ANÁLISIS MATEMÁTICO II

DOCENTE: M. EN C. CINTHIA BARRERA CADENA.

ASIGNACIÓN A CARGO DEL DOCENTE

INSTRUCCIONES: Resuelva cada uno de los siguientes ejercicios, sin olvidar explicarclaramente todos sus argumentos.

1. Sea D un subconjunto no vacío de un espacio métrico (X, d) y f :D¡! [¡1; 1] una funciónuniformemente continua. Defínase A =

�x 2 D: f(x) > 1

3

y B =

�x 2 D: f(x) 6 ¡1

3

.

Demuestre las siguientes a�rmaciones:

i. Si A y B son no vacíos entonces d(A; B)> 0.

ii. Existe F :X ¡!R uniformemente continua tal qe jF (x)j6 1

3y jf(x)¡F (x)j6 2

3.

Tomar en cuenta todos los diferentes casos para A y B.

2. Sean p; q son dons números reales positivos tales que 1

p+

1

q=1, se sabe que si u>0 y v> 0,

entonces uv6 up

p+

vq

q. Tomando en cuenta lo anterior demueste lo siguiente:

i. Sea � una función creciente no constante y f ; g dos funciones no negativas queson Riemann integrables con respecto a � y

Ra

bf p d� = 1 =

Ra

bgq d�. EntoncesR

a

bfgd�6 1.

ii. Si f ; g son funciones de�nidas en [a; b] que son Riemann integrables con respecto a�, entonces pruebe la desigualdad de Hölder:�����

Za

b

fgd�

�����6"Z

a

b

jf jp#1

p

"Za

b

jg jq#1

q

3. Sea (X;M; �)un espacio de medida. Sea fEngn2N tal que Ei�Ei¡1 para todo i > 1. Siexiste k 2N tal que �(Ek)<1, entonces �(\n2NEn) = limn!1�(En).

4. Sea M una �¡ álgebra in�nita. Pruebe que:

i. M contiene una sucesión in�nita de conjuntos disjuntos.

ii. La cardinalidad del conjunto M, que se abrevia como Card(M) es mayor o igualque la cardinalidad del conjunto de números reales; es decir Card(M)>Card(R).

5. Sea E �R un conjunto Lebesgue-medible tal que m(E)<1. Demuestre que existe A�ELebesgue-medible con la propiedad de que m(A)= m(E)

2.

6. Demuestre que si (X; M; �) es un espacio de medida completo, entonces se cumple losiguiente:

Si ffngn2N es una sucesión de funciones medibles con fn > 0 para toda n 2 N tales quefn¡! f c.d.s., entonces f es M¡medible.

7. Demuestre que el Lema de Fatou implica el Teorema de la convergencia dominada.

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