MATEMTICAS, CIENCIA Y TECNOLOGA

MATEMTICAS, CIENCIA Y TECNOLOGA: UNA RELACIN PROFUNDA Y DURADERAPor Juan Luis Vzquez Departamento de Matemticas. Universidad Autnoma de Madrid

1. ESENCIA Y PAPEL DE LAS MATEMTICASLa Matemtica es una disciplina intelectual autnoma, uno de los exponentes ms claros del poder creativo de la mente humana. Por otra parte, juega un papel fundamental en la Ciencia moderna, tiene una marcada influencia sobre ella y a su vez se ve influenciada por la ciencia de una manera esencial. Estas son, brevemente presentadas, las dos concepciones que simbolizan las maneras diferentes de ver el gran edificio que es la Matemtica actual. Estas opciones se reflejan en las populares denominaciones de Matemtica Pura y Aplicada. Pero entonces, es que existen dos matemticas diferentes? y, si esto es verdad, pueden coexistir pacficamente e interactuar recprocamente, o es que viven de hecho separadas e incluso hostiles una a la otra? En el presente artculo intentaremos mostrar que, hoy como ayer, ambas visiones de la matemtica son las caras de una misma moneda, que nos parecen a veces tan diferentes, a veces tan semejantes.

Un arte puroUna primera dimensin de las matemticas es en efecto el aspecto puro, la matemtica como un arte por derecho propio, un juego que se juega en nuestras mentes. La Matemtica es un arte que expresa la belleza en forma de axiomas, teoremas y relaciones lgicas o numricas y atrae al investigador precisamente por su perfeccin lgica, siendo uno de los ejemplos ms claros y convincentes de la capacidad humana para el razonamiento y el anlisis. Ella impone orden y armona donde solo veamos desorden y caos. sta es la dimensin ms prxima al investigador y, como toda forma pura de arte, tiene una fascinacin que explica porque los profesionales consagramos una parte enorme y bastante exclusiva de nuestras vidas a ella. Resulta natural que los matemticos profesionales tiendan a ver su ciencia desde este punto de vista del arte en s mismo, con sus conceptos, conjeturas, resultados y mtodos de prueba, con sus reas venerables: la aritmtica, el lgebra, la geometra y el anlisis, y los nuevos retoos: la estadstica, el clculo de probabilidades, la lgica matemtica, la computacin,... Y estimen sobre todo sus perfectas deducciones lgicas. Grandes sabios han profundizado en esta direccin: Pitgoras ve en los nmeros la clave de la realidad y Platn ve en el mundo de las ideas un mundo de orden ms perfecto que el mundo fsico cotidiano. De hecho, pocos matemticos profesionales han sido totalmente ajenos al sentimiento de que la verdadera Matemtica habita ms all, en un mundo ideal, esperando a ser descubierta por el artista. En sus fabulosos 13 libros de Los Elementos, Euclides de Alejandra (325-265 A.C.) estableci a la vez la teora y las reglas de un juego que sigue sus pautas hoy como hace 221

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siglos. Pocos artistas a lo largo de la Historia podrn decir lo mismo sobre la repercusin y perennidad de su obra: las demostraciones de Euclides son aun hoy da \las demostraciones" en los temas por l tratados. Tal es su influencia intelectual que en el siglo XX, los matemticos asociados bajo el nombre de guerra de Nicols Bourbaki osaron repetir la histrica gesta con unos actuales Elementos de Mathmatique. La matemtica es pues un arte autnomo que halla la verdad dentro de s misma. Recordemos a Carl G. J. Jacobi que sostuvo que la matemtica solo existe \para honor del espritu humano". Claro que de ah tambin se deriva una cierta concepcin popular, con su halo romntico pero hoy da un tanto descaminada, que ve al matemtico como un sabio irremediablemente distrado, con poca o ninguna mente practica.

Otra visin, otro papelRefleja lo anterior el cuadro completo de la Matemtica? En absoluto, la Matemtica es eso y mucho ms, hay un modo totalmente distinto de verla y de hacerla que queremos presentar. Junto con el mtodo experimental, las matemticas son la base sobre la que se asienta la Ciencia moderna y, como consecuencia, en ellas se apoya el desarrollo tecnolgico de nuestras sociedades. Penetra hoy todos los aspectos de la sociedad contempornea desde la ingeniera a la informacin, el mundo de la empresa, la salud, la administracin y las finanzas, sin olvidar el movimiento de las disciplinas sociales hacia el estatus de ciencias, que significa en otros trminos y con los matices apropiados, el uso combinado en estas disciplinas de los mtodos matemticos y experimentales. La importancia prctica de las matemticas en las ciencias es indiscutible, y no est de hecho en discusin pues la mayora aplastante de los cientficos es bien consciente del valor instrumental de unas buenas dosis de matemticas en la ciencia. As, una parte cuantitativamente importante de las matemticas que son enseadas en las universidades de todo el mundo se consagra a la educacin de ingenieros, fsicos, qumicos, bilogos, informticos, economistas y profesionales de otras varias disciplinas. Sin embargo, creemos que tal aprecio no hace justicia al papel que las matemticas juegan en la sociedad. Sostenemos que el papel de la Matemtica que es aplicada en diversos contextos sociales va ms all de esta descripcin, es ms esencial. De hecho: I. Las matemticas han jugado un papel fundamental en la formulacin de la ciencia moderna desde sus comienzos; una teora cientfica es una teora que dispone de un modelo matemtico adecuado; II. Las matemticas que se pueden aplicar hoy da abarcan todos los campos de la ciencia matemtica y no solo ciertos temas especiales; se trata de matemticas de todos los niveles de dificultad y no solo de resultados y argumentos sencillos; III. Las ciencias exigen hoy como ayer nuevos resultados de la investigacin y plantean nuevas direcciones de estudio a los investigadores. Pero el ritmo de la sociedad contempornea hace los plazos sustancialmente ms cortos y la exigencia ms urgente; IV. Las capacidades del clculo cientfico han hecho de la simulacin numrica una herramienta indispensable en la comprensin, diseo y control de los procesos industriales. V. Cuando se habla de la utilidad de las matemticas para las ciencias se incluye implcitamente en este nombre la tcnica y la ingeniera. Pero hoy da los contornos son mucho ms amplios y difusos; este es un aspecto de gran importancia en el presente y el futuro de las matemticas. En este artculo trataremos de este aspecto en que la Matemtica es el idioma en que estn escritas las pginas de la ciencia; gracias a ella ha habido un desarrollo del combinado ciencia-tecnologa que ha cambiado la vida del ciudadano de las sociedades tecnolgicamente avanzadas en los ltimos cuatro siglos de una manera ms radical que la Revolucin Neoltica haba hecho en los noventa siglos precedentes, y el cambio ha sido ms dramtico en las ltimas dcadas que en siglos enteros anteriores. Es un hecho bien conocido por los expertos que la prctica diaria de las ciencias fsicas y la ingeniera utiliza cantidades enormes de matemtica del ms alto nivel. Es ms, los mismos conceptos con que se formulan sus teoras son esencialmente los conceptos matemticos. En las ltimas dcadas hemos presenciado como la tendencia hacia la matematizacin alcanza a otras disciplinas, como la Economa, particularmente el mercado financiero, ramas de la Qumica, la Biologa y la Medicina, e incluso las ciencias sociales. Es un hecho comprobado que la maquinaria matemtica, sea imponente o no lo sea, se oculta muy a menudo cuidadosamente al pblico en los manuales o en los escritos de divulgacin, como si no existiese, pues se supone que no ser bien vista por el lector (o que este no la comprendera). Pero los nuevos tiempos traen cambios saludables: gracias a la simpata del pblico por las proezas del clculo y la informtica, las matemticas subyacentes van saliendo a la luz.

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Repercusin de la MatemticaEn manos del cientfico, la Matemtica debe permitir asimilar los datos y entender los fenmenos. En manos del ingeniero, es la herramienta que hace posible construir un modelo numrico o cualitativo cuyo anlisis permitir tomar decisiones, disear artefactos y controlar procesos de manera eficaz y fiable. Esta actividad es lo que, a falta de un nombre mejor, llamamos Matemtica aplicada. Cubre las reas clsicas como la Fsica Matemtica y los Mtodos Matemticos para la Ingeniera, pero tiene hoy da contornos ms amplios con el advenimiento del clculo cientfico y la simulacin numrica. La modelizacin, la simulacin computacional y el anlisis de datos son herramientas esenciales en la ciencia y la industria modernas. La Matemtica aplicada es simplemente la Matemtica de la realidad, es decir, del mundo real, sea lo que sea lo que esta frase significa para cada lector individual. Sealemos que hay aun otras visiones complementarias de las matemticas: su aspecto cultural, su importancia en la enseanza como vehculo del pensamiento racional, su importancia para comprender el mundo diario (las \matemticas para el hombre de la calle"), su aspecto de juego intelectual (el reto de resolver un problema). La Matemtica es al mismo tiempo la ciencia de lo exacto y el clculo de lo probable. Es la ciencia del razonamiento abstracto y simblico. Es, tambin, hoy da, sinnimo de virtuosismo computacional, de capacidad y efectividad de procesar informacin, tan importante para el mundo que se gesta. Es el mundo del cientfico que trabaja con un trozo de papel y hoy, tambin, el mundo de la modelizacin, el clculo y el control de procesos industriales. Todo ello forma tambin parte del mltiple legado de las matemticas. A continuacin dirigimos nuestra atencin hacia el pasado y presente de la Matemtica Aplicada. El lector puede encontrar conveniente saltar en una primera lectura la informacin contenida en las notas a pie de pgina. Adems, varias formulas famosas y ecuaciones importantes aparecern aqu y all en las pginas. ! El propsito no es en absoluto que sean estudiadas como parte del texto es, ms bien, recordar al lector iniciado su belleza y relevancia, y al mismo tiempo, dejar claro que no existe ningn camino real (es decir, regio) de acceso a la Matemtica: la divulgacin tiene sus lmites y una comprensin real de los temas aqu perfilados implica un estudio serio. En el captulo final volveremos a tratar de las opiniones que se debaten y los hechos que sustentan tales opiniones.

2. HEREDEROS DE GALILEO Y NEWTONDos grandes figuras histricas fijaron el futuro papel estelar de las matemticas en los momentos en que naca la Ciencia moderna. Galileo lo formul, Newton lo demostr. No les faltaron precursores. Habra que recordar que en la Historia Antigua, Pitgoras de Samos (569A.C.475A.C.) sostuvo que todo es nmero y encontr la maravillosa conexin entre la Msica y la Aritmtica, mientras Arqumedes de Siracusa uni Geometra y Mecnica en el siglo III a.C. (m. 212 a.C.). Y un siglo antes de Galileo, el genio universal de Leonardo da Vinci intuy el papel central de la Matemtica en la Ciencia. Una plyade de grandes matemticos, los hroes de nuestro relato, los siguieron. Se puede decir con Newton que los matemticos que se ocupan de la aplicacin de su arte otean el futuro desde los hombros de gigantes. Procedamos por partes: es verdad que desde la ms remota antigedad, las matemticas han estado relacionadas, incluso motivadas, por problemas prcticos. La Aritmtica se origina con las actividades de contar y sumar, la Geometra proviene de medir lneas, superficies y cuerpos. Pero tambin es verdad que la Matemtica, como ciencia lgicodeductiva, tal como fue elaborada y nos fue legada por los griegos, de Pitgoras a Euclides, tuvo una base netamente intelectual, digamos ideal, que siempre ha conservado desde entonces y que es parte fundamental de la matemtica pura, es decir, de las matemticas en s mismas. Este proceso intelectual vive en su propio mundo y no debe nada de su merito o belleza a la posible utilidad o aplicacin prctica, no ms que un poema, una sinfona o un cuadro. Un silogismo fcil y demasiado frecuente nos llevara de aqu a concluir que la autentica matemtica vive esencialmente ajena a la aventura de la ciencia y la tecnologa. Este silogismo es falso por mucho que haya sido sostenido por no pocos matemticos, y nos proponemos demostrarlo usando la obra y las opiniones de las grandes guras.

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Pues la historia nos muestra que la simbiosis con la ciencia y la tecnologa ha sido fundamental y fructfera y que las matemticas deben mucho de su ser actual y de sus temas estrella a sus compaeras de aventura. Y viceversa.

Los dos pilaresComo es bien sabido, la Ciencia moderna surgi en Europa al final del periodo del Renacimiento. No se basa solo en las matemticas. El pilar fundamental del edificio en germen fue formulado por el filsofo y poltico ingls Francis Bacon hacia 1620 y consiste en el mtodo experimental. El objeto preferente de la filosofa se orienta hacia la Naturaleza, que debemos leer y comprender, y eventualmente controlar; la observacin es el medio para la comprensin y el experimento es el test de nuestras predicciones. Las ciencias se formaron alrededor de este mtodo, primero la fsica, luego las dems: biologa, geologa y qumica. Las matemticas son desde el principio el otro pilar de las ciencias. Fue Galileo Galilei (1564-1642) quien ms claramente sealo a principios del siglo XVII ese rumbo para las nacientes ciencias. Suya es la famosa cita tomada de su carta "Il saggiatore" que reproducimos aqu en detalle: La filosofa est escrita en ese gran libro que constantemente est abierto ante nuestros ojos, el Universo, pero no puede entenderse a menos que se aprenda primero a comprender el idioma en que est escrito, a entender sus caracteres. Est escrito en el lenguaje matemtico, y sus caracteres son tringulos, crculos y otras guras geomtricas...". Galileo era un claro defensor del mtodo experimental, al que contribuyo con sus famosas observaciones astronmicas y mecnicas. Como hemos dicho, la actitud de Galileo tena precedentes, siendo los ms notables los de Pitgoras y Arqumedes en la Antigedad y el de Leonardo da Vinci (1452-1519)10 un siglo antes, pero la formulacin de Galileo fue decidida y su propuesta fue puesta en prctica, pues sucedi en el contexto histrico adecuado; corroy las bases del aristotelismo y la escolstica dominantes hasta entonces en el mundo intelectual. Dio fruto en breve tiempo y los cientficos nos vemos reflejados en el. De hecho, las filosofas son poca cosa si se quedan en palabras y polmicas, si no son llevadas a trmino. La gloria del siglo XVII reside en una serie de grandes filsofos-cientficos (llamados en aquel entonces filsofos naturales), quienes, sin olvidarse de la metafsica, se lanzaron decididamente en pos del conocimiento de la Naturaleza y de la invencin matemtica: Ren Descartes estudio los principios del arte de razonar, as como la mecnica y el universo; lig la geometra al algebra y escribi El Discurso del Mtodo; Blaise Pascal escribi sus filosficas cas Penses pero tambin investig los principios de los fluidos (como la presin), la geometra, el clculo y las probabilidades. Y anlogamente hicieron Pierre de Fermat, Edmond Halley, Christiaan Huygens y Gottfried W. Leibniz, un matemtico, lgico y filsofo del mayor renombre. Estamos ya listos para conocer a uno de los caracteres y de los momentos ms cruciales en la historia de la ciencia. En efecto, el siglo alcanza su culminacin con la figura de Isaac Newton (1642-1727), quien demuestra el xito indiscutible de la propuesta de Galileo aplicada a la mecnica. Ataca los problemas bsicos debatidos durante el siglo y I. Concluye que el movimiento de cuerpos slidos sigue una ley matemtica simple que relaciona la segunda derivada del espacio (respecto al tiempo) con una entidad invisible pero real, la fuerza. En trminos matemticos, F=ma; II. Al aplicar esta teora a los cuerpos celestes, concluye que se mueven en sus rbitas de acuerdo con la ley de atraccin universal. En frmulas, F = Gmm 0=r. Para estudiar matemticamente los movimientos resultantes de estas leyes, descubre lo que nosotros llamamos Clculo Infinitesimal y resuelve las ecuaciones diferenciales. Es ms, la formulacin misma de sus leyes no es posible sin los nuevos conceptos tomados del Clculo Diferencial e Integral, que lleva los nombres de Newton y Leibniz, y que fue inventado combinando las intuiciones de la mecnica y de la geometra. En 1687, en que se publica su trabajo monumental, los Principia, la mecnica queda slidamente fundamentada sobre las mismas bases que tiene hoy da. La matemtica no es solo una herramienta indispensable, en realidad es el idioma en que se concibe y expresa la Ciencia, esta es la razn del ttulo del libro. Desde ese momento, la descripcin de la dinmica y la evolucin de los sistemas mecnicos es una parte esencial de las4

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matemticas. Sigue un periodo de enorme desarrollo, durante el cual, la matemtica intenta cumplir este nuevo papel fundamental. Newton es considerado generalmente el cientfico ms influyente en la historia de la humanidad. Permtasenos aportar algunos datos adicionales para entender bien la grandeza de su legado. Podemos anotar a su crdito los fundamentos de la mecnica y la astronoma, del clculo diferencial e integral y las ecuaciones diferenciales; pero tambin estudio la naturaleza de la luz, puso los fundamentos a la ptica y contribuyo con notables adelantos tcnicos como el telescopio de refraccin. Adems de todo esto, estudio los fluidos que se llaman hoy da newtonianos, explic y calcul el funcionamiento de mareas por medio de la atraccin lunar, comput la velocidad del sonido (y tambin se interes por la teologa, la alquimia y la astrologa, rasgo bastante comn de esos tiempos que no debe extraarnos en un gran cientfico). Su prestigio entre sus contemporneos era enorme y los filsofos ms brillantes del siglo XVIII (Hume, Kant, Voltaire) estudiaron su trabajo y creyeron posible extender su fabuloso xito a todos los campos de la filosofa, tarea que ha resultado ser de una dificultad extrema. De hecho, todava estamos ocupados en ella. La inmensidad de la tarea de entender la Naturaleza no escap a una persona tan penetrante como Newton, con todo su xito. Una de sus opiniones ms famosas dice como sigue: I do not know what I will look like to others; to myself, I seem to have been only like a boy playing on the seashore, and diverting myself in now and then finding a smoother pebble or a prettier shell than ordinary, whilst the great ocean of truth lay all undiscovered before me".

3. EL SIGLO DE LA RAZN Y DE LAS LUCESDurante los tres siglos siguientes, una parte de ese ocano se ha visto colmado de verdad, ciencia y matemticas. La ciencia y la tecnologa, bases de la Revolucin Industrial, han progresado con las teoras, razonamientos y experimentos. Como consecuencia, la sociedad del siglo XX ha cambiado ms radicalmente con respecto al siglo XVII que todo lo que haba pasado en varios miles de aos antes, desde el inicio de las grandes civilizaciones agrcolas. El confort de la casa, el transporte, y las comunicaciones, la salud del ciudadano actual, descansan sobre bases tcnicas completamente desconocidas para las personas del Siglo XVII. Quienes prefieran contemplar el panorama de las matemticas actuales, al final del largo camino, son invitados a saltar las prximas 3 secciones y proceder con las matemticas del siglo XX. Ms an, quienes quieran slo asomarse al futuro haran bien en avanzar hasta la seccin 7. Para quienes se interesan por qu pas entre tanto, el relato contina en el comienzo del siglo XVIII. Empezando con el ya citado Leibniz, gran filsofo y rival de Newton en la famosa y un poco triste disputa del clculo", una serie de brillantes matemticos (diramos mejor fsico-matemticos), como la familia Bernoulli, Euler, D'Alembert,... aprovecharon el potencial del nuevo clculo y formularon matemticamente todo tipo de problemas mecnicos: problemas de disparo, problemas sobre la cada de los cuerpos, sobre el movimiento de los fluidos, de vibraciones mecnicas, de minimizacin,... Los mtodos infinitesimales son igualmente poderosos en su aplicacin a la geometra, una disciplina que vive en simbiosis ntima con la mecnica. Los sabios estudian el Clculo de Variaciones, un nombre para el clculo de valores mnimos de los llamados \funcionales" que florecera en el siglo XX como un captulo ni siquiera previsto. Jean Le Rond D'Alembert estudi la vibracin de las cuerdas y escribi la ecuacin de ondas que lo llev a descomponer una funcin en suma de ondas elementales, tarea tambin emprendida por Leonhard Euler (1707-1783), quien realiz la descomposicin en suma posiblemente infinita de funciones sinusoidales. Euler es quizs el matemtico ms prolfico de la historia, hizo contribuciones fundamentales a la Geometra, el Anlisis y la Teora de Nmeros, pero tambin a diferentes ramas de la Mecnica, la Elasticidad, la Hidrodinmica, la Acstica, y hasta la Msica. Su latn no es difcil y sus libros de texto pueden leerse hoy con provecho y placer (