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ASIGNACIÓN MATEMÁTICAS PARA GERENTES MAESTRÍA EN ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS 2015-02

Estimados participantes:

Encontrarán a continuación un problema de la vida real a resolver a través del uso del cálculo diferencial. El problema consta de cinco Partes: Parte A, Parte B, Parte C, Parte D y Parte E.

Parte A

Se pregunta al participante, sobre la base de la introducción al problema, determinar el lugar de la construcción de una estación de bombeo común a las ciudades “Mefalta Agua A” y “Mefalta Agua B” con la finalidad de minimizar el Costo Total de colocación de la tubería. Para eso el participante debe modelar matemáticamente la situación planteada y realizar cálculos previos.

Parte B

Se pregunta al participante construir la tabla de variación de la función Costo Total CT de colocación de la tubería y, sobre la base de dicha información, calcular: - el lugar donde debe construirse la estación de bombeo común C a las ciudades “Mefalta Agua A” y “Mefalta Agua B” , - las dimensiones de la tubería desde las ciudades “Mefalta Agua A” y “Mefalta Agua B” hasta la estación de bombeo común C - y sus costos de colocación correspondientes, - así como la dimensión total de la tubería y su Costo Total de colocación.

Parte C

Se pregunta al participante realizar un análisis marginal en los valores extremos del dominio de definición, es decir, interpretar con sus propias palabras e ilustraciones gráficas los valores de las derivadas en los puntos extremos.

Parte D

Se pregunta al participante realizar un análisis de sensibilidad, es decir, sobre la base del cambio del valor de un parámetro, cómo varía la solución óptima.

Parte E

Se parametriza el problema original y se le pide al participante encontrar la relación geométrica que deben verificar ambos parámetros para que el Costo Total CT de colocación de la tubería se minimice.

Jean – Pierre Marcaillou Pág.

Recomendaciones:

Contestar en los espacios demarcados en Respuesta de una manera clara, concisa y precisa.

Deben justificar todos sus cálculos.

No olvidar colocar al inicio sus datos.

1


Construcción de una estación de bombeo común a las ciudades “Mefalta Agua A” y “Mefalta Agua B”

Las ciudades “Mefalta Agua A” y “Mefalta Agua B” están situadas a un mismo lado de un río rectilíneo; la ciudad “Mefalta Agua A” está situada a 5 km. y la otra a 8 km. del río, siendo su separación de 10 km. a lo largo del río tal cual lo ilustra la Figura 1. Se desea construir una estación de bombeo común C a ambas ciudades. Se sabe que el costo de colocación de un kilómetro de tubería es de 3 millones de dólares desde la ciudad “Mefalta Agua A” hasta la estación de bombeo común C, mientras que desde la ciudad “Mefalta Agua B” hasta la estación de bombeo común C es de 5 millones de dólares.

RíoR

Figura 1

El objetivo del problema es determinar dónde se va a construir la estación de bombeo común C a las ciudades “Mefalta Agua A” y “Mefalta Agua B” de tal manera que el Costo Total CT de colocación de la tubería desde las ciudades “Mefalta Agua A” y “Mefalta Agua B” hasta la estación de bombeo común C sea mínimo.

Jean – Pierre Marcaillou Pág.

Estación de Bombeo Río Río Río

Mefalta Agua A

Mefalta Agua B

C

Tubería

5 km.

8 km.

10 km.

x km. (10 – x) km.D E

2


Parte A

1) Construye la función de Costo Total CT que modela la situación planteada y precisa el dominio de definición de dicha función justificando tu respuesta.

Respuesta:Sean T 1(x) y T 2(x) las longitudes, en kilómetros, de las tuberías desde A hasta C y desde B hasta C respectivamente, entonces:

T 1 ( x )=√25+x2T 2=√64+(10−x )2

Donde x representa la distancia desde el punto D hasta el punto C.Sea C (x) la función de costos de fabricar las dos tuberías, entonces:

C ( x )=3√25+x2+5√64+(10−x )2

Para determinar el dominio de la función de costos se debe cumplir lo siguientea) 25+x2≥0

Lo cual es cierto para x∈ Rb) 64+ (10−x )2≥0

Lo cual es cierto para x∈ Rc) Por definición x es una distancia , por lo tanto la misma no puede ser negativa, así x≥0, ni mayor a 10

Intersectando las cuatro condiciones anteriores se tiene queDominio (C ( x ) )={x∈ R/0≤ x≤10}

2) ¿Cuál es el Costo Total CT en millones de dólares de colocación de la tubería si x es igual a cero?

Respuesta:C (0 )=3√25+02+5√64+(10−0 )2=3√25+5√64+100=3 (5 )+5√164=15+5 (2 )√41=15+10√41≈79,03millones de $

3) ¿Cuál es el Costo Total CT en millones de dólares de colocación de la tubería si x es igual a 10?

Respuesta:C (10 )=3√25+102+5√64+(10−10 )2=3√25+100+5√64+0=3√125+5√64=3 (5 ) √5+5 (8 )=15√5+40≈73,54millonesde $

Jean – Pierre Marcaillou Pág. 3


Parte B

4) Construye la tabla de variación de la función Costo Total CT de colocación de la tubería. Precisa las condiciones necesarias y suficientes y justifica todos tus cálculos.

Respuesta:

C ' ( x )=3(2 x )

2√25+x2+5

2 (10−x ) (−1 )

2√64+(10−x )2=¿

C ' ( x )= 3x

√25+ x2+

5(x−10)

√64+(10−x )2

C ' ' ( x )=

3√25+x2−3 x ( x

√25+ x2 )25+ x2 +

5√64+(10−x )2−5 ( x−10 )( 2 (10−x ) (−1 )

2√64+ (10−x )2 )64+(10−x )2

=3√25+x2− 3 x2

√25+x2

25+x2 +

5√64+(10−x )2− 5 (10−x )2

√64+(10−x )2

64+(10−x )2=

3 (25+x2 )−3 x2

(25+ x2 )√25+x2+

5 (64+ (10−x )2 )−5 (10−x )2

(64+(10−x )2 )√64+(10−x )2

C ' ' (x)= 75

(25+x2)√25+x2+ 320

(64+ (10−x )2 )√64+(10−x )2

Nótese que C ' ' ( x )>0 para toda x, por lo tanto es cóncava hacia arribaLas raíces de C ' (x) se obtienen igualando a cero, así

C ' ( x )=0

3x

√25+ x2+

5 (x−10 )

√64+(10−x )2=0

3x √64+(10−x )2+5 ( x−10 )√25+x2

√25+x2 √64+(10−x )2=0

3 x√64+ (10−x )2+5 ( x−10 ) √25+ x2=0

(3x √64+(10−x )2)2=(5 (10−x ) √25+x2 )2

9 x2 (64+(10−x )2)=25 (10− x )2 (25+x2 )

9 x2 ( 64+100−200 x+x2 )=25 ( 100−20 x+x2) (25+ x2 )

1476 x2−1800 x3+9x4=25(2500+100x2−500 x−20 x3+25 x2+x 4)

1476 x2−1800 x3+9x4=62500+2500 x2−1250 x−500 x3+625x2+25 x4



16 x4+1300 x3+1649x2−1250 x+62500=0

EN REALIDAD NO CREO QUE TENGAN QUE HACERLO ASI, SUPONGO QUE PUEDEN HACERLO TODO POR LA CALCULADORA

Gráficamente, y usando la calculadora, se obtiene lo siguiente

C (x) C ' (x)

Valor critico, el cual es donde C ' ( x )=0, es ( x , y )=(5,8863 ,68,1482 )

x −∞ 5,8863 +∞Signo de C ' (x) −¿ −¿ +¿ +¿

Variación de C ' ' (x) C ' ' ( x )>0∀ x

5) ¿Dónde se va a construir la estación de bombeo común C a las ciudades “Mefalta Agua A” y “Mefalta Agua B”?

Respuesta:Para reducir los costos la estación de bombeo común C a las ciudades “Mefalta Agua A” y “Mefalta



Agua B” se debe construir en la orilla del río a una distancia de 5,8863 Km de distancia del punto D

6) ¿Cuál es la dimensión en kilómetros de la tubería utilizada para vincular la ciudad “Mefalta Agua A” a la estación de bombeo común C y el Costo Total de colocación correspondiente?

Respuesta:Dimensión(DAC ):

DAC=√52+5,88632 Km=√59,6485Km=7,7232Km

Costo (C AC ):C AC=3millones $∗7,7232=23,1697millones $

7) ¿Cuál es la dimensión en kilómetros de la tubería utilizada para vincular la ciudad “Mefalta Agua B” a la estación de bombeo común C y el Costo Total de colocación correspondiente?

Respuesta:Dimensión(DBC):

DBC=√82+ (10−5,8863 )2 Km=√80,9225Km=8,9957Km

Costo (CBC ):CBC=5millones $∗8,9957=44,9785millones $

8) ¿Cuál es la dimensión total en kilómetros de la tubería utilizada para vincular las ciudades “Mefalta Agua A” y “Mefalta Agua B” a la estación de bombeo común C y el Costo Total de colocación mínimo CT correspondiente?

Respuesta:Dimensión(DACB):

DACB=DAC+DCB=7,7232Km+8,9957Km=16,7189

Costo (C ACB ) :C ACB=C AC+CCB=23,1697millones $+44,9785millones $=68,1482millones $

Parte C



9) Interpreta con tus propias palabras el significado de y compara el resultado con el valor de

. Realiza una ilustración gráfica de y .

Respuesta:CT ' (0 ) representa la pendiente de la recta tangente a la curva que representa la función de costos en el caso de que la estación de bombeo se construya sobre el punto D, (x=0).CT ' (0 )también se puede interpretar como la tasa de cambio instantáneo del costo de construcción de la tubería en caso de que se construya sobre el punto D.El valor de CT (1 )−CT (0 ) representa una estimación a la tasa de cambio instantáneo CT ' (0 ).

CT ' (0 )=3 ( 0 )

√25+ (0 )2+

5((0 )−10)

√64+(10−(0 ))2=−3,9043

CT (1 )−CT (0 )=(3 √25+12+5√64+(10−1 )2 )−(3√25+02+5√64+(10−0 )2 )=75,505−79.0312=−3.5262



10) Interpreta con tus propias palabras el significado de y compara el resultado con el valor

de . Realiza una ilustración gráfica de y .

Respuesta:CT ' (10 ) representa la pendiente de la recta tangente a la curva que representa la función de costos en el caso de que la estación de bombeo se construya sobre el punto E, (x=0).

CT ' (10 )=3 (10 )

√25+(10 )2+

5 ((10 )−10)

√64+(10−(10 ) )2=2,6833

CT (10 )−CT (9 )=(3√25+102+5√64+(10−10 )2)−(3√25+92+5√64+(10−9 )2 )=73,541−71,1982=2,3428

Parte D



11) ¿Cómo se desplaza el punto C dónde se localiza la estación de bombeo común a ambas ciudades “Mefalta Agua A” y “Mefalta Agua B” a medida que el costo de construcción por kilómetro de colocación de tubería desde la ciudad “Mefalta Agua A” hasta la estación de bombeo común C se incrementa y el costo de colocación de un kilómetro tubería desde la ciudad “Mefalta Agua B” hasta la estación de bombeo común C se mantiene constante?

Respuesta:El punto C, donde se construirá la estación de bombeo, se acerca al punto al punto D a medida que el costo de construcción por kilómetro de colocación de tubería desde la ciudad “Mefalta Agua A” hasta la estación de bombeo común C se incrementa y el costo de colocación de un kilómetro tubería desde la ciudad “Mefalta Agua B” hasta la estación de bombeo común C se mantiene constante

12) ¿Cuál debe ser el valor del costo de colocación de un kilómetro de tubería desde la ciudad “Mefalta Agua A” hasta la estación de bombeo común C de tal manera que el Costo Total de colocación de la tubería se minimice construyendo la estación de bombeo en el punto más cercano a la ciudad “Mefalta Agua B”, es decir en el punto E?

Respuesta:Para que el Costo Total de colocación de la tubería se minimice construyendo la estación de bombeo en el punto más cercano a la ciudad “Mefalta Agua B”, es decir en el punto E, entonces el costo de colocación de un kilómetro de tubería desde la ciudad “Mefalta Agua A” hasta la estación de bombeo común C debe ser de cero (0).

13) ¿Cuál debe ser el valor del costo de colocación de un kilómetro de tubería desde la ciudad “Mefalta Agua A” hasta la estación de bombeo común C de tal manera que el Costo Total de colocación de la tubería se minimice en ?Respuesta:En este caso el costo de colocación de un kilómetro de tubería desde la ciudad “Mefalta Agua A” hasta la estación de bombeo común C de tal manera que el Costo Total de colocación de la tubería se minimice en , debe tender a infinito.

Parte E

14) Su ponga que a y b representan respectivamente los costos de colocación en millones de dólares de un kilómetro de tubería desde la ciudad “Mefalta Agua A“ y la ciudad “Mefalta Agua B” hasta la estación de bombeo común C. Demuestre que para que el Costo Total CT de colocación de tubería se

minimice se debe verificar que

Respuesta:CT ( x )=a √25+x2+b√64+ (10−x )2



C ' ( x )= ax

√25+ x2−

b (10−x )

√64+(10−x )2=a∗CD

CA−b∗CECB

=0

a∗CDCA

=b∗CECB

ab=CE∗CACD∗CB

ab=−CE /CBCD /CA


asignacionmpgtp2015!02!3 revisado julian rivas

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