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UNIVERSIDAD TECNOLGICA DE LOS VALLES CENTRALES DE OAXACA
TSU MECATRNICA
GANANCIA (CONTROL) Profesor. ING. Gonzalo Berra Ruiz
SISTEMAS LINEALIES DE AUTOMATIZACION Alumno: Samuel Alfredo Santiago Cruz
Abstract- En un sistema de control el
punto de equilibrio se determina
resolviendo las ecuaciones que definen el
sistema simultneamente. Supondremos
dos procesos acoplados dados por las
ecuaciones y = f(x, p) y x = g (y), en donde
P es un parmetro. Ganancia (G) nos mide
el grado de retroalimentacin del sistema y
determina la variacin de X e Y ante
cambios en los otros parmetros. En otra
palabra ganancia es control.
Palabras Claves- Sistemas de control,
ganancia, parmetro, equilibrio, procesos.
l.- INTRODUCCIN.
Cuando hablamos de ganancia, nos
referimos a la agresividad de su accin de
control proporcional: la razn del cambio de
salida con el cambio de entrada. Sin
embargo, podemos ir un paso adelante y
representar cada componente dentro de un
lazo de control como si tuvieran su propia
ganancia (la razn del cambio de salida
entre el cambio de entrada).
II.- DESARROLLO
Compensacin del factor de ganancia. Se desea que la mxima ganancia del
sistema realimentado dado por la siguiente
ecuacin, sea de 2db:
Figura 1.- ecuacin ganancia mxima.
En primer lugar se realiza la grfica de
magnitud contra fase de los sistemas.
Figura 1.1 Grafica magnitud contra fase
Despus de esto esta misma grafica se
sobrepone en la carta de Nichols, de la
misma forma como se hizo en ejemplo
anterior.
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figura 1.2 grafica carta de Nichols
A partir de esta superposicin se puede
apreciar que la mxima amplitud del
sistema se da a una frecuencia de 1.1Hz, y
cuyo valor es aproximadamente 1db.
Como lo que se desea es que la mxima
amplitud del sistema sea de 2db, la grfica
de magnitud vs fase de la funcin de
transferencia se desplaza hacia arriba
hasta lograr que esta curva sea tangente al
contorno M constante de 2d.
En la siguiente grafica se aprecia el
desplazamiento que se le tuvo que hacer a
la grfica para lograr su tangencia a la
curva M de 2db, la medida de ese
desplazamiento fue de aproximadamente
4.5db en direccin positiva. Con este valor
se puede encontrar el valor de la ganancia
adicional que se debe sumar al sistema
original para que su respuesta cumpla con
las especificaciones del circuito.
Para determinar el valor de la ganancia del
sistema compensado se toma la siguiente
ecuacin:
Donde Ki es el factor de ganancia del
sistema original, Kb es el nuevo factor de
ganancia que se desea hallar y es el
desplazamiento (en db) que tuvo la
grfica magnitud contra fase. Para los
valores del ejercicio, ki=2.04 y =4.5db.
Despejando kb para los valores dados se
tiene que el nuevo factor de ganancia es de
3.43. Entonces la funcin de transferencia
del sistema ya compensado es:
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De esta grafica se puede sacar la grfica
de magnitud contra fase del nuevo sistema
realimentado.
A.- Mrgenes de fase y de ganancias en
bode y Nyquist.
El diagrama de Nyquist, adems de permitir
determinar si un sistema es estable o
inestable, nos puede indicar el grado de
estabilidad de un sistema, que es lo que se
conoce como estabilidad relativa.
B.- Margen de ganancia
El margen de ganancia (Mg) es el inverso
de | G(jw) | a la frecuencia de cruce o de
transicin de fase(w1), que es a la cual el
ngulo de fase de la funcin de
transferencia en lazo abierto es -180. Si la
realimentacin es unitaria (H(jw)=1),
podemos expresarlo como:
Un margen de ganancia positivo (en
decibelios) significa que el sistema es
estable; y si es negativo (en dB), ser
inestable. Si es nulo (en dB), el sistema es
crticamente estable, es decir, tiende a la
inestabilidad. Para un sistema de fase
mnima estable, el margen de ganancia
indica en cunto se puede incrementar la
ganancia antes de que el sistema se haga
inestable. Para un sistema de fase mnima
inestable, el margen de ganancia nos dice
en qu cantidad hay que reducir la
ganancia para hacer al sistema estable.
Schaum. (1990). Teora y problemas de regeneracin y
sistemas de control. (2da Edicin). California: MC GRAW-
Hill. (Pginas: 245-247)
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C.- EFECTO DE LA REALIMENTACION EN LA GANANCIA. La realimentacin afecta a la ganancia G
de un sistema no realimentado por un
factor de 1+ GH. El sistema se dice tener
realimentacin negativa, ya que un signo
menos se asigna a la seal realimentada.
La cantidad GH puede incluir el signo
menos, por tanto el efecto general de la
realimentacin es que puede incrementar o
disminuir la ganancia G. en consecuencia,
la realimentacin puede incrementar la
ganancia del sistema en un intervalo de
frecuencia pero reducida en otro.
D.- APLICACIN.
La ganancia intrnseca del dispositivo de
medida (transmisor), el dispositivo final de
control (como una vlvula de control), y el
proceso mismo son todas importantes para
ayudar a determinar la ganancia necesaria
para lograr un control robusto. Mientras
mayor es la ganancia combinada del
transmisor, proceso y vlvula, menor
ganancia ser necesaria en el controlador.
Mientras menos ser la ganancia
combinada del transmisor, proceso y la
vlvula, mayor ganancia ser necesaria en
el controlador. Dicho esto podemos hacer
funcionar nuestro sentido comn: mientras
un proceso sea ms reactivo, el
controlador necesita ser menos agresivo a
fin de lograr un control estable.
Estas ganancias combinadas pueden ser
determinadas empricamente realizando
una prueba simple con el controlador en
modo MANUAL. Poniendo el controlador en
modo manual (y por tanto deshabilitando la
correccin automtica de los cambios del
proceso) y ajustando la seal de salida a
alguna cantidad determinada, el resultado
del cambio en la variable de proceso puede
ser medida y comparada. Si el proceso es
auto-regulatorio podemos determinar una
relacin entre los cambios de PV y los
cambios en la salida del controlador.
La ganancia del controlador (Kp) indica que
tan sensible es el controlador al error.
La banda proporcional (PB) tambin indica
esta sensibilidad ya que la ganancia y la
banda estn relacionadas.
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La ganancia de un Ctrl. Integral est
definida por la ecuacin:
Ki= %de Cambio de CV por sec..
%error sobre rango completo
Por ejemplo. Un valor de Ki=0.5 1/sec,
indica que el controlador obtendr una
ganancia de 0.5% es su salida por cada 1%
de error presente. El valor que se introduce
directamente al controlador es:
T= 1
Ki
E.- GANANCIA CRTICA.
La ganancia crtica KPkrit es el coeficiente
de accin proporcional del controlador, en
el que el sistema de control en lazo cerrado
trabaja en el lmite de estabilidad
(oscilacin permanente).
F.- GANANCIA DE AMPLITUD.
Como ganancia de amplitud se define a la
relacin entre las amplitudes de la salida y
la entrada de un sistema lineal estimulado
con una seal sinusoidal. La ganancia de
amplitud es, entre otros aspectos,
dependiente de la frecuencia.
G.- GANANCIA EN REGIMEN
PERMANENTE.
La ganancia representa la relacin entre el
valor de la salida y el valor de la entrada
una vez que el sistema se ha estabilizado
(se considera una entrada tipo escaln).
Puede demostrarse que el valor de la
ganancia es K si la funcin de transferencia
se expresa en cualquiera de los formatos
que se proponen.
La realimentacin no solo reduce la
diferencia entre el valor deseado y el valor
real, tambin tiene efectos en las
caractersticas de desempeo del sistema,
como la ganancia, la estabilidad, la
sensibilidad y el rechazo a perturbaciones.
Relacin salida-entrada en sistemas
de lazo abierto (caso esttico).
Relacin salida-entrada en sistemas
de lazo cerrado (caso esttico).
RGGHY
YGHRGGbReGY
)1(
)(
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G.- MARGEN DE GANANCIA (MG):
Es la inversa de la relacin de amplitudes
crtica. MG C 1 que permite escribir las
condiciones de estabilidad de la siguiente
forma: MG 1 Sistema Estable MG 1
Sistema Marginalmente estable
(Oscilaciones Sostenidas) MG 1
Sistema Inestable (en este caso el sistema
carece de margen) Los valores tpicos de
mrgenes que los expertos consideran
adecuados varan de 1.7 a 3.0b , siendo el
valor clsico de 2. Esta recomendacin da
una regla para ajustar uno de los
parmetros del controlador. El MG indica el
factor en el que se debe incrementar la
ganancia del controlador para obtener
oscilaciones sostenidas. Se puede asociar
MG con la atenuacin del la respuesta, a
mayor MG, respuesta temporal ms
atenuada.
H.- La ganancia ltima.
Es un parmetro muy empleado para
sintonizar controladores y est vinculado al
lmite de estabilidad. Se define como la
ganancia de un controlador proporcional
que asegura oscilaciones sostenidas como
respuesta a cualquier estmulo.
Considerando la condicin de estabilidad
marginal y controlador proporcional.
I.- Frecuencia Natural y Ganancia ltima
En sistemas de primer orden con tiempo
muerto Una gran cantidad de sistemas de
la industria de procesos se suelen modelar
en forma simplificada con funciones de
transferencia con dos parmetros
dinmicos: una constante de tiempo y
tiempo muerto L.
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Con esta descripcin matemtica, se
pueden sacar interesantes conclusiones
sobre el comportamiento de lazos de
control, vinculndolo a los parmetros
estticos y dinmicos. La Frecuencia
natural viene definida por la ecuacin
trascendente:
(n ) tg (n ) Ln
Que no tiene una solucin explcita. Se han
propuesto distintas frmulas para el clculo
de la frecuencia natural (y de la ganancia
ltima). Algunas son las siguientes:
III.- CONCLUSIN.
Como conclusin sobre este artculo de
investigacin es que cuando hablamos de
ganancia, hablamos en pocas palabras de
control. Nos referimos a la agresividad de
la accin de control proporcional, la razn
del cambio de salida con el cambio de
entrada. Sin embargo, podemos ir un paso
adelante y representar cada componente
dentro de un lazo de control como si tuviera
su propia ganancia.
IV.- REFERENCIAS.
CONTROL II, INGENIERO. CARLOS F. MARTINEZ, PAG. 22-109 2009. Schaum. (1990). Teora y problemas de
regeneracin y sistemas de control.
(2da Edicin). California: MC GRAW-Hill.
(Pginas: 245-247)
http://www.monografias.com/trabajos32/sist
emas-de-control/sistemas-de-control.shtml
http://www.instrumentacionycontrol.net/cursos-libres/automatizacion/curso-sintonizacion-controladores/item/381-la-ganancia-en-estado-estable-de-los-procesos-cuidado-cuando-cambiamos-el-rango-de-los-instrumentos-1ra-parte.html