein puntutako u ,v eta w desplazamenduak solidoaren

dimentsio geometrikoak baino txikiagoak

izango dira. Hori kontutan hartuta, barne-

indarrak aztertzean, sinplifikazioak aplikatzen

dira funtsezko oinarrietan.

Sinplifikazio bat hasierako dimentsioen printzipioa da, non, estatikako

oreka ekuazioak planteatzean, solidoa

deformaezintzat jotzen baita. Hau da, haren

dimentsio geometrikoak berdinak dira

kanpoko indarrak aplikatu aurretik eta

ondoren.

Printzipio hori ezin da aplikatu deformazio handien kasuan. Eta deformazio

txikien kasu gutxi batzuetan ere salbuespenak daude, non printzipio hau ezin baita

11/10/30 r3.2 MEE 0 - 10

aplikatu. Adibidez:

Aldaketaren intentsitatea neurtzeko:

Δδδ =ϵm εm batez besteko luzapen unitarioa (adimentsionala)

lims →0

Δδδ

=ϵAB εAB A puntuko deformazio lineala (unitarioa) AB norabidean

A puntu honetan baina beste norabide batean deformazioa aztertuz, oro har,

emaitza ezberdina lortuko da. Ardatz kartesiarretan:

OX → εx OY → εy OZ → εz

limOC →0

(COD−C ' O ' D ' )=γCOI deformazio angeluarra edo distortsio angelua

Deformazioak planoetan:

xy → γxy xz → γxz yz → γyz

Puntu batekiko norabide eta plano guztietako deformazio lineal eta

angeluarren multzoak puntuaren deformazio-egoera osatzen du. Deformazio-

egoera sei osagaiek definitzen dute

εx, εy, εz, γxy, γxz, γyz

γxy = γyx, γyz = γzy, γxz = γzx

11/10/30 r3.2 MEE 0 - 11

1. GAIA BARNE-INDARREN BANAKETA: TENTSIOAK

1.1 SARRERA1.2 TENTSIO NORMALA ETA DEFORMAZIOAK1.3 TENTSIO-DEFORMAZIO DIAGRAMAK1.4 ELASTIKOTASUNA ETA PLASTIKOTASUNA1.5 ELASTIKOTASUN LINEALA ETA HOOKE-REN LEGEA1.6 TENTSIO EBAKITZAILEA ETA DEFORMAZIO ANGELUARRA1.7 TENTSIO ETA KARGA ONARGARRIAK

1.1 SARRERAMaterialen elastikotasuna eta erresistentziak, MEEk, solidoen portaera

aztertzen du karga motak kontuan izanda.

KAUSA → KARGAK EFEKTUAK → TENTSIOAK eta DEFORMAZIOAK

Analisiaren helburua da kargek sortutako tentsio eta deformazioak

ezagutzea. Balio horiek kargen balio guztietarako kalkulatzen dira, haustura-karga

lortzeraino.

Portaera mekanikoaren jakintza beharrezkoa da edozein egitura – hala nola

eraikin, zubi eta makinak – diseinatzerakoan.

Materialen propietate fisikoak esperimentalki lortzen dira, eta, ikasturtean

zehar garatuko ditugun kontzeptu teknikoak aplikatuz, egitura mekanikoen

portaera aurreikusi ahal izango dugu.

11/10/30 r3.2 MEE 1 - 1

MATERIALEN PROPIETATEEN

EZAGUTZAEMAITZA

ESPERIMENTALAK

PORTAERA AURREIKUSTEN DUTEN FORMULA ETA EKUAZIOAK

+ANALISI TEORIKOAK

Kasu praktiko asko ezin dira prozedura teorikoekin ebatzi, eta kasu horietan

beharrezkoa da neurketa esperimentalak egitea errealitatean izango diren lan-

baldintza berdinetan.

Adibideak.

– Kable, barra eta habeen erresistentzia zehazteko egindako proba

esperimentalak:

– Leonardo da Vinci XV. mendea (1452 – 1519)

– Galileo Galilei XVI. mendea (1564 – 1642)

Ez zuten teoriarik formulatu proba horien emaitzak azaltzeko

– Zutabeen teoria matematikoa eta gilbordurako karga kritikoa Leonard Euler-

ek garatu zituen XVIII. mendean (1707 – 1783)

Haren ekarpenak urteetan erabili gabe egon ziren, eta gaur egun zutabeak

aztertzeko oinarrietako bat da.

1.2 TENTSIO NORMALA ETA DEFORMAZIOA

Barra prismatikoa luzeran ebakidura konstantea duen egitura-elementu bat

da.

Luzapen uniformea jasaten du: trakzioa.Barne-tentsioen analisia:

σA=P → σ=PA trakzio-tentsioa

11/10/30 r3.2 MEE 1 - 2

σ n-m sekzioarekiko norabide elkarzutean agertzen denez, tentsio normal deitzen zaio.

Indarren noranzkoa aldatuz gero,

konpresio-tentsioa

Tentsio normalentzako zeinu-irizpidea

TRAKZIOA: σ (+)KONPRESIOA: σ (–)

TENTSIOAREN UNITATEAK

Sistema Internazionala (SI) σ=PA(Newton)

m2 =Pa (Pascal) (oso unitate txikia)

Normalki megapascal unitatea erabiltzen da → 1 MPa = 106 Pa = 1N

mm2

Sistema Teknikoa (ST)kg

cm2≃10 Ncm2=10MPa

Sistema Ingelesa librainch2 psi (pound square inch) 103 psi = 1 ksi

Adibidea. A42b altzairuaren haustura-tentsioa: σR=42 kgmm2=420MPa

σ=PA bete dadin, tentsioak barraren zeharkako sekzioan uniformeki

banatua egon behar du. Baldintza hori bakarrik betetzen da, P indar axiala

sekzioaren grabitate-zentroan (GZ) aplikatuta dagoenean. P indarra sekzioaren

GZn aplikatua ez badago, makurdura agertzen da, eta, hala, tentsio-banaketa

aldatzen da.

11/10/30 r3.2 MEE 1 - 3

FROGAPENA

Jo dezagun indar axial bat ardatzarekiko e distantzia batera dagoen puntu

batean aplikatuta dagoela, eta ardatzarekiko perpendikularra den sekzio batean

tentsioa uniformeki banatua dagoela. Aurreko gaian aipatu den bezala, barra

ebakiz gero, sekzioan kanpo-indarrek eragindako tentsio-egoera existitzen da eta

bakarra da. Indar horren posizioa bilatuko dugu arbitrarioki hautatutako jatorri eta

koordenatu-ardatzekiko.

Tentsioa uniformeki banatua dagoenez, P-ren balioa:

P=∫Aσ ·dA=σ∫A

dA=σ ·A

Indar horrek x eta y ardatzetan sortutako momentua:M x=P⋅y=σ A y M y=−P⋅x=−σ A x

Momentu berdina dA azalera infinitesimaleko indarra azalera osoan integratuz:

M x=∫Aσ ·d A· y=P · y=σ · A · y M y=−∫A

σ · dA· x=−P · x=−σ · A· x

Bi momentuak berdinduz eta x eta y balioak askatuz, sekzioaren GZren

definizioa lortzen da, lehen aipatutakoa berretsiz:

σ∫AdA · y=σ · A · y → y=∫ dA

Ay=∫dA

∫A

−σ∫AdA· x=−σ · A· x → x=∫dA

Ax=∫dA

∫A

Karga muturrean uniformeki banatua badago, tentsio-banaketa berdina da

sekzio guztietan.

Karga puntu batean edo eremu txiki batean aplikatua dagoenean, puntuaren

11/10/30 r3.2 MEE 1 - 4

inguruan tentsio-kontzentrazioa dago. d distantziara dagoen sekzio batetik aurrera

tentsioa uniformeki banatua dago.

LUZAPENAK

– Barra prismatikoa (A azalera

konstantea)

– Material homogeneoa

(propietate berdinak puntu

guztietan)

– Kargak GZn aplikatuak

LUZERA LUZAPENAL δ1 ε

ϵ=δL ε luzapen unitarioa da

Adibidea. Barra batek L = 10 m-ko luzera dauka, eta δ = 6 mm-ko luzapena jasan

badu:

ϵ=δL=6 mm

10 m=6·10−3 m

10 m=0,6· 10−3 Luzapen unitarioa adimentsionala da

Tentsio-egoera horri, tentsio eta deformazio uniaxial unitario deitzen zaio.

σ=PA

ϵ=δL

11/10/30 r3.2 MEE 1 - 5

1.3 TENTSIO–DEFORMAZIO DIAGRAMAK

Adibidea. TRAKZIO-PROBA

Har dezagun probeta zilindriko normalizatu bat, muturretan diametro

handiagoa duena.

(Ø0,5 in, L = 2”)

Karga = P Luzapena = δ σ=PA

ϵ=δL

KONPRESIO-PROBA

Kubo (2x2 in) edo zilindro zirkularra (Ø1 in, L 1 – 12”)

Hormigoia ASTM → probeta (Ø6”, L 12”)

A42b egitura-altzairuaren tentsio-deformazio diagrama

A – Proportzionaltasun-muga

B – Isurpenaren hasiera

D – Haustura-tentsioa

D-E zonan estrikzioa → σ=PA itxurazkoa A =, σ↓, P↓

erreala A↓, σ↑, P↓

11/10/30 r3.2 MEE 1 - 6

Material harikorrek, hautsi aurretik deformazio handia jasan dezakete:

altzairua, Al, Cu, Mg, Pb, Mo, Ni, letoia, brontzea, nylona, teflona,...

Luzapena ehunekotan (%) adierazten da.

Luzapena=L f−L0

L0x 100

Altzairuarentzat % 25-30

Altzairuaren tentsio-deformazio diagramak karbono-edukiaren arabera

Kurben azpiko azalera xurgatutako energia edo lana da

Altzairu ez den beste metal baten

eta aleazioen tentsio-deformazio

diagrama

Isurpenaren hasiera ez dago garbi definitua. Itxurazko isurpen-muga metal

edo aleazio bakoitzarentzat deformazioa ehunekotan (%) adierazten da. Adibidez,

aluminioaren itxurazko isurpen-tentsioa σAl %0,2 da.

Sekzioaren azaleraren txikiagotzea edo estrikzioa ehunekotan:

estrikzioa=A0−Af

A0x 100

Hautsi aurretik deformazio txikia jasaten duten materialak hauskorrak dira.

11/10/30 r3.2 MEE 1 - 7

1.4 ELASTIKOTASUNA ETA PLASTIKOTASUNA

PORTAERA ELASTIKOA PORTAERA PARTZIALKI ELASTIKOA

Elastikotasuna da, karga kentzean hasierako dimentsioak berreskuratzeko

materialek duten propietatea.

E puntua: materialaren muga elastikoa

Plastikotasuna zera da: materialaren muga elastikoa behin gainditu

denean, materialak deformazio inelastikoak jasateko duen propietatea.

Material harikor batek eremu plastikoaren barnean deformazio handiak

jasaten dituenean, fluxu plastikoan dagoela esaten da.

Materiala eremu elastikoan mantentzen bada, hainbat aldiz kargatua izan

daiteke bere portaeran eta dimentsioetan aldaketa iraunkorrik jasan gabe (nekea

kontuan hartu gabe).

Muga elastikoa iraganez gero,

bigarren karga-zikloa C puntuan hasiko da,

eta C-B-F tentsio-deformazio diagrama

berriari jarraituko dio. Orain isurpen-muga

B puntuan izango da, aurrekoa baino

handiagoa, eta harikortasuna galtzen da

(deformatzeko gaitasuna).

11/10/30 r3.2 MEE 1 - 8

1.5 ELASTIKOTASUN LINEALA ETA HOOKE-REN LEGEA

– Materialak portaera elastikoa du OA eremuan

– Tentsioaren eta deformazioaren arteko erlazioa lineala da

σ1ϵ1=σ2ϵ2=σ3ϵ3= tanβ=E=ktea

E proportzionaltasun konstante bat da eta materialaren elastikotasun-modulu edo Young-en modulu deitzen zaio.

E σ−ε diagramako eremu elastiko-linealaren (OA) malda da (tan β).

E-ren unitatea E= σ kg /cm2

ϵ(adimentsionala)→ E ( kg

cm2) , tentsioaren berdina da.

Altzairuentzat E = 2,1·106 kg/cm2

σ=E · ϵ adierazpena Hookeren lege deritzo. Trakzio eta konpresio

sinpleko egoeretan bakarrik aplika daiteke. Egoera konplexuagoentzat Hookeren lege orokortua erabiltzen da (aurrerago ikusiko dugu).

POISSON-EN ERLAZIOA

Trakzioan dagoen barra baten luzapen axialaren eta alboko kontrakzioaren

arteko erlazioa adierazten du:

Poissonen erlazioa =−alboko deformazioa unitarioa

deformazio axialaunitarioa

ϵy=−νϵx

Adierazpen hori material homogeneo (propietate berdinak puntu guztietan)

eta isotropoentzat (propietate berdinak norabide guztietan) da baliagarria.

Metal askorentzat 141

3 (altzairuak ν = 0.3)

11/10/30 r3.2 MEE 1 - 9

BOLUMEN-ALDAKETA

Trakzioan dagoen barra baten bolumena handitu egiten da. Trakzioan lan

egiten duen barra homogeneo eta isotropo bat aztertuz:

a1 → a1 + a1·ε = a1 (1 + ε)

b1 → b1 – b1·νε = b1 (1 – νε)

c1 → c1 – c1·νε = c1 (1 – νε)

Vf = a1·b1·c1 (1 + ε)(1 – νε)(1 – νε)

ε2 eta ε3 terminoak mespretxatuz:

Vf = a1·b1·c1 (1 + ε – 2νε)

Bolumen-aldaketa: ∆V = Vf – Vo = a1b1c1(1 + ε – 2νε) – a1b1c1 = a1b1c1ε (1 – 2νε)

Beraz, bolumen-aldaketa unitarioa:

e=ΔVV O

=a1 b1c 1ϵ(1−2ν)

a1 b1 c1=σ

E(1−2 ν) e deformazio bolumetrikoa izanik.

νmax = 0,5 bada, e = 0 da. ν > 0,5 bada, e negatiboa da (fisikoki ezinezkoa).

1.6 TENTSIO EBAKITZAILEA ETA DEFORMAZIO ANGELUARRA

Tentsio ebakitzailea sekzioan tangentzialki agertzen da.

11/10/30 r3.2 MEE 1 - 10

τm=VA=P /2

A Ebakidura sinple edo zuzenaren adibidea

Torloju, berno, errematxe, falka (cuña), soldadura eta lotura itsatsien

kalkuluan agertzen da.

TENTSIO EBAKITZAILEEN EFEKTUA

Trakzioan lan egiten

duen barra bateko puntu

batean paralelepipedo forma

daukan elementu infinitesimal

bat aztertuko dugu. Haren

bere aldeak ∆x, ∆y eta ∆z dira.

1. Kontrako aurpegi paraleloetako tentsio ebakitzaileek modulu berdina eta

kontrako noranzkoa dituzte.

∑F H=0 τ ·Δ xΔ z=τ ´ Δ x Δz → τ=τ ´ eta τ1=τ ´1

2. Aurpegi perpendikularretako tentsio ebakitzaileek modulu berdina dute, eta

haien noranzkoa ertzerantz gerturatu edo aldentzen da.

∑M=0 τ ·Δ xΔ zΔ y=τ1Δ xΔ zΔ y → τ=τ1

DEFORMAZIOAK

Tentsio ebakitzaileak soilik jasaten dituen elementuak ebakitzaile hutsean lan egiten du.

Materiala deformatu egiten da, eta deformazio angeluar bat sortzen da.

11/10/30 r3.2 MEE 1 - 11

Deformazio mota hau aztertuz, ondorengoa ondoriozta dezakegu:

• Tentsio ebakitzaileek ez dute elementua luzatzen edo mozten x, y eta z

norabideetan: hau da, ertzen luzera ez da aldatzen.

Elementua: paralelepipedo laukizuzena → paralelepipedo zeiharra

Aurpegia: laukizuzena → erronboidea

• Aurpegien arteko angeluak b eta d puntuetan:

lehen 2 → ondoren

2− (aldaketa: γ↓)

• Aurpegien arteko angeluak a eta c puntuetan,lehen

2 → ondoren 2 (aldaketa: γ↑)

γ angeluak, elementuak jasaten duen distortsio maila edo forma aldaketa

adierazten du. Deformazio angeluar (unitarioa) deitzen zaio, eta radianetan

ematen da.

ZEINUAK

NOLA ZEHAZTEN DIRA ESPERIMENTALKI MATERIAL BATEN

EBAKIDURAREKIKO PROPIETATEAK?

Bihurdura-proben bidez, sekzio zirkularreko hodietan ebakidura hutseko

egoera bat sortzen da. Trakzio-proben antzeko diagramak lortzen dira (balio

ezberdinekin noski). Eremu elastiko-plastikoak eta karga-deskarga prozesuak

antzekoak dira. Altzairuetan, eremu elastiko-linealean, tentsio ebakitzailearen eta

deformazio angeluarraren arteko erlazioa ere proportzionala da (G).

11/10/30 r3.2 MEE 1 - 12

tanφ= τγ=G τ=G⋅γ G, elastikotasun-modulua da.

Egituretan erabiltzen diren altzairuek duten τF-a, 0,5-0,6 aldiz σF da.

Ebakidura-tentsio diagramaren OA zatia trakzioan lortutakoaren antzekoa da.

HIRU KONSTANTE ELASTIKOEN ARTEKO ERLAZIOA: E, G eta ν

G=E

2(1+ν)

E, G eta ν ez dira materialarekiko independenteak diren propietateak.

ν-ren balioak 0 eta 0,5 artean egon behar duenez:

ν = 0 denean, G= E2(1+0)

=E2

ν = 0.5 denean, G=E

2(1+1/2)=

E2⋅3 /2

=E3

beraz, E3<G<E

2

1.7 TENTSIO ETA KARGA ONARGARRIAK

Ondorengo esaldiak ingeniaritzako kontzeptu garrantzitsu bat azaltzen du:

«Elementuak kargak jasateko edo transmititzeko ahalmenaren arabera diseinatzen dira».

Elementuak: eraikinen egiturak, makineria, hegazkinak, ibilgailuak,

itsasontziak,... hau da, egiturak.

11/10/30 r3.2 MEE 1 - 13

Egitura bat kargak jasan edo transmiti ditzakeen edozein elementu da.

Benetan jasan dezakeen karga zerbitzuan jasango dituenak baino handiagoa

izango da. Egitura batek kargak jasateko duen ahalmenari erresistentzia deritzo.

Egituraren erresistentzia erreala > zerbitzuko erresistentzia

Erresistentzia errealaren eta zerbitzukoaren arteko erlazioari, n, segurtasun-koefizientea deritzo. Horrela:

n= erresistentzia errealaerresistentzia zerbitzuan

1 egoeraren arabera 1,5 < n < 10

Materialaren hutsegiteak egitura baten haustura edo eraistea (colapso)

dakar, edo deformazioek egiturak bere funtzioa ongi betetzeko duen muga

onargarria gainditzen dute. Deformazio-hutsegite bat haustura-karga baino balio

txikiagotan gerta daiteke.

n-REN AUKERAKETA. KONTUAN HARTU BEHARREKO IRIZPIDEAK:

1. Egiturak gainkarga izateko probabilitatea:

eraikuntzak (lurrikara), makinak, ibilgailuak, barkuak, hegazkinak...

2. Karga motak (estatikoak, dinamikoak, ziklikoak)

3. Nekeagatik huts egiteko probabilitatea

4. Hutsegiteak fabrikazioan eta muntatzean (perdoiak, prozedurak...)

5. Kalitate-ikuskaritza fabrikazioan

6. Materialen propietateetan aldakuntzak

7. Ingurumenaren eragina

8. Diseinu-metodoen zehaztasuna (besteen iritziak)

9. Bat-bateko hutsegitea edo mailakatua

10.Hutsegitearen ondorioak: istripu txikia edo hondamendia

- n txikiegia bada → hutsegite-arriskua ↑↑ - egitura onartezina

- n handiegia bada → egitura garestia - ezegokia bere funtziorako

- aukeraketa konplexua → ingeniariaren irizpide, esperientzia eta arauak

11/10/30 r3.2 MEE 1 - 14

Hainbat segurtasun-koefiziente ingeniari espezialistek zehaztu dituzte, eta

kode tekniko eta espezifikazioek jasotzen dituzte, diseinatzaileek erabil ditzaten.

σMAXonarg – lan-tentsio maximoa

σMAXonarg=

σL

n σL – tentsioaren muga-balio bat

n > 1 - segurtasun-koefizientea

Faseak diseinuan n aurretik zehazten da

bilatzen ari garen dimentsioa σLANEAN ≤ σMAXonarg

non σMAXonarg=

σL

n

egiaztapena σMAX kalkulatu

eta n-ren balioa aztertzen da: n=σL

σMAXonarg

– Ze σL hartuko dugu?

– Nola aukeratuko dugu segurtasun-koefizientea?

> Material harikorrak

[σ ]=σL

n=σF

nF

nF, isurpen-muga kontuan hartuz zehaztutako segurtasun-koefizientea

> Material hauskorrak

[σ ]=σL

n=σR

nR

nR, haustura-karga kontuan hartuz zehaztutako segurtasun-koefizientea

11/10/30 r3.2 MEE 1 - 15

n koefizientea zehazteko, aurretik antzeko egituretatik jaso den esperientzia

eta uneko teknologiaren egoeraren arabera zehazten da.

Teknikaren adar bakoitzak bere ohiturak, eskakizunak eta metodo

espezifikoak garatu ditu, bakoitzaren berezitasunak kontuan hartuz, bakoitzaren

segurtasun-koefizientea zehazteko.

11/10/30 r3.2 MEE 1 - 16

2. GAIA AXIALKI KARGATUAK DAUDEN BARRA PRISMATIKOAK

2.1 SARRERA2.2 INDAR AXIALAK ERAGINDAKO LUZAPENA2.3 DESPLAZAMENDU-DIAGRAMAK2.4 EGITURA HIPERESTATIKOAK: MALGUTASUNEN METODOA2.5 EGITURA HIPERESTATIKOAK: ZURRUNTASUNEN METODOA2.6 TENPERATURAREN ETA AURREDEFORMAZIOEN ONDORIOAK2.7 TENTSIOAK EBAKIDURA INKLINATUETAN2.8 TENTSIOEN KONTZENTRAZIOA2.9 INDAR ZENTRIFUGOAREN ERAGINA ERAZTUNETAN

2.1 SARRERA

Barra prismatikoak luzeran ardatz zuzena duten egitura-elementuak dira, eta indar

axialak soilik jasaten dituzte. Beraz, trakzioan edo konpresioan egiten dute lan.

Mota honetako elementuen adibideak:

– eraikuntzen zutabeak

– egitura artikulatuen barrak

– motorren bielak

– zubien tiranteak/kableak

– Erabil daitezkeen sekzioak:

– barne-beteak (macizas) ▲, ●, ■

– horma mehe barne-hutsak (huecas) O, □, ∆

– irekiak ∏, ┴, ∟

Diseinuan eta diseinuaren berrikuspenean, tentsioak eta deformazioak aztertzen

dira diseinua balioztatzeko.

11/10/30 r3.2 MEE 2 - 1

ANALISI, DISEINU ETA OPTIMIZAZIOA

- Egitura baten analisian, > dimentsioak eta materiala ezagunak dira

> tentsioak eta deformazioak ezagutu nahi dira

Egituraren portaera aztertzeko karga ezagunak aplikatzen dira.

- Egitura baten diseinua egitura baten konfigurazio geometrikoa zehaztean datza,

ezarri zaion funtzioa betetzeko gai izan dadin.

- Optimizazioa da eskakizunak betetzeko gai den egiturarik onena diseinatzea.

Adibidez, pisu minimoa duen egitura edo, baliokidea dena, kostu minimoa duena.

2.2 INDAR AXIALAK ERAGINDAKO LUZAPENA

P indarra GZn aplikatua badago,

muturretatik distantzia batera dauden

sekzioen barne-indarrak uniformeki

banatuak egongo dira.

σ=PA

- Material homogeneoa

- A, zeharkako sekzioaren azalera

Deformazio unitarioa: ϵ=δL=σ

E→ δ=σL

E=P⋅LΔE

non δ luzapena baita

Materiala linealki elastikoa bada (Hookeren legea betetzen du)

δ=P LAE δ zuzenki proportzionala da P-rekiko eta L-rekiko

δ alderantziz proportzionala da A-rekiko eta E-rekiko

AE barraren zurruntasun axiala da.

11/10/30 r3.2 MEE 2 - 2

BARRA-MALGUKI ANALOGIA

- Malgukiaren konstante elastikoa edo zurruntasuna,

K, zera da: luzapena unitatea izateko beharrezkoa den

indarra.

K=Pδ =tanβ

P – δ

K – 1

K=P⋅1δ =

Pδ

- Malgukiaren malgutasuna, f, konstante elastikoaren

alderantzizkoa da, hau da, karga unitate batek sortzen

duen deformazioa.

P – δ

1 – f

f=δ⋅1P

= δP=

1K

Axialki kargatua dagoen barra baten K zurruntasuna, malguki baten

konstantearekin alderatuz, luzapen-unitatea deformatzeko beharrezkoa den

indarra da.

K=Pδ baina δ=

P LAE

→ K=Pδ =

AEL

Malgutasuna (f) karga unitarioak sortutako luzapena da.

f= δP=

LAE

11/10/30 r3.2 MEE 2 - 3

Malgutasuna zurruntasunaren alderantzizkoa da. Biek dute garrantzia

egituren analisian.

KONTUZ! L handi batek K txikitu eta f handitzen du

Jo dezagun orain barra hainbat indarrekin kargatu dela edo/eta

sekzio/material ezberdinak ditugula. Adibidez:

Luzapen osoa lortzeko: δ=∑i=1

n P i L i

Ai E i

11/10/30 r3.2 MEE 2 - 4

INDAR AXIALAREN EDO/ETA SEKZIOAREN AZALERA BARRAREN

ARDATZEAN MODU JARRAITUAN ALDATZEN DENEAN

Barraren elementu diferentzial baten portaera aztertu eta luzapena

definitzen duen adierazpena garatuko dugu, eta ondoren integratuko dugu, barra

osoaren luzapena lortzeko.

➔ Bere pisua jasaten duen barra prismatiko baten luzapena

DATUAK: a, L, γ

EZEZAGUNA: δ

➔ Kalkulatu bere pisuarekin kargatua dagoen barra konikoaren luzapena.

DATUAK: γ, E, L

➔ Konpresioan tentsio konstantea mantentzen duen barra

DATUAK: P, r0, γ

11/10/30 r3.2 MEE 2 - 5

2.3 DESPLAZAMENDU-DIAGRAMAK

Axialki kargatutako bi barrako egituraren desplazamenduak geometrikoki

lortzeko metodo bat deskribatuko dugu atal honetan. Bi barra hauek muturretan

giltzatuta daude.

Desplazamendu-diagrama edo Williot-en diagrama izenekoak erabiliko

dira.

➔ Irudiak bi barrek osatutako egitura erakusten dute: AB eta BC barrak. P

kargaren ondorioz, B puntuaren desplazamendua ezagutu nahi da.

DATUAK: L, , AAB, EAB, ABC, EBC, P

2.4 EGITURA HIPERESTATIKOAK: MALGUTASUNEN METODOA

Egituren sailkapena:

- estatikoki zehaztuak (isostatikoak)

estatikako ekuazioak → ezezagunak askatu

- estatikoki zehaztugabeak (hiperestatikoak)

estatikako ekuazioak + baldintza osagarriak → ezezagunak askatu

EGITURA HIPERESTATIKOEN ANALISIA

- Bi metodo orokor daude: - malgutasunen metodoa (método de flexibilidades)

- zurruntasunen metodoa (método de rigideces)

- Bi metodoak osagarriak dira, eta bakoitzak bere abantailak ditu.

- Egitura mota askotarako baliagarriak dira, betiere materialaren eremu elastiko-

linealean lan egiten bada.

11/10/30 r3.2 MEE 2 - 6

2.4.1 MALGUTASUNEN METODOA (indarren metodo ere deitua)

Adibidea:

Estatikako ekuazioa → RA + RB = P

+

Deformazioan oinarritutako ekuazio osagarria δA = 0

- Erreakzio ezezagunetako bat soberako erreakziotzat hartuko dugu; adibidez: RA

A=0= A /P A /RAδA /P=

PbAE ↓

A=0=A /P−A /RAδA /RA

=RA bAE ↑

- Bateragarritasun-ekuazioa

0=−PbAE

+RALAE

→ RA=PbL

RB=P−RA=P−PbL=

P (L−b)L

=PaL

Malgutasunen metodoa aplikatzeko pausoak:

1. Soberako erreakzioa aukeratzen da erreakzio ezezagunen artean

2. Egitura askatzen da landapena ezabatuz

3. Egitura askea, egonkorra eta estatikoki definitua dagoena, bananduta

aztertzen da, alde batetik P kargarekin eta beste alde batetik RA soberako

erreakzioarekin.

4. Bi magnitude horiek sortutako desplazamenduak kalkulatzen dira bakoitza

11/10/30 r3.2 MEE 2 - 7

bere aldetik, eta ondoren emaitzak desplazamenduen bateragarritasun-

ekuazioa aplikatuz erlazionatzen dira (δA = 0).

5. Ekuazio osagarria eta estatikako ekuazioa erlazionatuz, erreakzio

ezezagunak lortzen dira.

Analisi-metodo horri malgutasunen metodo deitzen zaio, malgutasunak

agertzen baitira bateragarritasun-ekuazioan. Kasu honetan, bateragarritasun-

ekuazioak ( bAE ) eta ( L

AE ) malgutasunak erabiltzen ditu.

– Metodo hau soberako indar bakarra duten egitura hiperestatikoetan aplika

daiteke

– Materialaren portaera elastiko-lineala denean soilik da erabilgarria

2.5 EGITURA HIPERESTATIKOAK: ZURRUNTASUNENMETODOA (desplazamenduen metodoa)

Desplazamenduak ezezaguntzat hartzeak bereizten du zurruntasunen

metodoa malgutasunen metodotik. Horregatik, desplazamenduen metodo ere

deitzen zaio.

Desplazamendu ezezagunak zurruntasun-koefizienteak barneratuak

dituzten oreka-ekuazioak askatuz lortzen dira.

Zurruntasunen metodoa guztiz orokorra da eta hainbat erredundante

estatiko dituzten egituretan erabil daiteke. Haren erabilera eremu elastiko-linealean lan egiten duten egituretara mugatua dago.

Adibidea:

11/10/30 r3.2 MEE 2 - 8

Estatikako oreka planteatuz: RA + RB = P (1)

eta deformazioak: δC=RAaEA

→ EAa

· δC=R A (2)

δC=RBbEA

→ EAb

· δC=RB (3)

(2) eta (3) (1)-n ordezkatuz, oreka-ekuazioa: EAa

·δC+EAb

·δC=P

EA·δC (b+a)=Pab → δC=PabEAL (4)

(4) → (2)-n RA=EAa

· PabEAL

→ RA=PbL

(4) → (3)-n RB=EAb

· PabEAL

→ RB=PaL

Zurruntasunen metodoa aplikatzeko pausoak:

1. Desplazamendu egoki bat ezezagun gisa aukeratu. Desplazamendua

egokia da, egituraren banako indarrak desplazamendu horren bidez

adierazi badaitezke.

2. Indarrak oreka-ekuazio baten bidez erlazionatzen dira.

3. Oreka-ekuazioan desplazamenduaren funtzioan dauden indarrak

barneratuz, desplazamendu ezezaguna lortuko da.

4. Azkenik, indarrak lortzen dira desplazamendua dagokion ekuazioan

ordezkatuz.

ONDORIOAK

Adibidean erabili dugun egitura hiperestatiko sinplean, bi metodoen arteko

aukeraketa arbitrarioa da, bien arteko ezberdintasunak txikiak baitira. Egitura

konplexuetan, zurruntasunen metodoa da erabili daitekeen bakarra, eta

sinpleagoetan, malgutasunen metodoak abantaila gehiago izan ditzake.

11/10/30 r3.2 MEE 2 - 9

2.6 TENPERATURAREN ETA AURRE DEFORMAZIOEN ERAGINA

Tenperatura-aldaketak dimentsioetan aldaketak dakartza material guztietan.

Material homogeneo eta isotropo batean, tenperatura-gehikuntza uniforme eta oso

batek norabide guztietan dimentsio handitzea dakar.

A puntua erreferentziatzat hartuz,

Materialak εt deformazio termiko uniformea jasaten du, eta neurri

adimentsionala da.

εt = α · ∆T - α, dilatazio-koefizientea (1/K, 1/ºC)

- ∆T, tenperatura-aldaketa

(+) → dilatazioa

(–) → kontrakzioa

Material arruntek ∆T↑ εt↑(+)

– Deformazio termikoak itzulgarriak dira.

– Kontuz urarekin: - T > 4ºC denean dilatatu egiten da

- T < 4ºC denean ere dilatatu egiten da

- T = 4ºC denean dentsitatea maximoa da

BLOKEAREN ALDAKETA DIMENTSIONALA

Dimentsio originalak deformazio termikoaz biderkatuz lortzen da (εt).

Adibidea: L → L + δt

δt = εt·L = α ∆T·L

Egitura isostatikoetan elementuak aske handitu edo txikitu daitezke: ez da

barne-tentsiorik sortzen. Egitura hiperestatikoak, berriz, ezin dira aske mugitu, eta

barne-tentsioak sortzen dira.

➔ Egitura isostatikoaren adibidea: tenperatura-gehikuntzak deformazioak eragiten

ditu, baina elementuak aske luza daitezke:

11/10/30 r3.2 MEE 2 - 10

– C korapiloa mugituko da

– ez da tentsiorik sortzen barren

artean

– ez da erreakzio gehigarririk

sortzen euskarrietan

➔ Egitura hiperestatikoen adibidea (malgutasunen metodoa erabiliz):

- zenbat eta ∆T handiagoa, orduan

eta tentsio handiagoak,

deformazioak mugatuta baitaudeδA=0=δT−δR

0=α(ΔT )L− RLAE

ALDEZ AURREKO DEFORMAZIOAK

Jo dezagun egitura batean, barra batek nahi gabe L luzera teorikoa ez den

beste luzera batekin muntatzen dela.

– egitura isostatiko batean haren hasierako konfiguraziotik pixka bat aldenduko

da, eta ez dira tentsio gehigarriak sortzen

– egitura hiperestatiko batean, berriz, barne-deformazioak eta tentsioak sortuko

dira

Batzuetan nahita sortzen dira aurretiko deformazioak, egiturak kargapean

tentsio-baldintza hobetan lan egin dezan. Adibidez, hormigoi armatuzko habeak,

gas-turbinen euste-eraztunak...

11/10/30 r3.2 MEE 2 - 11

2.7 TENTSIOAK EBAKIDURA INKLINATUETAN

Demagun trakzioan lan egiten duen eta ondorengo baldintzak betetzen

dituen barra bat dugula:

– barra prismatikoa

– material homogeneoa

– P karga sekzioaren GZn aplikatua dago

Barra p-q plano inklinatuan moztuz gero, oreka mantentzeko indarren

erresultantea N eta V osagaietan deskonposatzen da, planoarekiko elkarzut eta

paralelo hurrenez hurren.

Norabide elkarzutean N osagaia:

N=P · cosθ →

Tentsio normala:σθ=

NAθ=P cosθ

Acosθ

=σxcos2θ

Norabide paraleloan V osagaia (noranzko negatiborantz doa):

V=−P · sinθ →

Tentsio ebakitzailea:τθ=−

VAθ=−P sinθ

Acosθ

=−σx sinθcosθ

11/10/30 r3.2 MEE 2 - 12

Tentsio normalak angeluaren arabera aldatuz doaz. Angeluari balio

ezberdinak emanez:

σθ=σx cos2θ =0º =x

=±45º = x 12

2

= x

2=±90º =0

Tentsio ebakitzaileak ere aldatu egiten dira ebakiduraren angeluaren

arabera. Angeluaren balio guztietarako:

=− xsin cos=−x

2sin 2 =0º =0

=45º =− x

2 eta =−45º =x

2=±90º =0

Tentsio-egoera berdina da, baina tentsio normal eta ebakitzaileen balioak

aldatuz doaz aztertzen ari garen planoaren inklinazioaren arabera. Tentsioen

balioak angeluaren funtzioan grafikoki adierazten baditugu:

−2

−4 0

42

σθ 0 2

2 0

τθ 0 2 0 −

2 0

Angelua 0º denean tentsio normalak bere balio maximoa lortzen du, eta ez

dira agertzen tentsio ebakitzaileak. Tentsio normala eskuinaldera eta ezkerraldera

gutxituz doa, ±90º-ra zero balioa izateraino (trakzioan dagoenez, emaitza

zentzuzkoa da). Tentsio ebakitzailea angelu horretan ere (±90º) zero da, 0º

angeluan bezala, eta horien balio maximoa ±45º-an agertzen da (τMAX = σx/2).

Tentsio ebakitzailea erabakigarria izan daiteke, materiala ebakidurarekiko

ahulagoa bada trakzioarekiko baino.

11/10/30 r3.2 MEE 2 - 13

Trakzio edo konpresio sinplean lan egiten duen barrak, tentsio-egoera lau uniaxiala duela esango dugu. Egoera horretan orientazio garrantzitsuenak:

- =0º =x=MAX

- =45º = x

2=MAX (45º-ra irristadura-bandak agertzen dira, Luders-en bandak)

ADIERAZPEN GRAFIKOA

Puntu bateko tentsioak karratu baten bidez adierazten dira, eta karratua

biratuz tentsio-egoera aldatzen da. Tentsioak marrazten dira, EZ INDARRAK.

MAX= x MAX= x

2

τ > 0 karratua: erlojuaren

orratzen aurkako

noranzkoan biratzen dira

τ < 0 karratua: erlojuaren

orratzen aldeko

noranzkoan biratzen dira

ZEINU-IRIZPIDEA

Norabide positiboak (horregatik tentsio ebakitzaileak zeinu negatiboa du)

11/10/30 r3.2 MEE 2 - 14

2.8 TENTSIOEN KONTZENTRAZIOAAxialki kargatuak dauden barren azterketa egitean σ = P/A formula aplikatu

dugu, tentsioa sekzioan uniformeki banatua dagoela jota.

Baina errealitatean barrek zuloak, erretenak, hariak (roscas), mataderak

(chavetero), koskak, sekzio edo geometria-aldaketak izan ditzakete. Ez-

jarraitutasun horiek tentsio-kontzentrazioak sortzen dituzte eremu oso txikietan.

Kargak aplikatzen diren puntuetan ere tentsio-kontzentrazioak sortzen dira.

Arraroa da karga banatu bat uniformeki banatua egotea luzera edo gainazal

batean. Normalki eremu txiki batean banatzen da, eta tentsio-kontzentrazioak

agertzen dira.

Tentsio-kontzentrazio horiek metodo esperimentalaren edo zenbaki-

analisiaren (elementu finituak, diferentzia finituak...) bidez zehaztu daitezke.

Ingeniaritzako hainbat eskuliburu teknikok tentsio-kontzentrazioen gehikuntza-

faktoreak biltzen dituzte taulatan kasu bakoitzerako.

SAN VENANT-EN PRINTZIPIOA

“Puntu batean aplikatutako karga

batek mutur batean sortutako tentsio-

kontzentrazioaren eragina b distantzia batera

desagertuko da, b sekzioaren luzera

handiena izanik”.

Ondorio hori esperimentalki eta

behaketaz lortu zen, lege fisiko edo

teorikoetan oinarritu gabe.

Tentsio-kontzentrazioen kokapena ezaguna denez, formula estandarrak

erabiltzen jarrai dezakegu eremu horietatik urrun dauden sekzioetan. Elementu

osoen desplazamenduak, deformazioak eta energia aztertzea baliagarria da, nahiz

eta tentsio-kontzentrazioak kontuan ez izan, horiek eragin txikia baitute multzoaren

portaeran.

TENTSIO-KONTZENTRAZIOKO FAKTOREAK

Kasu partikular bat aztertuz, zulodun barra baten, zuloaren parean sortzen

den tentsio maximoaren eta batez besteko tentsioaren arteko erlazioak definitzen

11/10/30 r3.2 MEE 2 - 15

du tentsio-kontzentrazioaren faktorea.

K=σMAXσm

K-ren balioa tauletatik edo elementu finituen bidez aztertuz lortzen da.

DISEINUA TENTSIO-KONTZENTRAZIOAK KONTUAN HARTUZ

Egiturak duen lan egiteko moduaren eta erabilitako materialaren araberako

garrantzia izango dute tentsio-kontzentrazioek diseinuan.

Argi dago nekearen kasuan, karga aldakorrekin lan egiten duen egitura

batean, pitzadura tentsio maximoa duen puntuan sortuko dela. Baina, hala ere, K

faktoreak diseinu-tentsioa gehiegi handitzen duela ikusi da, eta praktikan K hori

txikitu egiten da, haren efektua gutxitzeko.

Inpaktuko kargen kasuan K osoa aplikatu behar da, informazio esperimental

gehigarria ez bada ezagutzen behintzat. Tenperatura baxuetan metalak hauskor

bihurtzen dira: beraz, K osoa erabili beharko da.

Material motak ere garrantzia dauka diseinuan. Material harikorretan,

tentsioak isurpen-muga gaindituz gero, eremu txiki bat plastifikatzen da, eta, karga

ez bada handitzen, ez dago hausteko arriskurik. Material hauskorretan berriz,

behin tentsio jakin bat gaindituz gero, bat-batean hausten da. Beraz, K serio hartu

beharko da.

Tentsio-kontzentrazioa gutxitzeko diseinua hobetzeko soluzioak badaude:

11/10/30 r3.2 MEE 2 - 16

ez-jarraitutasunak biribildu, zuloak ekidin edo handitu...

2.9 INDAR ZENTRIFUGOAREN ERAGINA ERAZTUNETANUniformeki banatua dagoen indar erradiala eraztun mehe zirkular baten

perimetroan aplikatua badago, eraztunean luzapen uniforme bat gertatzen da.

Eraztunean gertatzen den luzapen-indarra definitzeko, plano diametral batean

moztuko da, solido askearen ekuazioak aplikatuz:

∑FV = 0

dP=q· r · d φ → 2P=∫0

π

q ·r ·dl ·sinφ· d φ=q· dl · r [−cosφ]0π=2· q · r ·dl

P = q·r·dlσ=

PA=

Pt ·d l

=q ·r ·d l

t · d l=

qrt

q: karga uniformea zirkunferentzia-luzera unitatekoq·sinϕ, osagai bertikala

r: zirkunferentziaren erradioa ds = rdϕ, arkuaren luzera diferentziala

dl: luzera diferentziala

Fz INDAR ZENTRIFUGOAK SORTUTAKO TENTSIOA

f=m· a=d s ·d l ·t · γg

·(ω2 r )

q= fdA

= fds ·dl

=t γg

·ω2 r

P=q ·r ·dl= t γg

·r ω2r dl

σ=PA=

t γg

·r ω2 r dl

t ·dl= γ

g·ω2 r 2

non m: masa luzera unitatekoq: Fz luzera unitatekoγ: pisu espezifikoag: grabitatea

11/10/30 r3.2 MEE 2 - 17

3. GAIA BIHURDURA

3.1 SARRERA3.2 BIHURDURA ARDATZ ZIRKULARRETAN3.3 BIHURDURA EZ-UNIFORMEA3.4 EBAKIDURA HUTSA3.5 E ETA G ELASTIKOTASUN-MODULUEN ARTEKO ERLAZIOA3.6 POTENTZIA-TRASMISIOA ARDATZETAN3.7 ESTATIKOKI ZEHAZTUGABEKO ARDATZAK BIHURDURAN3.8 TENTSIO-KONTZENTRAZIOAK ARDATZ ZIRKULARRETAN

3.1 SARRERA

Gai honetan bihurdurak barra zirkularretan sortzen dituen tentsio eta

deformazioak aztertuko dira.

Adibideak: makinen transmisio-ardatzak, egitura aeroespazialetan erabiltzen

diren hodiak...

3.2 BIHURDURA ARDATZ ZIRKULARRETAN

Kausa Mt, τ → Efektua γMAX

Helburua, kausaren eta efektuaren arteko erlazioa aurkitzea da.

11/10/30 r3.2 MEE 3 - 1

Momentua ardatzaren norabidean aplikatua duen barra zirkularrak

bihurdura hutsean lan egiten du. Simetria kontuan hartuta, ondokoa frogatu

daiteke:

• barra zirkularraren zeharkako sekzioak luzetarako ardatzaren inguruan

biratzen dira gorputz zurrunak balira bezala

• erradioak zuzen mantentzen dira, eta zeharkako sekzioak ere lau eta

zirkular irauten du

• L barraren luzera eta R erradioa ez dira aldatzen; bihurdura-angelua, bai

Bihurdurak barraren biraketa sortzen du luzetarako ardatzean, barraren bi

muturren artean.

Eskuineko muturra Φ angelu txiki bat biratzen da ezkerreko muturrarekiko.

p-q zuzenak edo zuntzak γMAX angelu txikia bira egiten du p-q' posizioa

hartzeraino.

11/10/30 r3.2 MEE 3 - 2

Horren arabera:

Biraketa horretan, elementuaren aldeek ez dute luzera-aldaketarik jasaten, baina

ertzetako angeluak ez dira 90o-koak. Elementua bihurdura hutsean dagoenez:

γMAX=bb 'ab baina bb' = r·dΦ

ab = dx

orduan, MAX=r ddx

θ=dΦdx bihurdura angeluaren aldaketa-ratioa bezala definituz,

γMAX=r ·θ

Bihurdura hutsa bada, θ=dΦdx=ktea izango da

barra osoan, zeharkako sekzioa pare (bihurdura-

momentu) berdina jasaten baitu.

Orduan, θ=ΦMAX

L→ γMAX=r ·θ=r

ΦMAX

L bihurdura hutsa kasuan

11/10/30 r3.2 MEE 3 - 3

Aurreko bi adierazpenak irizpide geometrikoak kontuan hartuz garatu

direnez, edozein materialezko barra zilindrikoentzat erabilgarriak dira, bai eremu

elastiko bai ineslastikoan, eremu lineal edo ez-linealean.

Tentsio ebakitzaileak irudiko noranzkoak ditu.

Material elastiko-lineala bada, tentsio ebakitzaileak eta deformazio

angeluarrak erlazionatuak daude (Hookeren legearen antzera).τMAX=G ·γMAX=G· r ·θ

non G: elastikotasun-modulua ebakitzailean

τMAX: azalerako puntu bateko tentsio ebakitzailea

θ: azalerak jasaten duen bihurdura-angelua luzera unitateko

TENTSIO ETA DEFORMAZIOAK BARRAREN BARNEAN

Orain, b1b ' 1=ρ ·ΦMAX γ=ρ ·ΦMAX

Lb1b ' 1=γ ·L = ·

τ=G·γ → τ=G ·ρ·θ

G = kte, θ = kte τ = f(ρ) non ρ = 0 → τ = 0non ρ = r → τ = τMAX

11/10/30 r3.2 MEE 3 - 4

Ekuazio horiek deformazio

angeluarra (γ = θ·ρ) eta tentsio

ebakitzailea (τ = G·θ·ρ), ρ

erradioarekiko linealki aldatzen

direla adierazten dute.

ardatzean tartean gainazalean

ρ = 0 ρ ρ = 0

γ0 = 0 γ = θ ρ γ = θ rτ0 = 0 τ = G θ ρ τ = G θ r

Zeharkako plano horretan dauden tentsio

ebakitzaileak, luzetarako planoetan ere agertzen dira.

Material bat ebakiduran hauskorragoa bada

luzetarako planoetan zeharkakoetan baino (adibidez

egurra), lehen pitzadurak gainazalean agertuko dira.

Gainazaleko bihurdura hutseko egoera, elementua 45º biratuz gero, trakzio-

eta konpresio-egoera bati dagokio.

Bihurduran lan egiten duen barra baten materiala, trakzioan ebakiduran

baino ahulagoa bada, haustura trakzioagatik gertatuko da ardatzarekiko 45o-ra

dagoen helize batean.

APLIKATUTAKO MOMENTUAREN ETA BIHURDURA-ANGELUAREN ARTEKO

ERLAZIOA

Zeharkako sekzioetan agertzen diren tentsio ebakitzaileen erresultanteak

aplikatutako M momentuaren balioaren berdina izan behar du (estatikan).

ρ erradio batera τ tentsio ebakitzailea:

τ = G·γ = G·ρ·θ

dF = τ·dA = G·ρ·θ·dA

dM = ρ·dF = G·ρ2·θ·dA

M=∫A

G ·ρ2·θ·dA=G ·θ∫Aρ2·dA=G·θ· IP

IP=∫0

R

2πρ ·d ρ·ρ2=2π∫0

R

ρ3d ρ=2πR 4

4=πR4

2=πD4

32≈0,1D4

11/10/30 r3.2 MEE 3 - 5

θ= MGI P

bihurdura-angelua luzera unitateko

bihurdura hutsean: θ=ΦMAX

L→ ΦMAX=θ·L

ΦMAX=MLGI P

non GIP barraren bihurdura-zurruntasuna

eta GI P

L bihurdura-zurruntasun unitarioa boitira. Angelu unitate bat

biratzeko beharrezkoa den bihurdura-momentua adierazten du. Ondorengo

formulan, MAX=1 eginez lortzen da.

M=GIP

L·ΦMAX

M = 1 bada, ΦMAX=1 ·LGIP

; eta

LGI P

terminoari bihurdura-

malgutasuna deituko diogu.

Momentu unitario batek sortutako

biraketa-angelua da.

MAX=MLGIP

ekuazioa materialen G ebakidurako elastikotasun-modulua

lortzeko erabiltzen da.

Probeta zirkular bati egindako bihurdura-probaren bidez, bihurdura-

momentu jakin batentzat MAX biraketa-angelua neurtzen da. Ondoren, aurreko

ekuazioa aplikatuz G-ren balioa zehaztu daiteke.

11/10/30 r3.2 MEE 3 - 6

TENTSIO EBAKITZAILE MAXIMOA MAX

τMAX=G ·r ·θ eta θ=M

GIP→ τMAX=G ·r · M

GIP=

M ·rIP=

MIP / r

=Mzt

r=d2 eta IP=

πd 4

32 denez, z t=I P

r=πd 3

16≈0,2d3

zt bihurdurako modulu erresistentea izanik.

Unitateak: M (cm·kg, m·N, mm·N)zt (cm3, m3, mm3)beraz, τ (kg/cm2, Pa, MPa)

BARRA ZIRKULAR HUTSAK (HODIAK)

– Barra barne-beteak baino eraginkorragoak dira

bihurduran lan egiteko

– Tentsio ebakitzaile maximoak gainazalean gertatzen

dira: MAX=onargarria

– Barra barne-bete batean, barneko material

gehienak onarg tentsio ebakitzaile

onargarriaren oso azpitik lan egiten du.– Pisu- eta material-aurrezpenak garrantzia badu, barra hutsak edo hodiak

erabiltzen dira.

– Barra huts baten bihurduraren azterketa barra barne-bete baten azterketaren

antzera egiten da. Kasu horretan: θ=M

GI P→ IP=

π2(r 2

4−r 14)= π

32(d 2

4−d 14)

– Hodia oso fina bada (t lodiera izanik): IP≈2π r 3 t=πd3 t4

r eta d batez besteko erradio eta diametroak izanik hurrenez hurren

ΦMAX=MLGI P

eta τMAX=M · r 2

IP

3.3 BIHURDURA EZ-UNIFORMEA

– Barrak ez du zertan prismatikoa izan (sekzio ez-konstantea).

– Aplikatutako pareak luzeran aldakorrak izan daitezke.

– Barra bihurdura-formulak era berezian erabiliz aztertzen da, adibideak

erakusten duen bezala.

11/10/30 r3.2 MEE 3 - 7

ADIBIDEA

BIHURDURA EZ-UNIFORMEAN LAN EGITEN DUEN BARRA BAT

Barraren mutur batek bestearekiko bira egiten duen bihurdura-angelu osoa

lortzeko, zati bakoitzak jasan dituen biraketak batzen dira:

Φ=∑i=1

n M i L i

G i IPi

Ekuazio horretan, i azpiindizea barraren zati bakoitza banatzen duen

zenbaki-indizea da, eta n zati kopurua. Diametroa bat-batean aldatzen den

inguruneetan tentsio-kontzentrazioak agertzen dira. Hala ere, tentsio-kontzentrazio

horien eragina txikia da, eta Φ kalkulatzeko formulak zehaztasun egokia

eskaintzen digu.

Parea edo zeharkako sekzioa aldakorrak badira barraren ardatzean zehar,

orduan batukaria duen formula integral bihurtzen da.

dx luzera duen biraketa-angelua:

dΦ=M x d x

G IPx

non IPx muturretik x distantzia

batera dagoen zeharkako sekzioaren

momentu polarra baita.

Barraren bi muturren arteko

bihurdura-angelu osoa, orduan:

Φ=∫0

L

d Φ=∫0

L M xd x

G ·IPx

11/10/30 r3.2 MEE 3 - 8

3.4 EBAKIDURA HUTSA

abcd elementua bihurdura hutseko egoeran dago, elementuak jasaten

dituen tentsio bakarrak alboko lau aurpegietako ebakidurazkoak baitira.

A1

A0=tanθ A1

tanθ=A0 A1=A0tanθ

Norabide normalean, indarren proiekzioen oreka:

σθ·A0

cosθ−τ A0 sinθ−τA0 tanθcosθ=0

σθ−τ sinθcosθ−τ sinθcosθ

cos2θ=0

=2sin cos=sin2=0

Ardatz tangentzialean proiektatuz gero:

·A0

cos−A0cos A0 tan sin=0

− cos2sin2=0= cos2−sin2= cos 2=0

θ -90º -45º 0º +45º +90ºσθ 0 -τ 0 -τ 0

τθ -τ 0 τ 0 -τ

11/10/30 r3.2 MEE 3 - 9

Tentsiopean dagoen elementu bat 45º ez den angelu bat biratzen badugu,

tentsio normalak eta ebakitzaileak, biak, aldi berean agertuko dira alboko

aurpegietan.

σθ tentsio normalaren balio maximoa 45º biratzean lortzen da, haren balioa τ

tentsio ebakitzaile maximoaren berdina izanik. =−45ºrentzat =− betetzen

da (konpresioan lan egiten du).

Horrela, 45o biratua dagoen

elementu batek balio berdina

duten trakzio- eta konpresio-

tentsioen pean lan egingo du,

eta tentsio ebakitzaileak

desagertuko dira.Azter ditzagun orain bihurdura hutsean dagoen elementu batek jasaten

dituen deformazio unitarioak.

a) elementua deformatzen da b) elementua luzatu eta laburtu egiten da

Materiala elastiko-lineala bada, a) elementuaren deformazio angeluarra:θ=0º → γ= τ

G

θ = 45o-ra dagoen b) elementuarentzat, σθ = τ trakzio tentsioak τ/E luzapen

positiboa sortzen du, eta norabide perpendikularrean −ν τE

laburtzen da. Antzeko

analisia eginez, σθ = −τ konpresio-tentsioak -τ/E luzapen negatiboa sortzen du, eta

norabide perpendikularrean ν τE

luzapen positiboa duelarik.

11/10/30 r3.2 MEE 3 - 10

Beraz 45o-ko norabidean luzapen erresultantea ondokoa izango da:

ϵ45º= τE+ντE= τ

E(1+ν)

ϵ−45º=−τE+−ν τ

E=− τ

E(1+ν)

Ebakidura hutsean dagoen elementu baten lodiera ez da aldatzen, σθ = τ

tentsioak −ν τE

laburtu eta σθ = −τ tentsioak berriz +ν τE

luzatzen baitu. Horrela,

ϵ=−ν τE+ντ

E=0

3.5 E ETA G ELASTIKOTASUN-MODULUEN ARTEKO ERLAZIOA

x norabidean σx trakzioan eta y norabidean σy konpresioan lan egiten duen

elementuaren deformazioa aztertuko dugu, σx = -σy = τ izanik. Elementua x

ardatzean luzatu eta y ardatzean laburtuko da, hau da, laukizuzen bihurtuko da.

abcd elementua aurrekoarekiko

45o-ra biratuta dago. Elementuaren

aurpegietan tentsio normalik agertzen

ez denez, ab, ad, bc eta bc luzerak

mantendu egingo dira deformatzean,

baina diagonal bertikala laburtu eta

horizontala luzatuko da.

11/10/30 r3.2 MEE 3 - 11

Elementu deformatugabearen eta deformatuaren azterketa geometrikoa eginez:– elementu deformatugabearen diagonalaren luzera: bd=√2h

– eta elementu deformatuarena, berriz, trakzioaren eraginez jasandakoa izango da: luzera originala gehi beraren luzapena izango da (ε luzapen unitarioaren bidez kalkulatua): b ' d '=√2h(1+ϵ)

– kosinuaren legea hirukiari aplikatuz: b ' d ' 2=h2+h2−2h2 cos(π2+γ)(1+ϵ)2=1−cos(π2+γ)

– ondorengo erlazio geometrikoa ezagutuz:

cos2=cos 2

cos−sin2

sin=−sin≈−

– eta aurreko formula garatuz eta ordezkatuz: 12MAXMAX2 =1

– azkenik, bigarren mailako terminoak mespretxatuz, deformazio linealaren eta angeluarraren arteko erlazioa lortzen dugu:

MAX=2

– ϵ=σmax

E= τ

E , γ= τG eta ϵMAX=

τE(1+ν) (ikusi 3.4 puntua) ekuazioak

erlazionatuz, G-ren, E-ren eta n-ren arteko erlazioa lortzen da:

G= E2(1+ν)

11/10/30 r3.2 MEE 3 - 12

BARRA KONPOSATUAK

Sekzio zirkular eta zentrukideko diren barrek osatzen dituzte: pieza bakar

baten portaera izateko beraien artean sendo itsatsiak daude.

DATUAK A: dA IPA GA

B: dB IPB GB

M = MB + MA (1)

Sendo itsatsita daudenez, Φ bihurdura-angeluak bi zatientzat berdina izan

beharko du.

Φ=M AL

G AT PA=

MB LGB T PB

(2)

τA=M A·(d A/2)

IPAτB=

MB ·(d B/2)IPB

3.6 POTENTZIA TRANSMISIOA ARDATZETAN

Sekzio zirkularreko ardatz baten funtzio nagusia potentzia-transmisioa da,

adibidez:

– ibilgailu baten transmisio-ardatza

– itsasontzi baten helizearen ardatz propultsatzailea

– zentral hidrauliko, termiko edo nuklear baten sorgailuaren ardatza

Potentzia ardatzaren biraketa-mugimenduari esker transmititzen da, eta

transmititutako potentzia-kantitatea bihurdura-momentuaren eta ardatzaren

11/10/30 r3.2 MEE 3 - 13

abiadura angeluarraren funtzioan dago.

Helburua diseinatzean, P potentzia jakin bat (kW, CV) N biraketa-abiadura

jakin batean (rpm) transmititzeko, ardatzaren diametroa definitzen da, materialaren

MAXonarg gainditu gabe.

Ondorengo ardatzak:

- ω abiadura angeluarra du (rad/s)

- T bihurdura-momentua transmititzen du

Ardatzak dΦ angelua biratzeko egindako lana: dW = T·dΦ

Potentzia dt denbora tartean egindako lana denez: P=dWdt=(T ·dΦ)

dt=T ·ω

Bihurdura-momentua beraz: T=Pω

TRANSMISIO-ARDATZEN DISEINUA

Potentzia = Parea x Abiadura angeluarra

P = T·ω

baina ω rad/s-tan dago

ω=2π f f biraketa-maiztasuna izanik (bira segundoko)

P=2π · f ·T → T= P2πf

Sistema Internazionaleko (SI) unitateak erabiliz:

f → Hz Potentzia N·m

s Wwatt

T → N·m

1rpm= 160

bira segundoko= 160

Hz

1HP Horse Power ZP=550 pd· fts=6600 pd·inch

s

11/10/30 r3.2 MEE 3 - 14

3.7 ESTATIKOKI ZEHAZTUGABEKO ARDATZAK BIHURDURANOrain arte landapeneko Mt bihurdura-momentua estatikako ∑M t=0

ekuazioaren bidez lortzen genuen.

Ardatzak landapen gehiago baditu, eta beraz, estatikako ekuazioak baino

ezezagun gehiago, egoera hiperestatiko baten aurrean gaude.

Kasu horietan beharrezkoa da ekuazio osagarriak aurkitzea, deformazioan

oinarrituz.

Malgutasunen edo zurruntasunen metodoak erabil daitezke, baina normalki

malgutasunen metodoa aplikatuko dugu.

ADIBIDEA

3.8 TENTSIO-KONTZENTRAZIOAK ARDATZ ZIRKULARRETAN

Bihurdura-ekuazioa, τMAX=T ·(d /2)

I P= T

0,2d 3 , garatu genuenean, sekzio

konstanteko ardatz batentzat ondorioztatu genuen.

Praktikan bihurdura-

momentuak akoplamendu

edo txabeten bitartez

aplikatzen dira ardatzetan.

11/10/30 r3.2 MEE 3 - 15

Bi kasuetan, tentsioen banaketa ezberdina da momentua aplikatua dagoen

inguruneetan, eta tentsio-kontzentrazioak sortzen dira erretenaren inguruan.

Tokiko tentsio horien azterketa metodo esperimentalen bidez egiten da, batzuetan

elastikotasunaren teoria matematikoa aplikatuz, edo gaur egun elementu finituen

metodoa (FEM) konputagailuz eratutako eredu bati aplikatuz zehazten da.

MAX=T·d /2

IPbihurdura-ekuazioa sekzio zirkular aldakorra duten

ardatzetan ere aplika daiteke. Baina diametroaren bat-bateko aldaketa badago,

ez-jarraitutasunaren ingurunean tentsio-kontzentrazioak agertzen dira. Tentsio

hauek gutxitu daitezke eta, hala, trantsizioa 'leundu' daiteke. Horrela, tentsio

ebakitzailearen balioa:

MAX=K · T0,2d3

Hau da, ardatz txikienean izango dira tentsio-balio handienak. Bestalde, K

tentsio-kontzentrazioko koefizientea D/d eta r/d erlazioen funtzioan dago.

11/10/30 r3.2 MEE 3 - 16

4. GAIA INDAR EBAKITZAILEA ETAMAKURDURA-MOMENTUAHABEETAN

4.1 HABE MOTAK4.2 INDAR EBAKITZAILEA ETA MAKURDURA-MOMENTUA4.3 KARGAREN, INDAR EBAKITZAILEAREN ETA MAKURDURA-

MOMENTUAREN ARTEKO ERLAZIOA4.4 INDAR EBAKITZAILE ETA MAKURDURA-MOMENTUEN

DIAGRAMAK

4.1 HABE MOTAK

Habearen definizioa: zeharkako kargak jasateko diseinatua dagoen

egitura-elementua.

HABE ESTATIKOKI ZEHAZTUAK

Bi muturretan bermatua Hegal-habe landatua Bermatua eta hegalean

Habeak egitura lauak dira, karga eta deflexio guztiak irudiko planoan

kokatzen direlako. Plano horri makurdura-plano deitzen zaio.

11/10/30 r3.2 MEE 4 - 1

Habeek simetrikoak izan behar dute

makurdura-planoarekiko. Habeen zeharkako

sekzioek simetria-plano bat izan behar dute ardatz

batekiko.

KASUAK:

- Habe ISOSTATIKOAK: erreakzioak estatikako ekuazioak erabiliz lortzen dira.

- Habe HIPERESTATIKOAK: erreakzioak lortzeko estatikako ekuazioak eta

ekuazio osagarriak erabiltzen dira.

4.2 INDAR EBAKITZAILEA ETA MAKURDURA-MOMENTUA

V = VA

M = VA·x

V: indar ebakitzailea

M: makurdura-momentua orekatzaileak sekzioan

ZEINUEN IRIZPIDEA

ONDORIOAK

11/10/30 r3.2 MEE 4 - 2

4.3 KARGAREN, INDAR EBAKITZAILEEN ETA MAKURDURA-MOMENTUAREN ARTEKO ERLAZIOA

ΣFV = 0 V – (V+dV) – q·dx = 0 -dV – q·dx = 0

−dVdx

=q dVdx

=−q

Karga banatuak positiboak (+) dira beherantz jarduten dutenean ↓

Karga banatua V-ren deribatua da x-rekiko, zeinua aldatuta.

∑M A=0 M+V · x+q·dx · dx2

−(M+dM )=0

2. mailako diferentziala mespretxatuz:

V·dx = dM → V=dMdx

V indar ebakitzailea M makurdura-momentuaren deribatua da x-rekiko

∑FV = 0 V – P – (V+V1) = 0 V1 = -P

P karga kontzentratua aplikatzen den puntuan, (P baliodun) jauzi bortitz bat gertatzen da indar ebakitzaileen diagraman

∑M A=0 M+V ·dx−P · dx2

−(M+M1)=0

M1=V ·dx−P · dx2

Momentu-aldaketaren adierazpenean, lehen mailako infinitesimalak

agertzen dira: hau da, momentuen diagraman ez da jauzirik jasotzen (malda-

aldaketa, bai)

Bi aldeetan momentuak x-rekiko deribatuz, momentuen diagraman

gertatzen den malda-aldaketari antzeman diezaiokegu:

11/10/30 r3.2 MEE 4 - 3

ezkerraldean, dMdx

=V ; eta eskuinaldean, berriz, dMdx

=V−P

∑FV = 0

V – (V + V1) = 0 → V1 = 0

Momentu bat aplikatua dagoenean, indar

ebakitzailea ez da aldatzen.

∑MA = 0 M + m + V·dx – (M + M1) = 0

infinitesimoa mespretxatuz:

M1 = -m (momentuetan gertatzen den aldaketa)

Momentu kontzentratu bat dagoen den puntuan, jauzi bortitz bat jasotzen da

momentuen diagraman.

4.4 INDAR EBAKITZAILEEN ETA MAKURDURA-MOMENTUENDIAGRAMAK

Adibidea:

11/10/30 r3.2 MEE 4 - 4

11/10/30 r3.2 MEE 4 - 5

5. GAIA TENTSIOAK HABETAN5.1 SARRERA5.2 DEFORMAZIO NORMALAK HABETAN5.3 TENTSIO NORMALAK HABETAN5.4 HABEEN ZEHARKAKO SEKZIO MOTAK5.5 TENTSIO EBAKITZAILEAK SEKZIO LAUKIZUZENETAN5.6 TENTSIO EBAKITZAILEAK HEGAL ZABALEKO T-BIKOITZ

HABETAN 5.7 TENTSIO EBAKITZAILEAK SEKZIO ZIRKULARRETAN5.8 HABE ARMATUAK5.9 HABE KONPOSATUAK5.10 KARGA AXIALDUN HABEAK. KARGA INKLINATUAK ETA

ESZENTRIKOAK HABE ETA ZUTABEETAN5.11 MAKURDURA ASIMETRIKOA

5.1 SARRERA

Habeak, luzetarako ardatzarekiko elkarzut dauden kargak jasaten dituzten

egitura-elementuak dira. Habeen luzetarako ardatza zuzena da.

KAUSAZeharkako karga

EFEKTUADeformazioa

Karga aplikatu aurretik luzetarako ardatza zuzena da

Ondoren luzetarako ardatza makurtzen da

11/10/30 r3.2 MEE 5 - 1

Ardatzak hartzen duen kurbadurari, habearen makurdura-kurba edo kurba elastiko deitzen zaio.

ZEINUEN IRIZPIDEA. y norabideko

deflexioari gezi (y) deituko diogu.

HABEAREN KURBA ELASTIKOA

m1 eta m2 kurba elastikoaren

gainean dauden bi puntu dira eta

jatorritik x eta x + dx distantzietara

daude, hurrenez hurren:ds: m1-en eta m2-ren arteko arkua

O': puntua, kurbadura-zentroa

ρ,: kurbadura-erradioa

κ,: kurbadura

=1

geometrikoki,

·d=ds 1=

dds

deflexioak txikiak badira ds = dx

κ=1ρ=

d θdx hau da, κ kurbadura x posizioaren funtzioan

Kurbaduraren ekuazioa erabiliko da deformazioak zehazteko eta kurba

elastikoaren ekuazioa ondorioztatzeko.

ZEINUEN IRIZPIDEA

11/10/30 r3.2 MEE 5 - 2

MAKURDURA HUTSAREN ETA MAKURDURA EZ-UNIFORMEAREN ARTEKO

DIFERENTZIA (Adibidea)

Aurreko gaian ikusi genuen

V=dMdx betetzen dela. Irudiko

habea aztertuz, bi egoera aurkitzen

ditugu:

a eremuak – makurdura bakuna:

M ≠ kte V ≠ 0

b eremua – makurdura hutsa:

M = kte V = 0

5.2 DEFORMAZIO NORMALAK HABEETAN

Makurdura hutsean lan egiten duen AB habea aztertuko dugu, hain zuzen,

a-ren eta b-ren arteko habe zatia:

11/10/30 r3.2 MEE 5 - 3

M0 momentuen ekintzak

habea xy planoan

deformarazten du, eta

ardatzak kurba zirkularra deskribatzen du. Kurba

elastikoa zirkunferentzia bat da.

– Habearen zeharkako sekzioak, adibidez m-n edo p-q, lau (deformatu gabe)

eta ardatzarekiko elkarzut mantentzen dira.

– Alde ganbileko (convexo) luzetarako zuntzak luzatu egiten dira, eta alde

ahurrekoak (concavo), berriz, laburtu

– Goialdeko zuntzek trakzioan lan egiten dute; behealdekoek, berriz,

konpresioan

– Goiko eta beheko zatien artean badago azalera bat, non haren luzetarako

zuntzak ez baitira ez luzatzen ezta laburtzen ere. Azalera horrek azalera neutroa (AN) izena du, eta, M0 konstantea denean, azalera neutroa

zilindro zirkular bat da

– Azalera neutroaren eta makurdura-planoaren arteko ebakidurari lerro neutro (LN) deitzen zaio

– Bi planoen arteko dx distantzia ez da aldatzen azalera neutroan

(ρd θ=dx )

– Bestalde, gainerako zuntzak luzatzen edo laburtzen dira (εx)

ANtik y distantziara kokatua dagoen e-f zuntza azter dezagun. Zuntzaren L1

luzera:

L1=(ρ– y )d θ=ρd θ−y d θ

baina ρd θ=dx eta d θ=dxρ denez, L1=dx− y

ρ dx– Hasierako luzera L0 = dx bada, ∆L luzapena:

Δ L=L1−L0=dx−yρ dx−dx=−y

ρ

11/10/30 r3.2 MEE 5 - 4

– Eta luzapen unitarioa: ϵx=ΔLL0

=−

yρ dxdx

=−yρ

baina baita ere =1

, orduan ϵx=−κ y

Azken ekuazio hori, jatorria zeron duen -κ maldako zuzen baten ekuazioari

dagokio. Luzapena κ kurbadurarekiko proportzionala da, eta y-rekin linealki

aldatzen da.

– Zuntz bat ANren azpitik badago,

y distantzia (+) da eta εx (–).

– Zuntz bat ANren gainetik badago,

y distantzia (–) da eta εx (+).

– x=−y=− y ekuazioa habe deformatu baten geometria aztertuz

ondorioztatu da: materialaren propietateak ez dira formulazioan erabili.

Beraz, ondorio horiek edozein materialezko habeentzat baliagarriak dira

(elastiko edo inelastiko, lineal edo ez-lineal)

ZEHARKAKO DEFORMAZIOAK

ϵx=−yρ =−κy ekuazioak adierazten dituen εx luzerako deformazioez gainera, εz

zeharkako deformazioak eratortzen dira, Poissonen erlazioaren efektuen ondorioz.

11/10/30 r3.2 MEE 5 - 5

ANren gainetik dagoen εx (+) deformazio positiboak εz (–) negatiboekin

erlazionatuak daude, eta alderantziz.

Zeharkako sekzioan trakzioan dagoen goiko zatiak kontrakzioa jasaten du z

ardatzean, ϵz=−νϵx=νκy , ν Poissonen modulua izanik.

εz deformazioek zeharkako sekzioaren zabalera handitzen dute ANren

azpialdean, eta goialdean kontrakoa gertatzen da, eta, ondorioz, sekzioa estutzen

da.

Lerro horien O” kurbadura-zentroa, habearen goialdean dago, eta ρ1

kurbadura-erradioa ρ luzerako erradioa baino handiagoa da, εx εz baino handiagoa

den proportzio berean: εz = – ν εx

5.3 TENTSIO NORMALAK HABEETAN

εx deformazio normaletatik abiatuz, zeharkako sekzioarekiko elkarzut

agertzen diren σx tentsioak lor daitezke.

Habearen luzetarako zuntz bakoitzak

trakzioan edo konpresioan lan egiten du.

Tentsio-deformazioko diagramek εx-ren eta

σx-ren arteko erlazioa erakusten digute.

Materiala elastikoa bada, σx-εx diagraman

Hookeren legea aplika dezakegu. Horrela:

tanβ=E=σxϵx

σx=E ϵx=−E κy

Beraz, σx = Kte·y, tentsioa linealki aldatzen da ANtik neurtutako y

distantziarekiko.

11/10/30 r3.2 MEE 5 - 6

Azter ditzagun orain zeharkako sekzioan σx tentsioen indar eta momentuen

erresultanteak. Bi ekuazio ditugu:

(1) ∑F x=N=0

(2) ∑M=M 0

(1) ∑F x=N=0 bada → ∫dF=∫σx dA=−∫E κy dA=0

κ kurbadura eta E elastikotasun-modulua konstanteak direnez, ∫ y dA=0

izan behar du. Integral horrek momentu estatikoa definitzen du, eta, zerorekin

berdinduz, GZren posizioa lortzen da. Beraz, z ardatza edo lerro neutroa (LN) GZtik igarotzen da.

(2) ∑M=M 0 dF = σx dA indarrak LNrekiko momentu bat sortzen du.dM=+σx ·dA· yM=+∫σ x · y ·dA=−κ ·E∫

A

y 2 dA

Momentu horrek M + Mo = 0 betetzen du; beraz M = M0

Bestalde badakigu: ILN=∫A

y 2dA

beraz: M=−κ ·E IL N

eta horrela kurbadura: κ=1ρ=−

ME ·IL N

Habe baten luzetarako ardatzaren kurbadura M makurdura-momentuarekiko

zuzenki proportzionala da, eta EILN balioarekiko alderantziz proportzionala da

(habearen makurdurarekiko zurruntasun deitzen zaio EILN konstante horri).

Alde batetik, erraz kontura gaitezke zeinu-irizpideak errespetatuz, momentu

positibo batek kurbadura negatiboa sortzen duela eta alderantziz:

11/10/30 r3.2 MEE 5 - 7

Bestalde, σx=E ϵx=−E κy eta orain κ=1ρ=

−MEIL N

σx=−E ·− ME ·I ln

· y=MI ln

· y NAVIER-en EKUAZIOA

Ekuazio horrek erakusten du σx tentsio normala M-rekiko eta y-rekiko

zuzenki proportzionala eta ILN-rekiko alderantziz proportzionala dela.

Tentsio maximoa LNtik urrun dauden puntuetan gertatzen da.

Diseinua errazteko, Z modulu erresistentea definitzen da,

σ1=M ·c1

I ln=M

Z1Z1=

Ic1

Z1 eta Z2 modulu erresistenteak, c1 eta c2

σ2=M ·c2

Iln= M

Z 2Z2=

Ic2

profilean urrunen dauden puntuak dire.

KASU PARTIKULARRAK

Sekzio laukizuzena Sekzio zirkularra

I ln=bh3

12 I ln=πd 4

64

Z ln=I ln

h /2=bh2

6 Z ln=Iln

d /2=πd3

32 ≈0,1d 3

σ=Mbh2

6σ=

M0,1d 3

11/10/30 r3.2 MEE 5 - 8

5.4 HABEEN ZEHARKAKO SEKZIO MOTAKDISEINU-PROZESUA → FAKTOREAK - eraikuntza mota

- materialak- kargak- ingurune-baldintzak

→ PROFILAREN AUKERAKETA eta DIMENTSIOAKERREALA≤onarg bete behar da

→ ANALISIA soilik makurdura aztertzen da

DISEINU OSOAN - tentsio ebakitzaileak ERREALA≤onarg

- tentsio normalak ERREALA≤onarg

- gilbordura

- tentsio-kontzentrazioen azterketa

PROFILAREN AUKERAKETA. Modulu erresistentea zehaztu behar da:

Z f=MMAX

σMAXonarg

non, σMAXonarg : f (materialaren propietateak , 'n' segurtasun−koefizientea)

Aukeratutako habearen sekzioak Z f≥MMAX

σMAXonarg baldintza bete beharko du.

Helburua: habearen pisua minimoa izatea, materiala aurreztuz. Hau da,

beharrezko modulu erresistentea lortzea zeharkako A sekzio-azalera

minimoarekin.

SEKZIO-PROFILEN ARTEKO KONPARAZIOA

- Sekzio zirkularra

I ln=π · r 4

4 =πd4

64

A=πd2

4

Z f=I ln

d /2=π ·d 3

32 =πd 2

4 · d8=

A·d8 =0,125 · A·d

- Sekzio karratua

Azalera berdina izateko:

a2=d2

4 a=

2·d

Iln=b·h3

12= a4

12

11/10/30 r3.2 MEE 5 - 9

Profil karratuaren modulu erresistentea orduan:

Z f=16

·a ·a2=16

·a · A=16

· √π2

d· A=0,148· A·d

Profil karratua zirkularra baino efizienteagoa da makurduran.

- Sekzio laukizuzena

A=h2 ·h=h2

2 =πd 2

4

h2=πd 2

2 → h=√π2 ·d

I ln=h /2·h3

12= h4

24

Z f=h4

242h=1

6 · h2 h· h=1

6 A h=0,209 Ad

Sekzio laukizuzena karratua eta zirkularra baino efizienteagoa da.

- T-bikoitza

Z f=I ln

y MAX yMAX gero eta ↑, Zf ↑

Z f≈0,35 Ad

T-bikoitz sekzioa orain arteko efizienteena da.

Diseinu egokiena: materiala LNtik ahalik eta urrunen

duen sekzioa izango da.

I=2(A2 )(h

2)2

=A ·h2

4

Z f=I

h/2= Ah2/4

h /2=0,5 Ah

Baina tentsio ebakitzaile maximoak sekzioaren erdigunean daudenez,

makurduran lan egiteko profil ideala hegal zabaleko T-bikoitza da.

Z f≈0,35 Ah

Hegal zabaleko T-bikoitza eraginkorragoa da azalera eta altuera berdineko

11/10/30 r3.2 MEE 5 - 10

sekzio laukizuzen bat baino.

Profil honen material gehiena LNtik urrun dago.

T-bikoitzaren arima oso mehea bada, gilbordura ager daiteke edo tentsio

ebakitzaileak balio onargarriak gaindi ditzake.

5.5 TENTSIO EBAKITZAILEAK HABE LAUKIZUZENETAN

Habe bat makurdura bakunean

(makurdura ez-uniformea) lan egiten

duenean, aldi berean M-k eta V-k parte

hartzen dute zeharkako sekzioan.

Makurdurak σx=MyIln

tentsio

normalak sortzen ditu.

Atal honetan, V ebakitzaileak

sortutako τ tentsio ebakitzaileak

aztertuko ditugu.

HASIERAKO HIPOTESIAK

1. τ tentsio ebakitzaileek V-ren norabide eta noranzko berdinetan eragiten

dute.

2. Tentsio ebakitzaileen banaketa uniformea da sekzioaren zabaleran.

11/10/30 r3.2 MEE 5 - 11

Gainera, badakigu elementu baten aurpegian agertzen den tentsio

ebakitzailea norabide elkarzutean beste tentsio ebakitzaile batera lotua dagoela.

Horrela, tentsio ebakitzaileak aldi berean habearen geruza horizontaletan eta

zeharkako sekzio bertikaletan agertzen dira.

τh-ren (→) eta τv-ren (↓) arteko berdintasunak habearen goialdeko eta

behealdeko azaleretako tentsio ebakitzaileei buruzko ondorio garrantzitsu bat

ematen digu: bertatik elementu bat isolatuz gero, τh = 0 da, eta, beraz τv = 0 (y =

±h/2).

Ondorengo esperimentuaren bidez, τh tentsio horizontalen existentzia

frogatu daiteke:

- Bi habeak itsatsi gabe: goiko habearen luzetarako zuntzak behekoarekiko labaintzen dira.

- Bi habeak itsatsita: tentsio ebakitzaileek LNn zehar labaintzea galarazten dute.

2h altura duen habea h altuerako bi habe baino zurrunagoa eta

erresistenteagoa da.

Azter dezagun pp'n'n azalera (ikus baita ere 11. orrialdeko irudiak),

dA azalera duen elementua aztertuz, han eragina duen indar normala:

σ x dA=MyI

dA

11/10/30 r3.2 MEE 5 - 12

Ezkerraldean aztertzen ari garen eremuan eragina duen F1 indarra orduan:

F1=∫Aσ x dA=∫

h/2

y 1 MyI

dA

Eskuineko aurpegian: F1=∫h/2

y 1 (M+dM )yI

dA

pp'-ren goialdeko b·dx azaleran agertzen den indar horizontala:

F3=τ⋅b⋅dx

F1, F 2 eta F3 indarrek oreka estatikoan egon behar dute:

F3 = F2 – F1

τbdx=∫A

(M+dM )yI

dA−∫A

MyI

dA

τbdx=∫A

dM yI

dA

τ=dMdx

⋅ 1b I∫A

y dA= VI b

⋅Q

Beraz, τ tentsio ebakitzailea ondoko aldagaien menpe dago:

– V: ktea puntu guztietan

– b: sekzioaren zabalera

– I: LNrekiko inertzia-momentua

– Q: pp'n'n azaleraren momentu estatikoa

(aldakorra)

Q=∫A

y dA=A ·y Agz

Berehalakoa da V indar ebakitzailea tentsio ebakitzaileen erresultantea dela

ondorioztatzea. Beraz, tentsio ebakitzaileek V-ren norabide eta noranzko berdina

izango dute.

11/10/30 r3.2 MEE 5 - 13

SEKZIO LAUKIZUZENETAKO APLIKAZIOA

Tentsio ebakitzaile maximoa:

τMAX=VQIln b

Momentu estatikoa:

Q=∫A

y dA=A ·y Agz =

= b(h2−y 1)(y 1+

h/2−y 1

2 ) =

=b2 (h

2−y 1)( h

2+y 1)=b

2 (h2

4−y1

2)

Tentsio ebakitzailea, orduan: τ=VQI ln b

= VI ln b

· b2 (h2

4−y 1

2)= V2Iln (h2

4−y 1

2)y1 = 0 denean, QMAX=

bh2

8 eta I ln=

bh3

12 dela jakinik,

orduan, τMAX=VQMAX

I lnb=V · bh2

8· 12

b· bh3=3V2bh

=3V2A

V indar ebakitzailea τ tentsio ebakitzaileen erresultantea da. Ondorioz,

tentsio ebakitzaileek V-ren norabide eta noranzko berdinak dituzte.

5.6 TENTSIO EBAKITZAILEAK HEGAL ZABALEKO T-BIKOITZ HABEETAN

τ=V QI b formula orokorra da, eta edozein profiletan aplika daiteke.

Adibidea:

h = 300mm h1 = 260mm t = 10mm

11/10/30 r3.2 MEE 5 - 14

5.7 TENTSIO EBAKITZAILEAK HABE ZIRKULARRETANTentsio ebakitzaileek

(τ) ez dute indar

ebakitzailearekiko V

paraleloan lan egiten.

Sekzioen kanpoaldean

dauden puntuen tentsio

ebakitzaileak

zirkunferentziarekiko

tangenteak dira, eta indar

ebakitzailearen noranzko

berdina dute.HIPOTESIA: pq lerroko puntuen tentsio ebakitzailearen osagai bertikala

konstantea da.

Hipotesi hori sekzio karratua aztertzean aplikatu genuenaren berdina denez,

kasu hartarako lortu zen formula aplika daiteke.

Q=∫y 1

r

2√r 2−y 2 y dy=23 (r

2−y 12)3 /2

b, zabalera, b=2√r 2−y12

11/10/30 r3.2 MEE 5 - 15

I, inertzia-momentua: I=π r 4

4

τy=VQI⋅b

=V 2

3(r 2−y 1

2)3 /2

π r 4

4 ⋅2(r 2−y 12)1/2

=4V( r 2−y 1

2)3π r 4

τ=

τy

cosθ=

τy

√r 2−y 12

r

=r⋅τy

√r 2−y 12 τy=

4V(r 2−y 12)

3π r 4

Tentsio maximoa LN-n agertzen da, τ = τy izanik

τMAX=4Vr3π r 3=

4V3A

5.8 HABE ARMATUAK

DEFINIZIOA: Habe armatua bi piezaz edo gehiagoz osatua dagoen habe bat da.

Habe horiek profilak konbinatuz lortzen dira, helburu jakin bat lortzeko

(adibidez, pisua gutxitzeko), edo profil arruntak/estandarrak/komertzialak baino ILN

eta ZLN handiagoak lortzeko.

Adibideak,

IPN sekzio soldatua Kaxoi-habea (egurra edo altzairua) Habe ijetzia, itsatsita

DISEINUA. Habe armatua beraren elementuak era egokian itsatsita daudela joz

diseinatzen da, eta, hala, habea elementu bakarraren portaera du.

Pausoak: 1. Habe bat dela, barne-betea dela jotzen da → σx, τ

2. Elementuen arteko lotura aztertzen da (soldadura, torloju, iltze,

kola...), habeak pieza bakar baten portaera izan dezan.

11/10/30 r3.2 MEE 5 - 16

Lotura-elementuek jasandako kargak habearen elementuen artean

transmititutako ebakidura-tentsio horizontalak dira.

EBAKIDURA-TENTSIO

HORIZONTALAK KALKULATZEKO

FORMULA

5.5 atalean eginiko azterketan

ondokoak agertu dira:

– (pu) ezkerraldean: F1 indarra– (p'u') eskuinaldean: F 2 indarra– (pp') aurpegi horizontalean: F3

indarra

Egindako azterketan, F3 (= F2 - F1) indarra b·dx azaleran uniformeki banatua

dago. Horrela: τ=F3

b⋅dxHala ere, kasu orokor batean suposizio hori ez da betetzen. Beraz, τ tentsio

ebakitzaileak hala kalkulatu beharrean (F3 azalera unitateko, τ = F3/b·dx),

elementuaren pp' aurpegian agertzen den dF indar horizontal osoa kalkulatuko

dugu. Indar hori definitzeko, dF = f·dx adierazpena erabiliko dugu, f izanik

habearen luzera unitateko urradura-indarra, eta f=dFdx izanik dF habearen dx

luzeran eragiten duen indarra.

Gainera, f = τ·b

Orduan, F3=f ·dx=F 2−F1=dM∫y dA

I

f =dMdx

· 1I ∫ y dA → f=V ·Q

IPraktikan marratutako zeharkako

sekzioak hainbat forma izan ditzake. Kasu

horietan, f luzera unitateko urradura-

indarra sekzio marratua gainerako

sekziotik banantzen duen lerroaren luzera

unitateko indarra da.

11/10/30 r3.2 MEE 5 - 17

Hori argitzeko ondoko adibideak aztertuko ditugu:

– Altzairuzko habe armatuaren kasuan, soldadurek hegalaren eta arimaren

artean tentsio ebakitzaile horizontalak transmititu behar dituzte. Indar hori

(luzera unitateko) kontaktu-azaleran zehar luzetarako urradura-indarra da,

f =V ·QI

non Q marratutako azaleraren

LNrekiko momentu estatikoa baita

f kalkulatzean, soldadura-kordoiaren eztarri-lodiera

egokia aukeratu beharko da, f luzera unitateko indarra

jasan dezan.

– Beste kasu honetan, f, cc' eta dd' lerroetan eragiten

du. Q marratutako azalerarentzat kalkulatzen da.

f-ri eskuinaldeko eta ezkerraldeko iltzeek eusten

diote.

5.9 HABE KONPOSATUAK

Material batez baino gehiagoz osatuak dauden habeei habe konposatu deitzen zaie. Adibidez,

– habe bi-metalikoak: termopareak (cromel, constantan)

– sandwich-habeak

– hormigoi armatuzko habeak

Habe konposatuak habe arruntentzat ondorioztatu dugun makurduraren

teoria aplikatuz aztertzen dira.

Kasu horretan, makurdura hutsean onartzen diren Navieren hipotesiak

aplikatzen dira, materialarekiko independentea izanik: makurtu ondoren ere

sekzioak lauak eta paraleloak mantentzen dira.

Hipotesi horien ondorioz, εx luzerako luzapenak linealki aldatzen dira

habearen goialdetik behealderaino. Kasu horretan, LN ez dago zeharkako

sekzioaren GZn.

11/10/30 r3.2 MEE 5 - 18

Zeharkako sekzioan azaltzen diren tentsio normalak ε deformazioekiko

proportzionalak dira.

Jo dezagun materialek portaera elastiko-lineala dutela (Hookeren legea

betetzen dute). Orduan: σ = E ε

E2 > E1 bada, σx1 = +E1 ε1 = - E1 κ y

σx2 = +E2 ε2 = - E2 κ y

LNren POSIZIOA orain ez dago sekzioaren GZn. Makurdura hutsean indar

axialen erresultantea zero izango

da. N=ΣFN=0 eginez,

∫A1

σx1⋅dA+∫A2

σx2⋅dA=0

∫A1

E1⋅κ⋅y dA+∫A2

E 2⋅κ⋅y dA=0

E1∫A1

y dA+E2∫A2

y dA=0

E1Q 1+E2Q 2=0 (1)

(1) LNren posizioa zehazteko formula orokorra bi materialez osatutako habeentzat

MAKURDURA-MOMENTUA sekzioan ∑M ln=M (makurdura hutsa)

M=∫ σx dA⋅y=∫A1

σx1⋅y dA+∫A2

σA2⋅y dA=−∫A1

E1⋅κ⋅y 2dA−∫A2

E2⋅κ⋅y2dA =

= −E 1κ∫A1

y 2dA−E 2κ∫A2

y 2dA=−κ(E1 I1+E 2I2)

I1 eta I2 A1 eta A2 azaleren LNrekiko inertzia-momentuak izanik.

11/10/30 r3.2 MEE 5 - 19

κ=1ρ=−

ME 1I1+E 2I2

E1I1 + E2I2 zatitzaileak habe konposatuaren makurdurarekiko zurruntasuna

adierazten du. Tentsioak, beraz:

σx1=−E1⋅κ⋅y=−E1( −ME 1I1+E 2I2 )y

σx1=M⋅y⋅E1

E1 I1+E2 I2eta σx2=

M⋅y⋅E2

E 1 I1+E 2I2

Adibidea:DATUAK: M, E1, E2, b, h1, h2

EZEZAGUNAK: x1MAX , x2

MAX

5.9.1 SEKZIO BALIOKIDEAREN METODOAMetodo honen funtsa da material batez baino gehiagoz osatua dagoen

zeharkako sekzioa material bakarrezko sekzio baliokide batean bihurtzea. Sekzio

baliokide horrek aurrekoaren portaera berdina izango du.

BALDINTZAK: sekzio baliokideak LN eta makurdurarekiko erresistentzia berdinak izango ditu.

Lehenik n definituko dugu, modulu elastikoen arteko erlazioa: n=E 2

E 1

1. baldintza: LN berdina

E2=nE1 (erlazio modularra)E1∫

A1y dA+E2∫

A2y dA=0

E1∫A1 y dA+nE1∫A2 y dA=0∫A1

y dA+n∫A2

y dA=0

Sekzio baliokideak material bakarraz osatzen da, eta haren LNk jatorrizko

sekzioaren LNn posizio berdina dauka.

2. baldintza: erresistentzia-ahalmen berdina makurduranHabean agertzen diren tentsioak: σx=−E1κy

11/10/30 r3.2 MEE 5 - 20

M=∫ σx y dA=∫A1σx y dA+∫

A2σx y dA=−κE1∫

A1y 2dA−κE2∫

A2y 2dA =

= −κ[E1 I1+E 2I2]=−κ [E1I1+E1n I 2]

Habe baliokideko tentsioak orain arte erabili dugun makurdura-formularen

bidez kalkula daitezke:

σx=M · y

I ln non I ln=I1+n I2=I1+

E2

E1I2=

E1 I1+E2 I2

E1

orduan σx=M · y ·E1

E1I 1+E2I 2

– '1' materialean tentsioak berdinak dira, bai jatorrizko habean, baita

transformatuan ere

– '2' materialeko tentsioak σJATORRIZKOA=σBALIOKIDEA ·n

5.9.2 TENTSIO EBAKITZAILEA LUZETARAKO PLANO ARBITRARIO BATEAN

f luzera unitateko indarra izanik, plano gorrian agertzen den indar ebakitzailea:

f =Hx=∫Aσx dA

x=∫A

M · yI

·dA

x=∫

A

P · x · y dAI · x

=P∫

Ay dA

I=

P · QI

=V ·Q

I

H=∫AσxdA=∫

A

P · xI

·dA=PI ∫A

x · dA=P ·QI

=V ·Q

I

11/10/30 r3.2 MEE 5 - 21

5.9.3 SANDWICH-HABEAKAurpegi deritzen bi plaka meheen artean beste

material batez egindako nukleo lodi bat duten habeak dira.

Nukleoa arinagoa eta erresistentzia gutxiagoko materiala

izan ohi da, eta betegarri- eta/edo isolatzaile-lana betetzen

du. Aurpegiek, berriz, erresistentzia altua dute (E2 >> E1).

Osatzen den sekzioa arina da, eta makurdura-momentuak jasateko gaitasun

handia dauka. Arintasuna eta zurruntasuna aldi berean eskatzen duten

aplikazioetan erabiltzen dira. Adibidez, hegazkin eta autobusen zoruak, industria-

eraikinen itxiturak, eta abar.

Elementu horiek lehen deskribatu diren metodoak erabiliz azter daitezke.

Kalkulua sinplifikatzeko, aurpegiek makurdura-momentuak eta nukleoak,

berriz, indar ebakitzaileak jasaten dituztela joko dugu.

Tentsio normalak: σx=M ·d /2

I AURPEGIAK

non d: habearen altuera IAURPEGIAK: aurpegien inertzia-momentua LNrekiko

I AURPEGIAK=112

bd3− 112

b h3

Tentsio ebakitzaileak: τ=Vbh

5.10 KARGA AXIALDUN HABEAK. KARGA INKLINATUAK ETA ESZENTRIKOAK HABE ETA ZUTABEETANOrain arteko kargak habearen ardatzarekiko elkarzutak izan dira, eta GZn

aplikatuak zeuden. Atal honetan, indar inklinatuak eta GZn aplikatuak ez daudenak

aztertuko ditugu.

Adibidez:

11/10/30 r3.2 MEE 5 - 22

INDAR INKLINATUAK P karga, V (Q)

indar ebakitzailean eta N (S) indar

normalean deskonposa daiteke.

Bi egoera ager daitezke:

1. habea motza eta zurruna da

2. habea lerdena eta malgua da

1. Geziak oso txikiak dira luzerarekin alderatuz.

Gezien agerpenak aldaketa oso txikia sortzen du S kargaren akzio-lerroan.

2. Makurdura-deflexioen balioak makurdura-momentuetan eragina izateko beste

badira. S-ren akzio-lerroa gorantz (irudiko adibidean) desplazatzen da, eta,

horrenbestez, makurdura-momentu gehigarri bat sortzen da, bere balioa S·f

izanik.

11/10/30 r3.2 MEE 5 - 23

KARGA AXIAL ESZENTRIKOAKasu honek interes praktiko handia

dauka.

P konpresio-kargak zeharkako

sekzioarekiko perpendikularki eragiten du

GZtik igarotzen den inertzia-ardatzarekiko

e distantzia batetara.

P karga eszentrikoa ordezka

daiteke GZn aplikatutako P konpresio-

indarraren eta P·e makurdura-

momentuaren bidez.

Zeharkako sekzioko edozein

puntutako tentsio normala:

σ=−PA

−P · e· yI z

LNren ekuazioa (posizioa) σ = 0

eginez lortzen da. Horrela:

0=−PA

−P ·e· yIz

→ y=−Iz

A ·e

Ekuazio horrek zeharkako sekzioan

z ardatzarekiko paraleloa den zuzen bat

definitzen du. Minus (-) zeinuak, P indarra

z ardatzarekiko ezkerretara dagoenean,

z-ren eskuinetara kokatzen dela

adierazten du.

e ↑ bada, IA ·e ↑ ↓ eta orduan LN

GZrantz hurbiltzen da.

e ↓ bada, IA ·e ↑ ↑ eta orduan LN GZtik

urruntzen da, eta LN zeharkako sekziotik kanpo gera daiteke. Kasu horretan, puntu guztiak konpresioan egongo lirateke.

11/10/30 r3.2 MEE 5 - 24

Adibidez, sekzioa karratua bada:= N M

σ=−PA±P ·e · y

I z

LNren ekuazioa tentsioaren ekuazioa zero eginez lortzen da:

−PA±P · e· y

I z=0 → y=

I z

Ae

e↑ bada, y ↓=I z

Ae ↑ LN

GZrantz hurbiltzen da

e↓ bada, y ↑=I z

Ae ↓ LN

GZrantz hurbiltzen da

P indar eszentrikoa zeharkako sekzioaren ardatz nagusietako batean

aplikatua ez badago, orduan makurdura bi ardatz nagusietan agertuko da aldi

berean.

σN=NA , σMy=

M y ·zI y

=N ·ez ·z

I y eta σMz=

M z · yI z

=N ·ey · y

I z

σ=−PA−

P ·ez · zIY

−P ·ey · y

I z

LNren posizioa definitzeko σ = 0 eginez:

1+A·ez

IY· z+

A·ey

Iz· y=0

11/10/30 r3.2 MEE 5 - 25

Ekuazio hau lineala da y eta z ardatzetan, LN zuzen bat izanik aurreko

kasuan bezala.

LNk zeharkako sekzioa moztu dezake edo ez, sekzioaren formaren eta P

kargaren aplikazio-puntuaren arabera. y eta z ardatzetako n-n' lerroaren mozte-

puntuak, z eta y zero eginez lor daitezke, hurrenez hurren.

z = 0 → y=−Iz

ey A eta y = 0 → z=−I y

ez A

P indarraren aplikazio-puntuaren posizioaren eta LNren arteko erlazioa

garrantzitsua dela esan dezakegu: P karga m-m' lerroan zehar mugitzen bada, LN

R puntuarekiko biratzen da.

P P1 → LN1 → y=s1=IZ

Ae1

P2 → LN2 → z=s2=I Z

Ae2

R LN1 eta LN2 zuzenen arteko

intersekzioan dago.

SEKZIO BATEN NUKLEOAAplikatutako P kargaren e eszentrikotasuna txikia denean, LN zeharkako

sekziotik kanpo geratzen da eta sekzio normalek zeinu bera dute sekzio osoan.

Baldintza hori oso garrantzitsua da trakzioarekiko hauskorrak diren materialentzat,

adibidez hormigoia eta zeramika.

Beharrezkoa da ziurtatzea kargak ez duela trakziorik sortuko sekzioaren

inongo puntutan. Baldintza hori karga GZ barnean duen eremu batean aplikatuz

gero betetzen da.

Eremu horretan aplikatutako konpresio-karga batek konpresio-tentsioak

sorraraziko ditu sekzio osoan. Eremu horri sekzioaren nukleo edo bihotz deitzen

zaio.

11/10/30 r3.2 MEE 5 - 26

Sekzio laukizuzen baten nukleoa

P GZtik e1 distantziara

aplikatua badago (P1), LN n1n1'

lerroa izan dadin (R12, R41) e1

distantzia ezagutu nahi da:

y=−h2

I= bh3

12→ e1=

Iz

Ay=

bh3

12

bh· h2

=h6

A=bh

Era berean, karga P2 bada: e2=b6

P karga, P1-tik P2-ra mugituz, LN R12 puntuarekiko biratzen da.

Nukleoa erronbo bat dela ondoriozta dezakegu, eta haren diagonalak b/3

eta h/3 dira.

Erronboaren barnean aplikatutako edozein konpresio-kargak ez du trakzio

tentsiorik sortuko sekzioan.

5.11 MAKURDURA ASIMETRIKOA

Habeen makurdura-teoria luzetarako ardatzean simetria-plano bat duten

habeetan bakarrik aplika daiteke.

11/10/30 r3.2 MEE 5 - 27

Hegalean dagoen irudiko habean xy planoa simetria plano axial bat da.

Kargak simetria-planoan aplikatzen badira, habea y noranzkoan bakarrik

deformatuko dela ondorioztatzen da.

xy planoari makurdura-plano deitzen zaio.

y ardatza simetria-ardatza denez, sekzioaren ardatz nagusi bat da. Lerro

neutroa ere (x ardatza) ardatz nagusia da, eta y ardatzarekiko elkarzuta da.

Habearen portaera elastiko-lineala bada, lerro neutroa grabitate-zentrotik

pasatuko da. Beraz, 'y' eta 'z' ardatzak sekzioaren ardatz zentralak dira.

Sekzioekiko elkarzut agertzen diren makurdurako tentsio normalak lerro

neutroarekiko distantziaren arabera aldatzen dira, eta Navieren ekuazioaren

bitartez kalkulatzen dira:

σx=M yI z

Habeen makurdura asimetrikoak zeharkako sekzioak simetrikoak EZ

direnean agertzen dira, edo kargak simetria-planotik kanpo aplikatzen direnean.

Zeharkako sekzioa simetriaren arabera honela sailkatzen da:

– simetria bikoitza

– soilki simetrikoa

– asimetrikoa

Makurdura asimetrikoa jasaten duten habeek normalki zeharkako

sekzioarekiko bi ardatz nagusietan makurdura-momentuak jasaten dituzte.

MY ETA MZ MAKURDURA-MOMENTUEN ZEINU_IRIZPIDEAK

Aurpegi positiboan eragiten duten momentuak positiboak izango dira, haren bektoreek ardatz bakoitzaren noranzko positiboa badute

Aurpegi negatiboan eragiten duten My eta Mz makurdura-momentuak positiboak izango dira, haren bektoreek norabidea y eta z ardatzen noranzko negatiboa badute

11/10/30 r3.2 MEE 5 - 28

5.11.1 ZEHARKAKO KARGA JASATEN DUTEN SIMETRIA BIKOITZEKO DUTEN HABEAK

Makurdura asimetrikoko kasu sinpleena zera da, simetria bikoitzeko habe

bat LNrekiko zeharka kargaturik dagoenean.

Adibidea: hegalean dagoen habea, bere

muturrean zeharkako P karga bat duena.

P karga bi ardatzetan deskonposatuz,

y ardatza → Py = P cos θ

z ardatza → Pz = P sin θ

Orain habearen makurdura

gainezarpen-printzipioa erabiliz azter

daiteke.

KONTUZ! Karga-sekzioaren G grabitate-zentroan aplikatua egon behar du

bihurdurarik ager ez dadin luzetarako ardatzean.

Landapenetik x distantziara, sekzioan eragina duten makurdura-momentuak

hauek dira:

Mz = Py (L – x) = P cos θ (L – x)

My = Py (L – x) = P sin θ (L – x)

My eta Mz makurdura-momentuek habearen simetria-planoan eragiten

dutenez, makurdura-tentsioak Navieren formularen bidez lor daitezke. A puntua (y,

z) koordenatuetan kokatua badago:

11/10/30 r3.2 MEE 5 - 29

Tentsio normala puntu horretan:

σx=M y z

I y−

M z yIz

Iy: sekzioaren inertzia-momentua y ardatzarekiko

Iz: sekzioaren inertzia-momentua z ardatzarekiko

Lerro neutroa, σx = 0 duten puntuek osatzen duten zuzena denez:M y z

Iy−

M z yIz

=0 → y=M y

M z

I z

Iyz

G puntua zeharkatzen duen zuzen baten ekuazioa lortzen da (jatorrian

y = 0), haren malda tanβ=M y

M z

Iz

I yizanik. tanθ=

My

M zdefinituz, orduan:

tanβ=Iz

Iytanθ

Ekuazio horretatik, β eta θ angeluak ezberdinak direla ondorioztatzen da (β ≠ θ).

LN lerro neutroa ez da karga-planoarekiko elkarzuta.

SALBUESPENAK

1. θ = 0o bada,

kargak XY planoan eragiten du, eta z ardatza LN da.

2. θ = 90o bada,

kargak XZ planoan eragiten du, eta y ardatza LN da.

3. Iy = Iz bada, tanβ=Iz

Iytanθ eta θ = β

Iy = Iz denez, inertzia-momentu nagusiak berdinak dira.

Beraz, G-tik igarotzen diren ardatzak nagusiak dira.

Ondorioz, kargaren planoa LNrekiko elkarzuta da.

11/10/30 r3.2 MEE 5 - 30

Simetria bikoitza duen habe batek zeharkako kargak jasaten baditu,

habearen geziak edo deflexioak lortzen dira kargaren osagai bakoitza bere aldetik

aztertuz eta gainezarpen-printzipioa aplikatuz (ikus 7. gaia)

δy=

12

P cosθL2 23

L

EI z=P cosθL3

3EIzδz=

12

P sinθL2 23

L

EIy=P sinθL3

3EIy

Lortzen den gezia:

=y2z

2

tanβ=δz

δy=

P sinθL3

3EIyP cosθL3

3EIz

=Iz

Iytanθ

(Aurreko ekuazio bera lortu da: deflexioa plano neutroarekiko elkarzuta den

plano batean egongo da).

5.11.2 MAKURDURA HUTSA HABE ASIMETRIKOETAN

Habe baten sekzioa asimetrikoa bada, makurdura-analisia konplexuagoa

da. Momentua ezaguna izanik, ezinezkoa da zuzenean sortzen duen tentsio

normala eta ardatz nagusia ondorioztatzea. Baina

lerro neutro bat proposatu eta makurdura-

momentuarekin duen erlazioa aztertuko dugu.

Irudiko habeak M makurdura-momentua jasaten du

Helburua: y eta z ardatzak bete behar dituzten baldintzak zehaztea makurduran

LN izan daitezen.

11/10/30 r3.2 MEE 5 - 31

Hasteko elkarzutak diren z eta y ardatzak eraikiko ditugu sekzioaren

edozein puntutan. Ondoren, z planoa LN dela joko dugu. Beraz XY planoa

makurdura-planoa izango da, eta habea plano horretan deformatuko da.

Makurdura pean dagoen habearen κy kurbaduraren zeinua definitzeko

irizpidea:

LNtik y distantziara dagoen dA azalera-elementuan dagoen tentsio normala:

ϵx=−yφ =−κy y → σx=E ϵx=−κy E y

eta dA elementuan momentuak eragiten duen indarra:

dF = σx dA F=∫σx dA=∫−κy E y dA=−κy E∫y dA

Makurdura hutsa dela jo denez, dF azaleran integratuz F = 0 da eta orduan

∫ ydA=0 . Ekuazio horrek LN sekzioaren GZtik igaro behar duela frogatzen du.

dA azaleran eragiten duen tentsio normala, beraz: σx=−κzE z

Indar normal erresultantea:

∫σx dA=−κz E∫ zdA=0 → ∫ zdA=0

Ondorioz, y ardatzak ere GZtik pasatu behar du. Beraz, y eta z ardatzen

jatorria GZ puntuan kokatzen da.

Orain σx tentsioek sortzen duten tentsio erresultantea

aztertuko dugu.

Makurdura x ardatzean gertatzen dela joz, momentuak:

M z=−∫σx y dA=κy E∫y 2dA=κy EIz=M z

M y=∫σx z dA=−κy E∫ yzdA=−κy EIyz=M y

Iz z ardatzarekiko inertzia-momentua da, eta Iyz y eta z ardatzen inertzia-

momentuen biderkadura.

11/10/30 r3.2 MEE 5 - 32

ONDORIOAK:

- Lerro bat LN izango da, baldin eta My eta Mz momentu jakin batzuk aplikatzen

badira.

- LN (kasu honetan z ardatza) inertzia-ardatz nagusi bat bada: My da eragiten

duen momentu bakarra, eta XZ planoan gertatuko da makurdura, makurdura

simetrikoaren kasuan bezala. Eta ardatz-sistema ortogonala denez, y ardatza

ere ardatz nagusia izango da

Makurdura hutsa jasaten duen habe asimetriko baten makurdura-planoa

LNrekiko elkarzut izango da, baldin eta y eta z ardatzak sekzioaren inertzia-ardatz

nagusiak badira.

Makurdura-momentu batek plano nagusi batean eragiten badu, plano hori

makurdura-planoa izango da (LNrekiko elkarzuta), eta makurduraren teoria erabili

ahal izango da.

HABE ASIMETRIKO BAT AZTERTZEKO METODO ZUZENA

1. Sekzioaren GZ puntua definitu.

2. y eta z inertzia-ardatz nagusiak definitu.

3. Aplikatutako M momentua deskonposatu, My eta Mz .

My = M sin θ

Mz = M cos θ

θ : M momentuak OZ ardatzarekin osatzen

duen angelua

4. Sekzioko edozein puntuk (adibidez A) jasaten

duen tentsioa habe simetrikoen antzera lortzen

da.

σx=M y z

I y−

M z yIz

=(M sinθ)zI y

−(M cosθ)yIz

y eta z, A puntuaren koordenatuak izanik.

5. LNren ekuazioa σx = 0 eginez lortzen da.

11/10/30 r3.2 MEE 5 - 33

6. GAIA

TENTSIO ETA DEFORMAZIOEN AZTERKETA6.1 SARRERA

6.2 TENTSIO LAUA

6.3 TENTSIO NAGUSIAK ETA TENTSIO EBAKITZAILE

MAXIMOAK

6.4 MOHR-EN ZIRKULUA TENTSIO LAUAN

6.5 HOOKE-REN LEGEA TENTSIO LAUAN

6.6 PRESIOPEAN DAUDEN HORMA MEHEKO EDUKIONTZI

ESFERIKO ETA ZILINDRIKOAK. TENTSIO BIAXIALA

6.7 KARGA KONBINATUAK TENTSIO LAUAN

6.8 TENTSIO NAGUSIAK HABEETAN

6.9 EBAKIDURA LAUKIZUZENEKO HABEEN DISEINUA

6.10 INDAR ZENTRIFUGOAREN ERAGINA ERAZTUNETAN

6.11 MAKURDURA ETA BIHURDURA KONBINATUAK

ARDATZ ZIRKULARRETAN

6.1 SARRERA

Sekzio bateko puntuetan tentsioak definitzeko, ekuazioak hauek erabiltzen

dira:

σ=M · y

I zτ=

V ·Qb·I z

11/10/30 r3.2 MEE 6 - 1

Gai honetan, tentsioak edozein norabidetan aztertzeko metodoa ikasiko

dugu. Trakzioan eta bihurduran sekzio inklinatuetako tentsioak aztertu genituen:

HELBURUA: Ardatzen edozein orientaziotarako tentsio-osagaiek dituzten

transformazio-erlazioak lortzea izango da.

Hau da, ebakidura-plano bateko puntu baten tentsio-egoerak ezagunak

izanik, ebakidura-planoa biratuz haren tentsio-egoera baliokidea ezagutu nahi da.

Prozesuari tentsio-transformazio deritzo.

Tentsiopean dagoen puntu bat aztertzean, elementua biratzean,

elementuaren aurpegietako tentsioak aldatuz doaz, eta tentsio-egoera berdina

adierazten dute.

Tentsio-egoera bakarra da, elementua edozein orientaziotan dagoela ere.

Orientazio ezberdineko tentsioek egoera berdina adierazten dute. Nahiz eta

gezien bidez adierazi, tentsioak ez dira bektoreak. Tentsore deitzen zaie

matematiketan, deformazio unitario eta inertzia-momentuen antzera.

11/10/30 r3.2 MEE 6 - 2

6.2 TENTSIO LAUA

Axialki kargatuak dauden barrak, bihurdura hutsa edo makurdura jasaten

duten habeen tentsio-egoerak dira tentsio lauaren adibideak.

A puntua inguratzen duen elementu infinitesimal batek ondorengo tentsio-

egoera jasaten du:

x : tentsio normala x noranzkoan

xy : tentsio ebakitzailea x ardatzarekiko

plano elkarzuta eta y noranzkoa dituena

Plano elkarzutetako tentsio ebakitzaileek balio berdinak dituzte, eta haien

noranzkoak ebakidura-ertzerantz gerturatu edo urruntzen dira:

xy=yx

Tentsioak bi dimentsiotan adieraziz:

datuak:

x , y , xy , yx

ezezagunak:

σx1 , σy1, τx1y1 (τy1x1)

Elementua erpin batean ebakiz gero, falka-itxura duen elementu bat lortzen

da. Falkak jasaten dituen indarrek ere orekan egon beharko dute (tentsioa x

azalera):

11/10/30 r3.2 MEE 6 - 3

x1 ardatzean indarren oreka planteatuz: ∑FX1=0

σx1

Ao

cosθ−σx Aocosθ−τxy Aosinθ−σy Ao tanθsinθ−τyx A0 tanθcosθ=0

eta y1 ardatzean antzera eginez: ∑F Y1=0

τx1y1

Ao

cosθ+σx Ao sinθ−τxy Ao cosθ−σy Ao tanθcosθ+τxy A0 tanθ sinθ=0

xy=yx da, eta aurreko bi ekuazioak berrantolatuz:

x1= x cos2 y sin22xy sincos (1)

x1y1=− x− ysincosxycos2−sin2 (2)

(1) eta (2) ekuazioen bidez, x1 ardatzean tentsio normal eta ebakitzaileak

lortzen dira θ, τxy, σx-ren eta σy-ren funtzioan. Formulek ondorengoa ere betetzen

dute:

θ = 0º denean x1=x θ = 90º denean x1=y

x1y1=xy x1y1=−xy

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Erlazio trigonometrikoen berrikuspena

sin2=2 sincos (a)

1=cos2sin2 (b) cos 2=cos2−sin2 (c)

_______________________

(b+c) 1cos 2=2cos2 → 1cos 22

=cos2

(b-c) 1−cos 2=2sin2 → 1−cos 22 =sin2

11/10/30 r3.2 MEE 6 - 4

Aurreko ekuazioetara itzuliz eta erlazio trigonometrikoak aplikatuz:

x1=xy

2 x− y

2cos 2xy sin2 (3)

x1y1=− x− y

2sin2xy cos 2 (4)

(1), (2), (3) eta (4) ekuazioei tentsio lauko transformazio-ekuazio deitzen

zaie. A puntuko tentsio-egoera, xy planoan eta x1y1 planoan berdina da.

Transformazio-ekuazioak indarren oreka planteatuz definitu direnez, edozein

materialentzat aplika daitezke.

θ angelua (θ + 90º)-z ordezkatuz, σx1 → σy1 lortzen da. Hirugarren ekuazioan

ordezkatuz:

y1=x y

2 x−y

2cos2180xy sin2180

y1=xy

2− x− y

2cos2− xy sin2 (5)

(3) eta (5) ekuazioak osagaiz osagai batuz:

x1y1=x y (6)

Elementu batean gainazalekiko elkarzut agertzen diren tentsio normalen

batura konstantea da tentsio lauan.

- TENTSIO-EGOERA BEREZIAKTentsio lauan, tentsio-egoera orokor honen hiru kasu berezi agertzen dira:

tentsio egoera uniaxiala, biaxiala eta ebakitzaile hutsa.

1 - Tentsio guztiak nuluak badira σx ezik, elementua tentsio-egoera uniaxialean

dagoela esaten da. (1) eta (2) ekuazioetan, y=0 eta xy=0 bada:

x1=x

21cos2=x cos2

x1y1=−x

2sin2=− x sin cos

11/10/30 r3.2 MEE 6 - 5

2 – Tentsio ebakitzaile hutsa beste kasu berezi bat da, x=0 eta y=0 ,

orduan (1) eta (2) ekuazioak:

x1=xy sin2=2 xy sincos

x1y1=xy cos2= xycos2−sin2

3 – Tentsio-egoera biaxiala berriz, x≠0 , y≠0 eta xy=0 :

x1=x y

2 x− y

2cos2

x1y1=−x−y

2sin2

tentsio biaxiala besteak beste, presiopean dauden

edukiontzietan agertzen da (ikusi 6.6 atala)

6.3 TENTSIO NAGUSIAK ETA TENTSIO EBAKITZAILE MAXIMOAK

σx1 tentsio normala eta x1y1 tentsio ebakitzailea modu jarraituan aldatzen

dira elementua θ angelua biratzen den heinean.

11/10/30 r3.2 MEE 6 - 6

Diseinuaren ikuspegitik balio maximoak aurkitzea komeni zaigu, bai

positiboak, bai negatiboak. Aurreko irudiak erakusten du tentsio normal eta

ebakitzaile maximoak 90º-ro kokatzen direla (non σy = 0,2σx eta

τxy = 0,8σx). Tentsio normal maximo eta minimoei tentsio nagusi deitzen zaie, eta

1 eta 2 azpiindizeen bidez adierazten dira.

(3) ekuaziotik abiatuz: x1=xy

2 x− y

2cos 2xy sin2

Maximoa lortzeko θ-rekiko deribatuz eta zerorekin berdinduz:

d x1

d=−x− ysin22xycos2=0 → tan2p=

2xy

x−y (7)

p azpiindizeak plano nagusia adierazten du. θp-ren bi balio daude:

2θp → θp = θp1

2θp +180º → θp +90º = θp2

'Tentsio nagusiak plano elkarzutetan agertzen dira'

Orain, tentsio nagusien balioak aurkitu nahi dira. Horretarako, ondorengo

hirukia aztertuko da. Pitagoras aplikatuz, R lortzen da, eta, gainera, hiruki

horretatik ondokoa ondoriozta daiteke,

sin2θp=τxy

R eta cos2θp=(σx−σy

2 )R

θp-ren balioa (3) ekuazioan ordezkatuz:

x1=xy

2 x− y

2cos 2xy sin2

σ1=σx+σy

2+σx−σy

2 (σx−σy

2 ):R+τ xy( τxy

R )1=

xy

2x−y

2 2

xy2 σ1, tentsio nagusi maximoa

eta tentsioen batura erlazioa aplikatuz, (6) ekuazioa, σ1+σ2=σx+σy ,

2=xy

2−x− y

2 2

xy2 σ2, tentsio nagusi minimoa

11/10/30 r3.2 MEE 6 - 7

eta orokortuz, tentsio nagusien ekuazioa:

1,2= xy

2±x−y

2 2

xy2

Tentsio nagusien ezaugarri garrantzitsuenetako bat da, tentsio

ebakitzailearen balioa orientazio horretan zero dela. Orduan, elementua tentsio

egoera uniaxial edo biaxialean egongo da.

'Tentsio-plano nagusitan tentsio ebakitzaileak zero dira'

6.3.1 Kasu bereziak

1 – Tentsio uniaxialaren eta biaxialaren kasuan:

uniaxiala biaxiala

tan2p=xy

x− y

2 =0 xy=0

θp1 = 0º eta θp2 = 90º, x eta y ardatzak

norabide nagusiak dira.

2 – Tentsio ebakitzaile hutsaren kasuan:

tan2p=xy

x− y

2 =xy

0=∞

2θp = 90º → θp1 = 45º eta θp2 = 135º

1=xysin90º=xy

2=xysin270º=−xy

11/10/30 r3.2 MEE 6 - 8

6.3.2 Tentsio ebakitzaile maximoak

Tentsio ebakitzaile maximoak aurkitzeko, x1y1 θ-rekiko deribatuko da,

dx1y1

d=−

x−y

22cos2−2xysin2=0 → tan2s=−

x−y

2xy(8)

non 2θs → θs = θs1

2θs + 180º → θs + 90º = θs2

s azpiindizeak tentsio ebakitzaile maximoko planoa izendatzen du, eta

90º bakoitzean errepikatuko da. θs eta θp erlazionatuz, (7) eta (8) ekuazioetatik,

bien arteko erlazioa:

tan2s=−1

tan2p=−cotan2p dela ondorioztatzen da

Hori garatuz

sin2scos2s

cos2psin2p

=0

sin2ssin2pcos2pcos2s=0

cos 2s−2p=0 (cos±90º=0º)

→ 2θs = 2θp ± 90º

θs = θp ± 45º

'Tentsio ebakitzaile maximoko planoak plano nagusiekiko 45º-ra kokatzen dira'

(4) transformazio-ekuazioan 2θs ordezkatuz, tentsio ebakitzaile maximoa

lortzen da:

x1y1=x− y

2 2

xy2 =max

Bestalde, σ1 eta σ2 tentsio nagusiak erabiliz tentsio ebakitzaile maximoa

lortzeko:

max=1−2

2

Oro har, tentsio ebakitzaile maximoko planoek tentsio normalak dituzte,

11/10/30 r3.2 MEE 6 - 9

ebakidura hutsaren kasuan ezik. σx1 ekuazioan θs ordezkatuz, haren balioa xy

planoko tentsio normalen batezbestekoa dela ondorioztatzen da:

s=med= xy

2

6.4 MOHR-EN ZIRKULUA TENTSIO LAUAN

Ondoko ekuazioak:

x1=xy

2 x− y

2cos 2xy sin2 (3)

x1y1=− x− y

2sin2xy cos 2 (4)

Mohr-en zirkulu (MZ) deritzon grafikoaren bitartez adieraz daitezke.

Horretarako, ekuazioak berrantolatuko ditugu:

x1−xy

2= x− y

2cos 2xy sin2

x1y1=− x− y

2sin2xy cos 2

Zirkunferentziaren ekuazioa,

(x – xc)2 + (y – yc)2 = R2

2θ parametro gisa erabiliz, adierazpen horiek zirkulu baten ekuazio

parametrikoak direla ohartzen gara. Ekuazioen bi aldeak ber bi eginez, parametroa

desagertzen da:

(σx1−σx+σy

2 )2

+τxy2 =(σx−σy

2 )2

+τxy2

Formulan ondokoak ordezkatuz: σmed=σx+σy

2 R=√(σx−σy

2 )2

+τxy2

(σx1−σmed)2+τx1y1

2 =R2

11/10/30 r3.2 MEE 6 - 10

A aurpegitik A1 aurpegira joateko, A → A1:

– elementua θ angelua biratu behar da

– zirkuluan 2θ angelua biratu behar da (A1 puntua)

Zirkuluko P1 puntuan, tentsio normalek balio maximoa lortzen dute, eta

tentsio ebakitzailea zero da. P1 puntua plano nagusi bat da.

Zirkuluan A-tik P1-era joateko 2θP1 angelua biratu behar da. Elementua

berriz, θP1 angelua biratu beharko da.

Tentsio nagusiaren balioa:

σ1=OC+CP1=σx+σy

2+R

R=√(σx−σy

2 )2

+τxy2 denez,

σ1=σx+σy

2+√(σx−σy

2 )2

+τ xy2

2θP1 angelua: cos 2θP1=

σx−σy

2R edo sin 2θP1=

τ xy

RS eta S1 puntuek tentsio ebakitzaile maximoko planoak adierazten dituzte,

eta zirkuluan P1-ekiko eta P2-ekiko 90º-ra kokatuak daude (elementuan 45º).

Tentsio ebakitzaile maximoaren balioa:

MAX=R= x−y

2 2

xy2

11/10/30 r3.2 MEE 6 - 11

6.4.1 Noranzkoak (OSO GARRANTZITSUA!)

MZ bi eratara marraztu daiteke. Lehenengoan, (ezkerreko irudia) σx1 tentsio

normal positiboak eskuinerantz kokatzen dira, eta x1y1 tentsio ebakitzaile

positiboak gorantz. Disposizio horren abantaila nagusia zera da: 2θ angeluaren

biraketa positiboak erlojuaren aurkako noranzkoa duela, transformazio-

ekuazioetan ondorioztatzeko erabili dugun irizpide berdina. Beste eran (eskuineko

irudia), x1y1 tentsio ebakitzaile positiboak beheranzko noranzkoa dauka, 2θ

angeluaren biraketa erlojuaren noranzkoa izanik, elementuan aplikatutako

biraketaren aurkakoa.

Biak dira matematikoki zuzenak, baina guk ezkerrekoa erabiliko dugu,

argiagoa baita. Horrela, elementuaren biraketaren noranzkoa eta MZrena bat

etorriko dira.

Tentsio ebakitzaileen zeinua definitzeko berriz, erreferentziatzat beraren

noranzkoa hartzen da. Tentsio ebakitzaileak elementuaren erdiko puntuarekiko

erloju-orratzen alderanzko biraketa sortzen badu positiboa da, eta, aurreko

irizpidearen arabera, MZren goialdean kokatuko da. Eta, alderantziz, erloju-

orratzen aurkako biraketa sortzen badu, MZren behealdean egongo da puntua.

11/10/30 r3.2 MEE 6 - 12

Irizpide horrek, positibo-negatibo kontzeptua barik biraketa kontuan hartzen

duenez, tentsio-egoera argiago azaltzen du.

6.4.2 Mohr-en zirkulua eraikitzeko pausoakPuntu bateko tentsio-egoera ezaguna izanik, MZ eraiki nahi da, tentsio eta

norabide nagusiak aztertzeaz gainera, edozein orientaziotan izango dituen

tentsioak ezagutzeko. Datu izango dira x, y eta xy .

1. Ardatz-sistema marraztu: horizontalean x1 ardatza izango da (positiboa

eskuinerantz) eta bertikalean x1y1 (positiboa gorantz)

2. C puntua aurkitu: C puntua MZren zentroa izango da, eta

(σC=σ x+σ y

2 , τx1y1=0) puntuan egongo da

3. A puntua aurkitu: A puntuak x aurpegiko tentsio-egoera adierazten du.

x1= x eta x1y1=−xy koordenatuetan dago (erlojuaren orratzen aurkako

norazkoa)

4. B puntua aurkitu: B puntuak berriz, y aurpegiko tentsio-egoera adierazten du,

eta x1y1= xy koordenatuetan dago (erlojuaren orratzen aldeko noranzkoa)

5. A eta B puntuak lotuz, AB lerroa zirkuluaren diametroa da, eta x ardatza C

puntuan ebakitzen du, C Mohrren zirkuluaren zentroa izanik. A eta B puntuak

90º-ra dauden elementuaren bi aurpegi dira

11/10/30 r3.2 MEE 6 - 13

6. C puntua zirkunferentziaren zentroa izanik, Mohren zirkulua marrazten da.

Haren erradioa formula honekin definitzen da:

OA=R=√(σx−σy

2 )2

+τxy2

7. P1 eta P2 zirkuluko puntuek plano nagusiak adierazten dituzte. Tentsio nagusien

norabidea lortzeko, MZn A-tik 1-era pasatzeko (irudiko adibidean!) erlojuaren

kontrako noranzkoan 2θ angelua biratu behar da, baita B-tik 2ra ere.

Elementuan, berriz, θ angelua biratu beharko da.

8. σ1 tentsio nagusiaren balioa: O1 zuzenaren luzera izango da. Irudia aztertuz: O1=OC+CA

OC=σx+σy

2eta OA=R=√(σx−σy

2 )2

+τ xy2 orduan,

O1=σx+σy

2+√(σx−σy

2 )2

+τ xy2

9. σ2 tentsio nagusien balioa, berriz O2 segmentuaren luzera da, eta haren

balioa:

O2=OC –CA=σx+σy

2−√(σx−σy

2 )2

+τxy2

6.4.3 MOHR-EN ZIRKULUARI BURUZKO IRUZKINAK- Plano bateko tentsio-egoera ezaguna bada, edozein planotako tentsio-egoera

ezaguna da MZ erabiliz, xy planoa bakarrik aztertzen ari garela (bi dimentsio,

tentsio laua), biratutako angeluak bikoitzak izanik (2θ) eta horien noranzkoa

kontuan hartuz.

- Tentsio uniaxial eta biaxialaren, eta ebakidura hutsaren kasuetan, MZ erraz

eraikitzen da.

- MZ eskalan marraztu, eta zuzenean erlazioak eta balioak lor daitezke hainbat

planotan. Teknika grafikoak gero eta gutxiago erabiltzen dira ingeniaritzan,

baina MZk begirada batean informazio asko eskaintzen du

- MZ deformazio-transformazioen azterketan ere erabil daiteke, hala nola inertzia-

momentuetan ere

11/10/30 r3.2 MEE 6 - 14

6.5 HOOKEREN LEGEA TENTSIO LAUAN

Orain arte, elementu lau baten orientazio-aldaketak aztertu dira estatika

bakarrik erabiliz eta materialaren propietateak kontuan hartu gabe. Orain,

materiala kontuan hartuko dugu. Demagun aztertzen ari garen materiala

honelakoa dela:

- homogeneoa: materiala uniformea da pieza osoan

- isotropoa: propietate berdinak ditu norabide guztietan

- portaera elastiko-lineala: Hookeren legea betetzen du

Baldintza horietan, elementuan tentsioaren eta deformazioen arteko erlazioa

aurkitu nahi da.

Kubo infinitesimal baten ertzen luzera-aldaketak aztertuko ditugu: x , y , z

1- Deformazioak tentsioen funtzioan aztertuz:

DATUAK: σx, σy, xy , G, eta E

EZEZAGUNAK: εx, εy, εz eta xy

(bi konstante independente daude: G= E2 (1+ν) )

Tentsio normalen eraginez, dagokion ardatza deformatzeaz gainera, beste

ardatzetako luzerak ere Poissonen erlazioaren arabera deformatuko dira,

−(ν/E )σx, y . xy ebakitzaileak berriz elementuan distortsioa sortzen du, eta z

aurpegia erronbo bihurtzen ( xy , deformazio angeluarra)

11/10/30 r3.2 MEE 6 - 15

ϵx=1E(σx−νσy )

ϵy=1E(σy−νσx) γxy=

τ xy

G

ϵz=−νE(σx+σy )

2 – Tentsioak ere kalkula daitezke deformazioak ezagunak badira:

DATUAK: εx, εy, εz, xy , G, eta E

EZEZAGUNAK: σx, σy eta xy

σx=E

(1−ν2)(ϵx+ν ϵy)

σy=E

(1−ν2)(ϵy+νϵx)

τxy=Gγxy

6.5.1 BOLUMEN-ALDAKETA UNITARIOAAurreko orrialdeko (6-15) irudia aztertuz:

– Hasierako bolumena: Vo = 1 · 1 · 1 = 1

– Bolumena kargapean: Vf = (1 + εx)(1 + εy)(1 + εz) = 1 + εx + εy+ εz

Luzera-aldaketa txikien arteko biderkadurak mespretxatzen dira.

– Orduan bolumen-aldaketa: ΔV = Vf – Vo = εx + εy+ εz

– Eta deformazio bolumetrikoa edo bolumen-aldaketa unitarioa:

e=ΔVV o

=ϵx+ϵy+ϵz

εx + εy+ εz ordezkatuz:

e= 1E(σx−νσy+σy−νσx−νσx−νσy)=

1E(σx−2 νσy+σy−2νσx)

e=ΔVV o

=1−2ν

E(σx+σy )

Ondorioz, materialak Hookeren legea betetzen badu, aurreko

adierazpenaren bidez edozein objekturen bolumen-aldaketa kalkula daiteke

gorputza bolumenean integratuz.

11/10/30 r3.2 MEE 6 - 16

6.5.2 DEFORMAZIO UNITARIOAREN NEURKETA

Erresistentzia elektrikoko galga estentsometrikoak erabiltzen dira pieza batean

gainazaleko deformazio unitarioak neurtzeko. Txikiak

dira (lekuko efektuak hobeto neurtzeko) eta piezaren

gainazalean itsasten dira. Gorputza kargapean

dagoenean, galgak ere deformatzen dira, eta haren

erresistentzia elektrikoa aldatu egiten da. Tentsioelektrikoaren aldaketa neurtuz (ΔV), deformazioak ezagutu daitezke, eta galgen

transformazio-ekuazioak erabiliz tentsioak. Zehaztasun handia eta erantzun

azkarra dira haien ezaugarri nagusiak (10-6 ordenako deformazio unitarioko

aldaketak neurtzeko gai dira)

6.5.3 TENTSIO EGOERA TRIAXIALA

Tentsio-egoera triaxialean,

σx, σy eta σz tentsioak agertzen

dira (tentsio nagusiak), tentsio

ebakitzaileak zero izanik. Egoera

hori oso berezia da, eta

presiopean dauden edukiontziak

dira egoera horren adibide.

Elementua OZ ardatzarekiko plano

paralelo batez ebakiz gero, plano inklinatuan σ

eta tentsioak agertuko dira. Horiek xy

planoan indarren oreka-ekuazioak planteatuz

definitzen dira, σz-rekiko independenteak

izanik.

Beraz, σ eta tentsioak kalkulatzean,

tentsio lauko transformazio-ekuazioak erabil daitezke eta baita MZ ere.

Ondorio berdinak lortzen dira, elementua x eta y ardatzekiko paraleloak

diren planoekin moztuz gero.

11/10/30 r3.2 MEE 6 - 17

z ardatzarekiko planoa // x ardatzarekiko planoa // y ardatzarekiko planoa //

TENTSIO EBAKITZAILE MAXIMOAK TENTSIO-EGOERA TRIAXIALEAN

(τmax)z=±σx−σy

2 (τmax)x=±

σy−σz

2 maxy=±

x− z

2

11/10/30 r3.2 MEE 6 - 18

HOOKEREN LEGEA TENTSIO-EGOERA TRIAXIALEAN

Deformazioak Tentsioak

ϵx=σx

E− ν

E(σy+σz) σx=

E(1+ν)(1−2ν)

[(1−ν)ϵx+ν(ϵy+ϵz)]

ϵy=σy

E− ν

E(σx+σz) σy=

E(1+ν)(1−2ν)

[(1−ν)ϵy+ν(ϵx+ϵz)]

ϵz=σz

E− ν

E(σx+σy) σz=

E(1+ν)(1−2 ν)

[(1−ν)ϵz+ν(ϵx+ϵy)]

BOLUMEN-ALDAKETA UNITARIOA

Vo = 1·1·1 = 1 V f=(1+ϵx )(1+ϵy )(1+ϵz)

Bolumen-aldaketa unitarioa

e=ΔVV o

=V f−V o

V o=

V f

V o−1

e=(1+ϵx )(1+ϵy )(1+ϵz)

1−1=ϵx+ϵy+ϵz

e=1−2νE

(σx+σy+σz)

6.6 PRESIOPEAN DAUDEN HORMA MEHEKO EDUKIONTZI ESFERIKO ETA ZILINDRIKOAK. TENTSIO BIAXIALA

Presiopean dauden edukiontziak, likido edo gasak gordetzen dituzten

egitura itxiak dira. Adibidez: likidoak gordetzeko tanke esferikoak, gas konprimitua

gordetzeko tanke zilindrikoak, presiopean dauden hodiak, eta abar.

Edukiontzien horma kurbadunak normalki oso meheak dira, diametroarekin

eta luzerarekin konparatuz. Egitura mekaniko horiei oskol deritze.

Baldintzak: - horma mehea, r > 10t (erradio/lodiera erlazioa)

- barne-presioa > kanpo-presioa (bestela, egitura barrurantz

eraits daiteke alboko gilborduraren eraginez)

11/10/30 r3.2 MEE 6 - 19

6.6.1 EDUKIONTZI ESFERIKOAKHauxe da barne-presioa jasateko edukiontzi ideala. Adibidez, xaboi-ponpak

esferikoak dira: energia minimoa eta erresistentzia maximoa dituen geometria da

esfera. Hormako tentsioa kalkulatzeko, esfera plano diametral bertikalean zatituko

dugu gasaren eragina aztertzeko.

Indarrak: - Presioa (barnekoa – kanpokoa) x Azalera (πr2)

- Tentsioa x Sekzioaren azalera: σ·2πr·t

Indarren oreka ΣFH = 0 → σ·2πr·t - Pπr2 = 0

σ=Pr2t

Ekuazio hori baliagarria da, esferaren zentrotik igarotzen den edozein

norabidetako plano ebakitzailearentzat.

Presiopean dagoen esferak σ tentsio uniformea jasango du norabide guztietan.

11/10/30 r3.2 MEE 6 - 20

Edukiontzi esferiko baten kanpo-azaleran, azalerarekiko tentsio normalik

ez da agertzen. Beraz, σx = σy den tentsio biaxialeko egoeran dago. Haren

MZa puntu batera murrizten da, edozein plano orientazio-plano nagusia izanik.

Tentsio nagusiak σ1 = σ2 = Pr/2t dira, eta tentsio ebakitzailea nulua da.

Kontuan hartu behar da elementua tridimentsionala dela eta σz = 0 dela.

Tentsio ebakitzailea planoan zero da (egoera biaxiala baita), baina ebakitzaile

maximoa x edo y ardatzean biratuz agertuko dira, haren balioa τmax=σ2=Pr

4t

izanik.

Edukiontzi esferiko baten hormaren barne-azaleran, elementuak, kanpo-

azaleran dituen tentsioez gainera, z norabidean P presioa jasaten du.

σ1=σ2=pr2t

σ3=−p τmax=σ+P

2=Pr

4t+P

2

OZ ardatzarekiko perpendikularra den planotan tentsio ebakitzailea zero

da edozein orientaziotan (xy planoan zero da). XZ edo YZ planoak biratuz,

tentsio ebakitzailea maximoa OZ-rekiko 45º-ra dago (90º MZan). r/t erlazioa

11/10/30 r3.2 MEE 6 - 21

oso handia bada, tentsio ebakitzaile maximoaren bigarren osagaia

mespretxa daiteke, eta orduan:

τmax=Pr4t (σ3 = -p mespretxatzearen baliokidea)

Edukiontziak gutxienez sarrera bat edukiko du, eta, horretaz gainera,

euskailuak eta hainbat osagarri. Horiek horman bermatzen direnez, tentsio-

kontzentrazioak sortzen dituzte, eta ondorioz horien inguruak indartu behar izaten

dira. Beraz, ekuazio horiek edukiontziaren edozein puntutan dira baliagarriak, ez-

jarraitutasun horien inguruetan ezik.

Edukiontzien diseinuan kontuan hartu beharreko beste faktoreak: korrosio-

efektuak, ezbeharren inpaktu eta prebentzioa, eta efektu termikoak (soldadurak,

eta abar).

6.6.3 EDUKIONTZI ZILINDRIKOAK

Horma-lodiera txikia duen edukiontzi zilindrikoa aztertuko da, kontuan izanik

bi aldeetako muturrak itxita daudela eta P barne-presioa jasaten duela.

σ1: tentsio tangentziala (uztai-tentsioa [zuncho])

σ2: luzetarako tentsioa edo axiala

Tentsio horiek oreka-ekuazioen bidez ondorioztatuko ditugu.

11/10/30 r3.2 MEE 6 - 22

Tentsio tangentziala, σ1

Edukiontzia ardatz axialean bertikalki

banatuz, m-n eta p-q:

P·b·2r – σ1·2b·t = 0 → σ1=Prt

Tentsio axiala, σ2

Ardatz axialarekiko elkarzut ebakiz:

P·πr2 = σ2·2πr·t → σ2=Pr2t

Bi tentsioak konparatuz, σ1 = 2σ2 dela ohartzen gara. Beraz, luzetarako

soldadurek zirkunferentzialen halako bi indartsuago izan beharko dute.

– Kanpo-azaleran agertzen diren tentsio nagusiak: σ1, σ2 eta σz =0

( τmax )z=σ1−σ2

2=σ1

4=Pr

4t

( τmax )x=σ1

2=

Pr2t

( τmax )y=σ2

2=Pr

4t

– Barne-azaleran, σ1, σ2, σ3 = -P

(τmax)z=σ1−σ2

2=Pr

4t

(τmax)x=σy−σz

2=

Prt+P

2=

Pr2t

+p2

(τmax)y=σx−σz

2=

Pr2t

+P

2=Pr

4t+p

2

11/10/30 r3.2 MEE 6 - 23

6.7 KARGA KONBINATUAK TENTSIO LAUAN

Egituren osagaiek normalki karga mota bat baino gehiago jasaten dituzte

aldi berean. Adibidez, bihurduran lan egiten duen ardatz batek makurdura eta

trakzioa jasan ditzake aldi berean.

Karga konbinatuak jasaten dituzten egitura-osagaien analisia karga

bakoitzak eragiten dituen tentsioen gainezarpenaren bidez azter daiteke.

Gainezarpena erabiltzea onargarria da, betiere tentsioek kargekiko portaera

lineala badute.

Analisia hasten da indar axialak, ebakitzaileak, makurdura-momentuak eta

bihurdurak sortutako tentsioak banaka aztertuz. Ondoren, tentsio horiek konbinatu

egiten dira, tentsio erresultanteak lortzeko. Behin puntu horretako tentsio-egoera

ezagututa, Mohrren zirkulua erabiliz tentsioak edozein orientaziotan tentsio

nagusiak kalkula daitezke transformazio-ekuazioak erabiliz.

Diseinatzean tentsio nagusiak eta tentsio ebakitzaile maximoak ezagutu

nahi dira, eta horiek materialaren tentsio onargarriarekin konparatzen dira

(hutsegite-irizpideak: Von Mises, Tresca).

Adibidez, habe landatu batek mutur librean P karga eta Mt bihurdura jasaten

ditu.

Sekzio bakoitzean, V, MF eta MT ezberdinak agertzen dira. A elementua

isolatuz, ondoko tentsioak jasaten ditu aurreko kargen ondorioz:

A σx=M f rI ln

τMt=M t rIP

eta barraren goialdean V=0

Hortik aurrera eta biratutako edozein planotan lor daitezke.

11/10/30 r3.2 MEE 6 - 24

σ1,2=σx

2±√(σx

2 )2

+τ2

max= x

2 2

2

eta horiek tentsio onargarri maximoekin konparatzen dira.

Aztertutako puntua landapenetik gertu badago, makurdura-momentua

handiagoa da. Beraz, A puntua landapenaren gainean aztertzea komeni da.

Aztertzeko beste puntu interesgarri bat lerro neutroko B puntua da:

B x=0

τMt=M t rIP

eta τV=4V3A beraz, τ=τMt+τV=

M t rIP

+4V3A

B elementuak ebakitzaile hutsean lan egiten du:

Egiturako analisi-puntuak aukeratzean, tentsio normal edo ebakitzaileak

maximoak diren posizioek dute interes berezia. Aukeraketa on baten bidez, tentsio

maximo absolutuak lor daitezke, puntu asko aztertu beharrik izan gabe.

11/10/30 r3.2 MEE 6 - 25

6.8 TENTSIO NAGUSIAK HABEETAN

Habe batean, tentsio normala: σ=My

I

tentsio ebakitzailea: τ=VQbI

Tentsio makurtzailea, σ, sekzioan LNtik urrunen dauden puntuetan da

maximoa, eta zero da LN-n.

Tentsio ebakitzailea, τ, nulua da LNtik urrunen dauden puntuetan, eta

maximoa LN-n,

Kasu askotan, egitura bat diseinatzean, tentsio horiek aztertzea nahikoa

izaten da. Hala ere, analisi sakonago batek puntu guztietan tentsio nagusi eta

ebakitzaile maximoak aztertzea eskatzen du.

Sekzio bateko bost puntu aztertuko ditugu: A, B, C, D eta E.

σ=MyI ln

τ=VQbI ln

(uniaxiala muturretan, ebakitzaile hutsa zentroan)

11/10/30 r3.2 MEE 6 - 26

Eskemak aztertuz, tentsio nagusien bilakaera erakusten dute sekzioan

zehar.

Habearen goialdean, konpresio-tentsio nagusiak norabide horizontalean

11/10/30 r3.2 MEE 6 - 27

jarduten du. LNrantz hurbiltzen garen heinean, tentsio-egoera biratuz doa, LN-n

45º-ra iristeraino arte. Bertan konpresio-tentsioa desagertu eta tentsio-egoera MZn

ardatz bertikalean agertzen zaigu, tentsio ebakitzaile huts bihurtuz. Beherantz

jarraituz gero, tentsio nagusiaren norabidea horizontalerantz bueltatzen da, trakzio

hutseko egoera lortzeraino. Tentsio-egoera linealki aldatzen da goitik behera.

Tentsioak habearen puntu guztietan aztertuz, tentsio nagusien bilakaera

zehaztu daiteke. Tentsio-egoera adierazteko, bi kurba mota erabiltzen dira.

Grafikoetako tentsioen ibilbideek kurba ortogonalek tentsio nagusien

norabideak adierazten dituzte. Irudiko adibidean (ezkerrekoa), lerro jarraituek

trakzio-tentsio nagusiak adierazten dituzte, eta ez-jarraituek konpresiozkoak. Bi

kurbak beti elkarzut ebakitzen dira. Habeko goiko eta beheko azaleretan, tentsio

ebakitzailea zero izanik, ibilbideak horizontalak edo bertikalak dira.

Tentsioen ingurune grafikoetan (contorno de tensiones), berriz, tentsio

nagusi berdineko puntuak lotzen dira (eskuineko irudia).

Lerro jarraituek trakzio-tentsio nagusiak adierazten dituzte; lerro ez-jarraituak, berriz, konpresio

tentsio nagusiak dira; ezkerreko irudian, tentsioen ibilbideak eta eskuinekoan, tentsioen ingurunea.

6.9 EBAKIDURA LAUKIZUZENEKO HABEEN DISEINUA

Habe baten diseinuan, makurdura-momentuaren balio maximo absolutua

zer sekziotan dagoen identifikatzea erabakigarria da, hark sortzen baititu

gainazalean (normalki) tentsio normal maximoak. Ondoko formulak definitzen du:

σMAX=M ·yMAX

I ln

11/10/30 r3.2 MEE 6 - 28

Profil mota batzuetan, σx tentsio maximoa sekzioaren barnean ager daiteke.

Horrez gainera, kasu batzuetan indar ebakitzaileek, IVMAXI, makurdura-

momentuek, IMMAXI baino garrantzia handiagoa dute.

Habe baten diseinuan faktore horiek guztiak kontuan hartu behar dira,

profilik egokiena aukeratzeko. Tentsio onargarria berdina izanda, material

berdineko habeen artean luzera unitateko pisu gutxien duen profila aukeratu behar

da, merkeena izango baita.

Diseinuak pauso hauek ditu:

1. Aukeratutako materialarentzat onarg eta onarg balioak propietateen

tauletatik eskuratzen dira, edo diseinu-eskakizunek definituak daude,

haustura- edo isurpen-tentsioak segurtasun-koefizienteaz zatituz

2. Indar ebakitzaile eta makurdura-momentuen diagramak marrazten dira

diseinuko kargen arabera, eta IVMAXI eta IMMAXI agertzen diren sekzioak

identifikatzen dira.

3. Habearen diseinua, makurdura-momentu maximoa dagoen sekzioan,

y = ±h/2 gainazaleko tentsio normalak definitzen du. Sekzioaren modulu

erresistente minimo onargarria definitzen da: S=I z

h /2. σmax σonarg-z

ordezkatuz, Smin=IM MAX Iσonarg

lortzen da4. Habeen profilen artean, S > Smin direnak bakarrik hartzen dira kontuan, eta

talde horretatik pisu espezifiko txikiena duena aukeratzen da. Profil hori

izango da ekonomikoena, eta σmax ≤ σonarg erlazioa beteko da. Hala ere, ez

da beti S balio txikiena duena aukeratzen, aukeraketan beste faktore batzuk

ere kontuan hartzen baitira, hala nola profilaren altuera-muga edo habearen

deformazio onargarria.

5. Orain aukeratutako profilak indar ebakitzaile maximoa jasaten duen

frogatuko da. Kasu orokorrean, tentsio ebakitzaile maximoaren balioa:

τmax=I V max I Q

b·I ln

Sekzio laukizuzena bada, τmax=32

IV max IA

eta T-bikoitz eta hegal zabaleko T-bikoitz profiletan esfortzu ebakitzaile

11/10/30 r3.2 MEE 6 - 29

guztia ariman banatua dagoela joz:

τmax=I V max IAarima

max≥onarg bada, aukeratutako profila egokia da. Kontrako kasuan

hurrengo neurriarekin saiatu edo profil mota aldatu beharko da.

6. IPN, IPE eta HEB profilen kasuan beharrezkoa da frogatzea arimen eta

hegalen arteko lotunean tentsio maximoak onargarria ez duela gainditzen.

Aurreko diseinu-prozedura trakzio- eta konpresio-tentsio onargarri berdinak

dituzten materialentzat definitu da. Trakzio eta konpresio σonarg-ak ezberdinak

badira, profilaren aukeraketan bakoitza bere aldetik aztertu beharko da.

Profila LNrekiko simetrikoa ez bada, trakzio- eta konpresio-tentsio

maximoek ez dute zertan IMMAXI den sekzioan agertu beharrik. Bat IMMAXI den

lekuan eta bestea IMMINI-an agertuko da. Horrela, bigarren pausoari IMMAXI-aren

eta IMMINI-aren kalkulua gehitu behar zaio, eta hirugarrenak trakzio- eta konpresio-

tentsioak kontuan hartuko ditu.

6.10 INDAR ZENTRIFUGOAREN ERAGINA ERAZTUNETAN

Uniformeki banatua dagoen indar erradiala eraztun mehe zirkular baten

perimetroan aplikatua badago, eraztunean luzapen uniforme bat gertatzen da.

Eraztunean gertatzen den luzapen-indarra definitzeko, plano diametral batean

moztu eta solido askearen oreka-ekuazioak aplikatuko dizkiogu:

11/10/30 r3.2 MEE 6 - 30

dP=q· r · dρ → P=∫q · r · sinρ ·d ρ=q ·2r ·1 (0tik π2

ra)

σ= P2A

=q ·2r ·12·t ·1

=qrt

q: karga uniformea zirkunferentziaren luzera unitateko

r: zirkunferentziaren erradioa

Fz INDAR ZENTRIFUGOAK SORTUTAKO TENTSIOA

q=m·ω2 · r=m· v2

r

P2=

q·2r2

=q· r baina q=m· v2

r→

P2=m· v2

r· r=γ

g· A·v 2

σ=P /2

A=γg

· Av 2

A=γg

·v 2

non, m: masa luzera unitateko

q: Fz luzera unitateko

γ : pisu espezifikoa

6.11 MAKURDURA ETA BIHURDURA KONBINATUAK ARDATZ ZIRKULARRETAN

Transmisio-ardatzen aplikazio praktikoetan, ohikoa da ardatza aldi berean

makurdura- eta bihurdura-momentuen pean egotea.

Polea, engranaje edo bolante batek ardatz bati eragindako indarrek

makurdura eta bihurdura sortzen dituzte. Adibidez, ondorengo irudiak mutur

batean landatua dagoen ardatz zirkular bat erakusten digu, beste muturrean P

indar bertikala ardatzetik R distantziara aplikatua dagoela.

11/10/30 r3.2 MEE 6 - 31

Kasu honetan, indar bertikalak ardatzean bi karga sortuko ditu: Mt bihurdura-

momentua (Mt = P R), eta P indar ebakitzailea aske dagoen muturrean.

Bihurdura-momentua konstantea da ardatzean zehar. P indar ebakitzaileak,

berriz, landapenera dagoen distantziarekiko proportzionala den makurdura-

momentu aldakorra sortzen du (Mf = -P (L – x)).

Ardatzean eragindako tentsio maximoa aztertzeko, Mt-k, Mf-k eta V-k

sortutako tentsioak kontuan hartu beharko dira,

1. Mt bihurdura-momentuak sortutako tentsio ebakitzaileak (ardatz osoan

konstante)

τmax=M t

0,2d3=M t

πd 3

16

=M t

2Z f=

M t

Z t (ebakitzaile maximoa gainazalean)

non Zt = 0,2 d3 eta Zf = 0,1 d3 modulu erresistentea baita

[τ= Mt r12π r 4

=M t

12π r 3

=M t

12π(d

2)3=

Mt

πd 3

16

=Mt

0,2d3 ]11/10/30 r3.2 MEE 6 - 32

2. Mf makurdura-momentuak sortutako tentsio normalak (maximoa

landapenean)

σmax=M f

πd 3

32

=M f

0,1d 3=M f

Z f (maximoa gainazalean, ±ymax)

[σ=M f rIz

=M f r14π r 4

=Mf

14π r 3

=M f

14π d3

8

=Mf

πd 3

32

=M f

0,1d 3 ]3. V ebakitzaileak sortutako tentsio ebakitzailea

τmax=43

VA=4

3Pπd2

4

[τ=V y Qz

ty I z=

P 23

r 3

2r(14π r 4)

=43

P(π r 2) ]

y 1=4r3π

A1=π r 2

2

Qz=π r 2

24r3π

=32

r 3

V-k sortutako tentsio ebakitzaileek normalki bigarren mailako garrantzia

dute. Haren balio maximoa sekzioaren LN-n kokatzen da, makurdurak eraginik ez

duen puntuan.

11/10/30 r3.2 MEE 6 - 33

Landapenean, goiko gainazaleko puntuan agertzen diren tentsioak:

σmax=σx

2+√(σx

2 )2

+τ2=σx

2+1

2 √σx2+4 τ2

σmax=Mf

2z+1

2 √(M f

z )2

+4(M t

2z)2

= 12z (M f+√M f

2+Mt2)=

12 (M f+√M f

2+M t2)

z=

M fIDEALA

z

Lortutako σMAX Mf baliokide (ideal) batek makurdura hutsean lortutako balio

berdina dela ondorioztatzen da, non Mf baliokide horren balioa baita:

M fi=1

2 (M f+√M f2+M t

2)

Tentsio ebakitzaile maximoa, τMAX Mohrren zirkuluan aztertuz:

τMAX = MZ erradioa = MZ diametroa2

=σMAX−σmin

2

σMAX=1

2zf(M f+√M f

2+M t2) σmin=

12zf

(M f−√Mf2+M t

2)

τMAX=√M f

2+M t2

2zfτMAX=

MtIDEALA

zt non zt = 2 zf

Ardatzak egiteko erabiltzen diren metal harikorretan normalki

MAXonarg=0,55·MAX

onarg denez, diametroa zehazteko tentsio ebakitzaile maximoa erabili

ohi da irizpide gisa.

τMAX τonarg-rekin berdinduz:

τMAX = τonarg τMAXonarg=√M f

2+M t2

πd 3

16

→ d=3√16√M f2+Mt

2

π τMAXonarg

11/10/30 r3.2 MEE 6 - 34

7. GAIA MAKURDURAK HABETAN ERAGINDAKO DEFORMAZIOAK

7.1 SARRERA7.2 DEFLEXIO-KURBAREN EKUAZIO DIFERENTZIALA7.3 DEFLEXIO-KURBAREN EKUAZIO DIFERENTZIALAREN INTEGRAZIO

BIKOITZA7.4 MOHR-EN TEOREMAK

7.4.1 Mohr-en 1. teorema7.4.2 Mohr-en 2. teorema

7.5 HABE KONJOKATUAREN METODOA7.5.1 Mohr-en 3. teorema edo habe konjokatuaren 1.a7.5.2 Mohr-en 4. teorema edo habe konjokatuaren 2.a

7.6 GAINJARPEN-PRINTZIPIOA7.7 SEKZIO ALDAKORREKO HABEAK (habe ez-prismatikoak)

7.1 SARRERA

Habe bat kargatzean, hasieran zuzena zen luzetarako ardatza kurba-forma

hartuz deformatzen da, eta deformazio-kurba horri deflexio-kurba, makurdura-kurba edo kurba elastiko deituko diogu. Gai honetan, deflexio-kurbaren ekuazioa

nola lortzen den azalduko da, ondoren habearen ardatzean zehar puntu

zehatzetan deflexioa kalkulatzeko baliagarria izango dena. Deflexioen kalkulua

oso garrantzitsua da estatikoki lan egiten duten habe eta egituretan. Egoera

zehaztugabeak hurrengo gaian aztertuko dira.

7.2 DEFLEXIO-KURBAREN EKUAZIO DIFERENTZIALA

xy planoa simetria-planoa bada eta karga plano horretan aplikatua badago,

orduan xy planoa makurdura-planoa izango da.

DEFLEXIOA (y): y norabidean puntu baten translazioa (desplazamendua), x

ardatzetik deflexio-kurbara neurtua.

11/10/30 r3.2 MEE 7 - 1

BIRAKETA-ANGELUA (θ): x ardatzak eta deflexio-kurbaren tangenteak

definitzen duten angelua.

arkua: ds = ρ · d θ

κ kurbadura: κ=1ρ=d θ

ds

ρ kurbadura erradioa izanik

tanθ=dydx → θ=arctan(dy

dx ) azken horrek malda adierazten du

ds · cos θ = dx → ds= dxcosθ

cos θ ≈ 1 denean, θ oso txikia da eta, beraz, tanθ≃θ=dydx

→ ds=dx

κ=1ρ=d θ

ds=d 2 y

dx2 kurbadura

11/10/30 r3.2 MEE 7 - 2

Materiala elastiko-lineala bada eta Hookeren legea betetzen badu, orduan

kurbadura: κ=1ρ=− M

EI(ikus 5. gaia). Lehen lortutako kurbaduraren

ekuazioarekin erlazionatuz:

d 2 ydx2 = d θ

dx2=− MEI (1) DEFLEXIO-KURBAREN EKUAZIO DIFERENTZIALA

Ikurren hitzarmena gogoratuz:

Eta (1) ekuazioa diferentziatuz:

d 3 ydx3 =−

( dMdx )EI

=− VEI

eta d 4 ydx 4 =−

(dVdx )EI

= qEI

Deflexio-kurbaren ekuazioak lortzeko (biraketa eta desplazamendua),

hainbat aldiz integratu beharko da.

θ=dydx

=∫− MEI

dx+C1 biratutako angelua

y=∫∫[− MIE

dx ]dx+C1 x+C2 gezia

7.3 DEFLEXIO-KURBAREN EKUAZIO DIFERENTZIALAREN INTEGRAZIO BIKOITZA

d 2 ydx2 =−

MEI (1) ekuazioa bigarren mailako ekuazio diferentziala da; beraz,

hura askatzeko bitan integratu behar da.

PAUSOAK

- Makurdura-momentuaren ekuazioa formulatu luzerarekiko.

Karga edo sekzioa bat-batean aldatzen bada, adierazpen banatuak

egongo dira habe zati bakoitzarentzat. Zati bakoitzean M-ren adierazpena

ordezkatzen da ekuazio diferentzialean.

- Lehen integrazioak θ=dydx angeluaren adierazpena lortzen du, eta C1 integrazio

11/10/30 r3.2 MEE 7 - 3

konstantea ezezagun gisa agertzen da.

- Bigarren integrazioak y deflexioaren adierazpena ematen du, oraingoan C2

integrazio konstantea agertuz

- C1 eta C2 integrazio konstanteak kalkulatzeko, euskarrietako mugalde-

baldintzak (y eta y '=dydx

=θ ) eta integrazio-eremuan jarraitasun-baldintzak

(y eta y') aplikatzen dira. Baldintza bakoitzak konstante bat edo bi jasotzen

dituen ekuazio bat eskaintzen du. Baldintza kopurua konstante kopuruarekin

egokitzen denez, ekuazio-sistema askatuz lortzen dira konstanteen balioak.

Konstante horiek ekuazioan ordezkatuz, deflexio-kurbaren ekuazio orokorrak

lortzen dira.

Deflexioak lortzeko era horri segidako integrazio-metodo deritzo.

Adibideak:

1) C1 → θ=dxdx

=0 x=L2

C2 → x = 0 → y = 0

x = L → y = 0

2) C1 → θ = 0 → x = 0

C2 → x = 0 → y = 0

3) C1 → x = a → θ1 = 0

C2 → x = a → y1 = 0

C3 → x = 0 → y = 0

C4 → x = L → y = 0

11/10/30 r3.2 MEE 7 - 4

7.4 MOHR-EN TEOREMAK

Integralaren esanahi matematikoa funtzio batek sortutako azalera denez,

makurdura-momentuaren diagramako azaleraren propietateak erabiltzen ditu.

Bereziki erabilgarria da, puntu jakin batean θ angelua eta y gezia ezagutu nahi

direnean.

7.4.1 MOHR-EN LEHEN TEOREMA

A eta B habearen

makurdura-kurbako

edozein bi puntu badira,

A eta B puntuen

tangenteek osatzen duten

angelua zera izango da:

makurdura-momentuen

diagraman bi puntu

horien artean dagoen

azalera zati habearen

makurdurarekikozurruntasuna.

θB /A=S

EIz

κ=1ρ=d θ

ds≈ d θ

dx=−

MEI

d θ=M · dx

EI=

dsEI

θB /A=∫A

B

d θ=∫xA

xB MEI

dx=[ MEI

(xA−xB)]x A

xB

= SEI (radianetan!!)

Lehen teoremaren aplikazioa:

Mutur bat landatua eta bestea libre duten habeen biraketa-angelua lortzeko:

11/10/30 r3.2 MEE 7 - 5

θB /A=SAB

EI=

12

P ·L· L

EI

Adibideak:

θB? θB?

7.4.2 MOHR-EN BIGARREN TEOREMA

A eta B makurdura-

kurbako bi puntu badira,

B-tik A-ren tangentera

dagoen distantzia honela

lortzen da: momentuen

diagraman A eta B

puntuen arteko

azaleraren B-rekiko

momentu estatikoa (A eta

B puntuen arteko

makurdura-momentuen

diagramako azalera bider azaleraren grabitate-zentroarekiko distantzia) zati habearen zurruntasuna.

δB /A=S · xG

EI , xG=x B puntutik momentuen azaleraren GZrako distantzia izanik

OHARRA: B-tik A-ren tangentera distantzia norabide bertikalean neurtuko da.

11/10/30 r3.2 MEE 7 - 6

d δB/ A=x 1· d θ , eta d θ=MEI

d x denez, d δ=x 1MEI

d x

δB /A=∫A

B

d δ=∫xA

xB

x 1MEI

dx=∫x A

x B

(x B−x ) MEI

dx=SAB xG (B )

EI

Bigarren teoremaren aplikazio zuzena: Mutur bat landatua eta bestea libre

dituzten habeetan gezia kalkulatzeko balio du.

δB /A=[1

2P · L ·L]· 2

3L

EI

δB? δB?

7.5 HABE KONJOKATUAREN METODOA

Makurdura bakunean dauden habeetan, puntu bateko eta lor daitezke

habe konjokatuan puntu horretan estatikako ekuazioak aplikatuz.

Hasieran karga-egoera jakin bat jasaten duen habea izango dugu. Horri

jatorrizko habe (viga primitiva) deituko diogu.

Haren habe konjokatuaren karga izango da karga errealek habean sortzen

duten makurdura-momentuen diagrama. Habearen makurdura-momentuen

11/10/30 r3.2 MEE 7 - 7

diagrama kalkulatu ondoren, EIz zurruntasunaz zatituz habe konjokatuaren q'

karga-diagrama lortzen da. Ondorioz, habe konjokatuak M/EIz indar-sistema

banatua jasaten du.

M (+) --> Indar banatua berantz (↓)

M (-) --> Indar banatua gorantz (↑)

Habe konjokatuaren puntu bateko indar ebakitzailea jatorrizko habean puntu

horrek duen tangentearen angelua da, eta puntu horretako makurdura-momentua

habearen gezia da. Metodo hori Mohrren teoremen erabilera ezkutua da.

- HABE KONJOKATUAREN PROPIETATEA

“Jatorrizko habeak bermapuntu batean biratutako angelua habe konjokatuan

bermapuntu horren erreakzioa zati habearen zurruntasuna izango da”

θA=RA

'

EI, non R'A habe konjokatuan oreka planteatuz:

∑MB' =0 RA

' L=12

PabL

a(13

a+b)+12

PabL (2

3b)

Frogapena: Demagun bi muturretan bermatua dagoen habe bat dugula.

Haren habe konjokatua haren momentuen diagrama jasango duen habe berdina

izango da. Jatorrizko habeko A puntuak biratutako angelua θA Mohrren teoremak

aplikatuz:

θA=δB / A

L (integratzean momentuen diagramaren azalera kalkulatzen da)

baina δB /A=SB /A · xG

EIdenez, orduan θA=

1L

·SB / A· xG

EI

11/10/30 r3.2 MEE 7 - 8

eta R'A1 erreakzioa habe konjokatuan:

RA1' =

SB /A· xG

L, beraz, θA=

1L

·RA1

' ·LEI

=R A1

'

EI

Adibideak

1. ∑M B' =0

(habe konjokatuan)

R1' ·L−

12

ML· 23

L=0

R1' =

13

ML

∑M A' =0

R2' · L−

12

ML· 23

L=0

R2' =

16

ML

2.

11/10/30 r3.2 MEE 7 - 9

3. Azalera osoa = 0 θA(-) θB(+)∑M B

' =0

R1' ·L−

18

ML·(L2+

13

· L2)+1

8ML(2

3· L

2)=0

R1' =

ML12

−ML24

=ML24

R2' =

ML24

7.5.1 MOHRREN 3. TEOREMA EDO HABE KONJOKATUAREN 1. TEOREMA

Soilki bermatua dagoen habe bateko puntu bateko tangentearen angelua zera da:

haren habe konjokatuak puntu horretan jasaten duen indar ebakitzailea zati

habearen zurruntasuna.

FROGAPENA

AB habea soilki bermatua badago, C puntuan tangentearen angelua

θC = θA – θA/C izango da. Habe konjokatuaren propietatearengatik:

θA=R1

'

EI

11/10/30 r3.2 MEE 7 - 10

eta Mohrren 1. teoremaren arabera: θA /C=SC

EI

Beraz, θC=R1

'

EI−

SC

EI, baina R1 - SC = VC → θC=

V C'

EI

Aplikazioa: Mohrren 3. teoremak soilki bermatuak dauden habeetan

biraketa-angeluak lortzeko balio du.

Adibideak: θC?

θA?

θMAX?

7.5.2 MOHR-EN 4. TEOREMA EDO HABE KONJOKATUAREN 2. TEOREMA

Soilki bermatua dagoen habe batean edozein puntutako gezia zera da habe

konjokatuan: puntu horretan dagoen makurdura-momentua zati habearen

zurruntasuna da

FROGAPENA:

AB habea aztertuz, C puntuan gezia:

yC = θA x - yC/A

θA=R ' 1

EI eta y C/ A=

SC · xG

EI

direnez:

→ yC=R1

' · xEI

−SC ·x G

EI=

M C'

EI

11/10/30 r3.2 MEE 7 - 11

Aplikazioa: Soilki bermatutako habeetan gezia edozein sekziotan

kalkulatzeko balio du.

ad, yC? yMAX?

BERMA-BALDINTZAK ANTZINAKO HABEA → HABE KONJOKATUA

BERMAPUNTU SOILAy = 0 θ ≠ 0

BERMAPUNTU SOILAM' = 0 V' ≠ 0

LANDAPENAy = 0 θ = 0

HEGALKINAM' = 0 V' =0

HEGALKINAy ≠ 0 θ ≠ 0

LANDAPENAM' ≠ 0 V' ≠ 0

GILTZADURAy1 = y2 θ1 ≠ θ2

TARTEKO BERMAPUNTUAM1' = M2' V1' ≠ V2'

TARTEKO BERMAPUNTUAy = 0 θ1 = θ2

GILTZADURAM' = 0 V1' = V2'

11/10/30 r3.2 MEE 7 - 12

7.6 GAINJARPEN-PRINTZIPIOA

Egitura batean kargen konbinazioaren efektua karga bakoitza bere aldetik

aztertu eta emaitzak batuz lor daiteke, ondorengo baldintzak betetzen badira:

1- Efektu bakoitza linealki erlazionatua dago sortu duen kargarekin.

2- Edozein kargak sortzen duen deformazioa txikia da, eta beste kargen

aplikazioan ez du eraginik.

Karga multiaxialen kasuan, materialaren proportzionaltasun-muga

gainditzen ez bada lehen baldintza betetzen da. Eta bigarrena betetzeko nahikoa

da edozein sekziotan aplikatutako kargek beste sekzioetan sortutako

deformazioak haien tentsioen kalkuluan eraginik ez izatea.

Adibidea:

Gainjarpena oso erabilerraza da, karga-sistema ezagunak diren karga-

baldintzetan banatzen bada, horien deflexioak ezagunak izanik.

R1' =

13

M 1L+16

M 2L R2' =

16

M 1L+13

M 2L

Gainjarpen-printzipioa oso erabilia da Materialen Mekanikan (MEE), eta

11/10/30 r3.2 MEE 7 - 13

onargarria da aztertzen den propietatea aplikatutako kargekiko lineala bada.

Habeen deflexioen kasuan, gainjarpen-printzipioa baliagarria da, materialak

Hookeren legea betetzen badu eta sekzioetan biraketa-angeluak eta geziak txikiak

badira.

– Angelu txikien baldintzak kurba elastikoaren ekuazio diferentzialaren

linealtasuna bermatzen du.

– Gezi txikien baldintzak bermatzen du kargen akzio-lerroak eta erreakzioak

era adierazgarrian ez direla aldatuko.

7.7 SEKZIO ALDAKORREKO HABEAK(habe ez-prismatikoak)

Orain arte habe prismatikoetan erabili diren metodoak habe ez-

prismatikoetan ere erabil daitezke y eta θ lortzeko.

Ondoko habeak, adibidez:

Habe batek bere zeharkako sekzioan aldaketa bortitza badauka, sekzio

horretan tentsio-kontzentrazioak agertuko dira. Hala ere, tentsio lokal horiek ez

dute gezien kalkuluan eragin nabarmenik izango.

Habe koniko batean, orain arte erabilitako habe prismatikoen teknikek

emaitza nahiko onak ematen dituzte, betiere konoaren angelua txikia bada.

Adibidea. Kalkulatu ondorengo habea kurba elastikoaren ekuazio

diferentzialaren bidez:

11/10/30 r3.2 MEE 7 - 14

Datuak: P, L, E, I

1. METODOA: KURBA ELASTIKOAREN EKUAZIO DIFERENTZIALA

(ad)

2. METODOA: MOHRREN TEOREMAK

(ad)

Habearen kurbadura 1ρ=M

EIda. Habearen inertzia-momentua konstantea

ez bada ere (Iz ≠ kte), konstantea dela joko dugu:

Adibidean, inertzia-momentua 2Iz-tik Iz-ra txikitzean, kurbadura berdina

mantentzeko1ρ= M

E · 2I=

M /2EI makurdura-momentua proportzio berdinean gutxitu

beharko da.

3. METODOA: GAINJARPEN-PRINTZIPIOA

(ad)

11/10/30 r3.2 MEE 7 - 15

8. GAIA HABE HIPERESTATIKOAK

8.1 SARRERA

8.2 DEFLEXIO-KURBAREN EKUAZIO DIFERENTZIALAK

ERABILIZ EGINIKO ANALISIA

8.3 MOHR-EN TEOREMAK ETA GAINJARPEN PRINTZIPIOA

ERABILIZ EGINIKO ANALISIA

8.4 HABE JARRAITUAK

8.1 SARRERA

Habe hiperestatikoetan, estatikako ekuazioak aplikatzean, oreka lortzeko

beharrezkoak diren baino erreakzio gehiago agertzen dira.

– Habe isostatikoetan: erreakzioak ezagutuz V, M → θ, y

– Habe hiperestatikoetan: estatikako oreka-ekuazioak ez dira nahikoak

erreakzioak lortzeko. Ekuazio osagarriak beharko dira oreka-ekuazioak

osatzeko, deformazioetan oinarriturik

Hiperestatikotasun-maila: ezezagun kopurua – ekuazio kopurua

Soberan dauden erreakzioak → soberakin estatikoak

HABE HIPERESTATIKOEN ADIBIDEAK

1-

Hiperestatikotasun-maila = 4 ezezagun – 3 ekuazio = 1 soberakin estatiko

(soberan dagoen erreakzio bat)

h = 4 err. - 3 ek. = 1

11/10/30 r3.2 MEE 8 - 1

Erreakzio bat indar (VB) edo momentu (MA) batez ordezkatuz egitura askatua edo lehen mailako egitura (estructura liberada o primaria) lortzen da.

2-

h = 6 err. – 3 ek. = 3

Egitura askatua edo lehen mailako egitura lortzeko, sei erreakzioetako hiru

aukeratu, eta hiru indar edo momentuz ordezkatu behar da (adibide honetan, MB,

HB, VB edo MA, MB, HB).

3-

h = 4 err. - 3 ek. = 1

Ezezaguna den erreakzioetako bat indar batez ordezkatu beharko da.

Egitura askatu ondoren, indar edo momentu ezezagun horien balioak

ezagutzeko, habearen deformazioan haien eragina erabiliko da baldintza gisa.

Helburua: soberako erreakzioak kalkulatzea, eta behin erreakzioak

ezagututa → σ, y, θ (tentsioak, geziak, angeluak).

11/10/30 r3.2 MEE 8 - 2

8.2 DEFLEXIO-KURBAREN EKUAZIO DIFERENTZIALAK ERABILIZ EGINIKO ANALISIA

Prozedura estatikoki definitua dagoen habearen antzekoa da.

1- Ekuazio diferentziala planteatu.

2- Bitan integratu, haren emaitza orokorra lortzeko.

3- Ingurune-baldintzak aplikatu, integrazio konstanteak lortzeko.

Beti egongo dira nahiko ingurune-baldintza, ez bakarrik konstanteak

lortzeko, baita soberako erreakzioak lortzeko ere.

Adibidea:

soberako erreakzioa VB aukeratuz (edo MA)

8.3 MOHR-EN TEOREMAK ETA GAINJARPEN-PRINTZIPIOA ERABILIZ EGINIKO ANALISIA

PROZEDURA:

1. Soberako erreakzioak zein diren zehaztuz hasiko gara.

2. Ondoren soberan dauden erreakzioei dagozkien bermapuntuak/landapenak

kentzen dira.

3. Soberako erreakzioei dagozkien desplazamenduak edo biraketak

zehaztuko ditugu (ingurune-baldintzak).

4. Gainjarpen-printzipioa aplikatuz, puntu bateko desplazamendua karga

11/10/30 r3.2 MEE 8 - 3

errealek eta soberakoek puntu horretan sortutakoak batuz lortzen da.

5. Soberan dauden bermapuntuen kasuan, desplazamenduen batura zero

izango da. Soberako landapenen kasuan, berriz, habeak biratutako angelua

ere zero izango da.

6. Aurretik definitu diren desplazamenduen ekuazioetan ingurune-baldintza

horiek aplikatuz (desplazamendua zero edo/eta angelua zero), soberako

erreakzioen balioa kalkulatzen da.

7. Gainerako ekuazioak oreka-ekuazioen bidez definitzen dira.

Adibidea:

soberako erreakzioa VB aukeratuz (edo MA)

8.4 HABE JARRAITUAK

Bi bermapuntu baino gehiago dituzten habeak, habe jarraitu deritze, eta

ohikoa da industria-eraikin, hodi, zubi eta bestelako egituretan horiek aurkitzea.

Kargak bertikalak badira eta deformazio axialik ez badago, orduan erreakzio

guztiak bertikalak izango dira.

Normalki bermapuntu horietako bat finkoa da, eta besteak labainkorrak dira.

Orduan, erreakzio kopuruak bermapuntu kopuruarekin bat egingo du, eta

11/10/30 r3.2 MEE 8 - 4

hiperestatikotasun-maila tarteko bermapuntu kopurua izango da, barnean geratzen

direnak (kopuru osoa ken bi).

Aurreko irudiko habean: - erreakzio kopurua: 5

- hiperestatikotasun-maila: 3

Lehen aipatutako edozein metodorekin azter badaiteke ere, erabilgarriena

gainjarpen-metodoa da (Mohrren teoremekin batera). Horrela, hiru momentuen metodoa garatuko dugu, habe jarraituak era sistematizatuan askatzea

ahalbidetuko baitigu.

Tarteko bermapuntu bakoitza analizatuko dugu, bermapuntuaren bi aldeetan

dauden habe zatiak aztertuz. Tarteko bermapuntuetan agertzen diren momentu

makurtzaileak soberako erreakzio bezala aukeratuko dira.

Adibidea:

(...)

HABEAREN MUTUR BATEAN EDO BIETAN LANDAPENA. Habeko mutur bat

edo biak landatuak baldin badaude, ezezagun kopurua handituko litzateke.

Egoera hori saihesteko, landapena beste habe zati batez ordezkatzen da,

zati berri horrek inertzia-momentu infinitua duela.

Inertzia infinitua duen zati gehigarri horren zeregina A bermapuntuan

biraketa saihestea da, landapenak sortzen zituen baldintza berdinak lortuz.

Ordezko habean A eta B puntuetan lortutako makurdura-momentuak eta

11/10/30 r3.2 MEE 8 - 5

berezko habeak dituenak berdinak dira. Gehitutako habe zatiaren luzerak ez du

inongo eraginik emaitzan (> 0 bada), hiru momentuen ekuazioan beti desagertuko

baita.

Adibidea:

Hiperestatikotasun-maila 2

11/10/30 r3.2 MEE 8 - 6

9. GAIA GILBORDURA

9.1 SARRERA

9.2 KARGA KRITIKOA

9.3 EULER-EN FORMULAK

9.4 ZUTABEAREN BERMA-BALDINTZAK

9.5 EULER-EN FORMULAREN APLIKAZIO-EREMUA

9.6 OMEGA ω KOEFIZIENTEEN METODOA

(ERREFERENTZIA-LIBURUA: Resistencia de Materiales, Manuel Vázquez)

9.1 SARRERA

Konpresioan lan egiten duen habe lerdenari zutabe deitzen zaio:

σ=PA

≤σonarg

Karga axialak balio kritiko bat gainditzen duenean,

zutabeek alboko makurduragatik huts egiten dute, nahiz eta

konpresio-tentsioak materialaren isurpen-muga gainditu ez.

Gilbordura (pandeo) ez da erresistentzia-arazo bat,

desoreka-egoera bat baizik.

P → P·e → e↑ → P·e↑ → e↑↑ → P·e↑↑

Gilbordura-haustura (alboko makurdura), sekzioaren

inertzia-momentu txikienarekin edo kurbadura-

erradioarekin erlazionatua dago.

11/10/30 r3.2 MEE 9 – 1

9.2 KARGA KRITIKOA

BALDINTZAK

1. P konpresio-indarra habearen ardatz geometrikoan aplikatua dago; hau da,

karga zentratua dago.

2. Barraren materiala homogeneoa eta elastikoa da; beraz, E konstantea da.

3. Barrak ez du alboko indarrik jasaten.

4. Sekzioa uniformea da luzera osoan (A konstantea).

KARGA KRITIKOA: zutabeari H indar horizontala aplikatuz gero (perturbazioa),

sistemak oreka-egoera galarazten duen P konpresio-karga minimoa da.

Hiru kasu ager daitezke:

a. P < Pk bada, H ezabatuz gero habea jatorrizko

posiziora itzultzen da; oreka-egoera egonkorrean

dago.

b. P > Pk bada, H kenduta ere, habeak deformatzen

jarraituko du haustura gertatu arte; oreka-egoera

ezegonkorrean dago

c. P = Pk bada, H kenduz gero habeak une horretan

duen deformazioa mantenduko du; oreka-egoera

indiferentea da.

Aipatutako Pk karga kritikoa zera da: egoera ezegonkorrera pasatu aurretik

zutabe lerden (esbelto) batek jasan dezakeen konpresio karga axial maximoa.

11/10/30 r3.2 MEE 9 – 2

9.3 EULER-EN FORMULAK

Ezegonkortasun elastikoa definitzen duen karga kritikoaren formula Euler-ek

garatu zuen analitikoki orain dela 300 urte. Ezegonkortasun plastikoa sortzen duen

karga kritikoa, berriz, enpirikoki definitzen da, eta emaitzak esperimentazio bidez

frogatu dira.

OINARRIZKO KASUA: BI MUTURRETAN BERMATUTAKO ZUTABEA

Demagun deformatua dagoen AB zutabea dugula.

A-tik x distantzia batera eragindako momentua:

Mx = + Pk y

Makurdura-kurbaren ekuazioa:

d 2 ydx 2

=− MEI min

=−PK

EI min

y

PK

EImin=k 2 eginez, d 2 y

dx 2 =−k 2 y ekuazio diferentziala lortzen dugu, eta

haren emaitzak ondorengo itxura du:y = C1 sin kx + C2 cos kx

x-rekiko bitan deribatuz:dydx

=C1k cos k x−C 2k sink x

d 2 ydx2 =−C1k 2 sink x−C2k 2cos k x=−k 2(C1 sink x+C2cos k x )=−k 2 y

11/10/30 r3.2 MEE 9 – 3

C1 eta C2 konstanteen balioak muga-baldintzak (MB) aplikatuz lortuko dira:

1. MB A puntuan (x = 0) → y = 0C1 sin0+C2 cos0=0 C2 ·1=0 → C2 = 0

2. MB A puntuan funtzioaren (y = f(x)) malda edo angelua aztertuko dugu, α

C2 konstantea 0 denez, dydx maldaren ekuazioa, dy

dx=C1k cos k x

x = 0 → dydx

= tanα=C1k cos0=C1 k

Deribatuaren esanahi geometrikoa eta α oso txikia dela kontuan hartuz:

tan α ≈ α beraz C1 k = α → C1=αk

Habearen makurdura-kurbaren ekuazioa honela geratzen da:y=α

ksink x

3. MB x = L puntuan geziak y = 0 izan behar du (B puntuko bermapuntua):0=α

ksink L beraz sin kL = 0

Aurrekoa bete dadin, kL = 0 izan behar du, zentzurik

ez duen emaitza (biak ≠ 0 dira). Irudiak agertzen duen

bezala, kL = π edo n·π izan beharko du.

baina k=√ PK

EIminberaz √ PK

EIminLG=π

erro karratua kentzeko bi aldeetan ber bi eginez,PK

EIminLG

2 =π2

L = LG → PK=π2 EImin

LG2

Sekzioaren inertzia-momentu txikiena erabili behar da beti.

PK karga kritikoan eragina duten faktoreak:

– barraren ezaugarri geometrikoak: I, LG (Imin ↑ PK ↑; LG ↑ PK ↓)

– materialaren propietateak: E

Sekzioaren azalera aldatu gabe PK karga

kritikoa handitzeko, inertzia-momentua handitu

behar da, materiala inertzia-ardatz nagusietatik

ahalik eta urrutien kokatuz. Adibidez:

11/10/30 r3.2 MEE 9 – 4

9.4 ZUTABEAREN BERMA-BALDINTZAK

Zutabea bermatuta dagoen baldintzen arabera, aurreko atalean ondorioztatu

den formula erabilgarria da, LG gilbordura-luzera berma-baldintzei egokituz gero.

LG = c·L PK=π2 EImin

LG2 =

π2 EImin

c2L2

c = 2

LG = 2·L

PK=π2 EImin

4L2

c= 1√2

LG=L√2

=0,7L

PK=2π2 EImin

L2

c=12

LG=L2=0,5 L

PK=4π2EImin

L2

11/10/30 r3.2 MEE 9 – 5

9.5 EULER-EN FORMULAREN APLIKAZIO-EREMUA

Habeak gilborduragatik apurtzen dira, kargak PK balioa gainditzen badu

(P ≥ PK ), zeren, nahiz eta konpresio-tentsioa isurpen-muga baino txikiagoa izan

σ=PA

≤σF , gilbordurak alboko makurdura eragiten baitu. Orain, Eulerren

formulatik abiatuz, gilbordura sortzen duen tentsio kritikoa aurkitu nahi dugu:

Gilbordura-karga kritikoa (Euler) PK=π2 EImin

LG2

Gilbordura-tentsio kritikoa σK=PK

A=

π2 EImin

LG2 A

=π2ELG

2

Imin

A=π2E

LG2 ρmin

2

non ρmin=√ Imin

A (sekzioaren biraketa-erradioa)

eta beraz, σK=π2 E

( LGρmin)

2 =π2Eλ2 non λ=

LGρmin

(lerdentasuna)

ZUTABEEN LERDENTASUNA, λ (esbeltez)

Gilbordura-luzeraren eta biraketa-erradio minimoaren arteko erlazioa da.

λ < 20 gilbordura ez dago kontuan hartu beharrik

λ > 250 piezak onartezinak dira

9.5.1 EULERREN HIPERBOLA

λ−ren balio altuei σK tentsio kritiko txikiak dagozkie. Beraz, pieza oso lerdena

bada, gilbortuko da eta erresistentzia erraz galduko du σK tentsio kritiko txikiekin.

Tentsio kritikoa lerdentasunarekiko

grafikoki adieraziz gero,

Nola sendotu daiteke pieza?

ρ ↑ edo λ ↓ =LG

delako

ρ biraketa-erradioa handitzeko, sekzio-

azalera berdinarekin inertzia-momentua handitu

behar da. Hori materiala ahalik eta urrutien kokatuz lortzen da. Horregatik, profil

tubularrak sekzio oso-beteak baino erabiliagoak dira zutabeetan.

11/10/30 r3.2 MEE 9 – 6

Bestalde, λ txikiagoa den heinean, σK tentsio kritikoa handitzen da.

Makurdurak, materialaren egoera elastiko-linealean, proportzionaltasun-

eremuaren barnean agertu behar du, K≤P , Eulerren formula Hookeren legea

aplikatuz ondorioztatu baita. Baldintza hori bete dadin, habeak λL lerdentasun-

muga gainditu beharko du:

σK=π2 Eλ2 ≤σ p → λL

2=π2Eσp → λL=√π2E

σp=√ π2 2,1 ·106

2100≈100

λ < λL ZUTABE MOTZAK (eremu plastikoa)

λ > λL ZUTABE LERDENAK (eremu elastikoa)

Altzairuetan Eulerren formula erabilgarria da λ > 100 balioentzat. Beste

metalentzat kalkulatu egin behar litzateke bakoitzaren σp-aren arabera.

9.5.2 TETMAJER-EN FORMULA

λ < 100 diren barretan, Tetmajerrek esperimentazio bidez zera ondorioztatu

zuen: λ aldakorra zuten barrak hausteraino kargatuz diagramako σK = f(λ) puntuak

lerro zuzen batean zeudela, Tetmajerren zuzena deitua.

Egituretan erabiltzen diren altzairuetan, Tetmajerren zuzenak 2900-3100

kg/cm2 tentsioen inguruan koordenatuen ardatza mozten du, σR haustura-tentsioari

dagokiolako. Puntu hori zuzen baten bidez lotzen da Eulerren tentsio kritikoaren

mugara (σp, λL puntua). Tentsioak elastikotasun-muga (σE = 2400 kg/cm2) gainditu

ezin duenez, Tetmajerren zuzena lerro horizontal batek isurpen-mugaren balioan

mozten du. Altzairuetan λ = 60 lerdentasuna dagokio.

σK=π2 Eλ2

Altzairuentzat: σK = σR - a λ

Egituretako altzairuak

(%C gutxikoak):

60 < λ ≤ 100

σK = 3100 - 11,4 λ

11/10/30 r3.2 MEE 9 – 7

9.5.3 FORMULA PARABOLIKOA

Tetmajerrek proposatutako σK = f(λ) aldaketa linealaren ordez, ω metodoak

eremu ez-elastikoan σK tentsio kritikoaren balioa zutabe motzentzat (λ < 100),

bigarren mailako parabola baten bidez definitzen du (Johnston edo Ostenfeld-en

parabola).

Parabolaren ekuazioa altzairuentzat,

σK = σE - a λ2 = 2400 – 0,03 λ2

horrela, λ = 0 σK = σE

non σE = 2400 kg/cm2

9.6 ω KOEFIZIENTEEN METODOA

Egituren diseinuan gilbordura kontuan hartzeko erabiltzen den irizpidea da.

Johnston-en formula parabolikoan oinarritzen da. λ lerdentasunaren arabera v

segurtasun-koefizientea definitzen du:

v=K

Gonarg

- Eremu elastikoan, λ > λL v = 3,5 Gonarg=

K

3,5=

2 E3,52=

59 106

2 (altzairuetan)

- Eremu plastikoan, v = f(λL) aldakorra da.

11/10/30 r3.2 MEE 9 – 8

λ = 0 denean,

Gonarg=KONPRESIOA

onarg v=24001400

=1,7

hortik aurrera v λ-rekin handitzen da

λL denean v-k bere balio maximoa lortzen du,

3,5, eta, beraz, puntu horretan:

σGonarg=

σp

v=2100

3,5=590kg/cm2

Eremu plastikoan erabilgarria den ekuazio parabolikoa, σK = f(λ2), egokituz,

Gonarg = 1400 – 0,08 λ2

Tentsio kritikoa dagokion v-az zatitzen ibili beharrean, ω koefizienteen

prozedurak material eta λ bakoitzarentzat ω koefizientea definitzen du, materialak

konpresio sinplean duen tentsio onargarriaren arabera:

=onarg

Gonarg =konpresio sinplean tentsio onargarria

gilborduran tentsio onargarria non σonarg=σF

v (λ=0)

ω > 1 izanik, onargGonag izan behar duelako.

Beraz, ω koefizientea, gilbordura-tentsio onargarria lortzeko, konpresio

sinpleko tentsio onargarriari σonarg-z zatitu behar den zenbakia izango da.

Gonarg= onarg

ω-k konpresio-tentsio onargarria zein proportziotan gutxitu behar den

11/10/30 r3.2 MEE 9 – 9

frakzioa adierazten duen gilbordura-tentsio onargarria lortzeko.

ω koefizienteen balioak lerdentasunaz gainera, materialaren propietateen

funtzioan daude, konpresio-tentsio onargarria ere kontuan hartzen baitute.

Eremu plastikoan: 0 < λ < 100 = onarg

1400−0,082

Eremu elastikoan: λ ≥ 100 =onarg2

59105

TAULAK

Karga onargarriaren edo efektiboaren kalkulua errazteko, w koefizienteak

materialaren eta lerdentasunaren arabera tauletan biltzen dira.

σGonarg=

PKONPR

A· 1ω=σonarg

ω

σonarg=PK

Aω

PK=σonarg A

ω

A, sekzioaren azaleraσonarg, konpresio sinplean tentsio-onargarria

Karga (P) eta azalera (A) ezagunak direnean,PA

= onarg bete behar da.

PROZEDURA. Adibidea

Datuak: P Ezezaguna: A

A42b, σonarg = 1800 kg/cm2

LG A↓

11/10/30 r3.2 MEE 9 – 10

11/10/30 r3.2 MEE 9 – 11