UNIDAD DIDÁCTICA

OBJETIVOS DE APRENDIZAJE: lo que tienes que dominar.

1. Las potencias: DEFINICIONES y PROPIEDADES.

2. Potencias enteras: NOTACIÓN CIENTÍFICA.

3. RAÍCES y RADICALES: potencias de exponente fraccionario.

4. Propiedades de los radicales: OPERACIONES.

http://matemirada.wordpress.com/

http://www.eplc.umich.mx/salvadorgs/matematicas1/contenido/CapV/5_0_%20exp.htmhttp://estudiantesfelices.wordpress.com/category/algebra/exponentes-y-radicales/

http://jacarutpmat.blogspot.com.es/2010/03/radicacion.html

1. LAS POTENCIAS: DEFINICIONES Y PROPIEDADES.

Definiciones Propiedades

an = a.a….a (n veces)

a0 = 1 

am · a n = am+n

am : a n = am-n

(am)n = am·n

an · b n = (a · b) n

an : b n = (a : b) n

DEFINICIONES

Potencias de exponente naturalan = a.a.a…a (n veces)53 = 5.5.5 = 125

Potencias de exponente 0a0 = 150 = 1

Potencias de exponente entero negativo

Potencias de exponente racional

Potencias de exponente racional y negativo

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n

z

q

PROPIEDADES

Multiplicación de potencias con la misma baseam · a n = am+n

25 · 22 = 25+2 = 27

División de potencias con la misma baseam : a n = am - n

25 : 22 = 25 - 2 = 23

Potencia de un potencia(am)n=am · n

(25)3 = 215 

Multiplicación de potencias con el mismo exponentean · b n = (a · b) n

23 · 43 = 83

División de potencias con el mismo exponentean : b n = (a : b) n

63 : 33 = 23

EJERCICIOS

33 · 34 · 3 = 38 57 : 53 = 54

(53)4 = 512 (5 · 2 · 3) 4 = 304

(34)4 = 316 [(53)4]2 = (512)2 = 524

(82)3 =[( 23)2]3 = (26)3 = 218 (93)2 = [(32)3]2 = (36)2 = 312

25 · 24 · 2 = 210 27 : 26 = 2

(22)4 = 28 (4 · 2 · 3)4 = 244

(25)4 = 220 [(23 )4]0 = (212)0 = 20 = 1

(272)5 =[(33)2]5 = (36)5 = 330 (43)2 = [(22)3]2 = (26)2 = 212

(−2)2 · (−2)3 · (−2)4 = (−2)9 = −512 (−2)−2 · (−2)3 · (−2)4 = (−2)5 = −32

2−2 · 2−3 · 24 = 2−1 = ½ 22 : 23 = 2−1 = 1/2

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2−2 : 23 = 2−5 = (1/2)5 = 1/32 22 : 2−3 = 25 = 32

2. POTENCIAS ENTERAS: NOTACIÓN CIENTÍFICA.

La notación científica (o notación índice estándar)   es   una  manera   rápida   de representar un número utilizando potencias de base diez. Esta notación se utiliza para poder expresar muy fácilmente números muy grandes o muy pequeños.

Los números se escriben como un producto:      siendo: un número entero o decimal mayor o igual que 1 y menor que 10, que recibe 

el nombre de coeficiente. un número entero, que recibe el nombre de exponente u orden de magnitud.

Historia: Arquímedes, el padre de la notación científica.

El  primer  intento de representar  números  demasiados grandes fue emprendido por el matemático y filósofo griego Arquímedes, descrito en su obra El contador de Arena en el siglo III a. C. Ideó un   sistema  de   represen-tación  numérica  para  estimar   cuántos granos de arena existían en el universo. El número estimado por él era de 1063 granos. Nótese la coincidencia del exponente con el número   de   casilleros   del   ajedrez   sabiendo   que   para   valores positivos, el exponente es n-1 donde n es el número de dígitos, siendo  la última casilla  la Nº 64 el  exponente sería 63 (hay un antiguo cuento del tablero de ajedrez en que al último casillero le corresponde -2 elevado a la 63- granos).

Escritura 100 = 1 101 = 10 102 = 100 103 = 1 000 104 = 10 000 105 = 100 000 106 = 1 000 000 107 = 10 000 000 108 = 100 000 000 109 = 1 000 000 000 1010 = 10 000 000 000 1020 = 100 000 000 000 000 000 000 1030 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 00010 elevado a una potencia entera negativa –n es igual a 1/10n o, equivalentemente 0, (n–1 ceros) 1: 10–1 = 1/10 = 0,1 10–2 = 1/100 = 0,01 10–3 = 1/1 000 = 0,001 10–9 = 1/1 000 000 000 = 0,000 000 001

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Por tanto, un número como: 156 234 000 000 000 000 000 000 000 000 puede ser escrito como 1,56234×1029, y un número pequeño como 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 910 939 kg (masa de un electrón) puede ser escrito como 9,10939×10–31kg.UsosPor   ejemplo,   la distancia a   los   confines  observables  del universo es   4,6×1026 m y   la masa de un protón es   1,67×10-27kg.   La   mayoría   de   las calculadoras y   muchos  programas   de computadora presentan resultados muy grandes y muy pequeños en notación científica; la base 10   se  omite   generalmente   y   se   utiliza   la   letra   E   (mayúscula   o  minúscula)   para   indicar   el exponente; por ejemplo: 1,56234E29. 

Nótese  que  esto  no  está   relacionado   con   la  base  del logaritmo  natural también  denotado comúnmente con la letra e.

La notación científica es altamente útil para anotar cantidades físicas, pues pueden ser medidas solamente dentro de ciertos límites de error y al anotar sólo los dígitos significativos se da toda la información requerida de forma concisa.

Para expresar un número en notación científica debe expresarse en forma tal que contenga un dígito (el más significativo) en el lugar de las unidades, todos los demás dígitos irán entonces después del separador decimal multiplicado por la potencia de 10 que indique el exponente. Ejemplos: 238 294 360 000 = 2,3829436E11 y 0,00031416 = 3,1416E-4.

Operaciones matemáticas con notación científicaSuma y resta: Siempre que las potencias de 10 sean las mismas, se deben sumar los coeficientes (o restar si se trata de una resta), dejando la potencia de 10 con el mismo grado. En caso de que no tengan el mismo exponente, debe convertirse el coeficiente, multiplicándolo o dividiéndolo por 10 tantas veces como se necesite para obtener el mismo exponente.Ejemplos:

2×105 + 3×105 = 5×105

3×105 - 0.2×105 = 2.8×105

2×104 + 3 ×105 - 6 ×103 = (tomamos el exponente 5 como referencia)= 0,2 × 105 + 3 × 105 - 0,06 ×105 = 3,14 ×105

Multiplicación: Para multiplicar cantidades   escritas   en   notación   científica   se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes.Ejemplo: (4×1012)×(2×105) =8×1017

División: Para dividir cantidades   escritas   en   notación   científica   se   dividen   los coeficientes y se restan los exponentes.Ejemplo: (48×10-10)/(12×101) = 4×10-11

Potenciación: Se   eleva   el   coeficiente   a   la potencia y   se   multiplican   los exponentes.Ejemplo: (3×106)2 = 9×1012.

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Radicación: Se debe extraer la raíz del coeficiente y se divide el exponente por el índice de la raíz.Ejemplos:

EL PROBLEMA DEL AJEDREZ

El Brahmán Laharsessa, parece ser que también conocido como Sissa Ben Dahir, como  recompensa  por  ofrecer  el   juego  del ajedrez como entretenimiento al rey Iadova de la India, que estaba triste por la muerte de su hijo, pidió como recompensa un grano de trigo   por   el   primer   cuadro   del   tablero   del ajedrez, por el segundo cuadro el  doble del cuadro anterior es decir del primero, por el tercero el doble de lo que había en el cuadro anterior,   el   segundo;   y   así   sucesivamente hasta la casilla 64.

El Rey les planteo el problema a sus matemáticos y le dijo a Sissa Ben Dahir, “pásate después y te daré tu recompensa”. 

¿Puedes ayudar a los matemáticos a calcular  la cantidad de trigo que debe entregarse como recompensa al inventor del ajedrez? 

SOLUCIÓN

El número total de granos de trigo de la recompensa pedida por El Brahmán inventor del juego del ajedrez es la suma de la siguiente progresión geométrica:

S= 1 + 2 + 22 + 23 + ……… + 2i + …….. + 262 + 263 = 20 + 21 + 22 + 23 + ……… + 2i + …….. + 262 + 263

= 264 – 1 = (1´8446 x 1019)-1 granos de trigo.

Parece   ser  que  un  metro   cúbico  de   trigo  tiene  unos  quince  millones  de   granos,   es   decir 15x106 granos, con lo que el volumen que ocuparan los granos de la recompensa es:

(1´8446 x 1019)/(15 x 106) = 1´2297 x 1012 m3 .

Que es el volumen de un cubo de lado igual a 10.713 m (10´713 Km).

También parece ser que un grano de trigo pesa entre 0´032 gramos y 0´05 gramos, si cogemos un valor medio, por ejemplo 0´04 gramos, el peso de los granos de la recompensa es:

(1´8446 x 1019)x(0´04)x1x10-6 = 7´37 x 1011 Toneladas métricas de trigo. La producción actual mundial anual de trigo esta sobre las 650 millones de toneladas.

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Con lo cual:  (7´37 x 1011)/(650 x 106) = 1.135 años.

Se necesitarían del orden de 1.135 años de toda la producción mundial de trigo para pagarle al ajedrecista.

3. RAÍCES Y RADICALES: POTENCIAS DE EXPONENTE FRACCIONARIO.

Radicales equivalentes

Utilizando   la   notación   de exponente   fraccionario   y   la propiedad   de   las   fracciones que dice que si  se multiplica 

numerador   y   denominador   por   un   mismo   número   la   fracción   es equivalente, obtenemos que:

Si   se  multiplican  o  dividen  el   índice  y  el  exponente  de  un   radical  por  un mismo número natural, se obtiene otro radical equivalente.

Simplificación de radicalesSi   existe   un   número   natural   que   divida   al   índice   y   al   exponente   (o   los exponentes) del radicando, se obtiene un radical simplificado.

Reducción de radicales a índice común Hallamos el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común 

índice

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Dividimos   el   común   índice   por   cada   uno   de   los   índices y   cada resultado   obteniéndose   multiplica   por   sus exponentes correspondientes.

Extracción de factores fuera del signo radicalSe descompone el radicando en factores. Si:Un exponente es menor que el índice, el factor correspondiente se deja en el radicando. Un exponente   es   igual al   índice,   el   factor   correspondiente sale   fuera   del radicando.Un   exponente es   mayor   que   el   índice, se   divide dicho   exponente por   el índice. El  cociente obtenido es el exponente del factor fuera del radicando y el resto es el exponente del factor dentro del radicando.

Introducción de factores dentro del signo radicalSe introducen los factores elevados al índice correspondiente del radical.

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4. PROPIEDADES DE LOS RADICALES: OPERACIONES

SUMA DE RADICALESSolamente   pueden   sumarse   (o   restarse) dos   radicales   cuando   son radicales semejantes, es decir, si son radicales con el mismo índice e igual radicando.

MULTIPLICACIÓN DE RADICALES

Radicales del mismo índice

Para   multiplicar   radicales   con   el   mismo   índice se multiplican los radicandos y se deja el mismo índice.

Cuando terminemos de realizar una operación extraeremos factores del radical, si es posible.

Radicales de distinto índice

Primero se reducen a índice común y luego se multiplican.

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DIVISIÓN DE RADICALES

Radicales del mismo índicePara dividir radicales con el mismo índice se dividen los radicandos y

se deja el mismo índice.

Radicales de distinto índicePrimero se reducen a índice común y luego se dividen.Cuando terminemos de realizar una operación simplificaremos el

radical, si es posible.

POTENCIA DE RADICALESPara   elevar   un   radical   a   una   potencia se eleva a dicha potencia el

radicando y se deja el mismo índice.

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RAÍZ DE UN RADICALLa raíz de un radical es otro radical de igual radicando y cuyo índice

es el producto de los dos índices.

RACIONALIZACIÓN :La   racionalización  de   radicales  es  un  proceso  donde   se  tiene  que  eliminar  el radical o los radicales, que están en el denominador de la fracción.

Racionalizar   una   fracción   con   raíces   en   el   denominador,   es   encontrar   otra expresión   equivalente   que   no   tenga   raíces   en   el   denominador.   Para   ello   se multiplica el numerador y el denominador por la expresión adecuada, de forma que al operar elimine la raíz del denominador.

RACIONALIZACIÓN DE UN RADICAL ÍNDICE 2Para racionalizar un monomio de este tipo, se debe multiplicar el numerador y el denominador de la fracción por el denominador de la misma. En el siguiente caso:

hay que multiplicar numerador y denominador por 

Después   se   despeja   la   raíz   cuadrada   del   denominador   ya   que   la cantidad subradical que   es   5   elevada   al   cuadrado   puede   eliminar   o   despejar   la raíz cuadrada:

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RACIONALIZACIÓN DE BINOMIO DE ÍNDICE 2Para racionalizar un binomio de  índice 2,  se debe hacer un proceso similar  al ejercicio anterior, multiplicar el numerador y denominador de la fracción por el conjugado   del  denominador de la misma. En el siguiente ejemplo:

hay que multiplicar el numerador y el denominador por  ; este resultado es el que da el producto notable de los binomios conjugados.

 ·   = 

 = 

 = RACIONALIZACIÓN DE MONOMIOS CON ÍNDICES MAYORES QUE 2Tómese   el   siguiente   caso,   ya   que   tenemos   numeradores   y   denominadores fraccionados y multiplicados por índices mayores que 3.

Primero, todas las cantidades subradicales (si son números enteros elevados que no tienen exponente) se les debe obtener la raíz enésima.

 = Ahora, la cantidad que deberá ser multiplicada al numerador y denominador de la fracción sigue un procedimiento diferente a las anteriores.

Las cantidades exponenciales de los subradicales del radical para multiplicar al numerador y denominador de la fracción será el número del exponente que falta para acercarse al índice del radical. En caso de que el exponente sea mayor que el índice de la raíz, la cantidad de aquel exponente será la que falte para llegar al múltiplo más cercano de la raíz.

 = 

En este ejemplo, es  , ya que éste es el radical que al ser multiplicado por el denominador los exponentes de las cantidades subradicales serán iguales al índice de la raíz...

Ahora, se procede a multiplicar el numerador y el denominador:

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 ·   = 

Despejando las raíces, que son de índice 5:

 = Simplificando, se obtiene:

 = 

RACIONALIZACIÓN DE BINOMIOS CON RADICAL MAYOR A 2Cuando se tiene la diferencia de dos radicales de índice 3, es preciso utilizar productos notables.

Tomamos este producto notable. 

Se multiplica el numerador y el denominador de la fracción por el segundo factor.

 · En el denominador ha quedado el producto notable. Lo cambiamos por su expresión simple y ya está.

Si se trata de la suma de dos radicales de índice 3:

Hay que usar este otro producto notable. 

Se multiplica el numerador y el denominador de la fracción por el segundo factor.

 · 

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