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Heredia, J. y Murillo Díaz, J.M., 2007. Estado del arte sobre la representación numérica de sistemas de flujo bajo condiciones de densidad variable. BoletínGeológico y Minero, 118 (Núm. Especial): 555-576ISSN: 0366-0176

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Estado del arte sobre la representación numéricade sistemas de flujo bajo condiciones

de densidad variableJ. Heredia y J.M. Murillo Díaz

Instituto Geológico y Minero de España. Sede Central. Ríos Rosas, 23. 28003-Madrid.E-mail: [email protected] - [email protected]

RESUMEN

La representación numérica de sistemas hidrogeológicos considerando la variabilidad de la densidad del fluido es un aspecto que nopuede soslayarse tanto en estudios de acuíferos costeros como en muchos casos de almacenamiento profundo de residuos tóxicos peli-grosos (RTP). El desarrollo de estos modelos numéricos es una labor compleja y ardua, cuyos resultados no están exentos de una apre-ciable incertidumbre. Ésta tiene su origen en las limitaciones numéricas de la que adolecen los distintos métodos, en la escasez de datosy en la incertidumbre característica de la información de estos sistemas. Un adecuado conocimiento del código numérico a aplicar, per-mitirá a los técnicos optimizar los recursos racionalizando debidamente las tareas del estudio. En el presente trabajo se realizó un estadodel arte actualizado de la modelización numérica de sistemas hidrogeológicos bajo condiciones de densidad variable. Se ha realizado unarevisión general de los métodos de representación, atendiendo especialmente a las técnicas numéricas y presentando los aspectos parti-culares que deben ser atendidos al desarrollar estos modelos numéricos. Se describieron sucintamente los códigos numéricos más des-tacados y se listaron los ejercicios internacionales de validación de los códigos más importantes de las dos últimas décadas, reflexionandosobre las limitaciones que arrojan sus resultados.

Palabras clave: acuíferos profundos, flujo bajo densidad variable, intrusión marina, modelos numéricos hidrogeológicos

State of the art of the numerical modelling of density-dependent hydrogeologicalsystems

ABSTRACT

The numerical representation of hydrogeological systems, taking into account the variability of fluid density, is an aspect that should notbe elude in studies of coastal aquifers or in many cases of deep-level storage of toxic waste. Developing such numerical models is a com-plex and demanding task, the results of which are subject to considerable uncertainty. This is due to the numerical limitations affectingthe various methods applied, to the scarcity of data and to the uncertainty characteristic of the information regarding such systems.Adequate knowledge of the numerical code to be applied would enable technicians to optimise resources and rationalise study proce-dures. The present paper presents an updated state of the art of the numerical modelling of hydrogeological systems under variable den-sity conditions. An overview is provided of methods of the representation, with special attention paid to numerical techniques and par-ticular aspects involved in developing numerical models. A brief description is made of the most noteworthy numerical codes and of theleading international projects carried out over the last two decades to validate such codes, together with some comments on the inher-ent limitations of the obtained results.

Key words: deep aquifers, density-dependent flow, groundwater numerical modelling, sea-water intrusion

Introducción

Históricamente, la gran mayoría de los estudioshidrogeológicos han considerado que el flujo subte-rráneo era gobernado exclusivamente por diferenciasde presiones, al considerar la densidad del fluidocomo constante en el dominio estudiado. Ello sepodía asumir debido a que en la mayor parte de lossistemas hidrogeológicos tratados la variación de ladensidad del agua en el espacio y el tiempo era tan

pequeña que podía despreciarse. Por otro lado, asu-mir que la densidad era constante -válida en muchoscasos- simplificaba la derivación matemática del pro-blema, introducía el concepto de un potencial decampo que gobierna el flujo y el uso de superficiespotenciométricas como herramienta para analizar,representar y simular diversos procesos y fenómenoshidrogeológicos (Bachu, 1995). Sin embargo, distin-tos requerimientos socioeconómicos y medioam-bientales –algunos de los cuales se reseñarán más

adelante- han llevado a abordar los estudios de siste-mas hidrogeológico sumamente complejos. En estoslas propiedades más relevantes del fluido, como ladensidad y la viscosidad son marcadamente varia-bles, debido a los cambios en la salinidad, tempera-tura y presión. Este hecho afecta grandemente a laaproximación clásica en que el flujo estaba goberna-do por la diferencia de carga hidrostática entre unpunto y otro del sistema de flujo. Así, para el caso deun medio poroso, resulta pertinente la generalizaciónque realiza de Marsily (1983) del flujo de Darcy y altérmino relacionado estrictamente con el gradientehidráulico –expresado por la ley de Darcy-, agregaotros que reflejan la incidencia sobre el flujo de losgradientes de concentraciones, temperatura y delpotencial eléctrico del fluido.

La inyección profunda de salmueras, aguas resi-duales urbanas o industriales u otros residuos tóxicospeligrosos, RTP, es una alternativa de gestión de resi-duos compleja y relativamente reciente pero amplia-mente difundida. La técnica de inyección en sondeosprofundos, ISP, comenzó a practicarse en la industriapetrolífera, para eliminar las salmueras y otros des-hechos producto de la misma. Los sondeos de inyec-ción presentan características similares a los sondeospetrolíferos y, en general, alcanzan profundidadesentre los 250 m y los 2000 m. De la formación recep-tora se demanda que posea ciertos rasgos hidrogeo-lógicos, que deben permanecer invariables en eltiempo, tales como que contenga agua cuya minera-lización la revista de un interés nulo para su eventualaprovechamiento; que el volumen de huecos, la inter-conexión entre estos, su potencia, extensión y com-portamiento elástico permitan caudales de inyeccióny una capacidad de almacenamiento suficiente o quese encuentre confinado y completamente aislado derecursos acuíferos aprovechables.

El abastecimiento de agua en muchas zonas cos-teras depende total, o parcialmente, de las aguas sub-terráneas. Esta demanda suele corresponder a unapoblación que se caracteriza por una alta densidad yuna fuerte fluctuación estacional, con un pico estival.En muchos casos, estos escenarios se hallan agrava-dos por explotaciones agrícolas intensivas o la pre-sencia de industrias, que ejercen una doble presiónsobre los recursos hídricos, tanto por explotacióncomo por retornos con fuerte contaminación. El vera-no es el período estacional más crítico, pues en élconcurren las mayores demandas de abastecimientoy agrícolas con las menores recargas del sistema,conformando el escenario más propicio para la intru-sión marina. Este fenómeno implica una severa limi-tación en la explotación de los recursos, comprome-tiendo seriamente con ello el desarrollo

socio-económico de las regiones costeras, además deimplicar un serio impacto medioambiental sobre elsistema.

La inyección en sondeos profundos, ISP, y la intru-sión marina son problemas en los que el flujo se pro-duce bajo condiciones de densidad variable. Este tipode problemas representan uno de los procesos deflujo físicamente más complicados. Esta complejidadse acrecienta notoriamente si también se está en pre-sencia de condiciones de temperatura variable, locual no es excepcional al abordar estudios de ISP. Porotro lado, la ISP y la intrusión marina si bien aparecencomo los casos arquetípicos de sistemas de flujo bajodensidad variable, no son los únicos. Así, en un siste-ma de flujo regional profundo en una cuenca sedi-mentaria, no son sólo las condiciones topográficas elúnico factor que gobierna el flujo; el conocimiento delas estructuras geológicas y la variabilidad de la den-sidad del fluido es esencial para entender al sistema(Gupta y Bair, 1997). En este tipo de cuencas se pue-den producir errores apreciables en la dirección ymagnitud del flujo si no se considera la influencia delgradiente de densidades al establecer el modelo con-ceptual. Ello no sólo afecta a los estudios de seguri-dad de ISP, sino también a la valoración de la pene-tración de la recarga y a los tiempos de residencia(Ophori, 1997, 1998a y b) o a la evaluación del impac-to de una fuerte disminución regional de la cargahidráulica de un sistema (Lahm y Bair, 1997a).

La casi totalidad de los casos referidos correspon-den a problemáticas que demandan una gestión cui-dadosa de los recursos hídricos, dado los graves ries-gos que entrañan las actuaciones que se emprendensobre el sistema. Esta gestión debe basarse en unestudio detallado del medio, una capacidad para eva-luar su impacto para horizontes futuros, con unaincertidumbre aceptable, y un control riguroso de lasacciones emprendidas y sus efectos. En todas estastareas, y aún en las de control, la modelación numé-rica se presenta como una herramienta de indudableatractivo. Sin embargo, la representación numéricade sistemas de flujo bajo condiciones de densidadvariable es compleja y no se halla exenta de limita-ciones (Oude Essink y Boekelman, 1998).

La representación numérica de sistemas de flujobajo condiciones de densidad variable se puede abor-dar con diversos códigos numéricos, desarrolladosbajo distintos métodos de resolución de los proble-mas directos de flujo y de transporte. No obstante,esta representación numérica se puede abordar apartir de dos aproximaciones: reduciendo todo el sis-tema a un fluido equivalente –usualmente aguadulce- o representando de forma discriminada las dis-tintas densidades del sistema de flujo. En esta última

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aproximación los códigos se agrupan entre los querepresentan al sistema mediante modelos de interfazneta y los que lo hacen como modelos de densidadvariable. La selección de la herramienta a utilizardependerá como en muchos problemas de modela-ción del objetivo del estudio, las simplificaciones quese adopten, el conocimiento, los datos disponibles yel presupuesto, entre otros.

Actualmente existe una gran difusión de códigosnuméricos de modelización hidrogeológica, encon-trándose a disposición de los profesionales del sectordiversos programas que permiten representar siste-mas de flujo bajo condiciones de densidad variable.Los programas se comercializan a través de distintosdistribuidores y, en particular, sus páginas web man-tienen actualizada la oferta de software. Sin embargo,la modelización numérica de estos sistemas dista deser una tarea sencilla tanto desde el punto de vistafenomenológico -influencia de la viscosidad, depen-dencia de ésta y de la densidad con la temperatura,concentración de solutos y presión, variación de lapermeabilidad en función de la densidad y la viscosi-dad-, como numérico -idoneidad de la técnica numé-rica de representación, problemas de dispersiónnumérica, adecuación de las condiciones de contor-nos a adoptar- (Jousma et al., 1988; Oude Essink yBoekelman, 1998). En este sentido, las simplificacio-nes conceptuales que se adoptan en el desarrollo delmodelo numérico deben ser claramente identifica-das, con el fin de evitar que una interpretación estric-ta de los resultados ofrezca explicaciones reduccio-nistas de sistemas con un alto grado de complejidad(Groen et al., 2000). Este hecho no resulta en absolu-to banal, dada la delicada gestión que demandanestos acuíferos.

La modelación de los sistemas de flujo bajo condi-ciones de densidad variables requieren un elevadoconocimiento del medio. En particular, en lo referidoa información cuantificable: piezometría, salinidaddel agua, parámetros hidrogeológicos (permeabili-dad, porosidad eficaz, dispersión hidrodinámica,etc.). Asimismo, esta información debe tener unaadecuada cobertura espacial y temporal, aunque lavariación de algunos de los parámetros ejerce unainfluencia sobre los resultados del modelo que quedaenmascarada por las incertidumbres físicas y numéri-cas del mismo. Por otro lado, mucho de estos estu-dios tienen como marco formaciones hidrogeológi-cas profundas, de geología compleja y que, engeneral, no suelen haber despertado previamentegran interés en cuanto a su aprovechamiento. Enestas razones reside la tradicional falta de datos quesuele enfrentar el modelista al abordar este tipo deestudios.

La captura de datos en estos sistemas resulta par-ticularmente exigente por la especificidad de las téc-nicas que demandan. Algunos investigadores al abor-dar la modelación de sistemas de flujo bajocondiciones de densidad variable destacan la necesi-dad de usar un modelo desde el inicio del estudio.Aducen que ello permitiría al modelista estimar laimportancia relativa de los distintos parámetros y, enconsecuencia, optimizar su tiempo y esfuerzo paraobtener los datos apropiados (Jousma et al, 1988). Lanecesidad de definir al comienzo de un proyecto cualserá el código a aplicar en exclusiva para modelar,puede considerarse un requerimiento un tanto extre-mo. Sin embargo, en este sentido, sí resulta funda-mental que el técnico tenga un conocimiento de lasposibilidades, limitaciones y requerimientos de loscódigos disponibles, ya que, conjuntamente con lascaracterísticas particulares del proyecto, permitiráuna planificación coherente con las tareas de adquisi-ción de información.

El presente trabajo se estructura de la siguienteforma: inicialmente se presentan las ecuaciones deestado y algunas de las principales relaciones alge-braicas que resuelven este tipo de modelos; poste-riormente se comentan los métodos para estudiar sis-temas de flujo bajo condiciones de densidad variable;luego se abordan aspectos particulares que se debenconsiderar en el desarrollo de la modelización numé-rica de estos sistemas; se realiza una breve reseña delos códigos más destacados en este tipo de estudios,para a continuación comentar los principales ejerci-cios de contraste de códigos y exponer algunas refle-xiones sobre los mismos. Por último, se ofrece unavaloración final sobre el desarrollo de estos modelos.

Ecuaciones de estado

Ley de Darcy

La Ley de Darcy permite describir el movimiento deun fluido a través de un medio poroso. Su ecuaciónen tres dimensiones para el caso de flujo bajo condi-ciones de densidad variable -restringiendo la genera-lización de Marsily (1983)-, se expresa como:

(1)

Donde: v es la velocidad de Darcy, de componen-tes vx, vy y vz (LT-1); k es el tensor de la permeabilidadintrínseca del medio poroso (L2); µ es la viscosidaddinámica del fluido (ML-1T-1); ∇p es el gradiente de

vk

p g= − • ∇ −µ

ρ( )−

presiones de componentes ∂p/∂x, ∂p/∂y y ∂p/∂z (ML-2 T-2);r es la densidad del fluido (ML-3) y g, 9.81 ms-2, es laaceleración de la gravedad (LT-2).

Ecuación de flujo

El balance de masa de un fluido para un volumen uni-tario en una sección dada de un acuífero en régimentransitorio, si se considera la densidad del fluido, esdescrita por la siguiente ecuación:

(2)

Donde: Q es el caudal de recarga (L3T-1); ρ* es ladensidad del fluido inyectado; h es el potencial piezo-métrico y SS es almacenamiento específico

El potencial piezométrico, h, se define como:

(3)

El almacenamiento específico, SS, se define(Freeze y Cherry, 1979, en Shikaze et al., 1998) como:

(4)

Donde: α y θ son la compresibilidad (L2T2M-1) y laporosidad de la matriz porosa, respectivamente, y bes la compresibilidad del fluido (L2T2M-1).

El ámbito de estudio de los problemas de densi-dad variable en muchos casos suele ser el medio frac-turado. La ecuación de flujo en régimen transitoriopara fracturas discretas unidimensionales tiene laexpresión siguiente (Shikaze et al., 1998):

(5)

Donde: 2b es la apertura de la fractura (L); l es ladistancia a lo largo de la fractura (L); hf es el potencialpiezométrico en la fractura; Kf es la conductividadhidráulica de la fractura; SSf es el coeficiente de alma-cenamiento específico de la fractura y qn|I+ y qn|I- repre-sentan al flujo normal a la fractura que percolandesde y hacia, respectivamente, la matriz rocosa.

La conductividad hidráulica, Kf, y el coeficiente dealmacenamiento específico, SSf, de la fractura se defi-nen (Freeze y Cherry, 1979 en Shikaze et al., 1998)como:

(6)

(7)

Ecuación de transporte

El balance de masa de un soluto conservativo para unvolumen unitario en una sección dada de un acuíferoen régimen transitorio, si se considera la variabilidadde la densidad del fluido, es descrita por la siguienteecuación (Bear; 1979, en Voss y Souza, 1987):

(8)

Donde: C es la concentración de soluto como unafracción másica -masa de soluto/masa de fluido-(MS/M); θ es la porosidad; v es la velocidad de Darcy(1); Dm es el coeficiente de difusión molecular delsoluto en el flujo, incluye el efecto de tortuosidad através del medio poroso (L2T-1); I es la matriz identidad(-); D es el tensor de dispersión hidrodinámica (L2T-1);Qp es el caudal de recarga al acuífero dado en térmi-nos másicos (ML-3T-1); C* es la concentración de solu-to, dada como fracción másica del fluido del caudalde recarga (Ms/M).

La relación entre densidad, ρ, y concentración desoluto, C, en condiciones isotérmicas, se puedeexpresar mediante la relación lineal siguiente:

(9)

Donde: r0 y C0 son la densidad y la concentracióndel soluto en el fluido de referencia, respectivamente,usualmente agua dulce.

Los términos del tensor de dispersión hidrodiná-mica, más el término de la diagonal por difusiónmolecular, para un medio anisótropo se definen(Bear, 1979) como:


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∇ ∇

+ =k

gh Q S

hts

ρµ

ρ ∂∂

*

hpg

z= +ρ

S gs = +ρ α θβ( )

( ) ( )2 2bl

Khl

q q b Sh

ff

n I n I Sff

t

∂∂

∂∂

∂∂

+ − =+ −

S gSf = ρ α0

Kb g

f = ( )212

20ρ

µ

− •∇ + ∇ + •∇[ ] +

− =

θρ θρ

θρ ∂∂

v C D I D C

Q C CCt

m

p

( )

( )*

ρ ρ ∂ρ∂

= + −0 0CC C( )


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(10.1)

(10.2)

(10.3)

(11.1)

(11.2)

(11.3)

Donde: vx, vy y vz son los componentes cartesianosde la velocidad de Darcy, v, (1) y |v| su módulo; αL, αTH

y αTV son los coeficientes de dispersión longitudinal,transversal en el plano horizontal y transversal en elplano vertical, respectivamente, de la matriz porosa(L); τ es la tortuosidad del medio y D* el coeficiente dedifusión de la solución libre (L2T-1). En los elementosde la diagonal de la matriz D -(10.1) a (10.3)- el pro-ducto τ D* es el coeficiente Dm.

En fracturas discretas unidimensionales la ecua-ción de transporte se expresa (Shikaze et al., 1998):

(12)

Donde: Df es el coeficiente de dispersión hidrodi-námica longitudinal de la factura (L2T-1); cf es la con-centración de soluto en la fractura en términos mási-cos (Ms/M); vf es la velocidad del fluido en el flujo porla fractura (LT-1) y Γn|I+ y Γn|I- representan la ganancia yla pérdida, respectivamente, de masa de soluto a tra-vés de la matriz porosa en la que se encuentra. En lafractura se supone que el soluto está completamentemezclado en el ancho de la fractura -apertura-.

El coeficiente de dispersión hidrodinámica de lafactura, Df, se define como:

(13)

Donde: αf es la dispersividad longitudinal de lafractura (L).

Aproximaciones de Ghyben-Herberg y de Hubbert

Esta aproximación se basa en el equilibrio hidrostáti-co entre el agua dulce y el agua salada, consideradascomo dos fluidos inmiscibles, y en la aproximaciónde Dupuit, que supone al flujo horizontal. La relaciónde equilibrio se basa en la relación de las densidadesde ambos fluidos -ρd= 1 kg dm-3, para el agua dulce, yρs= 1.025 kg dm-3, para el agua salada- y está dada porla expresión:

(14)

Donde: h y z son el nivel piezométrico y la profun-didad de la interfaz respecto al nivel de referencia enel punto de estudio, respectivamente (L) (Custodio yLlamas, 1982).

Hubbert introduce una corrección a la aproxima-ción de Ghyben-Herberg, al considerar la intrusióndesde un punto de vista hidrodinámico. Ello resultauna aproximación más cercana a la realidad, pues enlas inmediaciones de la costa debido al estrecha-miento de la cuña de agua salada se produce unincremento apreciable de la velocidad de descarga,apareciendo componentes verticales del flujo, dejan-do de ser válida la aproximación de Dupuit. La expre-sión de la aproximación de Hubbert es:

(15)

Dvv

v

vvv

Dxx Lx

THy

TVz= + + +α α α τ

2 2 2

*

Dv

vvv

vv

Dyy Ly

THx


2 2 2

*

Dvv

vv

v

vDzz L

zTH

xTV

y= + + +α α α τ2 2 2

*

D Dv v

vxy yx L THx y= = −( )α α

D Dv v

vxz zx L TVx y= = −( )α α

D Dv v

vyz zy L TVy z= = −( )α α

( ) ( )2 2bl

Dcl

vcl

bctf

ff

fn I n I

f∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

−

+ − =+ −

Γ Γ

D

D v Df f f= +α *

ρ ρd sh z z z h( ).

+ = ⇒ = 10 025

z

z h hd

s dd

s

s ds=

−−

−ρ

ρ ρρ

ρ ρ( ) ( )

h

Donde: hd y hs son los niveles de agua dulce y aguasalada sobre el nivel del mar, respectivamente -usual-mente hd es negativa-. El primer término de la expre-sión corresponde a la aproximación de Ghyben-Herberg y el segundo a la corrección a realizar. Lacorrección de Hubbert cobra peso proporcionalmentea la distancia a la línea de costa. Por otro lado, exis-ten otras aproximaciones analíticas para el cálculo dela interfaz, tales como las fórmulas de Lusczynsky o lade Glover (Jousma et al., 1988).

Métodos de resolución

El problema de densidad variable ha sido abordadomediante técnicas muy diversas. Cada una de las mis-mas ofrece distintos alcances, a la par de presentardiferentes atractivos.

Métodos analíticos

La resolución analítica de las ecuaciones de estado ysu acoplamiento dista de ser un problema sencillo. Lacomplejidad del mismo ha llevado que la mayoria delas soluciones analíticas alcanzadas respondan a pro-blemas de flujo sencillos: acuíferos homogéneos, deespesor y permeabilidad constante, uni o bidimensio-nales, régimen permanente, interfaz neta (Ataie-Ashtiani et al., 1998)-. Esta sencillez de los problemastratados hace que tengan un interés práctico relativo,a excepción de alguna aproximación. No obstante,las soluciones analíticas resultan de gran interés parael contraste y validación de códigos numéricos, parael análisis de sensibilidad del sistema hidrogeológicocon respecto a sus parámetros o para una primeraaproximación en el estudio de problemas reales.

Algunas soluciones analíticas se basan en la apro-ximación de Ghyben-Herzberg, en las que la ecuaciónde flujo se resuelve sólo para el agua dulce, mientrasque se considera constante el potencial de agua sala-da. Así, con este tipo de aproximaciones se hanencontrado soluciones para acuíferos horizontalessencillos bajo régimen permanente. También se hanencontrado soluciones para un régimen permanente,en un plano vertical, en niveles de agua salada aisla-dos al lado del mar (Glover, 1959 y Van Der Veer,1977).

Existen métodos semianalíticos, también basadoen la aproximación de Ghyben-Herzberg, que ofrecenposibilidades de aplicación en régimen permanenteen diversos casos prácticos, tales como acuíferosconfinados, libres o multicapas. Así, en el método delos elementos analíticos el dominio de estudio se

modeliza mediante la composición de una gran varie-dad de funciones analíticas que representan las dis-tintas influencias sobre el sistema de flujo de fuentes,sumideros, heterogeneidades, etc. Así, la superposi-ción de estas funciones permite representar al siste-ma. En este método los parámetros de las funcionesque describen el sistema deben calcularse iterativa-mente. Debido a ello, una desventaja del método esque al incrementarse el número de funciones utiliza-das, y con ellos los parámetros a estimar, pierde con-sistencia el modelo (Strack, 1987, en Jousma et al.,1988). Otras soluciones analíticas atienden a casosespeciales de flujos en dos fases, basándose en elmétodo de la hodógrafa y la teoría del vórtice(Josseling de Jong, 1965; en Jousma et al., 1988).

Métodos analógicos

Estos modelos se basan en la analogía existente en laecuación de flujo de las aguas subterránea y las ecua-ciones de estado de otros proceso físicos, como es elcaso de la electricidad o el calor. Así, si estos proce-sos físicos se pueden reproducir y medir, los mismospueden emplearse para estudiar el flujo de las aguassubterráneas. La adecuada interpretación de estosfenómenos físicos requiere la conversión de los pará-metros que los gobiernan a los correspondientesparámetros hidrogeológicos. Este tipo de modelo hacaido en desuso en los campos de la investigación yla ingeniería, habiendo quedado constreñido alcampo docente. No obstante, debe señalarse, que porlo general, en la mayoría de los casos los modelosanalógicos resultan de dificil aplicación para estudiarel transporte de solutos en el agua subterránea.

Métodos numéricos

Los métodos numéricos permiten resolver de formadiscreta en el espacio y el tiempo las ecuaciones deflujo (5) y transporte (8). Estas ecuaciones diferencia-les son sustituidas por sistemas de ecuaciones alge-braicas obtenidas da partir de diversas técnicas dediscretización e interpolación que se comentan segui-damente. En estos sistemas las incógnitas son losvalores nodales de las variables de estado (nivelespiezométricos, concentraciones).

Los métodos analíticos permiten describir algunosescenarios que se caracterizan por su homogeneidady simplicidad, enfrentándose a serias limitaciones altratar de representar sistemas heterogéneos y relati-vamente complejos, ello es un serio impedimentopara una aplicación con carácter práctico. Los méto-


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dos numéricos pueden superar estas restriccionesaunque ello no les exime de presentar otras dificulta-des, que se acrecientan notablemente al abordar pro-cesos de flujo y transporte bajo condiciones de den-sidad variable. No obstante, algunas de lasdificultades en la representación se pueden evitadar,o al menos controlar sus efectos, con una definicióncuidadosa de las discretizaciones espacial y temporal.

Si se considera constante la densidad del fluido, laresolución numérica de la ecuación de flujo (5) nopresenta mayor complejidad y se aborda usualmentetanto con el Método de los Elementos Finitos, MEF,como con el de las Diferencias Finitas, MDF. Las posi-bles dificultades pueden residir en los eventualesaspectos no lineales que entrañe el sistema a repre-sentar, tal como la presencia de una superficie libre.

Por el contrario, la resolución numérica de la ecua-ción de transporte (8), aún cuando la densidad delfluido es constante, presenta mayores dificultades.En general para su resolución se aplica alguno de losmétodos siguientes:

- Diferencias Finitas, MDF, en el que se discretizael dominio en n celdas y se realiza en cada unade ellas un balance de contaminantes para unintervalo de tiempo dado. Ello se realiza susti-tuyendo en cada nodo -generalmente situadoen el centro de las celdas- los términos diferen-ciales de la ecuación de transporte por su apro-ximación. Así queda definido un sistema de necuaciones lineales con n incógnitas.Habitualmente su implementación difiere en laresolución temporal, según esta se abordemediante un esquema “centrado” que ofrecemayor exactitud, al tener un menor error detruncamiento, aunque resulta numéricamentemás inestable, o que sea “explícito” o “implíci-to”, ofreciendo ambos esquemas distintos gra-dos de economía de cálculo y estabilidadnumérica frente al “centrado” pero tambiénadoleciendo ambos de una menor precisiónnumérica.

- Elementos Finitos, MEF, el dominio se discreti-za en elementos de geometría irregular uni, bio tridimensionales. A diferencia del MDF, losElementos Finitos calculan las variables deestado en todo el dominio de estudio, utilizan-do para ello funciones de interpolación, tam-bién llamadas de forma, definidas en cada ele-mento. Los comentarios realizados respecto alos esquemas de resolución temporal –explíci-to, centrado e implícitos- son válidos para estemétodo.

- De las Características, MOC, en el que en el pro-ceso de transporte se desacoplan los mecanis-

mos advectivos, que se representan mediantepartículas que se desplazan a lo largo de laslíneas de flujo, y los procesos dispersivos, quese calculan en la posición que alcanzan las par-tículas en cada tiempo de cálculo, esto es en unsistema coordenado referido al movimientoadvectivo. La resolución secuencial de los tér-minos advectivos y dispersivos de la ecuacióncontribuye a eliminar en gran medida la disper-sión numérica, aunque presentan errores poracumulación de errores de truncamiento.

- Del Camino Aleatorio, es también un métodode desplazamiento de partículas, pero en éstecada partícula representa un volumen fijo desoluto. El transporte advectivo se produce a lolargo de las líneas de flujo, mientras que el dis-persivo corresponde a la suma de un movi-miento aleatorio, cuyas características estadís-ticas dependen de los coeficientes dedispersión. El movimiento de una sola partícu-la no ofrece ninguna información, sólo la super-posición de sus trayectorias y el recuento de lasmasas que las representan, permiten conocerla concentración de soluto en cada celda. Estemétodo evita los problemas de dispersiónnumérica.

La resolución numérica de las ecuaciones de esta-do de Flujo y Transporte para un sistema de flujo bajola condición de densidad variable es un problema degran complejidad numérica, como ya se señalaraanteriormente. Para abordarlo se han seguido distin-tas estrategias, algunas simplifican el cálculo –consi-derando al agua dulce y a la salobre como inmisci-bles o considerando en el sistema un único fluidoequivalente- pero limitan el alcance de los problemasa tratar y otras que mantienen la complejidad del pro-blema pero demandan una mayor sofisticación de loscódigos a emplear y una gran capacidad de los equi-pos informáticos que soportan el modelo.

Modelos de interfaz neta

Los modelos de interfaz neta se basan en consideraral agua dulce y al agua salada como dos fluidosinmiscible que se encuentran separados por unainterfaz brusca. La posición de la interfaz en generales calculada mediante la aproximación de Ghyben-Herzberg, por lo que implícitamente se basan en lahipótesis de Dupuit –flujo preponderantemente hori-zontal, estratificado-. Sin embargo, dentro de estetipo de modelo también se inscribe el método de loselementos analíticos de Strack (1987,1995), en el quela ubicación de la interfaz se realiza mediante funcio-

nes especiales, aunque la implementación de estemétodo presenta una capacidad de simulación limita-da (Oude Essink y Boekelman, 1998).

Los métodos de interfaz neta se basan en suponerun equilibrio hidrostático, donde el flujo es de carác-ter estratificado y, fundamentalmente, en la inmisci-bilidad del agua dulce y del agua salada. Sin embar-go, en la realidad estos fluidos son miscibles y la zonade transición suele caracterizarse por estar sujeta adispersión hidrodinámica (Bouzouf et al., 2000). Elhecho que los modelos de interfaz neta no considerenla mezcla por dispersión y difusión es una limitaciónparticularmente restrictiva. Algunos autores señalanque este rasgo afecta particularmente a la simulaciónde actividades antrópicas, como la recarga artificial yla extracción o inyección de aguas con caudales altosy variables -por ejemplo en inyección en sondeosprofundos o en almacenamiento subterráneo conrecuperación- (Oude Essink y Boekelman,1998). Noobstante, esta limitación resulta restrictiva tambiénpara una simulación realista y detallada de procesosde intrusión, ubicación de la cuña marina o el estudiode descarga de acuíferos confinados. En estos casosno sólo no se representaría la zona de mezcla con-vectiva sino que al caracterizar la cuña se podría lle-gar a subestimar su penetración o, en el caso de ladescarga mar afuera de acuíferos confinados, sobres-timar las descargas. Este último hecho ha sido cote-jado tanto por mediciones en campo como por con-traste con modelos de densidad variable (Groen et al.,2000, Kooi y Groen, 2001). Asimismo, estos modelosno serían adecuados de aplicar en casos en que ladispersividad se viera acrecentada por la heteroge-neidad del acuífero, flujos lentos del agua subterrá-nea o efectos de marea (Ataie-Ashtiani et al., 1998)

Los modelos de interfaz suelen ser más sencillosque los de densidad variable y requieren menosdatos y tiempo de cálculo. El empleo de este tipo demétodo es adecuado para obtener soluciones rápidasy globales, tales como la obtención de unas primerasaproximaciones en estudios regionales o en estudioslocales o de detalle en los que la disponibilidad dedatos y recursos es limitada. Igualmente, en acuíferosen los que la zona de transición es relativamentepequeña comparada con la extensión y la potenciadel acuífero resultan un escenario adecuado paraaplicar estos modelos (Bouzouf et al., 2000). En el 16th

Salt Water Intrusion Meeting se han presentado dosmodelos similares basados en la hipótesis de la estra-tificación del flujo, en los que se identificaba la inter-faz neta mediante la aplicación del método de losvolúmenes finitos (Bouzouf et al., 2000), en un caso, ylas diferencias finitas en 3D (Bakker, 2000), en el otro.

Modelos de densidad equivalente

Los modelos de densidad equivalente se basan en larepresentación del sistema bajo un único fluido dereferencia, el cual usualmente es el agua dulce.Debido a ello el fluido resulta continuo y sus propie-dades son constantes en todo el dominio. Existen dosaproximaciones diferentes, en una las ecuaciones seresuelven en términos de función de corriente y, en laotra, en términos de potencial hidráulico. Sin embar-go, debe observarse que contrastes realizados entreeste tipo de modelos y los de densidad variable pusoen evidencia que los resultados de los mismos pue-den diferir notablemente al identificar las velocidadesy direcciones de flujo (Kelly y Bair, 1988). En ambasaproximaciones, la franja de transición se puedesimular definiendo escalones de variación de la den-sidad, representándose así de forma discreta la evo-lución de la densidad del fluido en este sector del sis-tema. Este tratamiento discreto de la evoluciónespacial del fluido lleva aparejado el asumir que semantiene la conservación de la masa en los distintosescalones, no habiendo mezcla de fluido a través delas distintas interfaces. Situación que, en rigor, sólose produce en régimen estacionario, con lo que sepone de evidencia otra gran limitación de estas apro-ximaciones: la imposibilidad de simular el régimentransitorio. Asimismo, y al igual que las restantes téc-nica numéricas, la zona de transición demanda unapartición espacial de detalle.

Modelos de niveles equivalentes

El régimen estudiado se simula en términos de poten-cial de agua dulce. Si se escribe la velocidad de Darcy(1) en términos de carga hidráulica equivalente, setiene:

(16)y

(17)

Donde: he es la carga hidráulica equivalente; p esel potencial del sistema de flujo en un punto dado yρ0 es la densidad del fluido de referencia, usualmenteagua dulce. La expresión (17) permite interpretar que


562

hpg

z p g h ze e= + ⇒ = −ρ

ρ0

0 ( )

v

vK

g h g z= − • ∇ + − ∇µ

ρ ρ ρ( ( ) )0 0


563

en estos casos el flujo en el medio poroso se hallagobernado por dos fuerzas: 1, la variación del nivelpiezométrico, referido a un fluido ficticio homogéneode densidad, ρ0, y una fuerza ascensional causada porla diferencia entre la densidad real del flujo, ρ, y lacorrespondiente al fluido ficticio, ρ0 (Senger yFogg,1990 a y b; Gupta y Bair, 1997)). La influencia deesta fuerza ascensional en los campos de flujo equi-valentes se puede apreciar claramente en la ecuaciónde flujo en dos dimensiones para régimen estaciona-rio. Si se definen una densidad relativa, ρr, y la con-ductividad hidráulica equivalente Ke, como:

(18)

(19)

La ecuación de flujo en un plano vertical para régi-men estacionario se escribe como:

(20)

La componente vertical del flujo en la ecuación(20) viene dada por el gradiente hidráulico en la direc-ción del eje Z y por la fuerza ascensional debido a lavariación de la densidad del fluido.

La interfaz entre los dos fluidos significa una dis-continuidad en las propiedades del sistema de flujo.Esta singularidad se representa con la introducciónde las fuerzas ascensionales en la componente verti-cal del flujo, con lo que se causa un salto en el poten-cial a lo largo de la interfaz. En términos prácticos,esto se puede traducir en el acoplamiento de un tér-mino de empuje hidrostático a la componente verticaldel flujo (Van Meir et al., 2000).

Función de flujo equivalente

Una función de flujo, Ψ, es constante a lo largo de unalínea de corriente y la diferencia entre ellas, Ψi-Ψi-1, secorresponde a la descarga entre dos líneas decorriente. Cuando se emplean funciones de flujo paraproblemas de densidad variable, estas deben definir-se en términos de flujo másicos y, también en estesentido, debe desarrollarse la ecuación de flujo. Una

forma más general de escribir la ecuación de conti-nuidad, considerando la variación de densidad, ρ, es:

(21)

Donde: q es el caudal en el plano del campo de flujo.Si se trabaja con funciones de flujo en términos de

volumen de flujo y no de masa se pueden generarerrores significativos en el campo de flujo que seobtenga como solución de problema (Senger y Fogg,1990 a y b; Evans y Raffensperger,1992; Lebbe y VanMeir,2000). Esto errores incrementarán su magnituden la medida que el gradiente de densidades, ∇∇ρ,tienda a ser paralelo a las líneas de flujo. Ello se poneen evidencia de forma clara, si se desarrolla (21):

(22)

reagrupando:

(23)

Así, el segundo miembro de la ecuación será iguala 0 cuando el caudal, q, sea ortogonal al gradiente dela densidad, ∇∇ρ. Evidentemente, también se apreciaque cuanto menor sea el contrate en la variación delfluido, menor será la distorsión al representar con unfluido homogéneo al sistema de flujo.

En problemas bidimensionales, este método per-mite observar de forma bastante intuitiva la magnitudy velocidad del flujo. Por otro lado, la aplicación delmismo en los términos convenientes garantiza elprincipio de conservación de la masa, aún cuando nose haya alcanzado la convergencia numérica (Evans yRaffensperger, 1992). Estos investigadores, y otros(Olsthorn, 2000), coinciden en señalar en que las solu-ciones numéricas de este método suelen ser másestables y converger más rápidamente que las resul-tantes del estudiar el campo de flujo equivalente entérminos de presiones o niveles. Asimismo, el uso defunciones de flujo equivalente evita los problemas delcálculo en convección libre, en donde los errores pordiscretización pueden ser mayores que los gradientesde presione existentes.

Una restricción de este método es su aplicación alrégimen estacionario. Así, si bien se puede estudiar la

vk

p g= − • ∇ −µ

ρ( )− •∇ + ∇ + •∇[ ] +

− =

θρ θρ

θρ ∂∂

v C D I D C

Q C CCt

m

p

( )

( )*

ρ ρ ∂ρ∂

= + −0 0CC C( )∇ ∇

+ =k

gh Q S

hts

ρµ

ρ ∂∂

*

Dvv

v

vvv

Dxx Lx

THy


2 2 2

*hpg

z= +ρ

Dv

vvv

vv

Dyy Ly

THx


2 2 2

*S gs = +ρ α θβ( )

Dvv

vv

v

vDzz L

zTH

xTV

y= + + +α α α τ2 2 2

*( ) ( )2 2bl

Khl

q q b Sh

ff

n I n I Sff

t

∂∂

∂∂

∂∂

+ − =+ −

D Dv v

vxy yx L THx y= = −( )α αS gSf = ρ α0

D Dv v


D Dv v


( ) ( )2 2bl

Dcl

vcl

bctf

ff

fn I n I

f∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

−

+ − =+ −

Γ Γ

D v Df f f= +α *


+ = ⇒ = 10 025

z h hd

s dd

s

s ds=

−−

−ρ

ρ ρρ

ρ ρ( ) ( )

hpg

z p g h ze e= + ⇒ = −ρ

ρ0

0 ( )

vK

g h g z= − • ∇ + − ∇µ

ρ ρ ρ( ( ) )0 0

ρ ρρr = −

0

1

Kk g

e = ρµ

0

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

ρx

Khx z

Khz

Kex ez ez r

+ +

= 0

∇ =ρq 0

∇ = ∇ • + •∇ρ ρ ρq q q

∇ • = − •∇q

q ρρ

Pv x

Dx

el l

=∇

= ∇α

Pe ≤ 2

C0 1≤

Pe ≤ 4

Cv t

x0 =∇

∇

Kb g

f = ( )212

20ρ

µ

vk

p g= − • ∇ −µ

ρ( )− •∇ + ∇ + •∇[ ] +

− =

θρ θρ

θρ ∂∂

v C D I D C

Q C CCt

m

p

( )

( )*

ρ ρ ∂ρ∂

= + −0 0CC C( )∇ ∇

+ =k

gh Q S

hts

ρµ

ρ ∂∂

*

Dvv

v

vvv

Dxx Lx

THy


2 2 2

*hpg

z= +ρ

Dv

vvv

vv

Dyy Ly

THx


2 2 2

*S gs = +ρ α θβ( )

Dvv

vv

v

vDzz L

zTH

xTV

y= + + +α α α τ2 2 2

*( ) ( )2 2bl

Khl

q q b Sh

ff

n I n I Sff

t

∂∂

∂∂

∂∂

+ − =+ −

D Dv v


D Dv v


D Dv v


( ) ( )2 2bl

Dcl

vcl

bctf

ff

fn I n I

f∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

−

+ − =+ −

Γ Γ

D v Df f f= +α *


+ = ⇒ = 10 025

z h hd

s dd

s

s ds=

−−

−ρ

ρ ρρ

ρ ρ( ) ( )

hpg

z p g h ze e= + ⇒ = −ρ

ρ0

0 ( )

vK

g h g z= − • ∇ + − ∇µ

ρ ρ ρ( ( ) )0 0

ρ ρρr = −

0

1

Kk g

e = ρµ

0

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

ρx

Khx z

Khz

Kex ez ez r

+ +

= 0

∇ =ρq 0

∇ = ∇ • + •∇ρ ρ ρq q q

∇ • = − •∇q

q ρρ

Pv x

Dx

el l

=∇

= ∇α

Pe ≤ 2

C0 1≤

Pe ≤ 4

Cv t

x0 =∇

∇

Kb g

f = ( )212

20ρ

µ

vk

p g= − • ∇ −µ

ρ( )− •∇ + ∇ + •∇[ ] +

− =

θρ θρ

θρ ∂∂

v C D I D C

Q C CCt

m

p

( )

( )*

ρ ρ ∂ρ∂

= + −0 0CC C( )∇ ∇

+ =k

gh Q S

hts

ρµ

ρ ∂∂

*

Dvv

v

vvv

Dxx Lx

THy


2 2 2

*hpg

z= +ρ

Dv

vvv

vv

Dyy Ly

THx


2 2 2

*S gs = +ρ α θβ( )

Dvv

vv

v

vDzz L

zTH

xTV

y= + + +α α α τ2 2 2

*( ) ( )2 2bl

Khl

q q b Sh

ff

n I n I Sff

t

∂∂

∂∂

∂∂

+ − =+ −

D Dv v


D Dv v


D Dv v


( ) ( )2 2bl

Dcl

vcl

bctf

ff

fn I n I

f∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

−

+ − =+ −

Γ Γ

D v Df f f= +α *


+ = ⇒ = 10 025

z h hd

s dd

s

s ds=

−−

−ρ

ρ ρρ

ρ ρ( ) ( )

hpg

z p g h ze e= + ⇒ = −ρ

ρ0

0 ( )

vK

g h g z= − • ∇ + − ∇µ

ρ ρ ρ( ( ) )0 0

ρ ρρr = −

0

1

Kk g

e = ρµ

0

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

ρx

Khx z

Khz

Kex ez ez r

+ +

= 0

∇ =ρq 0

∇ = ∇ • + •∇ρ ρ ρq q q

∇ • = − •∇q

q ρρ

Pv x

Dx

el l

=∇

= ∇α

Pe ≤ 2

C0 1≤

Pe ≤ 4

Cv t

x0 =∇

∇

Kb g

f = ( )212

20ρ

µ

vk

p g= − • ∇ −µ

ρ( )− •∇ + ∇ + •∇[ ] +

− =

θρ θρ

θρ ∂∂

v C D I D C

Q C CCt

m

p

( )

( )*

ρ ρ ∂ρ∂

= + −0 0CC C( )∇ ∇

+ =k

gh Q S

hts

ρµ

ρ ∂∂

*

Dvv

v

vvv

Dxx Lx

THy


2 2 2

*hpg

z= +ρ

Dv

vvv

vv

Dyy Ly

THx


2 2 2

*S gs = +ρ α θβ( )

Dvv

vv

v

vDzz L

zTH

xTV

y= + + +α α α τ2 2 2

*( ) ( )2 2bl

Khl

q q b Sh

ff

n I n I Sff

t

∂∂

∂∂

∂∂

+ − =+ −

D Dv v


D Dv v


D Dv v


( ) ( )2 2bl

Dcl

vcl

bctf

ff

fn I n I

f∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

−

+ − =+ −

Γ Γ

D v Df f f= +α *


+ = ⇒ = 10 025

z h hd

s dd

s

s ds=

−−

−ρ

ρ ρρ

ρ ρ( ) ( )

hpg

z p g h ze e= + ⇒ = −ρ

ρ0

0 ( )

vK

g h g z= − • ∇ + − ∇µ

ρ ρ ρ( ( ) )0 0

ρ ρρr = −

0

1

Kk g

e = ρµ

0

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

ρx

Khx z

Khz

Kex ez ez r

+ +

= 0

∇ =ρq 0

∇ = ∇ • + •∇ρ ρ ρq q q

∇ • = − •∇q

q ρρ

Pv x

Dx

el l

=∇

= ∇α

Pe ≤ 2

C0 1≤

Pe ≤ 4

Cv t

x0 =∇

∇

Kb g

f = ( )212

20ρ

µ

vk

p g= − • ∇ −µ

ρ( )− •∇ + ∇ + •∇[ ] +

− =

θρ θρ

θρ ∂∂

v C D I D C

Q C CCt

m

p

( )

( )*

ρ ρ ∂ρ∂

= + −0 0CC C( )∇ ∇

+ =k

gh Q S

hts

ρµ

ρ ∂∂

*

Dvv

v

vvv

Dxx Lx

THy


2 2 2

*hpg

z= +ρ

Dv

vvv

vv

Dyy Ly

THx


2 2 2

*S gs = +ρ α θβ( )

Dvv

vv

v

vDzz L

zTH

xTV

y= + + +α α α τ2 2 2

*( ) ( )2 2bl

Khl

q q b Sh

ff

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t

∂∂

∂∂

∂∂

+ − =+ −

D Dv v


D Dv v


D Dv v


( ) ( )2 2bl

Dcl

vcl

bctf

ff

fn I n I

f∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

−

+ − =+ −

Γ Γ

D v Df f f= +α *


+ = ⇒ = 10 025

z h hd

s dd

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s ds=

−−

−ρ

ρ ρρ

ρ ρ( ) ( )

hpg

z p g h ze e= + ⇒ = −ρ

ρ0

0 ( )

vK

g h g z= − • ∇ + − ∇µ

ρ ρ ρ( ( ) )0 0

ρ ρρr = −

0

1

Kk g

e = ρµ

0

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

ρx

Khx z

Khz

Kex ez ez r

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= 0

∇ =ρq 0

∇ = ∇ • + •∇ρ ρ ρq q q

∇ • = − •∇q

q ρρ

Pv x

Dx

el l

=∇

= ∇α

Pe ≤ 2

C0 1≤

Pe ≤ 4

Cv t

x0 =∇

∇

Kb g

f = ( )212

20ρ

µ

vk

p g= − • ∇ −µ

ρ( )− •∇ + ∇ + •∇[ ] +

− =

θρ θρ

θρ ∂∂

v C D I D C

Q C CCt

m

p

( )

( )*

ρ ρ ∂ρ∂

= + −0 0CC C( )∇ ∇

+ =k

gh Q S

hts

ρµ

ρ ∂∂

*

Dvv

v

vvv

Dxx Lx

THy


2 2 2

*hpg

z= +ρ

Dv

vvv

vv

Dyy Ly

THx


2 2 2

*S gs = +ρ α θβ( )

Dvv

vv

v

vDzz L

zTH

xTV

y= + + +α α α τ2 2 2

*( ) ( )2 2bl

Khl

q q b Sh

ff

n I n I Sff

t

∂∂

∂∂

∂∂

+ − =+ −

D Dv v


D Dv v


D Dv v


( ) ( )2 2bl

Dcl

vcl

bctf

ff

fn I n I

f∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

−

+ − =+ −

Γ Γ

D v Df f f= +α *


+ = ⇒ = 10 025

z h hd

s dd

s

s ds=

−−

−ρ

ρ ρρ

ρ ρ( ) ( )

hpg

z p g h ze e= + ⇒ = −ρ

ρ0

0 ( )

vK

g h g z= − • ∇ + − ∇µ

ρ ρ ρ( ( ) )0 0

ρ ρρr = −

0

1

Kk g

e = ρµ

0

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

ρx

Khx z

Khz

Kex ez ez r

+ +

= 0

∇ =ρq 0

∇ = ∇ • + •∇ρ ρ ρq q q

∇ • = − •∇q

q ρρ

Pv x

Dx

el l

=∇

= ∇α

Pe ≤ 2

C0 1≤

Pe ≤ 4

Cv t

x0 =∇

∇

Kb g

f = ( )212

20ρ

µ

evolución histórica de escenarios mediante “fotosfijas” (Olsthorn,2000), ello impide su uso ante la pre-sencia de bombeos u otra acción análoga sobre el sis-tema, en la que deba considerarse el almacenamien-to del mismo. Entre otras restricciones se debeseñalar lo compleja que resulta su extensión a pro-blemas tridimensionales. Una limitación conceptualnotoria de este tipo de modelos radica en su calibra-ción, pues al no ser mensurable la función de flujo, lamisma debe ser inferida a partir de otras variables decampo tales como caudales de descarga, presiones oniveles.

La representación de fuentes y sumideros, aún enrégimen estacionario, resulta engorrosa de imple-mentar. La misma se realiza imponiendo términos ala función de corriente que generan saltos en lamisma reflejando con estos las discontinuidades queimplican las fuentes y sumidero en el campo de flujo.

Densidad variable

Considerar en la simulación numérica la variabilidadde la densidad, además de ofrecer una representa-ción más realista es, en mucho sistemas, un requeri-miento ineludible por las características del problemaestudiado, por ejemplo en condiciones en que la fran-ja de transición es extensa y debe estudiarse en deta-lle la gestión del recurso (Lahm et al., 1998). Para ello,algunos modelos resuelven las ecuaciones de flujo(2) y transporte (8) considerando de forma explícita lavariación de la densidad, a la que suelen hacer variarlinealmente en función de las concentraciones encondiciones isotermas –aunque existen códigos queconsideran la influencia de la temperatura-. La ecua-ción de transporte, aún en condiciones de densidadconstante, resulta particularmente compleja su reso-lución numérica debido a su término advectivo -hiperbólico-.

La representación numérica si bien ofrece una tra-tamiento más realista de los sistemas, y con ello uninnegable atractivo, también lleva aparejado en eldesarrollo de los modelos una serie de requerimien-tos y restricciones que obligan a operar con particularatención. En este aspecto ciertas conceptualizacionesde los sistemas, las condiciones de contorno que deellas se deriven y el método numérico de resolucióndeben valorarse convenientemente (Konikow, et al.,1997 y Holzbecker et al., 1997). Igualmente, una dis-cretización relativamente simple puede generar artifi-cialmente velocidades de flujo (Voss y Souza,1987).Por otro lado, estos modelos son particularmente exi-gentes en cuanto a requerimientos de datos del siste-ma hidrogeológico.

Aspectos particularesen la representación numérica

La resolución numérica de la ecuación de transporteen el dominio de estudio es inherente a la modela-ción del correspondiente sistema de flujo bajo condi-ciones de densidad variable. Debido a ello la proble-mática que presente la modelación del transporte desolutos también debe abordarse al desarrollar mode-los bajo condiciones de densidad variable. En estesentido el primer aspecto a considerar es la represen-tatividad de la ecuación de transporte. Carrera (1985)realiza una reseña de los distintos aspectos por lo quese puede cuestionar la aplicación general de la expre-sión dada para la ecuación de transporte (8): interde-pendencia real de los procesos de transporte ydependencia de la dispersividad con la escala del pro-blema analizado, entre otros. En particular, en siste-mas de flujo bajo condiciones de densidad variable seestablece una interdependencia entre el campo develocidades y la dispersión, que incide de formanegativa para representar adecuadamente la posicióny amplitud de la zona de transición (Croucher yO’Sullivan, 1995) Sin embargo, como señala Carrera(1985) –augurando muchos años de uso a esta for-mulación-, la resolución de la expresión (8) permitesimular situaciones reales, en claro contraste con lasalternativas formuladas.

Existen dos magnitudes adimensionales que con-tribuyen a la caracterización del problema de trans-porte y, que a su vez, deben servir de referencia aldefinir las discretizaciones espacial y temporal. Estasson:

- el Número de Peclet,

(24)

- el Número de Courant,

(25)

Donde: ∆x es una distancia media entre nudos ocentros de celdas; Dl es el coeficiente de dispersiónlongitudinal; ∆t es un intervalo de tiempo de cálculo;αl es la dispersividad longitudinal y v es el módulola velocidad de Darcy. El número de Peclet, Pe, evalúala importancia relativa entre los procesos de trans-porte advectivos y dispersivos. Así, si Pe<1 predomi-nan los proceso dispersivos, siendo preponderanteen la ecuación de transporte el término parabólico, ysi Pe>1 los procesos advectivos son los relevantes,


564

vk

p g= − • ∇ −µ

ρ( )− •∇ + ∇ + •∇[ ] +

− =

θρ θρ

θρ ∂∂

v C D I D C

Q C CCt

m

p

( )

( )*

ρ ρ ∂ρ∂

= + −0 0CC C( )∇ ∇

+ =k

gh Q S

hts

ρµ

ρ ∂∂

*

Dvv

v

vvv

Dxx Lx

THy


2 2 2

*hpg

z= +ρ

Dv

vvv

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Dyy Ly

THx


2 2 2

*S gs = +ρ α θβ( )

Dvv

vv

v

vDzz L

zTH

xTV

y= + + +α α α τ2 2 2

*( ) ( )2 2bl

Khl

q q b Sh

ff

n I n I Sff

t

∂∂

∂∂

∂∂

+ − =+ −

D Dv v


D Dv v


D Dv v


( ) ( )2 2bl

Dcl

vcl

bctf

ff

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f∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

−

+ − =+ −

Γ Γ

D v Df f f= +α *


+ = ⇒ = 10 025

z h hd

s dd

s

s ds=

−−

−ρ

ρ ρρ

ρ ρ( ) ( )

hpg

z p g h ze e= + ⇒ = −ρ

ρ0

0 ( )

vK

g h g z= − • ∇ + − ∇µ

ρ ρ ρ( ( ) )0 0

ρ ρρr = −

0

1

Kk g

e = ρµ

0

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

ρx

Khx z

Khz

Kex ez ez r

+ +

= 0

∇ =ρq 0

∇ = ∇ • + •∇ρ ρ ρq q q

∇ • = − •∇q

q ρρ

Pv x

Dx

el l

=∇

= ∇α

Pe ≤ 2

C0 1≤

Pe ≤ 4

Cv t

x0 =∇

∇

Kb g

f = ( )212

20ρ

µ

vk

p g= − • ∇ −µ

ρ( )− •∇ + ∇ + •∇[ ] +

− =

θρ θρ

θρ ∂∂

v C D I D C

Q C CCt

m

p

( )

( )*

ρ ρ ∂ρ∂

= + −0 0CC C( )∇ ∇

+ =k

gh Q S

hts

ρµ

ρ ∂∂

*

Dvv

v

vvv

Dxx Lx

THy


2 2 2

*hpg

z= +ρ

Dv

vvv

vv

Dyy Ly

THx


2 2 2

*S gs = +ρ α θβ( )

Dvv

vv

v

vDzz L

zTH

xTV

y= + + +α α α τ2 2 2

*( ) ( )2 2bl

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q q b Sh

ff

n I n I Sff

t

∂∂

∂∂

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+ − =+ −

D Dv v


D Dv v


D Dv v


( ) ( )2 2bl

Dcl

vcl

bctf

ff

fn I n I

f∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

−

+ − =+ −

Γ Γ

D v Df f f= +α *


+ = ⇒ = 10 025

z h hd

s dd

s

s ds=

−−

−ρ

ρ ρρ

ρ ρ( ) ( )

hpg

z p g h ze e= + ⇒ = −ρ

ρ0

0 ( )

vK

g h g z= − • ∇ + − ∇µ

ρ ρ ρ( ( ) )0 0

ρ ρρr = −

0

1

Kk g

e = ρµ

0

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

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Khx z

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Kex ez ez r

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Pe ≤ 2

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Cv t

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20ρ

µ


565

cobrando peso en (8) el término hiperbólico. El núme-ro de Courant, Co, indica la relación entre la distanciarecorrida por el soluto debido al transporte advectivodurante un intervalo de tiempo de cálculo y la discre-tización espacial del problema

Los modelos eulerianos -en los que se resuelve laecuación de transporte mediante métodos como dife-rencias finitas o elementos finitos- ofrecen solucionesestables para el problema de transporte, cuando losprocesos dispersivos son preponderantes sobre losadvectivos y el frente de soluto es relativamentesuave (Carrera, 1985). Para números de Peclet altosse pueden producir fuertes oscilaciones en la solu-ción, ello se evita si se cumplen las condiciones empí-ricas siguientes:

(26)

Algunos autores (Oude Essink y Boekelman, 1998)consideran que si se emplean el MEF con funcionesde interpolación cuadráticas la condición a cumplir es

(27)

Sin embargo, aunque la verificación de la condi-ción (26) evita oscilaciones en la solución numérica,en algunos casos puede llevar a discretizacionesespaciales extremadamente finas y la consiguientedefinición de intervalos de tiempo de cálculo muypequeños. Así, se puede dar el hecho que la soluciónpierda exactitud por acumulación de errores deredondeo (Neuman, 1983; en Carrera, 1985). Por otrolado, un esquema de cálculo “hacia atrás” que brindaestabilidad al problema, puede conducir a un suavi-zado artificial del frente de contaminante e introducirun error de truncamiento, haciendo perder precisiónnumérica a la solución. Este tipo de error produceuna dispersión numérica que impide una correctarepresentación del fenómeno físico, al “esparcir” elfrente brusco del soluto de una forma aún mayor a laproducida por la dispersión hidrodinámica misma.Así, en modelos de intrusión marina se vería incre-mentada la amplitud de la zona de transición y dis-torsionada la posición de la cuña de penetración(Coucher y O’Sullivan, 1995). El incremento artificialen la dispersión que introduce la dispersión numéricaes proporcional a la distancia entre nudos del malla-do (Carrera, 1985). Sin embargo, como ya se señala-ra, estos errores no sólo se encuentran relacionadoscon la discretización que se defina, sino con el esque-

ma de resolución que se adopte, según éste seaimplícito, centrado o explícito

La definición de las condiciones de contorno ade-cuadas es un aspecto que no está exento de dificultaden este tipo de modelo. Así, la definición de la condi-ción de concentración prefijada puede implicar laexistencia de un flujo másico dispersivo sobre el quese tiene poco control y que puede distorsionar larepresentación del sistema. En referencia a esto seprodujo una interesante discusión en torno al Caso 5del Nivel 1 del ejercicio internacional HYDROCOIN -Hydrologic Code Intercomparison- (Konikow et al.,1997; Holzbecher et al., 1998). En la misma, se señalaque los métodos mixtos lagrangianos-eulerianoscomo el de Partículas Características o el de CaminosAleatorios representan con una menor dispersiónnumérica que los métodos eulerianos, los problemasen que la advección es el proceso preponderante enel transporte de soluto. Atendiendo a dicha observa-ción, se puede considerar que los métodos mixtosresultan los más adecuados para implementar la con-dición de concentración prefijada -tipo Dirichlet-,cuando esta se define en un modelo. Sin embargo, enesta discusión se desalienta a utilizar la condición deconcentración prefijada debido a que su analogíaestricta en la naturaleza es una rareza (Konikow et al.,1997), considerándose más pertinente el empleo de lacondición de contorno mixta -tipo Cauchy-.

La simulación del transporte advectivo necesitaaproximar 2 vectores: el gradiente de la concentra-ción y la velocidad. Frente a los problemas usuales deflujo de densidad constante donde la velocidad varíasuavemente, en los problemas bajo densidad varia-ble –tal como el de intrusión marina o de ISP- elcampo de velocidades suele ser altamente variable.La velocidad se calcula a partir de las presiones ydensidades evaluadas en los nudos o celdas (1). Si ladensidad es constante la presión sólo varía lineal-mente, pero si la densidad varía linealmente en verti-cal la presión lo hará cuadráticamente. Por otro lado,si bien la densidad es variable en un sistema, al dis-cretizarse este, la densidad pasará a ser constante encada nodo o celda. Debido a ello, el error de trunca-miento asociado a la velocidad que afecta notable-mente al cálculo de la misma, dependerá de la dis-cretización espacial que se adopte y su reducciónrequerirá refinar el mallado.

Los métodos eulerianos, aún para sistemas dedensidad constante, requieren mallas más refinadaspara minimizar el problema clásico de dispersiónnumérica al resolver la ecuación de transporte. Elerror de dispersión numérica es de segundo orden,mientras que el error de truncamiento de la velocidaddependerá del orden de la interpolación de las pre-

vk

p g= − • ∇ −µ

ρ( )− •∇ + ∇ + •∇[ ] +

− =

θρ θρ

θρ ∂∂

v C D I D C

Q C CCt

m

p

( )

( )*

ρ ρ ∂ρ∂

= + −0 0CC C( )∇ ∇

+ =k

gh Q S

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ρ ∂∂

*

Dvv

v

vvv

Dxx Lx

THy


2 2 2

*hpg

z= +ρ

Dv

vvv

vv

Dyy Ly

THx


2 2 2

*S gs = +ρ α θβ( )

Dvv

vv

v

vDzz L

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y= + + +α α α τ2 2 2

*( ) ( )2 2bl

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q q b Sh

ff

n I n I Sff

t

∂∂

∂∂

∂∂

+ − =+ −

D Dv v


D Dv v


D Dv v


( ) ( )2 2bl

Dcl

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f∂∂

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Γ Γ

D v Df f f= +α *


+ = ⇒ = 10 025

z h hd

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s

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z p g h ze e= + ⇒ = −ρ

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20ρ

µ

siones, que suele ser lineal. Por ello, si una discreti-zación se diseña atendiendo a la condición de Peclet(26) para minimizar el error de dispersión numérica,también ofrecerá un error de truncamiento asociadoa la velocidad pequeño, que en cada celda será pro-porcional a la superficie respectiva. En los métodoslagrangianos-eulerianos la necesidad de refinar elmallado para minimizar el error de truncamiento de lavelocidad incrementará el costo de cálculo, al estareste relacionado linealmente con el número de partí-culas por nodo o celda. Así, el error de truncamientode la velocidad afecta en particular a los métodos departículas (lagrangianos-eulerianos) y con ello estospierden la ventaja en términos de costo computacio-nal que presentan frente a las técnicas eulerianas, yaque dicha ventaja se basa en la posibilidad de usarmallados más toscos sin menguar la precisión en larespuesta, al verse afectados sólo marginalmente porel problema de dispersión numérica (Benson et al.,1998).

El impacto que introduce el truncamiento de lavelocidad depende tanto de la magnitud de la mismacomo de la heterogeneidad del sistema. En particular,las heterogeneidades a escala local de la permeabili-dad inciden en el campo de velocidades, produciendocon ello notorias alteraciones en el transporte advec-tivo y presentando una clara interrelación con los pro-cesos dispersivos. Así, aún cuando un dominio puedadefinirse en términos de una k media, los rasgos loca-les pueden tener un impacto importante en el proble-ma debido a las grandes diferencias en la densidadgeneradas por las alteraciones que se producen en eltransporte advectivo y dispersivo (Schincariol, 1998).

Entre los problemas de densidad variable, el deinyección profunda en medios fracturados es uno delos que presenta dificultades particulares para surepresentación por distintos aspectos. Uno de ellosestá ligado al sistema de fractura que constituye laestructura de caminos preferentes de flujo. Un estu-dio realizado mediante modelos sintéticos (Shikaze etal., 1998) puso en evidencia que el desarrollo de unapluma de soluto en este tipo de medio puede ser alta-mente irregular. Ello se debe a la complejidad de lared de fracturas y a la presencia de las celdas de con-vección que la red define en la matriz rocosa, queinciden en la difusión del soluto y por consiguiente enla variación de la densidad en el sistema. Por lo tanto,si se tiene en cuenta que los sistemas de fracturas noson uniformes ni en apertura ni en espaciado y quesu caracterización espacial es desconocida deben sertratados estadísticamente. Este hecho invita a refle-xionar sobre la magnitud de la incertidumbre quelleva aparejado el empleo de modelos determinísti-cos en medios fracturados en casos de densidad

variable del fluido para estudiar los rasgos de unapluma de soluto –magnitud y dirección- y que sugeri-ría que estas características podrían no ser suscepti-bles de predecirse mediante este tipo de modelo.

Usualmente, se considera que la convección libre,debida al gradiente de densidades, es despreciablefrente a la convección forzada, causada por el gra-diente hidráulico. Sin embargo, esta asunción que esválida para plumas de contaminantes de baja con-centración, deja de serlo para lixiviados altamenteconcentrados, como es característico en ISP. En estoscasos, en principio resulta indispensable en su repre-sentación numérica considerar la variabilidad de ladensidad, r, y la viscosidad, m, del fluido acorde varí-en la concentración del soluto y la temperatura.Además, la densidad y la viscosidad se encuentranestrechamente ligadas, afectando el no considerar lavariabilidad de alguna de las dos a la evaluacióncorrecta de la penetración del soluto –y de la recarga-en el sistema. Sin embargo, en muchos estudios secontempla la variación de la densidad y se desprecianlas de viscocidad, pues se considera que las variacio-nes que la viscosidad suscita en el campo de veloci-dades -no superior al 10%- se encuentran dentro delrango de las incertidumbres físicas y numéricas delmodelo (Ophori, 1997 y 1998 a y b).

Códigos de representación numérica

La gran difusión de los códigos numéricos comoherramientas en la hidrogeología hace que en laactualidad se encuentren a disposición de los técni-cos del sector varios programas que permiten lamodelación de sistemas de flujo bajo condiciones dedensidad y temperatura variables. Los programas secomercializan a través de distintos distribuidores,entre los más relevantes citaremos al WaterlooHydrogeologic, Inc.; Scientific Software Group,International Group Water Modeling Center, quienespor medio de sus catálogos (Waterloo Hydrogeologic,2000; IGWMC, 1999; SSG, 1998) y, en particular, suspáginas web mantienen la actualización en su ofertade software. A continuación se describen los códigosde modelación de sistemas de flujo bajo condicionesde densidad variable. La información que se extractaprocede en término generales de las referencias yadadas (Waterloo Hydrogeologic, 2001; IGWMC, 1999;SSG, 2001), de la relación general de modelos reali-zada por Heredia (1991) –debidamente actualizada-, elanálisis restringido de códigos del mismo autor(Heredia, 1999) y las publicaciones particulares quese referencian pertinentemente.


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Mocdense

Este código desarrollado por Sandford y Konikow(1985) es una versión modificada del programa MOCdesarrollado por Konikow y Bredehoeft en el marcodel U.S. Geological Survey para poder representarsistemas de flujo bajo densidad variable en dominiosbidimensionales, ya sea en horizontal o en secciónvertical. Se resuelven los problemas de flujo y trans-porte en regímenes estacionario y transitorio, la ecua-ción de estado del primero se resuelve mediante elmétodo de diferencias finitas, usando tanto presionescomo niveles hidráulicos. El transporte advectivo serepresenta mediante el método de las característicasy se pueden simular al menos hasta tres solutos oconstituyentes solubles. La densidad y la viscosidadse consideran linealmente variables con la concentra-ción de uno de los constituyentes exclusivamente yson independientes de la presión y la temperatura.Así se pueden representar problemas de contamina-ción en ambientes heterogéneos y anisotrópos conagua dulce/agua salobre. Actualmente, las dimensio-nes máximas con que se puede representar un siste-ma son: un mallado de 150 por 150 celdas, 80000 par-tículas características y 25 puntos de observación. Elcódigo tiene recursos de posproceso que facilitan lainterpretación del modelo. Este código fue utilizadoen un ejercicio de contraste entre métodos lagrangia-nos-eulerianos y eulerianos, representando unaimplementación de los primeros (Benson et al, 1998).Este ejercicio, cuyos resultados se comentarán másadelante, puso en evidencia la economía de cálculoque aportan estos métodos, aunque limitada esta acampos donde la velocidad evoluciona suavemente.Existe una adaptación tridimensional del código MOCpara flujo y transporte de soluto considerando la den-sidad del fluido variable, este es el códigoMocdense3D y fue desarrollado por Oude Essink(1999). En el 16th SWIM se han presentado varios tra-bajos en el que se aplico este código y en los que losresultados resultan de sumo interés (Oude Essink,2000; Van Meir et al., 2000; Lebbe y Van Meir, 2000).

Sutra

Este código fue desarrollado por Voss (1984) y, aligual que MOCDENSE, en el marco del U.S.Geological Survey. Posteriormente se desarrollóSUTRA-3D por un equipo encabezado por CliffordVoss (Bear et al., 1999), el cual posibilita elaborarmodelos tridimensionales para simular los proble-mas de flujo y transporte, frente a los modelos bidi-mensionales –plantas o cortes- que permitía desarro-

llar el código original. Para ello se resuelven numéri-camente mediante un método híbrido de elementosfinitos y diferencias finitas integradas las respectivasecuaciones de estado. Este método es robusto y pre-ciso si las discretizaciones espaciales y temporalesson las adecuadas. En la discretización temporal defi-nición se adopta un esquema implícito de diferenciasfinitas. Las velocidades se calculan por un método desegundo orden, lo que le incrementa la precisión, enparticular, al cálculo del transporte advectivo. El flujose simula bajo condiciones de densidad variable delfluido y el transporte de energía térmica o de sólidosdisueltos en medio poroso saturado, no saturado,anisótropo y heterogéneo, en régimen estacionario otransitorio. Las variables de estado con las que operason la presión hidrostática, p, y uno de los siguientes,la temperatura, t, o la concentración de soluto, c,según el problema que se simule. En la modelizacióndel transporte de solutos disueltos en agua subterrá-nea se pueden incluir procesos de sorción en equili-brio con la matriz porosa, de decaimiento o de pro-ducción de primer orden y de orden cero, deadvección, dispersión y difusión. El transporte deenergía térmica se considera tanto en el flujo subte-rráneo como en la matriz sólida del acuífero. Las con-diciones de contorno –entre los que se incluyen lostérminos fuentes/sumideros- pueden ser variables enel tiempo. Actualmente, existen versiones del códigocon interfaces de usuario muy desarrolladas y com-patibles con herramientas informáticas de pre y pos-proceso que facilitan y aportan seguridad al trabajodel modelista. Este código ha sido validado con losproblemas de Henry (1964) -intrusión marina-, deElder (1967) -flujo gobernado por variación de densi-dad- y el de flujo radial con transporte de solutos oenergía térmica hacia un pozo (Voss, 1984; Voss ySouza, 1987), de los que del primero y los últimos seconocen sus soluciones analíticas y del segundo susolución numérica. Asimismo, ha sido utilizado enmuchas ocasiones para desarrollar el modelo de refe-rencia en los procesos de contraste de distintos códi-go. SUTRA fue aplicado en el ya referido ejercicio decontraste entre métodos lagrangianos-eulerianos yeulerianos, representando a los segundos (Benson etal, 1998). Este código se utiliza ampliamente en loscomplejos problemas de flujo de densidad variable,como estudios de intrusión marina (Mushtaha et al,2000), efectos de mareas en acuíferos costeros (Ataie-Ashtiani et al., 1999) o sobre paleoaguas (Koesters etal, 2000). WATSUTRA es una versión modificada deSUTRA y fue desarrollado por J. Vander Kwaak en elmarco del Waterloo Center of Groundwater Research,durante los años 1995-96 (Lahm et al., 2000). Estecódigo se diferencia del SUTRA básicamente en dos

aspectos numéricos: 1, el acoplamiento del programaWatSOLV que incrementa la rapidez y eficiencia en laresolución de grandes sistemas de ecuaciones y 2, nopuede utilizar nudos que representen discontinuida-des en las capas. Igualmente, se han desarrollado prey posprocesadores específicos para este último códi-go. La mejora introducida en su capacidad de cálculoha permitido la aplicación del mismo para simulargrandes sistemas regionales y períodos de tiemposextensos (Lahm and Bair, 1997a y b, 2000 y Lahm etal., 1998).

Metropol

Este código fue desarrollado por el Instituto NacionalHolandés de Salud Pública y Protección Ambiental(Sauter et al., 1983; en Oude Essink y Boekelman,1998). Simula el flujo de agua subterránea bajo con-diciones de densidad variable y el transporte simultá-neo de contaminantes, para ello resuelve numérica-mente las ecuaciones mediante el Método de losElementos Finitos. Se ha aplicado para evaluar laseguridad de los almacenamientos profundos de resi-duos radioactivos en formaciones salinas y proble-mas de intrusión marina en acuíferos costeros regio-nales (Groen et al., 2000).

HST3D

El HST3D fue desarrollado por K. Kipp Jr en el marcodel US Geological Survey, su principal usuario (Kipp,1987, en Heredia, 1991; SSG, 2001). El código simulael flujo bajo condiciones de densidad y viscosidadvariables, transporte térmico y de solutos en acuífe-ros anisótropos y heterogéneos, en condiciones posi-bles de confinamiento, semiconfinamiento y libre ypara regímenes estacionario y transitorio. El trans-porte de solutos considera los procesos de advec-ción, dispersión, difusión, sorción y decaimiento line-al, disolución salina y lixiviación. Se puedendesarrollar modelos tridimensionales, aunque sólo sepuede representar la zona saturada y el medio poro-so. La resolución numérica de las ecuaciones de esta-do de flujo y transporte térmico y de solutos se reali-za mediante el Método de Diferencias Finitas. Lasvariables de estado son la presión, la temperatura y laconcentración de soluto. Las condiciones de contor-no, inclusive los términos fuentes-sumideros, puedendefinirse considerando su evolución temporal. Laresolución de los sistemas de ecuaciones se puederealizar, según opción, con el método iterativo desobrerelajación sucesiva bilineal o el método de las

direcciones alternadas. El código fue contrastadosatisfactoriamente con 8 soluciones analíticas deflujo, calor y transporte de soluto, así como con elcódigo SUTRA, que fue utilizado para desarrollar lasimulación de referencia. Por otro lado, Oude Essinky Boekelman (1998) referencian una aplicación pocosatisfactoria de este código en un acuífero costero enHolanda, debido a la complejidad en su implementa-ción y a que una dispersión hidrodinámica alta creózonas salobres extensas y poco realistas que no con-cordaban con la situación real (Ossekopelle, 1993).

Motif

Código tridimensional desarrollado por la AtomicEnergy of Canada Limited (AECL). Este código simulaen 3D los problemas de flujo subterráneo bajo condi-ciones de densidad y viscosidad variables, transportede solutos -incluyendo radionucleidos- y transportede calor en medios porosos y fracturados en condi-ciones saturadas y no saturadas. Los problemas sepueden resolver en régimen estacionario y transitorioy se puede representar la heterogeneidad y anisotro-pía del medio. La densidad y la viscosidad dinámicadel fluido se establecen como dependientes de latemperatura, presión y concentración de soluto. Laresolución numérica de las ecuaciones de estado aco-pladas de flujo y transporte se realiza mediante unatécnica mixta de residuos ponderados y el método delos elementos finitos. Las condiciones de contornoque se pueden definir para los tres problemas sóloson las de Dirichlet -nivel o concentración prefijada- yla de Neumann -caudal o flujo másico prefijado-,pudiendo ser variable temporalmente. Los sistemasde ecuaciones acopladas de flujo y transporte no line-ales se resuelven aplicando el método iterativo dePicard. Este código permite la discretización delmedio mediante tres tipos de elementos finitos: ele-mentos tridimensionales para el medio poroso, ele-mentos bidimensionales para representar fracturas yelementos unidimensionales para representar cana-les estrechos. La discretización temporal se realizamediante diferencias finitas. La ecuación de transpor-te resuelve los procesos de convección, dispersiónhidrodinámica, sorción lineal y desintegraciónradioactiva -sólo una especie- y de transporte decadenas de radionucleidos. La ecuación de transpor-te de calor resuelve los procesos de convección, dis-persión hidrodinámica y producción. Este código hasido verificado con seis soluciones analíticas, quecontemplaban distintos caso de flujo y transporte desolutos y calor de un acuífero, comparado con distin-tos problemas experimentales, tanto de laboratorio


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como de campo, y comparado con otros códigos. Elcódigo ha participado en el ejercicio internacionalHYDROCOIN (Heredia, 1991). Asimismo se han abor-dado el estudio de grandes sistema continentales, enel marco de las investigaciones canadienses para elalmacenamiento profundo de residuos radioactivos(Ophori, 1997, 1998 a y b).

Swift

Este código -Sandia Waste Isolation Flow andTransport, SWIFT- fue desarrollado por Ward (1991)en un marco de colaboración entre GEOTRANS, INC.y Sandia National Laboratories. El mismo permitesimular, en régimen transitorio, el problema de flujoy los de transporte de calor, soluto y cadenas deradionucleidos. Las ecuaciones de estado de estosproblemas están acopladas mediante la densidad, laviscosidad del fluido y la porosidad. Además, el códi-go simula en régimen estacionario el problema deflujo y el de transporte de solutos. Se pueden hacerrepresentaciones tridimensionales de acuíferos confi-nados y libres en medios porosos y fracturados, paraestos últimos pueden considerarse conceptualizacio-nes de fractura discreta y de doble porosidad. Lamigración dentro de la matriz rocosa está caracteriza-do por un proceso unidimensional. Asimismo se pue-den estudiar medios heterogéneos y anisótropos. Eltransporte de solutos considera los procesos deadvección, dispersión, difusión molecular, sorción,decaimiento radioactivo, disolución salina y lixividia-ción. Se aplica el método de diferencias finitas para ladiscretización tanto del dominio espacial como deltemporal, para este último se pueden aplicar esque-mas centrados e implícito. La resolución de los siste-mas de ecuaciones se realiza mediante eliminacióngaussiana o por sobrerelajación sucesiva bilineal. Lascondiciones de contorno a imponer pueden ser las deDirichlet, Neumann y Cauchy -mixta-, para cualquierade los problemas, pudiendo además tener variacióntemporal. Este código se validó con 8 soluciones ana-líticas para flujo de calor y transporte y experienciasde laboratorio; además fue contrastado con un códi-go de simulación del decaimiento radioactivo(Heredia, 1991).

Swicha

Este código fue desarrollado por GEOTRANS, INC.(Lester, 1991) y con el mismo se pueden simular losproblemas de flujo, considerando la densidad varia-ble del fluido, y el de transporte de soluto, tanto para

un régimen estacionario como transitorio. Se puederepresentar tridimensionalmente un medio porososaturado, anisótropo y heterogéneo. Por lo que res-pecta al problema de transporte de soluto, la adsor-ción se representa mediante una isoterma de equili-brio y la desintegración se describe mediante unaconstante de desintegración de primer orden. El códi-go discretiza el dominio con el método de los ele-mentos finitos, usando elementos triangulares y rec-tangulares. Las ecuaciones de estado se resuelvenmediante el método de Galerkin y en la resolucióntemporal se adopta un esquema en diferencias finitasde Crank-Nicholson. Los sistemas lineales de ecua-ciones se resuelven secuencialmente mediante unesquema de relajación en láminas sucesivas (SSQR).El sistema no lineal resultante de aplicar Galerkin yCrank-Nicholson se resuelve mediante el método ite-rativo de Picard. Las condiciones de contorno que sepueden definir, tanto en flujo como en transporte, sonlas de Dirichlet y Neumann, pudiéndosele definir lascorrespondientes evoluciones temporales. Este pro-grama presente un recurso interesante para hacerfrente a las oscilaciones en los resultados de la ecua-ción de transporte, el cual consiste en añadir una dis-persión numérica (Oude Essink y Boekelman, 1998).

Feflow

El autor principal de FEFLOW fue J. Diersh, quien lodesarrollo en el marco del Institute for WaterResources Planning and Systems Research, Ltd,WASY (Diersh,1997). Este modelo permite simular losproblemas de flujo, bajo condiciones de densidad yviscosidad variables, y transporte de calor y de solu-tos, tanto para régimen estacionario como transito-rio. Asimismo, estos problemas los puede represen-tar en zona saturada y zona vadosa, considerando laseventuales heterogeneidades del medio y la anisotro-pía. La discretización espacial la realiza mediante elMétodo de los Elementos Finitos. Los procesos detransporte que se consideran son los de advección,sorción isotérmica lineal y no lineal, difusión molecu-lar, dispersión hidrodinámica y decaimiento de pri-mer orden. Las condiciones de contorno que se pue-den aplicar en ambos problemas son las de Dirichlet,Neumann y Cauchy, considerando una eventualvariación temporal. Las ecuaciones las resuelve apli-cando el método de Gradientes ConjugadosPrecondicionados. Los problemas no lineales seresuelven aplicando los métodos de Picard o Newtoncon pasos de tiempo adaptativos. Posee recursos demodificación automática del mallado, con el fin evitarlos clásicos problemas de dispersión numérica de los

métodos eulerianos. Este código tiene desarrolladauna potente interfaz gráfica, que facilita el trabajointeractivo y es de gran utilidad en las labores de prey pos proceso. En el marco de estos recursos, elFEFLOW tiene una estrecha vinculación con el SIGARC/INFO, que permite la transferencia directa deinformación en ambos sentidos. Igualmente, entrelos resultados que ofrece este código, se debe seña-lar los balances tanto hídricos como másicos y quepueden comprender todo el dominio modelado osubzonas del mismo.

Seawat

La primer versión de este código, v1,1, fue desarro-llada en 1998 por Weiging Guo -MissimerInternational, Inc.) y G. Bennett (Papadopulos &Associetes, Inc.). Posteriormente, a lo largo de 2002en el marco del U.S. Geological Survey, se desarro-llaron las versiones 2.10, en la que se adaptó el códi-go original para la representación de sistemas deflujo bajo condiciones de densidad variable y las ver-siones , 2.11 y 2.12 en las que se fue mejorando sucapacidad de representación numérica (Guo andLangevin, 2002). El SEAWAT puede representar en 3Dpara régimen transitorio y en un medio poroso un sis-tema de flujo bajo condiciones de densidad variable,pero considera a esta exclusivamente como funciónde la concentración de soluto, despreciando los efec-tos de la temperatura. El código combina los difundi-dos programas MODFLOW y MT3DMS, para resolverde forma acoplada las ecuaciones de flujo y transpor-te de soluto, así muchos de los pre y posprocesado-res desarrollados para estos códigos pueden ser usa-dos al simular con el SEAWAT. El MODFLOW fuemodificado para resolver la ecuación de flujo bajocondiciones de densidad variable mediante la refor-mulación del sistema de ecuaciones en términos deflujo másico en vez de volumen de flujo, incluyendolos términos de densidad necesarios. La variaciónespacio-temporal de la concentración de soluto sesimula utilizando las rutinas del MT3DMS. SEAWATutiliza tanto el procedimiento explícito o implícitopara acoplar las ecuaciones de flujo y de transportede soluto. En el procedimiento explícito, la ecuaciónde flujo es resuelta para cada paso de tiempo y elcampo de velocidades advectivas resultante se utilizapara resolver la ecuación de transporte, este procedi-miento de resolución alterna de ambas ecuaciones serepite hasta completar el período simulado. En el pro-cedimiento implícito, las ecuaciones de flujo y trans-porte son resueltas numerosas veces en cada paso detiempo, hasta que la diferencia en la densidad del flui-

do entre iteraciones consecutivas es menor a la tole-rancia especificada previamente. El SEAWAT fue tes-teado mediante la resolución de los problemas deHenry (1964), de Elder (1967) y del caso 5 del nivel 1del ejercicio HYDROCOIN -flujo de agua dulce sobreun domo salino- (Konicow et al 1997). Los problemasde Henry y Elder se contrastaron con su solución ana-lítica y numérica, respectivamente, y ambos con lasresoluciones numéricas obtenidas con SUTRA. Losresultados del caso de HYDROCOIN se contrastaroncon los obtenidos por MOCDENSE. Asimismo seresolvieron dos modelos sintéticos en los que se veri-ficó la correcta simulación del campo de velocidades.

Transdens

Este código se desarrolló en el marco del Grupo deHidrogeología de la Universidad Politécnica deCataluña que encabeza el Dr. J. Carrera. TRANSDENSse caracteriza frente a los códigos que se describenen que permite la calibración automática de los pará-metros de las ecuaciones de flujo y transporte desolutos con o sin densidad variable (Hidalgo et al,2004). Resuelve los problemas de flujo y transporteen regímenes estacionario y transitorio, tanto paramedio saturado –ya sea libre o confinado-, como nosaturado. La ecuación de transporte considera losfenómenos de advección, dispersión, reacciones quí-micas de primer orden (lineales), retardo, cadenas dedesintegración y difusión en la matriz. Las condicio-nes de contorno que contempla son las de caudalprescrito, nivel prescrito y goteo, para la ecuación deflujo, y de masa prescrita, concentración prescrita yflujo másico, para la ecuación de transporte. Estascondiciones de contorno pueden ser variables en eltiempo y el espacio. Las condiciones iniciales puedenser arbitrarias dadas o tomarse como solución delrégimen permanente. La resolución de la ecuación detransporte requiere conocer las velocidades en el sis-tema y los caudales en los contornos, que se obtie-nen por la resolución previa de la ecuación de flujo osuministrándoselo través de la entrada de datos.Ambas ecuaciones pueden tratarse de forma desaco-plada (densidad constante) o de forma acoplada (den-sidad variable). Las ecuaciones en derivadas parcia-les de flujo y de transporte de solutos se resuelvenmediante el método de los elementos finitos en elespacio y diferencias finitas ponderadas en el tiempo.En la discretización del dominio espacial el códigopermite emplear elementos uni, bi o tridimensiona-les, lo que le otorga una gran versatilidad para simu-lar con bastante precisión fracturas y sondeos en tresdimensiones. Para la discretización temporal el códi-


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go emplea un esquema en diferencias finitas conponderación variable, que va desde un esquemaexplícito hasta un esquema totalmente implícito. Enel caso de densidad variable, las ecuaciones acopla-das se pueden resolver mediante el método de Picardo el de Newton. El código TRANSDENS permite esti-mar automáticamente los parámetros de transmisivi-dad, almacenamiento, recarga, niveles y caudalesprescritos en el contorno y coeficientes de goteo,para la ecuación de flujo; de dispersividad, difusiónmolecular, porosidad, coeficiente de retardo, coefi-ciente de reacción de primer orden y concentracionesen el contorno, para la ecuación de transporte, y algu-nos parámetros específicos de las funciones no linea-les que describen la dependencia entre las variablesde estado y los parámetros físicos de las ecuaciones.La calibración automática de parámetros se hacemediante el método de máxima verosimilitud, lo queconlleva minimizar una función objetivo. La funciónobjetivo que utiliza está compuesta por términos biendiferenciados que atienden al ajuste de niveles, alajuste de concentraciones y a la desviación de lainformación previa de los parámetros. La minimiza-ción de la función objetivo se realiza mediante elmétodo de Martquardt. El código permite realizar unanálisis de sensibilidad automático ofreciendo distin-tos estadísticos como las matrices de covarianza y decorrelación de estimación de los parámetros estima-dos. Asimismo, calcula criterios de selección demodelos que permiten contrastar distintos modelosconceptuales.

MVAEM

Este código a diferencia de los anteriormente presen-tados permite elaborar un modelo analítico del siste-ma estudiado. El código ha sido desarrollado porStrack (1995; en Oude Essink y Boekelman, 1998) apartir del modelo analítico MLAEM, que se ampliócon un módulo de densidad variable. La descripciónque se realiza a continuación es un extracto de la rea-lizada por Ouede Essink y Boekelman (1998). MVAEMpermite calcular la distribución tridimensional de pre-siones en el sistema de flujo, de forma tal que puedaconocerse la distribución tridimensional de densida-des en un acuífero. En la actualidad, este código pre-senta algunos inconvenientes: no es posible simularla dispersión hidrodinámica y la anisotropía y sólorepresenta el régimen permanente. El desplazamien-to de los puntos con densidades a través de velocida-des de flujo conocidas no se había resuelto hasta lapublicación del citado artículo, debido a ello no esposible simular la intrusión de agua salada en función

del tiempo. Otra limitación que se vislumbra es que elinterpolador multicuadrático-biarmónico que empleapara obtener la distribución tridimensional de la den-sidad en el acuífero y para controlar la suavidad y laevolución espacial de la distribución , puede no ser losuficientemente robusto en todos los casos. Por otrolado, De Lange (1996) aplicó el método de los ele-mentos analíticos para desarrollar el NAGROM -National Groundwater Model-, para sistemas acuífe-ros con densidad variable en los Países Bajos.

Ejercicios usuales de validación

Un aspecto fundamental en el desarrollo de los códi-gos es la validación de los mismos, para lo cual secontrastan el grado de dispersión numérica que pre-sentan o la eficiencia del código en cuanto a la repre-sentación numérica de la conceptualización de un sis-tema, entre otros aspectos. En la validación demodelos Van Der Heijde (1985; en Jousma et al.,1988) discrimina, quizás algo esquemáticamente, tresniveles diferentes:

- Nivel 1; se utilizan soluciones analíticas paradepurar los programas, verificar globalmente latécnica numérica aplicada y contrastar aspec-tos particulares de la misma. Las comprobacio-nes van desde problemas simples unidimensio-nales, hasta problemas más complejos quetengan solución analítica.

- Nivel 2; comprobaciones en que se abordantanto problemas teóricos como resultados depruebas de laboratorio, analizando la respuestadel modelo al representar heterogeneidades,anisotropía, etc.

- Nivel 3; en este nivel la validación aborda lamodelización de sistemas reales.

Los problemas bidimensionales de Henry (1964),en particular, y de Elder (1967) han sido muy utiliza-dos en la validación de códigos de simulación de sis-temas bajo condiciones de densidad variable. El pri-mero (Henry, 1964; Croucher y O’Sullivan, 1995)representa un problema sintético de un acuífero con-finado que sufre intrusión marina, se conoce su solu-ción analítica. El segundo fue originalmente diseñadocomo un problema de flujo de calor (Elder, 1967),pero Voss y Souza (1987) los transformaron en unproblema de aguas subterráneas bajo condiciones dedensidad variable; en el que la circulación del sistemade flujo está gobernada por la diferencia de concen-tración entre sus bordes superior e inferior y la impo-sición de un nivel constante (H = 0 m) en los vérticessuperiores del dominio. Este problema se suele con-trastar con la solución numérica dada por Elder

Por otro lado, desde mediado de los 80 y durantela última década de la pasada centuria se han des-arrollado una serie de ejercicios internacionales deverificación y contraste de códigos numéricos, deforma resumida (Heredia, 1991) se destacan lossiguientes:

- CHEMVAL/MIRAGE (CHEmical VALidation/MIgration of RAdionuclidos the GEosphere): suobjetivo es la validación de códigos geoquími-cos y de transporte. Coordinado por W.K.Atkins and Partners y organizado por la CEE.

- HYDROCOIN (HYDROlogic COde INtercom-paration): Su objetivo es la comparación decódigos de flujo hidrogeológico. El ejercicioconsidera 3 niveles: Nivel 1, verificación decódigos; Nivel 2, validación de los mismos yNivel 3, análisis de sensibilidad e incertidumbreen los cálculos. Coordinado por SKI y desarro-llado en el marco de la OCDE/NEA.

- INTRACOIN (INTernational RAdionuclide trans-porte COde of INtercomparation): Su objetivoes la comparación de códigos de transporte desolutos. El ejercicio considera 3 niveles: Nivel 1,verificación de códigos; Nivel 2, validación delos mismos y Nivel 3, análisis de sensibilidad eincertidumbre en los cálculos. Coordinado porSKI y desarrollado en el marco de laOCDE/NEA.

- MIRAGE (MIgration of RAdionuclidos theGEosphere): su objetivo es comparar códigosgeoquímicos y de transporte. Coordinado porAtkins R&D y organizado por la CEE.

En la polémica suscitada en torno al Caso 5 delNivel 1 del ejercicio HYDROCOIN (Konikow et al.,1997; Holzbecher et al., 1998) ya referenciada en sec-ciones anteriores, Konikow realiza una serie de inte-resantes reflexiones acerca de este tipo de ejerciciosy sobre la valoración de los resultados que alcanzan.Así, partiendo de la premisa que los ejercicios decomparación de modelos son convenientes, observaque sus resultados deben ser adecuadamente valora-dos en cuanto a que reflejen la bondad de un códigofrente a los otros. Debido a la complejidad de los ejer-cicios que muchas veces se plantean, el grado defidelidad con que un modelo representa el sistemaestudiado se halla más estrechamente ligado con elmodelo conceptual definido o la escala de discretiza-ción adoptada que con el método numérico con quese aborda la solución o la implementación que hagadel mismo el código testeado. Konikow se refiere a lafidelidad en la representación como la “exactitud dela solución”.

Bajo esta perspectiva crítica Konikow tambiénplantea acertadamente que el uso de la media de las

soluciones como base o referente en la comparaciónpuede hacer que el modelista olvide o pierda pers-pectiva respecto a la diferencia entre la “exactitud dela solución”y la precisión numérica del modelo. Porlo que, si la “solución” es significativamente diferen-te respecto a la media de las soluciones numéricas,entonces existirá un sesgo que refleja una pérdida de“exactitud” -de fidelidad en la representación-.Mientras que la desviación de un modelo individualrespecto a la media sólo es una medida de la preci-sión numérica de dicho modelo respecto al conjuntode los modelos testeados y, si bien la precisión de unmodelo es deseable, esta es insuficiente como medi-da de verificación. Así, en rigor, los ejercicios de con-traste entre modelos en los que no existen ni unasolución analítica o ni una “conocida” deberían lla-marse “ejercicios de referencia” más que de verifica-ción. Estrictamente, la comparación de resultados esen primer lugar una valoración de la consistencia delmodelo antes que una evaluación de la “exactitud”del mismo (Konikow et al, 1997).

Konikow en el último artículo de la citada polémi-ca adopta una postura algo extrema, pero con obser-vaciones no exentas de rigor. Así, sugiere que ningu-no de los problemas de HYDROCOIN debería sertomado como ejercicio de verificación de códigosnuméricos; debido que al desconocerse la solucióncorrecta de un ejercicio, se desconoce también sialgún código la alcanza. Por otro lado, no obstante,aún si se conociera la solución correcta y que algúnmodelo la reprodujera, ello no prueba que el códigoutilizado sea el correcto -“el exacto”- y que el mismoofreciera soluciones igualmente exactas para otrosproblemas, o aún para el mismo pero con una discre-tización espacial o temporal distinta a la utilizada(Konikow and Sanford, 1997). Por otro lado, se debereflexionar sobre lo acertado que puede ser calificarde exacto, u óptimo, a un modelo en lo que respectaa representar un sistema real. En respuesta a ello seconsidera que lo adecuado es hablar en términos delgrado de coherencia que puede guardar un modelorespecto al conocimiento que se posea del sistema,asumiendo la incertidumbre que dicho conocimientotiene asociada (Heredia, 1994).

Conclusiones

La representación numérica de sistemas hidrogeoló-gicos considerando la variabilidad de la densidad delfluido es un aspecto que no puede soslayarse tantoen estudios de acuíferos costeros como en problemasde almacenamiento profundo de residuos peligrosos.Un adecuado conocimiento de cualquiera de estos


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sistemas y una cierta capacidad de evaluación de suevolución ante posibles actuaciones es fundamentalpara la gestión de los recursos hídricos, análisis deseguridad o estudios de impacto ambiental. El des-arrollo de estos modelos numéricos es una laborcompleja y ardua, cuyos resultados no están exentosde una apreciable incertidumbre. La misma tiene suorigen no sólo en las limitaciones numéricas de laque adolecen los distintos métodos, sino también dela escasez de datos y la incertidumbre que caracterizaa la información de estos sistemas hidrogeológicos.Debido a ello, y a que las distintas técnicas numéricasofrecen alguna ventaja o alguna limitación respecto alas demás, es importante que los técnicos tengan unadecuado conocimiento del código numérico a apli-car, para poder desarrollar las actividades del estudio,ya sea en campo o gabinete, optimizando los recur-sos.

En el presente trabajo se realiza un estado del arteactualizado de la modelización numérica de estos sis-temas hidrogeológicos, en pos de ello se expone laalgoritmia básica que debe resolverse. Se realiza unarevisión general de los métodos, haciendo particularhincapié en la descripción de las técnicas numéricas.Posteriormente, se comentan los aspectos particula-res que deben atenderse al desarrollar estos modelosnuméricos. En este sentido se abordan, entre otros, eltema de la dispersión numérica y la distinta repercu-sión que este tiene en cada método numérico y elproblema de truncamiento en el cálculo del campo develocidades ante cambios bruscos en la densidad delfluido. Ambos aspectos afectan a la discretizaciónespacial que se define en el dominio. Asimismo, setrata la idoneidad de cada método para representarlas posibles condiciones de contorno del modelo o lanecesidad de considerar la incidencia de la viscosidaden la representación. Se describen sucintamente loscódigos numéricos más destacados, detallando auto-res, técnicas de resolución de las ecuaciones, alcancede los mismos, validaciones realizadas y reseña delos ejercicios o proyectos en que participaron.Finalmente, se listan los ejercicios internacionales devalidación de códigos más importantes de las dosúltimas décadas, reflexionando sobre las limitacionesque arrojan sus resultados.

Agradecimientos

Queremos expresar nuestro más sincero agradeci-miento al Profesor Agustín Medina de la EscuelaTécnica Superior de Ingenieros de Camino, Canales yPuertos de Barcelona (U.P.C.) por la dedicación con

que ha revisado este trabajo y lo acertado de suscomentarios, así como a otro revisor anónimo.

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Recibido: diciembre 2006Aceptado: mayo 2007

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