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LÓGICA PROPOSICIONAL 1. La lógica proposicional

También llamada “lógica sentencial” o “lógica de enunciados” se encarga de las relaciones lógicas entre proposiciones tomadas como un todo.

2. Enunciado

Es toda frase u oración, puede o no tener validez o valor de verdad.

Ejemplos: ∗ =∗ ≤∗∗

3 2 8 ................... Tiene validez x 13 ................... Cambia de valor de verdad Javier es ingeniero ambiental ...... tiene validez !Ingreseeee¡ ......... No tiene validez

3. Proposición

Es todo enunciado que tiene validez o valor de verdad.

Tener valor de verdad o validez equivale a decir que es verdadero (V) o falso (F).

Ejemplos:

{ }

∗ =

∗ + + + =

∗ − + = → =

∗ =

3

3 2

2

2 8 ............................................. Verdadero

2 2 2 1 19 .......................... Falso

Si x 6x 5 0 C.S. 1; 5 .... Verdadero log10 10 ...................................... Falso

4. Clases de proposiciones

4.1. Proposición simple

También llamada atómica es aquella que consta de una sola proposición.

Ejemplos: ∗∗∗

∗ =2 2

12 y 13 son números consecutivos. 101 y 102 son números primos entre sí. La bandera del Perú es rojiblanca.

12 :12 12

4.2. Proposición compuesta

También llamada proposición molecular, es aquella que consta de una proposición simple negada o por dos o más proposiciones simples unidas por un enlace llamado conectivo lógico.

Ejemplos: ∗∗∗∗∗

10 y 13 son números pares. 101 y 103 son números primos. Carlos y José son Ingenieros ambientales. No es cierto que 13 es un número primo. 100 no es potencia de 10.

5. Conectivos lógicos

Son símbolos que utilizamos para formar proposiciones compuestas.

Conectivo Lógico Símbolo Pronunciación Conjunción ∧ ……….y ……….. Disyunción (débil) ∨ ……..o………….. Condicional → Si …entonces … Bicondicional ↔ ….si y solo si …. Disyunción ( fuerte) ∆ o….……o………. Negación ~ No es cierto que …

Nota Hay dos clases de disyunción la débil o inclusiva y la fuerte o exclusiva.

∗∗ Jorge es ingeniero o deportista. O duermes de día o duermes de noche.

6. Tabla de valores de verdad

Tomando con ejemplo dos proposiciones simples: p y q. p q ∧ ∨ → ↔ ∆ ~p ~q V V V V V V F F F V F F V F F V F V F V F V V F V V F F F F F V V F V V

Nota Para elaborar la tabla de verdad o tabla de valores veritativos el N| de filas es dos elevado al número de proposiciones simples.

° == °

n N filas 2 n N proposiciones simples

Ejemplo: Halle el valor de verdad de la proposición molecular siguiente:

p q ( ) ∧ ∨ → p q q pV V V F F V F F

ARITMÉTICA

1 CIENCIAS

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7. Principales Leyes del algebra proposicional Son leyes que permiten la transformación y simplificación de los esquemas moleculares en esquemas más simples y se denominan equivalencias porque tanto la expresión original como la expresión simplificada tienen la misma matriz principal en sus respectivas tablas de verdad. a. Ley de Idempotencia: p ∧ p ≡ p

p ∨ p ≡ p b. Ley Conmutativa: p ∨ q ≡ q ∨ p

p ∧ q ≡ q ∧ p

c. Ley Asociativa: (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r) (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r)

d. Ley Distributiva:

p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

e. Ley de la Doble Negación:

~ (~ p) ≡ p f. Leyes de Identidad:

p ∨ V ≡ V ; p ∨ F ≡ p p ∧ V ≡ p ; p ∧ F ≡ F

g. Leyes del Complemento:

P ∨ ~ p ≡ V P ∧ ~ p ≡ F

h. Ley del Condicional:

p → q ≡ ~ p ∨ q

i. Ley de la Bicondicional:

p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p) p ↔ q ≡ (p ∧ q) ∨ (~ p ∧ ~ q) p ↔ q ≡ ~ (p ∆ q)

j. Ley de Absorción:

p ∨ (p ∧ q) ≡ p p ∧ (p ∨ q) ≡ p p ∨ (~ p ∧ q) ≡ p ∨ q p ∧ (~ p ∨ q) ≡ p ∧ q

k. Leyes de "De Morgan": ~ (p ∨ q) ≡ ~ p ∧ ~ q ~ (p ∧ q) ≡ ~ p ∨ ~ q

Ejemplos:

1) Simplificar ( ) ( ) ( ) → ∨ ∨ ∧ ∧ → p r p r s p r

SOLUCIÓN:

( ) ( ) ( )( )

∗

→ ∨ → ∧ ∨ ∧ ∗ →

∗ ∨

Conmutamos dentro del corchete: p r p r p r s

Ahora por absorción: p r Finalmente por condicional: p r~

2) Reducir

( ) ( ) ( ) ∨ ∧ ∨ ∧ ∧ ∨ ∨ p r q p s p q r~ ~

SOLUCIÓN: 8. Circuitos lógicos El valor de verdad de una proposición puede asociarse con interruptores que controlan el paso de la corriente. • Así si una proposición es verdadera, el interruptor

estará cerrado y la corriente pasará. • Si la proposición es falsa, el interruptor estará

abierto y la corriente no pasará. Los circuitos lógicos pueden ser en serie (Conjunción) o en paralelo (Disyunción)

Conjunción ∧

∧∧∧

∧

Encendido

No encendido

No encendido

No encendido

p q p q notación Circuito en SerieV V V p q p q V F F p q p q F V F p q p q F F F p q p q

― ― ―~ ― ― ―

~ ― ― ―~ ~ ― ― ―

Disyunción

∨

∨

∨

∨

∨

Encendido

Encendido

Encendido

No

encendido

p q p q notación Circuito en Paralelop

V V V p q q

p V F V p q

q

p F V V p q

q

p F F F p q

q

― ―

~ ― ―~

~~ ― ―

~~ ~ ― ―

~

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El que un circuito encienda o no encienda es equivalente a decir verdadero (V) o falso (F), respectivamente. Ejemplos: Halle el equivalente del circuito

A) p~ B) q~ C) p D) q E) p q~

Solución: ∗ ∧ ∨∗ ∧ ∨∗

p ( q p) p ( p q)...conmutando dentro del parentesis p.....por absorción

~ ~ ~~ ~ ~~

EJERCICIOS DE CLASE

1. Elabore la tabla de verdad para la proposición

compuesta ( ) ( ) ∨ → ∧ p q r p~ y halle la diferencia entre el número de (V) y (F). A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

2. Sean las proposiciones:

p: 6 es número par q: 6 es el producto de dos números enteros.

Utilice los conectivos lógicos y simbolice: “6 es un número par y un producto de dos enteros o es número impar y no un producto de dos números enteros”.

A) ( ) ( )∧ ∨ ∧p q p q~ ~ B) ( ) ( )→ ∨ ∧p q p q~ ~ C) ( ) ( )→ ∨ ∧p q p q D) ( ) ( )∧ → ∧p q p q~ ~ E) ( ) ( )∨ → ∧p q p q~

3. Simplifique ( ) ( ){ }∨ → ∨q r p p~ ~ ~ A) p B) q C) p~ D) F E) V

4. Simplificar la siguiente proposición:

( ) > ∧ → ≥ ∨ < ↔ − <

4 4

41 14 2 1 > 0 2 4 1 0

24

A) 2 B) 4 4 C) V D) F E) 1

5. Al simplificar la siguiente proposición lógica compuesta : ( )( ) ( ) ∧ → ∧ ∧ p q r r q~ ~ ~ se obtiene: A) V B) F C) p D) q E) q~

6. Al simplificar la siguiente proposición lógica

compuesta: ( ) ( ) ∨ ∧ → p q q p~ ~ ~ , se obtiene: A) V B) F C) p D) q E) q~

7. La proposición ( ) ( ) ∧ → ∧ ∧ → r p q p s q~ ~ ~ es verdadera. Los valores de verdad de las proposiciones p; q; r y s son respectivamente: A) VFVF B) VFVV C) VFFV D) VFFF E) FFVF

8. Si la proposición ~ (q → r) → ~ (p ∧ q) es falsa, hallar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

I) ~ (p ∨ ~ p) → p II) (q → p) → ~ (r ∨ q) III) (p ∨ q) ∨ ~ (p ∨ r)

A) VVV B) FFV C) VFF D) VFV E) FVF

9. Sean las siguientes proposiciones:

I) ~ p ∨ (q → r) II) p → (r ∨ ~ q) III) ~ p ∨ (~ r ∨ ~ q)

indique cuáles son equivalentes.

A) I y II B) I y III C) II y III D) todas E) ninguna

10. Hallar el equivalente del circuito

A) [ ( p ∧ q ) ∧ [ p ∨ ( p → q ) ] B) [ ( p ∧ q ) ∨ [ p ∨ ( p ∧ q ) ] C) p ∧ q D) [ ( p ∨ q ) ∧ [ p ∨ ( p ∧ q ) ] E) [ ( p ∧ q ) ∧ [ p ∧ ( p → q ) ]

~p

~p

~q

p

p q

p q

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11. Si la proposición

~ [ ( ( p v q ) ∧ t ) → q ] ↔ [ t ∧ ( p ∧ ~ p ) ]

es falsa, halle el valor de verdad de p, q y t respectivamente.

A) VFF B) VVF C) VFV D) FVV E) FFF

12. Si la proposición

{ [ p ↔ ~ ( q ∧ t ) ] ∧ (~ p q ) }

es verdadera, hallar el valor de verdad de p, q y t respectivamente. A) VFF B) VFV C) VVF D) FVV E) FFF

13. Dadas las siguientes proposiciones:

I) (p ∨ q) → ~ p II) ~ [(p ∨ ~ p) → (q ∧ ~ q)] III) ~ p → (p ∧ q) IV) ~ p ∧ (p ∨ q)

Hallar el número de tautologías.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 0

14. Dadas las siguientes equivalencias lógicas:

p ♣ q ≡ ~ ( q → p ) p ♥ q ≡ [~ ( p ∨ q ) ∧ t ] ∨ (~ p ∧ ~ q )

Simplificar { [ p → (~ p ∨ r ) ] ♣ [ q → ( p ∨ ~ p ) }

♥ [~ p → (~q ∨ ~p ) ]

A) ~ p ∧ r B) p ∧ ~ q C) ~ r ∧ r D) p ∨ ~ p E) q ∨ ~ p

EJERCICIOS DE EVALUACIÓN

1. De los siguientes enunciados:

I. ¿Qué hora es? II. ÷ =91 13 7 III. Luzmila trabaja IV. ¡Bienvenidos al CEPREUNTELS! V. + >2 2 23 4 5

¿Cuántos son proposiciones?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 0

2. Dada las siguientes proposiciones:

I. 2 y 5 son números primos. II. 5 y 7 son primos entre sí. III. 12 y 24 no son múltiplos de 6 IV. Gema y Génesis son hermanas gemelas.

¿Cuántas de las proposiciones dadas a continuación son simples o atómicas?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 0

3. Dada las siguientes proposiciones:

I. 3 y 13 son números primos. II. 25 y 49 son primos entre sí. III. 42 y 56 son múltiplos de 7. IV. Gloria y Valeria trabajan en sagafalabella.

¿Cuántas de las proposiciones dadas a continuación son compuestas?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 0

4. ¿Cuántas V tiene la tabla de verdad de la siguiente

proposición [ ]→ ∧ ↔( ) (p q q ) p~ ~ ~ ?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 0

5. ¿Cuántas F tiene la tabla de verdad de la siguiente

proposición [ ( p → q ) ∨ ( ~ p ∧ q ) ] ↔ ( q p )] ?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 0

6. Dadas las proposiciones; p: Iremos a pasear al

parque, q: La tarde está lluviosa y r: Hemos traído paraguas. Determine la expresión simbólica de la siguiente proposición: “Como la tarde está lluviosa y no hemos traído paraguas no saldremos a pasear al parque”.

A) ( p ∧ ~r ) → ~r B) (~p ∧ ~r ) → ~r C) (~p ∧ ~r ) → r D) ( p ∧ ~r ) → r E) (~p ∧ r ) → ~r

7. Si la proposición

~ [ ( ( p ∨ q ) ∧ t ) → q ] ↔ [ t ∧ ( p ∧ ~p ) ]

es falsa, determine el valor de verdad de p, q y t respectivamente.

A) VFF B) VVF C) VFV D) FVV E) FFF

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8. Si p, q, r, s, t, u y w representan proposiciones simples y se cumple que la negación de [ p → ( q → r ) ] es verdadera; además [ q ↔ ( p → t ) ] es falsa; indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones respectivamente.

I. ~ t ∧ ( r → w )

II. q ∨ (~ r ↔ u ) III. t → ( s ∆ r )

A) VVV B) FVV C) VVF D) FFF E) VFV

9. Si el valor de verdad de la proposición

( p ∨ ~r ) ∆ [ ( r ∧ ~t ) → p ]

es verdadera, determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones respectivamente

I) ~ [~ (~p ∨ ~r) → ~t ]

II) (p ↔ r) ∨ [~p → ~t ] III) p → [ (r ∨ t) ∆ (p → ~r) ]

A) VVV B) FFV C) FFF D) VVF E) VFF

10. Simplifique la siguiente proposición compuesta:

( ) ( ) ( ) ( )q p p q p q p q → ∧ → ∨ ∧ ∨ ∧ ~ ~ ~ ~ ~

A) q p→ B) p q→ C) q p∨ D) p q∧ E) p q→~

11. Sean las proposiciones p, q, r, cuyos valores de

verdad es V, F y F. hallar el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas:

a) ( )r p q∧ ∨~ ~

b) ( ) ( ) ( )p q p r q r ∨ ∧ ∨ ∧ ∨ ~ ~ ~

c) ( ) ( )p q q r∧ → ∨~ A) VVV B) VFF C) FVV D) FFF E) FVF

12. Si ( ) [ ]r p q F y t r V→ ∧ = → = ~ ~ . Determine el

valor de ( ) ( )r p r t p q s→ ∨ ∨ ↔ ∧ ∧ ~ ~

A) F B) V C) p D) r E) q

13. Determinar la menor expresión que representa el circuito dado:

A) p q∧ B) p q∨ C) p q→ D) p q∧~ ~ E) p q↔

p~ q~p~

q

pq

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