Proposiciones

UNIVERSIDAD FERMÍN TORO

VICE - RECTORADO ACADÉMICO

DECANATO DE INGENIERÍA

ESCUELA DE ELÉCTRICA

Alumna:

Deximar Boza C.I: 18.705.948

Profesora:

Alba Espinoza

Proposición

Es un enunciado cuyo contenido está sujeto a ser

calificado como "verdadero" o "falso", pero no ambas

cosas a la vez.Toda proposición tiene una y solamente una

alternativa.

1: Verdadero

0: Falso

•Notación: Las proposiciones se notarán con letras

minúsculas p, q, r, s, t, ya que las letras mayúsculas las

usaremos para denotar los conjuntos.Ejemplos

P: La matemática es una ciencia.

q: 2 es un número impar.

r: mañana es 27 de junio.

Llamaremos valor lógico de una proposición, el cual

denotaremos por VL, al valor 1 si la proposición es verdadera;

y 0 si es falsa. Como ejemplo de las proposiciones anteriores,

podemos decir que VL(P)=1, VL(q)=0.

Operaciones Veritativas

Los Conectivos u Operadores Lógicos son símbolos o

conectivos que nos permiten construir otras proposiones;

o simplemente unir dos o más proposiciones, a partir de

proposiciones dadas.

Cuando una proposición no contiene conectivos lógicos

diremos que es una proposición atómica o simple; y en

el caso contrario, diremos que es una

proposición molecular o compuesta.

TABLA DE LOS CONECTIVOS

Conectivos lógicos: La negaciónSea p una proposición, la negación de p es otra proposición

identificada por: ~ p, que se lee "no p", "no es cierto que p",

"es falso que p", y cuyo valor lógico está dado por la

negación de dicha proposición.

La tabla anterior dice, que ~ p es falsa cuando p es

verdadera y que ~ p es verdadera cuando p es falsa.

Forma analíticaLa tabla anterior dice, que ~ p es falsa cuando p es

verdadera y que ~ p es verdadera cuando p es falsa. Este

mismo resultado lo podemos expresar en forma analítica

mediante la siguiente igualdad:

VL (p)= 1- VL(~ p)

En efecto

Si VL(~ p) = 1, entonces VL(p) = 1 - VL(~ p) = 1-1 = 0

Si VL(~ p) = 0, entonces VL(p) = 1 - VL(~ p) = 1- 0 = 1

Si p es la proposición

La conjunciónDefinición: Sean p y q dos proposiciones. La conjunción de p y

q es la proposición p Ù q, que se lee "p y q", y cuyo valor lógico

está dado con la tabla o igualdad siguiente:Ejemplo Si, p: El Negro Primero peleó en Carabobo. q: Bolívar murió en Colombia. r: Miranda nació en Coro.Entonces 1. p ^ q: El Negro Primero peleó en Carabobo y Bolívar murió en Colombia. Además, VL(p ^ q) = 1, ya que VL(p)= 1 y VL(q)= 1. 2. q ^ r: Bolívar murió en Colombia y Miranda nació en Coro. Además, VL(q ^ r) = 0, ya que VL(q)= 1 y VL(r)= 0.

VL(p^q) = min (VL(p), VL(q)) en otras palabras el menor valor de los números dados.

La disyunción inclusivaDefinición: Sean p y q dos proposiciones. La disyunción de p

y q es la proposición p vq, que se lee "p o q", y cuyo valor

lógico está dado por la tabla siguiente:

VL(pvq)=máximo valor(VL(p),VL(q)).

La disyunción inclusivaDefinición: Sean p y q dos proposiciones. La disyunción de p

y q es la proposición p v q, que se lee "p o q", y cuyo valor

lógico está dado por la tabla siguiente:

VL(pvq)=máximo valor(VL(p),VL(q)).

El condicional

Definición: Sean p y q dos proposiciones. El condicional con

antecedente p y consecuente q es la proposición p ® q, que se lee "si p,

entonces q", y cuyo valor lógico está dado por la siguiente tabla:

      Ejemplo

a. Observe las proposiciones condicionales siguientes:

1. Si 5 es primo, entonces 2 + 1 = 3 (Verdadera).

2. Si 5 es primo, entonces 2 + 1 = 4 (Falsa).

3. Si 6 es primo, entonces 2 + 1 = 3 (Verdadera).

4. Si 6 es primo, entonces 2 + 1 = 4 (Verdadera).

El bicondicionalDefinición: Sean p y q dos proposiciones. Se llama Bicondicional de p

y q a la proposición p « q, que se lee "p si sólo si q", o "p es condición

necesaria y suficiente para q", y cuyo valor lógico es dado por la

siguiente tabla.

o en otras palabras el VL (P « q ) = 1 si VL (p) = VL (q)

La tabla nos dice que p « q es verdadero cuando VL(p) = VL(q), y esa

falsa cuando VL(p) ¹ VL(q)

p q P « q

1

1

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

Tablas de verdad

Las tablas de verdad permiten determinar el valor de verdad de una

proposición compuesta y depende de las proposiciones simples y de los

operadores que contengan.

Es posible que no se conozca un valor de verdad específico para cada

proposición; es este caso es necesario elaborar una tabla de verdad que

nos indique todas las diferentes combinaciones de valores de verdad que

pueden presentarse.  Las posibilidades de combinar valores de verdad

dependen del número de proposiciones dadas.

Para una proposición (n = 1), tenemos 21 = 2 combinaciones

Para dos proposiciones (n = 2), tenemos 22  = 4 combinaciones

Para tres proposiciones (n = 3), tenemos 2 3 = 8 combinaciones

Para n proposiciones tenemos 2n combinaciones

p q R

VVVVFFFF

VVFFVVFF

VFVFVFVF

Ejemplo: dado el siguiente esquema molecular, construir su tabla de valores de verdad:Pasos para construir la tabla:

         (Ø p Ù q)  Û (p Þ Ør)

Determinamos sus valores de verdad 2 3 = 8 combinaciones

2.    Determinamos las combinaciones:                               

3.    Adjuntamos a éste cuadro el esquema molecular y colocamos debajo de cada   una

de la variables sus valores de verdad :

3.    Adjuntamos a éste cuadro el esquema molecular y colocamos debajo de cada   una de la variables sus valores de verdad :

p q R ( p q ) ( p r )

V V V V F F F F

V V F F V V F F

V F V F V F V F

F F F F V V V V

F F F F V V F F

(4)

V V F F V V F F

V F V F V V F F

(6)

V V V V F F F F

F V F V V V V V

(5)

F V F V F V F V

 

Definición: Es aquella proposición

molecular que es verdadera (es

decir, todos los valores de verdad

que aparecen en su tabla de verdad

son 1) independientemente de los

valores de sus variables.

Ejemplo: Probar que P Ú ~ P es

una tautología

P Ú ~ P 

1 1 0 

0 1 1

Proposición Tautológica o Tautología

 Contradicción : Es aquella proposición

molecular que siempre es falsa (es decir

cuando los valores de verdad que aparecen en

su tabla de verdad son todos 0)

independientemente de los valores de sus

variables proposicionales que la forman. Por

ejemplo, la proposición molecular del ejemplo

siguiente es una contradicción, p Ù ~ p, para

chequearlo recurrimos al método de las tablas

de verdad.

Ejemplo: Probar que p Ù ~ p es una

contradicción

p Ù ~ p

1  0   0

0   0   1

Algunas Leyes del Algebra de Proposiciones

1. Leyes Idempotentes1.1. pÚ p º p 1.2. pÙ p º p

2. Leyes Asociativas

2.1. (P Ú q) Ú r º p Ú (q Ú r) 2.2. (P Ù q) Ù r º p Ù (q Ù r)

3. Leyes Conmutativas

3.1. P Ú q º q Ú p 3.2. P Ù q º q Ù p

4. Leyes Distributivas

4.1. P Ú ( q Ù r ) º ( p Ú q ) Ù (p Ú r) 4.2. P Ù ( q Ú r ) º ( p Ù q ) Ú (p Ù r)

5. Leyes de Identidad

5.1. P Ú F º P 5.2. P Ù F º F5.3. P Ú V º V 5.4. P Ù V º P

6. Leyes de Complementación

6.1. P Ú ~ P º V (tercio excluido) 6.2. P Ù ~ P º F (contradicción)6.3. ~ ~ P º P (doble negación) 6.4. ~ V º F, ~ F º V

7. Leyes De Morgan

7.1. ~ ( P Ú q ) º ~ P Ù ~ q 7.2. ~ ( P Ù q ) º ~ P Ú ~ q

Circuitos LógicosLos circuitos lógicos o redes de conmutación los podemos identificar con una

forma proposicional. Es decir, dada una forma proposicional, podemos asociarle un

circuito; o dado un circuito podemos asociarle la forma proposicional

correspondiente. Además, usando las leyes del álgebra proposicional podemos

simplificar los circuitos en otros más sencillos, pero que cumplen la misma función

que el original. Veamos los siguientes interruptores en conexión:

Conexión en serie 

Conexión en paralelo

Ejemplo: Construir el circuito correspondiente a cada una de las

siguientes expresiones:

i) p Ù (q Ú r)

(ii) (p Ù q) Ú [( p Ù r) Ú ~ s)]

 i

)

p Ù (q Ú r)

ii)

(p Ù q)Ú [( p Ù r) Ú ~ s)]

 Simplificar el siguiente circuito:

Sol

(pÚ q)Ù (~ pÚ q)Ù (~ pÚ ~ q) = [(p Ú q)Ù (~ p Ú q)] Ù (~ p Ú ~ q)

= [(p Ù ~ p) Ú q] Ù (~ p Ú ~ q)

= [F Ú q] Ù (~ p Ú ~ q)

= q Ù (~ pÚ ~ q)

= ( q Ù ~ p) Ú (q Ù ~ q)

=( q Ù ~ p) Ú F

= ( q Ù ~ p)

Así, el circuito se simplifica a: