aritmética modular sin llevar

ARITMÉTICA MODULAR

SIN LLEVAR

Luis Carlos Araúz

V [OTRAS ARITMÉTICAS]

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[ARITMÉTICA MODULAR SIN LLEVAR] V

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AGRADECIMIENTO

En primera instancia a la Vida, por haberme concedido las herramientas suficientes para

progresar académicamente, así como la oportunidad de elaborar este documento; a mis

padres y hermanos, que sin dudar han extendido la mano en mi ayuda siempre que lo he

necesitado; a todos los Profesores que me dictaron clase durante mis estudios, de manera

particular al profesor Jaime Gutiérrez por guiar mi trabajo de graduación. Finalmente a

mis amigos, que han sabido decirme las palabras apropiadas en los momentos en que lo

he necesitado; y a quienes, en mayor o menor escala, han contribuido en mi formación

académica.


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DEDICATORIA

A mis padres Eriberto Araúz y Aura Ma. Doris Valdés; a mis hermanos y al barrio de El

Chorrillo, lugar en el cual he crecido y educado.


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INTRODUCCIÓN

“Nada que se consiga sin pena y sin trabajo es verdaderamente valioso”

Joseph Addison

Sin lugar a duda, el título “Otras Aritméticas” es motivo de mucha curiosidad y a su vez

sinónimo de ser algo de gran expectativa; y habiendo asimilado gran parte de este

contenido, se sabe que no es para menos... Con el aperitivo de que se definirían “nuevas

maneras de sumar y multiplicar”, fue suficiente para motivarme a elaborar este

documento, completamente diferente a cualquier trabajo de graduación hecho antes y con

el objetivo fundamental de “Hacer Matemática”.

En las dos primeras secciones, se definieron la Aritmética Dismal y la Aritmética Sin

Llevar. Ahora lo interesante y, a la vez, lúdico es profundizar en la siguiente pregunta:

con esta manera distinta de operar enteros, ¿qué resultados, conjeturas o definiciones de

la Teoría Elemental de Números en la Aritmética Clásica, serán verdaderas o no en estas

nuevas aritméticas? En particular: ¿Será posible definir congruencias en otras

aritméticas? Si la respuesta es sí, ¿en cuál aritmética? ¿Por qué? ¿De qué forma?

La Aritmética Sin Llevar posee definida la resta de enteros, lo que nos hace pensar en una

respuesta positiva a nuestro problema y, en miras de ello, haremos uso de lo que hemos

denominado "algebrización del problema", ya que recurrimos a herramientas como:

polinomios irreducibles, isomorfismos, Teorema Chino de Los Restos, anillos de

polinomios en x con coeficientes en un módulo dado y otros resultados del Álgebra.

http://mathematicsite.jimdo.com/extras/


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ARITMÉTICA MODULAR SIN LLEVAR

1. Antecedentes y planteamiento del problema

La Aritmética Modular fue introducida en 1801 por el alemán Carl Friedrich Gauss en su

obra Disquisitiones Arithmeticae y junto con ella una notación que simplifica muchos

problemas relativos a la divisibilidad de los enteros, “≡”. Consiste en un sistema aritmético

para clases de equivalencia de números enteros llamadas congruencias.

Para quienes estudian Matemática no es desconocida la siguiente definición: dados enteros

con , escribimos si divide la diferencia , lo cual se

lee “ es congruente con módulo ”. Nuestro problema es: ¿Será posible definir

congruencias, bajo otra aritmética distinta a la aritmética clásica? Si la respuesta es sí, ¿de

qué forma? ¿Cuál y cómo es esta nueva aritmética? A continuación iniciamos a dar las

respuestas a estas interrogantes.

2. Aritmética Sin Llevar

Para el 27 de Agosto del 2010 David Applegate, Marc LeBrun y Neil J. A. Sloane

presentan un artículo llamado Carryless Arithmetic Mod 10. Su última revisión fue el 7 de

Julio de 2011; y es ésta la versión en la cual fundamentamos las siguientes líneas. En

dicho artículo se expone la Aritmética Sin Llevar de la siguiente manera:

Cuando se suman o multiplican números, seguiremos reglas similares a las nuestras, con la

excepción de que no hay que llevar dígitos a otras posiciones. Usaremos y para

dichas operaciones y los símbolos “+” y “x” para las operaciones estándares utilizadas por

el resto de mundo. La suma y producto de números de un solo dígito se llevan a cabo por

“reducción Mod 10”. Los dígitos que se suelen llevar simplemente serán ignorados,

entonces 9 4 = 3, 5 5 = 0, 9 4 = 6, 4 5 = 0, etc. La suma y multiplicación de

números grandes también se realiza siguiendo los procedimientos familiares o algoritmos


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usuales, pero teniendo en cuenta de que no se debe llevar. Por ejemplo: la suma de 785

con 376 es 51 y el producto de 643 por 59 es 417, como se muestra en la tabla siguiente:

Suma Sin Llevar Producto Sin Llevar

7 8 5

3 7 6

0 5 1

6 4 3

5 9

4 6 7

0 0 5 0

0 4 1 7

Sin duda, quienes son indiferentes a la Matemática, considerarán el párrafo anterior como

una completa falta de cordura y seguramente preguntarían, luego de salir de la

estupefacción: “¿Por qué? ¿Eso para qué sirve?” Esto se debe a que su conocimiento se

limita a los algoritmos comunes de las operaciones básicas dentro de la Aritmética

Clásica. Sin embargo para nosotros resulta interesante abordar qué aspectos de la Teoría

Elemental de Números se cumplen o no, bajo esta manera diferente de operar enteros.

Una herramienta fundamental para el desarrollo de este contenido es la tecnología,

específicamente el poderoso lenguaje de programación del software Wolfram

Mathematica en su versión 8.0 (diseñado por el inglés Stephen Wolfram). Es por eso que

se desplegarán funciones con sus respectivos detalles, a lo largo de este documento.

Función 1. Suma Sin Llevar

La función posee dos parámetros de entrada: m y n, que son los números a sumar. Lo

primero que hace la función es determinar cuál de los dos números tiene más dígitos, ya

que de esto depende el tamaño de la respuesta. Luego el comando “IntegerDigits”


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convierte tanto a m como a n en dos vectores de tamaño a; finalmente se suman los

vectores (reduciendo módulo 10) y se convierte este último vector en un número con la

ayuda de “FromDigits”. Ejemplo:

Función 2. Producto Sin Llevar

La función posee dos parámetros de entrada: m y n, que son los números a multiplicar. Si

alguno de los números es cero (o bien ambos), el producto sin llevar también lo será.

Además hay que tener en cuenta que si m es de tamaño r y n es de tamaño s, el producto

de éstos tendrá a lo sumo dígitos. Al igual que en la suma, con “IntegerDigits”

se convierte tanto a m como a n en dos vectores; luego cada elemento de n, iniciando por

el último, se multiplica por cada componente de m (siguiendo la manera usual de

multiplicar), sólo que se va reduciendo módulo 10. Posteriormente en d se arreglan,

adecuadamente, los vectores que se encontraban en c, para finalmente ser sumados sin

llevar en e. Ejemplo:


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Observación: Para mayor información de esta interesante aritmética, dirigirse a la

monografía de Luris Jaén: Aritmética Sin Llevar.

3. Algebrización

El secreto para entender mejor la Aritmética Sin Llevar es introducir un poco de álgebra.

Sea el anillo de enteros módulo 10 y el anillo de polinomios en con

coeficientes en . Luego podemos representar a los números sin llevar por elementos en

. Por ejemplo, al 374 le corresponde , al 1059 con ,

etcétera. La suma y multiplicación sin llevar se reducen a una simple adición y producto

de elementos de , como sigue:

A la suma sin llevar: 785 376 = 51

Le corresponde:

Donde los polinomios son sumados y multiplicados de la manera usual y sus coeficientes

son reducidos módulo 10. Recíprocamente, cualquier elemento de representa un

único número sin llevar. De hecho, la aritmética en es clara y exactamente la

misma como la Aritmética Sin Llevar. Es más, esto podría ser utilizado como una

definición formal de la aritmética en cuestión. Consecuentemente, se ve que esta

aritmética es conmutativa, asociativa y distributiva.

Puesto que es un anillo, no sólo podemos sumar y multiplicar, también podemos

restar. Los opuestos de los elementos de son y

similarmente ocurre para los elementos de . Entonces los opuestos de los números

sin llevar son “complementos de 10”, que se obtiene sustituyendo cada dígito distinto de

cero por , por ejemplo: -702 = 308. Para restar A de B, sumamos - A a B:

- . A partir de ahora utilizaremos el símbolo para

indicar la diferencia sin llevar.


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Función 3. Resta Sin Llevar

La función calcula la diferencia sin llevar . Lo primero que hace es convertir a n en

un vector; lo multiplica por -1 para poder buscar el complemento de 10 de cada dígito que

compone el número n, es decir el opuesto de n, con la ayuda de “Mod”. Por último este

nuevo vector se convierte en número para ser sumado sin llevar con m, por medio de la

función “SumaCarryless” creada en la sección anterior. Ejemplo:

Observación: Es importante señalar que en la Aritmética Dismal no será imposible

definir una relación de congruencia, puesto que dotado de la suma y producto dismal es

un semianillo, por tanto no está definida la resta de naturales.

La clave para seguir avanzando es saber que si , entonces . En

particular es la suma directa de los anillos y . Dado , lo reducimos

y para obtener el par . Los elementos

(equivalentes a los números sin llevar 0, 1,…, 9) y sus pares correspondientes se muestran

en la siguiente tabla. El Teorema Chino de los Restos garantiza que se trata de una

correspondencia uno a uno.

Correspondencia entre y

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

[0,0] [1,1] [0,2] [1,3] [0,4] [1,0] [0,1] [1,2] [0,3] [1,4]


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Como se observa, {1} es el conjunto de las unidades en , mientras que {1, 2, 3, 4} es el

conjunto de las unidades en , entonces los pares [1,1], [1,2], [1,3] y [1, 4] corresponden

a las unidades en , ya que respectivamente representan a {1, 7, 3, 9}.

De manera similar, polinomios corresponden a pares de polinomios

, que se obtienen reduciendo , respectivamente, y .

Recíprocamente, dado cualquier par de polinomios , hay un único polinomio

que le corresponde. Para indicar esto escribimos .

También, si , entonces

y . Ejemplo:

583 40 736 = 40 219

) + =

+ =

Resulta sencillo llevar un número sin llevar a su representante en y seguidamente a

su representante en , como bien se mostró en el ejemplo anterior con la

suma sin llevar; y, que podría realizarse con el producto y resta sin llevar. Sin embargo,

una consecuencia de esto es lo siguiente: dado un elemento de , ¿quién es

el número sin llevar que le corresponde?

Función 4. Carryless Number Reverse


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Debemos tener en cuenta que: si un número sin llevar tiene n cifras, su representante en

será de grado ; por lo menos una de las componentes de su representante en

conservará dicho grado; y que dicha correspondencia es biunívoca.

El parámetro de entrada p, es un vector de dos componentes; esto se debe a que es un

elemento de . Si ambas componentes son nulas, entonces el número sin

llevar que le representa es trivialmente el cero. De lo contrario, la función almacenará en a

el máximo de los grados de los polinomios, por tanto el número sin llevar tendrá

cifras; es por ello que creamos el vector auxiliar b. Posteriormente aplicamos el Teorema

Chino de los restos para resolver el sistema de dos congruencias que surge por cada

componente de b, y que involucran directamente a los coeficientes de términos

correspondientes de los polinomios p1 y p2. Cada solución ocupa una posición adecuada

en el vector auxiliar. Finalmente el vector b es transformado en un número. Ejemplos:

Ahora nos encontramos en una posición que nos permite responder muchas preguntas

acerca de la Aritmética Sin Llevar.

4. Primos Sin Llevar

En la Aritmética Sin Llevar, los números 1, 3, 7 y 9 son divisores de 1, es decir, son las

unidades; y que representaremos como elementos del conjunto . Ahora bien, un número

es primo sin llevar si y sólo si es distinto de las unidades y su única factorización es de

la forma , donde es una unidad y es entero.


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Precisamente, es el conjunto de las unidades en . Por tanto un primo sin llevar

está definido como un elemento irreducible en , esto es: un polinomio

, tal que , cuya única factorización es de la forma , donde

y .

¿Cuáles son los elemento irreducibles en ? Si es

irreducible entonces, ciertamente, y deben ser unidades o irreducibles, pues si

tendríamos la factorización . También

; así que de y , uno debe ser irreducible y el otro una unidad. Luego los

elementos irreducibles e n son de la forma , donde es un polinomio

irreducible en de grado y , junto con los elementos de la forma

, donde es un polinomio irreducible en de grado .

Función 5. Prime Carryless Question

La función básicamente pregunta si un polinomio es irreducible en , devolviendo un

valor de verdad: “true” o “false”. Esto lo realiza, en términos generales, llevando a m a su

representante en para luego verificar si se cumplen o no las condiciones

para que n sea irreducible; para ello usamos el comando “IrreduciblePolynomialQ”, que

nos permite saber si un polinomio es irreducible en un módulo primo, en nuestro caso: 2 y

5. Si n es irreducible, entonces el número m es primo; de lo contrario m es compuesto.


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Ejemplos:

Con el propósito de hacer comparaciones con los primos de la Aritmética Sin Llevar con

los primos de la Aritmética Clásica, realizamos la siguiente y sencilla función, que cuenta

y determina los primos sin llevar en el intervalo , utilizando la función

“PrimeCarrylessQ” y devolviendo dichos primos sin llevar en una lista.

Función 6. Prime Carryless

Basado en el ejemplo anterior, cabe mencionar que en la Aritmética Sin Llevar los

números 52, 54, 56 y 58 son primos sin llevar, mientras que en la Aritmética Clásica

números terminados en cifra par son compuestos. ¿Cuántos serán en total?


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Decimos que m es 2 - primo, si es irreducible sobre y es constante no

nulo, por ejemplo: 54 y 557 son 2-primo. De igual forma m es 5 - primo, si y

es irreducible sobre , por ejemplo: 61 y 20 063 son 5-primo. Además le

daremos el adjetivo de “evenish” a los números cuyos dígitos que le conforman son todos

pares, por ejemplo: 8462, 204 y 624; y “fiveish” a los números cuyos dígitos que le

componen son 0 o 5, por ejemplo: 505, 50 505 y 55.

5. Relación de Equivalencia

Como sabemos, una relación definida sobre un conjunto es de equivalencia si es reflexiva,

simétrica y transitiva. De manera puntual, en la Aritmética Clásica, la congruencia módulo

, con , es una relación de equivalencia. Ahora, procedemos a definir la

Congruencia Modular Sin Llevar, de manera análoga a la ya conocida.

5.1. Congruencia Sin Llevar Módulo . Dados enteros con , se

tiene que si divide la diferencia sin llevar , lo cual se lee “ es

congruente sin llevar con módulo ”. Dicho de otra manera, es equivalente a la relación

de divisibilidad sin llevar, tal como se muestra:

(a )

(a ) donde –

donde

Es fácil probar que esta última relación es de equivalencia. Algunos ejemplos son:

Pues,

Pues,

Pues,


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A pesar de los ejemplos, dados enteros y no resulta tan fácil determinar el valor (o los

valores) de que permita que se cumpla la relación de congruencia sin llevar

. En la Aritmética Clásica, dado se sabe que los posibles valores de

son , es decir, los representantes de las clases de equivalencia o bien el

sistema completo de restos. ¿Éstos últimos serán análogos en la Aritmética Sin Llevar?

Para responder esto, haremos uso de la algebrización.

5. 2. Algebrización de la Congruencia Sin Llevar. De inmediato pasamos a

resolver, ya que en la sección 2 se explicó la algebrización. Lo primero que haremos es

determinar un sistema completo de restos, dado el módulo de la congruencia:

Consideremos un módulo fijo . Designamos por al conjunto de todos los enteros

tales que y llamemos a la clase de restos sin llevar de módulo .

Dado

Se lleva a cada elemento de la congruencia a su polinomio correspondiente en y

posteriormente a sus correspondientes elementos en :

Supongamos que es un dígito con cifras, por tanto su representante en será

de grado y, consecuentemente, por lo menos una de las componentes de su representante

en tendrá, necesariamente, grado ; mientras que la otra componente tendrá

grado menor o igual a . Cabe resaltar que sucede de forma similar tanto para como

para .


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Cuando se realice la congruencia, ésta se lleva a cabo componente a componente,

respectivamente, así:

Ahora supongamos que el polinomio de grado es , por tanto el polinomio

tendrá a lo sumo grado . Luego tendremos opciones para . Por otro lado, el

polinomio de grado sería ; por tanto el polinomio tendrá grado ,

como máximo. Luego tendremos opciones para . Finalmente, como

, habrían posibilidades para el polinomio y por consiguiente,

el mismo número de posibilidades para el valor de .

Si supusiéramos el caso contrario que y , el

razonamiento sería análogo.

Función 7. Carryless Residues


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La función determina un sistema completo de restos sin llevar módulo p. Lo primero que

hace es determinar el elemento correspondiente de p en , vector que

llamamos e. Luego almacena el grado de cada componente en f1 y f2, respectivamente; ya

que sus grados determinarán la cantidad posible de polinomios restos: en y

en . Las líneas siguientes del programa se encargarán de darnos las distintas

posibilidades para los polinomios y , con la ayuda del comando “Tuples” que

permuta los distintos coeficientes de dichos polinomios: {0, 1, 2} para y {0, 1, 2, 3, 4} para

.

Finalmente se crea el vector auxiliar g3 de tamaño , que albergará al sistema

completo de restos. Posteriormente por cada opción de se recorre a las posibilidades

de y se hace “CarrylessNumberReverse” para conocer qué número sin llevar le

corresponde e inmediatamente es ubicado en g3. Se continúa sucesivamente hasta que se

determine el número sin llevar que represente el último polinomio posible de con la

última posibilidad de . Ejemplo:

El sistema completo de restos módulo 6 829 está formado por 125 elementos. Ahora

mostramos la gráfica del sistema con la ayuda de “ListPlot”.


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Resulta curiosa la simetría de la gráfica. Hay que añadir que en la Aritmética Clásica el

sistema completo de restos módulo p está formado precisamente por p elementos, que son:

; sin embargo en nuestra aritmética no ocurre así. A continuación

mostramos otros ejemplos con sus respectivos grafos, para luego exponer algunas

observaciones particulares.

En este caso son 100 los elementos que conforman el sistema completo de restos módulo

139. Veamos su gráfica y seguidamente un ejemplo en donde el módulo es primo.


130


131

Observaciones:

1. Si p un 2-primo con r cifras, entonces el sistema completo de restos estará formado

por elementos.

2. Si q un 5-primo con k cifras, entonces el sistema completo de restos tendrá

elementos. Por ejemplo: 883 con 25 elementos en .

3. Si el módulo es un evenish el conjunto tendrá infinitos elementos, esto se debe a

que

lo cual daría infinitas opciones para . De forma similar ocurre

si el módulo es un fiveish, ya que

y las posibilidades para serían

infinitas.

Hasta este punto ya hemos respondido en gran parte la interrogante principal de si era

posible definir una congruencia modular en la Aritmética Sin Llevar, pero para hacer más

preciso nuestro trabajo monográfico planteamos lo siguiente: dados a y m en una

congruencia modular sin llevar . ¿Quién es b? La siguiente función

determina el valor de b, además calcula k tal que .

Función 8. Carryless Modular Congruence


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El razonamiento para esta función es el mismo que se utilizó en la función precedente, con

la excepción de que este caso se conocen dos de los valores involucrados en la

congruencia: a y m. Lo que implica que el interés sea en tan solo uno de los elementos del

sistema completo de restos del módulo m, además de encontrar k. Cabe indicar que, a

menos que , deseamos encontrar el valor de b distinto del trivial, es decir, .

Lo primero es llevar los valores conocidos a sus representantes en : n y o,

respectivamente. Seguidamente nos apoyamos en “PolynomialQuotientRemainder”,

función que admite tres parámetros de entrada: un dividendo y un divisor, ambos

polinomios; la variable en la que se encuentran los polinomios y un cuarto parámetro

indicando un módulo primo, que en nuestro caso es 2 o 5. Dicho comando devuelve un

vector donde la primera componente es el cociente y la segunda es el residuo. Lo que

hicimos fue crear una matriz q de orden 2, cuya primera fila es el cociente y residuo de

dividir la primera componente de n por la primera componente de o y la segunda fila es el

cociente y residuo de dividir la segunda componente de n por la segunda componente de

o. Finalmente para conocer el valor de b hacemos “CarrylesNumberReverse” de la

primera columna de q y para encontrar el valor de k hacemos “CarrylessNumber Reverse

de la segunda columna de q. Ejemplos:

Es fácil comprobar cada congruencia, además de verificar que 440 y 60 forman parte de

los sistemas completos de residuos de 6829 y 883, respectivamente.


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CONCLUSIÓN

Conocer la Aritmética Sin Llevar estimuló la formulación de innumerables preguntas que

quizás ni siquiera fueron formuladas en clase. Aventurarse a comprobar la veracidad de

resultados, conjeturas o definiciones de la Aritmética Clásica en la Aritmética Sin Llevar

es, sin duda, un gran reto. Incluso está la posibilidad de refutar resultados trascendentales

y llegar a construir nuevos conceptos. Al final del camino, valiéndose de herramientas

matemáticas conocidas durante los cursos de la Licenciatura, resulta realmente

satisfactorio llegar a decir “lo hice”; y sentir, aunque sea en lo más mínimo, lo que han

experimentado grandes matemáticos de la historia.

Una de las tantas preguntas fue: ¿será posible definir congruencias en alguna aritmética

distinta a la clásica? E inmediatamente descartamos la posibilidad de una analogía en la

Aritmética Dismal puesto que no es posible una resta dismal. Sin embargo, apoyándonos

en el álgebra, se definió una resta sin llevar; esto nos permitió un mayor optimismo para

responder a la interrogante.

En la búsqueda de dicha respuesta logramos construir una aritmética modular sin llevar

análoga a la aritmética modular clásica: definiendo una congruencia modular sin llevar

módulo m; contabilizando y reconociendo los elementos de un sistema completo de restos.

No obstante para alcanzar estos resultados recurrimos a polinomios irreducibles,

isomorfismos, Teorema Chino de Los Restos, anillos de polinomios. Debimos aprender a

llevar un elemento de a su número sin llevar correspondiente; incluso

abordamos módulos con números evenish y fiveish, los criterios de primalidad, con el

objeto de minimizar cálculos, y así, obtuvimos resultados muy particulares. Todo eso

aparte de los programas realizados con Wolfram Mathematica.


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RECOMENDACIÓN

Estudiar otros resultados de la aritmética modular clásica y comprobar su veracidad o no

en la aritmética modular sin llevar, entre los que podemos citar: el Pequeño Teorema de

Fermat o bien el Teorema que abordamos en nuestro primer trabajo monográfico, el cual

enuncia que: “La tabla de multiplicación para contiene 1’s solamente en la diagonal si

y solo si n es divisor de 24”.


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BIBLIOGRAFÍA

1. DAVID APPLEGATE, MARC LEBRUN Y NEIL SLOANE. Julio 7, 2011. Carryless

Arithmetic Mod 10.

2. TOM APOSTOL. Editorial Reverté. 2002. Introducción a la Teoría Analítica de

Números. España.

aritmética modular sin llevar

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