Universidad Autnoma del

Per

SESION 02: Lgica de Transferencia de

Registros

1

Ing. Francisco Asdrbal Flores LunaCIP 55473

Carrera Profesional de Ing. de Sistemas

CURSOARQUITECTURA DEL COMPUTADOR

floresf@autonoma.edu.peF.A.F.L.

Nmeros de punto flotante Base 10Nmeros de punto flotante permiten expresar nmeros muy

grandes y muy pequeos usando slo unos pocos dgitos, a

expensas de la precisin.

Ejemplo (+6.023 x 1023):

F.A.F.L.

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e

Normalizacin El nmero 254 en base 10 se puede representar en forma de punto

flotante como 254 x 100, o equivalentemente como:

25.4x101, o

2.54x102, o

0,254 x103, o

0.0254 x104,

o infinitamente de muchas otras maneras, lo que crea problemas

cuando se hacen comparaciones, con tantas representaciones de un

mismo nmero.

Nmeros de punto flotante por lo general son normalizados, en el

que se localiza el punto de base en una sola posicin posible para un

nmero dado.

Por lo general, pero no siempre, la representacin normalizada

coloca el punto de base inmediatamente a la izquierda de la

izquierda, dgito diferente de cero en la fraccin, como en: 0.254 x

103.F.A.F.L.

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Ejemplo de punto flotante Representar .254 x 103 en una base 8 normalizada formato de

punto flotante con un bit de signo, seguido por un exponente

de 3 bit exceso 4, seguido de cuatro dgitos en base 8.

Paso # 1: Convertir a la base de destino.

.254 x 103 = 25410. Utilizando el mtodo del residuo, nos

encontramos con que 25410 = 376 x 80:

254 / 8 = 31 R 6

31 / 8 = 3 R 7

3 / 8 = 0 R 3

Paso # 2: Normalizar: 376 x 80 = 0.376 x 83.

Paso # 3: Rellene los campos de bits, con signo positivo (bit de

signo = 0), un exponente de 3 + 4 = 7 (exceso 4), y la fraccin

de 4-dgitos = .3760:

0 111. 011 111 110 000

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Error, Rango y precisin (I) En el ejemplo anterior, tenemos la base b = 8, el

nmero de dgitos significativos (no bits!) en la

fraccin s = 4, el valor exponente ms grande (no

combinacin de bits) M = 3, y el valor exponente

menor m =-4.

En el ejemplo anterior, no existe una representacin

explcita de 0, pero tiene que haber una combinacin

de bits especiales reservadas para 0 en caso contrario

no habra manera de representar 0 sin violar la regla

de normalizacin. Se asume que la combinacin de

bits de 0 000 000 000 000 000 representa 0.

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Error, Rango y precisin (II) Usando b, s, M y m, quienes caracterizan a esta

representacin de punto flotante en trminos de mayor

nmero positivo representable, el ms pequeo (cero)

nmero positivo representable, la distancia ms pequea

entre dos nmeros sucesivos, la mayor distancia entre los

dos nmeros sucesivos, y el nmero total de nmeros que

se pueden representar.

Mayor nmero representable: bM x (1 b-S) = 83 x (1 - 8-4)

Ms pequeo que puede representarse nmeros:

bm x b-1 = 8-4-1 = 8-5

Distancia ms grande: bM xb-S = 83-4 = 8-1

Distancia ms pequea: bm x b-S= 8-4-4 = 8-8

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Error, Rango y precisin (III)

Nmeros a representar: Hay 5 componentes: (A) bit de signo, para

cada nmero, salvo 0 para este caso, como una versin positiva y

negativa; (B) (M - m) + 1 exponentes; (C) b - 1 valores para el

primer dgito (0 no est permitida para el primer dgito

normalizado), (D) BS-1 los valores de cada uno de los s-1 dgitos

restantes, ms (E) una representacin especial para 0. Para este

ejemplo, los 5 componentes como resultado: 2 x ((3 - 4) + 1) x (8 -

1) x 84-1 + 1 nmeros que pueden ser representados.

Nota: este nmero debe ser mayor que el nmero de posibles

combinaciones de bits que se pueden generar, que es de 216.F.A.F.L.

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Ejemplo de un formato de punto flotante

Nmero ms pequeo es 1 / 8

Nmero Mayor es 7 / 4

Distancia ms pequea es 1 / 32

Distancia ms grande es 1 / 4

Nmero de nmeros representables es de 33.F.A.F.L.

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Tamao de la distancia Sigue al Tamao

Exponente El error relativo es aproximadamente la misma para todos los

nmeros.

Si tomamos la relacin de una gran distancia a un nmero

grande, y que para comparar la proporcin de una pequea

distancia a un pequeo nmero, a continuacin, las razones son

F.A.F.L.

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Ejemplo de conversin Ejemplo: Convertir la notacin cientfica (9.375 x 10-2)10 a base 2

Comience por la conversin de base 10 de punto flotante a la base

10 punto fijo, moviendo el punto decimal dos posiciones hacia la

izquierda, que corresponde al exponente -2: 0,09375.

A continuacin, convertir de base 10 punto fijo a la base 2 del punto

fijo:

.09375 X 2 = 0,1875

.1875 X 2 = 0,375

.375 x 2 = 0,75

.75 x 2 = 1.5

.5 x 2 = 1.0

Por lo tanto, (.09375)10 = (.00011)2.

Por ltimo, convertir a la base 2 de punto flotante normalizados:

.00011 =. 00011 x 20 = 1.1 x 2-4

F.A.F.L.

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Formatos IEEE-754 de punto flotante

F.A.F.L.

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Ejemplos de formatos IEEE-754

ValorPatrn de Bits

Signo Exponente Fraccin

(a) +1.101 x 25 0 1000 0100 101 0000 0000 0000 0000 0000

(b) -1.01011 x 2-126 1 0000 0001 010 1100 0000 0000 0000 0000

(c) +1.0 x 2127 0 1111 1110 000 0000 0000 0000 0000 0000

(d) +0 0 0000 0000 000 0000 0000 0000 0000 0000

(e) -0 1 0000 0000 000 0000 0000 0000 0000 0000

(f) + 0 1111 1111 000 0000 0000 0000 0000 0000

(g) +2-128 0 0000 0000 010 0000 0000 0000 0000 0000

(h) +NaN 0 1111 1111 011 0111 0000 0000 0000 0000

(i) +2-128 0 011 0111 1111 0000 0000 0000 0000 0000 0000

0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000

F.A.F.L.

Ejemplo de conversin IEEE-754 Ejemplo de conversin IEEE-754

Representar -12,62510 en formato IEEE-754 de simple

precisin.

Paso # 1: Convertir a base binaria. -12.62510 = -1100,1012

Paso # 2: Normalizar. -1100.1012 = -1.1001012 X 23

Paso # 3: Rellene los campos de bits. Signo es negativo, por lo

que 1 el bit signo. Exponente sea exceso a 127 (no el exceso a

128!), Por lo que representado el exponente es como el

entero sin signo de 3 + 127 = 130. El valor Principal 1 de

mantisa est oculto, la combinacin de bits al final es:

1 1000 0010 .1001 0100 0000 0000 0000 000

F.A.F.L.

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Efecto de la prdida de precisin

Segn el Gobierno de los EE.UU., existi una prdida de precisin en

la conversin de nmeros enteros de 24 bits en nmeros de punto

flotante de 24 bits el cual fue el responsable del fracaso de una batera

antimisiles Patriot.F.A.F.L.

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Aritmtica Binaria

Informacin general

Suma y resta de punto fijo

Multiplicacin y Divisin de punto fijo

La aritmtica de punto flotante

Alto rendimiento aritmtico

Caso de Estudio: calculadora Aritmtica

usando cdigo decimal binario (BDC)

F.A.F.L.

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Aritmtica computacional

Usando representaciones numricas vistas

anteriormente, vamos a ver las cuatro

operaciones aritmticas bsicas: suma, resta,

multiplicacin, divisin.

Tema significativo incluido: punto fijo versus a la

aritmtica de punto flotante, desbordamiento y

subdesbordamiento, el manejo de nmeros con

signo, y el rendimiento.

Observemos primero en aritmtica de punto

fijo, y luego en aritmtica de punto flotante.

F.A.F.L.

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Crculo de nmeros de 3-bit Nmero complemento a dos

Los nmeros se pueden sumar o restar atravesando el crculo

hacia la derecha el nmero de la suma y la resta de la izquierda.

Desbordamiento se produce cuando se hace una transicin +3 a

-4 mientras se procede alrededor del crculo aadiendo un

nmero, o -4 a +3 restando.

F.A.F.L.

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Desbordamiento (Overflow) El desbordamiento se produce cuando la adicin de dos

nmeros positivos produce un resultado negativo, o cuando la

adicin de dos nmeros negativos produce un resultado

positivo. Adicin de operandos con diferentes signos nunca

produce un desbordamiento.

Tenga en cuenta que descartar el acarreo del bit ms

significativo durante el complemento a dos, adems es normal,

y no se indican por desbordamiento.

Como ejemplo de desbordamiento, considerar la adicin de

(80 + 80 = 160), que produce un resultado de -9610 en un

formato de complemento a dos de 8-bit :

01010000 = 80

+ 01010000 = 80

10100000 = -96 (no 160 porque el bit de signo es 1, negativo)

F.A.F.L.

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Adicin con Acarreo en cascada Dos nmeros binarios A y B se suman de derecha a izquierda,

la creacin de una suma y un acarreo en las salidas de cada

sumador completo para cada posicin de bit.

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La construccin de grandes sumadores Un sumador de 16-bit puede estar formado en cascada de

sumador con acarreo de rizado de 4-bit.

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Sustractor total Tabla de verdad y el smbolo esquemtico de un restador

con prstamo en rizado:

ai bi bori difi bori+1

0 0 0 0 0

0 0 1 1 1

0 1 0 1 1

0 1 1 0 1

1 0 0 1 0

1 0 1 0 0

1 1 0 0 0

1 1 1 1 1

F.A.F.L.

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Sustractor con prstamo en Rizado. Una prstamo en rizado de un sustractor puede estar

compuesto en cascada de sustractores completos.

Dos nmeros binarios A y B se restan de derecha a izquierda,

creando una diferencia y un prstamo en las salidas de cada

restador completo para cada posicin de bit.

F.A.F.L.

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Sumador / restador combinado Un simple acarreo rizado del sumador puede realizar tanto en la

suma y resta, mediante la formacin del negativo con

completamente a dos para B cuando se resta. (Nota, Tenga en

cuenta que sumar +1 C0 es el complemento a dos.)

F.A.F.L.

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Adicin en complemento a 1 (Uno) Un ejemplo de complemento

a uno de un nmero entero

sumado con el acarreo final:

El acarreo final se necesita

porque hay dos

representaciones para el 0 en

complemento a uno. Ambas

representaciones para 0 son

visitas cuando uno o ambos

operandos son negativos.

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Crculo Numrico (Complemento a UNO) El crculo Nmero de tres bits con representacin de

complemento a uno. Fjese en las dos representaciones para el

0.

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Acarreos finales para las fracciones El acarreo fina complica la adicin de complemento a uno por

falta de enteros, y generalmente no se usa para esta situacin.

La cuestin es que la distancia entre las dos representaciones del

0 es de 1.0, mientras que la posicin ms a la derecha fraccin es

menor que 1.

F.A.F.L.

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Ejemplo de multiplicacin Multiplicacin de dos enteros de 4 bits binarios sin signo

produce un resultado de 8-bits.

Multiplicacin de dos enteros binarios con signo de 4-bits

produce un resultado de 7-bit (cada operando se reduce a un

bit de signo y 3 bits de magnitud para cada operando,

produciendo un resultado de 6 bits y con un bit signo).

F.A.F.L.

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Un Multiplicador serial

F.A.F.L.

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Ejemplo: Multiplicacin usando la multiplicacin serial

F.A.F.L.

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Ejemplo de Divisin en Base 2 (7 / 3 = 2)10 con un residuo R de 1

Equivalente (0111 / 11 = 10)2 con un residuo R de 1

F.A.F.L.

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Divisor Serial

F.A.F.L.

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Eje

mplo

: (D

ivis

in U

sando u

n D

ivis

or

Seri

al)

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Multiplicacin de enteros con signo La extensin de signo requiere tamao de la palabra mayor

para el operando(s) negativo(s).

Un tamao de palabra de 8 bits se utiliza aqu por dos

operandos de 4-bits con signo, pero slo un tamao de palabra

de 7-bit es el objetivo necesario para el resultado.

(Incorrecto: resultado debe ser -1)F.A.F.L.

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Adicin por acarreo anticipado (I)

Los acarreos son representados en trminos de expresiones Gi(generar) y Pi (propagar)

y y

i i i i i ii i i i i i iS a b c a b c a b c abc

1i i i i i i ic bc a c a b

1i i i i i ic ab b a c

1i i i ic G Pc

i i iG a b i i iP a by

F.A.F.L.

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Adicin por acarreo anticipado (II)

0 0c

1 0c G

2 1 1 0c G PG

3 2 2 1 2 1 0c G PG P PG

4 3 3 2 3 2 1 3 2 1 0c G PG P P G P P PG

F.A.F.L.

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Sumador por acarreo anticipado Mximo retardo de la compuerta por la generacin de llevar a

solo 3. Los sumadores completos introducen dos ms retardos de

compuerta. La peor ruta provoca 5 retardos en la compuerta.

F.A.F.L.

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Aritmtica de punto flotante Aritmtica de punto flotante se diferencia de la aritmtica de

enteros en que los exponentes deben ser manipulados, as

como las magnitudes de los operandos.

Los exponentes de los operandos debe ser igual para la suma y

la resta. Las fracciones se suman o sustraen segn proceda, y el

resultado est normalizado.

Ejemplo: Realice la operacin de punto flotante: (.101 x 23 +

.111 x 24)2Empiece por ajustar el exponente ms pequeo para ser igual al

exponente ms grande, y ajustar en consecuencia la fraccin. As

pues, tenemos 0.101 x 23 = 0.010 x 24, perdiendo 0.001 x 23 de

la precisin en el proceso.

La cantidad resultante es (0.010 + 0.111) x 24 = 1.001 x 24 =

0.1001 x 25, y el redondeo a tres dgitos significativos, 0.100 x

25, y hemos perdido un otros 0,001 x 24 en el proceso de

redondeo.F.A.F.L.

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