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1/5V1 Grado 11 - Pgina 1 d

DERECHOS BSICOS DEAPRENDIZAJEmatemticas - grado 11

Liber tady

Orden

Por ejemplo: estima el valor de la derivada de sen (x) en x =1

(4 cifras decimales)

La tabla parece indicar que la derivada desen (x) en x = 1 es aproximadamente igual a0,5403.

h

-1

-0,1

-0,01

-0,001

-0,0001

-0,00001

0,00001

0,0001

0,001

0,5814

0,8415

0,5445

0,5407

0,5403

0,5403

0,5403

0,5403

0,5399

0,01 0,5361

0,1 0,4974

4 Reconoce la derivada de una funcin como la funcin derazn de cambio instantneo. Dada la grfica de una funcindibuja de manera aproximada la grfica de la derivada, identificando claramente los ceros de la derivada y los intervalos dondeesta es negativa y positiva. Por ejemplo:

5 Conoce las frmulas de las derivadas de funciones polinomiales, trigonomtricas, potencias, exponenciales y logartmicas y las utiliza para resolver problemas. Por ejemplo, cul eel radio de un crculo cuando su rea crece a una razninstantnea de 20cm2/cm?

Si dA/dr = 20cm2/cm entonces 2 r = 20, lo cual quiere decir quer = 3,18cm. Es decir, cuando r es aproximadamente 3,18cm el readel crculo crece a una razn (instantnea) de 20cm2de rea pocada centmetro que crece el radio.

La razn de cambio instantneo del rea es mayor cuando eradio es mayor. Es decir, entre mayor es el radio del crculo, mayor eel cambio en el rea al incrementar el radio un centmetro.

Comprende que entre cualesquiera dos nmeros reales hayinfinitos nmeros reales.Por ejemplo:1

Estima el tamao de ciertas cantidades y juzga si los clculosnumricos y sus resultados son razonables.Estima el error posibleen un clculo.

Utiliza unidades de medida para razonar de manera cuantitati-va y resolver problemas. Por ejemplo:

2

Interpreta la pendiente de la recta tangente a la grfica de unafuncin f(x) en un punto A = (a, f (a))como el lmite de las pendien-tes de las rectas secantes entre el punto A y puntos sobre la grficaque se acercan a A. Es decir, como:

Utiliza esto para estimar la razn de cambio instantnea f'(a)para un valor particular de a.

razn de cambioinstantnea de f en a

pendiente = razn decambio promedio

pendiente = f(a)

pendiente de latangente en A

3

Justifica que el promedio de dos nmeros se encuentra exacta-

mente en la mitad de los dos.La mitad de la longitud delsegmento AB.

Encuentra un nmero entre dos nmeros dada su expansindecimal. Por ejemplo, encuentra un nmero entre 2 y 1,415.

La expansin decimal de 2 es 1,414213..., as que 2

m 0>

m 0= 1

20,6

0 12

12

0,6( ),

Cantidad delmedicamento

Tiempo (en segundos)

1

12

f (t)

1,2 t 0 t

0,61 (0,98)t

t

12

>= 12

=x

2x+3

-2x+3

y=

2x+3

-2x+3

y=

2x+3

-2x+3

y=

asntotavertical

y = -1

asntotahorizontal 2xy -1-2x

2= =-2

x 3= 2

a 2=c 4=

6

4

2

12 24

f

(x) 2sen 4((

= x

+12

b= 2periodo =2

24

=

12

Altura en metros

Tiempo

periodo

La grfica que aparece a continuacin muestra la cantidad depersonas infectadas por un virus:

Como el nmero de personainfectadas parece estabilizarsela relacin entre el nmero depersonas infectadas y el tiempotranscurrido no se puedemodelar con una funcinpolinmica pues estas crecen o

decrecen indefinidamente y estono se ajusta a la situacin real.

Halla la inversa de la funcinf(x) = 3x + 1.Para llegar de x a f(x), primero semultiplica por 3, luego suma 1. Porlo tanto, para revertir el proceso,primero se resta 1, luego se dividepor 3.

f(x) = x2 no es invertible en todos los reales, pero s lo es poejemplo en el intervalo [0,)

cuando el dominio de f (x) serestringe a [0,)

cuando el dominio de f (x) serestringe a (-,0]

Tiempo (en das)

Nmero de personas infectadas(en cientos de personas)

10

70

820 30 40 50

9 Reconoce cundo una funcin tiene o no una funcin inversaDetermina la inversa de una funcin f(x) en un intervalo en el cual einvertible y la reconoce como el proceso de revertir las opera-ciones que llevan de x a f

(x). Por ejemplo:

f

(x) =3x +1

f-1(x) =

x 3x+13xx3 +1

3 -1

3x 1

(-1,-2)

(-2,-1)

x1f

-1(x)=

f(x)= 3x+ 1

f(x)= x2

f -1(x)= x

y = x2

si x 0

si x 0

y = x2= |x|

y = 3x+ 1

y

1 = 3x

= x

y= x

3

y13

y = x

y = -x- y =x

f -1(x)=

- x

Para la funcin h (t) tenemos los puntos (0,0) y ( , 0,6), con ellosencontramos que su pendiente es 1,2 ml/s y su corte con el eje verticalen 0. Entonces: h(t) = 1,2t

Para la funcin exponencial tenemos que g(t) = kat y como lacantidad de droga decrece a una tasa 2% por segundo, tenemosque a = 1 0,02 = 0,98 (reducir en 2% cada segundo corresponde amultiplicar por 0,98 cada segundo).

As, g(t) = k(0,98)t. Para averiguar k, reemplazamos en la frmulaanterior los valores de ty g (t) en el punto ( , 0,6) y se obtiene quek= 0,6/ 0,98 0,61. Entonces: g (t) = 0,61(0,98)t

-2x+3 = 0

3

2

32

Modela situaciones haciendo uso de funciones definidas atrozos. Por ejemplo: Una dosis de 0,6ml se inyecta a un pacientedurante medio segundo a una tasa constante. Al final de este tiempo,la cantidad C de droga en el paciente comienza a decaer a unatasa de 2% por segundo.

Escribe una funcin que modela la cantidad de droga en el cuerpodel paciente luego de tsegundos.

La funcin f

(t) que modela la situacin es una funcin a trozos.Cuando t [0 , ] se comporta como una funcin lineal h(t) ycuando t > se comporta como una funcin exponencialdecre-ciente g(t).

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Orden

Conoce las funciones trigonomtricas inversas (arcoseno,arcocoseno y arcotangente) junto con sus grficas, dominio yrango. Comprende que para definir las funciones trigonomtricas

inversas es necesario restringir el dominio de las funcionestrigonomtricas. As mismo, conoce la seleccin de dominio y rangoutilizada mundialmente. Utiliza esta comprensin para encontrar otrosngulos con el mismo seno, coseno o tangente aparte del valor queda la calculadora.

1O

Soluciona ecuaciones trigonomtricas simples en un intervalodado(utilizando calculadoras, las grficas relacionadas o el crculounitario). Por ejemplo, soluciona la ecuacin cos() =- 0,78

Hay infinitas soluciones:

respuesta de la

calculadora

otra solucin

218,73

1

1

-0,78

141,26

x2+y2=1

cos() =- 0,78=cos-1(-0,78)

141,26

218, 73

Todos los rayos de luz que emanandel foco, salen paralelos al eje desimetra al reflejarse sobre la parbola.

Conoce las propiedades geomtricas que definen distintostipos de cnicas (parbolas, elipses e hiprbolas) en el plano ylas utiliza para encontrar las ecuaciones generales de este tipode curvas. Por ejemplo, una elipse es el conjunto de puntos cuyadistancia a un foco ms la distancia al otro foco es siempre la misma.

Conoce algunas aplicaciones de las curvas cnicas. Por ejemplo:las rbitas de los planetas alrededor del Sol son elpticas con el sol enuno de sus focos. Las parbolas se utilizan para crear la parte reflecti-va de las linternas.

11

a

b

foco foco + =x

2

a2 y

2

1b2

Utiliza los sistemas de coordenadas espaciales cartesiano yesfrico para especificar la localizacin de objetos en el espa-cio. Por ejemplo, tomando como centro de sistema de coordenadasel cruce de las diagonales del piso de su saln de clase, determinacules seran las coordenadas del bombillo de la clase usando por lomenos dos sistemas de coordenadas y justifica la respuesta.

12

Razona geomtrica y algebraicamente para resolverproblemas y para encontrar frmulas que relacionanmagnitudes en diversos contextos. Por ejemplo:

Cul de los dos cilindros que se pueden formar a partir deuna hoja rectangular tiene mayor volumen?

Conclusin: si a > b entonces V1> V

2

13

a

a

b

b

r

a = 2R

b =2r r = b2

R

R = a

2

2=V

1= R2 x b= x b =(

(a 24

a2 b

4

aa x

2 =V2=

r2

x a =

x a =((b

2

4

b2 a

4

a

b x

Encuentra la frmula para el volumen de una tuerca hexago-nal con lado d y orificio interno de radio r.

3 3

Utiliza y contrasta diversas estrategias para modelar yresolver un problema y justifica su solucin.

Volumen tuerca =Volumen del

orificio cilndricoVolumen del prisma

hexagonal

d

h

Volumen del prisma = rea del hexgono x altura

rea delhexgono

6 x= rea del tringulo equiltero de lado

rea deltringulo

base xaltura

2

d x d

2=

As, rea hexgono

r

d

h

rea

d22d 2

((

-4

3d2

23

= =por el teoremade Pitgoras

altura =d

d

db

6 x= =

=23

43 d2=

43d2

2d2

23 3 d2 xhVolumen prisma

hexagonal = 23 3 d2 xh -r2hVolumen tuerca =

60

60

Los tringulos son equilteros porque son

issceles y el ngulo interno mide 60(lo cuimplica que los otros dos tambin miden 60

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Orden

Utiliza nociones bsicas relacionadas con el manejo y reco-leccin de informacin como poblacin, muestra y muestreoaleatorio. Por ejemplo, realiza una muestra aleatoria en su escuela

para determinar quin ser el ganador de un premio que se otorgara un estudiante escogido por los alumnos de los grados 8 a 11. Partede que las inferencias sobre la poblacin (que en este caso son losalumnos de los grados 8 a 11) slo son vlidas si la muestra esrepresentativa y tiene en cuenta las siguientes preguntas: Cmoelegir estudiantes de cada grado de manera aleatoria y cuntoselegir? Qu grficas va a realizar para visualizar los resultados? Quherramientas va a usar para analizarlos y hacer predicciones?

14

Conoce el significado de la probabilidad condicional y surelacin con la probabilidad de la interseccin:P(A/B) = P(AB) / P(B). Utiliza la probabilidad condicional parahacer inferencias sobre muestras aleatorias. Por ejemplo: Realizauna encuesta a una muestra de estudiantes en los grados 10 y 11 desu escuela y recolecta informacin sobre su grado y su materia favorita

entre espaol y matemticas:

15

A partir de estos datos, determina la probabilidad condicionaldeque un estudiante tomado al azar (no necesariamente pertenecientea la muestra), cuya materia preferida es matemticas, est en dcimogrado.

6 8 14

5 11

12 13 25

Grado 10 Grado 11

Espaol

Matemticas

Total

Total

6

La probabilidad de que est en dcimo grado dado que su materiapreferida es matemticas es 54,5%.

P(B|A) = 54,5%P(A)

=P(A B)

11/256/25

= 611

P(A) =11/25P(B) =12/25P(A B) =6/25

A:Materia preferida matemticas.B: Grado 10

U

U6

Determina si dos eventos son dependientes o independientesutilizando la nocin de probabilidad condicional. Por ejemplo:Para evaluar la efectividad de un pesticida se hace un estudio de su

efectividad en un cultivo de 900 plantas. A un tercio de estas (300plantas) se las trata con el pesticida y al resto se deja sin tratamiento.Al cabo del estudio se recolectan los siguientes resultados:

16

120 180

240 480 720

300 600 900

Recibitratamiento

Infestada

No infestada

Total

No recibitratamiento Total

60

Segn el estudio, el pesticida fue efectivo?Para decidir si el pesticida fue efectivo define los eventos:

A:la planta fue infestada.

B: la planta recibi tratamiento.

Segn la tabla:

Como P(B|A) = P(B), concluye que los eventos A y B sonindependientes (pues la ocurrencia de uno no influye en laocurrencia del otro). Afirma que el estudio indica que el pestici-da no fue efectivo.

P(B|A) =P(A)

=P(A B)

1/151/15

=13

P(A) =180

900=

1

5

P(A B) =60

900=

1

1560

Reconoce la desviacin estndar como una medida dedispersin de un conjunto de datos. En particular, para datosque tienen una distribucin aproximadamente simtrica (en"forma de campana"), conoce el hecho de que alrededor del68% de los datos se encuentra a menos de una desviacinestndar de la media (promedio) y casi la totalidad de losdatos se encuentran a menos de dos desviaciones estndar dela media.

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m=media =desviacin estndar

aprox. 68%de los datos

m m +m

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2O

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23

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