Rangkaian Listrik Arus dan Tegangan AC Sinusoidal dan Phasor

©Alexander Sadiku

edited by Agus Virgono Ir. MT. & Randy E. Saputra

Prodi S1-Sistem Komputer

Fakultas Teknik Elektro

Universitas Telkom - 2016

Sinusoidal dan Phasor

9.1 Latar Belakang

9.2 Fitur Sinusoidal

9.3 Phasor

9.4 Hubungan Phasor untuk elemen rangkaian

9.5 Impedansi dan admittansi

9.6 Hukum Kirchhoff di domain frequensi

9.7 Impedansi kombinasi

Sine wave..? Why?

Latar Belakang

Bagaimana cara menyatakan v(t) dan i(t)?

vs(t) = 10V ???

Latar Belakang

• Sinyal sinusoidal mempunyai bentuk fungsi sinus atau cosinus.

• Persamaan umum dari sinusoidal,

dengan

Vm = amplituda dari sinusoidal

ω = frekuensi angular dalam rad/s

Ф = phasa

)sin()( tVtv m

Sinusoidal

Sebuah fungsi periodik adalah yang memenuhi v(t) = v(t + nT), untuk semua t dan semua n integer.

2T

HzT

f1

f 2

• Hanya dua sinusoidal dengan frekuensi yang sama yang dapat dibandingkan perbedaan amplituda dan phasanya.

• Jika beda phasa nol, berarti mereka se-phasa; jika beda phasa tidak nol, berarti tidak se-phasa.

Sinusoidal

Sebuah fungsi periodik adalah yang memenuhi v(t) = v(t + nT), untuk semua t dan semua n integer.

• Hanya dua sinusoidal dengan frekuensi yang sama yang dapat dibandingkan perbedaan amplituda dan phasanya.

• Jika beda phasa nol, berarti mereka se-phasa; jika beda phasa tidak nol, berarti tidak se-phasa.

Sinusoidal

Contoh

Diketahui sebuah sinusoid 2 sin(6t + 30). Hitung

amplituda, phasa, frekuensi angular, frekuensi (Hz) dan periodanya.

Jawab: Amplituda = 2 Phasa = 30o

Frekuensi angular = 6 rad/s

Frekuensi = 3 Hz Perioda = 0.33 s

Sinusoidal

Latihan

1. Diketahui sebuah sinusoid 5 sin(4t – 60). Hitung amplituda, phasa, frekuensi angular, frekuensi (Hz) dan periodanya.

2. Diketahui sebuah sinusoid 4 sin(2t). Hitung

amplituda, phasa, frekuensi angular, frekuensi (Hz) dan periodanya.

Sinusoidal

Sinusoidal

sin ωt = cos(ωt – 90o)

cos ωt = sin(ωt + 90o)

Sinus vs Cosinus

2 rad = 360

1 rad = 360 57.3

2

Contoh

Cari sudut phasa antara i1 = –4 sin(377t + 25) dan i2 = 5 cos(377t – 40), apakah i1 leading atau lag i2?

Jawab: sin ωt = cos(ωt – 90o)

Maka i1 leading i2 155o

)115377cos(4)90205377cos(4)205377sin(4

)205377sin(4)25180377sin(4)25377sin(4

1

1

oooo

oooo

ttti

ttti

Sinusoidal

Leading = mendahului (phasa lebih besar) Lag = tertinggal (phasa lebih kecil)

– sin ωt = sin(ωt + 180o)

Latihan

1. Cari sudut phasa antara i1 = 4 cos(5t) dan

i2 = –5 cos(5t – 40), apakah i1 leading atau lag i2?

2. Cari sudut phasa antara i1 = 5 sin(3t + 115) dan i2 = 7 cos(3t + 15), apakah i1 leading atau lag i2?

Sinusoidal

• Sebuah phasor adalah bilangan kompleks yang menyatakan amplitudo dan phasa dari sinusoidal.

• Bisa dinyatakan dalam 3 bentuk dasar :

rz

jrez

)sin(cos jryjxz a. Rectangular

b. Polar

c. Exponential 22 yxr

x

y1tandengan

Phasor

1j

Ingat kembali sistem Kuadran..!!

Phasor

x > 0

y > 0

x > 0

y < 0

x < 0

y < 0

x < 0

y > 0

Operasi Matematika dari bilangan kompleks:

1. Penjumlahan

2. Pengurangan

3. Perkalian

4. Pembagian

5. Reciprocal

6. Akar

7. Konjugasi kompleks

8. Identitas Euler

)()( 212121 yyjxxzz

)()( 212121 yyjxxzz

212121 rrzz

21

2

1

2

1 r

r

z

z

rz

11

2 rz

jrerjyxz

sincos je j

Phasor

Rectangular

Polar

Contoh

• Ubah bentuk phasor 3 + 4 j ke dalam bentuk polar

Maka 3 + 4 j = 553

• Ubah bentuk phasor 1030 ke dalam bentuk rectangular

Maka

Phasor

530sin10sin

3530cos10cos

ry

rx

533

4tantan

543

11

2222

x

y

yxr

x

y

yxr

1

22

tan

sin

cos

ry

rx

j5353010

Rectangular

Polar

Polar

Rectangular

Latihan

• Ubah bentuk phasor berikut ke dalam bentuk polar:

a. –3 + 4 j

b. 8 – 6 j

• Ubah bentuk phasor berikut ke dalam bentuk rectangular:

a. 860

b. 6135

Phasor

Latihan

• Hitunglah bilangan kompleks berikut:

a.

b.

Jawaban :

a. –15.5 + j13.67

b. 8.293 + j2.2

]605j4)1j2)([(5 o

oo

3010j43

403j510

Phasor

j 2 = –1

• Mentransformasikan sinusoidal dari domain waktu ke domain phasor dan sebaliknya :

(domain waktu) (domain phasor)

)cos()( tVtv m mVV

• Amplituda dan perbedaan phasa adalah dua hal yang paling diperhatikan dalam menyatakan sinusoidal tegangan dan arus

• Phasor akan didefinisikan sebagai fungsi cosinus dalam mata kuliah ini. Jika sebuah pernyataan arus atau tegangan dinyatakan dalam bentuk sinus, maka akan diubah jadi cosinus dengan mengurangi phasanya 90

Phasor

Contoh

Ubah sinusoidal ini ke phasor: i(t) = 6 cos(50t – 40) A

v(t) = –4 sin(30t + 50) V

Jawaban :

a. I = 6–40 A

b. Ubah menjadi bentuk positif :

–4 sin(30t + 50) = 4 sin(30t + 50 + 180) = 4 sin(30t + 230)

Ubah menjadi cos :

4 sin(30t + 230) = 4 cos(30t + 230 – 90) = 4 cos(30t + 140)

Bentuk phasor V = 4140 V

–sin ωt = sin(ωt + 180o)

–cos ωt = cos(ωt + 180o)

Contoh

Ubah phasor ini ke sinusoidal :

a.

b.

V 3010 V

A j12) j(5 I

Jawab:

a) v(t) = 10 cos(ωt + 210o) V

b) Bentuk polar :

i(t) = 13 cos(ωt + 22.62o) A

22.6213

12

5 tan512 j512 122I

Phasor

j 2 = –1

Perbedaan v(t) dan V:

• v(t) adalah representasi domain-waktu V adalah representasi domain frekuensi atau domain-phasor

• v(t) adalah waktu tak bebas, V bebas.

• v(t) selalu riil tidak dalam bentuk kompleks, V kompleks.

Catatan : analisa Phasor hanya bisa dilakukan ketika frekuensi konstan; untuk dua atau lebih sinyal sinusoidal hanya ketika mempunyai frekuensi yang sama saja

Phasor

Hubungan antara operasi differential dan integral di

phasor :

)(tv VV

dt

dvVj

vdtj

V

Phasor

Contoh

Gunakan pendekatan phasor untuk menentukan arus i(t) di sebuah rangkaian yang dinyatakan sebagai persamaan integral-differential :

Jawab :

)752cos(50384 tdt

diidti

2.14364.42.6877.10

7550

7550)2.6877.10(

7550)104(

)104(644)23(2

84384

i

i

ij

ijjijiiijij

idt

diidti

Phasor

• Turunkan persamaan differential untuk rangkaian berikut untuk mencari vo(t) di domain phasa Vo.

)154sin(3

40020

3

50

0

2

2oo tv

dt

dv

dt

vd

• Sepertinya cara ini cukup sulit .

Ada cara yang lebih mudah ?

Phasor

YA! Ada

Daripada mengubah persamaan differential

dan mengubahnya ke phasor untuk mencari

Vo, bisa dilakukan transformasi semua

komponen RLC ke phasor terlebih dahulu,

baru menerapkan hukum KCL laws dan

teorema lainnya untuk mendapatkan

persamaan phasor Vo secara langsung.

Phasor

Resistor: Induktor: Kapasitor:

Hubungan Phasor pada Elemen Rangkaian

Hubungan arus-tegangan

Elemen Domain waktu Domain Frequensi

R

L

C

Riv RIV

dt

diLv LIjV

dt

dvCi CVjI

Hubungan Phasor pada Elemen Rangkaian

Contoh

Jika tegangan v(t) = 6 cos(100t – 30o) diterapkan

ke kapasitor 50 μF, hitunglah arus i(t) yang

melalui kapasitor.

Jawab :

i(t) = 30 cos(100t + 60o) mA

Hubungan Phasor pada Elemen Rangkaian

60m30

30m30901

)30m30(

)306μ50100(

306

j

j

CVjI

V

1. Diketahui tegangan sinusoid v(t) = 50 cos(30t + 10) V.

Hitung amplituda Vm, frekuensi f, perioda T, dan besar

tegangan v(t) pada t = 10 ms.

2. Diketahui arus sinusoid i(t) = 8 cos(500t – 25) A.

Hitung amplituda Im, frekuensi angular , frekuensi f,

dan besar arus i(t) pada t = 2 ms.

3. Ubah sinusoidal berikut ke dalam bentuk cosinus : a) 4 sin(t – 30)

b) –2 sin(6t)

c) –10 sin(t + 20)

d) –10 sin(3t – 85)

Latihan Soal

4. Untuk tiap pasangan sinusoid v(t) dan i(t) berikut,

tentukan apakah i(t) leading atau lag terhadap v(t) dan

berapa beda phasa-nya : a) v(t) = 20 sin(t + 60) dan i(t) = 60 cos(t – 10)

b) v(t) = 4 sin(4t + 50) dan i(t) = 10 cos(4t – 60)

c) v(t) = 4 cos(377t + 10) dan i(t) = –20 cos(377t)

d) v(t) = 15 cos(2t – 11) dan i(t) = 13 cos(2t) + 5 sin(2t)

5. Jika diketahui tiga phasor yaitu z1 = 6 – j8, z2 = 10–30,

dan z3 = 8–120, hitunglah :

Latihan Soal

6. Hitunglah operasi phasor berikut dan tuliskan hasilnya

dalam bentuk rectangular :

7. Hitunglah operasi phasor berikut dan tuliskan hasilnya

dalam bentuk polar :

Latihan Soal

• Impedansi (Z) dari sebuah rangkaian adalah rasio dari

phasor tegangan V ke phasor arus I, bersatuan ohms

(Ω).

untuk R (nilai real) = resistansi, sedangkan X (nilai

imaginer) = reaktansi. X positif untuk L dan X negatif

untuk C.

• Admittansi Y adalah kebalikan dari impedansi, dengan

satuan siemens (S).

jXRI

VZ

V

I

ZY

1

Impedansi dan Admittansi

RY

1

LjY

1

CjY

Impedansi dan admittansi dari elemen pasif

Elemen Impedansi Admittansi

R

L

C

RZ

LjZ

CjZ

1

Impedansi dan Admittansi

LjZ

CjZ

1

Z

Z

;

0;0

0;

;0

Z

Z

Impedansi dan Admittansi

Contoh

Tentukan v(t) dan i(t).

Jawab : i(t) = 1.118cos(10t – 26.56o) A; v(t) = 2.236cos(10t + 63.43o) V

)10cos(5 tvs

Impedansi dan Admittansi

Latihan

Tentukan v(t) dan i(t).

)10cos(5 tvs 10 mF

Impedansi dan Admittansi

• Kedua KVL dan KCL dilakukan di domain

phasor atau umum disebut domain frekuensi.

• Variable dalam bentuk phasor, berupa bilangan

kompleks.

• Semua operasi matematik di domain kompleks.

• Impedansi pada rangkaian seri/paralel

konsepnya sama seperti resistansi

Hukum Kirchoff di Domain Frekuensi

Contoh

Tentukan impedansi input dari rangkaian dibawah ini

dengan ω =10 rad/s.

Jawaban : Zin = 32.38 – j73.76

Kombinasi Impedansi

Latihan

Tentukan v(t).

tA4cos10

4 F4

1v

Kombinasi Impedansi